高中数学：含参 “一元二次不等式”的解法高中数学黄金解题模板
高中数学：含参 “一元二次不等式”的解法高中数学黄金解题模板
【高考地位】解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点. 在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一 根据二次项系数的符号分类使用情景：参数在一元二次不等式的最高次项解题模板：第一步 直接讨论参数大于0、小于0或者等于0；第二步 分别求出其对应的不等式的解集； 第三步 得出结论.例1 已知关于x 的不等式2320ax x -+>)(R a ∈.（1）若不等式2320ax x -+>的解集为{|1}或x x x b <>，求,a b 的值．（2）求不等式ax x ax ->+-5232)(R a ∈的解集【答案】（1）1,2a b ==（2）①当0>a 时，a x x 3{>或}1-<x ②当03<<-a 时，}13{-<<x ax ③当3-=a 时，∅④当3-<a 时，}31{ax x <<-⑤ 当0=a 时，原不等式解集为{}1-<x x（2）第一步，直接讨论参数大于0、小于0或者等于0： 不等式为()0332>--+x a ax ，即()()013>+-x ax第二步，分别求出其对应的不等式的解集： 当0=a 时，原不等式的解集为{}1|-<x x ； 当0≠a 时，方程()()013=+-x ax 的根为1,321-==x ax ；所以当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13|x a x x 或； ②当03<<-a 时，13-<a，∴}13{-<<x a x③当3-=a 时，13-=a ，∴∅④当3-<a 时，13->a，∴}31{a x x <<-学*科网第三步，得出结论：综上所述，原不等式解集为①当0>a 时，a x x 3{>或}1-<x ；②当03<<-a 时，}13{-<<x a x ③当3-=a 时，∅；④当3-<a 时，}31{ax x <<-；⑤当0=a 时，原不等式解集为{}1-<x x .考点：一元二次不等式的解法.【点评】（1）本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知2320ax x -+=的两根为1x x b ==或，且0a >，根据根与系数的关系，即可求出,a b 的值．（2）本题考察的是解含参一元二次不等式，根据题目所给条件和因式分解化为()()310ax x -+>，然后通过对参数a 进行分类讨论，即可求出不等式的解集．学*科网【变式演练1】【河南省平顶山市2017-2018学年期末调研考试高二理科数学】若不等式对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【变式演练2】已知p ：1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式21253||a a x x --≥-对任意实数[]1,1m ∈-恒成立；q ：不等式2210ax x +->有解，若p 为真，q 为假，求a 的取值范围．【答案】1a ≤-∴440a ∆=+>，∴10a -<<， ∴不等式2210ax x +->有解时1a >-， ∴q 假时a 的范围为1a ≤-，②由①②可得a 的取值范围为1a ≤-．学*科网考点：命题真假性的应用类型二 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类使用情景：一元二次不等式可因式分解类型解题模板：第一步 将所给的一元二次不等式进行因式分解；第二步 比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论；第三步 得出结论.例2 解关于x 的不等式01)1(2>++-x a ax （a 为常数且0≠a ）.【答案】0<a 时不等式的解集为)1,1(a ； 10<<a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞a；1=a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ ；1>a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a.若1>a ，110<<a ，不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a学*科网 试题分析：21(1)10()(1)0ax a x a x x a-++>⇔-->,先讨论0a <时不等式的解集；当0a >时，讨论1与1a的大小，即分10<<a ，1=a ，1>a 分别写出不等式的解集即可. 考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.【变式演练3】已知0a <，解关于x 的不等式2(2)20ax a x ---<． 【答案】当2a <-时，2{x | x x 1}a ＜-或＞；当2a =-时，{}1x x ≠；当20a -<<时，2{x |x 1x }a＜或＞-．考点：一元二次不等式．【变式演练4】【2018重庆高三理科数学不等式单元测试卷】已知0<b<1+a ，若关于x 的不等式（x －b ）2>（ax ）2的解集中的整数恰有3个，则（ ）A ． －1<a<0B ． 0<a<1C ． 1<a<3D ． 3<a<6 【答案】C【解析】由()()22x b ax ->，整理可得（1－2a ）2x －2bx+2b >0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有1－2a <0，此时2a >1，而0<b<1+a ，故a>1， 由不等式()22212a x bx b -+-<0解得()()222222,2121b ab b ab x a a ---+<<--即111b bx a a -<<<-+要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3<1b a --<－2，由1b a --<－2得－b<－2（a －1），则有a<2b +1，即a<2b +1<12a ++1，解得a<3，由－3<1ba --得3a －3>b>0，解得a>1，则1<a<3．学&科网类型三 根据判别式的符号分类使用情景：一般一元二次不等式类型解题模板：第一步 首先求出不等式所对应方程的判别式；第二步 讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集；第三步 得出结论.例3 设集合A={x |x 2＋3k 2≥2k (2x －1)}，B={x |x 2－(2x －1)k ＋k 2≥0}，且A ⊆B ，试求k 的取值范围． 【答案】.010<≤-≥k k 或【解析】第一步，首先求出不等式所对应方程的判别式：B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式k k k k 4)(4422-=+-=∆， (1)当k =0时，R x ∈<∆,0. (2)当k ＞0时，△＜0，x R ∈.(3)当k ＜0时，k k x k k x -+≥--≤>∆或,0.第三步，得出结论：综上所述，k 的取值范围是：.010<≤-≥k k 或【点评】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对∆进行分类，或利用二次函数图像求解.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式∆的符号分类. 【变式演练5】在区间错误!未找到引用源。
一元二次不等式解题格式
一元二次不等式解题格式一元二次不等式是高中数学中常见的题型，解题需要严谨的步骤和方法。
下面我将介绍一元二次不等式的解题格式，希望能帮助您更好地理解和掌握这一内容。
首先，我们要将一元二次不等式化为标准形式，即将不等式移项合并同类项，使得不等式的左边为零。
例如，将不等式$x^2 + 2x - 3 > 0$化为标准形式就是$x^2 + 2x - 3 > 0$。
接下来，我们要找到不等式的解集，一般的步骤如下：1. 将不等式化为标准形式。
2. 确定一元二次不等式的零点，即将不等式左边化为一元二次方程并解出方程的根。
3. 根据一元二次不等式的零点，将数轴分为不同的区间。
4. 在每个区间内选取一个代表点，代入不等式，判断不等式的真假。
5. 根据代入得到的结果，确定每个区间的解集。
6. 将每个区间的解集合并得到最终的解集。
例如，对于一元二次不等式$x^2 + 2x - 3 > 0$，我们可以先将其化为标准形式$x^2 + 2x - 3 > 0$，然后求出方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的根为$x = -3$和$x = 1$。
将数轴分为$(-\infty, -3), (-3, 1), (1, +\infty)$三个区间，分别选取代表点，如$-4, 0, 2$，代入不等式得到$12 > 0, -3 > 0, 0 > 0$，因此第一个区间$(-\infty, -3)$和最后一个区间$(1, +\infty)$为解集。
在解题过程中，要注意以下几点：1. 注意不等式的符号，及时移项和合并同类项。
2. 求不等式的零点时，要注意解一元二次方程的步骤。
3. 在代入不等式时，要小心计算，避免出错。
4. 最终得出的解集要仔细检查，确保没有遗漏。
通过以上的解题格式，相信您能更好地解决一元二次不等式的题目，提高解题的准确性和效率。
希望这份内容对您有所帮助，祝您学习顺利！。
3.2.2含参数的一元二次不等式的解法(例题精讲)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按 x 2项的系数 a 的符号分类，即a0, a0, a0;例 1解不等式： ax 2a 2 x 1 0分析：此题二次项系数含有参数，a 2 24a a 240 ，故只需对二次项系数进展分类讨论。
a 2a 240解：∵24a解得方程ax 2a 2 x10 两根 x1a2a24, x2 a 2 a242a2a∴当 a0时 ,解集为x | x a22a a 24或 x a2a242a当 a0时，不等式为2x10,解集为1 x | x2当 a0时,解集为a2 a 24xa2 a 24 x |2a2a例 2 解不等式ax 25ax 6a 0 a0分析因为 a 0 ，0 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解a( x 25x 6) a x 2 x 30当 a 0 时，解集为x | x 2或x 3 ；当 a 0时，解集为x | 2 x3二、按判别式的符号分类，即0,0,0 ；例 3 解不等式x2ax 4 0分析此题中由于 x 2的系数大于0,故只需考虑与根的情况。
解：∵a 216∴当 a4,4 即0时，解集为 R ；当a4即＝0 时，1解集为 x x R且 x a；2当 a 4或 a4a a216即0 ,此时两根分别为 x12，a a 216x2, x22，显然 x1∴不等式的解集为x x a a216或 x〈a a21622例 4解不等式 m 2 1 x 24x 10 m R解因 m210,( 4)2 4 m 21 4 3m2，所以当 m 3 ，即0 时，解集为x | x 1；2当 3 m 3 ，即0 时，解集为x x23m2或x〈23m 2；m21m21当 m3或 m 3 ，即0 时，解集为R。
三、按方程 ax 2bx c0 的根x1,x2的大小来分类，即x1x2 , x1x2 , x1x2；例 5 解不等式x2( a 1)x10 (a0)a1) 0 ，故对应的方程必有两解。
含参数的一元二次不等式的解法高中数学
含参数的一元二次不等式的解法高中数学一元二次不等式是高中数学中重要的内容之一，它与一元二次方程不同，需要通过特定的方法来解决。
当一元二次不等式中出现参数时，解法也会有所不同。
本文将介绍含参数的一元二次不等式的解法。
首先，我们来看一个简单的例子，假设有不等式 f(x) =ax^2+bx+c > 0，其中a、b、c为实数且不为零。
我们的目标是确定x的取值范围使得不等式成立。
步骤一：将不等式化简为标准形式首先，我们需要将不等式化简为标准形式，即形如(ax^2+bx+c)>0的形式。
若不等式已经处于此形式，则可以直接进行下一步。
若不等式不满足此形式，则需要移项合并同类项，将不等式转化为标准形式。
步骤二：确定基本情况下的解法对于标准形式的一元二次不等式，我们可以利用图像法或代数法来解决。
对于a>0和a<0的两种情况，基本的解法如下：1. 当a>0时：- 如果a>0，二次函数的开口朝上，函数图像是一个开口朝上的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线上方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x<x1 或x>x2- 若抛物线与x轴只有一个交点，我们可以求解的结果只有一个交点x0，此时解集为：x<x0 或 x>x0。
2. 当a<0时：- 如果a<0，二次函数的开口朝下，函数图像是一个开口朝下的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线下方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x1<x<x2- 若抛物线与x轴没有交点，则解集为空集：ø步骤三：含参数时的解法当一元二次不等式中存在参数时，解法稍有不同。
我们以一个具体的例子来说明。
例题：对于不等式f(x) = (a+b)x^2+(b+c)x+c>0，其中a，b，c 为实数且不为零。
含参数的一元二次不等式的求解方法解析
含参数的一元二次不等式的求解方法解析冯婷含参数的一元二次不等式是一元二次不等式求解问题的一个难点，本文总结了含参数的一元二次不等式的几种常见题型及其常见解法。
含参数的一元二次不等式由于其系数中出现了参数，因此往往需要对参数不同取值进行分类讨论从而加以求解。
一般情况下，含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤如下：（1）对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零的讨论，当特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解；（2）对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分0,0,0∆>∆=∆<三种情况加以讨论；（3）若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根12,x x 表示的形如12()()a x x x x --的形式时，往往需要对其根分121212,,x x x x x x >=<三种情况进行讨论，或用韦达定理帮助求解。
一、对根的情况及判别式分类讨论例1 解关于x 的不等式220x kx k +-≤。
解：28(8)k k k k ∆=+=+① 当0∆>即08k k ><-或时，方程220x kx k +-=有两个不相等的实数根，则该不等式的解集为x x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭。
② 当0∆=即08k k ==-或时，方程220x kx k +-=有两个相等的实数根，则该不等式的解集为{}|0,2x x x ==或。
③ 当0∆<即80k -<<时，方程220x kx k +-=无实数根，则该不等式的解集为∅。
注：本题由于方程220x kx k +-=根的情况不确定，则需要对其判别式进行分类讨论。
例2 解关于x 的不等式022)3(2>-+++m mx x m 。
解：① 当03=+m 即3-=m 时，上述不等式可化简为650x -->，此时不等式的解集为5|6x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭。
高中数学一元二次含参不等式的解法探究
高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次含参不等式在高中数学中是一个比较重要的知识点，需要掌握不同的解法。
本文将从多个角度探究解这类不等式的方法。
1. 常规解法对于一元二次含参不等式，我们可以根据不等式的特点，采用常规解法进行求解。
例如，对于不等式 $a x^2 + b x + c > 0$，我们可以先求出其二次函数的零点：$$\Delta = b^2 - 4 a c$$当 $\Delta > 0$ 时，即二次函数的图像与 $x$ 轴有两个交点，此时函数的值在两个交点之间为负，其他部分为正。
因此，我们可以根据 $\Delta$ 的值来判断原不等式的解集。
2. 代数方法此外，还有一种比较常用的代数方法，即将一元二次不等式并成一个完全平方。
例如，对于不等式 $x^2 - 4x + m > 0$，我们可以将其转化为 $(x-2)^2 + (m-4) > 0$ 的形式。
然后根据完全平方的非负性，可以得到原不等式的解集为：$$\begin{cases}(m - 4)k > 0 & 如果 k > 0 \\(m - 4)k < 0 & 如果 k < 0\end{cases}$$其中，$k$ 表示 $(x-2)$ 取值。
3. 图像解法另外，还可以通过观察一元二次含参不等式的图像，来判断其解集。
$$ x_1 = \frac{p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}，x_2 = \frac{p + \sqrt{p^2 -4q}}{2}$$因此，当 $p^2 - 4q < 0$ 时，二次函数的图像与 $x$ 轴没有交点，此时原不等式的解集为 $(-\infty, +\infty)$。
当 $p^2 - 4q = 0$ 时，二次函数的图像与 $x$ 轴有一个交点，此时原不等式的解集为 $\{x | x = \frac{p}{2}\}$。
当 $p^2 - 4q > 0$ 时，二次函数的图像与 $x$ 轴有两个交点，此时原不等式的解集为 $(x_1, x_2)$ 或 $(x_2, x_1)$。
一元二次不等式的解题格式
一元二次不等式的解题格式一元二次不等式解题格式一、标准形式一元二次不等式的标准形式为：$ax^2 + bx + c > 0$（或$ 0$ ，$\geq 0$ ，$\leq 0$ ），其中 $a \neq 0$ 。
二、求解步骤（一）判断二次项系数的正负1. 若 $a > 0$ ，则函数图像开口向上；若 $a 0$ ，则函数图像开口向下。
（二）计算判别式 $\Delta = b^2 4ac$1. 若 $\Delta > 0$ ，则方程有两个不同的实数根 $x_1$ 和$x_2$ （可用求根公式 $x = \frac{b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ 求出），不等式的解集为 $x x_1$ 或 $x > x_2$ （当不等式为大于号时），或 $x_1 x x_2$ （当不等式为小于号时）。
2. 若 $\Delta = 0$ ，则方程有两个相同的实数根 $x_0 =\frac{b}{2a}$ ，不等式的解集为 $x \neq x_0$ （当不等式为大于号时），或 $x = x_0$ （当不等式为小于号时）。
3. 若 $\Delta 0$ ，则方程无实数根，当 $a > 0$ 时，不等式的解集为全体实数；当 $a 0$ 时，不等式的解集为空集。
（三）写出解集用区间或集合的形式表示解集。
三、示例求解不等式 $x^2 3x + 2 > 0$1. 因为 $a = 1 > 0$ ，函数图像开口向上。
2. 计算判别式：$\Delta = (3)^2 4×1×2 = 9 8 = 1 > 0$3. 求根：$x = \frac{3 \pm 1}{2}$ ，即 $x_1 = 2$ ，$x_2 =1$4. 解集为 $x 1$ 或 $x > 2$ ，用区间表示为 $(\infty, 1)\cup (2, +\infty)$20 道一元二次不等式题目解析题目 1：$x^2 5x + 6 0$1. $a = 1 > 0$，开口向上2. $\Delta = (5)^2 4×1×6 = 25 24 = 1 > 0$3. 求根：$x = \frac{5 \pm 1}{2}$，得 $x_1 = 3$，$x_2 = 2$4. 解集为 $2 x 3$，区间表示为$(2, 3)$题目 2：$2x^2 + 3x 2 > 0$1. $a = 2 > 0$，开口向上2. $\Delta = 3^2 4×2×(2) = 9 + 16 = 25 > 0$3. 求根：$x = \frac{3 \pm 5}{4}$，得 $x_1 =\frac{1}{2}$，$x_2 = 2$4. 解集为 $x 2$ 或 $x > \frac{1}{2}$，区间表示为$(\infty, 2) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$题目 3：$x^2 + 4x 4 \leq 0$1. $a = 1 0$，开口向下2. $\Delta = 4^2 4×(1)×(4) = 16 16 = 0$3. 根为 $x_0 = 2$4. 解集为 $x = 2$，集合表示为$\{2\}$题目 4：$3x^2 7x + 4 > 0$1. $a = 3 > 0$，开口向上2. $\Delta = (7)^2 4×3×4 = 49 48 = 1 > 0$3. 求根：$x = \frac{7 \pm 1}{6}$，得 $x_1 = 1$，$x_2 =\frac{4}{3}$4. 解集为 $x 1$ 或 $x > \frac{4}{3}$，区间表示为$(\infty, 1) \cup (\frac{4}{3}, +\infty)$题目 5：$x^2 + 2x + 3 > 0$1. $a = 1 > 0$，开口向上2. $\Delta = 2^2 4×1×3 = 4 12 = 8 0$3. 解集为全体实数，区间表示为$(\infty, +\infty)$题目 6：$2x^2 5x + 2 0$1. $a = 2 > 0$，开口向上2. $\Delta = (5)^2 4×2×2 = 25 16 = 9 > 0$3. 求根：$x = \frac{5 \pm 3}{4}$，得 $x_1 = 2$，$x_2 =\frac{1}{2}$4. 解集为 $\frac{1}{2} x 2$，区间表示为$(\frac{1}{2},2)$题目 7：$3x^2 + 6x 3 \geq 0$1. $a = 3 0$，开口向下2. $\Delta = 6^2 4×(3)×(3) = 36 36 = 0$3. 根为 $x_0 = 1$4. 解集为 $x = 1$，集合表示为$\{1\}$题目 8：$4x^2 + 4x + 1 > 0$2. $\Delta = 4^2 4×4×1 = 16 16 = 0$3. 根为 $x_0 = \frac{1}{2}$4. 解集为 $x \neq \frac{1}{2}$，区间表示为$(\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$题目 9：$x^2 6x + 9 0$1. $a = 1 > 0$，开口向上2. $\Delta = (6)^2 4×1×9 = 36 36 = 0$3. 根为 $x_0 = 3$4. 解集为空集，集合表示为$\varnothing$题目 10：$5x^2 10x + 5 > 0$1. $a = 5 > 0$，开口向上2. $\Delta = (10)^2 4×5×5 = 100 100 = 0$3. 根为 $x_0 = 1$4. 解集为 $x \neq 1$，区间表示为$(\infty, 1) \cup (1, +\infty)$题目 11：$2x^2 + x 1 0$1. $a = 2 > 0$，开口向上2. $\Delta = 1^2 4×2×(1) = 1 + 8 = 9 > 0$3. 求根：$x = \frac{1 \pm 3}{4}$，得 $x_1 =\frac{1}{2}$，$x_2 = 1$4. 解集为 $1 x \frac{1}{2}$，区间表示为$(1,\frac{1}{2})$题目 12：$x^2 3x + 4 > 0$2. $\Delta = (3)^2 4×(1)×4 = 9 + 16 = 25 > 0$3. 求根：$x = \frac{(3) \pm 5}{2}$，得 $x_1 = 4$，$x_2 = 1$4. 解集为 $4 x 1$，区间表示为$(4, 1)$题目 13：$3x^2 + 7x + 2 0$1. $a = 3 > 0$，开口向上2. $\Delta = 7^2 4×3×2 = 49 24 = 25 > 0$3. 求根：$x = \frac{7 \pm 5}{6}$，得 $x_1 =\frac{1}{3}$，$x_2 = 2$4. 解集为 $2 x \frac{1}{3}$，区间表示为$(2,\frac{1}{3})$题目 14：$x^2 8x + 16 \leq 0$1. $a = 1 > 0$，开口向上2. $\Delta = (8)^2 4×1×16 = 64 64 = 0$3. 根为 $x_0 = 4$4. 解集为 $x = 4$，集合表示为$\{4\}$题目 15：$4x^2 12x + 9 > 0$1. $a = 4 > 0$，开口向上2. $\Delta = (12)^2 4×4×9 = 144 144 = 0$3. 根为 $x_0 = \frac{3}{2}$4. 解集为 $x \neq \frac{3}{2}$，区间表示为$(\infty,\frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)$题目 16：$2x^2 + 5x 2 0$2. $\Delta = 5^2 4×(2)×(2) = 25 16 = 9 > 0$3. 求根：$x = \frac{5 \pm 3}{4}$，得 $x_1 =\frac{1}{2}$，$x_2 = 2$4. 解集为 $x \frac{1}{2}$ 或 $x > 2$，区间表示为$(\infty, \frac{1}{2}) \cup (2, +\infty)$题目 17：$5x^2 + 10x + 5 0$1. $a = 5 > 0$，开口向上2. $\Delta = 10^2 4×5×5 = 100 100 = 0$3. 根为 $x_0 = 1$4. 解集为空集，集合表示为$\varnothing$题目 18：$3x^2 12x + 12 \geq 0$1. $a = 3 > 0$，开口向上2. $\Delta = (12)^2 4×3×12 = 144 144 = 0$3. 根为 $x_0 = 2$4. 解集为 $x = 2$，集合表示为$\{2\}$题目 19：$2x^2 4x + 2 > 0$1. $a = 2 > 0$，开口向上2. $\Delta = (4)^2 4×2×2 = 16 16 = 0$3. 根为 $x_0 = 1$4. 解集为 $x \neq 1$，区间表示为$(\infty, 1) \cup (1,+\infty)$题目 20：$x^2 + 2x 1 0$1. $a = 1 0$，开口向下2. $\Delta = 2^2 4×(1)×(1) = 4 4 = 0$3. 根为 $x_0 = 1$4. 解集为全体实数，区间表示为$(\infty, +\infty)$。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
高考数学专题含参数的一元二次不等式复习省公开课一等奖百校联赛赛课微课获奖PPT课件
小结
1.解一元二次不等式普通步骤
(1)化：把不等式变形为二次 项系数大于零，另一端为零标 准形式。
(2)判：计算对应方程判别式， 依据判别式判断方程有没有实 根.
(3)求：若⊿<0，则对应一元 二次方程无根，若⊿≥0，则求 出对应方程根.
(4)解：利用图像解出不等式 解集.
2.解含参数一元二次不等
式时分类讨论依据
(1)二次项系数若含有参数
应讨论是等于0，小于0，还是
大于0.
(2)当不等式对应方程根个
数不确定时，讨论判别式△与
0关系.
(3)确定无根时可直接写出
不等式解集，确定方程有两个
根且大小不定时，要讨论两根
大小关系.
第6页
若⊿≥0，则求出对应方程根.
(4)解：利用图像解出不等式解集.
第2页
新课讲解
一元二次不等式及其解法
练习： 解关于 x 的不等式－x2 + 5 x－6>0；
变式(1) ax2－5a x + 6a>0； 变式(2) x2－5ax + 6 > 0； 变式(3) 2－5ax + 6a2 > 0
拓展一 含参二次不等式解
解：⊿=(a＋1)2≥0
原不等式可化为：(ax＋1)(x－1)＜0， 1.当 a＝0 时，x＜1， 2.当 a＞0 时x＋1a(x－1)＜0∴－1a＜x＜1. 3. 当 a<0 时,①当 a＝－1 时，x≠1， ②当－1＜a＜0 时，x＋1a(x－1)＞0，∴x＞－1a或 x＜1. ③当 a＜－1 时，－1a＜1，∴ x＞1 或 x＜－1a，
第3页
【类题通法】
2.解含参数一元二次不等式时分类讨论依据
含参数的一元二次不等式的解法
原不等式解集为 k 2 8k 0 即 8 k 0 时，
k 2 8k 0 时得 k 0 或 k 8
∴(a)当
k 0
2 时,原不等式即为 2 x 0 解集为：x x 0
2 x 2 8x 8 0 ∴(b)当 k 8时,原不等式即为
x 2x 3 0
x | 2 x 3
综上所述： a 0时，原不等式解集为：x | x 2或x 3
a 0时，原不等式解集为：x | 2 x 3
例题讲解
例2.解关于x的不等式：x 5ax 6a 0 (a 0)
2 2
此不等式 5a 24a 2 a 2 0 分析 :
2
；
,
a a 2 16 x2 2
a a 2 16 a a 2 16 ∴原不等式的解集为： x x 或x〈 2 2
练习
解关于x的不等式： （）x 2 (1 a) x a 0 1
a 1时，不等式的解集为{x | a x 1}
分析: 因为 a 0 且 0 ，所以我们只要讨论二次项系 数的正负. 解: a( x 2 5 x 6) ax 2x 3 0
∴(1)当 a 0 时，原不等式变形为: x 2x 3 0 ∴当 a 0 时，原不等式解集为: x | x 2或x 3 ∴(2)当 a 0 时，原不等式变形为: ∴当 a 0 时，原不等式解集为:
2
解：∵ a 16 ∴ 当a 4, 4 即 0时
，
原不等式解集为
R
a 当a 4即 0时, 原不等式解集为 x x R且x 2 当a 4或a 4即 0时， 此时两根分别为
高中数学 2.1 第2课时 含参数的一元二次不等式的解法
(3) 当 a 1 时,原不等式的解集为 (1, a) .
变式训练： 解下列关于x的不等式：
x2－(t＋t2)x＋t3>0 解：不等式x2－(t＋t2)x＋t3>0变形为(x－t)(x－t2)>0. 当t<0时，有t<t2，解集为{x|x<t或x>t2}； 当0<t<1时，有t>t2，解集为{x|x<t2或x>t}； 当t>1时，有t<t2，解集为{x|x<t或x>t2}； 当t＝0时，解集为{x|x∈R，且x≠0}； 当t＝1时，解集为{x|x∈R，且x≠1}．
取值范围是 2 a 6 .
分析：对于函数 y x 2 ax 的(图a 像3)
依题意，可作图如下
要使图像处于此位置，则
y
a2 4(a 3) 0
即 a2 4a 12 0
解得2 a 6
o
x
4．解关于 x 的不等式 12x2－ ax>a2(a∈ R)．
解：由 12x2－ax－a2>0⇔(4x＋a)(3x－a)>0
{x m x m 1} .
例8 解关于 x 的不等式: x2 (1 a) x a 0 . 解 方程 x2 (1 a) x a 0 的解为 x1 1, x2 a . 函数 y x2 (1 a)x a 的图像开口向上,所以
(1) 当 a 1 时,原不等式的解集为 (a, 1) ;
1 3
x
Hale Waihona Puke 5 2,AUB
x
1
x
6 .
思考:如何解关于 x 的不等式: x2 (2m 1) x m2 m 0 .
含参数的一元二次不等式的解法
课堂总结：
（1）会求解含有参数的一元二次不等 式，一般讨论的顺序是：①讨论二次项系数 ②判断二次不等式相对应方程的两根的大 小 （2）能够熟练应用分类讨论及数形结合的 数学思想。
分析： 3x 2 -19 x+6 0
（3x-1)(x-6) 0
1 相对应方程（3x-1)(x-6)=0的根x1 = ,x2 =6 3
1 不等式的解集（ , 6） 3
含参数的一元二次不等式的解法
专题一 例1
解不等式x +(a-1)x-a>0(a>0)
2
解析：原不等式等价于 （x 1)( x a) 0
若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为 的值为(
A.－1415
（2）二次项含有参数 D.－17
解含参数的一元二次不等式的步骤： （1）二次项系数为参数时，应讨论是等于 0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化 为二次项系数为正的形式。 (2)因式分解，求出相对应方程的根， 不能确定根的大小时，应讨论方程两 根的大小关系，从而确定解集。
-a
1 (-a)
-a
(1)-a<1（2） -a=1 (3)-a>1
专题二
例2
解不等式ax +(a-1)x-1>0(a R)
2
二次项含有参数应如何求解？
考点 例 1
含参数的一元二次不等式
1 1 x 则 }, a＋b （1）一是二次项系数为常数 ,参 2 3 ) 数在一次项或常数项 {x
解一元二次不等式的步骤
(1)化成标准形式 ax +bx+c>0 a>0) 或ax +bx+c<0(
（2）判别式△与0的关系， 求出相应方程的实根X1,X2; （能因式分解的不用判别式△ ） (3)画图对应函数的简图，写出不等式的解集.
一元二次不等式的解法(含参不等式)
（第三课时）
含参数的不等式
1、分式不等式
1 、
f (x) g ( x)
0
f (x) 0 g(x)
2、指数、对数不等式
①当 a 1时
a f (x) ag(x) f (x) g(x)
loga f (x) loga g(x) f (x) g(x) 0
求出 a,b.
题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为
11
( , ), 求a-b 的值.
23
解法一：∵不等式
∴方程 ax2
ax2
bx
bx 2 0的解集为 (
2 0 的两根为 1 , 1
1 2
,
,
1 3
),
23
1
66 a b 10.
题型与解法
（三）逆向问题
变式训练2
若不等式 ax2 bx c 0 的解 集是{x | 1 x 2}，求不等式
3 cx2 bx a 0 的解集.
{x | 3 x 1} 2
课堂练习
1.下列不等式中，解集为实数集R的是（D ）
(A) (x 1)2 0 (B) | x3 8 | 0
(C) | x | 0
(D) x2 2x 3 0
2.当 a 0时,不等式x2 ax 12a2 0 的解是（C）
(A) x 3a或x 4a (B) 3a x 4a
(C) 4a x 3a (D) 3a x 4a
4 a
a1 2
1b
b 2 0, 2 0.
含参的一元二次不等式的解法
含参的一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的二次函数的不等式，其中a, b, c是实数，且a ≠ 0。
解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，但是需要注意的是，不等式的解是满足不等式条件的解集。
下面将介绍一元二次不等式的解法，包括图像法、开方法、配方法、代数法等。
一、图像法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以首先绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并找出函数图像在x轴上方（或下方）的区间。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出y = x^2 - 4x + 3的图像。
首先，找到抛物线的顶点，顶点就是不等式解的中心点。
顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = f(-b/(2a))。
在这个例子中，a = 1，b = -4，c = 3，所以顶点的横坐标为x = -(-4)/(2*1) = 2，纵坐标为y = f(-4/(2*1)) = f(2) = 2^2 - 4*2 + 3= -1。
然后，可以找到函数图像在x轴上方的区间，即函数图像在x < 1和x > 3时，都在x轴上方。
根据图像可知，在x < 1和x > 3时，x^2 - 4x + 3 > 0。
所以，不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解为x < 1或x > 3。
二、开方法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以考虑将不等式转化为以x为未知数的一元二次方程，并求解方程的根，在不等式的根之间的区间满足不等式。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以通过因式分解或配方法得到方程(x - 1)(x - 3) > 0。
根据求解一元二次方程的方法，可以得到方程的两个根为x = 1和x = 3。
含参一元二次不等式的解法步骤
含参一元二次不等式的解法步骤嘿，咱今儿来唠唠含参一元二次不等式的解法步骤哈！这玩意儿就像是个小怪兽，咱得一步步把它给搞定咯！先看看这不等式长啥样，ax²+bx+c＞0 或者 ax²+bx+c＜0 这样的。
那第一步呢，就是得确定这个二次项系数 a 是正还是负呀。
这就好比你要去一个地方，得先搞清楚方向不是？要是 a 是正的，那图像就是个开口向上的抛物线；要是 a 是负的，那就是开口向下咯。
接下来呢，咱就得看看判别式Δ=b²-4ac 啦。
这判别式可重要了去了，就像给这个小怪兽做个体检一样。
要是Δ＞0，那就说明有两个不同的根；要是Δ=0，那就只有一个根；要是Δ＜0，嘿，那可就没根啦！这是不是有点像找宝藏，有的地方有两个宝贝，有的地方就一个，有的地方干脆啥都没有。
然后呢，根据根的情况来求解不等式。
要是有两个根 x1 和 x2，那大于取两边，小于取中间呀。
这就好比你走在路上，两边都能走就是大于，只能在中间走就是小于。
要是只有一个根，那也好办呀，根据不等式的方向来判断。
要是没根呢，那就得看看具体情况咯。
哎呀，你说这解个不等式咋就这么麻烦呢？不过别怕呀，咱就一步一步来，总能把它给解开的。
就像爬山一样，一步一步往上爬，总能爬到山顶的。
举个例子呗，比如说 x²-2x-3＞0。
先看 a 是 1 正的，好嘞，开口向上。
再算判别式，4+12=16＞0，有两个根。
解方程 x²-2x-3=0，得到x=3 或者 x=-1。
那大于取两边，不就是 x＜-1 或者 x＞3 嘛。
你看，这不就解出来啦！解含参一元二次不等式就是这么个过程，虽然有点麻烦，但只要咱有耐心，有细心，就一定能把它搞定！别嫌它难呀，等你掌握了，那感觉可老有成就感了。
加油吧，小伙伴们！咱一定能行！。
含参“一元二次不等式”的求解解题模板
（2）当 ， 时，原不等式变为
若 ，原不等式解集为
若 ，原不等式变为
当 ，原不等式解集为 或 ．
当 时，
①当 时即 时，原不等式解集为
②当 即 时，原不等式解集为
③当 时，原不等式解集为
【点睛】本题考查解一元二次不等式，含有参数时要分类讨论．掌握一元二次不等式的解集与一元二次方程的根、二次函数的图象之间的关系是解题基础．
【点睛】此题考查了一元二次不等式的解法，考查含参数的一元二不等式，考查分类讨论的思想，考查了计算能力，属于中档题.
5.解关于 的不等式:
【解析】由 则
因为 ，故对 分情况讨论
当 时，则 ，所以 ，不等式的解集为
当 时，由 ，不等式的解集 或
当 时，不等式的解集为 或
当 时，不等式的解集为
当 时，不等式的解集为
【解析】
【详解】由 ，整理可得（1－ ） －2bx+ >0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有1－ <0，此时 >1，而0<b<1+a，故a>1，
由不等式 <0解得
即 要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3< <－2，由 <－2得－b<－2（a－1），则有a< +1，即a< +1< +1，解得a<3，由－3< 得3a－3>b>0，解得a>1，则1<a<3．
当 时，不等式的解集为 或
当 时，不等式的解集为 且
当 时，不等式的解集为 或
【点睛】本题考查的是含参的分式不等式的解法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
∵关于 的方程
存在三个不等实根，
∴方程
有两个根，且一正一负，且正根在区间
令
，
内．
则有
，解得
．
∴实数 的取值范围是
．选 C．
点睛：
解答本题时，根据所给函数的特征并利用换元的方法将问题化为方程根的问题处理，然后结合二次方程根
的分布情况再转化成不等式的 问题解决．对于本题中的
根的情况，还要根据数形结合根据两函
个，则有 1－ a2 <0，此时 a2 >1，而 0<b<1+a，故 a>1，
由不等式 a2 1 x2 2bx b2 <0 解得
2b 2ab x 2b 2ab , 即 b x b 1 要使该不等式的解集中的整数恰有 3 个，那么－
2 a2 1
2 a2 1
a 1
a 1
2020 年
数图象交点的个数来判断．
5．若“
”是“
”的充分而不必要条件，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
2020 年
B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式 4k 2 4(k 2 k) 4k ，
(1)当 k=0 时， 0, x R . (2)当 k＞0 时，△＜0，x R .
(3)当 k＜0 时， 0, x k k或x k k .
第三步 ，得出结论：
综上所述，k 的取值范围是： k 0或 1 k 0.
考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.
【变式演练 3】已知 a 0 ，解关于 x 的不等式 ax2 (a 2)x 2 0 ．
【答案】当 a 2时，{x | x＜- 2 或x＞1} ；当 a 2 时，x x 1；当 2 a 0时，{x | x＜1或x＞- 2} ．
a
【名师点睛】求解本题的关键是判断出 x2 2x 3 (x 1)2 2 2 0 . 本题也可以解出各个不等式，再
比较解集.此法计算量较大.
【反馈练习】
1．已知函数
，集合
，集合
，若
，则实数 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
点睛：本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题；设集合
例 2 解关于 x 的不等式 ax2 (a 1) x 1 0 （ a 为常数且 a 0 ）.[来源:Z§xx§k .Com]
【答案】a 0 时 不等式的解集为 ( 1 ,1) ； 0 a 1时不等式的解集为 (,1) ( 1 ,) ；a 1时不等式
a
a
的解集为 (,1) (1,) ； a 1时不等式的解集为 (, 1 ) (1,) . a
可求出不等式的解集．学*科网
【变式演练 1】【河南省平顶山市 2017-2018 学年期末调研考试高二理科数学】若不等式
对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是（ ）[来源:学科网ZXXK]
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【变式演练 2】已知 p ： x1 和 x2 是方程 x2 mx 2 0 的两个实根，不等式 a2 5a 3 | x1 x2 | 对任意
第二步 分别求出其对应的不等式的解集； 第三步 得出结论.
例 1 已知关于 x 的不等式 ax2 3x 2 0 (a R) .
（1）若不等式 ax2 3x 2 0 的解集为{x | x 1或x b} ，求 a,b 的值．
（2）求不等式 ax2 3x 2 5 ax (a R) 的解集
【答案】D[来源:学.科.网 Z.X.X.K]
【解析】设 p ： x3 4x 0 的解集为 A，所以 A={x|-2≤x＜0 或 0＜x≤2},设 q ： x2 2m 1 x m2 m 0
2x
的解集为 B，所以 B={x|m≤x≤m+1},由题知 p 是 q 的必要不充分条件，即得 B 是 A 的真子集，所以有
m0 {
0 m 1或{m 1 0 2 m 1.
m1 2
m 2
综合得 m∈2, 1 0,1 ，故选 D. 学*科网
2020 年
3．已知集合 M x | 1 x 2， N x | x2 mx 0 ，若 M N x | 0 x 1，则 m 的值为（ ）
A． 1 B． -1 C． 1 D． 2
考点：一元二次不等式的解法.
【点评】（1）本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知 ax2 3x 2 0 的
两根为 x 1或x b ，且 a 0 ，根据根与系数的关系，即可求出 a, b 的值．（2）本题考察的是解含参一元
二次不 等式，根据题目所给条件和因式分解化为 ax 3 x 1 0 ，然后通过对参数 a 进行分类讨论，即
ax2 bx c 0(a 0) 的解集，先研究 b2 4ac ，按照 0 ， 0 ， 0 三种情况分别处理，
具体可结合二次函数图像直观写出解集. 学科*网 2.已知关于 x 的不等式 x2－ax＋2a＞0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是_______．[来源:学+科+网] 【答案】（0,8） 【解析】试题分析：因为不等式 x2-ax+2a＞0 在 R 上恒成立． ∴△=（-a）2-8a＜0，解得 0＜a＜8 故答案为：（0，8） 考点：一元二次不等式的应用，以及恒成立问题
若 a 1， 0 1 1，不等式的解集为 (, 1 ) (1,) 学*科网
a
a
试题分析： ax2 (a 1)x 1 0 a(x 1)(x 1) 0 ,先讨论 a 0 时不等式的解集；当 a 0 时，讨论1 a
与 1 的大小，即分 0 a 1， a 1， a 1分别写出不等式的解集即可. a
由①②可得 a 的取值范围为 a 1 ．学*科网[来源:学科网]
2020 年
考点：命题真假性的应用
类型二 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类
使用情景：一元二次不等式可因式分解类型 解题模板：第一步 将所给的一元二次不等式进行因式分解；
第二步 比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论； 第三步 得出结论.
2020 年
含参“一元二次不等式”的解法
【高考地位】
解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问 题的一个难点. 在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.
【方法点评】 类型一 根据二次项系数的符号分类
使用情景：参数在一元二次不等式的最高次项 解题模板：第一步 直接讨论参数大于 0、小于 0 或者等于 0；
，根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系结合
，
得出 和
，即可求出实数 的取值范围.
2．设 p ： x3 4x 0 ， q ： x2 2m 1 x m2 m 0 ，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的
2x
取值范围为（ ）
A． 2,1 B． 3,1 C． 2,0 0,1 D． 2,1 0,1
第二步
讨论判别式大于
0、小于
0
或等于
0
所对应的不等式的解集； [来源:学科网]
第三步 得出结论.
例 3 设集合 A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且 A B，试求 k 的取值范围．
【答案】 k 0或 1 k 0.
【解析】第一步，首先求出不等式所对应方程的判别式：
1 4
。
4.
下列不等式中，与不等式
x2
x 8 2 解集相同的是（ 2x 3
）.
2020 年
A. (x 8)( x2 2x 3) 2
B. x 8 2(x2 2x 3)
C.
x2
1 2x
3
x
2 8
【答案】B[来源:学科网 ZXXK] 【考点定位】同解不等式的判断.
D. x2 2x 3 1 x8 2
实数 m1,1恒成立； q ：不等式 ax2 2x 1 0 有解，若 p 为真， q 为假，求 a 的取值范围．
【答案】 a 1 ∴ 4 4a 0，∴ 1 a 0， ∴不等式 ax2 2x 1 0 有解时 a 1，
q a a 1 ∴ 假时 的范围为
，② [来源:学科网 ZXXK]
【点评】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对 进行分类，或利
用二次函数图像求解.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式 的符号分类.
【变式演练 5】在区间错误!未找到引用源。上,不等式错误!未找到引用源。有解，则错误!未找到引用源。
的取值范围为（ ）
，因为存在
，使不等式
成立，可知
，所以 ，故选 A．学.科网
考点：不等式恒成立问题．
【高考再现】
1.不等式 2x2 x 4 的解集为________.
【答案】 (1, 2). [来源:学科网ZXXK] 【解析】由题意得： x2 x 2 1 x 2 ，解集为 (1, 2). 【考点定位】解指数不等式与一元二次不等式 【名师点晴】指数不等式按指数与 1 的大小判断其单调性，决定其不号是否变号；对于一元二次方程
【答案】（1）a 1,b 2（2）①当 a 0 时，{x x 3 或 x 1} ②当 3 a 0 时，{x 3 x 1} ③当
a
a
a 3时， ④当 a 3时，{x 1 x 3} ⑤ 当 a 0 时，原不等式解集为 x x 1} a
（2）第一步，直接讨论参数大于 0、小于 0 或者等于 0：
a
a
③当 a 3时， 3 1 ， a
④当 a 3时， 3 1 ， {x 1 x 3} 学*科网