高中数学：含参 “一元二次不等式”的解法高中数学黄金解题模板

，因为存在
，使不等式
成立，可知
，所以 ，故选 A．学.科网
考点：不等式恒成立问题．
【高考再现】
1.不等式 2x2 x 4 的解集为________.
【答案】 (1, 2). [来源:学科网ZXXK] 【解析】由题意得： x2 x 2 1 x 2 ，解集为 (1, 2). 【考点定位】解指数不等式与一元二次不等式 【名师点晴】指数不等式按指数与 1 的大小判断其单调性，决定其不等号是否变号；对于一元二次方程
例 2 解关于 x 的不等式 ax2 (a 1) x 1 0 （ a 为常数且 a 0 ）.[来源:Z§xx§k .Com]
【答案】a 0 时 不等式的解集为 ( 1 ,1) ； 0 a 1时不等式的解集为 (,1) ( 1 ,) ；a 1时不等式
a
a
的解集为 (,1) (1,) ； a 1时不等式的解集为 (, 1 ) (1,) . a
考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.
【变式演练 3】已知 a 0 ，解关于 x 的不等式 ax2 (a 2)x 2 0 ．
【答案】当 a 2时，{x | x＜- 2 或x＞1} ；当 a 2 时，x x 1；当 2 a 0时，{x | x＜1或x＞- 2} ．
a
B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式 4k 2 4(k 2 k) 4k ，
(1)当 k=0 时， 0, x R . (2)当 k＞0 时，△＜0，x R .
(3)当 k＜0 时， 0, x k k或x k k .
第三步 ，得出结论：
综上所述，k 的取值范围是： k 0或 1 k 0.
数图象交点的个数来判断．
5．若“
”是“
”的充分而不必要条件，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
2020 年
个，则有 1－ a2 <0，此时 a2 >1，而 0<b<1+a，故 a>1，
由不等式 a2 1 x2 2bx b2 <0 解得
2b 2ab x 2b 2ab , 即 b x b 1 要使该不等式的解集中的整数恰有 3 个，那么－
2 a2 1
2 a2 1
a 1
a 1
2020 年
【答案】（1）a 1,b 2（2）①当 a 0 时，{x x 3 或 x 1} ②当 3 a 0 时，{x 3 x 1} ③当
a
a
a 3时， ④当 a 3时，{x 1 x 3} ⑤ 当 a 0 时，原不等式解集为 x x 1} a
（2）第一步，直接讨论参数大于 0、小于 0 或者等于 0：
可求出不等式的解集．学*科网
【变式演练 1】【河南省平顶山市 2017-2018 学年期末调研考试高二理科数学】若不等式
对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是（ ）[来源:学科网ZXXK]
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【变式演练 2】已知 p ： x1 和 x2 是方程 x2 mx 2 0 的两个实根，不等式 a2 5a 3 | x1 x2 | 对任意
【点评】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对 进行分类，或利
用二次函数图像求解.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式 的符号分类.
【变式演练 5】在区间错误!未找到引用源。上,不等式错误!未找到引用源。有解，则错误!未找到引用源。
的取值范围为（ ）
，根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系结合
，
得出 和
，即可求出实数 的取值范围.
2．设 p ： x3 4x 0 ， q ： x2 2m 1 x m2 m 0 ，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的
2x
取值范围为（ ）
A． 2,1 B． 3,1 C． 2,0 0,1 D． 2,1 0,1
【名师点睛】求解本题的关键是判断出 x2 2x 3 (x 1)2 2 2 0 . 本题也可以解出各个不等式，再
比较解集.此法计算量较大.
【反馈练习】
1．已知函数
，集合
，集合
，若
，则实数 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
点睛：本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题；设集合
A．
B．
C．
D．
【答案】C
∵关于 的方程
存在三个不等实根，
∴方程
有两个根，且一正一负，且正根在区间
令
，
内．
则有
，解得
．
∴实数 的取值范围是
．选 C．
点睛：
解答本题时，根据所给函数的特征并利用换元的方法将问题化为方程根的问题处理，然后结合二次方程根
的分布情况再转化成不等式的 问题解决．对于本题中的
根的情况，还要根据数形结合根据两函
a
a
③当 a 3时， 3 1 ， a
④当 a 3时， 3 1 ， {x 1 x 3} 学*科网
a
a
第三步，得出结论：
综上所述，原不等式解集为①当 a 0 时，{x x 3 或 x 1} ；②当 3 a 0 时，{x 3 x 1}
a
a
③当 a 3时， ；④当 a 3时，{x 1 x 3} ；⑤当 a 0 时，原不等式解集为 x x 1}. a
第二步
讨论判别式大于
0、小于
0
或等于
0
所对应的不等式的解集； [来源:学科网]
第三步 得出结论.
例 3 设集合 A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且 A B，试求 k 的取值范围．
【答案】 k 0或 1 k 0.
【解析】第一步，首先求出不等式所对应方程的判别式：
ax2 bx c 0(a 0) 的解集，先研究 b2 4ac ，按照 0 ， 0 ， 0 三种情况分别处理，
具体可结合二次函数图像直观写出解集. 学科*网 2.已知关于 x 的不等式 x2－ax＋2a＞0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是_______．[来源:学+科+网] 【答案】（0,8） 【解析】试题分析：因为不等式 x2-ax+2a＞0 在 R 上恒成立． ∴△=（-a）2-8a＜0，解得 0＜a＜8 故答案为：（0，8） 考点：一元二次不等式的应用，以及恒成立问题
【答案】A
【 解 析 】 由 M x | 1 x 2 ，
N x | x2 mx 0 ， 且 M N x | 0 x 1 ， 得
N x | 0 x 1，又由 x2 mx 0 ，则必有 m 0，且 0 x m ，所以 m 1.故选 A.
4．若关于 的方程
存在三个不等实根，则实数 的取值范围是
【答案】D[来源:学.科.网 Z.X.X.K]
【解析】设 p ： x3 4x 0 的解集为 A，所以 A={x|-2≤x＜0 或 0＜x≤2},设 q ： x2 2m 1 x m2 m 0
2x
的解集为 B，所以 B={x|m≤x≤m+1},由题知 p 是 q 的必要不充分条件，即得 B 是 A 的真子集，所以有
若 a 1， 0 1 1，不等式的解集为 (, 1 ) (1,) 学*科网
a
a
试题分析： ax2 (a 1)x 1 0 a(x 1)(x 1) 0 ,先讨论 a 0 时不等式的解集；当 a 0 时，讨论1 a
与 1 的大小，即分 0 a 1， a 1， a 1分别写出不等式的解集即可. a
由①②可得 a 的取值范围为 a 1 ．学*科网[来源:学科网]
2020 年
考点：命题真假性的应用
类型二 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类
使用情景：一元二次不等式可因式分解类型 解题模板：第一步 将所给的一元二次不等式进行因式分解；
第二步 比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论； 第三步 得出结论.
实数 m1,1恒成立； q ：不等式 ax2 2x 1 0 有解，若 p 为真， q 为假，求 a 的取值范围．
【答案】 a 1 ∴ 4 4a 0，∴ 1 a 0， ∴不等式 ax2 2x 1 0 有解时 a 1，
q a a 1 ∴ 假时 的范围为
，② [来源:学科网 ZXXK]
A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!
未找到引用源。
【答案】C
考点：一元二次不等式定区间定轴问题.
【变式演练 6】 【2018 湖北襄阳四中高三六月全真模拟一数学（文）试卷】若存在
，使不等式
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2020 年
【答案】A 【解析】 试题分析：设
3. x2 x a 1 a 0 有实根，则 a 的取值范围是
。
4
【答案】
0,
1 4
【解析】本题考查二次方程有关知识与绝对值不等式知识的综合应用；由于关于 x 的二次方程有实根，那么
1 4
a1 4
a
0
即
a1 4
a
百度文库
1 4
，而
a1 4
a
2a
1 4
，从而
2a 1 4
1 4
，解得 0 a
m0 {
0 m 1或{m 1 0 2 m 1.
m1 2
m 2
综合得 m∈2, 1 0,1 ，故选 D. 学*科网
2020 年
3．已知集合 M x | 1 x 2， N x | x2 mx 0 ，若 M N x | 0 x 1，则 m 的值为（ ）
A． 1 B． -1 C． 1 D． 2
2020 年
含参“一元二次不等式”的解法
【高考地位】
解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问 题的一个难点. 在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.
【方法点评】 类型一 根据二次项系数的符号分类
使用情景：参数在一元二次不等式的最高次项 解题模板：第一步 直接讨论参数大于 0、小于 0 或者等于 0；
第二步 分别求出其对应的不等式的解集； 第三步 得出结论.
例 1 已知关于 x 的不等式 ax2 3x 2 0 (a R) .
（1）若不等式 ax2 3x 2 0 的解集为{x | x 1或x b} ，求 a,b 的值．
（2）求不等式 ax2 3x 2 5 ax (a R) 的解集
1 4
。
4.
下列不等式中，与不等式
x2
x 8 2 解集相同的是（ 2x 3
）.
2020 年
A. (x 8)( x2 2x 3) 2
B. x 8 2(x2 2x 3)
C.
x2
1 2x
3
x
2 8
【答案】B[来源:学科网 ZXXK] 【考点定位】同解不等式的判断.
D. x2 2x 3 1 x8 2
3<
b
<－2，由
b
<－2
得－b<－2（a－1），则有
a<
b
+1，即
a<
b
1
+1<
a
+1，解得
a<3，由－3<
b
a 1
a 1
2
2
2
a 1
得 3a－3>b>0，解得 a>1，则 1<a<3．学&科网
类型三 根据判别式的符号分类
使用情景：一般一元二次不等式类型
解题模板：第一步 首先求出不等式所对应方程的判别式；
不等式为 ax2 a 3x 3 0 ，即 ax 3x 1 0
第二步，分别求出其对应的不等式的解集：
当 a 0 时， 原不等式的解集为x | x 1；
当a
0 时，方程 ax
3x
1
0 的根为
x1
3 a
,
x2
1 ；
2020 年
所以当
a
0 时，
x
|
x
3 a
或x
1
；
②当 3 a 0时， 3 1 ， {x 3 x 1}
a
考点：一元二次不等式．
【变式演练 4】【2018 重庆高三理科数学不等式单元测试卷】已知 0<b<1+a，若关于 x 的不等式（x－b）2>
（ax）2 的解集中的整数恰有 3 个，则（ ）
A． －1<a<0 B． 0<a<1 C． 1<a<3 D． 3<a<6
【答案】C
【解析】由 x b2 ax2 ，整理可得（1－ a2 ） x2 －2bx+ b2 >0，由于该不等式的解集中的整数恰有 3
考点：一元二次不等式的解法.
【点评】（1）本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知 ax2 3x 2 0 的
两根为 x 1或x b ，且 a 0 ，根据根与系数的关系，即可求出 a, b 的值．（2）本题考察的是解含参一元
二次不 等式，根据题目所给条件和因式分解化为 ax 3 x 1 0 ，然后通过对参数 a 进行分类讨论，即