待定系数法巧求数列的通项公式

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待定系数法求数列通项公式

待定系数法求数列通项公式例題h在数列0｝中，O, - 1,--兀+1,试求其通项金弍，分折*显然,这不是等差豉等比数列，但如果在。

杠=2务+ 1的两迪同对工I上1,整理为+ 1 =2（^+1）.此时,把％"1和4+1看f乍1个整体#或者换元F令如!=%W，那么毎F +打即b^ = 2b ar E"］+l = 2・因此，数列｛耳+1｝或何｝就是以2为首项，以2为公土的筈土散列5 + 1-二或者阮".进一步求出a… = 2H-K启示；在送个何鬆中，容易看出空左苔两边帕上1就枸或了新的等比数歹［0十那不谢看出在左右两边该忙4后枸成新的等比数列时，该怎么办呢？其实，已知％］=加”十1,可变形为十2 = 2（比-心的形式.慝后履幵括号、移项后再与=2%亠1拒比较，利用待定系数法可得昭= L t这榕对于形如片七（其中严彳为羔蛻且驹*0屮*1〉的逵推数列，先变为心：+ —庶斗十心比形式，展开“移匝利弔行定系晝注有3」1）口・2=宀P-1菲七）p -1 P —1匹数列鼻+—M首项为町旦座比为卩的笔比数见I 戶―p-1那么.芝g 变为/(«),/(«)是关于川非零多项弍时.该怎么办呢？是否也能运冃待定系数法呢?二 a” [Jpa 尸十qn+r (pg*O ・Ep#l)型例題2.在数列Q}中，a=l,^：= 2厲+ 3卄1,试求其通项公式。

分析，按照例题1的思路，左两边既妄切上某一常数同时也妾加上n 的倍数，才能便新的数列有一致的形式C 先变为弘.:+弘十1)一2 = 2(6十如十1,畏开比较得2 = 3•即ai + 3(M + l) = 2g+3n)+4进一步a”i + 3(n +1) + 4 = 2(a w — 3n + 4)则数列匕十3—4｝是a ：十3x1-4 =8苣坝为色十3x1 + 4 = 8公比为2的等比数列，所以同样，形如二叫十驴+ r 的违推数列，设+x{n+l)+y- pia^xn^y)展开.移项、整理，比较对应系数胡尊，歹［岀方程［9；叹・？X N ---解得 <P 」x +尸 q rv- - 2~y -+ - r P-i (P-ir P -I即 4心1 + g («+o + ?宀 +r= q 幺 +z (p-ir P 丿 L的等比数列，于是就可以进一步求出｛q ｝的通项•因此.形如巧="严这—类型的数列.都可以利用待定系数法来求解.则数列"Q+畀厂話是以鳥严二为首项,以卩为公比5 g jp_l (p — L)・ p —l-叵理，若= 其中/(“)是关于n的多项弍时，也可以构造新的等乂数列,利用待定系数法求岀其通项。

用待定系数法巧解数列的通项公式

易得口一～４．所以
ａ一一４ ×３一＋４咒＋３．
ｌ６一
ａｌ１一
ａ２
Ｚ１一２
下面用数学归纳法证明这一定理：
例２在数列（以｝中，已知ａ－３，对丸 ∈
，ａ＋１＝２ａ＋５ ×３ ” ，求ａ．解设
第３４卷第１期
２０１５年１月
数学教学研究
６３
用待定系数法巧解数列的通项公式
汪科
７４３０００）（甘肃省定西市安定区福台中学
在高中数学教学中，求解数列的通项公式是一个棘手的问题，许多学生因为其推理难度大，总掌握不好，为了解决这一问题，经过归纳，我总结出用待定系数法求几类常见题型数列的通项公式的方法，希望能给正在
ｎ一口硝～＋６ｚ２一．
又当咒一１时，口０＝ｎ＋６＋ｃ，从而
一
一卫
— — —
ｒ — －ｑ－ｐｒ —
‘
收稿日期：２０１４ — ０９－３０
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数学教学研究
第３４卷第１期
２０１５年１月
ｑ为已知常数，７ｚ ∈ ），若关于的方程Ｘ
Ｉ【，一＝垡二
（１－ｐ）。’
＋户＋口一Ｏ存在不等实数根和ｚｚ，则存在唯一实数ａ，ｂｙ使得ａ一ｎ＋６＿。．证明假设存在实数以，６，使得
ｎ－－－２ ” 一０＋３ ” 一ｂ，

用待定系数法求解递推数列的通项公式

用待定系数法求解递推数列的通项公式
1待定系数法概述
待定系数法（待实例后，又称勒让德法）是一种求解递推数列通项公式的数学方法。

它以建立恰当的通项公式和找出隐含其中的待定系数为任务来处理数学问题。

因此，它属于一种推广了线性代数知识的计算方法，能够解决较为复杂的数列序列求解问题。

2基本步骤
第一步：准备递推数列，也就是给足够的项，然后依此保持一定的规律，确定n的范围，比如n的取值从0开始，一直到n-1；
第二步：将所有系数都放回到等式左边，将等号右边的数字转化为系数，并写作公式的右边：
第三步：用矩阵解法求解。

假设A=（aij），B=（bi）是m方系数矩阵和m向量，其中i、j可取从1到m，那么求解相应线性代数方程组AX=B，则X=AB-1；
第四步：最后将得到的X中所有的数给出，即得出该递推数列的通项公式。

3示例及应用
以下例子来说明如何使用待定系数法求解递推数列的通项公式：例如：求数列an的通项公式
由给定的递推关系an=an-1-1，可得a0=1
根据待定系数法求解，设an=a0xn：
a0xn=a0x(n-1)-1
化简成：xn-xn-1=-1
可以得出答案：an=a0(xn+1)=a0[(1/2)(-1)n+1]
它最简之形式便是an=1+[(-1/2)n]
待定系数法广泛用于建模和求解相关数列问题，也可用于研究不同类型的递推关系，如定组成规律、数值递推关系、数学表达式和函数表达式等。

有时可以用来解决具有特殊条件的复杂系统，比如比较整数组的格局，或者计算连续随机变量的概率分布等。

待定系数法求特殊数列的通项公式

待定系数法求特殊数列的通项公式其基本原理是递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列。

第一类别：a n =Aa n -1+B例1:设x 1=2,且x n =5x 1-n +7.求数列的通项公式解：所给的递推公式可变形为x n +m=5x 1-n +7+m=5(x 1-n +557m +),令m=557m +.则m=47 于是x n +47 =5(x 1-n +47)，{ x n +47}是等比数列，其首项为x 1+47=415,公比为q=5.于是x n +47＝415·51-n所以，x n ＝415·51-n －47例2:设x 1=1,且 x n =52311+--n n x x （n=2，3，4，…）求数列｛x n ｝的通项公式解：所给的递推公式可变为：323511+=-n n x x )53521(3511mx m x n n ++=+-,令m=5352m +,则m=1 于是)11(35111+=+-n n x x 。

{11+n x }是等比数列，其首项是111+x =2,公比是q=35于是11+n x =2（35）n -1 。

所求的x n =1113523----∙n n n第二类别：a n =Aa n -1+Ba n -2例3:设x 1=1，x 2=5,x n =13x n -1-22x n -2,（n=3,4,…）求数列｛x n ｝的通项公式解：所给的递推公式可变为x n +mx n -1=（m+13）x n -1-22x n -2=（m+13）（x n -1-1322+m x n -2）令m=-1322+m ，则m=－2,或m=－11于是x n -2x n -1=11（x n -1-x n -2）,x n -11x n -1=2(x n -1-x n -2)｛x n -2x n -1｝，｛x n -11x n -1｝都是等比数列，其首项与公比分别为x 2-2x 1=3,q=11。

用待定系数法求数列的通项公式

用待定系数法求数列的通项公式给出数列的递推公式求数列通项公式，常用到待定系数法，就是设法在原递推式中增添适当的项，进而把它转化为一个等比数列的递推公式，这种方法应用广泛，易于掌握。

现举例说明。

（其中,,,p q r s 为常数）题型一：1n n a pa q +=+型例1 在数列}{n a 中，11=a ，831+=+n n a a ，求数列的通项公式。

分析：为使原递推式两端项数相同，并能满足同一对应关系，可知应在左端添加常数项，故需设待定系数x ，将原递推式恒等变形。

解：∵831+=+n n a a ∴ x a x a n n ++=++831 ∴)38(31x a x a n n ++=++，应使1n a x ++与83n x a ++满足同一函数()n f n a λ=+的对应关系，以便化为等比数列求解。

可令83x x +=，所以4x =，∴143(4)n n a a ++=+。

∴数列{4}n a +是首项145a +=，公比为3的等比数列。

故1453n n a -+=⋅ ∴1534n n a -=⋅+。

掌握了这个基本思想，我们就可以用同样的方法做下面的几个例题。

题型二：1n n a pa rn s +=++型与11n n n a pa r q s ++=+⋅+型。

例2．在数列}{n a 中，已知1117,5234n n n a a a ++==+⋅-，求数列}{n a 的通项公式。

分析：为使原递推式两端的项数相同，并满足同一种对应关系，在左端应添加含23n +的项和常数项，故需设两个待定系数,x y ，将原式恒等变形。

解：115234n n n a a ++=+⋅- ∴2121352334n n n n n a x y a x y ++++++=+⋅++- 即：211(23)435[3]55n n n n x y a x y a ++++-++=+⋅+，应使该等式两侧满足同一函数1()3n n f n a λμ+=+⋅+的对应关系，以便求解，可令(23)4,55x y x y +-==，∴1,1x y ==，∴211315(31)n n n n a a +++++=++，于是数列1{31}n n a ++-是首项为15，公比为5的等比数列。

求数列的通项公式(教师版)

求数列的通项公式(教师版)1、数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2、数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1或a n +1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．3、由数列的递推公式求数列的通项公式的常见方法(1)待定系数法：①形如a n ＋1＝ka n ＋b 的数列求通项；②形如a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 的数列求通项；(2)倒数法：形如a n ＋1＝pa nqa n ＋r的数列求通项可用倒数法；(3)累加法：形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列求通项可用累加法；(4)累乘法：形如a n ＋1a n＝f (n )的数列求通项可用累乘法；(5) “S n ”法：数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.；S n 与a n 的混合关系式有两个思路：①消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；②消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .考向一待定系数法例1—1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求数列{a n }的通项公式。

解：设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )即a n ＋1＝2a n －t ⇒t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n＋3)，令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列，则b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.例1—2 在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n ，数列{a n }的通项公式。

巧用待定系数法求an +1 =pan +q 型递推数列通项公式

纵观近年的高考试题可以发现,求形如a n+1=pan+q()p≠0，q≠1的递推数列的通项公式问题出现的频率越来越高，这类题目恰恰是很多同学常常丢分的题目.而待定系数法是解答此类问题的有力“武器”.本文将结合实例来探讨一下用待定系数法求a n+1=pan+q型递推数列的通项公式的思路.用待定系数法求形如a n+1=pa n+q()p≠0，q≠1递推数列的通项公式，需先引入一个待定系数k,使an+1+k=p()a n+k,将其化简可得a n+1=pa n+()p-1k，然后将这个式子与原数列递推式对比可以求得k=qp-1，于是便构造出一个形如{}an+qp-1的等比数列.通过计算可求得该数列的首项为a1+q p-1，公比为p.那么我们就可以运用等比数列的通项公式来求出{}an+qp-1的通项公式,进而得到原数列的通项公式a n=æèçöø÷a1+q p-1p n-1-q p-1.例1.已知数列{}a n中a1=2，a n+1=(2-1)(a n+2)，n∈N.求数列的通项公式.解:设a n+1+t=()2-1()a n+t，将其展开可得()2-2t=2()2-1，由a n+1=()2-1()a n+2得t=-2，则a n+1-2=()2-1()a n-2，所以数列{}an-2是首项为2-2，公比为2-1的等比数列，故a n-2=2()2-1n，所以a n=2()2-1n+2，即{}a n的通项公式为a n=2éëêùûú()2-1n+1.通过引入待定系数t,便构造出首项为2-2，公比为2-1的等比数列,根据等比数列的通项公式便可求出原数列的通项公式.例2.在数列{}a n中，a1=3，a n+1=2a2n()n∈N*，求数列{}a n的通项公式.解:在a n+1=2a2n的两边取对数可得lg a n+1=lg2a2n，即lg a n+1=2lg a n+lg2.令b n=lg a n，则b n+1=2b n+lg2.设b n+1+t=2()b n+t，则t=lg2，可得b n+1+lg2=2()b n+lg2，所以数列{}b n+lg2是首项为lg3+lg2，公比为2的等比数列，所以b n+lg2=()lg3+lg22n-1，即b n=()lg6∙2n-1-lg2，所以lg an=lg62n-1-lg2=lg62n-12，即a n=62n-12.由a n+1=Aa m n()A>0，an>0，m为常数递推式求数列的通项公式,我们需先将递推式变形,即在递推式两边取对数,以便将指数m消去，把递推式转化为an+1=pa n+q的形式,再引入一个待定系数，将其构造成一个新的等比数列的通项，借助等比数列的通项公式求得结果.例3.在数列{}a n中，a1=2，a n=4a n-1+2n，求数列{}a n的通项公式.解:在a n=4a n-1+2n的两边同除以2n,可得an2n=2a n-12n-1+1，令b n=2b n-1+1,则b n+1+1=2()b n-1+1,则{}b n+1是以b1+1=a12+1=2为首项，以2为公比的等比数列.所以b n+1=2∙2n-1=2n，所以b n=2n-1，即a n2n=2n-1，所以a n=4n-2n.对于形如a n+1=pa n+q n()p≠1，q≠0的数列递推式，在求其通项公式时,我们需将q n转化,可以在等式两边同时除以q n，再令b n=a n+1q n，这样便构造出等比数列{}b n+1,求得数列{}b n+1的通项公式，便能快速求得数列{}a n的通项公式.用待定系数法求a n+1=pa n+q型递推数列的通项公式的关键是通过引入待定系数,构造出等比数列.当出现较为复杂的数列递推式时,我们要先将递推式进行适当的变形,如取对数、取倒数等，将其转化为an+1=pa n+q的形式，然后用待定系数法来解题.（作者单位：江苏省无锡市第三高级中学）巧用待定系数法求a n+1=pa n+q孙成成学考方略50Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

《求数列通项公式的“待定系数法”和“特征方程法”》的说明

《求数列通项公式的“待定系数法”和“特征方程法”》的说明以下例题是讨论“待定系数法”和“特征方程法”，有些例题涉及其他解题方法，这边不作讨论。

一、待定系数法（一）关于“待定系数法”应用条件。

适用于形如)(1n f qa a n n +=+表达式，应注意以下几点： 1、1+n a 的系数必须为“1”，若不为“1”必须化为“1”；2、n a 的系数1≠q ，若为“1”则不能用“待定系数法”，而是视情况可用“累加法”等求通项公式。

注意：n a 的系数q 必须是1+n a 的系数化为“1”后确定的系数。

（二）关于)(n f 的说明。

)(n f 是函数型表达式))((R x x f ∈的一个特殊函数，)(n f 的定义域+∈N n ，x 是连续型变量，n 是离散型变量。

)(n f 可以是常数型、一次函数型、二次函数型、指数函数型等等1、)(n f 可以是常数，如d n f =)(；2、)(n f 可以是一次函数型，如rn n f c rn n f =+=)(,)(；3、)(n f 可以是二次函数型，如2222)(,)(,)(,)(rn n f d rn n f cn rn n f d cn rn n f =+=+=++=；4、)(n f 可以是指数函数型，如n qr n f =)(；等等。

其中rn n f =)(是不完整一次函数型表达式，完整的一次函数型表达式是c rn n f +=)(；222)(,)(,)(rn n f d rn n f cn rn n f =+=+=是不完整的二次函数型表达式，完整的二次函数型表达式是dcn rn n f ++=2)(。

（三）关于要转化为形如)(1n f qa a n n +=+标准形式的说明。

是指： ①)1(1－－n f qa a n n +=，设1+=n n 代入化为)(1n f qa a n n +=+； ②)1(1++=n f qa a n n －，设1+=n n 代入化为)2(1++=+n f qa a n n ； ③)(21n f qa a n n +=－－，设2+=n n 代入化为)2(1++=+n f qa a n n ； ④)1(21++=n f qa a n n －－，设2+=n n 代入化为)3(1++=+n f qa a n n ； ⑤)2(21－－－n f qa a n n +=，设2+=n n 代入化为)(1n f qa a n n +=+；⑥标准式或化为标准式后，左边1+n a 有系数，如)0)((1≠+=⋅+r n f qa a r n n ，要把1+n a 的系数化为“1”，即要把表达式)0)((1≠+=⋅+r n f qa a r n n 化为“)0()(1≠+=+r rn f a rqa n n ”。

例析用待定系数法求几类递推数列的通项公式_陈增武

例析用待定系数法求几类递推数列的通项公式_陈增武待定系数法是一种常见的求解递推数列通项公式的方法，通过假设数列的通项公式并利用递推关系逐步确定待定系数的值。

本文将以几类典型的递推数列为例，详细阐述待定系数法的应用。

首先考虑等差数列：数列的通项公式一般形式为 an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

假设数列的通项公式为 an = an-1 + d，其中d为公差。

根据递推关系an = an-1 + d，我们可以令an = a1 + (n-1)d，再将an-1 = a1 + (n-2)d代入等式中，经过化简得到 an = a1 +(n-1)d，即数列的通项公式。

其次考虑等比数列：数列的通项公式一般形式为 an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

假设数列的通项公式为 an = a1 * q^n ，其中q为公比。

根据递推关系an = a1 * q^n，我们可以令an = a1 * q ^ (n-1)，再将an-1 = a1 * q ^ (n-2)代入等式中，经过化简得到 an =a1 * q ^(n-1)，即数列的通项公式。

再次考虑斐波那契数列：数列的通项公式一般形式为 an = an-1 +an-2，其中a1 = 1，a2 = 1、假设数列的通项公式为 an = ax ^ n + by ^ n，其中x、y为待定系数。

根据递推关系an = an-1 + an-2，我们可以令an = ax ^ (n-1) + by ^ (n-1)，再将an-1 = ax ^ (n-2) + by ^ (n-2)、an-2 = ax ^ (n-3) + by ^ (n-3)代入等式中，经过化简得到 an = (x + y) * (ax ^ (n-2) + by ^ (n-2)) - aux^(n-3) - by^(n-3)，即数列的通项公式。

最后考虑二次递推数列：数列的通项公式一般形式为 an = a1 * n^2 + b1 * n + c1，其中a1、b1、c1为常数。

用待定系数法求an+1=qan+f(n)类递推数列通项公式的技巧

用待定系数法求an+1=qan+f(n)类递推数列通项公式的技巧
伴随着互联网科技的发展，群体的智慧逐步被推广和释放，越来越多的学习者
和工作者正在潜心研究如何有效地解决数学递推问题。

今天我们来学习一种求解递推数列通项公式的经典方法：待定系数法。

待定系数法用于求解形式为an+1=qan+f(n)的递推数列的通项公式，其原理是
将递推式变形，令an+1−qan=f(n)=(f1,f2,...，fn)T，可以推出
an+1−∑n−1k=1a(n−k+1)q(k−1)=(f1,f2,...，fn)T，有n个未知数a1,a2,...，an，构成一个n阶方程组，可用解联立方程的办法求出构成的递推数列的通项公式。

那么，该如何使用待定系数法呢？首先，理清题目中递推式的形式，即
an+1=qan+f(n)；然后，将递推式变形，令an+1−qan=f(n)=(f1,f2,...，fn)T；再
把联立方程构成的n阶方程组展开，然后就可以用解联立方程的方法求得构成递推数列的通项公式了。

最后，实际应用中，待定系数法用来求解递推数列的通项公式是十分有效的，
然而在使用过程中也有一些注意事项。

首先，待定系数法只能用于求解形式为
an+1=qan+f(n)的递推数列；其次，当求解的递推数列有多重解时，应另行作出选择；最后，求解联立方程这一步骤可能存在求解困难，因此要对待定系数法应用时要慎重。

总结起来，待定系数法是求解递推数列通项公式的有效方法，尤其在互联网科
技领域，有助于提高程序开发者和算法工程师的处理能力，取得更佳的研究成果。

浅谈用待定系数法求数列通项公式

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3
a1与通项an公式.
2. （2009年全国Ⅱ理科卷）设数列{an}的前n项
和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2.
（1）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
筲参考答案
1. a1=2，an=4n-2n.
2.（1）证略，{bn}是以3为首项，2 为公比的等比
恰恰是解题的关键所在. 实际上是利用了待定系数
法得以实现.
设an-san-1=t（an-1-san-2），即an=（s+t）an-1-stan-2，比较
≥ 系数，得 ss+t=t-=32，，所以s，t是一元二次方程x2-2x-3=0的
≥ ≥ 两根，解得
st==-31，或
s=-1， t=-3.
因此，便得到 an - 3an-1=-（an-1-3an-2）以及an+an-1=
3（an-1+an-2）这两个关键的式子.
下面，我们来看看由此演变出来的各个高考试
题或模拟试题.
例 1 （% 2007年天津文科卷第20题）在数列{an}
中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*.证明数列{an-n}是等比数列.
证明设an+1-x（n+1）=4（an-xn），则an+1=4an-3xn+x.
例 4 （% 2005年江西卷）已知数列{an}各项为正
数，且满足a1=1，an+1=
1 2
a（n 4-an）（n∈N*）.
（1）求证：an<an+1<2（n∈N*）；（2）求数列{an}的通项公式.

紧扣递推公式,巧用待定系数法求四类数列通项公式

Җ㊀山东㊀杜㊀谞㊀㊀待定系数法是高中数学中常用的解题方法,常用于求函数解析式㊁向量几何关系㊁数列通项的推导等,其中用待定系数法求数列通项公式是历年高考的高频考点．本文对四类常见递推公式进行简要分析．１㊀a n ＋１＝k a n ＋b c n型当递推公式呈a n ＋１＝k a n ＋b c n型时,构造形如a n ＋１＋m c n ＋１＝k (a n ＋m c n)的新递推公式,然后展开各项,利用待定系数法求出m ,得出数列{a n ＋mc n}是以a １＋m c 为首项,k 为公比的等比数列,从而间接求出数列{a n }的通项公式．例１㊀已知数列{a n }满足a n ＋１＝２a n ＋３ˑ５n,且a １＝６,求数列{a n }的通项公式．分析㊀对于a n ＋１＝k a n ＋b c n型的递推公式,学生可以构造新的递推公式a n ＋１＋m ５n ＋１＝２(a n ＋m５n),用待定系数法求出m 进而求出等比数列{a n ＋m ５n}的通项公式,从而间接求出数列{a n }的通项公式．解㊀由题意得a n ＋１＝２a n ＋３ˑ５n,令a n ＋１＋m５n ＋１＝２(a n ＋m ５n ),则a n ＋１＝２a n －３m ５n,解得m ＝－１．故a n ＋１－５n ＋１＝２(a n －５n ),即{a n －５n}是以１为首项,２为公比的等比数列,故a n －５n ＝２n －１,从而a n ＝２n －１＋５n．令n ＝１,则a １＝２０＋５＝６(符合通项公式)．故{a n }的通项公式为a n ＝２n －１＋５n．２㊀a n ＋１＝k a n ＋b 型当递推公式呈a n ＋１＝k a n ＋b 型时,构造形如a n ＋１＋m ＝k (a n ＋m )的新递推公式,然后展开各项,利用待定系数法求出m ,得出数列{a n ＋m }是以a １＋m 为首项,k 为公比的等比数列,从而间接求出数列{a n }的通项公式．例２㊀已知数列{a n }中,a １＝１,且满足a n ＋１＝３a n ＋１,求{a n }的通项公式．分析㊀由递推公式a n ＋１＝３a n ＋１可以构造出一个新的等比数列,即a n ＋１＋m ＝３(a n ＋m ),利用待定系数法求出m ＝１２,得出数列{a n ＋１２}的通项公式,进而求出{a n }的通项公式．解㊀由题意可得a n ＋１＝３a n ＋１．令a n ＋１＋m ＝３(a n ＋m ),则a n ＋１＝３a n ＋２m ,解得m ＝１２．故a n ＋１＋１２＝３(a n ＋１２),即{a n ＋１２}是以３２为首项,３为公比的等比数列,故a n ＋１２＝３２ˑ３n －１＝３n２,从而a n ＝３n －１２．令n ＝１,则a １＝３１－１２＝１(满足通项公式)．故{a n }的通项公式为a n ＝３n－１２．３㊀a n ＋１＝q a n ＋pn ＋b 型当递推公式呈a n ＋１＝q a n ＋pn ＋b 型时,构造形如a n＋１＋m １(n ＋１)＋m ２＝q (a n ＋m １n ＋m ２)的新递推公式,然后展开各项,利用待定系数法求出m １,m ２,得出数列{a n ＋m １n ＋m ２}是以a １＋m １＋m ２为首项,q 为公比的等比数列,从而间接求出数列{a n }的通项公式．例３㊀已知数列{a n }满足２a n －a n －１＝６n －３(n ȡ２),且a １＝３２,求数列{a n }的通项公式．分析㊀通过观察发现２a n －a n －１＝６n －３符合a n ＋１＝qa n ＋p n ＋b 型,构造一个新的等比数列a n ＋m １n ＋m ２＝１２[a n －１＋m １(n －１)＋m ２],然后展开各项,利用待定系数法求出m １＝－６,m ２＝９,得出数列a n －６n ＋９的通项公式,从而间接求出数列{a n }的通项公式．解㊀由题意得a n ＝a n －１２＋３n －３２,令a n ＋m １n ＋m ２＝１２[a n －１＋m １(n －１)＋m ２],则a n ＝１２a n －１－１２m １n －１２(m １＋m ２),故－１２(m １＋m ２)＝－３２,－１２m １＝３,ìîíïïïï解得m １＝－６,m ２＝９．{故a n －６n ＋９＝１２[a n －１－６(n －１)＋９],即数列{a n －６n ＋９}是以９２为首项,１２为公比的等比数列．故a n －６n ＋９＝９ˑ２－n ,从而a n ＝９ˑ２－n ＋６n －９．３令n ＝１,则a １＝９ˑ２－１＋６－９＝３２(满足通项公式)．故{a n }的通项公式为a n ＝９ˑ２－n ＋６n －９．４㊀a n ＋２＝p a n ＋１＋qa n 型当递推公式呈a n ＋２＝p a n ＋１＋qa n 型时,构造形如a n ＋２－m １a n ＋１＝m ２(a n ＋１－m １a n )的新递推公式,然后展开各项,利用待定系数法求出m １,m ２,得出数列{a n ＋１－m １a n }是以a ２－m １a １为首项,m ２为公比的等比数列,即形如a n －m １a n －１＝bc n,再用第一类型递推公式进行求解．例４㊀已知数列{a n }满足a n ＋２＝５a n ＋１－６a n ,且a １＝－１,a ２＝２,求数列{a n }的通项公式．分析㊀在分析该类型的递推公式时,可以对原递推公式进行假设a n ＋２－m １a n ＋１＝m ２(a n ＋１－m １a n ),然后再展开递推公式,利用待定系数法求出m １＝２,m ２＝３,得出等比数列{a n ＋１－２a n }的通项公式为a n ＋１－２a n ＝４ˑ３n －１,然后再用第一类型递推公式进行求解．解㊀由题意得a n ＋２＝５a n ＋１－６a n ,令a n ＋２－m １a n ＋１＝m ２(a n ＋１－m １a n ),则a n ＋２＝(m ２＋m １)a n ＋１－m １m ２a n ,故m １＋m ２＝５,m １m ２＝６,解得m １＝２,m ２＝３(或m １＝３,m ２＝２)．ⅰ)当m １＝２,m ２＝３时,a n ＋２－２a n ＋１＝３(a n ＋１－２a n ),{a n ＋１－２a n }是以４为首项,３为公比的等比数列,故a n ＋１－２a n ＝４ˑ３n －１＝４３ˑ３n．再令a n ＋１＋λ３n ＋１＝２(a n ＋λ３n),即a n ＋１＝２a n －λ３n．由待定系数法得λ＝－４３,故a n ＋１－４３ˑ３n ＋１＝２(a n －４３ˑ３n ),即{a n －４３ˑ３n}是以－５为首项,２为公比的等比数列,故a n －４３ˑ３n ＝(－５)ˑ２n －１,故a n ＝(－５)ˑ２n －１＋４３ˑ３n ＝４ˑ３n －１－５ˑ２n －１．令n ＝１,a １＝４ˑ３０－５ˑ２０＝－１(满足通项公式)．故a n ＝４ˑ３n －１－５ˑ２n －１．ⅱ)当m １＝３,m ２＝２时,同理可得a n ＝４ˑ３n －１－５ˑ２n －１．综上,{a n }的通项公式为a n ＝４ˑ３n －１－５ˑ２n －１．通过上述四类递推公式利用待定系数法求数列通项公式的思路可以发现,求解这类试题的步骤为:变形递推公式重构新等比数列求系数得等比通项公式推导所求通项公式．(作者单位:山东省东营市河口区第一中学)Җ㊀山东㊀皮小彬㊀㊀数学学习的过程包括提出问题㊁分析问题㊁解决问题三个环节．在解决问题的过程中,很多学生会遇到这样的情况:老师讲的知识都明白,课上的练习㊁课后的作业也都能完成,但是当遇到一个新的问题时,仍然不知从何入手．出现这种情况的原因是在我们学了某一知识点后,所做的课上练习和课后作业都是针对这一知识点的应用训练,学生知道应该这样做,但是不清楚为什么这样做,即只知其然,不知其所以然．而我们遇到的问题大多是交会多个知识点的综合问题,如果不对多个知识点进行有效综合,就会产生解题障碍．本文以一道函数题为例,探究其解题思路的生成过程．题目㊀已知函数f (x )＝l n x ,０＜x ɤa ,ex ,x ＞a ．ìîíïïï若方程f (x )－ae＝０只有１个解,则a 的取值范围为．分析㊀本题以对数函数和反比例函数组合而成的分段函数为背景,以方程根的个数为命题视角,求参数的范围．问题的求解需要综合应用函数的性质,以及分类讨论㊁数形结合㊁函数方程等数学思想．现从如下几个视角谈解题思路的生成．１)审清条件,明确求解方向本题是以分段函数为背景的方程有解问题,而分段函数在不同的区间内有不同的解析式,因而在不同的区间内对应的方程也不相同．此外,由于本题只是与方程根的个数有关,并不是求方程的具体根．因此,利用函数与方程思想可将所求问题转化为函数图象交点个数问题来处理．由f (x )－a e ＝０得f (x )＝ae．因此,可将所求问题转化为求函数y ＝f (x )与直线y ＝ae的图象只有１个交点．２)寻找关键,确定分类标准本题中以参数a 为分段区间的分段点,由于a 的４。

怎样用待定系数法求数列的通项公式

解题宝典由递推式求数列的通项公式问题的题型多变，侧重于考查同学们的应变能力.同学们通过分析研究,会发现解题其实是有一定规律和技巧可循的,对于形如a n +1=Aa n +B (B ≠0且为常数)、a n +1=ca pn ()c >0、a n =Aa n -1+f ()n (A ≠1，f ()n 不为常数)、a n +2=Aa n +1+Ba n的递推式，我们都可以运用待定系数法来求解，即通过引入一些参数，将其设为某些项的系数，用另一种形式表示数列的递推式，将各项的系数对应起来便可建立方程或方程组，通过解方程或者方程组构造出新的等比数列，进而求得数列的通项公式.例1.已知在数列{}a n 中a 1=2，a n +1=(2-1)∙(a n +2)，求数列{}a n 的通项公式.解：设a n +1+x =()2-1∙()a n +x ，由a n +1=()2-1∙()a n +2可得x =-2，所以a n +1-2=()2-1()a n-2，则数列{}a n-2是以2-2为首项，2-1为公比的等比数列，所以a n -2=2()2-1n,故a n =2+2(2-1)n .对于递推式形如a n +1=Aa n +B 的问题，在求数列的通项公式时，可引入待定系数x ，将递推式变形为a n +1+x =A ()a n +x ,通过对应各项的系数求出x 的值，从而构造一个等比数列，根据等比数列的通项公式便可求出数列的通项公式.例2.在数列{}a n 中a 1=1，a n =2a 4n -1,求数列{}a n 的通项公式.解：在a n =2a 4n -1的两边取对数得lg a n =lg 2a 4n -1，设lg a n +q =4（lg a n -1+q ）,对应系数可得lg a n +13lg 2=4(lg a n -1+13lg 2).则{}lg a n +13lg 2是以13lg 2为首项，以4为公比的等比数列，则lg a n =()4n -1-1lg 23,即a n =10()4n -1-1lg 23.对于形如a n +1=ca pn ()c >0的递推式，在求数列的通项公式时，可以在递推式的两边取对数，得到log c a n +1=q log c a n ，然后将其转化为递推式形如a n +1=Aa n +B 的问题，运用待定系数法求出其通项公式.例3.已知数列{}a n 满足以下条件：a 1=1，a n =12a n -1+2n -1(n ≥2),求数列{}a n 的通项公式.解：令b n =a n +A n +B ,将其代入已知递推式中可得b n =12b n -1+æèöø12A +2n +æèöø12A +12B -1.令ìíîïïA 2+2=0,A 2+B 2-1=0,解得{A =-4,B =6,则b n =12b n -1，且b n =a n -4n +6,所以{}b n 是以3为首项，以12为公比为等比数列.则b n =32n -1,故a n =32n -1+4n -6.当遇到形如a n =Aa n -1+f ()n (A ≠1,f ()n 不为常数)的递推式时，我们可以引入待定系数A 、B ，令b n =a n +A n +B ，再结合已知条件求出A 、B 的值，从而得到一个等比数列，根据等比数列的通项公式便可求出数列{}a n 的通项公式.例4.已知a 1=1，a 2=2，a n +2=3a n +1-2a n ，求数列{}a n 的通项公式.解：设a n +2-αa n +1=β()a n +1-αa n ，即a n +2=()α+βa n +1-αβa n ，由a n +2=3a n +1-2a n 可得{α+β=3,αβ=2,解得{α=1,β=2,或{α=2,β=1,当{α=1，β=2,时，a n +2-2a n +1=2()a n +1-a n ，所以{}a n +1-a n 是公比为2的等比数列.则a n +1-a n =()a 2-a 1∙2n -1=2n -1①，当{α=2，β=1，时，a n +2-2a n +1=a n +1-2an ，则a n +1-2a n =a 2-2a 1=0②.结合①②可得a n =2n -1.对于形如a n +2=Aa n +1+Ba n ()A ≠0,B ≠0的递推式,可先引入待定系数α，β，将数列a n +2=Aa n +1+Ba n 变形为a n +2-αa n +1=β()a n +1-αa n (α，β为待定常数),并结合题中已知条件加以整合，便可求出α，β的值，从而构造出新的等比数列，进而求数列{}a n 的通项公式.当题中给出数列的递推关系式较为复杂时，尤其是遇到上述几种形式的递推式时，我们可以借助待定系数法来提升解题的效率.运用待定系数法求数列通项公式的关键在于通过引入待定的系数和进行恰当的变形，构造出等比数列，将问题转化为常规的等比数列问题来求解.（作者单位：陕西省彬州中学）史宁军43Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

数列待定系数法公式

数列待定系数法公式数列待定系数法是解决递推关系式问题的一种常用方法，它的基本思路是：设出数列的通项公式并求出待定系数的值，从而得到数列的通项公式，进而求出数列中任意一项的值。

接下来，本文将详细介绍数列待定系数法的公式和具体步骤，希望能为大家提供一些参考和帮助。

一、数列待定系数法公式假设有一个数列 {an}，它的通项公式为 an = a1 + (n-1)d +c1n + c2n² + c3n³ + … + ck nk，其中 d 为公差，c1、c2、c3、…、ck 为待定系数，k 为低于 n 的正整数。

那么，我们可以通过数列待定系数法求出 c1、c2、c3、…、ck 的值，从而确定数列的通项公式。

二、数列待定系数法具体步骤1. 带入部分已知项首先需要将前几项数列的值带入公式中，得到一个关于 c1、c2、c3、…、ck 的方程组。

例如，若已知数列的前三项分别为 a1、a2、a3，则可得以下方程组：a1 = a1 + c1 + c2 + c3 + … + cka2 = a1 + d + 2c1 + 4c2 + 8c3 + … + 2k-1cka3 = a1 + 2d + 3c1 + 9c2 + 27c3 + … + 3k-1ck2. 确定待定系数的个数由于方程组中未知数的个数是无穷多的，因此需要根据已知项的个数来确定待定系数的个数。

通常可以根据公式的形式和题目要求来确定，一般来说，待定系数的个数要等于公式中多项式的最高项次数。

3. 解方程组求解待定系数将步骤1中得到的方程组进行化简和求解，得到待定系数的值。

这一步需要采用数学中的代数方法，如高斯消元法、克莱姆法则等。

4. 求解数列的通项公式将待定系数的值代入数列通项公式中，即可求得数列的通项公式。

例如，若经过求解得到 c1 = 1、c2 = 1、c3 = 1，则数列的通项公式为 an = a1 + (n-1)d + n + n² + n³。

待定系数法在数列通项求解中的运用2

待定系数法在数列通项求解中的运用江苏省建湖县第二中学许万成 224700 引用一些尚待确定的系数来表示某种结果，通过变形与比较，建立起含有字母系数的方程(组)，并求出相应字母系数的值，进而解决问题的方法称为待定系数法。

待定系数法是高中数学解题中，常见的一种解题方法，具有广泛的运用。

本文就待定系数法在数列通项的求解中的一些简单运用做一些简单说明。

一、形如b 1n ka n a +-=式例1、{}nn n n a a a a a 求通项中在数列,143,1,11+==+. 解:)(431p a p a n n -=-+令(p 为常数) ,14143,44311=+=+=++p a a p a a n n n n 对应可得把该式与已知的即即4=p 所以)4(4341-=-+n n a a {}{}34411-=-=-a b a b n n 为首项即所以数列,公比43=q 的等比数列 11111)43(34)43(34,)43(3----⨯-=⨯-=-⨯-==n n n n n n n a a q b b 故即所以二、形如p n ka 1n a =+式例2、已知数列{}n a 中4112,1-==n n a a a ,求{}n a 的通项公式。

解：将412-=n n a a 两边取常用对数得⇒=-412lg lg n n a a⇒+=-2lg lg 4lg 1n n a a )2lg 31(lg 42lg 31lg 1+=+-n n a a 从而得知⎭⎬⎫⎩⎨⎧+2lg 31lg n a 是以首项为lg231,公比为4的等比数列,所以 32lg )14(1110,32lg )14(lg ---=-=n n n n a a 即三、形如f(n)1n ka n a +-=式例3、设数列{}n a 满足)2(1221,111≥-+==-n n a a a n n ，求{}n a 的通项公式。

解：设,B An a b n n ++=代入已知递推公式,得[]12)1(211-+---=---n B n A b B An b n n ，即)12121()221(211-++++=-B A n A b b n n . 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+0121A 210,221B A 解得⎩⎨⎧=-=.6.4B A 此时64211+-==-n a b b b n n n n 且，由于 {}123,21,3-=n n n b b 故为公比的等比数列以为首项是以，由此得 64231-+=-n a n n . 四、形如nqa 1n ka 2n a ++=+式例4、已知{}n a 中，n n n a a a a a 23,2,11221-===++，求{}n a 的通项公式. 解：引入参数βα,,使)(112n n n n a a a a αβα-=-+++，整理得n n n a a a αββα-+=++12)(，与已知比较得⎩⎨⎧==+,2,3αββα解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.1,22,1βαβα或当有时,2,1⎩⎨⎧==βα)(2112n n n n a a a a -=-+++，可知{}的等比数列是公比为21n n a a -+.所以1112122)(--+=⨯-=-n n n n a a a a . ①当,22,1,2112n n n n a a a a -=-⎩⎨⎧==+++有时βα可知{}是常数数列n n a a 21-+.所以022121=-=-+a a a a n n . ②有①、②得12-=n n a .通过上面的例子,可以看出题目给出递推关系求数列通项公式，应用待定系数法，构造特殊辅助数列(主要是等差或等比数列)，是求解此类问题的常用方法. 数列通项的求解是历次高考的难点与热点,其实数列通项公式的求解还有很多方法,这就需要同学们平时多观察，多总结了。