方向导数讲解

问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值1;¥ (2)最小值1;¥ (3)等于零?
三■三元函数方向导数的定义
对于三元函数u = f (x, y, z),它在空间一点
-
P (x, y, z )沿着方向 e = (cosa,cos 四cos/)
的方向导数，可定义为
= lim f (x +1 cos a, y +1 cos p, z +1 cos y)f (x，y，z)
所以方向导数是偏导数的推广。
定理 如果函数z = f (旳y)在点P (旳y)是可微分的，
那末对于任意单位向量et = (cosa,cos0),函数 z = f(X,
y)在该点方向l的方向导数都存在，且有 f _切 f
= cos a H--cos p o
dl dx dy
证明 由于函数可微，则增量可表示为
处的偏导数是否存在？方向导数是否存在?
思考题解答
Q
f (Ax ,0) - f (0,0)
z
(o,o)=Axmo—&—
Q
=lim1^1.
x
x Ax—0 A
同理等
（oo）= lim
， 匀项Ay
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向，={x, y, z}的方向导数,
dz
lim f（歐, 颂）一 f
瓦(0,0) （0,0）
A,
f (x + Ax, y + Ay) 一 f (x, y) = ： Ax v'^y + o(p)
ox oy
取Ax = t cos a, Ay = t cos 0,两边同除以t,得到
f (x +1 cos a, y +1 cos 月)一 f (x, y)
t
df df o( t\)
=—-cos a + — - cos B +---
—■问题的提出
实例：一块长方形的金属板, !1! 个顶点的坐
标是(1,1) , (5,1) , (1,3) , (5,3).在坐标原 点
处有一个火焰，它使金属板受热.假定板 上任意一点处的温度与该点到原点的距离成 反
比.在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应 沿什
么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
t一 o
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点 沿任意方向L的方向导数都存在，且有
隼=
堂 cos P +
dx cos a +
dz cos/.
方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
方向导数的计算
（1.计算偏导数；2.计算单位向量的坐标） （用定义计算）
思考题
讨论函数 z = f (X, y) = x2 + y2 在(0,0) 点
dx dy t
故有方向导数
f = Hm f(x +1 cos a, y +1 cos B) 一 f (x,
y) dl /TO
t
df df
=—cosa +匕 cos B. dx dy
例1求函数z = xe2，在点P (1,0)处沿从点P (1,0)到点Q(2,-1)的方 向的
方向导数.
例 2 求函数 f (x,y) = x2 一xy + y?在点(i, 1) 沿与x轴方向夹角为［的方向射线/的方向导数.并
t —o
t
定义 设函数zf 在点P(x0,y0)的某个邻域内有
-
定义，，是一非零向量，e. = (cosa,cos们是与I同方
向的单位向量，如果极限
lim /(x°+1cos 心,此 + * cos 0)~ f (x°, 此)
t -0
t
存在，则称此极限为函数z = f ( x, y )在P点处沿l方向
问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向(即梯度方向)爬行.
讨论函数z = f（X, y）在一点p沿某一方向的变化率问题
设e =cos a i + cos P j为一单位向量,
/是xoy面上通过点P ( X0 , y0 ). .以e为
方向向量的有向直线,
它的参数方程为
{x = X0 +1 cos a —g< t v +8 y = yo +1 cos &
的方向导数(directional derivative),记为
f = Hm f (x0 +，cos，Vo +，cos 8) 一 f (x0, yo)
仞(xo,yo)
'
依定义，函数/ (ห้องสมุดไป่ตู้,力在点P沿着x轴正向弓={1,0}、 y
轴正向e = {0,1}的方向导数分别为fx, fy ； 沿着x轴负 向、y轴负向的方向导数是-fx，-fy.
o （如图） -X
设Q( x, y )是1上任意一点，则有
--
PQ — (x — x0, y — y0) = (t cos a, t cos 0) = t e,
-
PQ = \t\,称t为点P到点Q的有向距离。
垃=f (Q)—/(P),考虑:,
当Q沿着l趋于P时，
lim f (Xo + cos y°+ * cos 6)— f (xo，y。)是否存在?
5p
./(Ax )2 + (Ay
=lim
pT0
)2
=1
TCAxF+W