山东省胶州市2018届高考数学一轮复习第2讲参数方程课前学案文
山东省胶州市2018届高考数学一轮复习第2讲参数方程课前学案(无答案)文
【双基自测】
1 .已知直线l的参数方程为 (t为参数),圆C的极坐标方程为ρ= sinθ,则直线l与圆C的位置关系为()
A.相离B.相切C.相交D.由参数确定
2.(2016甲卷)在平面直角坐标系xOy中,圆C的 方程为(x+ 6) +y =25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么 就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程
名称
普通方程
参数方程
参数的
直线
y－y0＝k(x－x0)
圆
第2讲 参数方程
学习目标
1了解参数方程，了解参数的意义．
2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方 程
重难点
能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，解决相应 问题。
合作探究
课堂设计
学生随堂手记
【课前自主复习区】
【基础自查】
1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．
(2)直线l的参数方程是 (t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|= ,求l的 斜率.
★3.已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为 (t为参数,α为倾斜角),在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.
(1)写出曲线C的直角坐标方程;
全国通用2018高考数学大一轮复习第十二篇坐标系与参数方程第2节参数方程课件理
最新考纲 1.了解参数方程,了解参数的意义.
2.能选择适当的参数写出直线、 圆和椭圆的参数方程.
知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善
把散落的知识连起来
知识梳理
1.曲线的参数方程
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个
变数t的函数
x
y
2=2 5.
答案: 2 5
4.如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程
为
.
解析:方程
x2+y2-x=0
可化为
x
1 2 2
+y2=
1 4
,
圆的直径为 1,
圆的参数方程为
x y
OP OP
cos sin
1 cos 1 cos
cos , sin ,
(θ为参数)
,则直线
l
与曲线
C
的交点的极坐标为
.
解析:直线l的普通方程为y=x+2,曲线C的直角坐标方程为x2-y2=4 (x≤-2),故直线l与曲线C的交点为(-2,0),对应极坐标为(2,π).
答案: (2,π)
3.(2015·湖北卷)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建
立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲线C的参
数方程为
x y
t t
1 , (t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=
t 1 t
.
解析:直线 l 的直角坐标方程为 y-3x=0, 曲线 C 的普通方程为 y2-x2=4.
由
y 3x,
山东省胶州市2018届高考数学一轮复习 专题 函数与方程课中学案(无答案)文
3．数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点 的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【我会做】
1．函数 f(x)＝x2－ 2x 在 x∈R 上的零点的个数是(
5．唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，那么下列命题中正确的是( )
A．函数 f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C．函数 f(x) 在区间[2,16)上无零点 D．函数 f(x)在区间(1,16)内无零点
经过广大教师的精心整理和编辑，结合近几年考试命题范围数奋战出了上万套实用性参很强于给同学们复习备。
【我会做】
1．若函数 f(x)＝ ax －x－a(a>0，且 a≠1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．[－1，＋∞)
2．已知函数 y＝ x2 1 的图象与函数 y＝kx－2 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围 x 1
3经过广大教师的精心整理和编辑，结合近几年考试命题范围数奋战出了上万套实用性参很强于给同学们复习备。
函数与方程
学习目标
目标分解一：会确定函数零点所在区间 目标分解二：会判断函数零点的个数 目标分解三：利用函数零点求解参数的取值范围
重点
考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化思想和数形结合思想．
合作探究 【课前自主复习区】
课堂设计 学生随堂手记
【基础自查】 1．定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使 f(x)＝0 成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D)的零
高三数学一轮复习优质学案：第2讲 参数方程
第2讲 参数方程最新考纲 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.知 识 梳 理1.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数. 2.参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使用x ，y 的取值范围保持一致. 3.常见曲线的参数方程和普通方程 (t 为参数)(θ为参数)(φ为参数)提醒 直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎨⎧y ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量.( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2.(教材改编)曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y ＝－2x 上.答案 B3.在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为________. 解析 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0. 答案 x －y －1＝04.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________. 解析 由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x ＋y ＝－2.①又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝22t消去t ，得y 2＝8x ② 联立①，②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4).答案 (2，－4)5.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 解 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t 代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0， 解得t 1＝0，t 2＝－167.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝167. 所以线段AB 的长为167.考点一 参数方程与普通方程的互化『例1』 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数). (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.规律方法 (1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形.『训练1』 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值. 解 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过(3，0)，则3－a ＝0，∴a ＝3. 考点二 参数方程及应用『例2』 (2014·全国Ⅰ卷)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值.解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.规律方法 (1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题.(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.『训练2』 (2017·石家庄质检)平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6. (1)求圆C 和直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝1，求实数m 的值. 解 (1)由曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1. 得参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数).直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t (t 为参数).(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ， 由题意得|m 2－2m |＝1，得m ＝1，m ＝1＋2或m ＝1－ 2.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用『例3』 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 解 (1)曲线C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.又曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.所以ρsin θ＋ρcos θ＝4.因此曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值. d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.规律方法 (1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.『训练3』 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数).以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 解 (1)圆C 的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1，θ1＝π3.设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎨⎧ρ2（sin θ2＋3cos θ2）＝33，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝3，θ2＝π3.由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝2. 所以线段PQ 的长度为2.『思想方法』1.参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1，1＋tan 2θ＝1cos 2θ.2.利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.3.将参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，化生为熟，体现了化归与转化思想. 『易错防范』1.将参数方程化为普通方程，在消参数的过程中，要注意x ，y 的取值范围，保持等价转化.2.确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解.。
2018届高三数学一轮复习：选修4-4第2节参数方程
第二节参数方程[考纲传真 ] 1.认识参数方程，认识参数的意义 .2.能选择适合的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x，y 都是某个x＝ f t ，而且关于 t 的每一个同意值，由这个方程组所确立的点变数 t 的函数y＝ g tM(x， y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫做参变数，简称参数．2．参数方程与一般方程的互化经过消去参数从参数方程获得一般方程，假如知道变数x， y 中的一个与参数 t 的关系，比如 x＝f(t)，把它代入一般方程，求出另一个变数与参数的关系yx＝ f t ，＝ g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与一般方程的互化中，y＝ g t一定使 x，y 的取值范围保持一致．3．常有曲线的参数方程和一般方程点的轨迹一般方程直线y－y0＝tan α(x－x0 )圆x2＋y2＝ r2x2y2椭圆a2＋b2＝ 1(a>b>0)参数方程x＝ x0＋tcos α，(t 为参数 ) y＝ y0＋tsin αx＝ rcos θ，(θ为参数 )y＝ rsin θx＝ acos φ，(φ为参数 ) y＝ bsin φ温馨提示：在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为 1 时， t 才有几何意义且几何意义为： |t|是直线上任一点M(x，y)到 M0(x0，y0)的距离．1．(思虑辨析 )判断以下结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) x＝f t ，(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．()y＝g t过0 0，y0 ，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋ tcos α，为(x l (t(2) M )y＝y0＋ tsin α参数 )．参数 t 的几何意义表示：直线l 上以定点 M0为起点，任一点 M(x，y)为→终点的有向线段 M0M的数目． ()x＝ 2cos θ，(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．()y＝ 1＋ 2sin θx＝ 2cos t，(4)已知椭圆的参数方程(t 为参数 )，点 M 在椭圆上，对应参数y＝4sin tπt＝3，点 O 为原点，则直线 OM 的斜率为 3.()[答案 ] (1)√(2)√(3)√(4)×x＝－ 1＋cos θ，2．(教材改编 )曲线(θ为参数 )的对称中心 ()y＝2＋sin θA．在直线 y＝2x 上 B. 在直线 y＝－ 2x 上C．在直线 y＝x－1 上 D. 在直线 y＝ x＋ 1 上x＝－ 1＋ cos θ，cos θ＝ x＋ 1，B[ 由得y＝2＋sin θ，sin θ＝y－2，所以 (x＋1)2＋ (y－2)2＝ 1.曲线是以 (－1,2)为圆心， 1 为半径的圆，所以对称中心为 (－1,2)，在直线 y＝－ 2x 上． ]2x＝ 2＋2 t，3．(教材改编 )在平面直角坐标系中，曲线C：(t 为参数 )2y＝ 1＋2 t的一般方程为 ________．2 2x－ y－ 1＝ 0[由 x＝ 2＋2 t，且 y＝1＋2 t，消去 t，得 x－y＝1，即 x－y－1＝0.]4．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．曲线 C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－ 2，曲线 C2的参数方程为x＝ t2，(t 为参数 )，则 C1与 C2交点的直角坐标为 ________．y＝ 2 2t(2，－4) [ 由ρ(cos θ＋sin θ)＝－ 2，得 x＋y＝－ 2.①x＝ t2，由消去 t 得 y2＝8x.②y＝ 2 2t，x＝2，即交点坐标为 (2，－ 4)．]联立①②得y＝－ 4，5．(2016 ·江苏高考 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为1x＝1＋2t，(t 为参数 )，椭圆 C 的参数方程为x＝cos θ，3(θ为参数 )．设直y＝2sin θy＝2 t线 l 与椭圆 C 订交于 A，B 两点，求线段 AB 的长．[解 ] 椭圆 C 的一般方程为 x2＋y 2＝1.2 分41 3 2将直线 l 的参数方程x＝1＋2t， 2 y2 1 2 2t＝1，3 代入 x ＋4 ＝1，得 1＋ t ＋ 42y＝2 t即 7t2＋ 16t＝ 0， 8 分解得 t1＝0，t2＝－16，所以 AB＝ |t1－t2|＝167 7 .10 分参数方程与一般方程的互化x＝a－2t，已知直线 l 的参数方程为(t 为参数 )，圆 C 的参数方程y＝－ 4t x＝4cos θ，为(θ为参数 )．y＝4sin θ(1)求直线 l 和圆 C 的一般方程；(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，务实数 a 的取值范围．[解 ] (1)直线 l 的一般方程为 2x－y－2a＝0， 2 分圆 C 的一般方程为 x2＋y2＝ 16.4 分(2)因为直线 l 与圆 C 有公共点，|－ 2a|故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d＝≤ 4，8分解得－ 2 5≤a≤ 2 5.10 分[规律方法 ] 1.将参数方程化为一般方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为一般方程时，要注意哪一个量是参数，而且要注意参数的取值对一般方程中x 及 y 的取值范围的影响，要保持同解变形．[变式训练 1] 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l ：x＝ t，(t 为参数 )过y＝ t－ax＝3cos φ，椭圆 C：(φ为参数 )的右极点，求常数 a 的值 .y＝2sin φ【导学号： 01772440】[解 ]直线l的一般方程为x－y－a＝0，x2y2椭圆 C 的一般方程为9＋4＝1，4 分所以椭圆 C 的右极点坐标为 (3,0)，若直线 l 过椭圆的右极点 (3,0)，则 3－ 0－a＝0，所以 a＝3.10 分参数方程的应用22x ＝2＋t ，已知曲线 C ：x ＋y＝ 1，直线 l ：(t 为参数 ).4 9 y ＝2－2t【导学号： 01772441】(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的一般方程；(2)过曲线 C 上随意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线， 交 l 于点 A ，求|PA|的最 大值与最小值．x ＝2cos θ，[解 ] (1)曲线 C 的参数方程为(θ为参数 )．y ＝3sin θ直线 l 的一般方程为 2x ＋y －6＝0.4 分5(2)曲线 C 上随意一点 P(2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为 d ＝5 |4cos θ＋3sin θ－ 6|，则|PA|＝ d ＝2 5 θ＋ α－ ，此中 α为锐角，且tanα＝4分sin 30 ° 5 |5sin( ) 6|3.8当 sin(θ＋α)＝－ 1 时， |PA|获得最大值，最大值为22 5. 52 5当 sin(θ＋α)＝1 时， |PA|获得最小值，最小值为 5 .10分[规律方法 ] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为一般方程，再依据直线与圆的地点关系来解决问题．2．关于形如x ＝ x 0＋at ，(t 为参数 )，当 a 2＋b 2≠ 1 时，应先化为标准形式y ＝ y 0＋bt后才能利用 t 的几何意义解题．[变式训练 2](2017 ·石家庄质检 )在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方x ＝4cos θ， π程为(θ为参数 )，直线 l 经过点 P(1,2)，倾斜角 α＝6.y ＝4sin θ(1)写出圆 C 的一般方程和直线 l 的参数方程；(2)设直线 l 与圆 C 订交于 A ，B 两点，求 |PA| ·|PB|的值．[解 ] (1)由 x ＝ 4cos θ，消去 θ，y ＝ 4sin θ，得圆 C 的一般方程为 x 2＋ y 2＝16.2 分π又直线 l 过点 P(1,2)且倾斜角 α＝ 6，π3所以 l x ＝1＋tcos 6，x ＝1＋ 2 t ，的参数方程为π即(t 为参数 ).4 分1y ＝2＋tsin 6，y ＝2＋2t3把直线 l 的参数方程 x ＝1＋ 2 t ， 代入 x 2＋y 2＝16，(2)1y ＝2＋ 2t得1＋3 212 2 ＋( 3＋ 2)t －11＝0，2 t＋ 2＋ t ＝ 16，t2所以 t 1t 2＝－ 11， 8 分由参数方程的几何意义， |PA| ·|PB|＝ |t 1t 2|＝ 11.10 分参数方程与极坐标方程的综合应用(2016 ·全国卷Ⅲ )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为x ＝ 3cos α， (α为参数 )．以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，成立y ＝ sin απ极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρsin θ＋4 ＝2 2.(1)写出 C 1 的一般方程和 C 2 的直角坐标方程；(2)设点 P 在 C 1 上，点 Q 在 C 2 上，求 |PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标．[解 ] (1)C 1 的一般方程为x 2＋ y 2＝1，2 分3π因为曲线 C 2 的方程为 ρsin θ＋4 ＝ 2 2，所以 ρsin θ＋ρcos θ＝4，所以曲线 C 2 的直角坐标方程为 x ＋ y － 4＝ 0.4 分 (2)由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3cos α，sin α)．因为 C 2 是直线，所以 |PQ|的最小值即为 P 到 C 2 的距离 d(α)的最小值， 8 分 又 d(α)＝| 3cos α＋sin α－4|＝ 2 sin α＋ π －2 ，32当且仅当 α＝ 2k π＋ π∈ 时， α获得最小值，最小值为，此时 的直3 1角坐标为2，2 .10 分[规律方法 ] 1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为一般方程和直角坐标方程后求解．自然，还要联合题目自己特色，确立选择何种方程．2．数形联合的应用，即充足利用参数方程中参数的几何意义，或许利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．[变式训练 3] (2017 ·石家庄市质检 )在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方2x＝2 t，程为(t 为参数 )，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，2y＝ 3＋2 t曲线 C 的极坐标方程为ρ＝4sinθ－2cosθ.(1)求直线 l 的一般方程与曲线 C 的直角坐标方程；(2)若直线 l 与 y 轴的交点为 P，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求 |PA||PB|的值．[解 ] (1)直线 l 的一般方程为 x－ y＋ 3＝ 0，2∵ρ＝ 4ρsin θ－ 2ρcos θ，∴曲线 C 的直角坐标方程为 (x＋1)2＋(y－2)2＝5.4 分2将直线x＝2 t，为参数代入曲线2＋(y－l 的参数方程(t(2) ) C：(x＋ 1)2y＝3＋2 t2)2＝5，获得 t2＋2 2t－3＝0，8 分∴t1t2＝－ 3，∴|PA||PB|＝ |t1t2|＝3.10 分[思想与方法 ]1．参数方程化一般方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，常常用到公式： cos2θ＋sin2θ＝1,1＋tan2θ＝12 .cos θ2．利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题是卓有成效的好方法．3．将参数方程化为一般方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，而后在直角坐标系下对问题求解，化生为熟，充足表现了转变与化归思想的应用．[易错与防备 ]1．将参数方程化为一般方程时，要注意两种方程的等价性．在消去参数的过程中，要注意x， y 的取值范围．2．确立曲线的参数方程时，必定要依据实质问题的要求确立参数的取值范围，必需时经过限制参数的范围去掉剩余的解．3．设过点 M(x0，y0)的直线 l 交曲线 C 于 A， B 两点，若直线的参数方程为x＝ x0＋tcos α，(t 为参数 )注意以下两个结论的应用：y＝ y0＋tsin α(1)|AB|＝|t1－t2|；(2)|MA| ·|MB|＝|t1·t2|.。
2018届高考数学一轮复习选修部分坐标系与参数方程第二节参数方程学案文选修4_4
第二节 参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．知识点一 参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t y ＝g t，并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变量x ，y 的变量t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．1．判断正误 (1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2－t(t ≥1)表示的曲线为直线．( )(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋m ，y ＝sin θ－m ，当m 为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为圆．( )答案：(1)× (2)√2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由C 1得x 2＋y 2＝5，且⎩⎨⎧0≤x ≤5，0≤y ≤5，① 由C 2得x ＝1＋y ，②∴由①②联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x ＝1＋y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2(舍)答案：(2,1)知识点二 常见曲线的参数方程的一般形式1．经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋ty ＝y 0＋t (t 为参数)设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 2．圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋ry ＝b ＋r(θ为参数)3．圆锥曲线的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a y ＝b (θ为参数)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数) 答案1．cos α sin α 2.cos θ sin θ 3.cos θ sin θ3．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t(t 为参数)的斜率为－32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，k ＝－6. 答案：－6 4．椭圆x －23＋y ＋25＝1的参数方程是________． 解析：设x －13＝cos θ，y ＋25＝sin θ，则⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)，即为所求的参数方程．答案：⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．解析：直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，所以b ＝±3a ，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝ba，所以tan α＝±3，因此切线的倾斜角为π3或2π3.答案：π3或2π3热点一 参数方程与普通方程的互化【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θy ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【解】 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ ①y ＝2tan θ ②，由y ＝2tan θ，得tan θ＝y2，代入①得y 2＝2x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －，y 2＝2x ，得公共点的坐标为(2,2)，12，－1.(1)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t＋e －ty＝12t －e－t(t 为参数)的普通方程是________．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，消参得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.所以其对称中心为(－1,2)．显然该点在直线y ＝－2x 上．故选B.(2)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t＝x －y ， ∴(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1. 答案：(1)B (2)x 2－y 2＝1 热点二 直线的参数方程的应用【例2】 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．【解】 (1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y24＝ 1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t 代入x 2＋y 24＝1，得(1＋12t )2＋32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.热点三 椭圆参数方程的应用【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 【解】 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. (2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2|sin(α＋π3)－2|.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12).在极坐标中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，点R 的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时点P 的直角坐标．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.点R 的直角坐标为(2,2)．(2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ，∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)．当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 热点四 参数方程与极坐标方程的综合应用【例4】 (2016·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【解】 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.(2017·衡水模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.(1)求曲线C 的参数方程；(2)当α＝π4时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．解：(1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.曲线C 的极坐标方程化为参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ，(φ为参数)．(2)当α＝π4时，直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t ，化成普通方程为y ＝x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2y －2x ，y ＝x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0.所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，(2，π)．1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． 3．圆与椭圆的参数方程的异同点(1)圆与椭圆的参数方程实质都是三角代换，有关圆或椭圆上的动点的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数解决．(2)圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同，圆的参数方程中的参数是圆心角，椭圆的参数方程中的参数是离心角，只有椭圆上的点在坐标轴上时，离心角才等于圆心角．。
山东省胶州市2018届高考数学一轮复习 第2讲 参数方程课中学案(无答案)文
【例3】(2016全国卷丙)在直角坐标系x Oy中，曲线C1的参数方程为 (α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin ＝2 .
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
1.在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为 以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴 的正半轴建立平面直角坐标系 .
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,P是曲线C上一点,求△ABP面积的最大值.
【课后分层巩固区】
【C层】基础达标————见A本P295页
【B层】能力提升————见A本P296页
【规律总结3】：
【我会做】
(2016河南郑州三模)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0), .圆C的参数方程为 (θ为参数).
(1)设P为线段MN的中点,求直线OP的直角坐标方程;
(2)判断直线l与圆C的位置关系.
(2) (θ为参数)．
【规律总结1】：
【我会做】已知椭圆C: ,直线l: (t为参数).
(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;
(2)设A(1,0),若椭 圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标.
【考点二】参数方程的应用
【例2】(2017·豫南九校联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l： (t为参数)与曲线C： (θ为参数)相交于不同的两点A，B.
★【我能做对】
1．(2015·高考全国卷Ⅱ) 在直角坐标系y中，曲线C1： (t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2 cosθ.
2018届高考数学一轮复习 选修部分 参数方程选讲 第二节 参数方程课件 文 新人教A版选修4-4
——[通·一类]—— 3．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的
x＝1＋12t， 参数方程为
y＝ 23t
(t 为参数)，椭圆 C 的参数方程为
x＝cos θ， y＝2sin θ
[答案]
x＝cos2θ， y＝sinθcosθ
(θ 为参数)
——[悟·技法]—— 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路
是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等 式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．
——[通·一类]——
1ห้องสมุดไป่ตู้在平面直角坐标系中，曲线
[解析] 将 x2＋y2－x＝0 配方，得x－122＋y2＝14， 所以圆的直径为 1.
设 P(x，y)，则 x＝|OP|cosθ＝1×cosθ×cosθ＝cos2θ，
y＝|OP|sinθ＝1×cosθ×sinθ＝sinθcosθ，
所以圆 x2＋y2－x＝0 的参数方程为yx＝＝scionsθ2cθo，sθ (θ 为参数)．
x＝2＋ C：
22t，
y＝1＋ 22t
数)的普通方程为__________．
(t 为参
解析：依题意，消去参数可得 x－2＝y－1，即 x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0
2．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：xy＝＝tt，－a (t 为参
数)过椭圆 C：xy＝＝32csionsφφ， (φ 为参数)的右顶点，求常数 a 的值．
所以 t1＋t2＝3 2，t1·t2＝4. 又直线 l 过点 P(3， 5)，A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2， 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.
山东省胶州市2018届高考数学一轮复习专题双曲线学案文
双曲线学习目标通过基础自查，掌握双曲线的定义，会确定双曲线的标准方程，初步掌握双曲线的基本性质重难点双曲线的标准方程以及简单性质合作探究课堂设计学生随堂手记【课前自主复习区】【基础自查】 1、定义条 件结论1结论2M 点的轨迹为双曲线为双曲线的焦点|为双曲线的焦距2、标准方程与几何性质 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)图 形性质范围对称性 对称轴： ，对称中心：顶点渐近线离心率 实虚轴a 、b 、c的关系【预习检测】1．(2016·昆明质检)若双曲线x2a 2－y 2＝1的一个焦点为(2，0)，则它的离心率为( )A.255B.32C.233 D ．22．(2015·高考广东卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( )A.x24－y23＝1 B.x29－y216＝1 C.x216－y29＝1 D.x23－y24＝13．(2016·南昌模拟)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，则双曲线C 的离心率为( )A ．2或3 B.233 C ．2或233 D ．24．(2015·高考北京卷)已知(2，0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________．5．(选修21 P62习题2.3A 组T6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．6.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝17．已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等8．(2016·惠州调研)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线的斜率为( )A ．±2B ．± 2C ．±12D ．±229．(2015·高考湖南卷)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.5310．已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点的坐标为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．我的困惑：。
高三数学一轮复习精品教案1：第2讲 参数方程教学设计
第二节参_数_方_程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)注意：t 是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性． 『练一练』1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．『解析』∵y －2x －1＝－3t 2t ＝－32，∴tan α＝－32.『答案』－322．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为________．(填“线段”“射线”“圆弧”或“双曲线的一支”)『解析』化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2， 即x －3y －5＝0， 由于x ＝3t 2＋2∈『2,77』， 故曲线为线段． 『答案』线段1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. 『练一练』1．已知P 1，P 2是直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是________．『解析』由t 的几何意义可知，线段P 1P 2的中点对应的参数为t 1＋t 22，P 对应的参数为t＝0，∴线段P 1P 2的中点到点P 的距离为|t 1＋t 2|2.『答案』|t 1＋t 2|22．已知直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4相交于B ，C 两点，则|BC |的值为________．『解析』∵⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t ′，⎝⎛⎭⎫t ′＝22t 代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫2－22t ′2＋⎝⎛⎭⎫－1＋22t ′2＝4，t ′2－32t ′＋1＝0，∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝（t ′1＋t ′22－4t ′1t ′2)＝(32)2－4×1＝14.『答案』14考点一参数方程与普通方程的互化1.曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θy ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是________．『解析』曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.『答案』262．(2014·西安质检)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值是________．『解析』圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ消去参数θ，化为普通方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，－2)到直线的距离等于半径，即|3＋4×(－2)＋m |5＝1，解得m ＝0或m ＝10.『答案』0或103．(2014·武汉调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ∈R )与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________.『解析』由题意可得，直线y ＝－3x ，曲线C 1：x 2＋(y －2)2＝4，曲线C 2：x 2＋(y －1)2＝1，画图可得，|AB |＝4cos 30°×12＝ 3.『答案』3『备课札记』 『类题通法』参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．考点二参数方程的应用『典例』 (2014·郑州模拟)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．『解』 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)依题意，C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0，则A 点的坐标为(sin 2α，－sin αcos α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，∴点P 轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故点P 的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．『备课札记』在本例(1)条件下，若直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α，(t 为参数)，与直线C 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－as (s 为参数)垂直，求a . 解：由(1)知C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为y ＝1－ax ，由两线垂直得－a ×3＝－1，故a ＝33. 『类题通法』1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． 『针对训练』(2013·新课标卷Ⅱ)已知动点P ，Q 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α为(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos2α，2sin2α), 因此M (cos α＋cos2α，sin α＋sin2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．考点三极坐标、参数方程的综合应用『典例』 (2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．『解』 (1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．『备课札记』 『类题通法』涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．『针对训练』(2014·石家庄质检)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与半圆C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且|OM |＝π3，故点M 的极坐标为(π3，π3)．(2)由(1)可得点M 的直角坐标为(π6，3π6)，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋(π6－1)t ，y ＝3π6t(t 为参数)．『课堂练通考点』1．(2013·重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.『解析』ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x ＝4①，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，化为普通方程为y 2＝x 3 ②，①②联立得A (4,8)，B (4，－8)，故|AB |＝16. 『答案』162．(2013·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．『解析』消去曲线C 中的参数t 得y ＝x 2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x 2中，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.『答案』ρcos 2θ－sin θ＝03．(2014·合肥模拟)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.『解析』首先消去参数t ，可得直线方程为3x －y ＋22＝0，极坐标方程化为直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1，根据直线与圆的相交弦长公式可得|AB |＝21－⎝⎛⎭⎫642＝102. 『答案』1024．(2014·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρsin 2θ＝cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－22t ，y ＝22t(t 为参数)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入ρ2sin 2θ＝ρcos θ中，得y 2＝x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为：y 2＝x .(2)把⎩⎨⎧x ＝2－22t ，y ＝22t ，代入y 2＝x 整理得，t 2＋2t －4＝0，Δ>0总成立．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， ∵t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－4，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(－2)2－4×(－4)＝3 2.。
2018版高考数学一轮复习课件：选修4-4 第2节 参数方程
第十五页，编辑于星期六：二十二点 三十分。
高三一轮总复习
[解] (1)直线 l 的普通方程为 2x－y－2a＝0，2 分 圆 C 的普通方程为 x2＋y2＝16.4 分 (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点， 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d＝|－25a|≤4，8 分 解得－2 5≤a≤2 5.10 分
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第三页，编辑于星期六：二十二点 三十分。
高三一轮总复习 3．常见曲线的参数方程和普通方程
Hale Waihona Puke 上一页返回首页下一页
第四页，编辑于星期六：二十二点 三十分。
高三一轮总复习
温馨提示：在直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时，t 才有几何 意义且几何意义为：|t|是直线上任一点 M(x，y)到 M0(x0，y0)的距离．
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第二十三页，编辑于星期六：二十二点 三十分。
高三一轮总复习
[解]
(1)由yx＝＝44scions
θ， θ，
消去 θ，
得圆 C 的普通方程为 x2＋y2＝16.2 分
又直线 l 过点 P(1,2)且倾斜角 α＝π6，
所以 l 的参数方程为xy＝＝12＋＋ttcsionsπ6π6，，
x＝1＋ 即
23t，
y＝2＋12t
(t 为参数).4 分
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第二十四页，编辑于星期六：二十二点 三十分。
高三一轮总复习
(2)把直线
l
x＝1＋ 的参数方程
23t，
y＝2＋12t
代入 x2＋y2＝16，
得1＋ 23t2＋2＋12t2＝16，t2＋( 3＋2)t－11＝0， 所以 t1t2＝－11，8 分 由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11.10 分
山东省胶州市2018届高考数学一轮复习专题导数及其应用二学案文
导数及其应用二 学习目标 目标分解一：会用导数证明不等式
目标分解二：会用导数作图 解决函数的零点（或方程的根）问题
目标分解三：已知不等式恒（能）成立 会求参数的范围
合作探究
随堂手记⎪⎭⎫2,
πA. 0 B. 1 C. 2 D. 3
A ． 51,
8⎛⎤-∞ ⎥⎦ B ．(],3-∞ C. 51,8⎡⎤+∞⎢⎥⎣ D ．[]3,+∞
1ln x x
-<
★我能做对2. 已知函数(1)()ln 2
x f x x -=-，证明：当1x >时，()1f x x <- 我会做 1. 设函数()32
.f x x ax bx c =+++ 设4a b ==，若方程()0=x f 有三个不同的解，求c 的
,x +3-零点的个数【目标分解三】已知不等式恒（能）成立 会求参数的范围
我会做 1. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
（1）求实数,a b 的值；
（2）若()2
(1)f x kx k x ≥+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值。
实数的取值范围.。
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件：选修4-4 第2节 参数方程
高三一轮总复习
x＝2＋ 3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线 C： y＝1＋ 通方程为________．
2 2 t， 2 2t
(t 为参数)的普
2 2 x－y－1＝0 [由 x＝2＋ 2 t，且 y＝1＋ 2 t， 消去 t，得 x－y＝1，即 x－y－1＝0.]
高三一轮总复习
3 2 t 2 2 1 2 y 2 代入 x ＋ 4 ＝1，得 1＋2t ＋ 4 ＝1，即
16 16 解得 t1＝0，t2＝－ 7 ，所以 AB＝|t1－t2|＝ 7 .10 分
高三一轮总复习
参数方程与普通方程的互化
已知直线 l
x＝4cos θ， 参数方程为 y＝4sin θ x＝a－2t， 的参数方程为 y＝－4t
x＝cos θ， 的参数方程为 y＝2sin θ
(t 为参数)，椭圆 C
(θ 为参数)．设直线 l
与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长．
高三一轮总复习
2 y [解] 椭圆 C 的普通方程为 x2＋ 4 ＝1.2 分
1 x＝1＋2t， 将直线 l 的参数方程 y ＝ 3t 2 7t2＋16t＝0，8 分
高三一轮总复习
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
x＝ft， (1)参数方程 y＝gt
中的 x，y 都是参数 t 的函数．(
)
(2)过 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l
x＝x0＋tcos α， 的参数方程为 y＝y0＋tsin α
x＝3cos φ， C： y＝2sin φ
x＝t， l： y＝t－a
(t 为参数)过椭
2018高考数学(文理通用版)一轮复习(课件)：选修4-4 第二讲 参数方程 第2讲
x＝2cosθ， (4)参数方程 y＝5sinθ
π (θ为参数且θ∈[0，2])表示的曲线为椭圆． C．2 D．3
A．0
B．1
• [解析] (1)(4)不正确(2)(3)正确，故选C．
2．若直线的参数方程为 导学号 30073475 ( 1 A．2
D
x＝1＋2t y＝2－4t
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα
—→ 其中t表示直线上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段 M0M 的 —→ —→ 数量 ________．当t＞0时，M M的方向向上；当t＜0时，M M的方向向下；当t＝0时，
0 0
M与M0重合．
1．下列结论正确的个数为 导学号 30073474 (
(θ为参数)．
12 1 2 2 [ 解析] (1)∵( t ) ＋( t t －1) ＝1， ∴x2＋y2＝1. ∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1. 1 又x＝ t ，∴x≠0. 当t≥1时，0<x≤1， 当t≤－1时，－1≤x<0，
∴所求普通方程为 x ＋y
2 2
0<x≤1， ＝1( 0≤y<1
高考命题探究 1.内容探究： 参数方程部分 主要考查参数 方程与普通方 程的互化，并 多与极坐标方 程结合考查． 2．形式探究： 本讲内容高考 中以解答题形 式出现.
知 识 梳 理
1．参数方程的概念
x＝ft， 如果曲线C上任意一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数 y＝gt.
A
)
A．抛物线的一部分 C．双曲线的一部分
B．一条抛物线 D．一条双曲线
• [解析] y2＋x＝1，∵x∈[0,1]，y∈[－1,1]， ∴是抛物线的一部分．
18版高考数学一轮复习选修系列14.1坐标系与参数方程第2课时参数方程课件理
2.常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹 直线 圆 椭圆 普通方程 y－y0＝tan α(x－x0) x2＋y2＝r2 _________ 参数方程
x＝x0＋tcos α， (t 为参数) y＝y0＋tsin α ________________________
x＝rcos θ， (θ 为参数) y＝rsin θ
x2 y2 a2＋b2＝1(a>b>0)
y2＝2px (p>0)
x＝acos φ， (φ 为参数) y＝bsin φ ————————————
2 x ＝ 2 pt ， (t 为参数) y＝2pt
抛物线
(1)求直线l和圆C的普通方程； 解答
直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围. 解答
因为直线l与圆C有公共点，
|－2a| 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d＝ ≤4， 5 解得－2 5≤a≤2 5.
思维升华
已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化 为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最 值、范围等.
题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用
例3
x＝tcos α， (2015· 课标全国Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： y＝tsin α
(t 为参数，t≠0)，其中 0≤α＜π，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的 极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sin θ，曲线 C3：ρ＝2 3cos θ.
2 2 5 2 点 P 到直线 l 的距离的最大值为 r＋d＝ 2＋ 3 ＝ 3 ，
2018届高三数学一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程课件文
5
x 1 cos θ , 3.(2014北京,3,5分)曲线 (θ为参数)的对称中心( y 2 sin θ
)
A.在直线y=2x上 C.在直线y=x-1上
B.在直线y=-2x上 D.在直线y=x+1上
答案 B 曲线
x 1 cos θ , (θ为参数)的普通方程为(x+1)2+(y-2)2=1,该 y 2 sin θ
x a sec φ, x2 y 2 双曲线 - =1(a>0,b>0)的参数方程为 (φ为参数). y b tan φ a 2 b2
x 2 pt 2 , 抛物线y =2px的参数方程为 (t为参数). y 2 pt
2
1.已知直线l的参数方程为 A.1 B.2 C.3 D.4
的距离的最大值为 ( A.1 B. 2 C. 3
) D. 5
答案 D
2 由 ( θ 为参数 ) 消去参数 θ 得 y =-2 x (-1≤x≤1).如图.
x sin θ , y cos 2θ 1
则当P点的坐标为(±1,-2)时,
2 |PO|max= = 2 ,故选 D. (1) (2)
x 1 sin 2θ , (1) (θ为参数); y sin θ cos θ 1 t x (e e t ), 2 (2) (t为参数). 1 t t y (e e ) 2
解析 (1)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ), 得y2=2-x.又x=1-sin 2θ∈[0,2], 故所求的普通方程为y2=2-x,x∈[0,2]. (2)由参数方程得et=x+y,e-t=x-y, ∴(x+y)(x-y)=1,
2018版高考数学一轮复习 选修系列 14.1 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程 理
第2讲 参数方程一、填空题1．直线x －y ＋1＝0与参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋5cos t y ＝3＋5sin t的曲线的交点个数：________．解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋5cos t y ＝3＋5sin t ⇒(x ＋4)2＋(y －3)2＝25则圆心(－4，3)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|－4－3＋1|2＝32＜5 ∴直线与圆相交，故交点个数是2个． 答案 22．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，(α为参数)∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α ①y －1＝sin α ②(α为参数)①2＋②2得x 2＋(y －1)2＝1，此即为所求普通方程． 答案 x 2＋(y －1)2＝13．直线3x ＋4y －7＝0截曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)的弦长为________．解析 曲线可化为x 2＋(y －1)2＝1，圆心到直线的距离d ＝|0＋4－7|9＋16＝35，则弦长l ＝2r 2－d 2＝85.答案 854．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析 将l 1、l 2的方程化为直角坐标方程得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0，由l 1∥l 2，得k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4，由l 1⊥l 2，得2k ＋2＝0⇒k ＝－1.答案 4 －15．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t2y ＝4t －3(t 为参数)与x 轴交点的坐标是________．解析 令y ＝0，得t ＝34，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2516，交点为(2516，0)．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2516，06．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 40°y ＝－1＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________．解析 将参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 50°，y ＝－1＋t sin 50°，得直线的倾斜角为50°.答案 50°7．已知在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)有两个不同的交点P 和Q ，则k 的取值范围为________．解析 曲线C 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)化为普通方程：x 22＋y 2＝1，故曲线C 是一个椭圆．由题意，利用点斜式可得直线l 的方程为y ＝kx ＋2，将其代入椭圆的方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，所以Δ＝8k 2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22.即k 的取值范围为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 8．如果曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是________．解析 将曲线的参数方程转化为普通方程，即(x －a )2＋(y －a )2＝4，由题意可知，以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C 总相交，根据两圆相交的充要条件，得0＜2a 2＜4， ∴0＜a 2＜8，解得0＜a ＜22或－22＜a ＜0. 答案 (－22，0)∪(0,22) 二、解答题9．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 解 (1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，D ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)， 令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．10．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 故直线OP 的直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r .故直线l 与圆C 相交．。
山东省胶州市高考数学一轮复习第2讲算法与程序框图课前学案(无答案)文(2021年整理)
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第2讲算法与程序框图【双基自测】1．(2017·辽宁省五校联考）如图，若f（x)＝log3x，g（x)＝log2x，输入x＝0.25，则输出的h(x)＝( ）A．0.25 B．2log32 C．－12log23 D．－22．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．10 B．17 C．19 D．363．(2017·唐山第一次模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的A是________．4.（2016·高考山东卷)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3，则输出的S的值为__________．我的困惑：【课堂互动探究区【考点一】顺序结构与条件结构【例1】(1)阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c分别是21，32，75，则输出的a，b，c分别是( )A．75，21，32 B．21,32，75 C．32，21，75 D．75,32，21(1） (2)(2）执行如上图所示的程序框图,如果输入的t∈［－1,3］，则输出的s属于( ）A．[－3，4] B．[－5，2]C．［－4，3］D．[－2，5］★若本例（2）的判断框中的条件改为“t≥1？”,则输出的s的范围是________．【规律总结1】：【我会做】(1)．(2017·长春模拟)执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4（1) (2)【我能做对】(2)．(2017·福州五校联考）定义[x]为不超过x的最大整数，例如[1。
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第2讲 参数方程
学习目标
1了解参数方程，了解参数的意义．
2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程
重难点
能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，解决相应问题。
合作探究
课堂设计
学生随堂手记
【课前自主复习区】
【基础自查】
1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）
就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．
2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程
名称 普通方程 参数方程
参数的 直线
y －y 0＝k (x －x 0)
圆
(x －x 0)2
＋(y －y 0)2
＝R
2
椭圆
x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)
122
22=+b
x a y (a >b >0)
抛物线 y 2＝2px (p >0)
3.根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.
①弦长l＝；
②弦M1M2的中点⇒；
③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
【双基自测】
1.已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2
2sin θ,则直线l与圆C的位置关系为()
A.相离
B.相切
C.相交
D.由参数确定
2.(2016甲卷)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
★3.已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为 (t为参数,α为倾斜角),在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ.
(1)写出曲线C的直角坐标方程;
(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围.
我的困惑：。