1.4倒格子 布里渊区(s)

2π d h1h2 h3
。
(1)证明 G h h1 b1 h2 b 2 h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
a1 a2 a3 , , 。 ABC在基矢 a1 , a 2 , a 3上的 截距分别为 h1 h2 h3
由图可知： CA OA OC a 1 a 3 h1 h3
(2)证明 G h h1 b1 h2 b 2 h3 b3 由平面方程： X n d
的模等于 得：
2π d h1h2 h3
。
d h1h2h3
a1 G h h1 G h
2π a1 h1 b1 h2 b 2 h3 b3 h1 Gh Gh
5.在晶胞坐标系 a, b, c 中，




3.上式两边分别按傅里叶级数展开：
V (1, 2 , 3 )
展开系数:
h1 , h2 , h3

Vh1 , h2 , h3 e
2 i ( h11 h22 h33 )
h1 h2 h3 为整数
Vh1 , h2 , h3 d1 d2 d3e
0 0 0
a2 a2 a2 a3 j k 2 2
2π b1 a2 a3 Ω
同理得：
1 3 Ω a1 a 2 a 3 a 2
2π a 2 2π jk jk 3 a 2 a 2
倒格矢：
2π b1 jk a 2π b2 ik a







2π b2 ik a b3
a 1 b1 2 π a1 b2 0
a i b j 2 π ij
2π ( i j )
0 (i j )
a 2 b1 0 a 2 b 2 2π
2π b1 i a 2π b2 j a
2π a 2π a
Gh h1b1 h2 b2
2π 倒格是边长为 a 的正方形格子。
3.倒格点位式为:
G h1 b1 h2 b 2 h3 b3
(h1 , h2 , h3为整数)
倒格基矢的方向和长度如何呢？
2π a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω b1


2π d1
b3
a3
b2
a1
a2
b1 2 π
2π b1 i a 2π b2 j a 2π b3 k a
G h1h2h3 h1 b1 h2 b 2 h3 b3
2π h1 i h2 j h3 k a


G h1h2 h3
2π a
2 2 h12 h2 h3
d h1h2 h3
2π G h1h2 h3



d h1h2h3
a
2 h2 h2 h1 2 3
三.晶格周期函数的傅里叶展开
1.在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
V r V (r R l )

Rl 是晶格平移矢量。
晶格中任一点位矢:
r 1 a1 2 a2 3 a3
1 , 2 , 3
a3 a2
C
Gh
CB OB OC
a2 a3 h2 h3
O
B A
a1
a1 a 2 0 G h CA ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h h 2 1 a2 a3 0 G h CB ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h h 2 3 所以 G h h1 b1 h2 b 2 h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
3



h ,n a
h2 d a2
3 3
d
对于立方晶系： a1 a2 a3 a 且：a1a 2 a 3
cos2 a1 , n cos2 a 2 , n cos2 a 3 , n 1
2 2 2 a a a 2 d h 2 h2 h 2 1 1 1 1
R n G h (n1 a1 n2 a 2 n3 a 3 ) (h1 b1 h2 b 2 h3 b3 )
2π(n1h1 n2 h2 n3h3 )
2π
3.
3 2π Ω*
Ω* b1 b2 b3
3

Ω
(其中和*分别为正、倒格原胞体积)


2π i j a
2π b3 i j a


体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方 。
例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为 a d h1h2h3 2 h2 h2 h1 2 3 证明：
法一： 由 G h
2π d h1h2h3
得： d h1h2 h3
§1.4
倒格子 布里渊区
1.倒格子的定义
2.倒格子与正格子的关系
3.周期函数的傅里叶变换
4.布里渊区
一.倒格子的定义
一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格。 正格 倒格
正格基矢 a 1 , a 2 , a 3 正格（点位）矢： 倒格基矢
b1 , b2 , b3
倒格（点位）矢：
Rn n1 a1 n2 a 2 n3 a 3

0பைடு நூலகம்
i j

2π
2π a 3 a 1 a1 b2 a1 Ω


0
2.
R n Gh 2π (为整数)
G h h1 b1 h2 b 2 h3 b3
其中 R n和G h 分别为正格点位矢和倒格点位矢。
R n n1 a1 n2 a 2 n3 a 3
a2 a3 Ω
b2
2π d2
b1
2π b3 d3
一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方
向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的 2倍。
二.倒格与正格的关系
1. a i b j 2π ij 2π
(i j )
2π a 2 a 3 a 1 b1 a 1 Ω


2π a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 Ω

A B C A C B A B C




a a a a a a a a a a a a
例2：证明体心立方的倒格是面心立方。
解： 体心立方的原胞基矢：
a1 a2 a3 a i jk 2 a i jk 2 a i jk 2



2π a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω b1



a
2 h2 h2 h1 2 3
法二：设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
ABC在基矢 a1 , a 2 , a 3 上的截距分别为
a1 a 2 a 3 , , h1 h2 h3
，
由平面方程 X n d 得：
a1 n d h1 a2 n d h2 a3 n d h3
r 1 a1 2 a2 3 a3
(i j )
0
i j
两边点乘 b1
傅里叶级数(r):
V (r )
h1h2 h3
V
i ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) r i G r e V e h1h2 h3 G G
1 Ω a1 a 2 a 3 a 3 2


a2 a3
a i j k a a a i 2 a 2 2 2 a a a 2 2 2 2
a a 2 j 2 a a 2 2
a 2 k a 2
a a 2 2 a a 2 2
a2 a2 j k 2 2
2π a b c Ω 2π b c a Ω 2π c a b Ω



Ω ( a b ) c

K hk l
ha k b l c
6.小结:—— 倒格子基矢量
a2 a3 b1 2 a1 a2 a3 a3 a1 b2 2 a1 a2 a3 a1 a2 b3 2 a1 a2 a3
a cosa , n h d a cosa , n h d
a1 cos a 1 , n h1d
2 3 2 3 2 3
a cosa , n h d a cosa , n h d
a1 cos a 1 , n h1d
2 3 2 3 2 3
h1 co s a 1 , n d a1 co s a 2 , n co sa
倒格子基矢的性质
2 (i j ) ai b j 2 ij 0 (i j )
— 倒格子空间是正格子的倒易空间; __倒格子空间与正格子空间互为倒易空间
__已知了G就知道了晶面系(h1,h2,h3) 的法线方向和面间距.利用
晶面系与倒格点的对应关系,便利处理问题.
不一定是整数
1 0 ~ 1 2 0 ~ 1 0 ~ 1 3
1的周期函数 ) 2. V r 看成是(1 , 2 , 3为变量, 周期是 V 1 a1 2 a2 3 a3 V (1 1)a1 ( 2 1)a2 (3 1)a3
即: V 1, 2 , 3 V 1 1, 2 1, 3 1
2π
G h1h2 h3
2π b1 i a 2π b2 j a 2π b3 k a
简立方：a1 ai , a2 a j, a3 ak ,
2π 2π b1 a2 a3 i Ω a
b2
3 1
2π 2π a a j Ω a

2π 2π b3 a1 a 2 k Ω a
0
i j
G h h1 b1 h2 b 2 h3 b3
例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。
a2 a j
a
a
a 1 ai a2 a j
a
a
a 1 ai
a i b j 2 π ij
2π ( i j )
0 (i j )
a 1 ai a2 a j
3 1 1 2
A B C A C B A B C




3
1
2
1
3
1
1
2
Ω a1
2π Ω* a 2 a 3 Ω a1
Ω
3

3 2 π
Ω
4.倒格矢 G h h1 b1 h2 b 2 h3 b3 与正格中晶面族(h1h2h3) 正交，且其模(长度)为
1
1
1
2 i ( h11 h22 h33 )
V (1, 2 , 3 )
4.傅立叶变换关系:
V (1, 2 , 3 )
1. a i b j 2π ij 2π
h1 , h2 , h3

Vh1 , h2 , h3 e2 i ( h11 h22 h33 )
G h1 b1 h2 b 2 h3 b3
2.倒格基矢定义为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω


其中 a 1 , a 2 , a 3 是正格基矢，
Ω a1 a 2 a 3


是原胞体积
7.应用:已知晶体结构如何求其倒格矢呢？ 晶体 结构
正格
正格 基矢
倒格 基矢
倒格
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2 Ω


a1 , a 2 , a 3
b1 , b 2 , b 3
2π ( i j )
a i b j 2π ij