1.4倒格子 布里渊区(s)
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1晶体结构III
其相位差： 如果发生衍射的是 (HKL) 晶面，则：
晶体结构III —— 固体物理导论
所以，一个晶胞内所有原子的相干散射振幅需要对所有原子求和： 根据几何结构因子的定义，有：
因为衍射测量的是衍射强度，它正比于： 只需要将上式乘以共轭复数再开方即为结构因子的表达式
结构因子有可能使Laue条件允许的某些衍射斑点消失(消光)
显然H, K, L为全奇、全偶时，H+K, H+L, K+L 均为偶数。
H, K, L奇偶混杂时（2奇1偶或2偶1奇） H+K, H+L, K+L 必定有2个奇数， 1个偶数，所以：
只有当H, K, L 为全奇或全偶的晶面才会显现衍射蜂。(100), (110), (210), (211), (300)等晶面衍射峰消失。
晶体结构III —— 固体物理导论
发生衍射的条件
衍射条件的Bragg定律 Bragg 把晶体对X光的衍射 当作由原子平面的反射。 在反射方向上，一个平面 内所有原子的散射波位相 相同、相互叠加，当不同 原子平面间的辐射波符合 Bragg关系时，散射 波在反射方向得到加强， 形成衍射。
光的反射定律
假设弹性散射
晶体结构III —— 固体物理导论
3. 影响衍射强度的其它因素： 晶体的不完整性：对周期性的偏离，引起衍射峰展宽。 温度影响：使衍射峰值降低。 吸收影响：晶体原子对入射波的吸收。 消光效应：X射线在晶体内部多次反射引起的相消干涉。等等 以上在晶体结构的实际测量中都是要注意到的。
晶体结构III —— 固体物理导论
Laue方程k '− k = K h ,k ,l 不是真正的衍射加强条件, 因其含有消光点,必须采用几何结构因子来修正
晶体结构III
旋转-反演轴的对称操作
3
可以按倒格矢展开为傅立叶级数布里渊区（倒空间原胞）、界面方程
晶体可以作为X射线的衍射光栅奠定了固体物理基础！
光的反射定律
处原子散射波
0k r 1
k r
条件）的意义：
弹性散射近似
其它格点恰好是一个倒格矢，故方向发生衍射。
倒格子
晶体至胶片距离
定、确定原子位置最基本的方法。
S
1
S
1
其相位差：
因为衍射测量的是衍射强度，它正比于：
个原子：
：四个原子：
,,'h k l k k K −=方程不是真正的衍射加强条件,
因其含有消光点,必须采用几何结构因子来修正
SC
薄膜多晶衍射图
扫描探针显微术SPM
Si原子表面重构。
布里渊区
固体物理 固体物理
布里渊区
主讲人： 主讲人：许本超 答疑人： 答疑人：李海龙 封福明
固体物理 固体物理
内容
• • • • • • • • • 1.倒易空间 2. 布里渊区基本概念 3. 典型格子的第一布里渊区 4.布里渊区的几何性质 5. 衍射条件在布里渊区诠释 6.布里渊区中的K点 7.布里渊区和能带的关系 8.布里渊区和费米面 9.MS计算能带实例图
14
固体物理 固体物理
7.2布里渊区和能带的关系
能带论的基本出发点: 能带论的基本出发点 固体中的电子可以在整个固体中运动 电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用 由于周期场的微扰， 由于周期场的微扰，
E
E6
E(k)函数在布里渊区 函数在布里渊区
允许带
E5
边界k=± 边界 ±nπ/a处出现 处出现
3.2体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的 体心立方晶格的倒格子为面心立方晶格
可以看出， 可以看出，面心立方倒 格子（即体心立方晶格） 格子（即体心立方晶格） 的F.B.Z为正菱形十二 为正菱形十二 面体（非正十二面体） 面体（非正十二面体）
8
固体物理 固体物理
3.3面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的 面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的倒格子为体心立方晶格
如右图所示， 如右图所示，黑框为体心立方 倒格子，取其体心（黄点） 倒格子，取其体心（黄点）作 为原点，红点（8个 为原点，红点（8个）为此原 点最相邻的倒格点，蓝点（6 点最相邻的倒格点，蓝点（ 个）为此原点次相邻倒格点 可以看出， 可以看出，体心立方倒 格子（即面心立方晶格） 格子（即面心立方晶格） 的F.B.Z为截角的八面体 为截角的八面体 十四面体） （十四面体）
布里渊区
主讲人： 主讲人：许本超 答疑人： 答疑人：李海龙 封福明
固体物理 固体物理
内容
• • • • • • • • • 1.倒易空间 2. 布里渊区基本概念 3. 典型格子的第一布里渊区 4.布里渊区的几何性质 5. 衍射条件在布里渊区诠释 6.布里渊区中的K点 7.布里渊区和能带的关系 8.布里渊区和费米面 9.MS计算能带实例图
14
固体物理 固体物理
7.2布里渊区和能带的关系
能带论的基本出发点: 能带论的基本出发点 固体中的电子可以在整个固体中运动 电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用 由于周期场的微扰， 由于周期场的微扰，
E
E6
E(k)函数在布里渊区 函数在布里渊区
允许带
E5
边界k=± 边界 ±nπ/a处出现 处出现
3.2体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的 体心立方晶格的倒格子为面心立方晶格
可以看出， 可以看出，面心立方倒 格子（即体心立方晶格） 格子（即体心立方晶格） 的F.B.Z为正菱形十二 为正菱形十二 面体（非正十二面体） 面体（非正十二面体）
8
固体物理 固体物理
3.3面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的 面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的倒格子为体心立方晶格
如右图所示， 如右图所示，黑框为体心立方 倒格子，取其体心（黄点） 倒格子，取其体心（黄点）作 为原点，红点（8个 为原点，红点（8个）为此原 点最相邻的倒格点，蓝点（6 点最相邻的倒格点，蓝点（ 个）为此原点次相邻倒格点 可以看出， 可以看出，体心立方倒 格子（即面心立方晶格） 格子（即面心立方晶格） 的F.B.Z为截角的八面体 为截角的八面体 十四面体） （十四面体）
倒格子与布里渊区
问题：
若Gh，Rn分别为正、倒格矢，上 式成立。反之，若上式成立，若已知 一个为正格矢，则另一个必为倒格矢 吗？
证：
Gn
x
晶为面：族(h1h2h3x) 中 离G G原hh 点距m 离为dhmdh的晶面方程 其中
x为晶面上的任意位矢，并不一定是格矢。
由性质（4）
dh
2
Gh
x
G h Gh
x
Gh
（B） c 2
类似可得
b2＝
2
（a3×a1）
b3＝
2
(a1×a2)
2
2
有了倒格子基矢，可构成倒格矢。
Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 倒格子周期性
其中h1 h2 h3为任意整数，由倒格矢Gh确定的空间 叫倒格子空间。
由上定义可知，Gh与波矢K有相同的量钢。 属同一“空间” Gh是K空间的特定矢量。
精选课件二维正方晶格的布里渊区精选课件二维长方晶格的布里渊区精选课件二维六方晶格的十个布里渊区精选课件面心立方晶格的第一布里渊区精选课件体心立方晶格的第一布里渊区精选课件精选课件作业p63
§1.6 倒格子与布里渊区
一. 倒格子
（先在B格子和基矢坐标系中讨论)
1. 定义：
正格子基矢 a1 a2 a3 倒格子基矢 b1 b2 b3
即 U⊥Gh 同理可证υ⊥Gh Gh与（h1、h2、h3）面内二条非平行直线均 垂直,所以
Gh垂直于（h1、h2、h3）晶面族。
(4) 某方向最短倒格矢 Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 之模 和晶面族（h1、h2、h3）的 面间距dh成反比。
dh
2
Gh
（5）倒格矢Gh和正格矢Rn的 标积是2π的整数倍 Gh·Rn＝2πm
若Gh，Rn分别为正、倒格矢，上 式成立。反之，若上式成立，若已知 一个为正格矢，则另一个必为倒格矢 吗？
证：
Gn
x
晶为面：族(h1h2h3x) 中 离G G原hh 点距m 离为dhmdh的晶面方程 其中
x为晶面上的任意位矢，并不一定是格矢。
由性质（4）
dh
2
Gh
x
G h Gh
x
Gh
（B） c 2
类似可得
b2＝
2
（a3×a1）
b3＝
2
(a1×a2)
2
2
有了倒格子基矢，可构成倒格矢。
Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 倒格子周期性
其中h1 h2 h3为任意整数，由倒格矢Gh确定的空间 叫倒格子空间。
由上定义可知，Gh与波矢K有相同的量钢。 属同一“空间” Gh是K空间的特定矢量。
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§1.6 倒格子与布里渊区
一. 倒格子
（先在B格子和基矢坐标系中讨论)
1. 定义：
正格子基矢 a1 a2 a3 倒格子基矢 b1 b2 b3
即 U⊥Gh 同理可证υ⊥Gh Gh与（h1、h2、h3）面内二条非平行直线均 垂直,所以
Gh垂直于（h1、h2、h3）晶面族。
(4) 某方向最短倒格矢 Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 之模 和晶面族（h1、h2、h3）的 面间距dh成反比。
dh
2
Gh
（5）倒格矢Gh和正格矢Rn的 标积是2π的整数倍 Gh·Rn＝2πm
关于布里渊区
1.4 倒易点阵和布里渊区(Reciprocal lattice; Brillouin zones)一. 定义二. 倒易点阵和晶体点阵的关系三. 倒易点阵的物理意义四. 倒易点阵实例五. 布里渊区4. 正点阵晶面族与倒易点阵格矢相互垂直，123(,,)h h h 123h h h Ghkl 123123G h b h b h b =++且有：1231232h h h h h h d G π= 证明：先证明倒格矢与正格子的晶面系正交。
如图所示，晶面系中最靠近原点的晶面（ABC ）在正格子基矢的截距分别为：123,,123123h h h G h b h b h b =++123()h h h 123()h h h 123,,a a a123123,,a a a h h h3 3)ah实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的物理量，所以也可以说：倒易点阵是晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变换。
因此，正格子的量纲是长度l, 称作坐标空间，倒格子的量钢是长度的倒数l-1，称作波矢空间。
例如：正点阵取cm,倒易点阵是cm-1, 下面我们将看到：晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。
晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。
倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定义的，所以每一种晶体结构，都有2个点阵与其相联系，一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周期排列的图像；另一个是倒易点阵，反映了周期结构物理性质的基本特征。
1a 2a 1b 2b正格子空间中长的基矢a 3对应于倒格子空间短的基矢b 3，反之亦然。
推广，正格子空间长的线条对应于倒格子空间短的线条。
正点阵为简单点阵，倒易点阵也是简单点阵。
正点阵为有心点阵时，倒易点阵也是有心点阵，但有心类型可能不同，例如：体心立方点阵的倒格子为面心立方点阵。
而面心立方点阵的倒格子为体心立方点阵。
（具体证明见习题1.11)正方点阵布里渊区第二到第九Brillouin区约化到第一布里渊区各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的布里渊区构造动画正方倒格子正方倒格子中第2到第6Brillouin区约化到第一布里渊区的动画六角倒格子六角倒格子中第2到第6Brillouin区约化到第一布里渊区的动画简立方（sc）倒格子布里渊区见黄昆书图4Fcc倒格子布里渊区面心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区XΓLK XXUWK zK yK xfcc: 布里渊区的高对称点1st Brillouin Zone:(0,0,0)2:(1,0,0)2111 :(,,)222233:(,,0)44XaLaKaπππΓ0.5√3a109o28’bcc 格子的倒格子（fcc）及布里渊区bcc: 布里渊区的高对称点:(0,0,0)2:(1,0,0)2111:(,,)222211:(,,0)22H a P a N a πππΓIt would be sufficient for most purposes to know the En(k) curves -the dispersion relations -along the major directions of the reciprocallattice (n is the band index).倒易点阵和14种晶体点阵是一一对应的，因此也只有14种类型的倒易点阵和14种不同形状的第一布里渊区。
倒格子和布里渊区
矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶 面面间距这 2 个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说 阵点）就能综合地表达出来。
上述第4点的图示。
5. 正点阵和倒易点阵是互易的：由正点阵 a1, a 2 , a3 给出倒易
点阵 b1, b2, b3 现假定 b1, b2 , b3 为正点阵，则其
? iGhkl
?r?) exp(
? iGhkl
? ?Rn
)
K
显然： 即：
? K? e?xp(iG?hkl ?Rn ) ? 1
Ghkl ?Rn ? 2? m
既然 Rn 是正点阵的格矢，符合该关系的 G hkl 就是倒易点阵
的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中
的表述之间服从Fourier变换关系。
实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的 物理量，所以也可以说： 倒易点阵是晶体点阵的 Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的 Fourier逆变换。 因此，正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子 的量钢是长度的倒数 L-1，称作波矢空间。例如：正点 阵取cm,倒易点阵是cm-1, 下一节我们将看到：
晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于 G h1h2h3 ? ( ABC )
可以证明：
?
d ? OA ? GG? h1h2h3Βιβλιοθήκη h1h2 h3 h1h2 h3
? ?2?
Gh1h2h3
由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而 它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒易点阵基
第二到第九 Brillouin区约化到第一布里渊区
各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的
上述第4点的图示。
5. 正点阵和倒易点阵是互易的：由正点阵 a1, a 2 , a3 给出倒易
点阵 b1, b2, b3 现假定 b1, b2 , b3 为正点阵，则其
? iGhkl
?r?) exp(
? iGhkl
? ?Rn
)
K
显然： 即：
? K? e?xp(iG?hkl ?Rn ) ? 1
Ghkl ?Rn ? 2? m
既然 Rn 是正点阵的格矢，符合该关系的 G hkl 就是倒易点阵
的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中
的表述之间服从Fourier变换关系。
实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的 物理量，所以也可以说： 倒易点阵是晶体点阵的 Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的 Fourier逆变换。 因此，正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子 的量钢是长度的倒数 L-1，称作波矢空间。例如：正点 阵取cm,倒易点阵是cm-1, 下一节我们将看到：
晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于 G h1h2h3 ? ( ABC )
可以证明：
?
d ? OA ? GG? h1h2h3Βιβλιοθήκη h1h2 h3 h1h2 h3
? ?2?
Gh1h2h3
由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而 它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒易点阵基
第二到第九 Brillouin区约化到第一布里渊区
各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的
1.4倒格子
( , ,0, , )
4、倒格与傅里叶变换
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
r Rl r
R l 是正格矢。
上式两边分别按傅里叶级数展开：
v Γ (r ) =
å
h
u r r u r iG h × r Γ (G h ) e
u r v iGh ?(rr ur ) R Γ (Gh ) e
解： 体心立方的原胞基矢： 2π a b1 a2 a3 i j k a1 Ω 2 a 2π a 2 i j k b 2 a 3 a1 2 Ω a a 3 i j k 2π 2 b3 a1 a 2 Ω a a i j k a a a 2 j i 2 a2 a3 a a 2 2 2 a a a 2 2
二维方格子二维方格子?设方格子的原胞基矢为简单立方晶体简单立方晶体正格子基矢为?其倒格子仍为简单立方结构与原点相近邻的倒格这些倒格矢的垂直平分面构成简单立方体即
§1.4
倒格子
晶体结构=晶格+基元
一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格。 正格 正格基矢 a1 , a 2 , a 3 正格（点位）矢： 倒格 倒格基矢 b1 , b 2 , b3 倒格（点位）矢：
由图可知： CA OA OC a 1 a 3 h1 h3
C O
Gh
a2 a3 CB OB OC h2 h3
a2
B
a1 a 3 0 G h CA ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h1 h3 a2 a3 0 G h CB ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h h3 2
06 固体物理 1.4.1 倒格子
1 3
CB OB OC
a2
h2
a3
h3
0
a1/h1
B a2 a2/h2 A
a1
a a Gh1h2 h3 CA (h1b1 h2b 2 h3b 3 ) ( 1 3 ) 2 2 0 h1 h3 同理： Gh1h2h3 CB 0，
i j i j
2 c a1 (a 2 a3 )
由此，可以直接定义倒格子基矢为：
相应的倒格子基矢为：
a2 a3 2 (a2 a3 ) b1 2 a1 (a2 a3 )
a3 a1 2 (a3 a1 ) b2 2 a1 (a2 a3 )
所以有
( r ) 在傅氏 F (K h ) 是物理量 Rl 是正格矢， 空间的表示形式 K h应是 Rl 的倒格矢
e
iK h Rl
1
即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示满足傅氏变换关系； 正空间周期性物理量的傅氏空间就是其倒空间； 正格子和倒格子互为傅氏变换。
ai b j 2ij 确定，则以上条件成立。
K h Rl (h1b1 h2b2 h3b3 ) (l1a1 l2a2 l3a3 ) 2 (h1l1 h2l2 h3l3 ) 2
li , hi 都是整数， 也应是整数， eiKh Rl ei 2 1
2可以证明，Fra bibliotek* (2 )3 /， 即，* (2 )3
* (2 )3 /， 即，* (2 )3
2、倒格子的倒格子是原布拉菲格子
c2， c3 ，可以证明 ci ai , i 1,2,3 按倒格子基矢定义构造基矢 c1， 2 (b 2 b3 ) 2 即令：c1 * b 2 b3 b1 b 2 b3 (2 ) 2 b 2 b3 (a3 a1 ) (a1 a 2 ) 利用 A B C B( A C) C( A B) 2 ( A B) C ( B C) A (C A) B (2 ) 2 (2 ) 2 a1 a1 2 Rl，Kh所代表点的集合 2 2 (2 ) 2 (b 2 b3 ) 都是布拉菲格子，且 a1 c1 * b1 b 2 b3 互为正倒格子。事实 上在
CB OB OC
a2
h2
a3
h3
0
a1/h1
B a2 a2/h2 A
a1
a a Gh1h2 h3 CA (h1b1 h2b 2 h3b 3 ) ( 1 3 ) 2 2 0 h1 h3 同理： Gh1h2h3 CB 0，
i j i j
2 c a1 (a 2 a3 )
由此，可以直接定义倒格子基矢为：
相应的倒格子基矢为：
a2 a3 2 (a2 a3 ) b1 2 a1 (a2 a3 )
a3 a1 2 (a3 a1 ) b2 2 a1 (a2 a3 )
所以有
( r ) 在傅氏 F (K h ) 是物理量 Rl 是正格矢， 空间的表示形式 K h应是 Rl 的倒格矢
e
iK h Rl
1
即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示满足傅氏变换关系； 正空间周期性物理量的傅氏空间就是其倒空间； 正格子和倒格子互为傅氏变换。
ai b j 2ij 确定，则以上条件成立。
K h Rl (h1b1 h2b2 h3b3 ) (l1a1 l2a2 l3a3 ) 2 (h1l1 h2l2 h3l3 ) 2
li , hi 都是整数， 也应是整数， eiKh Rl ei 2 1
2可以证明，Fra bibliotek* (2 )3 /， 即，* (2 )3
* (2 )3 /， 即，* (2 )3
2、倒格子的倒格子是原布拉菲格子
c2， c3 ，可以证明 ci ai , i 1,2,3 按倒格子基矢定义构造基矢 c1， 2 (b 2 b3 ) 2 即令：c1 * b 2 b3 b1 b 2 b3 (2 ) 2 b 2 b3 (a3 a1 ) (a1 a 2 ) 利用 A B C B( A C) C( A B) 2 ( A B) C ( B C) A (C A) B (2 ) 2 (2 ) 2 a1 a1 2 Rl，Kh所代表点的集合 2 2 (2 ) 2 (b 2 b3 ) 都是布拉菲格子，且 a1 c1 * b1 b 2 b3 互为正倒格子。事实 上在
1.4倒格子
例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。
a2 a j
a
a
a 1 ai a2 a j
a
a
a 1 ai
a i b j 2π ij
2π ( i j )
0 (i j )
a 1 ai a2 a j
a 1 b1 2 π a1 b2 0
正格
倒格
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2 Ω
a1 , a 2 , a 3
b1 , b 2 , b 3
2π ( i j )
a i b j 2π ij
0
i j
G h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3
a1 cosa1 , n h1d a 2 cosa 2 , n h2 d a 3 cosa 3 , n h3 d
2.晶面及晶面指数 在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面， 称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
h h h 若遇负数，则在该数上方加一横线h h h 。
1 2 3
1 2 3
以布拉菲原胞基矢 a , b,c 为坐标轴来表示的晶面指数称为
密勒指数，用(hkl)表示。
晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是：
2π ( i j )
2π3 Ω*
Ω
0
i j
u u r r 2. Rl ?G h
2π μ
u r r r r 4. G h = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 ^ (h1h2h3)
u r G h1h2 h3 =
固体物理：1-4 倒 格
反射线构成以 转轴为轴的一 系列圆锥
实际反射线是 通过晶体O的
由直线间距计 算晶格常量
P C
CO为入射方向, 晶体原点在O 点处
O
35
P
C
O
O
CO为入射方向,晶体在O点处
根据衍射斑点间的距离可以求晶体的晶格常量。
36
3.粉末法
(1)X射线单色(固定)； (2)样品为取向各异的单晶粉末。
由于样品对入射线方向是“轴对称”的，任意晶面的取向 几乎是连续的，对应的反射线以入射方向为轴形成一个圆 锥面。不同晶面族的衍射线构成不同圆锥。衍射线与圆筒 形相交，形成图示衍射条纹。
Ω* (2π)3 / a3 (2π)3 / Ω
ak
aj
O
ai
b3
b2
O
b1
第一布里渊区
12
例5：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为a。
解：面心立方正格基矢：
a a1
a j
2
k
a2 a
3
a
2
i
a
2
i
k
j
Ω a1 (a2 a3)
1 a3 4
ak
a 1
aj
倒格基矢:
19
§ 1.8.1 晶体衍射的基本方法
1.X射线衍射
X射线是由被高电压V加速了的电子，打击在“靶极”物质
上而产生的一种电磁波。主要与原子中电子云发生作用。
当晶体中含有质量相差较大的原子时，用X射线衍射测定晶
体结构。
h max eU
h c eU min
min
hc eU
1.2
U
103
(nm)
h 6.62 1034 J s c 3 108 m s e 1.6 1019 C
倒格子与布里渊区
波动的允许频率范围。
布里渊区的形状和大小取决于晶 体的对称性和周期性，它反映了
晶体中电子行为的特征。
布里渊区对于理解固体材料的电 子结构和光学性质具有重要意义， 例如光的吸收、反射和折射等。
倒格子与布里渊区在固体物理中的应用
通过倒格子空间和布里渊区的理论分 析，可以预测和解释固体材料的各种 物理性质，如导电性、光学性质、磁 学性质等。
倒格子与布里渊区的理论分析还为实 验物理学家提供了理解和设计新型固 体材料的有力工具。
这些理论工具在材料科学、电子工程 和光子学等领域有着广泛的应用，对 于新材料的发现和性能优化具有指导 意义。
倒格子与布里渊区的未来发
05
展
倒格子与布里渊区理论的进一步研究
深入研究倒格子与布里渊区的数学模型和物理机制，提高理论预测的精度 和可靠性。
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域。
详细描述
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域，它反映了晶体中波矢的周期性和对称性。在倒空间 中，布里渊区是一个封闭的区域，其形状和大小取决于晶体 的对称性和周期性。
布里渊区的性质
总结词
布里渊区的性质包括对称性、边界形状和大小、与倒格子的关系等。
倒格子与布里渊区的物理意义
01 倒格子描述了晶体中电子波函数的周期性，而布 里渊区则描述了电子在波矢空间中的行为。
02 倒格子和布里渊区在物理中具有重要意义，它们 是理解晶体中电子行为的关键。
02 倒格子和布里渊区的物理意义在于它们提供了描 述晶体中电子行为的几何框架。
倒格子与布里渊区在物理中的应用
正格子与倒格子的关系
正格子与倒格子之间存在特定的关系，即正格子的波矢 k和倒格子的波矢K之间满足K=2π/a−k，其中a是正格 子的晶格常数。
布里渊区的形状和大小取决于晶 体的对称性和周期性，它反映了
晶体中电子行为的特征。
布里渊区对于理解固体材料的电 子结构和光学性质具有重要意义， 例如光的吸收、反射和折射等。
倒格子与布里渊区在固体物理中的应用
通过倒格子空间和布里渊区的理论分 析，可以预测和解释固体材料的各种 物理性质，如导电性、光学性质、磁 学性质等。
倒格子与布里渊区的理论分析还为实 验物理学家提供了理解和设计新型固 体材料的有力工具。
这些理论工具在材料科学、电子工程 和光子学等领域有着广泛的应用，对 于新材料的发现和性能优化具有指导 意义。
倒格子与布里渊区的未来发
05
展
倒格子与布里渊区理论的进一步研究
深入研究倒格子与布里渊区的数学模型和物理机制，提高理论预测的精度 和可靠性。
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域。
详细描述
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域，它反映了晶体中波矢的周期性和对称性。在倒空间 中，布里渊区是一个封闭的区域，其形状和大小取决于晶体 的对称性和周期性。
布里渊区的性质
总结词
布里渊区的性质包括对称性、边界形状和大小、与倒格子的关系等。
倒格子与布里渊区的物理意义
01 倒格子描述了晶体中电子波函数的周期性，而布 里渊区则描述了电子在波矢空间中的行为。
02 倒格子和布里渊区在物理中具有重要意义，它们 是理解晶体中电子行为的关键。
02 倒格子和布里渊区的物理意义在于它们提供了描 述晶体中电子行为的几何框架。
倒格子与布里渊区在物理中的应用
正格子与倒格子的关系
正格子与倒格子之间存在特定的关系，即正格子的波矢 k和倒格子的波矢K之间满足K=2π/a−k，其中a是正格 子的晶格常数。
布里渊区
a
jk
,
b2
2
a
k＋i
,
b3
2
a
i j
K n n1b1 n2b2 n3b3
2 a
n2 n3 i n1 n3 j n1 n2 k
20
4
a
b1
b2
b3
21
3.离原点最近的倒格点 体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的倒格点有十二个。在直角坐标系中的坐标分别为:
11
6.二维正方格子的能带交叠 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k'方向上能量最高点C。 C点的能量比第二布里渊区B点高。
12
二维(包括三维)和一维情形有一个重要的区别—不同能带在能量上不一定 分隔开而可以发生能带之间的交叠。第一布里渊区和第二布里渊区能带 的重叠。
13
7.二维斜格子的第一布里渊区
第一布里渊区—倒格子空间中的WS原胞。
1
2.布里渊区的特点 (1)各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。
＝b1 b2 b3
2 3
(2)波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为：
1 N1
b1
2 N2
b2
3 N3
b3
14
8.二维六角格子其它布里渊区的形成
15
9.二维六角格子其它布里渊区的形状 每个布里渊区经过适当的 平移之后和第一布里渊区 重合
16
10.二维格子布里渊区的特点 (1)尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干小区, 但是,实际上能量 是连续的。属于一个布里渊区的能级构成一个能带。不同的布里渊区对应不同的 能带。 (2)每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等, 等于倒格子原胞的面积。 (3)计入自旋，每个能带包含2N个量子态。 (4)每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。
jk
,
b2
2
a
k＋i
,
b3
2
a
i j
K n n1b1 n2b2 n3b3
2 a
n2 n3 i n1 n3 j n1 n2 k
20
4
a
b1
b2
b3
21
3.离原点最近的倒格点 体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的倒格点有十二个。在直角坐标系中的坐标分别为:
11
6.二维正方格子的能带交叠 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k'方向上能量最高点C。 C点的能量比第二布里渊区B点高。
12
二维(包括三维)和一维情形有一个重要的区别—不同能带在能量上不一定 分隔开而可以发生能带之间的交叠。第一布里渊区和第二布里渊区能带 的重叠。
13
7.二维斜格子的第一布里渊区
第一布里渊区—倒格子空间中的WS原胞。
1
2.布里渊区的特点 (1)各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。
＝b1 b2 b3
2 3
(2)波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为：
1 N1
b1
2 N2
b2
3 N3
b3
14
8.二维六角格子其它布里渊区的形成
15
9.二维六角格子其它布里渊区的形状 每个布里渊区经过适当的 平移之后和第一布里渊区 重合
16
10.二维格子布里渊区的特点 (1)尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干小区, 但是,实际上能量 是连续的。属于一个布里渊区的能级构成一个能带。不同的布里渊区对应不同的 能带。 (2)每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等, 等于倒格子原胞的面积。 (3)计入自旋，每个能带包含2N个量子态。 (4)每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。
布里渊区文档
布里渊区什么是布里渊区？布里渊区（BZ）是固体物理学中一个重要的概念，其最早由法国物理学家列昂·布里渊（León Brillouin）在20世纪20年代提出。
布里渊区是借助倒晶格空间来描述晶体中电子和光子的行为的一种方法。
在晶体中，原子排列周期性地重复组成晶格结构。
而倒晶格则是指晶体中的电子和光子在晶格结构的倒数上的重复。
布里渊区即为倒晶格的第一布里渊区，或称为第一布里渊区（First Brillouin Zone，简写为BZ）。
布里渊区的特性布里渊区具有一些重要的特性：1.紧密堆积：布里渊区是以最紧密堆积的原则生成的。
最紧密堆积是指在给定的晶体结构中，原子之间的距离最接近，空隙最小。
2.对称性：布里渊区具有一定的对称性。
这是因为晶体结构在倒晶格上也应当具有一定的周期性。
3.边界：布里渊区是由一系列平面所围成的多面体。
这些边界平面的位置和形状决定了布里渊区的形状。
4.特征矢量：布里渊区内存在一系列称为特征矢量（eigenwave vectors）的矢量。
特征矢量描述了晶格中的固有振动和电子的运动行为。
布里渊区与能带结构布里渊区在研究晶体的能带结构时扮演着重要的角色。
能带结构是指在固体中，能量与波矢之间的关系。
布里渊区的形状和大小直接影响着能带结构和材料的物理特性。
晶体中的电子在能带间跃迁时，受到能量和动量守恒定律的限制。
这意味着电子只能在布里渊区内跃迁。
因此，布里渊区可以看作是晶体中允许电子跃迁的特定动量范围。
通过绘制能带图，我们可以清楚地看到布里渊区内的能带结构。
能带图可以帮助我们理解晶体的电子行为和导电性质。
应用领域布里渊区的概念在固体物理学和材料科学的研究中有着广泛的应用。
一些典型的应用领域包括：1.半导体器件设计：在半导体器件的设计和优化中，布里渊区的概念可以帮助工程师理解晶体中电子的行为，从而指导材料的选择和器件性能的调整。
2.光学材料：布里渊区的理论框架为研究光学材料的光学性质提供了基础。
固体物理_倒格子与布里渊区_2013
a3 (a1 a2 )
所以：
a3 b3 2
a3 b1/ 2 0
采用同样的方法，我们可以得出：
a2 b2 2 a2 b1/3 0
2 ( a 3 a1 ) b2 2 ( a 2 a3 ) b1
二、特性：
1、第一布里渊区： 在倒格子点阵中，做某一倒格点到其最近邻 倒格点连线的垂直平分面，由这些垂直平分面所 围成的多面体就是第一布里渊区。 除第一布里渊区之外,还有第二布里渊区、第 三布里渊区以及更高阶的布里渊区。
晶面:(111) 面间距：
n
(111)
(111)
法线方向： n
3 a 3
2 2 2 kh i j k 倒格矢： a a a
b3
b2 b1
2 3 k a 面间距： h k 3 h h 法线方向： k i jk kh
三、正格子和倒格子的相互关系
右手定律
2、验证：倒格矢能代表一族晶面吗？
晶面族(h1h2h3) 中最 靠近坐标原点的晶面 ABC在基矢 a1 , a2 , a3
a1 a2 a3 上的截距为 , , h1 h2 h3
kh (1)倒格矢Kh垂直与晶面族 n kh
2 (2)倒格矢的模量等于面间距的倒数成正比。 k h d
3
正格子元胞与倒格 子元胞体积成反比
课堂练习：
试证体心立方格子和面心立方格子互为正、倒格子。
面心立方晶格的初基原胞基矢为：P10 体心立方晶格的初基原胞基矢为：P10 a a a1 ( j k ) a1 (i j k ) 2 2 a a a2 (i j k ) a2 (k i ) 2 2 a a a3 (i j k ) a3 (i j ) 2 2 面心立方晶格的倒格子基矢如下：
布里渊区
b1(h1 1, h2 1), b2(h1 1, h2 1)
通过这四个倒个是的中点，即
1 2
b1
1 2
b2
a
i
a
j
分别作四个垂直平分面，即可得到第二布里渊区的边界。
照此可以画出第二布区、第三布区等。如右图所示。 可以看出，布区的序号越大，分离的区域越多；但不论分离的区域数
目是多少，各布区的面积是相等的。
2、布里渊区
在图2.4所示的倒格子中，画出所有的倒格矢的垂直平分面， 可以得到倒格子的维格纳—赛茨（Wigner-Seitz）原胞，因为
W-S 原胞可以充分反映倒格子的宏观对称性，在固体物理学中 常采用W-S 原胞，而不是倒矢量 b为1,b边2,矢b3 量围成的平行六
面体作为倒格子的周期性结构单元。
倒格子的原胞基矢为
b1
2
a
i
b2
2
a
j
离原点最近的的倒格点有四个:
b1 , -b1 , b2 , - b2 它们的垂直平分线围成的区域 就是简约布里渊区,即第一布里渊 区.显然,第一布里渊区是一个正 方形,面积为 S*=(2π)2/a2 .
二维方格子布里渊区
可以看出，倒格子点阵也是正方点阵，点阵常数为 2
（2.4.1）
（2.4.2）
2、电荷密度的傅立叶展开（Fourier series of charge density）
在理想晶体中，电荷密度和晶格一样具有平移周期性， 也就是说，平移任意格矢的长度，电荷密度不变，即
n(r ) n(r Rl )
（2.4.3）
这种平移对称性，使得电荷密度可以倒格矢 Gh
可以展开为傅立叶级数
2
2
f (x) f0 p1 Cp cos( a
倒格子空间与布里渊区
)
a2 h2
h3b3
和ah33正 格2子 2中 晶 0面族
(h1h2h3)正交
接着我们再证明倒格矢长度为 Gh
2π d h1h2h3
由于倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 与晶面族(h1h2h3)
正交. 因而，晶面族(h1h2h3)的法线方向为Gh
一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶
面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向， 它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。
晶体结构
正格子
1. Rn n1a1 n2a2 n3a3
2.与晶体中原子 位置相对应； 3.是真实空间中点 的周期性排列；
4.线度量纲为[长 度]
倒格子
1. Gh h1b1 h2b2 h3b3
的波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格 子的由来.
cos(g Rn) 1 g Rn 2 m; where m is int eger
由于波矢的单位是坐标空间中长度单位的倒 数，所以，在固体物理学中，通常把坐标空间 称为正空间，而把波矢空间称为倒易空间或倒 空间。
从而对应上述矢量g描述的布拉维格子称为倒 格子(reciprocal lattice)，而把Rn所描述的布拉 维格子称为正格子(direct lattice)。
C
由图可知：
h1 h3
CB OB OC a2 a3 h2 h3
O
a3
Gh
B a2
A
a1
Gh CA
(h1b1 h2b2
h3b3
)
a1 h1
a3 h3
2
布里渊区图示
—— 每个布 里渊区经过适 当的平移之后 和第一布里渊 区重合
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为
b1
2
(a2 k)2ai23a
j
b2
2 (k a1)
4
3a
j
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
选一个倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，分别是
b1, b2 , (b1 b2 )
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成 第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第一、第二和第三布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形状
—— 每个布里 渊区经过适当 的平移之后和 第一布里渊区 重合
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平面正三角形，相邻原子间距为a,求正格矢和倒格矢，画 出第一和第二布里渊区
正格子原胞基矢
a1
ai, a2
a 2
i
3 aj 2
取单位矢量k垂直于i, j
则，a1，a2和k构成的体积
3 a2 2
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为
b1
2
(a2 k)2ai23a
j
b2
2 (k a1)
4
3a
j
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
选一个倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，分别是
b1, b2 , (b1 b2 )
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成 第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第一、第二和第三布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形状
—— 每个布里 渊区经过适当 的平移之后和 第一布里渊区 重合
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平面正三角形，相邻原子间距为a,求正格矢和倒格矢，画 出第一和第二布里渊区
正格子原胞基矢
a1
ai, a2
a 2
i
3 aj 2
取单位矢量k垂直于i, j
则，a1，a2和k构成的体积
3 a2 2
倒格子与布里渊区
第九节 倒格子
一、倒格子的概念
1、 倒格点
布拉维格子由无数位向不同的晶面族构成，描述一族晶面的特征 必须有两个参量：面间距、晶面法向。 为了处理问题方便，在数学上将晶面族的特征用一个矢量综合体 现出来，矢量的方向代表这族晶面的法向，矢量的模值比例于这 族晶面的面间距，这样确定的矢量称为倒格矢。倒格矢的端点称 为倒格点。 倒格点的总体构成倒格子空间。 每个倒格点都表示了晶体中一族晶面的特征，倒格点的位置矢量 （倒格矢）体现了晶面的面间距和法向。
3、两种格子原胞间的关系
Ω
*
2π =
Ω
3
倒格子原胞体积与正格子原胞体积存在倒数关系。
4、正格子与倒格子互为对方的倒格子 根据倒格子基矢的定义，倒格子的倒格子基矢
b
* 1
×b b = 2π
2
3
Ω*
a1
同理，可以证明 b2*=a2, b3*=a3 倒格子的倒格子就是正格子。
5、正格子（h1h2h3)晶面族与倒格矢Kh正交 Kh•CA=(h1b1+h2b2+h3b3) •(a1/h1-a3/h3)=0 Kh•CB=(h1b1+h2b2+h3b3) •(a2/h2-a3/h3)=0
， b = 2π a a , b Ω
2
a = 2 π 3
a
Ω
,
3、倒格子的意义
正格子中一族晶面转化成了倒格子中的一个倒格点。
×a a = 2π （1）由 b Ω
1 3 2
和叉乘的几何意义可知，b3沿着a1×a2的方 向，或者说b3就是a1和a2所确定的晶面（001）的法线方向。 同时
倒格子基矢b3的方向表示了正格子中（001）晶面的法向，其 模值比例于（001）面的面间距。
一、倒格子的概念
1、 倒格点
布拉维格子由无数位向不同的晶面族构成，描述一族晶面的特征 必须有两个参量：面间距、晶面法向。 为了处理问题方便，在数学上将晶面族的特征用一个矢量综合体 现出来，矢量的方向代表这族晶面的法向，矢量的模值比例于这 族晶面的面间距，这样确定的矢量称为倒格矢。倒格矢的端点称 为倒格点。 倒格点的总体构成倒格子空间。 每个倒格点都表示了晶体中一族晶面的特征，倒格点的位置矢量 （倒格矢）体现了晶面的面间距和法向。
3、两种格子原胞间的关系
Ω
*
2π =
Ω
3
倒格子原胞体积与正格子原胞体积存在倒数关系。
4、正格子与倒格子互为对方的倒格子 根据倒格子基矢的定义，倒格子的倒格子基矢
b
* 1
×b b = 2π
2
3
Ω*
a1
同理，可以证明 b2*=a2, b3*=a3 倒格子的倒格子就是正格子。
5、正格子（h1h2h3)晶面族与倒格矢Kh正交 Kh•CA=(h1b1+h2b2+h3b3) •(a1/h1-a3/h3)=0 Kh•CB=(h1b1+h2b2+h3b3) •(a2/h2-a3/h3)=0
， b = 2π a a , b Ω
2
a = 2 π 3
a
Ω
,
3、倒格子的意义
正格子中一族晶面转化成了倒格子中的一个倒格点。
×a a = 2π （1）由 b Ω
1 3 2
和叉乘的几何意义可知，b3沿着a1×a2的方 向，或者说b3就是a1和a2所确定的晶面（001）的法线方向。 同时
倒格子基矢b3的方向表示了正格子中（001）晶面的法向，其 模值比例于（001）面的面间距。
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3.倒格点位式为:
G h1 b1 h2 b 2 h3 b3
(h1 , h2 , h3为整数)
倒格基矢的方向和长度如何呢？
2π a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω b1
2π d1
b3
a3
b2
a1
a2
b1 2 π
a3 a2
C
Gh
CB OB OC
a2 a3 h2 h3
O
B A
a1
a1 a 2 0 G h CA ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h h 2 1 a2 a3 0 G h CB ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h h 2 3 所以 G h h1 b1 h2 b 2 h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
1
1
1
2 i ( h11 h22 h33 )
V (1, 2 , 3 )
4.傅立叶变换关系:
V (1, 2 , 3 )
1. a i b j 2π ij 2π
h1 , h2 , h3
Vh1 , h2 , h3 e2 i ( h11 h22 h33 )
§1.4
倒格子 布里渊区
1.倒格子的定义
2.倒格子与正格子的关系
3.周期函数的傅里叶变换
4.布里渊区
一.倒格子的定义
一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格。 正格 倒格
正格基矢 a 1 , a 2 , a 3 正格（点位）矢： 倒格基矢
b1 , b2 , b3
倒格（点位）矢：
Rn n1 a1 n2 a 2 n3 a 3
2π d h1h2 h3
。
(1)证明 G h h1 b1 h2 b 2 h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
a1 a2 a3 , , 。 ABC在基矢 a1 , a 2 , a 3上的 截距分别为 h1 h2 h3
由图可知： CA OA OC a 1 a 3 h1 h3
2π i j a
2π b3 i j a
体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方 。
例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为 a d h1h2h3 2 h2 h2 h1 2 3 证明：
法一： 由 G h
2π d h1h2h3
得： d h1h2 h3
倒格子基矢的性质
2 (i j ) ai b j 2 ij 0 (i j )
— 倒格子空间是正格子的倒易空间; __倒格子空间与正格子空间互为倒易空间
__已知了G就知道了晶面系(h1,h2,h3) 的法线方向和面间距.利用
晶面系与倒格点的对应关系,便利处理问题.
例2：证明体心立方的倒格是面心立方。
解： 体心立方的原胞基矢：
a1 a2 a3 a i jk 2 a i jk 2 a i jk 2
2π a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω b1
3.上式两边分别按傅里叶级数展开：
V (1, 2 , 3 )
展开系数:
h1 , h2 , h3
Vh1 , h2 , h3 e
2 i ( h11 h22 h33 )
h1 h2 h3 为整数
Vh1 , h2 , h3 d1 d2 d3e
0 0 0
2π b1 i a 2π b2 j a 2π b3 k a
G h1h2h3 h1 b1 h2 b 2 h3 b3
2π h1 i h2 j h3 k a
G h1h2 h3
2π a
2 2 h12 h2 h3
d h1h2 h3
2π G h1h2 h3
a
2 h2 h2 h1 2 3
法二：设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
ABC在基矢 a1 , a 2 , a 3 上的截距分别为
a1 a 2 a 3 , , h1 h2 h3
，
由平面方程 X n d 得：
a1 n d h1 a2 n d h2 a3 n d h3
2π
G h1h2 h3
2π b1 i a 2π b2 j a 2π b3 k a
简立方：a1 ai , a2 a j, a3 ak ,
2π 2π b1 a2 a3 i Ω a
b2
3 1
2π 2π a a j Ω a
2π 2π b3 a1 a 2 k Ω a
a cosa , n h d a cosa , n h d
a1 cos a 1 , n h1d
2 3 2 3 2 3
a cosa , n h d a cosa , n h d
a1 cos a 1 , n h1d
2 3 2 3 2 3
h1 co s a 1 , n d a1 co s a 2 , n co sa
不一定是整数
1 0 ~ 1 2 0 ~ 1 0 ~ 1 3
1的周期函数 ) 2. V r 看成是(1 , 2 , 3为变量, 周期是 V 1 a1 2 a2 3 a3 V (1 1)a1 ( 2 1)a2 (3 1)a3
即: V 1, 2 , 3 V 1 1, 2 1, 3 1
0
i j
2π
2π a 3 a 1 a1 b2 a1 Ω
0
2.
R n Gh 2π (为整数)
G h h1 b1 h2 b 2 h3 b3
其中 R n和G h 分别为正格点位矢和倒格点位矢。
R n n1 a1 n2 a 2 n3 a 3
1 Ω a1 a 2 a 3 a 3 2
a2 a3
a i j k a a a i 2 a 2 2 2 a a a 2 2 2 2
a a 2 j 2 a a 2 2
a 2 k a 2
a a 2 2 a a 2 2
a2 a2 j k 2 2
R n G h (n1 a1 n2 a 2 n3 a 3 ) (h1 b1 h2 b 2 h3 b3 )
2π(n1h1 n2 h2 n3h3 )
2π
3.
3 2π Ω*
Ω* b1 b2 b3
3
Ω
(其中和*分别为正、倒格原胞体积)
a2 a3 Ω
b2
2π d2
b1
2π b3 d3
一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方
向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的 2倍。
二.倒格与正格的关系
1. a ia 2 a 3 a 1 b1 a 1 Ω
r 1 a1 2 a2 3 a3
(i j )
0
i j
两边点乘 b1
傅里叶级数(r):
V (r )
h1h2 h3
V
i ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) r i G r e V e h1h2 h3 G G
(2)证明 G h h1 b1 h2 b 2 h3 b3 由平面方程： X n d
的模等于 得：
2π d h1h2 h3
。
d h1h2h3
a1 G h h1 G h
2π a1 h1 b1 h2 b 2 h3 b3 h1 Gh Gh
5.在晶胞坐标系 a, b, c 中，
d h1h2h3
a
2 h2 h2 h1 2 3
三.晶格周期函数的傅里叶展开
1.在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
V r V (r R l )
Rl 是晶格平移矢量。
晶格中任一点位矢:
r 1 a1 2 a2 3 a3
1 , 2 , 3
3
h ,n a
h2 d a2
3 3
d
对于立方晶系： a1 a2 a3 a 且：a1a 2 a 3
cos2 a1 , n cos2 a 2 , n cos2 a 3 , n 1
2 2 2 a a a 2 d h 2 h2 h 2 1 1 1 1
G h1 b1 h2 b 2 h3 b3
2.倒格基矢定义为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω
其中 a 1 , a 2 , a 3 是正格基矢，
Ω a1 a 2 a 3
是原胞体积
3 1 1 2
A B C A C B A B C
3
1
2
1
3
1
1
2
Ω a1
2π Ω* a 2 a 3 Ω a1
Ω
3
3 2 π
Ω
4.倒格矢 G h h1 b1 h2 b 2 h3 b3 与正格中晶面族(h1h2h3) 正交，且其模(长度)为