高三数学第一轮复习 不等关系与不等式课件 新人教B版
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(2)若a＞b＞0,则 a ＞1,a-b＞0.
b
由指数函数的性质
(
a
a -b
)2
＞1.
ab
若b＞a＞0,则0＜ ＜1，a-b＜0.
b
由指数函数的性质
(
a
)
a -b
2 ＞1.
∴
a ab b
a b
b
＞1,
∴
ab
aabb (ab)2.
(ab) 2
名师伴你行
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名师伴你行
（1）比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进 行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另 一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式 相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正 负. （2）作商比较通常适用于两代数式同号的情形.
（2）在不等关系的判断中，特殊值法也是非常有 效的方法.
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名师伴你行
［2010年高考广东卷］“x>0”是“3 x2 0 ”成立的 ()
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.非充分非必要条件
D.充要条件
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名师伴你行
【答案】A 【解析】因为当x>0时，一定有 3 x2 0 ，但当 3 x2 0时， x<0也成立，因此x>0是 3 x2成立0的充分不必要条件. 故应选A.
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x+y≤9
5x+4y≥30
10×6x+6×8y≥360
0≤x≤4
0≤x≤4
即 0≤y≤7
0≤y≤7
x,y∈N.
x,y∈N,即x+y≤9
名师伴你行
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考点3 大小比较
名师伴你行
(1)设x+y<0,试比较（x2+y2）(x-y)与（x2+y2）·（x+y） (2)的大小；
ab
(3)(2)已知a>0,b>0,且a≠b,试比较aabb与（ab）2 的大小.
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名师伴你行
【分析】比较两数（或两式）的大小，一般用比较法，具 体用作差比较还是用作商比较应由数（或式）特点而定. 【解析】 (1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)［(x2+y2)-(x+y)2］ =-2Biblioteka Baiduy(x-y). ∵x<y<0,∴x-y<0,-2xy<0, ∴-2xy(x-y)>0, ∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).
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考点2 应用不等式表示不等关系
名师伴你行
某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超 过1 000万元的资金购买单价分别为40万元，90万元的A型 汽车和B型汽车.根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至 少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式.
【分析】把握关键点，不超过1 000万元，且A,B两种车型 分别至少5辆，6辆，则不等关系不难表示，要注意取值范 围.
加性).
(4)a＞b,c＞0⇒ ac＞bc;a＞b,c＜0⇒ac＜bc ;a＞b＞ 0,c＞d＞0 ⇒ac＞bd (可乘性).
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(5) a＞b＞0 ⇒an＞bn (n∈N*)（乘方性）. (6) a＞b＞0= n a >n b (n∈N*)（开方性）.
4.熟记下列不等式性质的结论
} (1) a＞b c＜d ⇒a-c＞b-d.
} (2)
a＞b＞0 d＞c＞0
⇒ac
b d
.
} (3) a＞b ⇒1 < 1 ab＞0 a b
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名师伴你行
考点1 不等式的概念与性质
［2010年高考江西卷］对于实数a,b,c,“a>b”是 “ac2>bc2”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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名师伴你行
某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙 型卡车，有9名驾驶员.该车队每天至少要运360 t矿石至冶 炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天 可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式.
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名师伴你行
【解析】设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，根据题意， 应有如下的不等关系： （1）甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数； （2）车队每天至少要运360 t矿石； （3）甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆. 用关于x,y的不等式表示上述不等关系即可.
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名师伴你行
【解析】设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，则
40x+90y≤1 000
4x+9y≤100
x≥5
即
x≥5
y≥6
y≥6
x,y∈N+,
x,y∈N+.
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名师伴你行
注意区分“不等关系”和“不等式”的异同，不等关 系强调的是关系，可用“>”“<”“≥”“≤”“≠”表示，不等式则 是表现不等关系的式子，对于实际问题中的不等式关系可 以从“不超过”“至少”“至多”等关键词上去把握，并 考虑到实际意义.
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名师伴你行
【分析】本题利用不等式的性质及充要条件的判定直 接作出判断. 【解析】a>b / ac2>bc2，原因是c可能为0，而若 ac2>bc2,则可推出a>b. 故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件. 故应选B.
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名师伴你行
（1）准确记忆各性质成立的条件， 是正确应用性 质的前提.
名师伴你行
学案1 不等关系与不等式
知识网络构建 考纲解读 考向预测 填填知学情
课内考点突破 规律探究
名师伴你行
考点1 考点2 考点3 考点4
名师伴你行
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名师伴你行
考纲解读
不等关系 与不等式
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解不等式（组）的实际背景.
2.了解实数大小的比较方法及实数运算的 基本性质，并能运用不等式的性质判断不 等式是否成立或数（式）的大小.
对应的实数 大 .
2.实数大小的比较
(1)设a,b∈R,则
①a＞b⇔ a-b＞0 ;
②a=b ⇔ a-b=0 ;
③a＜b⇔ a-b＜0 .
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（2）设a,b∈R+，则
a > 1 ⇔ a＞b
b
;
② a = 1 ⇔ a=b
b
;
③ a < 1 ⇔a＜b .
b
3.不等式的基本性质
(1) a＞b⇔b＜a （对称性）. (2) a＞b,b＞c⇒a＞c (传递性). (3)a＞b⇒a+c＞b+c ;a＞b,c＞d⇒a+c＞b+d (可
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名师伴你行
考向预测
纵观近三年新课标区高考可以发现，由于新课程 标准对不等式的性质要求不高，高考也几乎没有单独 命题，作差法比较两实数大小也仅是解决问题的工具， 一般不单独命题，高考对本学案知识的考查往往结合 函数的性质，利用函数中的不等关系比较实数的大小.
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1.在数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点
(2)若a＞b＞0,则 a ＞1,a-b＞0.
b
由指数函数的性质
(
a
a -b
)2
＞1.
ab
若b＞a＞0,则0＜ ＜1，a-b＜0.
b
由指数函数的性质
(
a
)
a -b
2 ＞1.
∴
a ab b
a b
b
＞1,
∴
ab
aabb (ab)2.
(ab) 2
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（1）比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进 行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另 一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式 相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正 负. （2）作商比较通常适用于两代数式同号的情形.
（2）在不等关系的判断中，特殊值法也是非常有 效的方法.
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［2010年高考广东卷］“x>0”是“3 x2 0 ”成立的 ()
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.非充分非必要条件
D.充要条件
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名师伴你行
【答案】A 【解析】因为当x>0时，一定有 3 x2 0 ，但当 3 x2 0时， x<0也成立，因此x>0是 3 x2成立0的充分不必要条件. 故应选A.
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x+y≤9
5x+4y≥30
10×6x+6×8y≥360
0≤x≤4
0≤x≤4
即 0≤y≤7
0≤y≤7
x,y∈N.
x,y∈N,即x+y≤9
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考点3 大小比较
名师伴你行
(1)设x+y<0,试比较（x2+y2）(x-y)与（x2+y2）·（x+y） (2)的大小；
ab
(3)(2)已知a>0,b>0,且a≠b,试比较aabb与（ab）2 的大小.
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【分析】比较两数（或两式）的大小，一般用比较法，具 体用作差比较还是用作商比较应由数（或式）特点而定. 【解析】 (1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)［(x2+y2)-(x+y)2］ =-2Biblioteka Baiduy(x-y). ∵x<y<0,∴x-y<0,-2xy<0, ∴-2xy(x-y)>0, ∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).
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考点2 应用不等式表示不等关系
名师伴你行
某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超 过1 000万元的资金购买单价分别为40万元，90万元的A型 汽车和B型汽车.根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至 少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式.
【分析】把握关键点，不超过1 000万元，且A,B两种车型 分别至少5辆，6辆，则不等关系不难表示，要注意取值范 围.
加性).
(4)a＞b,c＞0⇒ ac＞bc;a＞b,c＜0⇒ac＜bc ;a＞b＞ 0,c＞d＞0 ⇒ac＞bd (可乘性).
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(5) a＞b＞0 ⇒an＞bn (n∈N*)（乘方性）. (6) a＞b＞0= n a >n b (n∈N*)（开方性）.
4.熟记下列不等式性质的结论
} (1) a＞b c＜d ⇒a-c＞b-d.
} (2)
a＞b＞0 d＞c＞0
⇒ac
b d
.
} (3) a＞b ⇒1 < 1 ab＞0 a b
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考点1 不等式的概念与性质
［2010年高考江西卷］对于实数a,b,c,“a>b”是 “ac2>bc2”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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名师伴你行
某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙 型卡车，有9名驾驶员.该车队每天至少要运360 t矿石至冶 炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天 可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式.
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【解析】设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，根据题意， 应有如下的不等关系： （1）甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数； （2）车队每天至少要运360 t矿石； （3）甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆. 用关于x,y的不等式表示上述不等关系即可.
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【解析】设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，则
40x+90y≤1 000
4x+9y≤100
x≥5
即
x≥5
y≥6
y≥6
x,y∈N+,
x,y∈N+.
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注意区分“不等关系”和“不等式”的异同，不等关 系强调的是关系，可用“>”“<”“≥”“≤”“≠”表示，不等式则 是表现不等关系的式子，对于实际问题中的不等式关系可 以从“不超过”“至少”“至多”等关键词上去把握，并 考虑到实际意义.
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【分析】本题利用不等式的性质及充要条件的判定直 接作出判断. 【解析】a>b / ac2>bc2，原因是c可能为0，而若 ac2>bc2,则可推出a>b. 故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件. 故应选B.
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（1）准确记忆各性质成立的条件， 是正确应用性 质的前提.
名师伴你行
学案1 不等关系与不等式
知识网络构建 考纲解读 考向预测 填填知学情
课内考点突破 规律探究
名师伴你行
考点1 考点2 考点3 考点4
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考纲解读
不等关系 与不等式
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解不等式（组）的实际背景.
2.了解实数大小的比较方法及实数运算的 基本性质，并能运用不等式的性质判断不 等式是否成立或数（式）的大小.
对应的实数 大 .
2.实数大小的比较
(1)设a,b∈R,则
①a＞b⇔ a-b＞0 ;
②a=b ⇔ a-b=0 ;
③a＜b⇔ a-b＜0 .
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（2）设a,b∈R+，则
a > 1 ⇔ a＞b
b
;
② a = 1 ⇔ a=b
b
;
③ a < 1 ⇔a＜b .
b
3.不等式的基本性质
(1) a＞b⇔b＜a （对称性）. (2) a＞b,b＞c⇒a＞c (传递性). (3)a＞b⇒a+c＞b+c ;a＞b,c＞d⇒a+c＞b+d (可
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名师伴你行
考向预测
纵观近三年新课标区高考可以发现，由于新课程 标准对不等式的性质要求不高，高考也几乎没有单独 命题，作差法比较两实数大小也仅是解决问题的工具， 一般不单独命题，高考对本学案知识的考查往往结合 函数的性质，利用函数中的不等关系比较实数的大小.
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1.在数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点