含两个绝对值的不等式
数学人教A版选修4-5优化课件：第一讲 二 绝对值不等式 1 绝对值三角不等式
探究二 含绝对值不等式的证明
[例 2] 求证：|a22－|ab| 2|≥|a2|－|b2|.
[证明] 法一：①当|a|≤|b|时， 由|a22－|ab| 2|≥0，|a2|－|b2|≤0，知不等式成立． ②当|a|>|b|时， |a22－|ab| 2|－(|a2|－|b2|)＝|a|22－|a||b|2－|a|－2 |b| ＝|a|－2 |b|·(|a|＋|a||b|－1)＝|a|－2 |b|·|ba|≥0， 即|a22－|ab| 2|≥|a2|－|b2|. 综合①②知不等式成立．
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
[典例] 已知函数 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|，若关于 x 的不等式 f(x)<|a－1|的解集非 空，则实数 a 的取值范围是________． [解析] 只要|a－1|大于 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|的最小值，则 f(x)<|a－1|的解集非空． 而 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3| ＝|2x＋1|＋|3－2x|≥|(2x＋1)＋(3－2x)|＝4， 由|a－1|>4，即 a－1>4 或 a－1<－4， 解得 a>5 或 a<－3，故 a∈(－∞，－3)∪(5，＋∞)． [答案] (－∞，－3)∪(5，＋∞)
[解析] ∵0＜n＋n 1＜1. ∴lgn＋n 1＜0. 由 x＜5，并不能确定|x|与 5 的关系， ∴可以否定①②③， 而|x|lgn＋n 1＜0，故④成立．
绝对值不等式的解法
含有两个绝对值的不等式的解法及应用西一中张权华摘要：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与一般不等式相同．因此，掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解含绝对值不等式的关键．去掉绝对值符号的方法有很多，其中常用的方法有等价转化法、平方法、零点分段法、利用绝对值的几何意义等去掉绝对值符号和构造函数的方法。
但不是这些所有的方法都适用于每一道题，对于含有两个绝对值的不等式是高考的一个重点然且又是学生学习的一个难点，针对这一题型我用了不同的方法去绝对值符号来解不等式，为大家在解题的过程中快速准确地选择适当的方法提供帮助.关键词：两个； 绝对值；不等式含两个绝对值符号的不等式，我们常见的形式为：1122a x b a x b c +±+> 或1122a x b a x b c +±+<()0c >，解这种不等式我们应该怎样去其绝对值呢？题型的不同选取的方法对解题的难易程度固然不同。
对于解法一，要孰记︱x -a ︱+ ︱x -b ︱<c 或 ︱x -a ︱+ ︱x -b ︱>c (c>0) 两种类型的解法，关键是正确分类并转化为不含绝对值的不等式；对于解法二，要搞清它的几何意义是什么，并注意结论是否包括端点； 对于解法三，关键是正确画出两个函数的图象，并准确写出它们交点的坐标． 解不等式 1+x -2-x解法一利用绝对值的几何意义（体现了数形结合的思想）．不等式127x x ++-≥的几何意义是表示数轴上与()1A -、()2B 两点距离之和大于等于7的点，而A 、B 的距离之和为3，因此线段AB 上每一点到A 、B 的距离之和都等于3，A 左侧的点到A 、B 的距离之和等于这点到A 点距离的2倍加3，B 右侧的点到A 、B 的距离之和等于这点到B 点距离的2倍加3．图1由图1可知：原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或．解法二 利用1020x x +=-=，的零点，把数轴分为三段，然后分段考虑．把原不等式化为不含绝对值符号的不等式求解（零点分段讨论法）．（1）当1x <-时，原不等式同解于13127x x x x <-⎧⇒≤-⎨---+≥⎩，，； （2）当12x -≤≤时，原不等式同解于12127x x x -≤≤⎧⇒⎨+-+≥⎩，， 无解； （3）当2x >时，原不等式同解于24127x x x x >⎧⇒≥⎨++-≥⎩，，．综上知，原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或．解法三 通过构造函数，利用函数图像（体现了函数与方程的思想）． 原不等式可化为1270x x ++--≥．令()127f x x x =++--，则(1)(2)7(1)()(1)(2)7(12)(1)(2)7(2)x x x f x x x x x x x -+---<-⎧⎪=+----≤≤⎨⎪++-->⎩，，，于是， 26(1)()4(12)28(2)x x f x x x x --<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，，，由图2知，原不等式的解集为{}34x x x≤-≥或解不等式2122x x+--<．解（零点分段法）如图3图3当12x≤-时，原不等式可变形为()()2122x x-++-<，解得5x>-，∴152x-<≤；当122x-<≤时，原不等式可变形为()()2122x x++-<，解得1x<，∴112x-<<；当2x>时，原不等式可变形为()()2122x x+--<，解得1x<-，∴无解．综上所述，原不等式的解集为()51-，．那么，例4是否可以利用绝对值的几何意义求解？答案是否定的，只有当121a a==时才可以采用这种方法，而且解答起来比较简单．另外，上面例3和例4也可以利用平方法解，但是比较麻烦．在例3中，移项后为172x x+≥--，因不知72x--的正负情况，所以要分情况进行讨论．而在例4中虽然不存在例3中的情况，但移项再平方后为242387x x x-<+-，有2x项，再次平方后就会出现高次项，所以不容易解出．那么是不是含两个绝对值符号的不等式用平方法求解都比较麻烦呢？其实，形如()12ax b ax b c c+-+>>和()12ax b ax b c c+++<>的含两个绝对值符号的不等式用平方法并不是很麻烦，可以通过两次平方去掉绝对值化为一般的不等式，所以我们在解题的过程中要选择一个合适的方法进行求解．4 小结以上就是我对中学数学中含绝对值不等式的一些常见形式的解法以及含绝对值不等式应用的一个归纳总结，希望能够帮助大家在解题过程中遇到具体的某种含绝对值符号形式的不等式能够快速准确的选取一个适当的方法进行求解．另外，我们常见的有关含绝对值不等式的形式还有含绝对值的不等式组，它的求解方法与解含绝对值不等式的方法基本相似，但也有它独特的解法，本文由于时间和篇幅问题就不做探讨．含绝对值的不等式的另一方面就是有关它的证明，这也是高中数学的一个重点和难点，它的应用也十分广泛，非常值得大家去研究．参考文献[1] 赵春祥．含绝对值不等式解法要点归纳．http：//，2005.[2] 聂文喜．避开分类讨论解答不等式问题的常用策略[J]．中学数学研究，2005，7．[3] 李长明，周焕山．初等数学研究[M]．北京：高等教育出版社，1995．[4] 薛金星．中学教材全解[M]．西安：陕西人民教育出版社，2009．[5] 蒋会乾．高中习题化知识清单[M]．北京：首都师范大学出版，2009．[6] 吴杨华．高效复习法[M]．北京：北京教育出版社，2007．[7] 王心升．中国高考揭秘[M]．北京：北京教育出版社，2004．[8] 全国高考命题研究组．高考热点题库[M]．北京：北京教育出版社，2005．[9] 齐如意．巧用数学思想解不等式[J]．中学数学研究，2005，1．[10]温振辉．例谈“数形结合法”的运用[J]．中学数学研究，2003，3．谢辞经过一个多月的努力，我的论文终于完成，在我写论文的过程中得到了许多人的支持和帮助，尤其是我的指导老师赵西卿副教授，从论文开始的选题、构思到论文的完成，每一个环节赵老师都给予了精心的指导，而且还对我的论文进行了多次细心的修改，在这里，我对赵老师表示衷心的感谢．另外，我还要感谢其他对我论文提供帮助的老师和同学．然后，我还要感谢大学四年所有给我传授知识的老师们，是你们为我打下坚实的专业知识的基础，才能使我的毕业论文得以顺利完成．最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位老师表示感谢！（全文共8800个字）。
专题二 不等式选讲
专题二、不等式选讲1、会解含两个绝对值的不等式2、恒成立问题（1）不等式a x f ≤)(恒成立（解集为R ）a x f ≤⇔m ax )(不等式a x f ≥)(恒成立(解集为R)a x f ≥⇔m in )(（2）不等式a x f ≤)(成立（有解，解集非空）a x f ≤⇔m in )( 说明：可用去绝对值画图求最值；也可用三角不等式即b a b a b a +≤±≤-求最值.专题训练：1.设31)(-++=x x x f ．（Ⅰ）解不等式43)(+≤x x f ；（Ⅱ）若不等式m x f ≥)(的解集为R ，求实数m 的取值范围．2. 已知函数()|21||23|.f x x x =++-（Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围.3．设()||,.f x x a a =-∈R (I)当5=a ,解不等式3)(≤x f ;(II)当1=a 时,若∃R x ∈,使得不等式m x f x f 21)2()1(-≤+-成立,求实数m 的取值范围.4．已知关于x 的不等式a x x 2log 112≤--+．（Ⅰ）当4=a 时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式有解，求实数a 的取值范围．5、已知函数R m x m x f ∈--=|,2|)(，且0)2(≥+x f 的解集为]1,1[-。
（1）求m 的值；（2）解关于x 的不等式124x x m ++->6.设函数.|2||1|)(a x x x f -+++=（1）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；（2）若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围。
7.设函数()|31| 3.f x x ax =-++ （Ⅰ）若1=a ，解不等式()5f x ≤； （Ⅱ）若函数()f x 有最小值，求实数a 的取值范围.。
高中绝对值不等式
绝对值不等式绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5即函数的最小值是-5，最大值是5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x 即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234x x -≤1解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ②解①得：1-2<x<1+2解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝（2）分析 不等式可转化为-1≤234x x -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解. 原不等式等价于2234x x -≤1⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0⇒x 2≤1或x 2≥16⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变 含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
含绝对值的不等式及其解法
含绝对值的不等式及其解法绝对值不等式及其解法。
绝对值不等式是指不等式中含有绝对值的表达式，常见形式为|ax + b| < c 或 |ax + b| > c。
解决这类不等式需要一些特殊的技巧和方法。
首先，我们来看 |ax + b| < c 的不等式。
要解决这个不等式，我们可以将其分解为两个不等式，即 ax + b < c 和 ax + b > -c。
然后分别解这两个不等式，得到的解集合的交集就是原不等式的解集合。
举个例子，假设我们要解决 |3x 2| < 7 的不等式。
首先将其分解为两个不等式，3x 2 < 7 和 3x 2 > -7。
然后分别解这两个不等式，得到 x < 3 和 x > -1。
因此原不等式的解集合为 -1 < x < 3。
接下来，我们来看 |ax + b| > c 的不等式。
对于这种不等式，我们同样可以将其分解为两个不等式，即 ax + b > c 或 ax + b < -c。
然后分别解这两个不等式，得到的解集合的并集就是原不等式的解集合。
举个例子，假设我们要解决 |2x 5| > 3 的不等式。
同样将其分解为两个不等式，2x 5 > 3 和 2x 5 < -3。
然后分别解这两个不等式，得到 x > 4 和 x < 1。
因此原不等式的解集合为 x < 1 或x > 4。
在解决绝对值不等式时，我们需要注意一些特殊情况，比如当c 为负数时，解集为空集；当 a 为零时，不等式简化为一个普通的线性不等式等等。
总的来说，解决绝对值不等式需要将其分解为多个简单的不等式，然后分别解决这些简单的不等式，并将它们的解集合合并或交集，得到原不等式的解集合。
希望这篇文章能够帮助你更好地理解和解决含绝对值的不等式。
含两个绝对值不等式的恒成立问题的研究
含两个绝对值不等式的恒成立问题的研究含两个绝对值不等式的恒成立问题的研究是一类具有重要意义的数学问题，它是极小优化问题的一种形式，它可以用来求解最优化和最佳化问题。
它的研究涉及到多种领域，其中有投资学、运输规划、库存管理、排队论、能源管理、社会经济学、统计学、概率论和信息论等。
恒成立问题是指在给定的条件下，线性方程组的解必须满足给定的约束条件。
在绝对值不等式的约束条件中，存在由|x-c|≤b所组成的约束条件，其中x∈R,c∈R,b≥0。
事实上，这种约束条件有时也被称为“一般约束条件”，它是现代数学和工程应用中经常使用的约束条件。
含两个绝对值不等式的恒成立问题是一类比较复杂的极小优化问题，它包括了线性、二次和非线性规划问题，它主要是通过改变某些变量的取值，使得一组约束条件永久地满足而追求最优解。
一般来说，可以采用数学优化的方法来解决这类问题。
数学优化的方法可以分为两大类，即有限解法和无限解法。
有限解法是将恒成立问题转换为极小优化问题，然后使用梯度下降算法、拟牛顿法、模拟退火法等方法来解决极小优化问题，以获得最优解。
无限解法是利用凸优化技术，如Kuhn-Tucker条件、Karush-Kuhn-Tucker条件、Lagrange乘子法等，将恒成立问题转化为凸优化问题，以便获得最优解。
此外，含两个绝对值不等式的恒成立问题还可以使用元素法、随机搜索法和贝叶斯优化等方法来解决。
元素法是指将最优化问题转换为一系列子问题，然后逐个解决子问题，最后合并子问题的解来获得最优解。
随机搜索法是通过在可行域内随机生成解来解决恒成立问题，这种方法可以在不知道原问题的情况下搜索出近似最优解。
贝叶斯优化是一种启发式优化方法，它利用贝叶斯理论来对恒成立问题进行求解。
总之，含有两个绝对值不等式的恒成立问题的研究是一类具有重要意义的数学问题，它不仅可以用来求解极小优化问题，而且还可以用于投资学、运输规划、库存管理、排队论、社会经济学、统计学、概率论和信息论等领域。
含有绝对值不等式的解法-典型例题
含绝对值不等式的解法例1? 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．解：由不等式｜x+3｜>｜x-5｜两边平方得｜x+3｜2>｜x-5｜2，即（x+3）2>（x-5）2,x>1．∴? 原不等式的解集为｛x｜x>1｝．评析? 对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据｜x｜2＝x2，可在两边平方脱去绝对值符号．当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐．例2? 对任意实数x，若不等式｜x+1｜-｜x-2｜>k恒成立，则实数k的取值范围是（??? ）A．k<3????? ???? B．k<-3????? ??????? C．k≤3????? ??????? D．k≤-3分析? 要使｜x+1｜-｜x-2｜>k对任意实数x恒成立，只要｜x+1｜-｜x-2｜的最小值大于k．因｜x+1｜的几何意义为数轴上点x到-1的距离，｜x-2｜的几何意义为点x到2的距离，｜x+1｜-｜x-2｜的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离的差，其最小值为-3，∴? k<-3,∴? 选B．评析? 此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗长．例3? 解不等式｜3x-1｜>x+3．分析? 解此类不等式，要分x+3≥0和x+3<0两种情况讨论．解：当x+3≥0，即x≥-3时，原不等式又要分-3≤x< 和x≥ 两种情况求解：当-3≤x< 时，-3x+1>x+3，即x<- ，此时不等式的解为-3≤x<- ;①当x≥ 时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2．②又当x+3<0，即x<-3时，不等式是绝对不等式．③取①、②、③并集知不等式的解集为｛x｜x<- ，或x>2｝．例4? 解不等式? ｜x-5｜-｜2x+3｜<1解：x＝5和x＝- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：于是，原不等式变为（Ⅰ）?或（Ⅱ）或（Ⅲ）解（Ⅰ）得? x<-7，解（Ⅱ）得<x≤5，解（Ⅲ）得? x>5；（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的并集｛x｜x<-7或x> ｝即为原不等式的解集．说明? 解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解．例5? 解不等式1≤｜2x-1｜<5．解法一：原不等式等价于① 或②解①得? 1≤x<3;解②得? -2<x≤0．∴? 原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0或1≤x<3｝．解法二：原不等式等价于1≤2x-1<5，? 或? -5<2x-1≤-1，即? 2≤2x<6，? 或? -4<2x≤0，解得? 1≤x<3，? 或? -2<x≤0．∴? 原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0，或1≤x<3｝．评析? 比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是a≤｜x｜≤b a≤x≤b，或-b≤x≤-a（a≥0）．这一规律对我们今后解题很有作用，要在理解的基础上加以记忆．本例亦可用图像法求解，不妨一试．例6 解不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8．分析? 这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．解法一：由代数式｜x+3｜、｜x-3｜知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,-3≤x<3，x≥3．当x<-3时，-x-3-x+3>8，即x<-4，此时不等式的解为x<-4；①当-3≤x<3时，x+3-x+3>8，此时无解；②当x≥3时，x+3+x-3>8，即x>4，此时不等式的解为x>4．③取①、②、③的并集得原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评? 解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；（4）取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．模仿例1，我们还有解法二：不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8表示数轴上与A（-3），B（3）两点距离之和大于8的点，而A，B两点距离为6．因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6．如下图，要找到A，B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位（这时距离之和增加2个单位），即移到点B1（4），或由点A向左移1个单位，即移到点A1（-4）．可以看出，数轴上点B1（4）向右的点或者点A1（-4）向左的点到A、B两点的距离之和均大于8．∴? 原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．解法三：分别画出函数y1＝｜x+3｜+｜x-3｜和y2＝8的图像，如下图．y1＝不难看出，要使y1>y2，只须x<-4，或x>4．∴? 原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评? 对于形如｜x-a｜+｜x-b｜>c，或｜x-a｜-｜x-b｜<c的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图像去解不等式，更为直观、简捷．这又一次体现了数形结合思想方法的优越性!。
含有两个绝对值不等式的解法与应用
含有两个绝对值不等式的解法与应用甘肃省金塔县中学 闫飞 735300绝对值不等式是一类特殊的不等式.尤其是含有两个绝对值不等式涉及的问题很丰富，方法灵活多变，规范的书写过程难以把握，致使同学们望而生畏.本文介绍的含有两个绝对值不等式（如()x a x b c c -±-≥≤）的求解策略及其应用望能给同学们提供一种规范而快捷的解题思路. 一、()a,b,c x a x b c c -±-≥≤（是常数）型不等式 问题一：解不等式512≥-++x x解法1（几何法）如图所示 设-2，1对应点分别是a ，B ，且x 对应的点）到两定点a ，B 之间的距离和等于5的点在点a 的左侧或点B 的右侧，不妨设CA +CB =5, DA +DB =5,则点C 对应的数是2，点D 对应的数是-3，由数轴观察可得512≥-++x x 的解集是(][)--32+∞∞U ，，.思：不等式215x x ++-<的解集是不等式512≥-++x x 解集的补集-32（，），应用解法1（几何法）也很容易得不等式215x x ++-<的解集是-32（，）. 析：0a >时x a -的几何意义（x 对应的点与a 对应的点之间的距离）是该方法的关键点.x a x b -+-表示动点与两定点距离之和.解法2（零点分段讨论法）512≥-++x x 可以转化为：-2(1)-(2)(1)5x x x ≤⎧⎨+--≥⎩或-21(2)(2)(1)5x x x <<⎧⎨+--≥⎩或1(3)(2)+(1)5x x x ≥⎧⎨+-≥⎩ 由（1）得不等式组的解是3x ≤-;由（2）得不等式组的解是x ∈Φ;由（3）得不等式组的解是2x ≥.综合上述可得不等式的解集是{}|23x x x ≥≤-或.析：利用零点将数轴分段讨论去绝对值是该方法的关键点.解法3（分段函数法）设()21f x x x =++-,则()f x 可以转化为：-21(2)()21=3(21)2+11)x x f x x x x x x -≤-⎧⎪=++--<<⎨⎪≥⎩（ 由512≥-++x x 可得-2(1)-215x x ≤⎧⎨-≥⎩或-21(2)35x <<⎧⎨≥⎩或1(3)215x x ≥⎧⎨+≥⎩由（1）得不等式组的解是3x ≤-;由（2）得不等式组的解是x ∈Φ;由（3）得不等式组的解是2x ≥.综合上述可得不等式的解集是{}|23x x x ≥≤-或.析：利用分段函数的思想去绝对值是该方法的关键点. 问题二：解不式2-11x x +-≥解法1（几何法）如图所示 设-2，1对应点分别是a ，B ，且AB x 对应的点）到两定点a ，B 之间的距离差等于1的点在线段a B 之间，不妨设CA -CB =1则点C 对应的数是0，由数轴观察可得2-11x x +-≥的解集是[)0+∞，.思：不等式2-1<1x x +-的解集是不等式2-11x x +-≥解集的补集-∞（，0），应用解法1（几何法）也很容易得不等式2-1<1x x +-的解集是-∞（，0）. 析：0a >时x a -的几何意义（x 对应的点与a 对应的点之间的距离）是该方法的关键点,-x a x b --表示动点与两定点距离之差.解法2（零点分段讨论法），解法3（分段函数法）与问题一解法思路相同（略）.二、已知函数()-a f x x x b =±-,求值域（最值）问题一：已知函数()21f x x x =++-,求()f x 的值域解法1（绝对值的三角不等式）21(2)(1)3x x x x ∴++-≥+--=∴()3f x ≥ 故()f x 的值域是[)3+∞，.解法2（函数图象法）由-21(2)()21=3(21)2+11)x x f x x x x x x -≤-⎧⎪=++--<<⎨⎪≥⎩（得()f x 的图象C a B 0 1-2如右图：则由图可得()f x的值域是[)3+∞，.问题二：已知函数()2-1f x x x=+-求()f x的值域解法1（绝对值的三角不等式）2-1(2)(1)3x x x x∴+-≤+--=∴()3f x≤故()f x的值域是[]-33，.解法2（函数图象法）由3(2)()2-1=21(21)31)xf x x x x xx-≤-⎧⎪=+-+-<<⎨⎪≥⎩（得()f x的图象如右图：则由图可得()f x的值域是[]-33，.析：（1）熟练运用绝对值三角不等式：()()x a x b x a x b a b-+-≥---=-, -()()x a x b x a x b b a--≤---=-⇔a b x a x b a b--≤---≤-是灵活应用解法1的关键.（2）()-a+f x x x b=-（b a>）的图像（1-图），()-a-f x x x b=-（b a>）的图像（2-图）的熟练应用是解法2的关键.三、已知()a,b,cx a x b c c-±-≥≤（其中中有一参数，两常数）求参数取值范围. 问题一：21x x a++-<无解求实数a的取值范围.解法121(2)(1)3x x x x++-≥+--=由则，3a≤.解法2结合1-图要使21x x a++-<无解，则3a≤.问题二：2-1x x a+-<的解集不是空集求实数a的取值范围.1-图2-图解法1由2-1(2)(1)3x x x x +-≤+--=得-32-13x x ≤+-≤，则-3a >. 解法2结合2-图要使2-1x x a +-<的解集不是空集，则-3a >. 问题三：+13x a x -->的解集为R ，求实数a 的取值范围.解法1由-1()(1)1x a x x a x a +-≥---=-, 得13a ->,即-2a <或4a >. 解法2结合1-图要使+13x a x -->的解集为R, 则min ()13f x a =->,即-2a <或4a >. 问题四：21x a x ---≤(a <2) 的解集为{}|-<1x x ∞≤求实数a 的值. 解法：设f(x)=2x a x ---(a <2), 结合2-图要使21x a x ---≤,则(1)=1f ,即112=1a --- ，得 a =-1. 问题五：--21x a x -≤(a <2)的解集为{}|01x x ≤≤，求实数a 的值 解法：由-2()(2)2x a x x a x a --≤---=-，a <2, 得2-22a x a x a -≤--≤- .设f(x)=2x a x ---(a <2) 结合2-图要使--21x a x -≤,(a <2)的解集为{}|01x x ≤≤，则(0)1(1)1f f =-⎧⎨=⎩,得a =-1. 析：绝对值三角不等式得其取值范围（或最值）或()-a +f x x x b =-（b a >）的图像（1-图），()-a -f x x x b =-（b a >）的图像（2-图）的熟练应用是解决该类问题的关键.。
高中数学绝对值不等式
变式 3 二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a, b, c R) ，
, f (0) 1 , f (1) 1 已知 f (1) 1
5 求证：当 x 1时， f ( x ) 4 f (1) f (1) 2 f (0)
可利用不等式的几何意义或分区间讨论去掉绝对值； 2. 含绝对值的不等式 f ( x) g ( x) h( x) ， 主要是通过讨论 f ( x) 和 g ( x) 的符号去掉绝对值.
1. 定理 1： a b a b ，当且仅当 ab 0 时，等号成立． 推论 1： a b a b ，当且仅当 ab 0 时，等号成立．
证明 不妨设 x1 x2 ，
2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0) f (1) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0) f (1) f ( x2 ) x1 x2 x1 0 1 x2 x2 x1 x1 1 x2 1
与函数 y ax 的图像有交点．故不等式 f ( x) ax 的解集非空时，a 的取值范围为
1 , 2 , ． 2
7. 若不等式 3x b 4 的解集中的整数有且仅有 1，2，3， 则 b 的取值范围
.
答案 （ 5， 7）
解
b4 b4 ， 3x b 4 x 3 3
含绝对值的不等式
知识要点
x x 0 1. x 的定义： x 0 x 0 ． x x 0
2.
x 的几何意义： x 表示数轴上的点 x 与原点之间的距离； x a 表示数轴上的点 x 与点 a 之间的距离．
含有两个绝对值不等式的解法 PPT
2、│x-a│<b、│x+a│>b的解集
(1)a-b<x<a+b (2)x<-(a+b) 或x>b-a
思考1
1、│x│的几何意义是什么？ 2、│x-3│的几何意义是什么？ 3、│x+2│的几何意义是什么？
1、│x│几何意义是在数轴上x到0处的距离 2、│x-3│的几何意义是数轴上x到3处的距离 3、│x+2│的几何意义是数轴上x到-2处的距离
2x 1( x 2)
方法规律：│x-a│+│x-b│最小值为│a-b│
（2）函数f（x）=│x-2│-│x+1│的最大值和最小值是多少？
(x 2) (x 1)(x 1) 解： f (x) (x 2) (x 1)(1 x 2)
(x 2) (x 1)(x 2) 3(x 1)
f (x) 2x 1(1 x 2) 3(x 2)
故： f(x)的最大值为3，最小值为-3.
方法规律：│x-a│-│x-b│最小值为-│a-b│，最大值为│a-b│。
本节知识应用
1、已知f（x）=│3-x│-│x+1│ （1）解不等式f（x）>2 （2）若对任意x，不等式f（x）≤a2—3a恒成立，求实数a的取值范围。
113????xxxf?13?????xxxf2??xf可化为?????????131xxx??????????1331xxx???????133xxx或或解得0?x2413?????xxxf?恒成立可化为对任意aaxfx32???恒成立max23xfaa??432??aa即
含有两个绝对值不等式的解法
三维目标
知识与技能：含有两个绝对之不等式的解法 方法与技能：零点法、绝对值几何意义、函数的思想 情态与价值：培养学生的计算能力和数形结合的思想
绝对值不等式
绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5即函数的最小值是-5，最大值是5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5解绝对值不等式题探讨［题根4］解不等式2|55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组21551x x -<-+<即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩求解。
［解题］原不等式等价于21551x x -<-+<，即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<．［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。
二 绝对值不等式
-3
.
A -2
.
-1
.
0
.
.
B
B1
1
.
2
x
从数轴上可以看到，点A1和B1之间的任 何点到点A,B的距离之和都小于5；点A1的 左边或点B1的右边的任何点到点A,B的距离 之和都大于5. 所以，原不等式的解集是(－∞, －3] ∪[2, ＋ ∞)
解法二： 当x ≤-2时，原不等式可以为-(x-1)-(x+2) ≥5 解得 x ≤-3. 即不等式组
课堂小结
1.绝对值三角函数的几何意义。 2.两类绝对值不等式的解法。
ax b c和 ax b c型不等式
x a x b c和 x a x b c型不等式
随堂练习
1.解不等式│x2-2x│<3
解法一： 由│x2-2x│<3得-3<x2-2x<3
解得-1<x<3 所以，不等式的解集是(-1,3)
2
b
2
ab
ab 2 当ab 0时， ab ,
所以： b a
a b
2
2
a 2 2ab b 2
a 2 ab b
2
放缩法
a 2 2 ab b2
a 2 ab b
2 2
a b
2
a b.
思考
以上我们讨论了关于两个实数的 绝对值不等式，根据这样的思想方法， 我们可不可以讨论涉及多个实数的绝 对值不等式(如定理2）？
即：生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时，都 能使两个施工队每天往返的路程之和最小。
探究
含有两个绝对值的不等式解法
由 f (x) = | x + 2 | - | x - 1| = íï2x + 1(-2 < x < 1) 得 f (x) 的图象
îï3（x ≥ 1) 如右图：
则由图可得 f (x) 的值域是 [-3
| x - a| + | x - b| ≥ |(x - a) -(x - b)| = | a - b| ,
求实数 a 的值.
解 法 设 f (x) = | x - a | - | x - 2 | (a<2), 结 合 2- 图 要 使
| x - a| - | x - 2 | ≤ 1 ,则 f (1) = 1 ,即 |1 - a| - |1 - 2 | = 1 ，得 a=-1.
问题五 || x - a| - | x - 2 || ≤ 1 (a<2)的解集为 {x|0 ≤ x ≤ 1} ，
该类问题的关键.
用望能给同学们提供一种规范而快捷的解题思路.
一、| x - a| ± | x - b| ≥ c( ≤ c) （a,b,c是常数）型不等式
问题一 解不等式 | x + 2 | + | x - 1| ≥ 5
解法 1（几何法）如图所示
设-2，1 对应点分别是 A，B，且 | AB | =1-（-2）=3.由数轴可
f (x) = | x - a | - | x - b|（b > a）的图像（2-图）的熟练应用是解法
2 的关键.
设-2，1 对应点分别是 A，B，且 | AB | =1-（-2）=3.由数轴可
得动点（ x 对应的点）到两定点 A，B 之间的距离差等于 1 的点
在线段 AB 之间，不妨设 |CA| - |CB | =1 则点 C 对应的数是 0， 由数轴观察可得 | x + 2 | - | x - 1| ≥ 1 的解集是 [0， + ∞) .
妙解含有2个绝对值符号不等式的高考题
ＶｚＥＡ， 都
构 造含 ２ 个 绝对 值 函数 ： 令＿ 厂 （ ｚ ） 一ｌ ｚ —ｎｌ ＋ 析 ｌ ｚ 一６ １ ．根 据题 意 ， 将 题 目可转 化 为 恒成 立 问题 ，即 ＶｚＥＡ， 使得 Ｌ 厂 （ ） ＞２恒成 立 甘 Ｖ ＥＡ， 都
有 ２ ＜ｆ …（ ） ．
记 忆 口诀 “ 参 数 ａ大 于 大 的” “ 参 数 ａ小 于 小 的 ” ，
用 含 ２个 绝 对 值 符 号 函 数 形 如 “ － 厂 （ ） 一ｌ ＋ａ ｌ ±
＋ｂ ｌ Ｉ ” 的最 值结论 ： １ ）若 ｆ （ ｘ ） 一ｌ ｚ＋“Ｉ ＋ ｌ ｚ＋ｂ Ｉ ， 则 － 厂 （ ） 无，
ｆ （ ｚ ） 一ｌ ｎ —ｂ ｌ ；
ｆ 。 （ ） 一Ｉ ａ —ｂ ｌ ；
２ ）若 ＿ 厂 （ ． ｚ ） 一Ｉ ｚ ＋ａ ｛ 一ｌ ｚ＋ｂ Ｉ ， 则 ｆ （ ） 一Ｉ ａ —ｂ ｌ ；
厂 …（ ｚ） 一一ｌ ａ —ｂ ｛ ．
② 若 － 厂 （ ３ ２ ） 一ｌ ＋ａ ｌ —ｌ ｚ＋ ｂ ｌ ， 则 ｆ （ ） 一
ｆ （ ｚ ） ．
对 值符 号 ； 利 用 数 形 结 合 法 去 绝 对 值 符 号． 现 从 恒 成 立 和有 解 问 题 可 转 化 为 函数 的 最 值 问题 这 个 角 度 去 重 新 审视 和 解 决 含 有 ２个 绝 对 值 符 号 不 等 式 的 高
考 题．
参考 结 论 ： 若 ｆ（ ｚ） 一 ｌ ｚ＋ ａ ｌ ＋ ｌ ＋ｂ ｆ ， 则 ｆ …（ ｚ ） 无； ｆ ｉ （ ｚ ） 一ｌ ａ 一６ Ｉ ， 解得 ｆ （ ） 一ｌ ａ 一１ １ ．
在 解不 含 参 的含 有 ２个绝 对 值 不等 式 形如 “ ｌ ３ ２ ＋ ａ ｌ ±ｌ ＋６ ｌ ≥ｃ ， ｌ ｚ＋ａ ｌ ±ｌ ｚ ＋ｂ ｌ ≤ｆ ” 问题 时 ， 可 以利
双绝对值不等式
双绝对值不等式双绝对值不等式是初中数学的基础知识之一，在解决不等式问题的过程中经常用到，下面我们就来详细了解一下双绝对值不等式。
1. 定义对于任意实数a、b，有如下双绝对值不等式：|a+b| ≤ |a| + |b||a-b| ≥ |a| - |b|2. 解释双绝对值不等式中，第一个式子代表着两数相加的绝对值必定小于等于两数各自绝对值的和，而第二个式子则代表着两数相减的绝对值必定大于等于两数各自绝对值的差。
这两个式子在解决不等式问题时非常有用。
3. 举例假设现在有两个数x、y，我们要证明它们之和的绝对值小于等于它们各自绝对值之和，即| x + y | ≤ |x| + |y|。
首先我们假设x、y均为正数，那么显然有：x + y ≤ x + y所以|x + y| ≤ |x| + |y|接下来，我们假设x为正数，y为负数，那么有：x + y = x - (-y)由于x大于0，-y小于0，所以满足| x - (-y) | ≤ | x | + |-y|，即|x+y|≤|x|+|y|。
同理，当x为负数，y为正数时，也满足该式子。
最后，当x、y均为负数时，x、y取绝对值，根据之前的结论，有| x +y | ≤ |x| + |y|。
综上，我们证明了对于任意实数x、y，都有|x + y| ≤ |x| + |y|。
4. 注意事项在应用双绝对值不等式时，需要注意以下几点：4.1. 双绝对值不等式对于实数成立，但对于复数不一定成立。
4.2. 在应用不等式中，应先确定不等式中的变量类型，进而确定每个变量所处的范围。
4.3. 在应用双绝对值不等式时，需要仔细分析条件，确保不等式可行。
本文通过定义、解释、举例和注意事项四个方面详细介绍了双绝对值不等式的相关知识，希望对初学者有所帮助。
两个绝对值不等式的解法
两个绝对值不等式的解法
两个绝对值不等式是指形如 |x-a|>b 的不等式，它可以分解成 x-a>b 与 x-a<-b 两个不等式。
若要求满足条件的x值，首先可以将上述两个不等式的左边单独移到右边，分别可以得到：
x>a+b 与 x<a-b
这表明，只有当x的值既大于a+b，又小于a-b时，才能满足原式的条件。
因此，可以将a+b与a-b之间的区间定义为满足条件的x的取值范围，也就是说，满足条件的x的取值范围为 (a-b, a+b) 。
举例来说，若给定不等式 |x-5|>2，则可以将其转化为 x>7 或 x<3，也就是说，满足条件的x的取值范围为(3, 7) 。
同理，当不等式中的系数b为0时，也就是满足条件的x的取值范围为 (a, a) 或者 {a}，其中a为原式中的常数项。
由上述可知，解决两个绝对值不等式的方法主要有以下几步：
1、将不等式左边的表达式分解为两个不等式；
2、将两个不等式的左边单独移动到右边；
3、根据不等式的右边的系数，将满足条件的x的取值范围定义出来；
4、根据所给的条件，确定满足条件的x的具体取值；
上述就是解决两个绝对值不等式的方法，总的来说，它的基本思想就是将不等式转化为两个不等式，并根据不等式中的右边的常数和系数，确定x的取值范围。
含两个绝对值不等式的解法
含两个绝对值不等式的解法导学案---------|x－a|＋|x－b|≥c（或≤c）型不等式的解法主备人：杨丹学习目标：1、熟练掌握含两个绝对值不等式的解法.2、了解数形结合，分类讨论的思想．3、培养观察、分析、解决问题的能力.学习重难点:学习重点：含两个绝对值不等式的解法，学习难点：对绝对值定义的理解、绝对值的几何意义的运用学法指导:1．课前自学课本并完成导学案，要求限时完成，书写规范；2．先进行自主探究，遇到难以理解的地方先做好标记，然后再通过小组讨论解决，如果小组不能解决的问题第二天在课堂上讨论解决；学习过程:知识回顾1、绝对值的定义？2、下列绝对值的几何意义？3、含一个绝对值不等式的解法有？探究：|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法例：解不等式|x－1|＋|x+2|≥5方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解问题：不等式|x－1|＋|x+2|≥5的几何意义是?求解过程：方法二：去绝对值求解问题：用什么方法去掉不等式|x－1|＋|x+2|≥5的绝对值？求解过程：|x||x－x1|方法三：构造函数，结合函数图象求解问题1：针对不等式|x-1|＋|x＋2|≥5，构造的函数是？问题2：不等式|x－1|＋|x+2|≥5的解集与问题1中函数的关系是？求解过程：当堂检测:解不等式 (1)|x-3|+|x+1|<6(2)|x-3|+|x+1|≤1归纳总结：|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法提升：解不等式|x-3|-|x+1|<1归纳整理，发展思维.1、课堂小结（1）你学到了什么知识。
（2）你学到了什么方法。
2、课后思考：（1）解不等式|3x-3|+|2x+4|<6（2）若|x+2|+|x-5|>a恒成立,则a的取值范围是？若|x+2|+|x-5|<a的解集是空集,则a 的取值范围是？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
含绝对值不等式的解法 (3)
学习目标：1. 掌握绝对值不等式的几种解法;并解决绝对值不等式的求解问题
2. 理解含绝对值不等式的三种解法思想：去掉绝对值符号，等
价转化，数形结合。
一课前准备，复习：
根据公式：|x|<a(a>0)⇔；
|f(x)|<g(x)⇔；
|x|>a(a>0)⇔；
|f(x)|>g(x)⇔．
(1)|ax＋b|≤c(c>0)⇔_____________________________________
(2)|ax＋b|≥c(c>0)⇔_____________________________________
变式一：d＜|ax+b|＜c( 0＜d＜c)⇔
二．新课导学：含两个绝对值的不等式解法
1．|x－a|<|x－b|和|x－a|>|x－b|型不等式的解法
对于这种类型不等式的解决办法是去掉绝对值．
①|x－a|<|x－b|⇔；
②|x－a|>|x－b|⇔ .
再将这个式子整理，便可化为一般的不等式求解．
试试：解不等式(1) |2||1|
-<+；
x x
2．|x－a|＋|x－b|≤c和|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法
例解不等式：|x＋3|＋|x－ 3|>8
解法一：零点分段法：
具体做法：（1）
（2）
（3）；
解 i)当x≤－3时，原不等式可化为，即x<－4，此时，不等式的解为
x<－4.
ii ）当 时，原不等式可化为x+3+3-x>8，6>8矛盾，此时不等式无解。
iii ）当x ≥3时，原不等式可化为 ，即x>4.此时不等式的解为x>4.
综上所述，原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
解法二：利用绝对值的几何意义，借助 求解。
解 如下图，设数轴上与－3,3对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点之间的距离为 ，因此区间[－3,3]上的数 不等式的解．设在A 点左侧存在一点A1，使得A1到A ，B 的距离之和为8，即|A1A|＋|A1B|＝8，设点A1对应的数为x ，则有 ，∴x ＝ .
同理，设点B 的右侧存在一点B1，使|B1B|＋|B1A|＝8，设点B1对应的数为x ，则有 ，∴x ＝ .
从数轴上可以看到，A1与B1之间的点到A 、B 的距离之和都 ，而点A1的左侧或点B1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都 8.
所以不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．正确求出函数的________并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是关键.
解 原不等式可转化为 >0，
构造函数y ＝ ，即y ＝⎩⎨⎧ －2x －8 x ≤－3
，－2
－3<x<3，2x －8 x ≥3.
作出函数的图象(如图)．
函数的零点是－4,4.由图象可知，当 时，y>0，即 |x ＋3|＋|x －3|－8>0.
所以原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
总结：解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒等变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号.
规律技巧 本例三种解法中，第一种方法最重要，可作为含两个及两个以上绝对值符号的不等式解法的通法．但在分段讨论时要做到“不重不漏”；第二种解法中关键是找到特殊点，如A1，B1；第三种方法的关键是构造函数，利用图象作答．
试试： 解不等式(1)|x ＋2|>|x －1|； (2)512≥-+-x x
3 变式：设函数()14f x x x =+-- ()1解不等式()2f x >；()2求函数()y f x =的最值．
4 拓展延伸： 解不等式|x-1|+|2-x|＞3+x
当堂检测 解不等式(1)52312≥-++x x ; (2)512≥-+-x x . 7、 42≥-+x x
9、 21<++x x 10、 .24>--x x
(2) 不等式
31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是
导图小结。