2017年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷

2017年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷一*选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)1. 下列实数中，无理数是（ ） A. 0 ； B.； C. –2 ； D. 27. 2. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. x 2-2x =0； B. x 2-2x -1=0； C. x 2-2x +1=0； D. x 2-2x +2=0 .3. 如果一次函数y ＝kx +b （k 、b 是常数, k ≠0）的图像经过第一、二、四象限，那么k 、b 应满足的条件是（ ）A ．k ＞0,且b ＞0B ．k ＜0,且b ＞0 ；C ．k ＞0,且b ＜0D ．k ＜0,且b ＜0 .4. 数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是（ ） A. 0和6 ； B. 0和8 ； C. 5和6 ； D. 5和8 .5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 菱形；B. 等边三角形；C. 平行四边形；D. 等腰梯形．6. 已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断平行四边形为矩形的是（ ）A. ∠BAC ＝∠DCA ；B. ∠BAC ＝∠DAC ；C. ∠BAC ＝∠ABD ；D. ∠BAC ＝∠ADB ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 计算：2a ·a 2=_______． 8. 不等式组⎧⎨⎩2622＞＞x x -的解集是_________． 9.=1的根是_________．10. 如果反比例函数y =k x( k 是常数,k ≠0)的图像经过点 (2, 3)，那么在这个函数图像所在的每一个项限内，y 的值随着x 的值的增大而_____．(填“增大”,或“减小”) 11. 某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%. 如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降了10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是_____微克/立方米． 12. 不透明的布袋里有2个黄球，3个红球，5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一个球恰好为红球_______． 13. 已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为 (0, -1)，那么这个二次函数的解析式可以是_______．(只需写一个) 14. 某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图1所示，又知二月份产值是72万元，那么该企业第一季度月产值平均数是_____万元． 15. 如图2，已知AB ∥CD ，CD =2AB ，AD 、BC 相交于点E . 设=AE a ，=CE b ，那么向量CD 用向量a 、b 表示为_____．16. 一副三角尺按图3的位置摆放 (顶点C 与F 重合，边CA 与边FE 重合，顶点B 、C 、D 在一条直线上). 将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转 n ° 后 (0＜n ＜180)，如果EF ∥AB ，那么n 的值是_______．17. 如图4，已知Rt △ABC ，∠C =90°，AC = 3，BC =4，分别以点A 、B 为圆心画圆，如果点C 在⊙A 内，点B 在⊙A 外，且⊙B 与⊙A 内切，那么⊙B 的半径的长r 的取值范围是_________． 18. 我们规定：一个正n 边形 ( n 为常数,n ≥4) 的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”。

记为n λ，那么6λ=_________．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分） 112211)9+()2--．图1 D 图2 图(F )B C D E图320. 解方程：23-3x x -1-1x =1．21. （本题满分10分，第⑴小题满分4分，第⑵小题满分6分） 如图5,一座钢结构桥梁的框架是△ABC ，水平横梁BC 长18米，中柱AD 高6米，其中D 是BC 的中点，且AD ⊥BC 。

（1）求sin B 的值；（2）现需要加装支架DE 、EF ，其中点E 在AB 上，BE =2AE ，且 EF ⊥BC ，垂足为F ，求支架DE 的长。

22.甲、乙两家绿色养护公司各自推出了校园养护服务的收费方案。

甲公司方案：每月养护费用y (元) 与绿化面积x (平方米) 是一次函数关系，如图6所示。

乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元。

(1) 求如图6所示的y 与x 的函数解析式；(不要求写出定义域)(2) 如果学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选 择哪家公司的服务每月的绿化养护费用较少。

23.已知：如图7，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =CD ，E 是对角线BD 上的一点，且EA=EC.(1) 求证：四边形ABCD 是菱形； (2) 如果BE =BC ，且∠CBE :∠BCE =2: 3， 求证：四边形ABCD 是正方形。

A B CD 图7 图5(平方米) 图 624. 在平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A (2， 2)，对称轴是直线x =1，顶点为B .(1) 求这条抛物线的表达式和点B 的坐标； 点M 在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m ，联结 AM ，用含m 的代数式表示∠AMB 的余切值；(2)将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C 在x 轴上。

原抛物线上一点P 平移后的对应点为点Q ，如果OP =OQ ， 求点Q 的坐标。

25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分） 如图9，已知⊙O 的半径长为1，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB =AC ，BO 的延长线交AC 于点D ，联结OA 、OC .(1) 求证：△OAD ∽△ABD ；(2) 当△OCD 是直角三角形时，求B 、C 两点的距离；(3) 记△AOB 、△AOD 、△COD 的面积分别是S 1、S 2、S 3，如果S 2是S 1和S 3的比例中项，求OD 的长。

备用图 图9 图 8一、选择题 1. B 2. D 3. B 4. C 5. A 6. C二、填空题7. 2a 3 8. x ＞3 9. x =2 10. 减小 11. 40.5 12. 310 13. y = x 2-1 14. 80 15. a +b 16. 45° 17. 8＜n ＜10 18.2 三、解答题（本大题共7题，满分78分）19. (本题满分10分)解：原式=(23+2--=220. (本题满分10分) 解：方程两边同乘公分母x (x -3)，去分母得3-x =x 2-3 x 移项、整理得 x 2-2 x -3=0，解得 x 1=-1，x 2=3， 经检验：x 2=3是增根，舍去；x 1=-1是原方程的根.∴原方程的根是x =-1. 21.（本题满分10分，第⑴小题满分4分，第⑵小题满分6分）解：（1）∵BC =18， D 是BC 的中点，∴BD =9， 又AD =6，AD ⊥BC ，在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB ∴ sinB =AD AB ==13；（2）∵AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∴ EF ∥ AD ， ∴△BEF ∽△BAD ，又BE =2AE ， ∴EF AD =BE AB =23，∴EF =23AD = 4， 又DF BD =AE AB =13，∴DF =13BD = 3， DE =5.22.（本题满分10分，每小题满分各5分） 解：（1）设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b (k ≠0)， 函数图像经过(0，400)，(100，900)， 得 ⎧⎧⎨⎨⎩⎩400=0+=5900=100+=400b k k b b ⇒， ∴y 关于x 的函数解析式为y =5x +400； （2）由（1）知，甲公司费用解析式为y =5x +400， 当x =1200时，y =5×1200+400=6400 (元)，设乙公司费用为z ，z =5500+ (1200-1000)× 4=6300 (元)，∵6400＞6300，∴选择乙公司费用较少。

23.（本题满分12分，第⑴小题满分7分，第⑵小题满分5分）证明：（1）在△ADE 和△CDE 中， ∵AD =CD ，EA=EC ，DE =DE ， ∴△ADE ≌△CDE (s s s )，∴∠ADE =∠CDE ， ∵AD ∥BC ，∴∠CBD =∠ADB =∠CDB ， ∴BC =CD= AD ， ∵AD ∥BC ，AD = BC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， 又AD =CD ，∴四边形ABCD 是菱形；（2）∵BE =BC ，∴∠BEC =∠BCE ，又∠CBE :∠BCE =2: 3，设∠CBE =2x ，则∠BEC =∠BCE =3x ，在△BCE 中，∠CBE +∠BCE +∠BEC =180°，即2x+3x +3x =180°，解得x =22.5°，∴∠CBD =45°，∴∠ADE =∠CDE =∠CBD =45°，∴∠ADC =90°，又四边形ABCD 是菱形，∴四边形ABCD 是正方形.24.（本题满分12分，每小题满分各4分）图5(平方米) 图 6 A B C D 图7解：（1）∵抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A (2， 2)，∴2=-4+2b +c ①，又对称轴x =-2b a =2b =1，即b =2，代入①得c =2， ∴这条抛物线的表达式为y =-x 2+2x +2，当x =1时，y =3，∴顶点B 的坐标为 (1，3)；或把y =-x 2+2x +2配方成y =-( x -1) 2+3， ∴顶点B 的坐标为 (1，3)；（2）过点A 作AD ⊥对称轴BC ，垂足为点D ， 则M (1，m )，D (1，2)，AD =1，MD =m -2，在Rt △AMD 中，∠ADM =90°， cot ∠AMB =MD AD=m -2； （3）∵对称轴x =1与x 轴的交点为C ，∴点C 坐标为(1，0)，y =-x 2+2x +2向下平移3个单位，∴新抛物线解析式为y =-x 2+2x -1，连接PQ ，∵OP =OQ ，PQ ⊥x 轴， ∴PQ 关于x 轴对称，PQ =3， ∴Q 点纵坐标为-32， 把y =-32代入y =-x 2+2x -1，解得x =22±， ∴Q 1 (22+，-32)，Q 2 (22-，-32). 25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5证明：（1）在△AOB 和△AOC 中， ∵AB =AC ，AO =AO ，BO =CO ， ∴△AOB ≌△AOC ，∴∠BAO =∠CAO ， ∵AO = BO ，∴∠BAO =∠B ，∴∠DAO =∠B ， 又∠ODA =∠ADB ，∴△OAD ∽△ABD ； 解：（2）∵∠C 是等腰△AOC 的底角，∴∠C ≠90°. △OCD 是直角三角形有两种情况， 如图，① 当∠ODC =90°时，∠ADB =90°， 由（1）知∠BAD =∠BAO+∠DAO =2∠B ，∴∠BAD =60°，∵AB =AC ，∴联结BC ，△ABC 是等边三角形，∴BC =AC =2DC =2OC •cos 30°= ② 当∠DOC =90°时，∠BOC =90°， ∵BO =CO ，∴联结BC ，△BOC 是等腰直角三角形， ∴BC 综上，BC ； 解：（3）由（1）知△OAD ∽△ABD ，∴=OD AD OA AB ，即=OD AD OB AB， bx+c x 图9 B 2+2x+2∵S 2 是S 1和S 3的比例中项，∴=3212S S S S ，∴=OD DC OB AD ，∴=AD DC AB AD ，∴点D 是线段AC 的黄金分割点，∴==2DC OD AD OB ，∵OB=1，∴OD=2. 解法2：如图，∵AB =AC ，∴圆心O 到弦AB 、AC 的距离相等， ∴S 1: S 2: S 3=AB : AD : DC ， 又S 2 是S 1和S 3的比例中项， ∴S 22 =S 1• S 3 ⇒AD 2=AB • DC ，即AD 2=AC • DC ，∴点D 是线段AC 的黄金分割点，∴==322S DC S AD ，∵===32122S S OD S OB S ，OB=1，∴OD=2.。