直线与抛物线的位置关系公开课

t 2 y1 y2 at y1 y2 a 2 y1 y2
4at 2 4at 2 a 2 4a a 2 4a 令a 2 4a 4 a 2 4a 4 0 a 2
直线 l 过定点 2,0

典型例题：
解题感悟：1、注意当直线过 x 轴上一点（a,0) 且斜率不
此时直线 x=0与抛物线只有一个交点. (2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的 直线方程是y=kx+2 P(0,2) y kx 2 2 消x得ky 4y 8 0 2 y 4x 当k 0时，y 2 故直线 y=2与抛物线只有一个交点 .
O
y
y 2 4x
x
当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则 1 1 Δ 16 - 32k 0, k . 此时直线方程为 y x 2. 1 2 2 综上所述，所求直线方程为 x 0 y 2 y 2 x 2
t 2 y1 y2 t y1 y2 1 y1 y2
4t 4t 1 4 3
2 2
p2 与焦点弦有关的常用结论： x1 x 2 4 (焦点在x轴上时）
思考：如果是选择填空题也这么做吗？
y1 y2 p
2
典型例题：
（2）设直线 l ：x
ty a
消去
x 得 y 2 4ty 4 0
x ty 1
（ *）
Bx2 , y2 ， 不妨设 Ax1 , y1 ，
典型例题：
则由（*）根据韦达定理得
y1 y 2 4t y1 y 2 4
OA OB x x
1 2
y1 y2 ty1 1ty2 1 y1 y2
三基回顾检测
快速核对答案，组内合作，纠正错误
1、(10上海文) 动点P到点F(2,0)的距离与它到直线 x 2 0 2 y 8x 的距离相等，则P的轨迹方程为 2 2、(09湖南文) 抛物线 y 8x 的焦点坐标是 (-2,0) ； 3、抛物线
y ax
2
(a 0) 的准线方程为 y
y 4x
典型例题：
例3、在平面直角坐标系中，直线 l与抛物线 y 4 x 相交于不同的A、B两点. (1) 如果直线 l 过抛物 线的焦点，求 OA OB 的值； （2）如果 OA OB 4，证明直线 l 必过一定点， 并求出该定点。
2
解：（1）由题意，抛物线的焦点为（1，0）， x ty 1 于是，联立 y 2 4 x 设直线： l：
情感态度与价值观 激发学生自主探究的精神与参与的热情
教学重点、难点
1、掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法（重点） 2、理解用方程思想解决直线与抛物线的位置关系,感悟方程 组的解的个数等于直线与抛物线公共点的个数.（重点） 3、数形结合、分类讨论、设而不求数学思想方法的应用 （难点）
知识梳理
1、回顾直线与圆、椭圆、双曲线的位 置关系的判断方法； 2、思考直线与抛物线的位置关系有几 种？如何判断？
直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法
1、能根据几何图形判断的直接判断
形
2、直线与圆 锥曲线的公 共点的个数
Ax+By+c=0
解的个数 f(x,y)=0(二次方程)
数
知识回顾
直线和抛物线的位置关系有哪几种? (1)有一个公共点 (2)两个公共交点 (3)没有公共点 x F y
注意:当直线与抛物线的对称轴平行或重合时有一个 交点
解法二：由题意可知， 直线l斜率一定存在，故可设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y 2（ ) x1 x 2） ,
即k AB 2
此时直线l的方程为y -1 2(x - 2),即2x - y - 3 0
y 2 4x 由 消x得y 2 - 2y - 6 0 0 2x - y - 3 0
2、通过本节课的学习我需要强化哪几种数学思想 在解题中的应用意识？
布置作业
1、体验高考（详见活页作业） 2、按学习小组以知识树的形式综合复习 圆锥曲线以及直线与圆锥曲线的位置关系
变式练习：
x2 y2 1 结果如何？ 变式一：把抛物线换成椭圆 4 23 2 x y 1 呢？ 变式二：把抛物线换成双曲线 4 5
典型例题：
例2、已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线两交点为 A、B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程.
设直线与抛物线的交点 坐标A(x1 , y1 ), B(x2 , y 2 ),则x1 x 2 4, y1 y 2 2
所以直线l的方程为y -1 2(x - 2),即2x - y - 3 0
解题感悟：
中点弦问题的解决方法：
①联立直线方程与曲线方程，用韦达定理 ②点差法，即建立弦的中点与弦所在直线的斜率关系式， “设而不求”，方法简捷 ，注意前提要保证直线与抛
物线有两个不同的交点
跟踪练习：
已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在 x 轴上，直线 y x 与抛物线C交于A、B两点，若D(2,2)为AB的中点，则抛物线C 的方程为 2
2
Ax1 , y1 Bx2 , y2
OA OB x x
2 x y 4ty 4a 0 消去 得 同上代入抛物线 y 4 x y1 y 2 4t 则由韦达定理得 y1 y 2 4a
1 2
y1 y2 ty1 aty2 a y1 y2
2 y 2 x 相交 4、在平面直角坐标系中，直线 l与抛物线
1 ，则 于不同的A、B两点. 如果直线 l过点 ,0
5、抛物线 x 2 y 上到直线 2 x y 4 0 的距离最小的点 P的坐标为 （1，1）
3 OA OB ຫໍສະໝຸດ 42课堂小结
1、直线与抛物线有几种位置关系？如何判断？ 直线与圆锥曲线的位置关系怎么判断？
(2)当 0时即2k 2 k 1 0, 1 解得 1 k 2
1 于是当 -1< k < 时,方程 1 有两个解, 从而 2 方程组有两个解.此时直线l与抛物线有两个交点。
于是当k < -1或k > 时, 方程 1 没有解, 从而 2 方程组没有解.此时直线l与抛物线没有交点。
所以直线l的方程为y -1 2(x - 2),即2x - y - 3 0
典型例题：
例2、已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线两交点为 A、B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程.
则x1 x 2 4, y1 y 2 2
2 y y1 y2 4 1 4 x1 由 2 2 x1 x2 y1 y2 y 2 4 x2
综上所述：当-1< k <
(3)当 0时,即2k 2 k 1 0, 1 解得k< 1或k 2 1
1 且k ≠ 0时，直线和抛物线有两个交点； 2 1 当k = -1或k = 或k = 0时，直线和抛物线有一个交点； 2 1 当k < -1或k > 时，直线和抛物线没有交点。 2
典例分析
2 y 例1已知抛物线的方程为 4 x,直线L过定点 P(-2,1), 斜率为k,试求k为何值时,直线L与抛物线（1）一个公 共点（2）两个公共点（3）没有公共点。 解:由题意, 设直线l的方程为y 1 k x 2
y 1 k x 2 由方程组 2 y 4x 消去x得,ky2 -4y +4 2k +1 = 0
1
1 将y =1代入y 4 x, 得x . 4 1 这时直线l与抛物线只有一个公共点 ,1 4
2
1 当k = 0时,由方程1 得y =1
2 当k 0时，方程 1的判别式为
16 2k 2 k 1
(1)当Δ = 0时,即2k 2 + k -1= 0， 1 解得k = -1,或k = 2 1 于是当k = -1,或k = 时,方程 1 只有一个解, 从而 2 方程组只有一个解.此时直线l与抛物线有一个交点。
1 4a
4、(10湖南文) 设抛物线 y 2 8 x 上一点P到y轴的距离是4， 则点P到该抛物线焦点的距离是 ；6
2 y 2 x 的焦点，P在此抛物上移 5、若A(3,2)，F为抛物线
动，则|PA|＋|PF|的最小值为 7 2
，此时P点坐标 P(2,2)
教学目标
知识与技能 (1) 巩固抛物线的定义和标准方程及性质; (2) 掌握直线与抛物线位置关系的判断,会求参 数的值或范围. 过程与方法 (1) 引导学生从数与形两方面正确理解并能用 方程法讨论直线与抛物线的位置关系； (2) 体会数形结合、分类讨论、设而不求数学 思想方法的应用
2 y 2、若抛物线 4 x 改为 y 2 2 px p 0 ，且 OA OB， 则直线 l 必过一定点?
(2p,0)
当堂检测
2 1、过点（-2，1）与抛物线 x 2 y 只有一个公共点的直 线有 3 条 2、设抛物线 y 2 4 x 截直线 y 2 x b 所得的弦长 AB 3 5 则b= -4 2 3、已知抛物线 y 8x 的弦AB的中点为（-1，1），则直线 AB的方程为 4 x y 3 0
为零时可设直线方程为 率是否存在的情况；
x ty a 这样就避免了讨论斜
2、回顾与焦点弦有关的常用结论，正确理解的基础上熟练 灵 活应用，把握小题解题技巧
变式练习：1、若直线 l 与抛物线 y 2 4x
相交于不同的A、B两点. 如果 OA OB，证明直线必过一定点, 并求出该定点。 (4,0)
解题感悟：
判断直线与抛物线位置关系的操作程序： 联立直线方程与抛物线方程