高一数学必修一二次函数练习题及
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式典型例题(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式典型例题单选题1、已知x >0，则下列说法正确的是（ ） A ．x +1x −2有最大值0B ．x +1x −2有最小值为0 C ．x +1x−2有最大值为－4D ．x +1x−2有最小值为－4答案：B分析：由均值不等式可得x +1x ≥2√x ×1x =2，分析即得解 由题意，x >0，由均值不等式x +1x≥2√x ×1x=2，当且仅当x =1x，即x =1时等号成立故x +1x −2≥0，有最小值0 故选：B2、不等式x (2x +7)≥−3的解集为（ ） A ．(−∞,−3]∪[−12,+∞)B ．[−3,−12] C ．(−∞,−2]∪[−13,+∞)D ．[−2,−13] 答案：A分析：解一元二次不等式即可.x (2x +7)≥−3可变形为2x 2+7x +3≥0， 令2x 2+7x +3=0，得x 1=−3，x 2=−12，所以x ≤−3或x ≥−12，即不等式的解集为(−∞,−3]∪[−12,+∞).故选：A.3、已知命题“∀x ∈R ，4x 2+(a −2)x +14>0”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−∞,0]∪[4,+∞)B ．[0,4] C ．[4,+∞)D ．(0,4)答案：A分析：先求出命题为真时实数a的取值范围，即可求出命题为假时实数a的取值范围.若“∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0”是真命题，即判别式Δ=(a−2)2−4×4×14<0，解得：0<a<4，所以命题“∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0”是假命题，则实数a的取值范围为：(−∞,0]∪[4,+∞).故选：A.4、设a>b>c>0，则2a2+1ab +1a(a−b)−10ac+25c2取得最小值时，a的值为（）A．√2B．2C．4D．2√5答案：A解析：转化条件为原式=1ab +ab+1a(a−b)+a(a−b)+(a−5c)2，结合基本不等式即可得解.2a2+1ab+1a(a−b)−10ac+25c2=1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)−ab−a(a−b)+2a2−10ac+25c2 =1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)+a2−10ac+25c2=1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)+(a−5c)2≥2√1ab ⋅ab+2√1a(a−b)⋅a(a−b)+0=4，当且仅当{ab=1a(a−b)=1a=5c，即a=√2，b=√22，c=√25时，等号成立.故选：A.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5、若“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≥2C ．m ≥3D ．m ≥4 答案：C分析：x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0），解得﹣2m <x <m .根据“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，可得﹣2m ≤﹣2，3≤m ，m >0.解出即可得出. 解：x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0），解得﹣2m <x <m .∵“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，∴﹣2m ≤﹣2，3≤m ，(两个等号不同时取)m >0. 解得m ≥3.则实数m 的取值范围是[3，+∞）. 故选：C.6、关于x 的不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x|x 1<x <x 2}，且x 2−x 1=1，则a 2+a −2=（ ） A ．3B ．32C ．2D ．23答案：A分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得x 1+x 2=a +1a 、x 1x 2=1，结合 (x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2计算即可.由不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x |x 1<x <x 2}， 得a >0，不等式对应的一元二次方程为ax 2−(a 2+1)x +a =0， 方程的解为x 1、x 2，由韦达定理，得x 1+x 2=a 2+1a=a +1a ，x 1x 2=1，因为x 2−x 1=1，所以(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1， 即(a +1a )2−4=1，整理，得a 2+a −2=3. 故选：A7、已知关于x 的不等式ax 2+bx +c <0的解集为{x|x <−1或x >4}，则下列说法正确的是（ ）A．a>0B．不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2−√7<x<2+√7}C．a+b+c<0D．不等式ax+b>0的解集为{x|x>3}答案：B分析：根据解集形式确定选项A错误；化不等式为x2−4x−3<0,即可判断选项B正确；设f(x)=ax2+ bx+c，则f(1)>0，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.解：因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，所以a<0，所以选项A错误；由题得{a<0−1+4=−ba−1×4=ca,∴b=−3a,c=−4a，所以ax2+cx+b>0为x2−4x−3<0,∴2−√7<x<2+√7.所以选项B正确；设f(x)=ax2+bx+c，则f(1)=a+b+c>0，所以选项C错误；不等式ax+b>0为ax−3a>0,∴x<3，所以选项D错误.故选：B8、不等式1+x1−x≥0的解集为（）A．{x|x≥1或x≤−1}B．{x∣−1≤x≤1} C．{x|x≥1或x<−1}D．{x|−1≤x<1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，解得−1≤x<1，故不等式的解集为{x|−1≤x<1}，故选：D．多选题9、已知关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为{x|−2<x<3}，则（）A．a>0B．不等式ax+c>0的解集为{x|x<6}C．a+b+c>0D．不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|−13<x<12}答案：BCD解析：根据已知条件得−2和3是方程ax2+bx+c=0的两个实根，且a<0，根据韦达定理可得b=−a,c=−6a，根据b=−a,c=−6a且a<0,对四个选项逐个求解或判断可得解.因为关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为{x|−2<x<3}，所以−2和3是方程ax2+bx+c=0的两个实根，且a<0，故A错误；所以−2+3=−ba ，−2×3=ca，所以b=−a,c=−6a，所以不等式ax+c>0可化为ax−6a>0，因为a<0，所以x<6，故B正确；因为a+b+c=a−a−6a=−6a，又a<0，所以a+b+c>0，故C正确；不等式cx2−bx+a<0可化为−6ax2+ax+a<0，又a<0，所以−6x2+x+1>0，即6x2−x−1<0，即(3x+1)(2x−1)<0，解得−13<x<12,故D正确.故选：BCD.小提示：利用一元二次不等式的解集求出参数a,b,c的关系是解题关键.本题根据韦达定理可得所要求的关系，属于中档题.10、设0<b<a<1，则下列不等式不成立的是（）A．ab<b2<1B．√a<√b<1C．1<1a <1bD．a2<ab<1答案：ABD分析：对于ABD举例判断即可，对于C，利用不等式的性质判断对于A，取a=12,b=13，则ab=16>b2=19，所以A错误，对于B，取a=14,b=19，则√a=12>√b=13，所以B错误，对于C，因为0<b<a<1，所以1ab >0，所以b⋅1ab<a⋅1ab，即1a<1b，因为0<a<1，所以0<a⋅1a <1×1a，即1<1a，综上1<1a<1b，所以C正确，对于D，取a=12,b=13，则ab=16<a2=14，所以D错误，故选：ABD11、下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（）A．3x+4<0B．x2+mx-1>0C．ax2+4x-7>0D．x2<0答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.填空题12、若x>0,y>0,xy=10，则2x +5y的最小值为_____．答案：2分析：化简2x +5y=2x+102y=2x+xy2y=2x+x2，结合基本不等式，即可求解.由x>0,y>0,xy=10，则2x +5y=2x+102y=2x+xy2y=2x+x2≥2√2x×x2=2，当且仅当x=2时取“=”，即2x +5y的最小值为2．所以答案是：2.13、已知x，y为正数，且12+x +4y=1，则x+y的最小值为________.答案：7解析：由题设等式有x+y+2=5+y2+x +4(x+2)y，利用基本不等式可求x+y+2的最小值，从而可得x+y的最小值.x+y+2=[(x+2)+y]×(1x+2+4y)=5+y2+x+4(x+2)y，由基本不等式有y2+x +4(x+2)y≥4，当且仅当x=1,y=6时等号成立，故x+y+2的最小值为9即x+y的最小值为7.所以答案是：7.小提示：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.14、已知函数f(x)=√mx2+mx+1的定义域是R，则m的取值范围为______．答案：[0,4]分析：根据函数的定义域为R可得mx2+mx+1≥0对x∈R恒成立，对参数m的取值范围分类讨论，分别求出对应m 的范围，进而得出结果.因为函数f(x)=√mx2+mx+1的定义域为R，所以mx2+mx+1≥0对x∈R恒成立，当m=0时，mx2+mx+1=1>0，符合题意；当m>0时，由Δ=m2-4m≤0，解得0<m≤4；当m<0时，显然mx2+mx+1不恒大于或等于0．综上所述，m的取值范围是[0,4].所以答案是：[0,4].解答题15、设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥√43．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析.分析：（1）方法一：由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0结合不等式的性质，即可得出证明；（2）方法一：不妨设max{a,b,c}=a，因为a+b+c=0,abc=1，所以a>0,b<0,c<0,a=(−b)+(−c)≥2√bc=2√1a ，则a3≥4,a≥√43．故原不等式成立．（1）［方法一］【最优解】：通性通法∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，∴ab+bc+ca=−12(a2+b2+c2).∵abc=1,∴a,b,c均不为0，则a2+b2+c2>0，∴ab+bc+ca=−12(a2+b2+c2)<0．［方法二］：消元法由a+b+c=0得b=−(a+c)，则ab+bc+ca=b(a+c)+ca=−(a+c)2+ac=−(a2+ac+c2)=−(a +c 2)2−34c 2≤0，当且仅当a =b =c =0时取等号，又abc =1，所以ab +bc +ca <0． ［方法三］：放缩法方式1：由题意知a ≠0, a +b +c =0, a =−(c +b ), a 2=(c +b )2=c 2+b 2+2cb ≥4bc ，又ab +bc +ca =a (b +c )+bc =−a 2+bc ≤−a 2+a 24=−3a 24<0，故结论得证．方式2：因为a +b +c =0，所以0=(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca=12[(a 2+b 2)+(b 2+c 2)+(c 2+a 2)]+2ab +2bc +2ca ≥12(2ab +2bc +2ca )+2ab +2bc +2ca =3(ab +bc +ca )．即ab +bc +ca ≤0，当且仅当a =b =c =0时取等号， 又abc =1，所以ab +bc +ca <0． ［方法四］：因为a +b +c =0,abc =1，所以a ，b ，c 必有两个负数和一个正数，不妨设a ≤b <0<c,则a =−(b +c ), ∴ab +bc +ca =bc +a (c +b )=bc −a 2<0. ［方法五］：利用函数的性质方式1：6b =−(a +c )，令f (c )=ab +bc +ca =−c 2−ac −a 2， 二次函数对应的图像开口向下，又abc =1，所以a ≠0， 判别式Δ=a 2−4a 2=−3a 2<0，无根， 所以f (c )<0，即ab +bc +ca <0．方式2：设f (x )=(x −a )(x −b )(x −c )=x 3+(ab +bc +ca )x −1， 则f (x )有a ，b ，c 三个零点，若ab +bc +ca ≥0， 则f (x )为R 上的增函数，不可能有三个零点， 所以ab +bc +ca <0．（2）［方法一］【最优解】：通性通法不妨设max {a,b,c }=a ，因为a +b +c =0,abc =1，所以a >0, b <0, c <0, a =(−b )+(−c )≥2√bc =2√1a，则a 3≥4,a ≥√43．故原不等式成立． ［方法二］：不妨设max {a,b,c }=a ，因为a +b +c =0,abc =1，所以a >0，且{b +c =−a,bc =1a , 则关于x 的方程x 2+ax +1a =0有两根，其判别式Δ=a 2−4a ≥0，即a ≥√43． 故原不等式成立． ［方法三］：不妨设max {a,b,c }=a ，则a >0, b =−(a +c ), abc =1, −(a +c )ac =1, ac 2+a 2c +1=0，关于c 的方程有解，判别式Δ=(a 2)2−4a ≥0，则a 3≥4,a ≥√43．故原不等式成立． ［方法四］：反证法假设max {a,b,c }<√43，不妨令a ≤b <0<√43，则ab =1c >√43,−a −b =c <√43，又√43>−a −b ≥2√ab >√√43=21−13=√43，矛盾，故假设不成立．即max {a,b,c }≥√43，命题得证．【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出． （2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．。
高中数学必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式 复习与测试(含答案)
高中数学必修一第二章一、单选题1．已知a≥0，b≥0，且a+b=2，则（ ）A．ab≤12B．ab≥12C．a2+b2≥2D．a2+b2≤32．已知正数x，y满足x+1y=1，则1x+4y的最小值为（ ）A．9B．10C．6D．83．在实数集上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）A．（﹣1，1）B．（0，2）C．(―12，32)D．(―32，12)4．已知1≤a+b≤5，―1≤a―b≤3，则3a―2b的取值范围是（ ）A．[―6，14]B．[―2，14]C．[―2，10]D．[―6，10] 5．若关于x的不等式x2―4x―2―a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（ ）A．a<―2B．a>―2C．a>―6D．a<―6 6．若x=5―2，y=2―3，则x，y满足（ ）A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x=y7．正数a,b满足9a +1b=2，若a+b≥x2+2x对任意正数a,b恒成立，则实数x的取值范围是（ ）A．[―4,2]B．[―2,4]C．(―∞,―4]∪[2,+∞)D．(―∞,―2]∪[4,+∞)8．设正数a，b满足b―a<2，若关于x的不等式(a2―4)x2+4bx―b2<0的解集中的整数解恰有4个，则a的取值范围是（ ）A．(2，3)B．(3，4)C．(2，4)D．(4，5)二、多选题9．下列函数最小值为2的是（ ）A．y=x2+1x2B．y=x2+3+1x2+3C．y=2x+12x D．y=x2+1x，x>010．已知a>0，b>0.若4a+b=1，则（ ）A．14a +1b的最小值为9B．1a+1b的最小值为9C．(4a+1)(b+1)的最大值为94D．(a+1)(b+1)的最大值为9411．已知a>0，b>0，则下列式子一定成立的有（ ）A．2aba+b ≤ab B．a2+b22≤a+b2C．1a +1b≤4a+bD．a2+b22≤a2+b2a+b12．已知正数a，b满足a(a+b)=1，下列结论中正确的是（ ）A．a2+b2的最小值为22―2B．2a+b的最小值为2C．1a +1b的最小值为332D．a―b的最大值为1三、填空题13．设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|―1<x<13}，则ab的值是 ．14．已知x,y为正实数，且x+4y=1x+1y=m，则m的最小值为 .15．已知实数a,b满足ab>0，则aa+b―aa+2b的最大值为 16．已知实数x，y，z满足：{x+y+z=3x2+y2+z2=36，则|x|+|y|+|z|的最大值为 .四、解答题17．已知集合A={x|―2<x<5}，B={x|m+1≤x≤2m―1}．（1）当m=3时，求（∁R A）∩B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．18．求证下列问题：（1）已知a，b，c均为正数，求证：bca +acb+abc≥a+b+c.（2）已知xy>0，求证：1x>1y的充要条件是x<y.19．已知不等式组{―x<2，x2+7x―8<0的解集为A，集合B={x|a―5<x<3a―5}．（1）求A；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．20．已知函数g(x)=k2x+k，ℎ(x)=x2―2(k2―k+1)x+4．（1）当k=1时，求函数y=ℎ(x)g(x)，x∈(―∞,―1)的最大值；（2）令f(x)={g(x),x>0ℎ(x),x<0，求证：对任意给定的非零实数x1，存在惟一的实数x2(x1≠x2)使得f(x1)=f(x2)成立的充要条件是k=4．21．若函数f(x)=a x2―(2a+1)x+2.（1）讨论f(x)>0的解集；（2）若a=1时，总∃x∈[13，1]，对∀m∈[1，4]，使得f(1x)+3―2mx≤b2―2b―2恒成立，求实数b的取值范围.22．已知函数f(x)=2|x+1|―|x―a|(a∈R)．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f(x)⩾x+2的解集；（Ⅱ）设函数g(x)=f(x)+3|x―a|，当a=1时，函数g(x)的最小值为t，且2m +12n=t(m>0,n>0)，求m+n的最小值．答案解析部分1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】C 9．【答案】A,C 10．【答案】B,C 11．【答案】A,D 13．【答案】614．【答案】315．【答案】3―2216．【答案】1+22217．【答案】（1）解：∵集合A ={x|―2<x <5}，B ={x|m +1≤x ≤2m ―1}．∴∁R A ={x|x ≤―2或x ≥5}，m =3时，B ={x|4≤x ≤5}，∴（∁R A ）∩B ={5}（2）解：若A ∪B =A ，则B ⊆A ，当B =∅时，m +1>2m ―1，解得m <2，成立；当B ≠∅时，{m +1≤2m ―1m +1>―22m ―1<5，解得2≤m <3，综上实数m 的取值范围为（―∞，3）18．【答案】（1）证明：bc a +ac b +ab c =2bc a +2ac b +2ab c 2=bc a +ac b +bc a +ab c +ac b +ab c 2≥2bc a ⋅ac b+2bc a ⋅ab c+2ac b ⋅ab c=a +b +c ，当且仅当bc a =ac b ，bc a=ab c ，acb =abc ，即a =b =c 时等号成立.（2）证明：依题意xy >0，则{x >0y >0或{x <0y <0，所以：1x >1y ⇔1x ―1y =y ―x xy >0⇔y ―x >0⇔x <y ，所以：1x>1y 的充要条件是x <y .19．【答案】（1）解：由{―x <2x 2+7x ―8<0，得{x >―2―8<x <1，得―2<x <1，所以A ={x |―2<x <1}．（2）解：由A ∪B =B ，得A ⊆B ，所以{a ―5≤―23a ―5≥1，得2≤a ≤3，故a 的取值范围为[2，3]．20．【答案】（1）解：当 k =1 时，函数 y =x 2―2x +4x +1， x ∈(―∞,―1) ，令 t =x +1<0 ，则 y =t +7t―4 ，此时 ―t >0 ，由 (―t )+(―7t )≥2(―t )×7―t =27 ，即 t +7t≤―27 ，当且仅当 t =―7 ，即 x =―7―1 时取等号，综上，当 x =―7―1 时， y 最大值是 ―27―4 ．（2）解：充分性：当 k =4 时， f (x )={16x +4,x >0x 2―26x +4,x <0 ， 当 x >0 时， y =16x +4 在 (0,+∞) 单调递增，且 y >4 ，当 x <0 时， y =x 2―26x +4 在 (―∞,0) 单调递减，且 y >4 ，若 x 1>0 ，则存在惟一的 x 2<0 ，使得 f (x 1)=f (x 2) ，同理 x 1<0 时也成立，必要性：当 x >0 时， y =k 2x +k ，当 k =0 时， f (x ) 在 (0,+∞) 上的值域为 {0} ，显然不符合题意，因此 k ≠0 ，当 x >0 时， f (x ) 在 f (x ) 的取值集合 A =(k ,+∞) ，x <0 ， f (x )=x 2―2(k 2―k +1)x +4 的对称轴 x =k 2―k +1>0 ， f (x ) 在 (―∞,0) 上递减， f (x )>f (0)=4 ，所以 f (x ) 的取值集合 B =(4,+∞) ，①若 x 1>0 ， f (x ) 且在 (0,+∞) 上单调递增，要使 f (x 1)=f (x 2) ，则 x 2<0 ，且 A ⊆B ，有 k ≥4 ．②若 x 1<0 ， f (x ) 且在 (―∞,0) 上单调递减，要使 f (x 1)=f (x 2) ，则 x 2>0 ，且 B ⊆A ，有 k ≤4 ．综上： k =4 ．21．【答案】（1）已知f (x )=a x 2―(2a +1)x +2，①当a =0时，f (x )=―x +2>0时，即x <2；②当a ≠0时，f (x )=a (x ―1a )(x ―2)，若a <0，f (x )>0，解得 1a <x <2，若0<a <12，f (x )>0，解得x <2或x >1a ，若a =12，f (x )>0，解得x ≠2，若a >12时，f (x )>0，解得x <1a 或x >2，综上所述：当a <0时，f (x )>0的解集为(1a ，2)；当a =0时，f (x )>0的解集为(―∞，2)；当0<a <12时，f (x )>0的解集为(―∞，2)∪(1a ，+∞)；当a =12时，f (x )>0的解集为(―∞，2)∪(2，+∞)；当a >12时，f (x )>0的解集为(―∞，1a )∪(2，+∞).（2）若a =1，则f (x )=x 2―3x +2，∴f (1x )+3―2m x =1x 2―2m x +2，令t =1x ，原题等价于∃t ∈[1，3]，对∀m ∈[1，4]使得t 2―2mt +2≤b 2―2b ―2恒成立，令g (m )=―2tm +t 2+2，∴g (m )是关于m 的减函数，∴对∀m ∈[1，4]，g (m )≤b 2―2b ―2恒成立，即b 2―2b ―2≥g (m )max =g (1)=t 2―2t +2，又∃t ∈[1，3]，b 2―2b ―2≥t 2―2t +2，即b 2―2b ―2≥(t 2―2t +2)min =12―2×1+2=1，故b 2―2b ―3=(b ―3)(b +1)≥0，解得b ≤―1或b ≥3.22．【答案】解：（Ⅰ）当 a =2 时， f (x )⩾x +2 化为 2|x +1|―|x ―2|≥x +2 ，当 x⩽―1 时，不等式化为 ―x ―4⩾x +2 ，解得 x⩽―3 ；当 ―1<x <2 时，不等式化为 3x⩾x +2 ，解得 1⩽x <2 ；当 x⩾2 时，不等式化为 x +4⩾x +2 ，解得 x⩾2 ，综上不等式 f (x )⩾x +2 的解集是 {x |x⩽―3或x⩾1}（Ⅱ）当 a =1 时， g (x )=2|x +1|+2|x ―1|⩾2|x +1+1―x |=4 ，当且仅当 (x +1)(x ―1)⩽0 ，即 ―1⩽x⩽1 时，等号成立．所以，函数 g (x ) 的最小值 t =4 ，所以 2m +12n =4 ， 12m +18n=1 ．m +n =(m +n )(12m +18n )=n 2m +m 8n +58⩾2n 2m ⋅m 8n +58=98 ，当且仅当 {12m +18n =1，n 2m =m 8n 即 {m =34，n =38时等号成立，所以 m +n 的最小值为 98．。
高中一年级数学二次函数练习题
高中一年级数学二次函数练习题在高中一年级的数学学习中，二次函数是一个非常重要的知识点。
为了帮助同学们更好地掌握这部分内容，下面为大家准备了一些二次函数的练习题。
一、选择题1、函数＼（y ＝ x^2 2x ＋ 3\）的对称轴是（）A ＼（x ＝ 1\）B ＼（x ＝－1\）C ＼（y\）轴D ＼（x ＝ 2\）2、二次函数＼（y ＝ 2(x 3)＾2 ＋ 1\）的图像的顶点坐标是（）A ＼（（3, 1)＼）B ＼（（－3, 1)＼）C ＼（（3, －1)＼）D ＼（（－3, －1)＼）3、已知二次函数＼（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）的图像经过点＼（（0, 3)＼），＼（（1, 0)＼），＼（（2, 5)＼），则这个二次函数的解析式是（）A ＼（y ＝ x^2 2x ＋ 3\）B ＼（y ＝ x^2 ＋ 2x 3\）C ＼（y ＝x^2 ＋ 2x ＋ 3\） D ＼（y ＝ x^2 2x ＋ 3\）4、对于二次函数＼（y ＝－2(x ＋ 1)＾2 3\），下列说法正确的是（）A 图像开口向上B 图像的对称轴是＼（x ＝ 1\）C 当＼（x ＜－1\）时，＼（y\）随＼（x\）的增大而增大D 图像的顶点坐标是＼（（1, －3)＼）5、二次函数＼（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\），＼（c ＞ 0\）B ＼（a ＜ 0\），＼（b ＜ 0\），＼（c ＞ 0\）C ＼（a ＜ 0\），＼（b ＞ 0\），＼（c ＜ 0\）D ＼（a ＜ 0\），＼（b ＜ 0\），＼（c ＜ 0\）二、填空题1、二次函数＼（y ＝ 2x^2 4x ＋ 5\）的最小值是_____。
2、抛物线＼（y ＝－3(x 1)＾2 ＋ 5\）的开口方向是_____，顶点坐标是_____。
3、把二次函数＼（y ＝ x^2 2x 3\）化成＼（y ＝ a(x h)＾2 ＋ k\）的形式是_____。
高一数学二次函数试题(有详细解答)
高一数学二次函数试题一．选择题（共23小题）1．如果函数f （x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t），那么（）A．f（2）＜f（1）＜f （4）B．f（1）＜f（2）＜f（4）C．f（2）＜f（4）＜f（1）D．f（4）＜f（2）＜f（1）考点：二次函数的图象；二次函数的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：先从条件“对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t）”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可．解答：解：∵对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t）∴f（x）的对称轴为x=2，而f（x）是开口向上的二次函数故可画图观察可得f（2）＜f（1）＜f（4），故选A．点评：本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观．2．二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，图象与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x1∈（2，3），则有（）A．a bc＞0 B．a+b+c＜0 C．a+c＞b D．3b＜2c考点：二次函数的图象；二次函数的性质．专题：计算题．分析：由二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，可以知道a＜0，b=﹣2a，交点的横坐标x1∈（2，3），可得到，从而可得答案．解答：解：∵二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，∴a＜0，又对称轴为x=1，∴x=﹣=1，∴b=﹣2a；∴f（x）=ax2﹣2ax+c．又与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x1∈（2，3），a＜0，∴即：，∴，∴a+c＞﹣2a=b．C符合．又a＜0，b=﹣2a＞0，c＞0，∴abc＜0，排出A，∵二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，∴f（1）=a+b+c＞0，排出B，f（﹣1）=f（3），图象与x轴的两个交点中一个交点的横坐标x1∈（2，3），∴f（﹣1）=f（3）＜0，而f（﹣1）=a﹣b+c=﹣b+c＜0，∴3b＞2c，排出D．故选C．点评：本题考查了二次函数图象与性质，关键在于准确把握题目信息的意图，合理转化，特别是分析与应用是难点．属于中档题．3．（2011•厦门模拟）已知函数，这两个函数图象的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数的图象；一次函数的性质与图象．专题：综合题．分析：本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数y=f（x）的图象与函数y=3x的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．解答：解：在同一坐标系下，画出函数y=f（x）的图象与函数y=3x的图象如下图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选B．点评：求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，析图象后，即可等到答案．4．已知函数f（x）=mx2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是（）A．[0，1]B．（0，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]考点：二次函数的图象．专题：常规题型；计算题；压轴题；分类讨论．分析：本题考查的是函数的图象问题．在解答时，应先结合m是否为零对函数是否为二次函数进行区别，对于二次函数情况下充分结合图形的特点利用判别式和对称轴即可获得问题解答．解答：解：由题意可知：当m=0时，由f（x）=0 知，﹣3x+1=0，∴＞0，符合题意；当m＞0时，由f（0）=1可知：，解得0＜m≤1；当m＜0时，由f（0）=1可知，函数图象恒与X轴正半轴有一个交点综上可知，m的取值范围是：（﹣∞，1]．故选D．点评：本题考查的是二次函数的图象问题．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、函数与方程的思想以及问题提转化的能力．值得同学们体会和反思．5．已知，若|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围（）B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[﹣1，0）A．（﹣∞﹣1]∪[0，+∞）考点：二次函数的图象；一次函数的性质与图象．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：先画出函数和|f（x）|的图象；利用图象再结合答案即可解决本题．解答：解：函数的图象如图：|f（x）|的图象如图：因为|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，所以y=ax的图象应在y=|f（x）|的图象的下方，故须斜率为负，或为0．当斜率为负时，排除答案A，C；当a=0，y=0满足要求，排除D．故选B．点评：本题主要考查函数的图象．其中涉及到二次函数，一次函数，分段函数以及带绝对值的函数的图象，是对函数的大汇总，在画整体带绝对值的函数图象时，注意起翻折原则是X轴上方的保持不变，X轴下方的沿x轴对折．6．已知二次函数f（x）=x2﹣ax+4，若f（x+1）是偶函数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1C．﹣2 D．2考点：二次函数的图象．专题：计算题．分析：根据f（x）求出f（x+1），由f（x+1）是偶函数得到f（x+1）=f（﹣x+1）即可得到关于a的方程，求出集即可得到a的值．解答：解：∵f（x）=x2﹣ax+4，∴f（x+1）=（x+1）2﹣a（x+1）+4=x2+2x+1﹣ax﹣a+4=x2+（2﹣a）x+5﹣a，f（1﹣x）=（1﹣x）2﹣a（1﹣x）+4=x2﹣2x+1﹣a+ax+4=x2+（a﹣2）x+5﹣a．∵f（x+1）是偶函数，∴f（x+1）=f（﹣x+1），∴a﹣2=2﹣a，即a=2．故选D点评：本题考查学生灵活运用函数的奇偶性解决实际问题．是一道基础题．7．已知m＞2，点（m﹣1，y1），（m．y2），（m+1，y3）都在二次函数y=x2﹣2x的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3考点：二次函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次函数的解析式，可判断出二次函数y=x2﹣2x的图象形状，进而判断出函数的单调性，结合m＞2可得1＜m﹣1＜m＜m+1，结合函数的单调性可判断出y1，y2，y3的大小．解答：解：∵二次函数y=x2﹣2x的图象是开口朝上且以直线x=1为对称轴的抛物线故二次函数y=x2﹣2x在区间[1，+∞）上为增函数又∵m＞2∴1＜m﹣1＜m＜m+1∴y1＜y2＜y3故选A点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中根据函数的解析式分析出函数的单调性是解答的关键．8．已知，若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值集合是（）A．{c|c≤﹣5或c=﹣1或c=3} B．{c|c＜﹣5或c=﹣1或c=3}C．{c|2＜c＜3或c＞4} D．{c|2＜c≤3或c≥4}考点：二次函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：作出函数y=f（x）的图象，然后根据图象确定实数c的取值集合．解答：解：作出函数的图象如图：由y=f（x）﹣c=0得f（x）=c，所以由图象可知要使方程f（x）=c，恰有两个公共点，则有c=﹣1或c=3或c＜﹣5．故选B．点评：本题主要考查二次函数的图象，以及两个图象的交点问题，利用数形结合是解决这类问题常见的方法．9．（2011•渭南三模）设函数若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0，则关于x的不等式f（x）≤1的解集为（）A．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）B．[﹣3，﹣1]C．[﹣3，﹣1]∪（0，+∞）D．[﹣3，+∞）考点：二次函数的性质；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：利用f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0，建立方程组，解得b=c=4，由此能求出关于x的不等式f（x）≤1的解集．解答：解：∵函数，f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0，∴，解得b=c=4，∴，∴当x＞0时，f（x）=﹣2≤1；当x≤0时，由f（x）=x2+4x+4≤1，解得﹣3≤x≤﹣1．综上所述，x的不等式f（x）≤1的解集为{x|x＞0，或﹣3≤x≤﹣1}．故选C．点评：本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意一元二次不等式的性和应用．10．（2011•湖北模拟）设函数f（x）=ax2+bx+c，若f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，则（）A．f（5）＜f（2）＜f （﹣1）B．f（﹣1）＜f（2）＜f（5）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）D．f（2）＜f（5）＜f（﹣1）考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：由于函数f（x）=ax2+bx+c，若f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，利用不等式与函数之间的联系及二次函数的对称性即可求解．解答：解：因为函数f（x）=ax2+bx+c且f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，利用不等式与函数的联系可以知道：﹣2，4应为方程ax2+bx+c=0的两个根，∴利用二次函数的韦达定理可以知道：由此得次二次函数为开口向上，对称轴x=﹣=1，利用二次函数的图象关于对称轴对称可以知道：f（5）＞f（﹣1）＞f（2）故选C点评：此题考查了函数与不等式之间的联系，二次函数的对称性及利用对称性比较函数值的大小．11．（2010•大连模拟）已知函数y=x2﹣4|x|+5在（﹣∞，a）内单调递减，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣2 B．a≤﹣2 C．a≥0 D．a≤2考点：二次函数的性质．专题：计算题；数形结合．分析：先对函数y=x2﹣4|x|+5取绝对值，画出其对应的图象，利用图象来找实数a的取值范围即可．解答：解：因为y=x2﹣4|x|+5=其图象如图．由图得，函数y=x2﹣4|x|+5在（﹣∞，a）内单调递减区间为（﹣∞，﹣2]，故实数a的取值范围是a≤﹣2．故选B．点评：本题考查了二次函数的图象，通过图象来找函数的单调区间，数形结合有助于我们的解题，形象直观．12．若函数f（x）=x2+2（a+1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣5 B．a≤﹣5 C．a＞﹣5 D．a≥﹣5考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得﹣（a+1）≥4，由此解得a的取值范围．解答：解：由题意可得，﹣（a+1）≥4∴a≤﹣5故选B点评：本题主要考查求二次函数的单调性，属于基础题．13．已知二次函数f（x）=a（x﹣m）（x﹣n）（m＜n），若不等式f（x）＞0的解集是（m，n）且不等式f（x）+2＞0的解集是（α，β），则实数m、n、α、β的大小关系是（）A．m＜α＜β＜n B．α＜m＜n＜βC．m＜α＜n＜βD．α＜m＜β＜n考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：令g（x）=f（x）+2，因f（x）=a（x﹣m）（x﹣n）＞0的解集是（m，n），说明a为负数，再根据图象变换的性质可知f（x）的图象是由g（x）向下平移得来的，α、β是g（x）=0的两根，m和n是f（x）=0的两根，画出图象，则可得到答案．解答：解：令g（x）=f（x）+2=a（x﹣α）（x﹣β），f（x）=a（x﹣m）（x﹣n）则f（x）的图象是由g（x）向下平2个单位长度移得来的，依题意可知a，b是g（x）=0的两根，m和n是f（x）=0的两根，α、β是g（x）=0的两根作出图象如图，可得α＜m＜n＜β，故选B．点评： 本题主要考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，采用数形结合的方法是解决本题的关键．考查了生分析问题和解决的能力，不失为一道成功的考题．14．已知函数f （x ）=﹣x 2+ax+b 2﹣b+1，（a ，b ∈R ）对任意实数x 都有f （1﹣x ）=f （1+x ）成立，若当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＞0恒成立，则b 的取值范围是（ ）A ． ﹣1＜b ＜0B ． b ＞2C ． b ＞2或b ＜﹣1D ． b ＜﹣1考点：二次函数的性质；函数的图象． 专题：计算题． 分析：先根据条件“对任意实数x 都有f （1﹣x ）=f （1+x ）成立”得到对称轴，求出a ，再研究函数f （x ）在[﹣1，1]上的单调性，求出函数的最小值，使最小值大于零即可．解答：解：∵对任意实数x 都有f （1﹣x ）=f （1+x ）成立， ∴函数f （x ）的对称轴为x=1=，解得a=2，∵函数f （x ）的对称轴为x=1，开口向下，∴函数f （x ）在[﹣1，1]上是单调递增函数，而f （x ）＞0恒成立，f （x ）min =f （﹣1）=b 2﹣b ﹣2＞0，解得b ＜﹣1或b ＞2，故选C点评：本题主要考查了函数恒成立问题，二次函数在给定区间上恒成立问题必须从开口方向，对称轴，判别式及端点的函数值符号4个角度进行考虑．15．已知函数，若f （2a+1）＞f （a ），则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ． （﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞） C ． D ． （﹣3，﹣1）考点： 二次函数的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 先判断函数f （x ）的奇偶性和单调性，求参数的取值范围．解答： 解：因为函数，所以作出函数f （x ）的图象，则函数f （x ）为偶函数，且在（+∞）上单调递增．则f （2a+1）＞f （a ），等价为f （|2a+1|）＞f （|a|），所以|2a+1|＞|a|，平方得4a2+4a+1＞a2，即3a2+4a+1＞0，解得．故选A．点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数单调性的应用．16．不等式（m﹣2）x2+2（m﹣2）x﹣4≤0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜2 B．﹣2≤m≤2 C．﹣2≤m＜2 D．﹣2＜m≤2考点：二次函数的性质．分析：等式（m﹣2）x2+2（m﹣2）x﹣4≤0对一切实数x都成立，包括两种情况，一是二次项及一次项系数全为0，常数项小于等于0，而是二次项系数小于0，△小于等于0，分类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案．解答：解：当m=2时，不等式（m﹣2）x2+2（m﹣2）x﹣4≤0可化为﹣4≤0对一切实数x都成立，故m=2满足条件；当m＜2时，若不等式（m﹣2）x2+2（m﹣2）x﹣4≤0对一切实数x都成立，则解得﹣2≤m＜2综上满足条件的实数m的取值范围是﹣2≤m≤2故选B点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中解答时容易忽略m=2时，不等式（m﹣2）x2+2（m﹣2）x﹣4≤0可化为﹣4≤0对一切实数x都成立，而错选C17．f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＞0的解集是{x|x1＜x＜x2}，f（0）＞0，则f（x1+x2）的值（）A．小于0 B．大于0C．等于0 D．以上三种情况都有可能考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件得到a＜0且x1，x2是ax2+bx+c=0的两个根，由韦达定理得到x1+x2=﹣，因为f（0）＞0，得到c＞0，得到f（x1+x2）=．解答：解：因为不等式f（x）＞0的解集是{x|x1＜x＜x2}，所以a＜0且x1，x2是ax2+bx+c=0的两个根，所以x1+x2=﹣，又因为f（0）＞0，所以c＞0，所以f（x1+x2）=故选B．点评：本题考查二次不等式的解集形式、与相应的二次方程的根的关系；考查二次方程的韦达定理，属于基础题．18．（2012•山西模拟）二次函数f（x）满足f（4+x）=f（﹣x），且f（2）=1，f（0）=3，若f（x）在[0，m]上有最小值1，最大值3，则实数m的取值范围是（）A．[2，4]B．（0，2]C．（0，+∞）D．[2，+∞）考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：由f（4+x）=f（﹣x）可知f（4）=f（0）=3是最大值，f（2）=1是最小值，而f（x）在[0，m]上有最小值1，最大值3，说明m至少得是2，进而可得到答案．解答：解：由f（4+x）=f（﹣x），可知f（4）=f（0）=3是最大值，而f（2）=1是最小值，而f（x）在[0，m]上有最小值1，最大值3，则m必须得有2，又f（4）=f（0）=3，故m也可等于4，故答案选A．点评：本题主要考查二次函数的值域和单调性．19．（2011•绵阳一模）已知函数f（x）=ax2+2ax+4（a＞0），若x1＜x2，x1+x2=0，则（）A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）=f（x2）C．f（x1）＞f（x2）D．f（x1）与f（x2）的大小不能确定考点：二次函数的性质．分析：函数值作差进行比较大小，根据条件判f（x1）﹣f（x2）的正负即可．解答：解：由题意，可有f（x1）﹣f（x2）=（ax12+2ax1+4）﹣（ax22+2ax2+4）=a（x1﹣x2）（x1+x2）+2a（x1﹣x2）=a（x1﹣x2）（x1+x2+2）因为a＞0，x1＜x2，x1+x2=0所以a＞0，x1﹣x2＜0，x1+x2+2＞0所以f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）．故选A．点评：本题主要考查：函数值作差进行比较大小，根据条件判式子的正负．20．二次函数f（x）=ax2﹣2（a﹣1）x+2在区间（4，+∞）内是减函数，则实数a的取值范围为（）D．a=﹣3A．B．C．且a≠0考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：综合题；分类讨论．分析：考虑两种情况：当a大于0时，得出二次函数的图象为开口向上的抛物线，根据二次函数的增减性得到函数在区间（4，+∞）内是减函数不可能；当a小于0时，得出二次函数的图象为开口向下的抛物线，根据二次函数的顶点坐标公式求出此函数的顶点坐标，因为二次函数f（x）=ax2﹣2（a﹣1）x+2在区间（4，+∞）内是减函数，经过判断得出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．解答：解：当a＞0时，得到二次函数为开口向上的抛物线，与二次函数在区间（4，+∞）内是减函数矛盾，a取空集；当a＜0时，二次函数f（x）=ax2﹣2（a﹣1）x+2在区间（4，+∞）内是减函数，得到x=≤4，解得：a≤﹣．故选B点评：此题考查学生灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．21．函数y=﹣x2﹣4x+1，x∈[﹣3，3]的值域为（）A．[﹣∞，5]B．[5，+∞]C．[﹣20，5]D．[﹣4，5]考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：先求出函数的对称轴方程，根据到对称轴距离的远近即可求出其值域．解答：解：∵f（x）=y=﹣x2﹣4x+1=﹣（x+2）2+5对称轴为x=﹣2，开口向下．所以在[﹣3，﹣2]上递增，在[﹣2，3]上递减．且3离对称轴距离远．所以当x=3时，有最小值为f（3）=﹣20．当x=﹣2时，函数有最大值为f（2）=5．即值域为[﹣20，5]．故选C．点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值问题．二次函数在闭区间上的最值问题，一定要讨论对称轴和间的位置关系．22．实数x、y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值为（）A．B．4C．D．5考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：把3x2+2y2=6x化为y2=3x﹣x2，求出x的取值范围，并代入x2+y2中消去y，然后根据二次函数的性质求出它的最值即可．解答：解：∵实数x、y满足3x2+2y2=6x，∴y2=3x﹣x2≥0，因此0≤x≤2，∴x2+y2=3x﹣x2=（x﹣3）2，0≤x≤2，∴当x=2时，x2+y2的最大值为4．故选B．点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，此题难度不大．属中档题．23．已知函数f（x）=x2﹣2x+5，x∈[2，4]，若存在实数x∈[2，4]使m﹣f（x）＞0成立，则m的取值范围为（）A．（5，+∞）B．（13，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，13）考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：存在实数x∈[2，4]，使m﹣f（x）＞0成立，等价于x∈[2，4]，m＞f（x）min．利用配方法求二次函数的最小值，即可得结论．解答：解：存在实数x∈[2，4]，使m﹣f（x）＞0成立，等价于x∈[2，4]，m＞f（x）min．∵函数f（x）=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4∴函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1∵x∈[2，4]，∴x=2时，f（x）min=f（2）=22﹣2×2+5=5∴m＞5故选A．点评：本题考查的重点是存在性问题，解题的关键是求二次函数的最小值，存在实数x∈[2，4]，使m﹣f（x）成立，等价于x∈[2，4]，m＞f（x）min．易错点是与对于任意实数x∈[2，4]，使m﹣f（x）＞0成立问题混淆．二．解答题（共7小题）24．已知函数f（x）=|x2﹣2x|﹣1（1）在坐标系中画出函数f（x）的简图；（2）观察图象，写出函数f（x）的单调增区间及函数f（x）的零点个数；（3）利用图象，写出使方程f（x）+a=0有四个不同解的实数a的取值范围．考点：二次函数的图象．专题：数形结合；分类讨论．分析：（1）分类讨论，去掉绝对值，化简函数的解析式，结合函数的解析式画出函数的图象．（2）结合图象写出函数的单调增区间，以及函数的零点个数．（3）要使方程f（x）+a=0有四个不同解，需函数f（x）的图象和y=﹣a 有4个交点，结合图象列出不等式，求得实数a的取值范围．解答：解：（1）∵函数f（x）=|x2﹣2x|﹣1，当x＜0或x＞2时，函数f（x）=x2﹣2x﹣1，当0≤x≤2时，f（x）=﹣x2 +2x﹣1，如右图所示．（2）由函数的图象可得，增区间为[0，1]，[2，+∞），函数f（x）有三个零点．（3）要使方程f（x）+a=0有四个不同解，需函数f（x）的图象和y=﹣a 有4个交点，∴﹣1＜﹣a＜0，∴0＜a＜1．点评：本题考查由函数的解析式做出函数图象的方法，体现了分类讨论、数形结合的数学思想．25．（2011•徐汇区三模）已知函数f（x）=|x|•（a﹣x），a∈R．（1）当a=4时，画出函数f（x）的大致图象，并写出其单调递增区间；（2）若函数f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，求实数a的取值范围；（3）若不等式|x|•（a﹣x）≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．考点：二次函数的图象；函数单调性的性质；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：（1）首先对x分类讨论，去掉绝对值符号；然后根据二次函数的图象特征，即可画出其草图；而其单调性，观察图象显而易见．（2）由x∈[0，2]易于把函数f（x）化简为二次函数，再把其单调减区间表示出来，进而根据f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，可得a的不等式，则a可求．（3）要用分离参数的方法把a分离出来，需对x=0单独讨论；由于0＜x≤2时，恒成立，则利用导数法求出x+的最小值即可．解答：解：（1）a=4时，，f（x）的图象如图所示，所以其单调递增区间为[0，2]．（2）x∈[0，2]时，∴f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在[，+∞）上单调递减．又函数f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，所以．解得a≤0．（3）当x=0时，0≤6成立，所以a∈R；当0＜x≤2时，，即，只要设，则g′（x）=1﹣，∴g（x）在上递减，在上递增，∴当0＜x≤2时，g（x）min=g（2）=5．所以a≤5．综上，|x|（a﹣x）≤6对x∈[0，2]恒成立的实数a的取值范围是（﹣∞，5]．点评：二次函数的图象与性质是解决更复杂函数问题的前提，必须把此基础打牢；分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用思想方法，它是通过分离参数转化为不含参数的函数的最值题求解．26．（2013•宁德模拟）已知二次函数f（x）=ax2+bx+1为偶函数，且f（﹣1）=﹣1．（I ）求函数f（x）的解析式；（II）若函数g（x）=f（x）+（2﹣k）x在区间（﹣2，2）上单调递增，求实数k的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（I）由偶函数的图象关于y轴对称，可得b值，进而根据f（﹣1）=﹣1，可得a值，进而可得函数f（x）的解析式；（II）若函数g（x）=f（x）+（2﹣k）x在区间（﹣2，2）上单调递减，可得区间（﹣2，2）在对称轴的左侧，进而得到实数k的取值范围解答：解：（I）∵二次函数f（x）=ax2+bx+1为偶函数，故函数f（x）的图象关于y轴对称即x=﹣=0，即b=0又∵f（﹣1）=a+1=﹣1，即a=﹣2．故f（x）=﹣2x2+1（II）由（I）得g（x）=f（x）+（2﹣k）x=﹣2x2+（2﹣k）x+1故函数g（x）的图象是开口朝下，且以x=为对称轴的抛物线故函数g（x）在（﹣∞，]上单调递增，又∵函数g（x）在区间（﹣2，2）上单调递增，∴≥2解得k≤﹣6故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣6]点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．27．（2011•武进区模拟）设函数f（x）=ax2+bx+1，a＞0，b∈R 的最小值为﹣a，f（x）=0两个实根为x1、x2．（1）求x1﹣x2的值；（2）若关于x的不等式f（x）＜0解集为A，函数f（x）+2x在A上不存在最小值，求a 的取值范围；（3）若﹣2＜x1＜0，求b的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由，知，由此能求出x1﹣x2的值．（2）设x1＜x2，f（x）+2x=ax2﹣（a（x1+x2）﹣2）x+ax1x2，在（x1，x2）不存在最小值，由此能求出a的取值范围．（3）由，，知．由此能求出b的取值范围．解答：解：（1）∵∴∴x1﹣x2=±2．（4分）（2）不妨设x1＜x2；f（x）+2x=ax2﹣（a（x1+x2）﹣2）x+ax1x2，在（x1，x2）不存在最小值，∴或（8分）又x2﹣x1=2，a＞0∴0＜a≤1（10分）（3）∵，∴（12分）又﹣2＜x1＜0∴x2=x1﹣2∴在x1∈（﹣2，0）上为增函数．∴（16分）点评：本昰考查二次函数的性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．28．（2009•惠州模拟）（1）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是，求f（x）的解析式；（2）设f（x）=x2﹣2ax+2，当x∈[﹣1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用待定系数法求a，b，c．（2）要求当x∈[﹣1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，实质是求函数f（x）在[﹣1，+∞）上的最小值即可．解答：解：（1）由二次函数图象的对称性，可设，（a＞0）又f（0）=0，∴a=1．故f（x）=x2﹣x…（4分）（2）要使x∈[﹣1，+∞），f（x）≥a恒成立⇔f（x）min≥a，当a≤﹣1时，f（x）min=f（﹣1）=3+2a…（6分）即3+2a≥a⇔a≥﹣3故此时﹣3≤a≤﹣1…（8分）当a＞﹣1时，，若x∈[﹣1，+∞），f（x）≥a恒成立⇔f（x）min≥a，即2﹣a2≥a⇔a2+a﹣2≤0⇔﹣2≤a≤1故此时﹣1＜a≤1…（12分）综上当﹣3≤a≤﹣1时，x∈[﹣1，+∞），f（x）≥a恒成立…（14分）点评：本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数在给定区间上的最值求法，要求利用数形结合的思想去求解．29．（2012•成都一模）已知函数f（x）=x2﹣2mx+2﹣m．（I）若不等式f（x）≥x﹣mx在R上恒成立，求实数m的取值范围；（II）记A={y|y=f（x），0≤x≤1}，且A⊆[0，+∞]，求实数m的最大值．考点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（I）由题意可得x2﹣2mx+2﹣m≥x﹣mx在R上恒成立，即x2 ﹣（m+1）x+2﹣m≥0恒成立，由判别式小于或等于零求得实数m的取值范围．（II）由题意可得x2﹣2mx+2﹣m≥0 在[0，1]上恒成立，分m＜0、0≤m≤1、m＞1三种情况分别求出实数m的取值范围，再去并集，即得所求．解答：解：（I）由题意可得x2﹣2mx+2﹣m≥x﹣mx在R上恒成立，即x2 ﹣（m+1）x+2﹣m≥0恒成立，∴△=（m+1）2﹣4（2﹣m）≤0，解得﹣7≤m≤1，故实数m的取值范围为[﹣7，1]．（II）由题意可得，A={y|y=f（x），0≤x≤1}={y|y≥0 在[0，1]上恒成立}，即x2﹣2mx+2﹣m≥0 在[0，1]上恒成立．当m＜0时，y=f（x）=x2﹣2mx+2﹣m在[0，1]上的最小值为f（0）=2﹣m≥0，m≤2．当0≤m≤1时，y=f（x）=x2﹣2mx+2﹣m在[0，1]上的最小值为f（m）=2﹣m﹣m2≥0，解得﹣2≤m≤1，故此时0≤m≤1．当m＞1时，y=f（x）=x2﹣2mx+2﹣m在[0，1]上的最小值为f（1）=﹣3m+3≥0，m≤1．故此时m的值不存在．综上，实数m的取值范围为（﹣∞，1]，故实数m的最大值为1．点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，求函数的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论数学思想，属于中档题．30．已知函数f（x）=﹣2x2+（a+3）x+1﹣2a，g（x）=x（1﹣2x）+a，其中a∈R．（1）若函数f（x）是偶函数，求函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值；（2）用函数的单调性的定义证明：当a=﹣2时，f（x）在区间上为减函数；（3）当x∈[﹣1，3]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，求实数a的取值范围．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：（1）根据偶函数的定义f（x）=f（﹣x），求出a的值和函数解析式，进而求出最小值；（2）先设x1＜x2 ，x1、x2∈，推出f（x1）＞f（x2），从而可以证明结论；（3）首先由题意得出（a+2）x+1﹣3a＞0在[﹣1，3]上恒成立．转化成求函数h（x）=（a+2）x+1﹣3a的最小值，要采取分类讨论次函数的斜率与单调性的关系，求出a的取值范围．解答：解：（1）函数f（x）是偶函数∴f（x）=f（﹣x），即：﹣2x2+（a+3）x+1﹣2a=﹣2x2﹣（a+3）x+1﹣2a∴a=﹣3则f（x）=﹣2x2+7∴对称轴为x=0∴最小值f（3）=﹣11（2）∵a=﹣2∴f（x）=﹣2x2+x+5设x1＜x2 ，x1、x2∈f（x1）﹣f（x2）=﹣2x12+x1+5+2x22﹣x2﹣5=（x2﹣x1）[2（x1+x2）﹣1]∵x1＜x2 ，∴x2＞x1∵x1、x2∈∴2（x1+x2）＞1∴2（x1+x2）﹣1＞0∴f（x1）﹣f（x2）＞0 即f（x1）＞f（x2）∴当a=﹣2时，f（x）在区间上为减函数．（3）由题意得﹣2x2+（a+3）x+1﹣2a＞x（1﹣2x）+a在[﹣1，3]上恒成立．即（a+2）x+1﹣3a＞0在[﹣1，3]上恒成立．设h（x）=（a+2）x+1﹣3a，①若a＞﹣2，该函数是增函数，只需f（﹣1）＞0即可，则f（﹣1）=﹣4a﹣1＞0，解得a＜﹣，所以﹣2＜a＜﹣；②若a＜﹣2，该函数是减函数，只需f（3）＞0即可，则f（3）=7＞0，，所以a＜﹣2满足；③若a=﹣2，则该函数是y=7，它总在x轴上方，所以a=﹣2满足要求．故a的取值范围是a＜．。
二次函数练习题及答案
二次函数练习题及答案1. 已知二次函数的顶点为(2, 3)，且经过点(1, 5)，求该二次函数的解析式。
2. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于点A(-1, 0)和B(3, 0)，求抛物线的对称轴方程。
3. 函数f(x)=2x^2-4x+m在区间[0, 2]上的最大值为8，求m的值。
4. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(-1, 2)和(2, 2)，且在x=1处取得最小值，求a、b、c的值。
5. 抛物线y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且经过点(0, 1)和(2, 5)，求a的取值范围。
6. 函数y=x^2-2x+3的图象与x轴的交点坐标为多少？7. 抛物线y=-2x^2+4x+1的顶点坐标是什么？8. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴交于点(0, 2)，且在x=-1处取得最大值，求a、b、c的值。
9. 函数f(x)=x^2-6x+8在区间[1, 4]上的最大值和最小值分别是多少？10. 抛物线y=3x^2-6x+2与x轴的交点坐标是什么？11. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1, 0)和(-2, 0)，且在x=0处取得最小值，求a、b、c的值。
12. 函数y=2x^2-4x+1在区间[0, 3]上的最大值和最小值分别是多少？13. 抛物线y=-x^2+2x+3的图象开口向下，求抛物线的顶点坐标。
14. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(-3, -2)和(1, -2)，求a、b、c的值。
15. 函数y=x^2-4x+5的图象与x轴的交点坐标为多少？16. 抛物线y=4x^2-12x+9的顶点坐标是什么？17. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴交于点(0, -1)，且在x=2处取得最大值，求a、b、c的值。
18. 函数f(x)=-2x^2+8x-8在区间[0, 4]上的最大值和最小值分别是多少？19. 抛物线y=x^2-4x+5的图象开口向上，求抛物线的对称轴方程。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式经典大题例题(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式经典大题例题单选题1、实数a,b满足a>b，则下列不等式成立的是（）A．a+b<ab B．a2>b2C．a3>b3D．√a2+b2<a+b答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可.A，若a=1,b=0，则a+b>ab，故A错误；B，若a=1,b=−2，则a2<b2，故B错误；C，若a>b，则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+3b24]>0，所以a3>b3，故C正确；D，若a=1,b=−2，则√a2+b2>a+b，故D错误.故选：C2、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A3、已知y=(x−m)(x−n)+2022(n>m)，且α,β(α<β)是方程y=0的两实数根，则α，β，m，n的大小关系是（）A．α<m<n<βB．m<α<n<βC．m<α<β<n D．α<m<β<n答案：C分析：根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.∵α，β为方程y=0的两实数根，∴α，β为函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像与x轴交点的横坐标，令y1=(x−m)(x−n)，∴m，n为函数y1=(x−m)(x−n)的图像与x轴交点的横坐标，易知函数y= (x−m)(x−n)+2022的图像可由y1=(x−m)(x−n)的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m<α<β<n.故选:C.4、关于x的不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，则实数a的取值范围为（）A．[√24,+∞)B．(−∞,√24]C．[−√24,√24]D．(−∞,−√24]∪[√24,+∞)答案：A分析：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，分x=0和a≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.解：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，当x=0时，a≥0，当a≠0时，a≥|x|x2+2=1|x|+2|x|，因为1|x|+2|x|≤2√|x|⋅2|x|=√24，所以a≥√24，综上所述a∈[√24,+∞). 故选：A.5、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ）A ．{x|x >1或x <−16}B ．{x |−16<x <1 }C ．{x|x >1或x <−3}D ．{x |−3<x <2 } 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1 }．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．6、已知正实数a ，b 满足a +1b=2，则2ab +1a的最小值是（ ）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1 答案：A分析：由已知得， a =2−1b 代入得2ab +1a =2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案. 解：因为a +1b=2，所以a =2−1b>0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b2b−1， 令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a =2t +t +12t=2t +12t +12≥2√2t ⋅12t +12=52，当且仅当2t =12t ，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a 的最小值是52. 故选：A.7、已知−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，则3x −2y 的取值范围是（ ） A ．[2,13]B ．[3,13]C ．[2,10]D ．[5,10] 答案：A分析：设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，求出m,n 的值，根据x +y,x −y 的范围，即可求出答案.设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，所以{m −n =3m +n =−2，解得：{m =12n =−52,3x −2y =12(x +y )+52(x −y ), ， 因为−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，所以3x −2y =12(x +y )+52(x −y )∈[2,13]， 故选：A.8、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca >cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b ≥2D ．1a−1<1b−1 答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a<1b，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C. 多选题9、已知函数y =ax 2+bx -3，则下列结论正确的是（ ） A ．关于x 的不等式ax 2+bx -3<0的解集可以是{x |x >3 } B ．关于x 的不等式ax 2+bx -3>0的解集可以是∅C ．函数y =ax 2+bx -3的图象与x 轴正半轴可以有两个交点D ．“关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a >0” 答案：BCD分析：根据不等式的解集求出a 、b ，再解不等式ax 2+bx -3<0可判断A ；取a =-1，b =0，解不等式-x 2-3>0可判断B ；取a =-1，b =4可判断C ；根据根的分布、充要条件的定义可判断D ． 若不等式ax 2+bx -3<0的解集是{x |x >3}，则a =0且3b -3=0，得b =1，而当a =0，b =1时，不等式ax 2+bx -3<0，即x -3<0，得x <3，与x >3矛盾，故A 错误； 取a =-1，b =0，此时不等式-x 2-3>0的解集为∅，故B 正确；函数y =ax 2+bx -3的图象与x 轴正半轴可以有两个交点,即ax 2+bx -3=0可以有2个正根，取a =-1，b =4，则由y =-x 2+4x -3=0，得x =1或3，故C 正确；若关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根，则{a ≠0,−3a<0,得a >0，若a >0，则Δ=b 2+12a >0，故关于x 的方程ax 2+bx -3=0有两个不等的实根x 1,x 2， 且x 1x 2=-3a <0，即关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根．因此“关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a >0”，故D 正确． 故选：BCD ．10、已知x ，y 是正实数，则下列选项正确的是（ ） A ．若x +y =2，则1x+1y 有最小值2B ．若x +y =3，则x(y +1)有最大值5C ．若4x +y =1，则2√x +√y 有最大值√2D ．x4+y 2x+1y有最小值94答案：AC分析：将已知转化，再利用基本不等式可判断ABC 选项；利用特值法判断选项D 。
二次函数的练习题及答案
二次函数的练习题及答案一、选择题：1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，且与x轴有交点，则a 和b应满足的条件是（）。
A. a>0, b>0B. a<0, b<0C. a>0, b^2>4acD. a<0, b^2>4ac2. 二次函数y=-x^2+4x-1的顶点坐标是（）。
A. (1,4)B. (2,3)C. (-2,3)D. (2,-3)3. 对于二次函数y=ax^2+bx+c，当x=-1时，函数值最大，那么a的取值范围是（）。
A. a>0B. a<0C. a=0D. 无法确定二、填空题：1. 已知二次函数y=2x^2-8x+3，当x=______时，函数值最小。
2. 若二次函数y=-3x^2-6x+5的图像与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），则x1+x2=______。
三、解答题：1. 已知二次函数y=-2x^2+4x+1，求出当x取何值时，函数值y最大，并求出最大值。
2. 已知二次函数y=3x^2-6x+2，求出函数与x轴的交点坐标。
四、应用题：1. 某工厂生产一种产品，其生产成本与产品数量的关系可以近似为二次函数：C(x)=0.5x^2-100x+3000，其中x代表产品数量，C(x)代表成本。
求出当生产多少件产品时，成本最低，并求出最低成本。
2. 某公司计划在一块长为60米的空地上建一个矩形花园，花园的长和宽之和为30米。
设花园的长为x米，求出花园的面积最大时的长和宽，并求出最大面积。
答案：一、选择题：1. C2. B3. B二、填空题：1. 22. -2三、解答题：1. 当x=1时，函数值y最大，最大值为3。
2. 函数与x轴的交点坐标为（1，0）和（2，0）。
四、应用题：1. 当生产200件产品时，成本最低，最低成本为2000元。
2. 花园的长为15米，宽为15米时，面积最大，最大面积为225平方米。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练单选题1、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1a +4b=2，则a+b≥92C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12答案：B分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若a>0，b>0，1 2×(1a+4b)=1，a+b=12×(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2且ba=4ab，即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由a>0，b>0，ab+b2=b(a+b)=2，即a+b=2b，如b=2时，a+b=22=1<4，所以选项C不正确；对于选项D：ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等则ab有最大值14，所以选项D不正确；故选：B2、若不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(−∞,1)C ．(−∞,1)∪(3,+∞)D ．(3,+∞) 答案：A分析：因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立，则2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立可转化为2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立，则Δ<0，即可解得m 的取值范围 因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立 所以2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3恒成立 ⇔2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立 故Δ=(6−2m )2−4×2×(3−m )<0 解之得：1<m <3 故选：A3、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13} 则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16) 故选：A4、不等式|5x −x 2|<6的解集为（ ）A ．{x|x <2,或x >3}B ．{x|−1<x <2,或3<x <6}C ．{x|−1<x <6}D ．{x|2<x <3}答案：B分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可. 解：∵|5x−x2|<6，∴−6<5x−x2<6∴{x 2−5x−6<0x2−5x+6>0⇒{−1<x<6x<2或x>3⇒−1<x<2或3<x<6则不等式的解集为：{x|−1<x<2或3<x<6}故选：B.5、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D错误，故选：A6、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则M∩N={x|−2<x<2}．故选C．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．7、关于x的方程x2+(m−2)x+2m−1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数m的取值范围是（）A．[12,32]B．(12,23]C．[12,2)D．(12,23]∪{6−2√7}答案：D分析：把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解. 方程x2+(m-2)x+2m-1=0对应的二次函数设为：f(x)=x2+(m-2)x+2m-1因为方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①f(0)⋅f(1)<0，(2m-1)(3m-2)<0，解得：12<m<23；②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者(1,0)，另一个零点属于(0,1)，把点(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=12，此时方程为x2-32x=0，两根为0，32，而32⋅(0,1)，不合题意，舍去把点(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=23，此时方程为3x2-4x+1=0，两根为1，13，而13⋅(0,1)，故符合题意；③函数与x轴只有一个交点，Δ=(m-2)2-8m+4=0，解得m=6±2√7，经检验，当m=6-2√7时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;综上：实数m的取值范围为(12,23]⋅{6-2√7}故选：D8、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a<b B．a+b<ab C．|a|>|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B多选题9、若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a<b，则1a >1bB．若0<a<1，则a2<aC．若a>b>0且c>0，则b+ca+c >baD．a2+b2+1≥2(a−2b−2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A，当a<0<b时，结论不成立，故A错误；对于B，a2<a等价于a(a−1)<0，又0<a<1，故成立，故B正确；对于C，因为a>b>0且c>0，所以b+ca+c >ba等价于ab+ac>ab+bc，即(a−b)c>0，成立，故C正确；对于D，a2+b2+1≥2(a−2b−2)等价于(a−1)2+(b+2)2≥0，成立，故D正确. 故选：BCD.10、已知正实数a，b满足a+b=ab，则（）A．a+b≥4B．ab≥6C．a+2b≥3+2√2D．ab2+ba2≥1答案：ACD分析：根据特殊值判断B，利用ab⩽(a+b)24判断A，利用换“1”法判断C，变形后利用基本不等式判断D. 对于B，当a=b=2时，满足a+b=ab，此时ab<6，B错误；对于A，ab⩽(a+b)24，则(a+b)24⩾a+b，变形可得a+b⩾4，当且仅当a=b=2时等号成立，A正确；对于C ，a +b =ab ，变形可得1a +1b =1，则有a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+2b a+ab ⩾3+2√2，当且仅当a =2b 时等号成立，C 正确； 对于D ，ab 2+ba 2=a 3+b 3a 2b 2=(a+b)(a 2+b 2−ab)a 2b 2=b a +ab −1⩾2−1=1，当且仅当a =b =2时等号成立，D 正确；故选：ACD11、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确． 故选：ABD填空题12、若不等式kx2+2kx+2<0的解集为空集，则实数k的取值范围是_____．答案：{k|0≤k≤2}分析：分k=0和k>0两种情况讨论，当k>0时需满足Δ≤0，即可得到不等式，解得即可；解：当k=0时，2<0不等式无解，满足题意；当k>0时，Δ=4k2−8k≤0，解得0<k≤2；综上，实数k的取值范围是{k|0≤k≤2}．所以答案是：{k|0≤k≤2}13、已知a,b,a+m均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a>b,②a<b,③m>0,④m<0,⑤b+ma+m >ba.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________. 答案：①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.已知a,b,a+m均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①a>b，③m>0，则b+ma+m −ba=ab+am−ab−bma(a+m)=am−bma(a+m)=(a−b)ma(a+m)>0，所以b+ma+m >ba.所以答案是：①③推出⑤小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.14、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，则不等式cx2+bx+a<0的解集为___________.答案：{x|x>12或x<14}分析：先由不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，判断出b=-6a,c=8a,把cx2+bx+a<0化为8x2−6x+ 1>0，即可解得.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，所以a<0且2和4是ax2+bx+c=0的两根.所以{2+4=−ba2×4=ca可得：{b=−6ac=8a，所以cx2+bx+a<0可化为：8ax2−6ax+a<0，因为a<0，所以8ax2−6ax+a<0可化为8x2−6x+1>0，即(2x−1)(4x−1)>0，解得：x>12或x<14，所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x>12或x<14}.所以答案是：{x|x>12或x<14}.解答题15、回答下列问题：(1)若a>b，且c>d，能否判断a−c与b−d的大小？举例说明．(2)若a>b，且c<d，能否判断a+c与b+d的大小？举例说明．(3)若a>b，且c>d，能否判断ac与bd的大小？举例说明．(4)若a>b，c<d，且c≠0，d≠0，能否判断ac 与bd的大小？举例说明．答案：(1)不能判断，举例见解析(2)不能判断，举例见解析(3)不能判断，举例见解析(4)不能判断，举例见解析分析：因为a,b,c,d的正负不确定，因此可举例说明每个小题中的两式的大小关系不定. （1）不能判断a−c与b−d的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c>b−d；取a=5,b=4,c=3,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c<b−d；取a=5,b=4,c=3,d=2，满足条件a>b，且c>d，此时a−c=b−d；（2）不能判断a+c与b+d的大小，举例：取a=5,b=3,c=0,d=1，满足条件a>b，且c<d，此时a+c>b+d；取a=5,b=3,c=2,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c<b+d.取a=5,b=3,c=4,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c=b+d；（3）不能判断ac与bd的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时ac>bd；取a=5,b=3,c=−3,d=−5，满足条件a>b，且c>d，此时ac=bd；取a=5,b=−3,c=1,d=−2，满足条件a>b，且c>d，此时ac<bd；（4）不能判断ac 与bd的大小举例：取a=6,b=3,c=1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac >bd；取a=2,b=1,c=−1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac <bd；取a=6,b=3,c=−2,d=−1，满足条件a>b，且c<d，此时ac =bd；。
2024-2025年北师大版数学必修第一册1.4.1一元二次函数(带答案)
4．1 一元二次函数必备知识基础练知识点一一元二次函数的解析式1．一个二次函数图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点(0，－4)，则这个二次函数的解析式为( )A．y＝－2(x＋2)2＋4B．y＝－2(x－2)2＋4C．y＝2(x＋2)2－4D．y＝2(x－2)2－42．已知一元二次函数的图象过点(2，－1)，(－1，－1)，且函数值的最大值为8，求一元二次函数的解析式．知识点二一元二次函数的图象变换3．将抛物线y＝－3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是( )A ．y ＝－3(x －1)2－2 B ．y ＝－3(x －1)2＋2 C ．y ＝－3(x ＋1)2－2 D ．y ＝－3(x ＋1)2＋24．将抛物线y ＝－x 2＋2x －1向右平移一个单位长度，向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是( )A ．y ＝－x 2＋2 B ．y ＝－x 2＋4x －2 C ．y ＝－x 2－2 D ．y ＝－x 2＋4x －6 知识点三 一元二次函数的图象与性质5．对于二次函数y ＝ax 2＋(1－2a )x (a >0)，下列说法错误的是( ) A ．当a ＝12 时，该二次函数图象的对称轴为y 轴B ．当a >12 时，该二次函数图象的对称轴在y 轴的右侧C ．该二次函数的图象的对称轴可为x ＝1D ．当x >2时，y 的值随x 的值增大而增大6．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (1，2)，B (3，2)，C (5，7).若点M (－2，y 1)，N (－1，y 2)，K (8，y 3)也在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上，则下列结论正确的是( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 2<y 1<y 3C ．y 3<y 1<y 2D ．y 1<y 3<y 27．当a －1≤x ≤a 时，函数y ＝x 2－2x ＋1的最小值为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0或3关键能力综合练1．已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(1，－3)，则抛物线对应的函数解析式为( )A ．y ＝x 2－2x ＋2 B ．y ＝x 2－2x －2 C ．y ＝－x 2－2x ＋1 D ．y ＝x 2－2x ＋12．一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y ＝bx 2＋ax ＋c (b ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )3．把函数y ＝2x 2－4x －5的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得到的函数图象的解析式为( )A ．y ＝2x 2＋4x －8 B ．y ＝2x 2－8x ＋8 C ．y ＝2x 2＋4x －2 D ．y ＝2x 2－8x －24．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，f (－1)＝8，则下列判断错误的是( ) A ．b ＋c ＝－1 B ．f (3)＝0C ．f (x )图象的对称轴为直线x ＝4D ．f (x )的最小值为－15．(探究题)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 同时满足下列条件：图象的对称轴是x ＝1，最值是15，图象与x 轴有两个交点，其横坐标的平方和为15－a ，则b 的值是( )A ．4或－30B ．－30C ．4D ．6或－206．函数y ＝x 2＋m 的图象向下平移2个单位长度，得到函数y ＝x 2－1的图象，则实数m ＝________．7．设函数f (x )＝4x 2－(a ＋1)x ＋5在[－1，＋∞)上f (x )随x 的增大而增大，在(－∞，－1]上f (x )随x 的增大而减小，则f (－1)＝________．8．(易错题)当x ∈[－2，1]时，二次函数y ＝－(x －m )2＋m 2＋1有最大值3，则实数m 的值为________．9．已知二次函数y ＝－12 x 2－x ＋72.(1)用配方法把这个二次函数的解析式化为y ＝a (x ＋m )2＋k 的形式； (2)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；(3)将二次函数y ＝－12 x 2的图象如何平移能得到二次函数y ＝－12 x 2－x ＋72 的图象，请写出平移方法．核心素养升级练1．(多选题)若关于x 的一元二次方程(x －2)(x －3)＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，则下列结论中说法正确的是( )A ．当m ＝0时，x 1＝2，x 2＝3B ．m >－14C ．当m >0时，2<x 1<x 2<3D ．当m >0时，x 1<2<3<x 22．(学科素养—逻辑推理)已知抛物线y ＝ax 2＋6x －8与直线y ＝－3x 相交于点A (1，m ). (1)求抛物线的解析式；(2)请问(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y ＝ax 2的图象．4．1 一元二次函数必备知识基础练1．答案：B解析：设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋4，把(0，－4)代入得a (－2)2＋4＝－4，解得a ＝－2，所以抛物线的解析式为y ＝－2(x －2)2＋4，故选B.2．解析：设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求一元二次函数的解析式为y ＝－4x 2＋4x ＋7. 3．答案：C解析：将抛物线y ＝－3x 2向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为y ＝－3(x ＋1)2，再向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为y ＝－3(x ＋1)2－2.故选C.4．答案：B解析：将抛物线y ＝－(x －1)2向右平移一个单位长度所得抛物线的解析式为y ＝－(x －1－1)2，再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式为y ＝－(x －1－1)2＋2，即y ＝－(x －2)2＋2，即y ＝－x 2＋4x －2.故选B.5．答案：C解析：该抛物线的对称轴为x ＝－1－2a 2a ＝1－12a ，A 中，当a ＝12 时，此时x ＝0，即二次函数的图象对称轴为x ＝0，即y 轴，故正确；B 中，当a >12 时，此时x ＝1－12a >0，此时对称轴在y 轴的右侧，故正确；C 中，由于a >0，故对称轴不可能是x ＝1，故错误；D 中，由于1－12a <1，所以对称轴x <1，由于a >0，∴抛物线的开口向上，∴x >2时，y 的值随x的值增大而增大，故正确，故选C.6．答案：B解析：把A (1，2)，B (3，2)，C (5，7)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝2，25a ＋5b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝58，b ＝－52，c ＝318．∴函数解析式为y ＝58 x 2－52 x ＋318 ＝58 (x －2)2＋118 .∴当x >2时，y 随x 的增大而增大；当x <2时，y 随x 的增大而减小；根据对称性，K (8，y 3)的对称点是(－4，y 3)，所以y 2<y 1<y 3.故选B.7．答案：D解析：当y ＝1时，有x 2－2x ＋1＝1，解得x 1＝0，x 2＝2，∵当a －1≤x ≤a 时，函数有最小值1，∴a －1＝2或a ＝0，∴a ＝3或a ＝0.故选D.关键能力综合练1．答案：B解析：因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(1，－3)，所以y ＝(x －1)2－3，即y ＝x 2－2x －2.故选B.2．答案：D解析：由于一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y ＝bx 2＋ax ＋c (b ≠0)的图象的对称轴方程分别是x ＝－b 2a ，x ＝－a 2b ，则－b 2a 与－a2b同号，即它们的图象的对称轴位于y 轴的同一侧，由此排除A ，B ；由C ，D 中给出的图象，可判定两函数图象的开口方向相反，故ab <0，于是－b 2a >0，－a2b>0，即两函数图象的对称轴都位于y 轴右侧，排除C ，故选D.3．答案：A解析：y ＝2x 2－4x －5＝2(x －1)2－7，将y ＝2(x －1)2－7的图象向左平移2个单位长度得y ＝2(x －1＋2)2－7，再向下平移3个单位长度得y ＝2(x ＋1)2－7－3，即y ＝2x 2＋4x －8.故选A.4．答案：C解析：由题得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝01－b ＋c ＝8 ，解得b ＝－4，c ＝3，所以f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，因为f (1)＝0，∴b ＋c ＝－1，所以选项A 正确；所以f (3)＝0，所以选项B 正确；因为f (x )min ＝－1，所以选项D 正确； 因为f (x )＝0的对称轴为x ＝2，所以选项C 错误．故选C. 5．答案：C解析：∵对称轴是x ＝1，最值是15，∴可设y ＝a (x －1)2＋15，∴y ＝ax 2－2ax ＋15＋a ， 设方程ax 2－2ax ＋15＋a ＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－－2a a ＝2，x 1x 2＝15＋a a，∵二次函数的图象与x 轴有两个交点，其横坐标的平方和为15－a ，则x 21 ＋x 22 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝15－a ，∴22－2（15＋a ）a＝15－a ，即a 2－13a －30＝0，∴a 1＝15(不符合题意，舍去)，a 2＝－2，∴y ＝－2(x －1)2＋15＝－2x 2＋4x ＋13，∴b ＝4.故选C.6．答案：1解析：因为函数y ＝x 2－1的图象向上平移2个单位长度，得到函数y ＝x 2＋1的图象，所以m ＝1.7．答案：1 解析：由题意可得a ＋18＝－1，解得a ＝－9.∴f (x )＝4x 2＋8x ＋5.∴f (－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1.8．答案：32或－2解析：二次函数的对称轴为x ＝m ，①当m <－2时，x ＝－2时二次函数有最大值，此时－(－2－m )2＋m 2＋1＝3，解得m ＝－32，与m <－2矛盾，故m 值不存在；②当－2≤m ≤1时，x ＝m 时二次函数有最大值，此时m 2＋1＝3，解得m ＝－2 或m ＝2 (舍去)；③当m >1时，x ＝1时二次函数有最大值，此时－(1－m )2＋m 2＋1＝3，解得m ＝32 .综上所述，m 的值为32或－2 .9．解析：(1)y ＝－12 x 2－x ＋72 ＝－12 (x ＋1)2＋4，即y ＝－12(x ＋1)2＋4.(2)因为a ＝－12 <0，所以该抛物线的开口方向向下，由y ＝－12 (x ＋1)2＋4知，抛物线的顶点坐标是(－1，4)，对称轴为直线x ＝－1.(3)∵y ＝－12 (x ＋1)2＋4，∴将y ＝－12 x 2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可．核心素养升级练1．答案：ABD解析：当m ＝0时，(x －2)(x －3)＝0， ∴x 1＝2，x 2＝3，故A 对；方程(x －2)(x －3)＝m 化为x 2－5x ＋6－m ＝0，由方程有两个不等实根得Δ＝25－4(6－m )＝1＋4m >0，∴m >－14 ，故B 对；当m >0时，画出函数y ＝(x －2)(x －3)和函数y ＝m 的图象如图，由(x －2)(x －3)＝m 得，函数y ＝(x －2)·(x －3)和函数y ＝m 的交点横坐标分别为x 1，x 2，由图可知，x 1<2<3<x 2，故C 错，D 对．故选ABD.2．解析：(1)∵点A (1，m )在直线y ＝－3x 上，∴m ＝－3×1＝－3. 把x ＝1，y ＝－3代入y ＝ax 2＋6x －8， 得a ＋6－8＝－3，解得a ＝－1， ∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋6x －8.(2)∵y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1，∴该抛物线的顶点坐标为(3，1).因此，把抛物线y＝－x2＋6x－8向左平移3个单位长度得到y＝－x2＋1的图象，再把y＝－x2＋1的图象向下平移1个单位长度就可以得到y＝－x2的图象．。
高一数学一次函数与二次函数试题答案及解析
高一数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．（1）现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；（2）求出函数的解析式和值域．【答案】（1）（﹣1，0），（1，+∞），图像见试题解析；（2），值域为。
【解析】（1）偶函数的图像关于轴对称，根据函数在y轴左侧的图象可以画出在在y轴右侧的图象，根据图像可写出的增区间。
（2）因为时，．则设，则，根据偶函数的定义，可求出的解析式，函数是分段函数，在各段上都是二次函数，利用配方法可求出的值域．试题解析：（1）因为函数为偶函数，故图象关于y轴对称，补出完整函数图象如图．所以的递增区间是（﹣1，0），（1，+∞）． 6分由于函数为偶函数，则，又当时，．设x＞0，则﹣x＜0，所以时，，故的解析式为．由知的值域为 13分【考点】（1）偶函数的定义及图像的性质；（2）利用配方法求函数的值域。
2.已知函数（1）当=-2时，求的最值；（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数．【答案】（1）,;（2）．【解析】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个”二次，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点值符合四个方面分析；（3）二次函数的综合问题应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想,试题解析：解（1）当时，，对称轴为（2）要使函数在区间上是单调函数，则对称轴，，解之得，【考点】一元二次函数在闭区间上的最值；（2）一元二次函数的单调性．3.已知函数f(x)＝x2＋ax＋1，f(x)在x∈[－3,1上恒有f(x)－3成立，求实数a 的取值范围.【答案】【解析】解题思路：恒成立，即；利用数形结合讨论对称轴与区间的关系.规律总结：涉及不等式恒成立问题，往往转化为求函数的最值问题；对于一元二次函数求最值，要运用数形结合思想.注意点：讨论对称轴与区间的关系时，要注意运用数形结合思想.试题解析：（ⅰ）当即时，易知在上为增函数，则，得，此时无解；（ⅱ）当即时，则，得，此时；（ⅲ）当即时，易知在上为减函数，则，得，此时；综上所述，的取值范围为.【考点】1.不等式恒成立；2.一元二次函数；3.分类讨论思想.4.已知函数，且，则 .【答案】2【解析】,解得.【考点】解一元二次方程5.已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】令，则由得实数的取值范围为，本题可结合二次函数图像理解，也可从零点存在定理理解.二次函数在有一个根，在有另一根，而时，恒大于零，所以【考点】实根分布，二次函数图像，零点存在定理.6.函数满足,且在区间上的值域是，则坐标所表示的点在图中的（）A．线段和线段上B．线段和线段上C．线段和线段上D．线段和线段上【答案】B【解析】，的图像关于直线对称，而由二次函数的对称轴知识可得，所以，，由或，画出函数图像可知，当时，只需，当时，，故的轨迹是线段和线段，选B.【考点】二次函数的图像与性质.7.已知函数满足.（1）求的解析式；（2）对于（1）中得到的函数，试判断是否存在，使在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在满足条件【解析】（1）由条件结合幂函数的图像与性质可知在第一象限单调递增，从而可得，解出的整数解即可得到函数的解析式；（2）先假设存在的值满足题意，然后根据二次函数取得最值的位置：区间的端点与对称轴的位置，进行确定在什么位置取得最大值与最小值，最后根据题目所给的最值即可得到参数的值.试题解析：(1)，由幂函数的性质可知，在第一象限为增函数，得，又由，所以或 5分6分（2）假设存在满足条件，由已知 8分而 9分所以两个最值点只能在端点和顶点处取得而 11分且解得 13分存在满足条件 14分.【考点】幂函数及二次函数的单调性与最值.8.函数的最大值等于．【答案】【解析】.求三角函数最值问题需先看角，在角统一的情况下，降次或化同名.本题中角统一，只需将三角名称统一为余弦即可.本题如果对降次为，则就破坏了角的统一性，使问题复杂，思路混乱.【考点】二次函数最值，同角三角函数关系9.设函数在区间[0，2]上有两个零点，则实数的取值范围是________ . 【答案】【解析】【考点】一元二次函数的图像10.经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t（天）的函数，且销售量近似地满足f（t）＝－2t＋200（1≤t≤50，t∈N）．前30天价格为g（t）＝t＋30（1≤t≤30，t∈N），后20天价格为g（t）＝45（31≤t≤50，t∈N）．（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；（2）求日销售额S的最大值．【答案】（1）；（2）日销售额有最大值6400.【解析】（1）商品的日销售额=销售量价格，即，因为前30天的价格与后20天的价格不同，故为一个分段函数；（2）先分别求出两段函数的最大值，一段是二次函数可用配方法，结合定义域的范围，可知最大值在对称轴处取得，令一段是一次函数且为单调减函数，最大值在取得，要注意，再比较哪一个值最大，即为的最大值.试题解析：（1）根据题意，得（2）①当时，，∴当时，的最大值为6400②当时，为减函数，∴当时，的最大值为6210．∵6210＜6400，∴当时，日销售额有最大值6400．【考点】1、函数的实际应用；2、分段函数求最值；3、二次函数、一次函数求最值.11.已知函数（Ⅰ）令，求关于的函数关系式及的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的的值.【答案】（Ⅰ）函数关系式，的取值范围（Ⅱ）函数的值域为，.【解析】（Ⅰ）先利用对数的运算性质转化成关于的函数，然后利用换元法转化为，最后通过解不等式求出t的范围.（Ⅱ）利用数形结合的方法观察出值域，同时指明函数取得最小值时的的值.本题最好的的方法就是数形结合，这样就比较直观的通过图像找出函数的最小值以及函数取得最小值时的的值.数形结合的方法是高考涉及到的重要的一种思想方法.试题解析：（Ⅰ）.............2分令则，即 2分又，即（Ⅱ）由（Ⅰ），数形结合得当时，，当时， 2分函数的值域为 2分当时，，即， 2分【考点】1、对数的运算性质；2、数形结合的方法；3、二次函数求值域12.已知函数为减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的图像开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，故有，，又由区间定义知，所以.故选D.【考点】二次函数的单调性13.如果函数在区间上是增函数，那么的取值范围是__________________.【答案】【解析】函数的对称轴是，开口向上。
高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》检测卷与答案
高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》检测卷考试时间：120分钟；满分：150分一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）若实数a，b满足>，则下列不等式成立的是（）A．>B．+>+C．2>2D．B2>B22．已知条件G>1，条件G−2−2+3≤0，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知1≤+≤4，−1≤−≤2，则4−2的取值范围是（）A．−4<<10B．−3<<6C．−2<<14D．−2≤≤104．若正实数、满足+=2，则1B的最小值为（）A．0B．1C．2D．35．（5分）若关于的不等式2+B+>0的解集为(−∞,−1)∪(2,+∞)，则不等式2+B−8r>0的解集为（）A．(−4,1)∪(2,+∞)B．(−2,1)∪(4,+∞)C．(−∞,−2)∪(1,4)D．(−∞,−4)∪(1,2)6．（5分）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（）A．甲更合算B．乙更合算C．甲乙同样合算D．无法判断谁更合算7．（5分）若关于的不等式2−+2+2<0的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（）A．−2,−1∪5,6B．−2,−1∪3,6C．−3,−1∪3,6D．−1∪4,68．（5分）已知正数、满足−1−2=2，不等式3+2>恒成立．则实数的取值范围是（）A．−∞,4+62B．6+42,+∞C．−∞,7+43D．8+43,+∞二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）已知−1<<6,3<<8，则下列结果正确的有（）A．−13<<2B．2<+<14C．−4<−<−2D．−3<B<4810．（5分）∀∈，关于的不等式2−B+>0恒成立，则实数的值可以是（）A．0B．1C．2D．311．（5分）下列结论中，正确的结论有（）A．函数=+1的最小值是2B．如果>0，>0，+3+B=9，那么B的最大值为3 C．函数op=的最小值为52D．如果>0，>0，且1r1+11+=1，那么+的最小值为2 12．（5分）已知关于x的不等式B2+B+≤0的解集是U≤−2或≥6（）A．<0B．不等式B2−B+<0的解集是U−16<<C．++>0D．不等式B+>0的解集是U<−3三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）比较大小：2+（请从“<”“>”“=”中选择合适的符号填空）14．（5分）若>0,>0，且+=6，则4+1的最小值为．15．（5分）已知二次方程B2+B+=0(>0)的两根分别为2和4，则不等式B2+B+<0的解集为．16．（5分）设>0，>1，若+=2，且不等式4+1K1>2+8恒成立，则的取值范围是.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）解关于的不等式.(1)2+−6<0;(2)−22−≤−6(3)(−p(−2)>0.18．（12分）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)2+12与4+2+1；(2)2−22+2与>>0.19．（12分）证明下列不等式：(1)已知>>>，求证：1K<1K；(2)已知>>0,<<0,<0，求证：K>K.20．（12分）已知>0，>0，+=1，求下列代数式的最小值(1)1r2+1r2；(2)1(+1).21．（12分）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度km h的平方的34倍，固定成本为元.(1)将全程运输成本（元）表示为速度km h的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶?22．（12分）已知函数op=2−B+.(1)若不等式op>0的解集为(−∞,1)∪(3,+∞)，求实数s的值；(2)当−1=0时，（i）解关于x的不等式>0；（i）若存在∈[1,2]，使得≤0，求实数a的取值范围.高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》检测卷答案一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）若实数a，b满足>，则下列不等式成立的是（）A．>B．+>+C．2>2D．B2>B2【解题思路】利用不等式的性质即可判断.【解答过程】由=1，=−2，=0<，故A错；2<2，故C错；B2=B2，故D错；由不等式的性质易知B正确.故选：B.2．已知条件G>1，条件G−2−2+3≤0，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可得解.【解答过程】由题意条件G>1，条件G−2−2+3≤0⇔≤−3或≥1，所以是的充分不必要条件.故选：A.3．已知1≤+≤4，−1≤−≤2，则4−2的取值范围是（）A．−4<<10B．−3<<6C．−2<<14D．−2≤≤10【解题思路】利用+和−范围求出0≤2≤6，然后利用不等式的性质求解即可【解答过程】由−1≤−≤2，1≤+≤4，得0≤−++≤6，即0≤2≤6，−2≤2−≤4，所以−2≤2−+2≤10，即−2≤4−2≤10，故选：D.4．若正实数、满足+=2，则1B的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【解题思路】利用基本不等式可求得1B的最小值.【解答过程】因为正实数、满足+=2，则1B≥12=1，当且仅当=+=2时，即当==1时，等号成立，故1B的最小值为1.故选：B.5．（5分）若关于的不等式2+B+>0的解集为(−∞,−1)∪(2,+∞)，则不等式2+B−8r>0的解集为（）A．(−4,1)∪(2,+∞)B．(−2,1)∪(4,+∞)C．(−∞,−2)∪(1,4)D．(−∞,−4)∪(1,2)【解题思路】根据关于x的不等式B+<0的解集是U−1<<2，利用韦达定理可得=−1,=−2>0，进而求解.【解答过程】因为关于的不等式2+B+>0的解集为(−∞,−1)∪(2,+∞)，所以2+B+=02，由韦达定理可得：=−1,=−2，所以2+B−8r>0>0，解得−2<<1或>4.所以原不等式的解集为(−2,1)∪(4,+∞)，故选：B.6．（5分）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（）A．甲更合算B．乙更合算C．甲乙同样合算D．无法判断谁更合算【解题思路】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解.【解答过程】设两次的单价分别是s≠元/升，甲加两次油的平均单价为600300+300=21+1，单位：元/升，乙每次加油升，加两次油的平均单价为B+B2=r2，单位：元/升，因为>0，>0，≠，+=2++>2+=4，即21+1<r 2，即甲的平均单价低，甲更合算.故选：A.7．（5分）若关于的不等式2−+2+2<0的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（）A ．−2,−1∪5,6B ．−2,−1∪3,6C ．−3,−1∪3,6D ．−1∪4,6【解题思路】含参解一元二次不等式，分类讨论的范围确定整数解即可.【解答过程】由2−+2+2<0，得−−2<0，当=2时，不等式的解集为∅，不符合题意，舍去；当<2时，不等式的解集为<<2，此时若有3个整数解，此时，解集中的三个整数分别为1、0、−1，则需−2≤<−1；当>2时，不等式的解集为2<<，此时若有3个整数解，此时，解集中的三个整数分别为3、4、5，则需5<≤6综上：所以−2≤<−1或5<≤6，故选：A ．8．（5分）已知正数、满足−1−2=2，不等式3+2>恒成立．则实数的取值范围是（）A ．−∞,4+62B ．6+42,+∞C ．−∞,7+43D ．8+43,+∞【解题思路】由不等式3+2>恒成立，故只需3+2min>，由基本不等式的乘“1”法，结合已知求出3+2的最小值即可.【解答过程】因为−1−2=2,>0,>0，所以B =2+，即1+2=1，所以由基本不等式可得3+2=3+27+2+6≥7+=7+43，等号成立当且仅当2=6>0,>0−1−2=2即=1+233=2+3综上所述，3+2的最小值为7+43；因为不等式3+2>恒成立，所以实数的取值范围是−∞,7+43.故选：C.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）已知−1<<6,3<<8，则下列结果正确的有（）A．−13<<2B．2<+<14C．−4<−<−2D．−3<B<48【解题思路】根据题意，利用不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A中，由3<<8，可得18<1<13，由不等式的性质，可得−13<<2，所以A正确；对于B中，由−1<<6,3<<8，根据不等式的性质，可得2<+<14，所以B正确；对于C中，由3<<8，可得−8<−<−3，所以−9<−<3，所以C错误；对于D中，由−1<<6,3<<8，可得−8<B<48，所以D错误.故选：AB.10．（5分）∀∈，关于的不等式2−B+>0恒成立，则实数的值可以是（）A．0B．1C．2D．3【解题思路】结合一元二次不等式恒成立有Δ<0，即可求范围.【解答过程】∀∈，关于的不等式2−B+>0恒成立，所以Δ=2−4<0，解得0<<4，对照选项知实数的值可以是1,2,3.故选：BCD.11．（5分）下列结论中，正确的结论有（）A．函数=+1的最小值是2B．如果>0，>0，+3+B=9，那么B的最大值为3C．函数op=的最小值为52D．如果>0，>0，且1r1+11+=1，那么+的最小值为2【解题思路】利用基本不等式对选项逐个判断即可得.【解答过程】对A：当J−1时，=−1−1=−2，所以最小值不是2，故A错误；对B：由已知可得9−B=+3≥23B，解得0<B≤3，所以0<B≤3，当且仅当=3时成立，此时B的最大值为3，故B正确；=2+4+，设2+4=，≥2，对C：函数op==+1在2,+∞上单调递增，所以=2时，取最大值52，故C正确；对D ：+=+1++1−2=[(+1)+(+1)](1r1+1r1)−2=1+1−2+r1r1+r1r1≥=2,当且仅当=时取得最小值为2，故D 正确．故选：BCD ．12．（5分）已知关于x 的不等式B 2+B +≤0的解集是U ≤−2或≥6（）A ．<0B ．不等式B 2−B +<0的解集是U −16<<C ．++>0D ．不等式B +>0的解集是U <−3【解题思路】根据一元二次不等式的解集性质进行逐一判断即可.【解答过程】因为关于x 的不等式B 2+B +≤0的解集是U ≤−2或≥6，所以有<0−2+6=−−2×6=⇒<0=−4=−12，因此选项A 正确；B 2−B +<0⇒−12B 2+4B +<0⇒122−4−1<0⇒−16<<12，因此选项B 正确；++=−4−12=−15>0，因此选项C 正确；B +>0⇒−4B−12>0⇒+3>0⇒>−3，因此选项D 不正确，故选：ABC.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）比较大小：2+（请从“<”“>”“=”中选择合适的符号填空）【解题思路】将两数都平方，然后作差法比较大小即可.【解答过程】由(2+6)2=8+43，则(2+6)2−42=4(3−2)<0，所以(2+6)2<42⇒2+6<4.故答案为：<.14．（5分）若>0,>0，且+=6，则4+1的最小值为32．【解题思路】根据基本不等式的乘“1”法即可求解.【解答过程】由于>0,>0，所以4+1=+=+4+≥+=32，当且仅当4=，即=4,=2时等号成立，故答案为：.15．（5分）已知二次方程B2+B+=0(>0)的两根分别为2和4，则不等式B2+B+<0的解【解题思路】根据二次方程的两根可得、与的关系，可化简B2+B+<0为2−6+8<0，再解不等式可得答案.【解答过程】二次方程B2+B+=0(>0)的两根分别为2和4，可得2+4=−2×4=，即=−6=8，由B2+B+<0>0可得2−6+8<0，解得2<<4，所以不等式2−6+8<0的解集为U2<<4.故答案为：U2<<4.16．（5分）设>0，>1，若+=2，且不等式4+1K1>2+8的取值范围是−9,1【解题思路】首先根据已知条件得到+−1=1⋅+−1即可求得最小值，再解关于的一元二次不等式即可求得的取值范围.【解答过程】因为>0，>1，+=2，所以+−1=1，则4+1⋅+−1=5++K1≥5+=9，=K1时，即=23,=43时取等号，所以9>2+8，解得−9<<1.故答案为：−9,1.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）解关于的不等式.(1)2+−6<0;(2)−22−≤−6(3)(−p(−2)>0.【解题思路】由公式解不含参数的一元二次不等式，分类讨论解含参数的一元二次不等式.【解答过程】（1）不等式2+−6<0，即+3−2<0，解得−3<<2，所以不等式的解集为U−3<<2；（2）不等式−2，所以不等式的解集为{U≤−2或≥32}；（3）不等式−−2>0，当>2时，解集为<2或>，当<2时，解集为<或>2，当=2时，解集为{U≠2}.18．（12分）比较下列各题中两个代数式值的大小.(1)2+12与4+2+1；(2)2−22+2与>>0.【解题思路】（1）（2）利用作差法，化简后和0比较，即可判断大小关系.【解答过程】（1）2+12−4+2+1=4+22+1−4+2+1=2≥0，∴2+12≥4+（2）2−22+2−K r==∵>>0，∴>0,+>0,2+2>0，>0，∴2−22+2>K r.19．（12分）证明下列不等式：(1)已知>>>，求证：1K<1K；(2)已知>>0,<<0,<0，求证：K>K.【解题思路】（1）依题意可得−>−>0，再根据不等式的性质证明；（2）利用作差法证明即可.【解答过程】（1）∵>>>，即>s−>−，∴−>−>0，则1K<1K.（2）∵>>0,<<0,<0，∴−>−>0，∴−>则−===>0，∴−>−.20．（12分）已知>0，>0，+=1，求下列代数式的最小值(1)1r2+1r2；(2)1(+1).【解题思路】（1）运用配凑和常值代换法将其转化，利用基本不等式即可求得；（2）展开变形成2+1B，再将1换成+2展开，即可利用基本不等式求解．.【解答过程】（1）因>0，>0，+=1，则(+2)+(+2)=5，于是得1r2+1r2=15[(+2)+(+2)](1r2+1r2)=15(2+r2r2+r2r2)≥15(2+=45，当且仅当r2r2=r2r2，即==12时取“=”，所以，当==12时，1r2+1r2的最小值是45；（2）因>0，>0，+=1，则1(+1)=2+1B=2+(rp2B=2+2B+22B=+2+2≥2=22+2，当且仅当=2，即=2−2，=2−1时取“=”，所以当=2−2，=2−1时，1(+1)的最小值是22+2．21．（12分）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度km h的平方的34倍，固定成本为元.(1)将全程运输成本（元）表示为速度km h的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶?【解题思路】（12元，固定成本为a元，求和后乘以时间即可；（2）由（1）的结论，利用基本不等式求最小值作答.【解答过程】（12元，固定成本为a元，所用时间为1000，则=10002+=1000(0, 100]．（2）由（1）得=1000≥1000×=10003，当且仅当34=，即=易知函数=34+在+∞上单调递增.又0<≤100，所以当0<≤7500时，货车以=的速度行驶，全程运输成本最小；当>7500时，货车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小．22．（12分）已知函数op=2−B+.(1)若不等式op>0的解集为(−∞,1)∪(3,+∞)，求实数s的值；(2)当−1=0时，（i）解关于x的不等式>0；（i）若存在∈[1,2]，使得≤0，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）根据题意，转化为得到1和3是方程2−B+=0的两个实数根据，列出方程组，即可求解；（2）（i）由−1=0，求得=−(+1)，把不等式>0，转化为(+1)[−(+1)]>0，分类讨论，即可求得不等式的解集；（i i）由（i）中不等式的解集，结合存在∈[1,2]，使得≤0，分类讨论，即可求解.【解答过程】（1）解：由函数op=2−B+，因为不等式op>0的解集为(−∞,1)∪(3,+∞)，可得1和3是方程2−B+=0的两个实数根据，则1+3=1×3=，解得=4,=3.（2）解：（i）由函数op=2−B+，因为−1=0，可得o−1)=1++=0，即=−(+1)，所以op=2−B−(+1)，由不等式>0，即2−B−(+1)=(+1)[−(+1)]>0，当+1>−1时，即>−2时，解得<−1或>+1；当+1=−1时，即=−2时，即为(+1)2>0解得≠−1；当+1<−1时，即<−2时，解得<+1或>1，综上可得，当>−2时，不等式解集为(−∞,−1)∪(+1,+∞)；当=−2时，不等式的解集为(−∞,−1)∪(−1,+∞)；当<−2时，不等式的解集为(−∞,+1)∪(−1,+∞).（i i）由（i）知，当>−2时，不等式>0解集为(−∞,−1)∪(+1,+∞)，若存在∈[1,2]，使得≤0，则满足+1≥1，解得≥0；当=−2时，不等式>0的解集为(−∞,−1)∪(−1,+∞)，此时不存在∈[1,2]，使得≤0；当<−2时，不等式>0的解集为(−∞,+1)∪(−1,+∞)，此时不存在∈[1,2]，使得≤0，综上可得，实数的取值范围为[0,+∞).。
高中数学必修第一册 《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练(学生版+解析版)
高中数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练一、单选题l. (2022·四川绵阳·高一期末〉下列结论正确的是（〉A.若的b，则。
c>bc c.若。
＞b，则。
＋c>b+cl I B.若α＞b，则－〉－a D D.着。
＞b，则。
2> b22.(2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末〉已知α＜b<O，则（〉A.a2 <abB.ab<b2C.a1 <b1D.a2 >b i3.(2022·陕西汉中·高一期末〉若关于工的不等式，咐2+2x+m>O的解集是R，则m的取值范围是（〉A.(I, +oo)B.(0, I〕C.( -J, I)D.(J, +oo)4.(2022·广东珠海高一期末〉不等式。
＋l)(x+3)<0的解集是（〉A.RB.②c.｛对－3<x<-I} D.{xi x<-3，或x>-l}5. (2022·四川甘孜·高一期末〉若不等式似2+bx-2<0的解集为｛xl-2<x<I｝，则。
÷b=( )A.-2B.OC.ID.26. (2022·湖北黄石·商一期末〉若关于X的不等式x2-ax’＋7＞。
在（2,7）上有实数解，则α的取值范围是（〉A.（唱，8)B.（叫8] c.（叫2./7) D.（斗）7.(2022·新疆乌市一中高一期末〉已知y=(x-m)(x-n)+2022(n> m），且α，β（α〈别是方程y=O的两实数根，则α，β，111,n的大小关系是（〉A.α＜m<n＜βC.m＜α〈β＜nB.m＜α＜n＜βD.α＜m＜β＜n8.(2022·浙江·杭州四中高一期末〉已失11函数y＝κ－4+...2....(x>-1），当x=a时，y取得最小值b，则。
高一数学一次函数与二次函数试题答案及解析
高一数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.已知二次函数，不等式的解集为.（1）求的解析式；（2）若函数在上单调，求实数的取值范围；（3）若对于任意的x∈[－2,2]，都成立，求实数n的最大值．【答案】(1) ，（2）（3）-21.【解析】(1) 根据一元二次方程的根与一元二次不等式的解集关系，可列出两个独立条件，求出解析式. 依题得，为方程的两个实根，（2）二次函数单调性主要研究对称轴与定义区间相对位置关系，在上单调，二次函数开口向上，对称轴（3）恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. 依题得，只要，设当时，实数n的最大值为解：(1)依题得，为方程的两个实根，（2分）（4分）（5分）（2）在上单调，又二次函数开口向上，对称轴，（7分）（10分）（3）依题得，（12分）只要，（13分）设当时，（15分）（16分）【考点】一元二次方程的根与一元二次不等式的解集关系，二次函数单调性，不等式恒成立2.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为（1，3）．⑴若方程有两个相等实数根，求的解析式．⑵若的最大值为正数，求实数的取值范围．【答案】（1）,（2）．【解析】（1）求二次函数解析式，一般用待定系数法，如何设二次函数解析式是解题关键.本题设零点式比较到位. ∵二次函数的二次项系数为，且不等式解集为（1，3），∴可设，且∴,由方程得，∵方程有两个相等的实根，∴或，而，∴从而,（2）由∴解得或.解：⑴∵二次函数的二次项系数为，且不等式解集为（1，3），∴可设，且 2分∴由方程得， 4分∵方程有两个相等的实根，∴或，而，∴从而 6分⑵由∴ 8分∴解得或 11分∴实数的取值范围是． 12分【考点】二次函数解析式3.对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是 ( ) A．1<x<3B．x<1或x>3C．1<x<2D．x<1或x>2【答案】B【解析】原问题可转化为关于a的一次函数y=a（x-2）+x2-4x+4＞0在a∈[-1，1]上恒成立，只需，∴故选B．【考点】二次函数的性质．．4.已知（1）设，求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值；【答案】（1）最大值9，最小值；（2）最大值67，最小值3【解析】（1）根据指数函数单调性求其最值。
高一数学必修一二次函数练习题及
高一数学必修一二次函数练习题及一、选择题:1.(2003?大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是().A.直线x=-3B.直线x=3C.直线x=-2D.直线x=22.(2004?重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,)在().A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限3.(2004?天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a0,则一定有().A.b2-4ac>0B.b2-4ac=0C.b2-4ac4,那么AB的长是().A.4+mB.mC.2m-8D.8-2m二、填空题1.(2004?河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则y=_______.2.(2003?新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.3.(2003?天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.4.(2004?武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个知足条件的二次函数的解析式:_________.5.(2003?黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.6.(2002?北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别讲出了它的一些特点:甲:对称轴是直线x=4;乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出知足上述全部特点的一个二次函数解析式:三、解答题1.(2003?安徽)已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).(1)求这个函数的解析式;(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.2.(2004?济南)已知抛物线y=-x2+(6-)x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B 两点关于y轴对称.(1)求m的值;(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种讲法写出来.3.(2004?南昌)在平面直角坐标系中,给定下面五点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2,),E(0,-6),从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线知足以平行于y?轴的直线为对称轴.我们约定:把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB(如下图).(1)问符号条件的抛物线还有哪几条?不求解析式,?请用约定的方法逐一表示出来;(2)在(1)中能否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交?假如存在,试求出解析式及直线的解析式;假如不存在,请讲明理由.能力提高练习一、学科内综合题1.(2003?新疆)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,?与y 轴交于A点.(1)根据图象确定a、b、c的符号,并讲明理由;(2)假如点A的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,求这个二次函数的解析式.二、实际应用题2.(2004?河南)?某市近年来经济发展速度很快,?根据统计:?该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币.经论证,上述数据合适一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005?年该市国内生产总值将到达多少?3.(2003?辽宁)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,?公司经历了从亏损到盈利的经过.下面的二次函数图象(部分)?刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s 与t之间的关系).根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可到达30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?4.(2003?吉林)如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB?的宽为20m,假如水位上升3m时,水面CD的宽是10m.(1)建立如下图的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,?突然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位到达桥拱最高点O 时,禁止车辆通行),试问:假如货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请讲明理由;若不能,?要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?三、开放探索题5.(2003?济南)?某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要的结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0),当实数a 变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a变化时,若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少,纵坐标增加,得到A点的坐标;若把顶点的横坐标增加,纵坐标增加,得到B点的坐标,则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上.(1)请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式;(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并讲明理由;(3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般——特殊——一般〞的思想,?你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜测表述出来吗?你的猜测能成立吗?若能成立,请讲明理由.6.(2004?重庆)如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边长为a,O为原点,?点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上.直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上一点C(-a,0)且与OE平行.现正方形以每秒的速度匀速沿x轴正方向平行移动,?设运动时间为t秒,正方形被夹在直线OE和CF间的部分的面积为S.(1)当0≤t<4时,写出S与t的函数关系;(2)当4≤t≤5时,写出S与t的函数关系,在这个范围内S有无最大值?若有,?请求出最大值;若没有,请讲明理由.。
高中数学必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试(含答案)
高中数学必修一第二章一、单选题1．已知集合A ={x‖x ―2|<1}， B ={x |x 2―2x ―3<0}.则A ∩B =A ．{x |1<x <3}B ．{x |―1<x <3}C ．{x |―1<x <2}D ．{x |x >3}2．下列结论成立的是（ ）A ．若ac ＞bc ，则a ＞bB ．若a ＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a+c ＞b+dD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣d ＞b ﹣c3．已知关于 x 的不等式 a x 2―2x +3a <0 在 (0,2] 上有解，则实数 a 的取值范围是（ ）A ．(―∞,33)B ．(―∞,47)C ．(33,+∞)D ．(47,+∞)4．当x ＞3时，不等式x+1x ―1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，3]B ．[3，+∞）C ．[ 72，+∞）D ．（﹣∞， 72]5．下列不等式恒成立的是（ ）A ．a 2+b 2≤2abB ．a +b ≥―2|ab |C ．a 2+b 2≥―2abD ．a +b ≤2|ab |6．已知 x >2 ，函数 y =4x ―2+x 的最小值是（ ） A ．5B ．4C ．8D ．67．设正实数x ，y ，z 满足x 2―3xy +4y 2―z =0，则当xy z取得最大值时，2x +1y ―2z 的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．94D ．38．已知正数x ，y 满足x+y ＝1，且 x 2y +1+y 2x +1≥m ，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．4二、多选题9．设正实数a ，b 满足a +b =1，则（ ）A ．a 2b +b 2a ≥14B ．1a +2b +12a +b ≥43C ．a 2+b 2≥12D ．a 3+b 3≥1410．若a ，b ∈(0，+∞)，a +b =1，则下列说法正确的有（ ）A ．(a +1a)(b +1b )的最小值为4B ．1+a +1+b 的最大值为6C．1a +2b的最小值为3+22D．2aa2+b+ba+b2的最大值是3+23311．已知a，b是正实数，若2a+b=2，则（ ）A．ab的最大值是12B．12a+1b的最小值是2C．a2+b2的最小值是54D．14a+b+2a+b的最小值是3212．已知a，b，c为实数，则下列命题中正确的是（ ）A．若a c2<bc2，则a<b B．若ac>bc，则a>bC．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a<b<0，则1a >1 b三、填空题13．不等式﹣2x（x﹣3）（3x+1）＞0的解集为 ．14．已知正实数x，y满足xy―x―2y=0，则x+y的最小值是 . 15．已知a，b均为正数，且ab―a―2b=0，则a24+b2的最小值为 ．16．以max A表示数集A中最大的数．已知a>0，b>0，c>0，则M=max{1c +ba,1ac+b,ab+c}的最小值为 四、解答题17．已知U=R且A={x∣x2―5x―6<0}，B={x∣―4≤x≤4}，求：（1）A∪B；（2）(C U A)∩(C U B)．18．解下列关于x的不等式:（1）x2―2x―3≤0;（2）―x2+4x―5>0;（3）x2―ax+a―1≤019．已知关于x的不等式2x2+x>2ax+a(a∈R)．（1）若a=1，求不等式的解集;（2）解关于x的不等式．20．某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE 需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设AD=x（x≥10），ED=y，试用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明理由．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】B,C,D10．【答案】B,C,D11．【答案】A,B12．【答案】A,C,D13．【答案】（﹣∞，﹣1）∪（0，3）314．【答案】3+2215．【答案】816．【答案】217．【答案】（1）解：因为A={x∣x2―5x―6<0}=(―1，6)，且B={x∣―4≤x≤4}=[―4，4]，则A ∪B=[―4，6)．（2）解：由（1）可知，A=(―1，6)，B=[―4，4]，则C U A=(―∞，―1]∪[6，+∞)，C U B=(―∞，―4)∪(4，+∞)，所以(C U A)∩(C U B)=(―∞，―4)∪[6，+∞)．18．【答案】（1）解：x2―2x―3≤0,(x―3)(x+1)≤0⇒x≤―1或x≥3,故解集为: (―∞,―1]∪[3,+∞).（2）解：―x2+4x―5>0,∴x2―4x+5<0⇒(x―2)2+1<0⇒x无解,故解集为: ∅（3）解：x2―ax+a―1≤0,∴[x―(a―1)](x―1)≤0,当a―1<1,即a<2时,解集为[a―1,1],当a―1=1,即a=2时,解集为x=1,当 a ―1>1 ,即 a >2 时,解集为 [1,a ―1] .所以:当 a <2 时,解集为 [a ―1,1] ,当 a =2 时,解集为 x =1 ,当 a >2 时,解集为 [1,a ―1] .19．【答案】（1）解：2x 2+x >2ax +a ，∴x (2x +1)>a (2x +1)，∴(x ―a )(2x +1)>0，当a =1时，可得解集为{x |x >1或x <―12}.（2）对应方程的两个根为a ，―12，当a =―12时，原不等式的解集为{x |x ≠―12}，当a >―12时，原不等式的解集为{x |x >a 或x <―12}，当a <―12时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >―12}.20．【答案】（1）解：∵△ABC 的边长是20米，D 在AB 上，则10≤x≤20，S △ADE = 12S △ABC ，∴12 x•AEsin60°= 12 • 34 •（20）2，故AE= 200x，在三角形ADE 中，由余弦定理得：y= x 2+4⋅104x 2―200 ，（10≤x≤20）；（2）解：若DE 作为输水管道，则需求y 的最小值， ∴y= x 2+4⋅104x 2―200 ≥ 400―200 =10 2 ，当且仅当x 2= 4⋅104x 2即x=10 2 时“=”成立．。
高中数学(必修一)二次函数与一元二次方程、不等式练习题
高中数学（必修一）二次函数与一元二次方程、不等式练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：____________一、解答题1．（1）解不等式：245014x x -->+；（2）已知102α-<<，13β<<，求123αβ-的范围．2．当自变量x 在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0?(1)2362y x x =-+;(2)225y x =-;(3)2610y x x =++;(4)231212y x x =-+-.3．已知{}{}2|430,||1|1A x x x B x x =-+≤=-≤ (1)求集合A 和B ；(2)求A ∪B ，A ∩B ，4．某地有一座水库，设计最大容量为128000m 3．根据预测，汛期时水库的进水量n S （单位：3m ）与天数()*n n N ∈的关系是10)n S n =.水库原有水量为800003m ，水闸泄水量每天40003m .当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由（水库水量超过最大容量，堤坝就会发生危险）.5．某小企业生产某种产品，月销售量x （件）与货价p （元/件）之间的关系为1602p x =-，生产x 件的成本50030r x =+元.该厂月产量多大时，月获利不少于1300元？6．解下列不等式：（1）24210x x +-< （2） 230x x -+≥（3）210x -> （4）26x x -+<-7．求函数y . 8．设全集为R ，{3A x x =≤或}9x ≥，{}29B x x =-<≤.(1)求A B ，A B ；(2)求()R B A .9．甲、乙两城相距100，在两城之间距甲城处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电，为保证城市安全，核电站距两地的距离不少于10．已知各城供电费用（元）与供电距离（）的平方和供电量（亿千瓦时）之积都成正比，比例系数均是=0．25，若甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月，（1）把月供电总费用（元）表示成（）的函数，并求其定义域；（2）求核电站建在距甲城多远处，才能使月供电总费用最小．10．已知集合{}|2A x x =≥，{}|35B x x =<<.(1)求A B ；(2)定义{}|M N x x M x N -=∈∉且，求A B -.11．如图，为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内.请设计一个测量方案，包括：(1)指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）；(2)用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤.参考答案：1．（1）{}59x x <<；（2）112233αβ-<-<-．【分析】（1）通过一元二次不等式的解法计算即可；（2）通过不等式的性质计算即可.【详解】解：（1）214450x x --+>245014x x ∴+<- ()()590x x -∴<-{}59x x ∴<<（2）1032αβ-<<<<，111120133αβ∴-<<-<-<-， 112233αβ∴-<-<-2．(1)等于0,⎪⎪⎩⎭;大于0,|x x ⎧⎪<⎨⎪⎩或x >⎪⎭;小于0,|x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭. (2)等于0,{5,5}-;大于0,{|55}x x -<<;小于0,{|5x x <-或5}x >.(3)等于0,∅;大于0,R ;小于0,∅.(4)等于0,{2};小于0,{|2}x x ≠;大于0,∅.【解析】根据二次函数与一元二次方程的关系,结合二次函数的图像与性质即可求解.【详解】（1）二次函数2362y x x =-+令23620x x -+=由一元二次方程的求根公式可知x =所以12x x ==结合二次函数的图像与性质可知,开口向上,与x 轴有两个交点,所以当x ∈⎪⎪⎩⎭时,函数值等于0;当|x x x ⎧⎪∈<⎨⎪⎩x >⎪⎭时,函数值大于0;当x x x ⎧⎪∈<<⎨⎪⎪⎩⎭时,函数值小于0.（2）二次函数225y x =-令2250x -=解一元二次方程可知5x =±所以125,5x x =-=结合二次函数的图像与性质可知:当{}5,5x ∈-时,函数值等于0;当{|5x x x ∈<-或}5x >时,函数值大于0;当{}|55x x x ∈-<<时,函数值小于0.（3）二次函数2610y x x =++则()231y x =++结合二次函数的图像与性质可知:当函数值等于0时x 为∅;当x ∈R 时,函数值大于0;当函数值小于0时x 为∅;（4）二次函数231212y x x =-+-则()232y x =--结合二次函数的图像与性质可知,开口向下,与x 轴有一个交点,所以:当{2}x ∈时函数值等于0; 当{}2x x x ∈≠时,函数值大于0;当函数值小于0时x 为∅;【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系,二次函数图像与性质的应用,属于基础题.3．(1){}13A x x =≤≤；{}02B x x ≤≤ (2){}03A B x x ⋃=≤≤；{}12A B x x ⋂=≤≤【分析】（1）分别解两个不等式，即可得出答案；（2）根据交集和并集的运算即可得出答案.（1）解：解不等式2430x x -+≤得13x ≤≤，所以{}13A x x =≤≤，解不等式|1|1x -≤得02x ≤≤，所以{}02B x x ≤≤；（2） 解：{}03A B x x ⋃=≤≤，{}12A B x x ⋂=≤≤.4．第9天会有危险【分析】根据进水量与出水量，以及最多总增加水量列不等式，转化为一元二次不等式，解不等式求得第9天会有危险.【详解】设第n 天发生危险.由题意得400012800080000n >-，即2242560n n +->，得8n >.所以汛期的第9天会有危险.【点睛】注意对于数学应用性问题，首先要认真审题，理解题意；其次是建立合理的数学模型；最后用所学的数学知识去求解.同时，所得结果注意与事实相符，如本题n 是天数，需满足0n >.5．20~45【分析】根据销售额和成本以及获利要求列不等式，解一元二次不等式求得产量的取值范围.【详解】设月产量为x 件.由题意可知(1602)(50030)1300x x x -⨯-+≥，即2659000x x -+≤，得2045x ≤≤.【点睛】本小题主要考查函数的实际应用问题，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.6．（1）{}73x x -<<；（2）{}03x x ≤≤；（3）{1x x <-或}1x >；（4）{2x x <-或}3x >.【分析】利用一元二次不等式的解法直接求解即可【详解】（1）由24210x x +-<，得(7)(3)0x x +-<，得73x -<<， 所以不等式的解集为{}73x x -<<，（2）由230x x -+≥，得230x x -≤，得03x ≤≤， 所以原不等式的解集为{}03x x ≤≤，（3）由210x ->，得(1)(1)0x x +->，解得1x <-或1x >， 所以不等式的解集为{1x x <-或}1x >，（4）由26x x -+<-，得260x x -->，(2)(3)0x x +->，解得2x <-或3x >， 所以原不等式的解集为{2x x <-或}3x >7．定义域为512x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭，用区间表示为51,2. 【分析】根据原函数列出不等式组求解即可.【详解】因为函数y 所以24506210x x x ⎧-++≥⎨-->⎩，解得1552x x -≤≤⎧⎪⎨<⎪⎩， 所以原函数定义域为512x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭，用区间表示为51,2. 8．(1){23A B x x ⋂=-<≤或}9x =，A B R =(2)(){2R B A x x ⋂=≤-或}9x >【分析】（1）根据集合的交集和并集的定义即可求解； （2）先根据补集的定义求出B R ，然后再由交集的定义即可求解. （1）解：因为{3A x x =≤或}9x ≥，{}29B x x =-<≤，所以{23A B x x ⋂=-<≤或}9x =，A B R =；（2）解：因为全集为R ，{3A x x =≤或}9x ≥，{}29B x x =-<≤，所以{2R B x x =≤-或}9x >，所以(){2R B A x x ⋂=≤-或}9x >.9．（1）（2）1003km 【详解】试题分析：（∪）甲城供电费用y 1=0．25×20x 2，乙城供电费用y 2=0．25×10（100-x ）2，总费用y=y 1+y 2，整理即可；因为核电站距甲城xkm ，则距乙城（100-x ）km ，由x≥10，且100-x≥10，得x 的范围；（∪）因为函数y=7．5x 2-500x+25000是二次函数，由二次函数的性质可得，x=-2b a时，函数y 取得最小值试题解析：（1）由题意知：经化简，为．定义域为[10,90]--- -5分（2）将（1）中函数配方为，所以当月供电总费用最小，为元．---10分．考点：函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值10．(1){}|2x x ≥(2){}235x x x |≤≤≥或【分析】(1)直接根据集合并集的定义进行求解；(2)根据新定义{}|M N x x M x N -=∈∉且，即元素属于集合M 当不属于集合N ，从而可求出所求.（1）{}|2A x x =≥，{}|35B x x =<<，∴{}|2A B x x =≥；（2）{}|M N x x M x N -=∈∉且，{}|2A x x =≥，{}|35B x x =<<，∴{}235A B x x x -=|≤≤≥或.11．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）需要测量的数据有A 到,M N 的的俯角11,αβ，B 到,M N 的的俯角22,αβ，AB 之间的距离d ，得到答案.（2）根据正弦定理得到()212sin sin d AM ααα=+，()221sin sin d AN βββ=-，再根据余弦定理得到答案. (1)需要测量的数据：A 到,M N 的的俯角11,αβ，B 到,M N 的的俯角22,αβ，AB 之间的距离d .(2)第一步：计算AM ABM 中，根据正弦定理：()122sin πsin d AM ααα=--，故()212sin sin d AM ααα=+. 第二步：计算AN ABN 中，根据正弦定理：()()212sin sin πd AN βββ=--，故()221sin sin d AN βββ=-. 第三步：计算MN AMN 中，根据余弦定理：()222112cos MN AM AN AM AN αβ=+-⋅-，即MN =。
高一数学一次函数与二次函数试题答案及解析
高一数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.已知，函数.⑴若不等式对任意恒成立，求实数的最值范围；⑵若，且函数的定义域和值域均为，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，若不等式对任意恒成立，参编分离后即可得：，从而问题等价于求使对于任意恒成立的的范围，而，当且仅当时，“=”成立，故实数的取值范围是；（2）由题意可得为二次函数，其对称轴为，因此当时，可得其值域应为，从而结合条件的定义域和值域都是可得关于的方程组，即可解得.试题解析：（1）∵，∴可变形为：，而，当且仅当时，“=”成立，∴要使不等式对任意恒成立，只需，即实数的取值范围是；（2）∵，∴其图像对称轴为，根据二次函数的图像，可知在上单调递减，∴当时，其值域为，又由的值域是，∴.【考点】1.恒成立问题的处理方法；2.二次函数的值域.2.抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集是．【答案】(1,3)【解析】是二次函数，且开口方向向上，欲求的解集，即求的取值范围，因与的交点为1和3，所以的解集是(1,3).【考点】一元二次不等式的解与二次函数的关系.3.设为实数，函数.(Ⅰ)若，求的取值范围；(Ⅱ)求函数的最小值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由条件代入可解得；(Ⅱ)结合一元二次函数的最值以及分段函数可以求得函数的最小值，详解如下；试题解析：(Ⅰ)因为，，所以，可知，得到，所以；(Ⅱ)将函数去掉绝对值，化简有：.令；.当，所以；当，所以.综上，函数的最小值为：.【考点】分段函数，一元二次函数的最值.4.函数的定义域为Ｒ，则实数ｍ的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数定义域为，等价于在上恒成立，则或者；当时，有，解得，不符合题意；，所以的取值范围为，所以答案选.【考点】1.二次函数的恒成立.5.已知，且两函数定义域均为，（1）．画函数在定义域内的图像，并求值域；（5分）（2）．求函数的值域．（5分）【答案】(1)图像见解析，；（2）；【解析】（1）可以采用描点法，首先画出顶点和两个端点，然后用平滑的曲线描下即可，从图像中即可读出的值域；试题解析：（1）函数在定义域范围内的图像如图：从图像中可以读出，函数在定义域范围内的值域为（2）由（1）知，所以，即，所以，函数在定义域范围内的值域为【考点】1.二次函数的图像和性质；2.对数函数的性质.6.设二次函数的值域为，则的最小值为A．B．C．D．【答案】A【解析】二次函数的值域为，所以有当且仅当时等号成立，所以最小值为3【考点】二次函数性质及均值不等式点评：利用均值不等式求最值时需注意：都要是正数，当是定值时取最值，当是定值时取最值7.不等式2x2-x-1>0的解集是A．B．（1， +）C．（-，1）∪（2，+）D．【答案】D【解析】把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘同号得正的取符号法则，得到2x+1与x-1同号，可化为两个不等式组，分别求出两不等式组的解集的并集即可得到原不等式的解集。
人教版高中数学必修第一册-二次函数在给定区间上最值问题-专题强化训练【含答案】
二次函数在给定区间上最值问题二次函数的单调性与对称轴和开口方向有关，往往来讲，二次函数的开口方向一般是给定的，在此情况下，二次函数的单调性就和对称轴与闭区间的位置关系有关。
因而在求最值时，往往需要讨论对称轴和区间的位置关系，这类题目在后续学习中经常遇见。
例题精讲:一．选择题（共7小题）1．若函数2()5f x x mx =++在区间[1，5]上单调递增，则m 的取值范围为()A ．[2-，)+∞B ．(-∞，2]-C ．[10-，)+∞D ．(-∞，10]-2．已知函数2247y x ax =++在区间[3-，1]-上是单调函数，则实数a 的取值范围是()A ．(-∞，1]B ．[6，)+∞C ．(-∞，2][6 ，)+∞D ．(-∞，1][3 ，)+∞3．若二次函数2()21f x ax ax =++在区间[2-，3]上的最大值为6，则(a =)A ．13B ．13-或5C ．13或5-D ．13-4．若函数2()43f x x x =--在区间[n ，]m 上的值域为[7-，2]，则m n -的取值范围是()A ．[1，5]B ．[2，7]C ．[3，6]D ．[4，7]5．已知2()2af x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g （a ），则g （a ）的最小值为()A ．0B ．12C ．1D ．26．已知函数2()2(2)1f x ax a x =--+，[1x ∈-，3]是单调函数，则a 的取值范围是()A ．[0，1]B ．[1-，0]C ．[1-，1]D ．[1-，2]7．函数2()2f x x x =--在[a ，]b 上的值域是[3-，1]，若1b =，则a b +的取值集合为()A ．[3-，1]-B ．[2-，0]C ．[4-，0]D ．[2-，1]二．解答题（共5小题）8．已知函数2()f x x ax=-（1）若在区间[1，)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求函数()f x 在区间[1，2]上的最小值．9．已知函数2()41f x x mx =-+，m R ∈．（1）若关于x 的不等式()0f x <解集为空集，求m 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间[2-，)+∞上是单调增函数，求f （1）的最小值．10．山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略，也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略．济南新旧动能转换先行区肩负着山东新旧动能转换先行先试的重任，某制造企业落户济南先行区，该企业对市场进行了调查分析，每年固定成本1000万元，每生产产品x （百件），需另投入成本()R x 万元，且210300,060()10006103000,60x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩，由市场调研知，每件产品售价6万元，且全年内生产的产品当年能全部销售完．（1）求年利润()W x （万元）关于年产量x （百件）的函数解析式．（利润=销售额-成本）（2）年产量x 为多少（百件）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？11．已知函数2()3f x x ax =+-．（1）若不等式()4f x >-的解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()26f x ax - 对任意[1x ∈，3]恒成立，求实数a 的取值范围．12．已知函数2()1f x x ax =-+．（1）求()f x 在[0，1]上的最大值；（2）当1a =时，求()f x 在闭区间[t ，1]()t t R +∈上的最小值．参考答案一．选择题（共7小题）1．【解答】解：2()5f x x mx =++ 在区间[1，5]上单调递增，12m∴-，故2m - ．故选：A ．2．【解答】解：函数的对称轴是x a =-，若函数在区间[3-，1]-上是单调函数，则3a -- 或1a -- ，解得：3a 或1a ，故选：D ．3．【解答】解：显然0a ≠，有2()(1)1f x a x a =+-+，当0a >时，()f x 在[2-，3]上的最大值为f （3）151a =+，由1516a +=，解得13a =，符合题意；当0a <时，()f x 在[3-，2]上的最大值为(1)1f a -=-，由16a -=，解得5a =-，所以，a 的值为13或5-．故选：C ．4．【解答】解：2()43f x x x =-- ，f ∴（2）7=-，(1)f f -=（5）2=，()f x 在区间[n ，]m 上的值域为[7-，2]，∴当1n =-，2m =或2n =，5m =时m n -的最小值3，当1n =-，5m =时，m n -取得最大值6，故m n -的范围[3，6]故选：C ．5．【解答】解：因为2()2a f x x ax =-+的开口向上，对称轴2ax =，①122a 即1a 时，此时函数取得最大值g （a ）f =（1）12a=-，②当122a >即1a >时，此时函数取得最大值g （a ）(0)2af ==，故g （a ）1,12,12aa a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ ，故当1a =时，g （a ）取得最小值12．故选：B ．6．【解答】解：当0a =时，函数()41f x x =+，为增函数，符合题意；当0a ≠时，函数2()2(2)1f x ax a x =--+的对称轴为2a x a-=，且函数在区间[1-，3]是单调函数，∴21a a -- ，或23a a- ，解得01a < 或10a -< ．综上，实数a 的取值范围是[1-，1]．故选：C ．7．【解答】解：22()2(1)1f x x x x =--=-++，1x ∴=-时，()f x 取到最大值1，方程223x x --=-的根是3x =-或1．若1b =，则31a -- ，a b ∴+的取值集合围是：[2-，0]．故选：B ．二．解答题（共5小题）8．【解答】解：（1）函数()f x 的对称轴是2a x =，若在区间[1，)+∞上是增函数，则12a，解得：2a ；（2）①12a即2a 时，()f x 在[1，2]递增，故()min f x f =（1）1a =-，②122a <<即24a <<时，()f x 在[1，)2a 递减，在(2a，2]递增，故2()()24mina a f x f ==-，③22a即4a 时，()f x 在[1，2]递减，故()min f x f =（2）42a =-．9．【解答】解：（1）()0f x < 解集为空集，∴判别式△2160m m =- ，解得016m ．（2）2()41f x x mx =-+，图象开口向上，对称轴8mx =，因为函数()f x 在区间[2-，)+∞上是单调增函数，所以28m- ，解得16m - ，f （1）4m =-是关于m 的减函数，所以当16m =-时，f （1）取最小值为20．10．【解答】解：（1）当060x <<时，22()600(10300)1000103001000W x x x x x x =-+-=-+-；当60x 时，10001000()600(6103000)1000102000W x x x x x x=-+--=--．2103001000,060()1000102000,60x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+⎪⎩；（2）当060x <<时，22()10300100010(15)1250W x x x x =-+-=--+，当15x =时，()1250max W x =万元；当60x 时，()W x 单调递减，4150()(60)3max W x W ==．∴年产量x 为60（百件）时，企业所获利润最大，最大利润是41503万元．11．【解答】解：（1）由不等式()4f x >-的解集为R ，234x ax ∴+->-解集为R ，即210x ax ++>解集为R ，可得△0<，即240a -<，解得22a -<<，故a 的取值范围是(2,2)-．（2）由不等式()26f x ax - 对任意[1x ∈，3]恒成立，()26f x ax ∴- ，即2326x ax ax +-- 对任意[1x ∈，3]恒成立，即230x ax -+ 对任意[1x ∈，3]恒成立，3()min a x x ∴+ ，[1x ∈，3]；3x x += ；当且仅当3x x=，即x =a ∴故a 的取值范围是(-∞，．12．【解答】解：（1）2()1f x x ax =-+的开口向上，对称轴2a x =，所以在区间[0，1]的哪个端点离对称轴远，则在哪个端点处取得最大值，当122a 即1a 时，()f x 取得最大值f （1）2a =-，当122a >即1a >时，()f x 的最大值(0)1f =，（2）当1a =时，2()1f x x x =-+的对称轴12x =，当12t 时，()f x 在[t ，1]t +上单调递增，所以2()()1min f x f t t t ==-+，当112t +即12t - 时，()f x 在[t ，1]t +上单调递减，2()(1)1min f x f t t t =+=++，当112t t <<+即1122t -<<时，()f x 在1(,)2t 上单调递减，在1(2，1)t +上单调递增，故13()()24min f x f ==，令()()min g t f x =，则2211,2311(),42211,2t t t g t t t t t ⎧-+⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪++-⎪⎩．。
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一、选择题:
1.(2003•大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ).
A.直线x=-3
B.直线x=3
C.直线x=-2
D.直线x=2
2.(2004•重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b, )在( ).
A.第一象限;
B.第二象限;
C.第三象限;
D.第四象限
3.(2004•天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有( ).
A.b2-4ac>0
B.b2-4ac=0
C.b2-4ac<0
D.b2-4ac≤0
4.(2003•杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( ).
A.b=3,c=7
B.b=-9,c=-15
C.b=3,c=3
D.b=-9,c=21
5.(2004•河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ).
6.(2004•昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,•图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( ).
A.4+m
B.m
C.2m-8
D.8-2m
二、填空题
1.(2004•河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则y=_______.
2.(2003•新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.
3.(2003•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.
4.(2004•武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.
5.(2003•黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.
6.(2002•北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:
甲:对称轴是直线x=4;
乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;
丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:
三、解答题
1.(2003•安徽)已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).
(1)求这个函数的解析式;
(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;
(3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.
2.(2004•济南)已知抛物线y=- x2+(6- )x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称.
(1)求m的值;
(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;
(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.
3.(2004•南昌)在平面直角坐标系中,给定以下五点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2, ),E(0,-6),从这
五点中选取三点,使经过这三点的抛物线满足以平行于y•轴的直线为对称轴.我们约定:把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB(如图所示).
(1)问符号条件的抛物线还有哪几条?不求解析式,•请用约定的方法一一表示出来;
(2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交?如果存在,试求出解析式及直线的解析式;如果不存在,请说明理由.
能力提高练习
一、学科内综合题
1.(2003•新疆)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,•与y轴交于A点.
(1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;
(2)如果点A的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,求这个二次函数的解析式.
二、实际应用题
2.(2004•河南)•某市近年来经济发展速度很快,•根据统计:•该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币.
经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005•年该市国内生产总值将达到多少?
3.(2003•辽宁)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,•公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)•刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).
根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?
4.(2003•吉林)如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB•的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,•忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD 处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,•要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
三、开放探索题
5.(2003•济南)•某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要的结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0),当实数a变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a变化时,若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少,纵坐标增加,得到A 点的坐标;若把顶点的横坐标增加,纵坐标增加,得到B点的坐标,则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上.
(1)请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式;
(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由;
(3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般——特殊——一般”的思想,•你还能发现什么?
你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立,请说明理由.
6.(2004•重庆)如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边长为a,O为原点,•点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上.直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上一点C(- a,0)且与OE平行.现正方形以每秒的速度匀速沿x轴正方向平行移动,•设运动时间为t秒,正方形被夹在直线OE和CF间的部分的面积为S.
(1)当0≤t<4时,写出S与t的函数关系;
(2)当4≤t≤5时,写出S与t的函数关系,在这个范围内S有无最大值?若有,•请求出最大值;若没有,请说明理由.。