第五章 电磁波的辐射 §1. 电磁场的矢势和标势§2. 推迟势§3. 电偶极辐射(简介) 变化电流
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电磁场的矢势和标势
A
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
经过例子可看到：
库仑规范旳优点是：它旳标势 描述库 仑作 用，可直接由电荷分布 求出，它旳矢势 A 只有
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波旳两种独立
偏振。
洛仑兹规范旳优点是：它旳标势 构成旳势方程具有对称性。它旳矢势
A旳纵和向矢部势A
分和标势 旳选择还能够有任意性，即存在多出
2
2
A
0
1 2A c2 t 2
1 c2
t
( )
0 j
此时b，) 标采势用所洛满仑足兹旳规方范程(与 静A 电1场相 同 0。)
c 2 t
上述方程化为
2
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0
0 j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
4、举例讨论
试求单色平面电磁波旳势
尤其简朴旳对称形式。
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations
及
B=0H
D 0E
E
A
B A
t
出发推导2 A矢 势c12A和2t 2A标势(
所满足旳方程，得到：
A
1 c2
)
t
0 j
2
A
t
0
a) 采用库仑规范 ( A 0)
上述方程化为
方程旳关系，所以它 们之间旳关系不是一一相应
旳，这是因为矢势 A 能 够加上一种任意标量函数
旳旳将梯梯E度度，在成E果不影A响中B旳A，t而与中这此对个融E 任合要意也发标作生量相影函应响数旳，但
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
经过例子可看到：
库仑规范旳优点是：它旳标势 描述库 仑作 用，可直接由电荷分布 求出，它旳矢势 A 只有
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波旳两种独立
偏振。
洛仑兹规范旳优点是：它旳标势 构成旳势方程具有对称性。它旳矢势
A旳纵和向矢部势A
分和标势 旳选择还能够有任意性，即存在多出
2
2
A
0
1 2A c2 t 2
1 c2
t
( )
0 j
此时b，) 标采势用所洛满仑足兹旳规方范程(与 静A 电1场相 同 0。)
c 2 t
上述方程化为
2
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0
0 j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
4、举例讨论
试求单色平面电磁波旳势
尤其简朴旳对称形式。
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations
及
B=0H
D 0E
E
A
B A
t
出发推导2 A矢 势c12A和2t 2A标势(
所满足旳方程，得到：
A
1 c2
)
t
0 j
2
A
t
0
a) 采用库仑规范 ( A 0)
上述方程化为
方程旳关系，所以它 们之间旳关系不是一一相应
旳，这是因为矢势 A 能 够加上一种任意标量函数
旳旳将梯梯E度度，在成E果不影A响中B旳A，t而与中这此对个融E 任合要意也发标作生量相影函应响数旳，但
第五章 电磁波的辐射Electromagnetic Wave Radiation
2 2 1 A 1 A 2 2 2 0 c t c t
(k A 0)
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势 0 ， 则只有
1 A 2 A 2 2 0 c t
2
其解的形式为
i ( k x t ) A A0e
A A A t 于是我们得到了一组新的 A . ，很容易证明：
A ( A ) A ( ) A B A ( ) ( A ) t t t A ( ) ( ) t t t A E t
注意：
A 0 时,且 E a) 当 A 与时间无关，即 t 这时 就直接归结为电势；
与电势 (E ) 混为一谈。因为在非稳恒情 况下， E 不再是保守力场，不存在势能的概念， 这就是说现在的 ，在数值上不等于把单位正电 荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为 了区别于静电场的电势，把这里的 称为标势 （Scalar potential)。 c) 在时变场中，磁场和电场是相互作用着的 整体，必须把矢势 A 和标势 作为一个整体来描 述电磁场。
) 描述同一电磁场， 由此可见，( A . ) 和 ( A .
换句话说，对于同一电磁场 E 和 B ，其势 ( A . )
的选择并不是唯一的，通过变换式可以找到无穷 组 ( A . ) 而对应同一个场。从变换式可以看出， 矢势 A 仅仅确定到一个任意函数的梯度；标势 仅仅确定到同一任意函数的时间导数。因为势 A 和 缺乏唯一性，我们可以按照一定的附加条件 去挑选我们所需要的一组势，这些附加条件通常 是势之间的关系，称为规范条件(Gauge condition)， 不同的场合可以选择不同的规范条件。 从物理观点来看，物理上可测量的量一定是 规范不变的，因此描述涉及电磁现象的物理规 律——方程形式都应当在规范变换下保持不变， 这就称为规范不变性(Gauge invariance)。而变换 式
(k A 0)
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势 0 ， 则只有
1 A 2 A 2 2 0 c t
2
其解的形式为
i ( k x t ) A A0e
A A A t 于是我们得到了一组新的 A . ，很容易证明：
A ( A ) A ( ) A B A ( ) ( A ) t t t A ( ) ( ) t t t A E t
注意：
A 0 时,且 E a) 当 A 与时间无关，即 t 这时 就直接归结为电势；
与电势 (E ) 混为一谈。因为在非稳恒情 况下， E 不再是保守力场，不存在势能的概念， 这就是说现在的 ，在数值上不等于把单位正电 荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为 了区别于静电场的电势，把这里的 称为标势 （Scalar potential)。 c) 在时变场中，磁场和电场是相互作用着的 整体，必须把矢势 A 和标势 作为一个整体来描 述电磁场。
) 描述同一电磁场， 由此可见，( A . ) 和 ( A .
换句话说，对于同一电磁场 E 和 B ，其势 ( A . )
的选择并不是唯一的，通过变换式可以找到无穷 组 ( A . ) 而对应同一个场。从变换式可以看出， 矢势 A 仅仅确定到一个任意函数的梯度；标势 仅仅确定到同一任意函数的时间导数。因为势 A 和 缺乏唯一性，我们可以按照一定的附加条件 去挑选我们所需要的一组势，这些附加条件通常 是势之间的关系，称为规范条件(Gauge condition)， 不同的场合可以选择不同的规范条件。 从物理观点来看，物理上可测量的量一定是 规范不变的，因此描述涉及电磁现象的物理规 律——方程形式都应当在规范变换下保持不变， 这就称为规范不变性(Gauge invariance)。而变换 式
电磁场理论课件 第五章 第1节 电磁场的矢势和标势
可以按照一定的附加条件去挑选所需要的一组势。
2．规范变换
长度不变，公制和英制表达不同。变换关系1英寸=25.4毫米
规范：给定一组 ( A, 称 )为一种规范；
规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为规范变换
两种规范间变换关系：
A A
t
●规范不变性：在规范变换下物理规律满足的动力学方程
)
t
0 J
2
A
t
0
b)
采用洛仑兹规范(
A
1 c2
t
0
)
上述方程化为
2
1 c2
2
t 2
0
2 A
1 c2
2 A t 2
0 J
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
2
1 c2
2
t 2
0
反映了电磁场的波动性2 A
1 c2
2 A t 2
0 J
洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程，因 此由它们求出的 ( A, ) 及 (E, B) 均为波动形式，反映 了电磁场的波动性。 两个方程具有高度的对称性且相互独立
保持不变的性质（在微观世界是一条物理学基本原理）
●规范场：具有规范不变性的场称为规范场。
3．两种规范
要使势函数减少任意性，必须给出 A ，它的 值被称为规范的条件。 A 值选择是任意的，但若
选择的好，可使电磁场的解简单，基本方程对称
或物理意义明显。
l 库仑规范 规范条件： A 0
在库仑规范下 A 是一个有旋无源场（横场
)
0 J
0 0
t
(
A) t
0 J
0 0
t
( )
2．规范变换
长度不变，公制和英制表达不同。变换关系1英寸=25.4毫米
规范：给定一组 ( A, 称 )为一种规范；
规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为规范变换
两种规范间变换关系：
A A
t
●规范不变性：在规范变换下物理规律满足的动力学方程
)
t
0 J
2
A
t
0
b)
采用洛仑兹规范(
A
1 c2
t
0
)
上述方程化为
2
1 c2
2
t 2
0
2 A
1 c2
2 A t 2
0 J
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
2
1 c2
2
t 2
0
反映了电磁场的波动性2 A
1 c2
2 A t 2
0 J
洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程，因 此由它们求出的 ( A, ) 及 (E, B) 均为波动形式，反映 了电磁场的波动性。 两个方程具有高度的对称性且相互独立
保持不变的性质（在微观世界是一条物理学基本原理）
●规范场：具有规范不变性的场称为规范场。
3．两种规范
要使势函数减少任意性，必须给出 A ，它的 值被称为规范的条件。 A 值选择是任意的，但若
选择的好，可使电磁场的解简单，基本方程对称
或物理意义明显。
l 库仑规范 规范条件： A 0
在库仑规范下 A 是一个有旋无源场（横场
)
0 J
0 0
t
(
A) t
0 J
0 0
t
( )
5-1电磁波的矢势和标势
2009/12/3
第五章:电磁波的辐射
——高频交变电流辐射电磁波的规律 高频交变电流辐射电磁波的规律
① 无线电波 无线电波是由发射天线上的高频交变电流辐射 发射天线上的高频交变电流辐射 出来的; 出来 ② 天线上的交变电流和其所辐射的电磁场是相互 作用的——复杂边值问题 ③ 本章的讨论仅限于:给定电流分布 给定电流分布,如何计算 辐射电磁波. 辐射电磁波
r A ( 为无源场) t
3)洛伦兹规范 辅助条件: ① 洛伦兹规范: r 1 A+ 2 =0 c t
r r A E = t
r r B = × A
② 若采用洛伦兹规范,关于势的微分方程可以 简化为简单的,对称形式 简单的,对称形式; ③ 由于其在处理实际问题的方便之处,下面将 要讨论的辐射问题采用的是洛伦兹规范.
——达郎贝尔方程 达郎贝尔方程(非齐次的波动方程)
μ0 J 1 A1 μ J 2 1 2 A2 2 2 = 0 2 μ0 J 3 c t A3 ρ ε 0
波 动 方 程
r r μ0 J 2 1 2 A 2 2 = c t ρ ε 0
辅 助 r 条 A + 1 = 0 件 c 2 t
① 在洛伦兹规范下,电荷产生标势波动 电流 电荷产生标势波动;电流 产生矢势波动; 产生矢势波动 ② 离开电荷和电流分布的区域以后,矢势和标 势都以波动形式在空间传播; ③ 由它们导出的电场和磁场也以波动的形式在 空间传播; ④ 电场和磁场的性质与这里所选的规范无关.
r r A ②可以引入标势 标势描述矢量场: + = E t r r A E = t
r r A ①E + 是无旋场; t
r r A =0 ×E + t
4)电磁场的势描述:
第五章:电磁波的辐射
——高频交变电流辐射电磁波的规律 高频交变电流辐射电磁波的规律
① 无线电波 无线电波是由发射天线上的高频交变电流辐射 发射天线上的高频交变电流辐射 出来的; 出来 ② 天线上的交变电流和其所辐射的电磁场是相互 作用的——复杂边值问题 ③ 本章的讨论仅限于:给定电流分布 给定电流分布,如何计算 辐射电磁波. 辐射电磁波
r A ( 为无源场) t
3)洛伦兹规范 辅助条件: ① 洛伦兹规范: r 1 A+ 2 =0 c t
r r A E = t
r r B = × A
② 若采用洛伦兹规范,关于势的微分方程可以 简化为简单的,对称形式 简单的,对称形式; ③ 由于其在处理实际问题的方便之处,下面将 要讨论的辐射问题采用的是洛伦兹规范.
——达郎贝尔方程 达郎贝尔方程(非齐次的波动方程)
μ0 J 1 A1 μ J 2 1 2 A2 2 2 = 0 2 μ0 J 3 c t A3 ρ ε 0
波 动 方 程
r r μ0 J 2 1 2 A 2 2 = c t ρ ε 0
辅 助 r 条 A + 1 = 0 件 c 2 t
① 在洛伦兹规范下,电荷产生标势波动 电流 电荷产生标势波动;电流 产生矢势波动; 产生矢势波动 ② 离开电荷和电流分布的区域以后,矢势和标 势都以波动形式在空间传播; ③ 由它们导出的电场和磁场也以波动的形式在 空间传播; ④ 电场和磁场的性质与这里所选的规范无关.
r r A ②可以引入标势 标势描述矢量场: + = E t r r A E = t
r r A ①E + 是无旋场; t
r r A =0 ×E + t
4)电磁场的势描述:
电动力学课件：5-1电磁辐射
即保证了
A
A ik A
只有横向分量，即
0
A
A横
，从而得到
B
E
A ik
A
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
通过例子可看到：
库仑规范的优点是：它的标势 描述库 仑作
用，可直接由电荷分布 求出，它的矢势 A 只有
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立
3．洛仑兹规范下的达朗贝尔方程
2 A
1 c2
2A t 2
0 J
2
1 c2
2
t 2
0
例：
试求单色平面电磁波的势
解:
单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自 由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在 Lorentz规范条件下）变为波动方程：
2
其解的形式为：
2
A
1 c2
1 c2
2
2
2A
t 2
与静电场引入电势、静磁场引入标势相 似，为了便于求解普适的场方程，在变化
情况下仍然可以引入势的概念。但是，由
于电场的旋度不为零，这里引入的矢势、 标势与静场情况有很大的不同。
§5.1 电磁场的矢势和标势
一．用势描述电磁场
本节使用最普遍的电磁场方程引入矢势然后讨论 电磁辐射问题（仅讨论均匀介质）。
（1）矢势的引 入
2
1 c2
2
t 2
0
证明：
A
1
A
1
1
2
( A
1
c2 t
) (2
1
2 ) 0
c2 t
c2 t 2
c 2 t c 2 t 2
电动力学第五章
k •r
t
)
ei
(
k
•r
t
)
0
A
A ei(k •r t ) 0
ei
(
k
•r
t
)
0
由Lorentz规范条件 • A
ik
•
A
1 c2
(i )
0
1 c2
t
0
得
c2
k
•
A
由此可见，只要给定了 A，就能够拟定单色平面电磁波。
B
A
ik
A
ik
(
A横
A纵
)
ik
V
(r,t R )
c dV
4 0 R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
a) 和 A是分布在有限体积内旳变化电荷和变化电 流在空间任意点激发旳标势和矢势。
b)电荷密度和电流密度中旳时刻是t R c ，而不是 t 这阐明 t R c时刻 r 处电荷或电流产生旳场并不 能在同一时刻就到达r 点，而是需要一种传播时
1 c2
2A t 2
0J
达朗贝尔方程
A
和
分别
满足有源旳波动方程
例：求单色平面电磁波旳势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布旳自由空间中传播 旳，因而势旳方程（洛伦兹规范，达朗贝尔方程）变为齐次
波动方程：
2
1 c2
2
t 2
0
2 A
1
2A 0
c2 t 2
其平面波解为：
A
A0ei
(
(r
•
j
•
j)j•ຫໍສະໝຸດ 1 R]dV•
复习课件-电动力学第五章 电磁波的辐射
t)
1]dV r
0
4
1 J (x,t)
dV
r
t const
J
( x, t ) r
dV
J (x,t) dS 0 Sr
1
c2
t
1
40c2
V
1 r
( x, t)
t
t t
dV
0 4
1 (x,t) dV
V r t
A
1
0
c2 t 4
1 [ J (x,t) (x,t)]dV 0
10
第五章第二节
推迟势
11
§5.2 推迟势
本节讨论空间存在电荷和电流分布情况 下达朗贝尔方程的解。
一. 标势和矢势的达朗伯方程的解
标势方程中
(x,
t)
为已知。若
(x,
t)
较
复杂，直接得到一般解比较困难。本节先
从一个点电荷出发，然后由迭加原理得到
解。
12
1. 点电荷在空间激发的标势
设点电荷处于原点，(x,t) Q(t) (x)，考虑对称性
c2 t 2
c2 t c2 t 2
2
1 c2
2
t 2
0
7
三．达朗贝尔方程
1． 真空中的 达朗贝尔方程
2A
1 c2
2 A t 2
(
A
1 c2
)
t
0 J
2 ( A)
t
0
证明：将 B
斯韦方程： 并利用：
(
A
B
A)
0，(0EA)Et2 A0J得,At到达代 E朗入 的压力
24
B A
在变化电磁场情况，
电磁波的辐射
f 1 2 2 2 2 称为 c t 0 达朗贝尔方程 2 1 A 2 A 2 2 0 j f c t
r ' (x , t ) 1 c d ' ( x, t ) 4 0 x x '
解称为
推迟势
（2）两种常用规范
0, 优点：电场的两个部分 0 具有鲜明的物理意义 A B, A 0 1 洛仑兹规范 A 0 2 c t
优点：简化矢势和标势满足的的微分方程， 使矢势和标势满足的的微分方程对称
1
4 0 r x 位于坐标原点的点电荷激发的势 ( x, t ) r x Q (0, t ) c ( x , t ) (r , t ) Ｏ Q (0, t r ) 4 0 r
位于任意位置的点电荷激发的势 r Q( x ' , t ) c ( x, t ) Ｏ 4 0 r
也可以理解为:无旋场可以表示为另一标量场的梯度 为简单起见，讨论真空中的电磁场：
D E B t B 0 D H j t
D 0E , B 0 H .
对于电场:
S
A
:矢(量)势
静电场: E 0
一般情况有:
E
: 标势(电势)
B E 0 t
不能象静电场那样直接引入标量势函数
B 一般情况有 E 0 t
代入
B A
A A )0 E 改写成: ( E :是无旋场，可引入标势 t t A A 令： E 即： E t t
【电动力学课件】5-1 电磁场的矢势与标势
18
例：讨论单色平面电磁波的势。 单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布的自由空间中传播 的，因而势的方程（达朗贝尔方程）变为齐次方程： 2 1 ∂ ϕ 2 ∇ ϕ− 2 2 =0 c ∂t 2 A ∂ 1 2 ∇ A− 2 2 = 0 c ∂t 其平面波解为： A = A0 e i ( k ⋅ x −ωt )
从数学上来说，之所以存在规范变换自由度，是由于在 势的定义式中，只给出了A的旋度，而没有给出A的散度。 所以，欲得到具体的势，必须给定 A 的散度，即规范条 件。 电磁场 E和 B 本身对 A 的散度没有任何限制。因此，作为 确定势的辅助条件，我们可以取∇∙A为任意的值。 每一种选择对应一种规范。从计算方便考虑，在不同问 题中可以采用不同的辅助条件。应用最广泛的是以下两 种规范条件。
这种规范也有明显的物理意义，而且在处理 波动问题时，势的基本方程化为特别简单的 对称形式。 这种规范在基本理论以及解决实际辐射问题中 是特别方便的。
14
三、 达朗贝尔(d’Alembert)方程
1. A和ϕ所满足的微分方程
Β = ∇× Α
∂D +J ∇× Η = ∂t
∂Α Ε = −∇ϕ − ∂t
此时， B = ik × A
ϕ=
(k ⋅ A = 0)
c2
ω
k⋅A= 0
E = i ωA
*因为 ∇ ⋅ A = ik ⋅ A， 所以 k ⋅ A = 0 就是满足库仑规范的解。 因此，库仑规范下平面波的矢势A只有横向分量，刚好足 够描述电磁波的两种独立偏振，这是库仑规范的一个优点 采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变为
1 ∂ϕ ∇⋅ Α+ 2 =0 c ∂t
ϕ
17
离开电荷电流分布区域以后，矢势和标势都以 波动形式在空间中传播，由它们导出的电磁场 E和B也以波动形式在空间中传播。 注意：两种规范，方程不同，所得的矢势和标 势当然不同，但由它们所求得的 E 和 B 是完全 相同的，即 E 和 B 的波动性质是和规范无关的。
电动力学第五章 电磁辐射
•• 2
P 32π ε 0 c
2 3
∫
2π
0
dϕ ∫
π
0
4 1 2π ⋅ = sin θ dθ = 2 3 32π ε 0 c 3 4πε 0 3c3
3
P
P
例1. P165
ɺ 解：由于P = I ∆l = Re I 0e−iωt ∆lez = I 0 cos ωt ∆lez ɺ = I e−iωt ∆le , P
z
k B
P
E
注意：这里 ∇ ⋅ E = 0 ，磁场必须是闭合的。且由于只 1 ∇ 不需作用到 1 上， 保留 R 的最低次项，因此算符 R i ( kR −ω t ) 仅需作用到相因子 e 上。 四、辐射能流，角分布，辐射功率 辐射能流，角分布， ① 电偶极的平均能流密度为
2 1 c c * * S = Re( E × H ) = [Re( B × n ) × B ] = B n 2 2 µ0 2 µ0
1 ∂2 A 1 ∂ 2ϕ ∇ A − 2 2 − ∇ (∇ ⋅ A + 2 ) = − µ0 j c ∂t c ∂t
2
（7） （8）
1 ∂ 2ϕ ∂ 1 ∂ϕ ρ ∇ 2ϕ − 2 2 + (∇ ⋅ A + 2 )=− c ∂t ∂t c ∂t ε0
若取库仑规范，则（7）（8）方程变为
1 ∂2A 1 ∂2∇ϕ ∇2A − 2 2 − 2 = −µ0 j c ∂t c ∂t ρ 2 ∇ ϕ= − ε0
S V
f
为洛伦兹力密度
二、电磁场的动量密度和动量流密度 洛伦兹力密度公式： f
ρ = ε 0∇ ⋅ E
j= 1
= ρE + j × B (1)
电磁波的辐射
∂2A ∂t2
=
0
,
∇2ϕ −
1 c2
∂2ϕ ∂t2
=
0
∇
·
A
+
1 c2
∂ϕ ∂t
=
0
A = A0 exp [i (k · x − ωt)] , ϕ = ϕ0 exp [i (k · x − ωt)]
ϕ0
=
c2 ω
k
·
A0
=
cek
·
A0
B = ∇ × A = ik × A
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
=
−ik (cek
∇
·A
+
1 c2
∂ϕ ∂t
=
µ0 4π
=
µ0 4π
[
1 r
∇r
·
J (x
,t
)
+
1 r
∂ ∂t
ρ(x
,t
)] dV
1 r
[∇r
·
J (x
,
t
)
+
∂ ∂t
ρ(x
,t
)] dV
∂ ∂t
ρ(x
,t
)
+
=
0
其中源项为时变的点电荷
ρ(x, t) = Q(t)δ(x)
【求解】 标势ϕ(x, t)？
§ 2.2 标势ϕ的解为发散球面波
【解】 由球对称性设ϕ(x, t) = ϕ(r, t)，
1 ∂ r2 ∂ϕ − 1 ∂2ϕ = − 1 Q(t)δ(r)
r2 ∂r
∂r
c2 ∂t2
ε0
1∂ r2 ∂r
r2 ∂ϕ ∂r
5.1电磁场的失势和标势解析
AT （即说明 B 无纵场，有横场） A （2） E E L E T , E t A L A T E L , ET （存在横场） t T
现代物理导论I
例 1、 证明根据洛伦兹条件求出的齐次达朗伯方程的 解满足横场条件。 证明： 纵场（无旋场） ： f 0 , f （例如：静电场）
横场（无源场） ： 感生电场） g 0 , g h （例如：磁场、
（1） A A L AT
B A AL AT
¨ £ 2© £ ô È É ² Ã Ó å Â × Â È ×æ ¹ ¶ ·¬ £ ò Ô
现代物理导论I
2 1 2A A c 2 t 2 0 J （1.9） 2 2 1 2 2 c t 0 其特点是： A 、 分别由两个彼此独立的方程描述，
现代物理导论I
陈尚达
材料与光电物理学院
第五章 电磁波的辐射
1、电磁场的失势和标势
2、推迟势 3、电偶极辐射 4、磁偶极辐射和电四极矩辐射 5、天线辐射 6、电磁波的衍射 7、电磁场的动量
现代物理导论I
5.1
电磁场的失势和标势
现代物理导论I
上一章我们介绍了电磁波在空间的传播。在实践上， 电磁波常常是由运动电荷辐射出来的，例如无线电波就是 发射天线上的高频交流电流辐射出来的。本章研究高频交 流电辐射电磁波的规律。
（1.7）
现代物理导论I
讨论： £ ¨1£ © È ô ² É Ó Ã ¿ â Â × ¹ æ · ¶ £ ¬ Ô ò
2 1 2A 1 A 2 2 2 0 J c t c t 2 0
（1.8）
电磁场的矢势和标势
r
4 0r
如果电荷不在原点处
Q(t) (r,t) ( r r )
(r, t )
Q(r,
t
R c
)
4 0R
其中 R r r
由叠加原理，一般电荷分布所激发标势为
r,t
V
(r, t 4
R) c dV
0R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
r,t
V
(r,t R )
c dV
§1、电磁场的矢势和标势
引入矢势 的物理意义
在任一时刻，矢量 沿任一闭合回路的线积 分等于该时刻通过回路内的磁通量
是无旋场，引入标势
电磁势 和
和 完全由电磁势决定
a)此处的标势 与静电场中的电势不能混为一谈。 因为在非稳恒的情况下， 不再是保守力场，不存 在势能的概念.因此，在高频系统中，电压的概念 失去确切的意义
c dV
4 0R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
a) 和 A是分布在有限体积内的变化电荷和变化电 流在空间任意点激发的标势和矢势。
b)电荷密度和电流密度中的时刻是t R c，而不是 t 这说明 t R c时刻 r 处电荷或电流产生的场并不 能在同一时刻就到达r 点，而是需要一个传输时
线性方程 ---- 叠加原理 对于源分布在有限体积内的势，可先求出场 源中某一体积元所激发的势，然后对场源区 域积分，即可得出总的势
设坐标原点处有一假想变化电荷
2
1 c2
2
t 2
1
0
Q(t) (r)
在原点以外空间
2
1 c2
电磁场第五章电磁波辐射优秀课件
r ,t u F r c t u B r c t ft r c g t r c
r
r
r
r
? f (t - r/c) / r 表示向外传播的球面波（ r = ct ）
? g (t + r/c) / r 表示向内传播的球面波（ r = -ct ） ? 波动方程的解可表示向外、向内运动的球面行波的叠加 ? 现研究是源的电磁能向外辐射问题，应取 uB , g 0 n f 的具体表达式（在无界情况下）由波源确定，见后页
k2 kA0
ckkB
库仑规范
库仑：让 A0，
库仑规范
2A 2 tA 2 t A J
2tA
2A
2tA2
t
J
2
例：自由空间的平面电磁波
? 库仑规范之外的条件
自由空间，无电荷、电流
const0
2A
1
2A 0
c2 t2
EAiA
t
平面波解: AA0eikxt
2 k2 பைடு நூலகம்2
洛伦兹规范下 v12t A0, v21
电磁位满足波动方程－d’Alembert 方程：
2 A 2 t A 2 J( 1 ) 2 2 t 2 ( 2 )
n 洛伦兹规范与电荷守恒定律的相容性
(1)t(2)2Att22At
2t22AtJt
A 0 J0
t
t
Ø 对称性，求解一个即可 Ø 与场矢量的波动方程比较，优点：矢量位可能与电流的方向一致
电磁场第五章电磁波辐射
第五章 电磁波辐射和衍射
5.1 电磁场的矢位和标位 5.2 推迟位 5.3 偶极辐射 5.4 电磁衍射
辐射问题
– 静态的电荷、电流 – 动态的电荷、电流 – 因果关系确定的时间延迟 – 电磁场的边值问题（激发）
电动力学课件 5.1 电磁场的矢势和标势
A E t
这里，仍用 φ来表示这个标量势函数，并且右边采用 “负号” 以便 A 与时间无关时仍回到静电场情形中去，即电场为
A E t
4
可见，既可以直接用场量 E 和 B 来描述电磁场，也可以用矢势A 和 标势 φ一起来描述电磁场，而两种描述方式的等价性的桥梁就是
2．规范变换 规范：给定一组 A, ，称为一种规范
A A 规范变换：不同规范之间满足的变换关系： t
规范不变性：在规范变换下物理量和物理规律满足的动力学方 程保持不变的性质 B A 注：所有可观测的物理量都具有规范不变性 A E t 规范场：具有规范不变性的场称为规范场
B A A E t
t
注意： 结为静电场的电势；
a) 当 A 与时间无关，即 A 0 时,有 E ，这时 φ就直接归
b) 不要把 E A 中的标势 φ与静电场的电势 ( E ) 混 为一谈。因为在非稳恒情况下，电场不再是保守力场，不存在势能 的概念，这就是说现在的φ ，在数值上不等于把单位正电荷从空间 一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把 这里的 φ称为标势
与洛伦兹规范的结果一样
库仑规范的优点是：它的标势φ描述库仑作用，可直接由电 荷分布ρ求出，它的矢势 A 只有横向分量，恰好足够描述辐射 电磁波的两种独立偏振，无需再加额外条件，因此在场论中 应用较多。 洛仑兹规范的优点是：它的标势φ和矢势A 构成的势方程具有对 称性。它的矢势 A 的纵向部分和标势φ的选择还可以有任意性， 即存在多余的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变性， 因而其应用也相当广泛。
c2 A E ik i A ik ( k A) i A t c2 c2 2 i k (k A) i k (k A) k A
电磁波的辐射
第五章 电磁波的辐射§5.1 电磁场的矢势和标势1. 矢势和标势（1）矢势因为0=⋅∇B，故存在矢势A ，使得A B⨯∇= （5.1.1）矢势A沿任一闭合环路L 的线积分等于通过以L 为边界的任意曲面S 的磁通量，即⎰⎰⎰Φ=⋅=⋅⨯∇=⋅SSLS d B S d A l d A(5.1.2)(2) 标势由麦克斯韦方程组的 0=∂∂+⨯∇tBE 和（5.1.1）式得 0)(=∂∂+⨯∇tAE可见tA E ∂∂+ 是无旋场，因此存在标势ϕ，使得ϕ-∇=∂∂+tA E所以tA E ∂∂--∇=ϕ （5.1.3）（3）用矢势和标势描述电磁场在宏观领域里，通常用B E和描述电磁场，有时为方便起见，也用矢势A 和标势ϕ描述电磁场。
在微观领域里（如在量子力学和量子场论中），通常都用A和ϕ描述电磁场。
2. 规范变换（1）规范变换对于一个给定的电磁场，它的B E和都是确定的，但它的A 和ϕ却并不是确定的，而是有一定程度的任意性。
设),(t rψ为有连续二级偏微商的任意函数，则当ψ∇+=A A' （5.1.4）t∂∂-=ψϕϕ' （5.1.5） 时，ϕϕ,,''A A与 所描述的是同一个电磁场。
（5.1.4）式和（5.1.5）式通常叫做规范变换。
（2）两种规范为了对矢势和标势的任意性加以限制，可根据方便，选择A⋅∇为某个值。
这叫做选择规范。
（a ） 库仑规范0=⋅∇A（5.1.6）（b ） 洛伦兹规范tc A ∂∂-=⋅∇ϕ21 (5.1.7)3. 势的微分方程在真空中，由麦克斯韦方程和势的定义可推得J t cA t A c A 022222)1(1μϕ-=∂∂+⋅∇∇-∂∂-∇ （5.1.8）2ερϕ-=⋅∇∂∂+∇A t （5.1.9）（1）选择库仑规范时，方程（5.1.8）和（5.1.9）式分别化为J t ct A c A 02222211μϕ-=∇∂∂--∂∂-∇ （5.1.10）2ερϕ-=∇ （5.1.11） 这时，标势ϕ与静电势相同，就是库仑势。
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(2) (D 2 A A ) c 1 2 2 A 0 2 tA 2 ( 0 J ( A 0 A t 0) c 1 t 2 ( t0) 2 A t0 J ) 0tA
2 c 1 2 2 t2 t( A c 1 2 t) 1 0
(x ,t)410Q(t rr/c)
—— 是点源的势
若点电荷不在原点 r = 0 处，而在 x’ 处，则rxx'
(x,t)410rQ(x',
tr) c
推迟势
在 x’ 处的点电荷的势
(x,t)410rQ(x',
tr) c
连续分布电荷的势
同样可得矢势
A ((x x ,, tt)) 4 4 0 1 r0 J r(x '(,x t', tc r )d c rV )d'V'
向外传播 向球心汇聚
参照 静电场： Q 4 0r
可设： f(tr) 1 Q(tr)
c 40 c
推迟势
验证在 r = 0 处， = f / r 是否满足原方程：
2c122t2 10Q(t)(r)
以原点为球心，作一小球面，半径 0，考察积分
V(2c12 t22)410Q(t rr/c)dV
0 ( 2c 1 2 t2 2)410Q (t rr/c)4r2dr
'A '
t
t
AA
对应同样的
E和B
t t
t
规范变换： (A,)
(A',')
一种规范 另一种规范
规范不变性：在规范变换下， E和B不变
3. D’Alembert 方程
(1) H B J ( D t A ) ( ( 真 A ) D 2A 0 E 空 ,0 JB 00 H 0 E ) t
和 A方程形式一致 —— 解的形式也相同
可先求解 ，再推广到 Ax，Ay，Az
2c12 2t2 10
点 ( x , 电 ) tQ ( t ) ( x 荷 )
球对称（与, 无关），选用球坐标（p.346/式 I.42）
2 r 1 2 r(r 2 r) r 2 s 1i n (s i) n r 2 s 1 2 in 22
D’Alembert 方程（库仑规范）
2 A c 1 2 2 tA 2 ( A c 1 2 t) 0 J
库仑规 2 范 ：c 1 2 2 t 2 tA ( 0 A c 1 2 t) 1 0
2 A c 1 2 2 tA 2 c 1 2 t 0 J
1 r
2u r 2
2 1 2u
t2 r t2
r2u2 c12 t2u2 0 一维波动方程
推迟势
标准一维波动方程：
2u 1 2u r2 c2 t2 0
解为： u(r,t)f(tr)g(tr)
c
c
式中 f, g 可以是任意函数 —— 由源 Q(t) 决定
(r,t)1f(tr)1g(tr)
r cr c
洛仑兹规范： A 10
c2 t
2A c12 2 tA 2 0J
2c12
2 1
t2
0
(1) 非齐次波动方程（J = 0, = 0 时，即为波动方程）
(2) 静态时（ / t = 0）即为泊松方程
(3) 和 Ax，Ay，Az 满足的方程，形式一样
§2. 推迟势
达朗伯方程线性 —— 解可叠加
可先求点源的解，再对源求和 / 积分
2 1 0
第二式简单（泊松方程，同静电）
第一式 A 和 都有，不能单独求解
D’Alembert 方程（洛仑兹规范）
2 A c 1 2 2 tA 2 ( A c 1 2 t) 0 J
2 c 1 2 2 t 2 t( A c 1 2 t) 1 0
0 第~ 二 2 0 项 , 第一Q 项 (tr)中 Q (t) c
积分 4Q (t)00(21r)dV4Q(t)0 0[4(r)]dV
推迟势
V(2c12 t22)410Q(t rr/c)dV4Q(t)0 0[4(r)]dV
010 Q(t)(r)dV
( 2 c 1 2 t2 2)4 10Q (t rr/c ) 1 0Q (t)(r)
P
电场和磁场 ,A E,B
推迟？
(x,t)~(x',tr)
c
t 时刻 P 点的势由源点在 t – r/c 时刻的电荷决定，并非同一时刻。
源点对场点的影响需要时间 r/c来传递，速度为 c 。
地球上今天看到某星的光，也许是它在几千年前发出的？
也许今天它已不存在？
§3. 电偶极辐射（简介）
A (x ,t)4 0 rJ (x ',tc r)dV '
t
( )0
B D 0 ( A )B 0 A ： A 矢势E：标势A t
E0 （E 不是保守场）
变化电磁场： 不再代表势能
与静电比较：
E
(
0 )
t
2. 规范变换和规范不变性
用 A 和 描述电磁场不唯一
A A ' A
A ' A A
'
t
(A ',')和 (A ,)
A (x ,t) A (x )e i t
B 410c3Reik pR n
A(x)
0eikR
p
4R
E 41 0c2Reik(c3R2
作业
推导真空中，洛仑兹规范下的达朗伯方程。
第五章 电磁波的辐射
§1. 电磁场的矢势和标势 §2. 推迟势 §3. 电偶极辐射（简介）
变化电流 J 辐射
电磁波 E, B
§1. 电磁场的矢势和标势
1. 用势描述电磁场 2. 规范变换和规范不变性 3. D’Alembert 方程
1. 用势描述电磁场
EB
A
(E A )0
H JtD
t
t
r1 2 r(r2 r)c 1 2 2 t 21 0Q (t)(r)
推迟势
在 r 0 处，（除点电荷所在的原点外）
r12r(r2r)c122t2 0 —— 波动方程
球对称，解不可能是平面波，而应是球面波
r 设： (r,t)1u(r,t)
r
r2r r2(1rurru2)
r
u r
u
r1 2 r(r2 r)r1 2( u rr r 2u 2 u r)
2 c 1 2 2 t2 t( A c 1 2 t) 1 0
(x ,t)410Q(t rr/c)
—— 是点源的势
若点电荷不在原点 r = 0 处，而在 x’ 处，则rxx'
(x,t)410rQ(x',
tr) c
推迟势
在 x’ 处的点电荷的势
(x,t)410rQ(x',
tr) c
连续分布电荷的势
同样可得矢势
A ((x x ,, tt)) 4 4 0 1 r0 J r(x '(,x t', tc r )d c rV )d'V'
向外传播 向球心汇聚
参照 静电场： Q 4 0r
可设： f(tr) 1 Q(tr)
c 40 c
推迟势
验证在 r = 0 处， = f / r 是否满足原方程：
2c122t2 10Q(t)(r)
以原点为球心，作一小球面，半径 0，考察积分
V(2c12 t22)410Q(t rr/c)dV
0 ( 2c 1 2 t2 2)410Q (t rr/c)4r2dr
'A '
t
t
AA
对应同样的
E和B
t t
t
规范变换： (A,)
(A',')
一种规范 另一种规范
规范不变性：在规范变换下， E和B不变
3. D’Alembert 方程
(1) H B J ( D t A ) ( ( 真 A ) D 2A 0 E 空 ,0 JB 00 H 0 E ) t
和 A方程形式一致 —— 解的形式也相同
可先求解 ，再推广到 Ax，Ay，Az
2c12 2t2 10
点 ( x , 电 ) tQ ( t ) ( x 荷 )
球对称（与, 无关），选用球坐标（p.346/式 I.42）
2 r 1 2 r(r 2 r) r 2 s 1i n (s i) n r 2 s 1 2 in 22
D’Alembert 方程（库仑规范）
2 A c 1 2 2 tA 2 ( A c 1 2 t) 0 J
库仑规 2 范 ：c 1 2 2 t 2 tA ( 0 A c 1 2 t) 1 0
2 A c 1 2 2 tA 2 c 1 2 t 0 J
1 r
2u r 2
2 1 2u
t2 r t2
r2u2 c12 t2u2 0 一维波动方程
推迟势
标准一维波动方程：
2u 1 2u r2 c2 t2 0
解为： u(r,t)f(tr)g(tr)
c
c
式中 f, g 可以是任意函数 —— 由源 Q(t) 决定
(r,t)1f(tr)1g(tr)
r cr c
洛仑兹规范： A 10
c2 t
2A c12 2 tA 2 0J
2c12
2 1
t2
0
(1) 非齐次波动方程（J = 0, = 0 时，即为波动方程）
(2) 静态时（ / t = 0）即为泊松方程
(3) 和 Ax，Ay，Az 满足的方程，形式一样
§2. 推迟势
达朗伯方程线性 —— 解可叠加
可先求点源的解，再对源求和 / 积分
2 1 0
第二式简单（泊松方程，同静电）
第一式 A 和 都有，不能单独求解
D’Alembert 方程（洛仑兹规范）
2 A c 1 2 2 tA 2 ( A c 1 2 t) 0 J
2 c 1 2 2 t 2 t( A c 1 2 t) 1 0
0 第~ 二 2 0 项 , 第一Q 项 (tr)中 Q (t) c
积分 4Q (t)00(21r)dV4Q(t)0 0[4(r)]dV
推迟势
V(2c12 t22)410Q(t rr/c)dV4Q(t)0 0[4(r)]dV
010 Q(t)(r)dV
( 2 c 1 2 t2 2)4 10Q (t rr/c ) 1 0Q (t)(r)
P
电场和磁场 ,A E,B
推迟？
(x,t)~(x',tr)
c
t 时刻 P 点的势由源点在 t – r/c 时刻的电荷决定，并非同一时刻。
源点对场点的影响需要时间 r/c来传递，速度为 c 。
地球上今天看到某星的光，也许是它在几千年前发出的？
也许今天它已不存在？
§3. 电偶极辐射（简介）
A (x ,t)4 0 rJ (x ',tc r)dV '
t
( )0
B D 0 ( A )B 0 A ： A 矢势E：标势A t
E0 （E 不是保守场）
变化电磁场： 不再代表势能
与静电比较：
E
(
0 )
t
2. 规范变换和规范不变性
用 A 和 描述电磁场不唯一
A A ' A
A ' A A
'
t
(A ',')和 (A ,)
A (x ,t) A (x )e i t
B 410c3Reik pR n
A(x)
0eikR
p
4R
E 41 0c2Reik(c3R2
作业
推导真空中，洛仑兹规范下的达朗伯方程。
第五章 电磁波的辐射
§1. 电磁场的矢势和标势 §2. 推迟势 §3. 电偶极辐射（简介）
变化电流 J 辐射
电磁波 E, B
§1. 电磁场的矢势和标势
1. 用势描述电磁场 2. 规范变换和规范不变性 3. D’Alembert 方程
1. 用势描述电磁场
EB
A
(E A )0
H JtD
t
t
r1 2 r(r2 r)c 1 2 2 t 21 0Q (t)(r)
推迟势
在 r 0 处，（除点电荷所在的原点外）
r12r(r2r)c122t2 0 —— 波动方程
球对称，解不可能是平面波，而应是球面波
r 设： (r,t)1u(r,t)
r
r2r r2(1rurru2)
r
u r
u
r1 2 r(r2 r)r1 2( u rr r 2u 2 u r)