2013年中考数学解题方法及提分突破训练：面积法专题

解题方法及提分突破训练：面积法专题

，那么点B′的坐标是（）

A. (-2,3)

B.(2，-3)

C.(3，-2)或(-2,3)

D.(-2,3)或(2，-3)

3．（2012 呼和浩特）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为cm．Array

4.（2012•潍坊）如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连接EC、BD．

（1）求证：△ABD∽△ACE；

（2）若△BEC与△BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状

二名词释义

平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。面积问题主要涉及以下两部分内容：

（一）怎样证明面积相等。以下是常用的理论依据

1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。

2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。

3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。

4.同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。

同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。

5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。

1

6.三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的

4

1

7.三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的

4

8.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。

（二）用面积法解几何问题（常用的解题思路）

1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。

2.作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。

3.利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。

4.还可以利用面积解决其它问题。

三典题示例

（一）怎样证明面积问题

1. 分解法

例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：△DEF的面积＝2△ABC的面积。

分析：从图形上观察，△DEF可分为三部分，其中①是△ADE，它与△ADB同底等

③三是△AEF，只要再证出它与△ABC的面积相等即可

由S△CFE＝S△CFB

故可得出S△AEF＝S△ABC

证明：∵AD//BE//CF

∴△ADB和△ADE同底等高

∴S△ADB＝S△ADE

同理可证：S△ADC＝S△ADF

∴S△ABC＝S△ADE+S△ADF

又∵S△CEF＝S△CBF

∴S△ABC＝S△AEF

∴S△AEF+S△ADE+S△ADF＝2S△ABC

∴S△DEF＝2S△ABC

2. 作平行线法

例2. 已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点

分析：由M为腰BC的中点可想到过M作底的平行线MN，则MN为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h

证明：过M作MN//AB

∵M为腰BC的中点

∴MN是梯形的中位线

设梯形的高为h

（二）用面积法解几何问题

1. 用面积法证线段相等

例1. 已知：如图1，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E。

求证：CF=BE。

图1

证明：连结EC，由BD=DC得，

，

两式两边分别相加，得

故

所以BE=CF。

注：直接由得

更简洁。

2. 用面积法证两角相等

例2. 如图2，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。求证：∠AOC=∠BOC。

图2

证明：过点C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分别为P、Q。

因为△ACD、△BCE都是等边三角形，

所以AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，

所以∠ACE=∠DCB

所以△ACE≌△DCB

所以AE=BD，

可得CP=CQ

所以OC平分∠AOB

即∠AOC=∠BOC

3. 用面积法证线段不等

例3. 如图3，在△ABC中，已知AB>AC，∠A的平分线交BC于D。

求证：BD>CD。

图3

证明：过点D分别作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F

设BC边上的高为h。

因为∠BAD=∠DAC

所以DE=DF

因为

且AD>AC

所以

即

所以BD>CD

4. 用面积法证线段的和差

例4. 已知：如图4，设等边△ABC一边上的高为h，P为等边△ABC内的任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。

求证：PE+PF+PD=h。

图4

证明：连结PA、PB、PC

因为，

又

所以。

因为△ABC是等边三角形

所以

即PE+PF+PD=h

5. 用面积法证比例式或等积式

例5. 如图5，AD是△ABC的角的平分线。

求证：。

图5

证明：过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。因为AD是△ABC的角的平分线，

所以DE=DF，

则有。

过A点作AH⊥BC，垂足为H，

则有