特殊平行四边形拓展提高题

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《特殊平行四边形》拓展练习

（2）若 CD=8，CF=4，求 CE 的值． DE
5．如图 1，点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点，分别延长 OD 到点 G，OC 到点 E，使 OG=2OD， OE=2OC，然后以 OG、OE 为邻边作正方形 OEFG，连接 AG，DE．
（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 α 角（0°＜α＜360°）得到正方形 OE′F′G′，如图 2． ①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求 α 的度数； ②若正方形 ABCD 的边长为 1，在旋转过程中，求 AF′长的最大值和此时 α 的度数，直接写出结果不必说明理由．
．
2．如图，正方形 ABCD 的边长为 4+ 2 2 ，点 E 在对角线 BD 上，且∠BAE=
足为点 F，则 EF 的长是
，EF⊥AB，垂
3．已知△ABC 是等边三角形，D 是 BC 边上的一个动点（点 D 不与 B，C 重合）△ADF 是以 AD 为边的等边三角形，过点 F 作 BC 的平行线交射线 AC 于点 E，连接 BF．
（1）如图 1，求证：△AFB≌△ADC；（2）请判断图 1 中四边形 BCEF 的形状，并说明理由；（3）若 D 点在 BC 边的延长线上，如图 2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗? 如果成立，请说明理由．
4．如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将该矩形沿 AE 折叠，使点 D 落在边 BC 上的点 F 处，过点 F 作分、FG∥CD，交 AE 于点 G 连接 DG．（1）求证：四边形 DEFG 为方式进行折叠：①翻折纸片，使 A 与 DC 边的中点 M 重合，折痕为 EF；②翻折纸片，使 C 落在 ME 上，点 C 的对应点为 H，折痕为 MG；③翻折纸片，使 B 落在 ME 上，点 B 的对应点恰与 H 重合，折痕为 GE．

(完整版)平行四边形与特殊平行四边形(专题讲练与提升)(含答案)

平行四边形与特别平行四边形（专题与提高）一、平行四边形的性质例 1、如图，在ABCD 中，各内角的均分线分别订交于点E， F ，G，H .(1)求证：△ABG≌△CDE ；(2)猜一猜：四边形 EFGH 是什么样的特别四边形？证明你的猜想；(3)若 AB=6，BC=4 ，∠ DAB=60°，求四边形 EFGH 的面积。

变式练习1、如图，在平行四边形ABCD中，E. F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF ⊥BC ，垂足为 F， AF 与 CE 订交于点 G.(1)证明：△ CFG ≌△AEG.(2)若 AB=4，求四边形 AGCD 的对角线 GD 的长。

2、如图，在平行四边形ABCD中，点M、N分别在线段DA、BA的延伸线上，且BD =BN =DM ，连结 BM 、 DN 并延伸交于点 P.12∠ C；(1)求证：∠ P=90°-(2)当∠ C=90°， ND=NP 时，判断线段 MP 与 AM 的数目关系，并赐予证明。

二、平行四边形的判断例 2、如图，分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边 AB 向外作等边三角形ACD 及等边三角形 ABE，已知∠ BAC =30°， EF⊥ AB 于点 F ，连结 DF .(1)求证： AC=EF；(2)求证：四边形 ADFE 是平行四边形。

变式练习1、2、如图，在平面直角坐标系 xOy，直线 y=x+1 与 y=-2 x+4 交于点 A，两直线与 x 轴分别交于点 B 和点 C，D 是直线 AC 上的一个动点，直线 AB 上能否存在点 E，使得以 E， D ，O， A 为极点的四边形是平行四边形?若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明原因。

三、三角形中位线定理例 3、(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是AD，BC的中点，连结FE 并延伸，分别与BA， CD 的延伸线交于点M， N.求证：∠ BME=∠ CNE； (提示：取BD 的中点 H ,连结 FH ， HE 作协助线 )(2)如图 2，在△ ABC 中， F 是 BC 边的中点， D 是 AC 边上一点， E 是 AD 的中点，直线FE 交 BA 的延伸线于点G，若 AB=DC=2 ，∠ FEC =45 °，求 FE 的长度。

部编数学八年级下册考前必做30题之特殊的平行四边形小题培优提升(压轴篇八下册人教)2023复习含答案

2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】专题6.4考前必做30题之特殊的平行四边形小题培优提升（压轴篇，八下人教）一、单选题1．（2022春·广东河源·八年级校考期末）已知菱形的周长等于40cm，两对角线的比为3:4，则对角线的长分别是（）A．12cm，16cm B．6cm，8cmC．3cm，4cm D．24cm，32cm【答案】A【分析】根据菱形的周长可以计算菱形的边长，因为菱形的对角线互相垂直，所以△ABO为直角三角形，设菱形的对角线长为2x、2y,则x:y＝3:4，且在Rt△ABO中，x2＋y2＝102，求得x、y即可解题．【详解】解：如下图所示，菱形的周长为40cm,则菱形的边长为10cm,菱形的对角线互相垂直，所以△ABO为直角三角形，设菱形的对角线长为2x、2y,则x:y＝3:4，在Rt△ABO中，x2＋y2＝102解得x＝6cm，y＝8cm,故对角线长为12cm，16cm．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，菱形各边长相等的性质，菱形对角线互相垂直平分的性质，本题中根据x、y的关系式求x、y的值是解题的关键．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，DB=8，AE⊥BC于点E，则AE=（）A．6B．8C．245D．485【答案】C3．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（）A．6B．5C．6013D．6012在矩形ABCD中，AB=5,BC4．（2023春·八年级单元测试）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=6，则四边形EFGH的面积是（）A．34B．36C．40D．1005．（2022秋·山东聊城·八年级校联考阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，DM=1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（）A．3B．4C．5D．6则BM的长即为DN+∵四边形ABCD是正方形，∴AC是线段BD的垂直平分线，6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形C．如果AD=EF，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形7．（2023春·八年级单元测试）如图，E、F、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD上的点，连接DF，HE，且HE=DF，DG平分∠ADF交AB于点G．若∠BEH=52°，则∠AGD的度数为（）A．26°B．38°C．52°D．64°【答案】D【分析】过点H作HM⊥AB，由正方形的性质BC=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，AD∥BC，四边形BCHM为矩形，利用HL易证得△HEM≌△DFC，可得∠BEH=∠DFC=52°，进而可得∠ADF=∠DFC=52°，由角平分线可得的∠ADG度数，即可求得得∠AGD度数．【详解】解：过点H作HM⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，AD∥BC∵HM⊥AB，则四边形BCHM为矩形，∴MH=BC=DC，∵HE=DF，∴△HEM≌△DFC（HL），∴∠BEH=∠DFC=52°，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC=52°，又∵DG平分∠ADF，8．（2023春·八年级单元测试）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，甲、乙两人有如下结论：甲：若四边形ABCD是边长为1的正方形，则四边形PQMN必是正方形；乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是边长为1的正方形．下列判断正确的是（）A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确【答案】D【分析】根据AB=BC=CD=AD=1，求出AQ和AP的值，根据勾股定理求出PQ的值，即可判断甲是否正确，若平行四边形PQMN为正方形，根据边的关系可以求出AB=CD=AD=BC=1且四个角都是直角，即可判断乙是否正确．【详解】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴AB=BC=CD=AD=1，∠BAD=90°，∴AQ=4−1=3，AP=3+1=4，∠PAQ=90°，∴P Q2=A Q2+A P2=25，∴PQ=5，同理MN=5，∴四边形PQMN是菱形，在△QMD和△PQA中，MQ=QPMD=QA，DQ=AP∴△QMD≌△PQA(SSS)，∴∠MQD=∠APQ，∵∠AQP+∠QPA=90°，∴∠AQP+∠MQD=90°，∴∠MQP=90°，则四边形PQMN必是正方形；∴甲正确；若四边形PQMN为正方形，则PQ=PN=MN=MQ=5，且∠QMD+∠MQD=∠QAP=∠AQP+∠QPA=90°，在△QMD和△PQA中，∠QMD=∠AQPMQ=PQ，∠MQD=∠QPA∴△QMD≌△PQA(ASA)，∴QD=AP=4，同理QD=AP=MC=BN=4，又∵BP=MD=AQ=3，∴QD−AD=PA−AB，∴AB=AD=1，同理AB=CD=AD=BC=1，即四边形ABCD为菱形，∵∠DAB=180°−∠QAP=90°，则四边形ABCD必是边长为1的正方形，∴乙正确，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．9．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上的两个动点，且PQ=2，当BP=（）时，四边形APQE的周长最小．A．3B．4C．5D．【答案】B【分析】在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过F 点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，此时四边形APQE的周长最小，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，先求出∠CEQ=45°，得出CE=CQ=2，设BP=x，则CQ=BC−BP−PQ=8−x−2=6−x，列出关于x的方程，解方程即可．【详解】解：如图，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过F点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，此时四边形APQE的周长最小，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=8，DC=AB=4，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=90°，∴DF=AD−AF=8−2=6，∵E为CD边的中点，∴CE=DE=2，∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∴GH=EH，∵∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，∵在△CQE中，∠QCE=90°，∴∠QEC=90°−45°=45°，∴∠EQC=∠CEQ，∴CE=CQ=2，设BP=x，则CQ=BC−BP−PQ=8−x−2=6−x，∴6−x=2，解得：x=4，即BP=4时，四边形APQE的周长最小，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，找出使四边形APQE的周长最小时，点P的位置．10．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE=FG；②DE⊥FG；③∠BFG=∠ADE；④FG的最小值为2．其中正确结论的序号为（）A．①②B．②③C．①②③D．①②③④∵EF ⊥AB ，EG⊥BC ，∴∠EFB =∠EGB =90°．∵∠ABC =90°，∴四边形EFBG 为矩形．∴FG =BE ，OB =OF =OE =OG ．∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD ，∠BAC =∠DAC =45°．在△ABE 和△ADE 中，AE ＝AE ∠BAC ＝∠DAC AB ＝AD，∴△ABE≅△ADE ．∴BE =DE ．∴DE =FG ．∴①正确；②延长DE ，交FG 于M ，交FB 于点H ，∵△ABE≅△ADE ，∴∠ABE =∠ADE ．由①知：OB =OF ，∴∠OFB =∠ABE ．∴∠OFB =∠ADE ．∵∠BAD =90°，∴∠ADE +∠AHD =90°．∴∠OFB +∠AHD =90°．即：∠FMH =90°，11．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AB =6，BC =8，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE +EF 的值为（）A ．485B ．325C ．245D ．125【答案】C【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD 的面积为12，再根据S △AOD =S △AOE +S △DOE ，即可得到EO +EF 的值．12．（2023春·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB=CD，下列结论：①四边形EFGH是菱形；②EG⊥FH；③若∠BAD+∠ADC=245°，则∠EFH=27.5°；④EG=1(BC−AD)；其中正确的个数是（）2A．1个B．2个C．3个D．4个∴EF =FG =GH =HE ，∴四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是菱形，故①正确；∴EG ⊥FH ，故②正确；∵∠BAD +∠ADC =245°，∴∠ABC +∠DCB =115°，∵AB∥FG ，CD∥EF ，∴∠CFG =∠ABC ，∠EFB =∠DCB ，∴∠CFG +∠EFB =115°，∴∠EFG =180°−(∠CFG +∠EFB )=65°，∴∠EFH =12∠EFG =32.5°，故③错误；当AD∥BC ，如图所示：E ，G 分别为BD ，AC 中点，∴连接CD ，延长EG 到CD 上一点N ，∴EN =12BC ，GN =12AD ，∴EG =12(BC−AD)，只有AD∥BC 时才可以成立，而本题AD 与BC 很显然不平行，故④错误．综上所述，①②共2个正确．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB =CD 判定四边形EFGH 是菱形是解答本题的关键．13．（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH 的度数恰好为90°，PF =4，PH =3，则矩形ABCD 的边BC 的长为( )A．10B．11C．12D．1514．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考开学考试）如图，在长方形ABCD中，点E是CD 上一点，连接AE，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上的点F处．若AB=9，CE=4，则折痕AE的长度为（）A．B．C．D．15．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图：E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE =BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ +PR 的值是（）A B ．12C D ．2316．（2023秋·湖南永州·八年级统考期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF，其中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】D【分析】根据正方形的性质可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得∠ABF=∠DAE，然后证明∠ABF+∠BAO=90°，再得到∠AOB=90°，从而得出AE⊥BF，判断②正确；假设AO=OE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=BE，再根据直角三角形斜边大于直角边可得BE>BC，即BE>AB，从而判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得S△ABF=S△ADE，然后都减去△AOF的面积，即可得解，从而判断④正确．【详解】解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，∵CE=DF，∴AD−DF=CD−CE，即AF=DE，在△ABF和△DAE中，AB=AD∠BAF=∠D=90°，AF=DE∴△ABF≅△DAE(SAS)，∴AE=BF，故①正确；∵∠DAE+∠BAO=90°，∠ABF+∠BAO=90°，∴∠ABF=∠DAE，在△ABO中，∠AOB=180°−(∠ABF+∠BAO)=180°−90°=90°，∴AE⊥BF，故②正确；假设AO=OE，∵AE⊥BF（已证），∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE>BC，∴AB>BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；∵△ABF≅△DAE，∴S△ABF=S△DAE，∴S△ABF−S△AOF=S△DAE−S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF，故④正确；综上所述，正确的结论是①②④．故选：D．【点睛】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，求出△ABF≅△DAE全等是解题的关键，也是本题的突破口．17．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，AC=a,BD=b．以AC为底向下作等腰直角三角形ACE，以BD为底向上作等腰三角形BDF，且FB=FD=5BD．连接AF,DE，当6BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，则a与b需满足（）A ．a =43bB ．a =65bC ．a =53bD ．a =∵△ACE 是等腰直角三角形，且∴EM =12AC =a 2，∵△BDF 是等腰三角形，且18．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，正方形ABCD中，P为CD上一点，线段AP的垂直平分线MN交BD于N，M为垂足，交正方形的两边于E、F，连接PN，则下列结论：①∠APN=45°；②PC=；③∠DNF=∠DAP；④MN=MF+NE，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④∵∠KGN=∠NHE=90°，∴△KGN≌△NHE(AAS)，∴NE=NK，∴MN=MF+NE，故④正确；故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质；本题难度较大，综合性强，特别是需要通过作辅助线证明三角形全等．19．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH=GH，则CM的长为（）A．12B．34C．1D．54【答案】D【分析】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，利用已知条件和正方形的性质得到△ABF为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到△MCF为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和平行线分线段成比例定理解答即可得出结论．【详解】解：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，如图，20．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n．下列结论正确的是（）．①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7．④四边形A n B n C n D n面积为a2−b2nA．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④【答案】A【分析】根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对选项作出分析判断：①②根据三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理、菱形和矩形的判定与性质作出判断；③根据三角形的中位线定理和四边形周长公式作出判断；④找到每得到的四边形与原四边形面积关系规律，即可求得四边形A n B n C n D n的面积．【详解】解：①连接A1C1，B1D1，∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC，∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；∵AC⊥BD，∴A1B1⊥A1D1，∴四边形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1=A1C1（矩形的两条对角线相等）；∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（三角形的中位线定理），∴四边形A2B2C2D2是菱形；∴四边形A3B3C3D3是矩形；【点睛】本题是一道规律题，考查了中点四边形、平行四边形的判定、三角形的中位线定理、菱形和矩形的判定与性质，解题的关键是理清题意，熟练并灵活运用所学知识点解题．二、填空题21．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，连接OE．下列结论：①△ODC是等边三角形；②CD=BE；③BC=2AB；④S△AOE=S△COE．其中正确的有______（填序号）．∴S△AOE=S△COE，故④正确；综上所述，正确的结论是①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．22．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB=2,∠BAD=60°，则EF的最小值为_______．∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=30°，∴AC⊥BD，∠CAB=12∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°，23．（2023春·八年级单元测试）菱形ABCD的边长为2，∠DAB=30°，点P、Q分别是AC、AB上的动点，BP+PQ的最小值为______【答案】1【分析】连接AB，作DE⊥AB于E，利用SAS证明△ADP≌△ABP，得DP=BP，当点D、P、Q共线，BP+PQ 的最小值为DE的长，再求出DE的长即可．【详解】解：连接AB，作DE⊥AB于E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=2，∠DAP=∠BAP，∵AP=AP，∴△ADP≌△ABP（SAS）∴DP=BP，则：BP+PQ=DP+PQ，24．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校仙林分校校考开学考试）如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上任一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当CE的长为___________时，△CE B′恰好为直角三角形．连接AC，在Rt△ABC中，AB=3，∴AC=AB2+BC2=5∵∠B沿AE折叠，使点B落在点此时四边形ABEB′为正方形，∴BE=AB=3，∴CE=BC−BE=4−3=1，综上所述：CE=1或52故答案为：1或5．25．（2021春·浙江杭州·八年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上(不与点C，D重合)，AE 交对角线BD于点G，GF⊥AE交AE于点G．(1)若AB=10，BF=4，线段AF的长度为___________．(2)连接AF，EF，若AF=AE，正方形ABCD与△CEF的面积之比___________．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABF=90°,∵AB=10，BF=4，∵四边形ABCD是正方形，∵AG=GF，AG⊥GF，∴∠EAF=45°，∵AE=AF，AB=AD，26．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD边上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范为3≤BF≤4；③EF=2DE；④当点H与点A重合时，EF=________．【答案】①②④【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；②点H与点A重合时，设BF=x,表示出AF=FC=8−x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出②正确；③假设EF=2DE，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH，判断出③错误；④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．【详解】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF=FH，∴四边形CFHE是菱形，故①正确；则ME=(8−3)−3=2，27．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，且∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．若正方形边长是8，EC=2，则FC的长为____．28．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件__________．29．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）已知，如图，四边形ABCD中，AD=6，CD=8，∠ADC=90°，AC，∠BAD+∠BDC=180°，则B C2的值为__．点M是AC的中点，连接BM，若BM=12∵∠ADC=90°，AD=6，∴AC=62+82=10，∵点M是AC的中点，∴MD=MC=5，30．（2022春·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学校考期中）为庆祝建党90周年，美化社区环境，某小区要修建一块艺术草坪．如图，该草坪依次由部分互相重叠的一些全等的菱形组成，且所有菱形的较长的对角线在同一条直线上，前一个菱形对角线的交点是后一个菱形的一个顶点，如菱形ABCD、EFGH、CIJK…，要求每个菱形的两条对角线长分别为4m和6m．（1）若使这块草坪的总面积是39m2，则需要___个这样的菱形；（2）若有n个这样的菱形（n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积是___m2．【答案】 4 (9n+3)【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直平分，可分别作出四个满足条件的菱形，另外菱形重合的部分也是菱形，并且这些小菱形的对角线分别为2，3，结合菱形的面积=对角线×另一条对角线÷2，即可求出图形的面积和需要的菱形个数；（2）由（1）可知若有n个这样的菱形(n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积．【详解】解：（1）∵每个菱形的两条对角线长分别为4和6．∴小菱形的对角线分别为2，3，∵菱形的面积=对角线×另一条对角线÷2，∴占地面积为4×6÷2×n−3×2÷2×(n−1)=39，∴n=4，∴则需要4个这样的菱形；（2）当有一个这样的菱形，则草坪的面积为4×6÷2=12=9×1+3，当有2个这样的菱形，则草坪的面积为4×6×2÷2−2×3÷2=21=9×2+3，…依此类推若有n个这样的菱形(n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积是(9n+3)．故答案为：4；(9n+3)．【点睛】本题考查了菱形的性质和菱形的面积公式，掌握菱形的性质和菱形的面积公式是解题的关键．。

八年级数学第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷 (31)(含解析)

第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷 (31)一、单选题1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．两组对角分别相等2．如图，在ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，16BC =，F 是线段DE 上一点，连接AF 、CF ，4DE DF =，若90AFC ∠=︒，则AC 的长度是（）A ．6B ．8C ．10D ．123．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D 是AB 的中点，E 是BC 的中点，EF ⊥CD 于点F ，则EF 的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．1254．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，AE ⊥BC ，垂足是E ，若线段AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为（）A ．12B ．16C ．20D ．24二、解答题 5．如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，30B ，CE 垂直于AB 于点E ，D 是AB 的中点．（1）求证：AE ED =；（2）若2AC =，求DE 的长．6．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE ．点F 是DE 的中点，连接CF ．（1）求证：CF AF =；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰直角三角形．7．如图，四边形ABCD 是平行四边形，//DE BF ，且分别交对角线AC 于点E ，F ，连接,BE DF ．若BE DE =，求证：四边形EBFD 是菱形．8．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE //BC ，过点D 作DE //AB ，DE 与AC ，AE 分别交于点O ，E ，连接EC ．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若AB ＝AO ，OD ＝1，则菱形ADCE 的周长为．9．如图，在Rt∆ABC 中，∠ACB ＝90°，AC 的垂直平分线交AB 于点E ，连接CE ，BF//CE 交DE 的延长线于点F ．（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；（2）当∠A 满足什么条件时，四边形BCEF 是菱形？回答并证明你的结论．10．如图，长方形OBCD 的OB 边在x 轴上，OD 边在y 轴上，OB=15，OD=9，在BC 上取一点E ，使△CDE 沿DE 折叠后，点C 落在x 轴上，记作点F ．（1）求点F 的坐标；（2）求点E 的坐标．11．如图，在ABC 中，90,3,4BAC AB AC ︒∠===，点D 是BC 的中点，将ABD △沿AD 翻折得到AED ，联结CE ．（1）求证：//AD CE ；（2）求CE 的长．12．（1）将一张长方形纸片按如图1所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，求CBD ∠的度数；（2）将一张长方形纸片按如图2所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，若115CBD ∠=︒，求A BE ∠'（3）将一张长方形纸片按如图3所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，若CBD α∠=，求A BE '∠'的度数（用含α的式子表示）13．如图，以锐角△ABC 的边AC 、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，连结BE 、CF ．（1）求证：△FAC ≌△BAE ；（2）图中可以通过旋转△BAE 而得到△FAC ，请你说出旋转中心、旋转方向和旋转角的度数．14．已知ABCD 中，点E 在BC 延长线上，连接DE ，180A E ∠+∠=︒（1）如图1，求证：CD DE =；（2）如图2，过点C 作BE 垂线，交于AD 于点F ，求证3BE AF DF =+；（3）如图3，在（2）的条件下，ABC ∠的平分线，交CD 于G ，交CF 于H ，连接FG ，若45FGH ∠=︒，8=CF ，3FD =，求BE 的长．15．如图，矩形ABCD 中，EF 垂直平分对角线BD ，垂足为O ，点E 和F 分别在边AD ，BC 上，连接BE ，DF ．（1）求证：四边形BFDE 是菱形；（2）若AE ＝OF ，求∠BDC 的度数．16．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF平分∠DAB．17．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．（1）求证：AE=EF；（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3．将△ACD沿对角线AC翻折得到△ACD′，CD′交AB于点F．（1）判断△ACF的形状，并证明；（2）直接写出线段AF的长．三、填空题19．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD AD 的中点，连接,,,AF BG CH DE ，得到一个新的四边形,MNPQ 则四边形MNPQ 的面积为 _____________．20．在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的顶点坐标为，则顶点C 的坐标为________． 21．如图，两个长宽分别为7cm 、3cm 的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是________．22．正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，则∠EAF 的度数是_______．23．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，连接DF ，CF ，则DF CF 的最小值______．24．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，如果EF ＝5，那么菱形ABCD 的周长_____．25．在△ABC 中，点G 是重心，∠BGC =90°，BC =8，那么AG 的长为____．26．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，H 为BC 中点，AC ＝6，BD ＝8，则线段OH 的长为_____．27．如图，四边形ABCD 是正方形，AB ＝1，以AB 为对角线作第二个正方形AEBF ，以EB 为对角线作第三个正方形EGBH ，以此类推，则第n 个正方形的面积是_______ ．28．如图，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处，若∠EFB ＝60°，则∠CFD ＝_____．29．如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，P 是AC 上的一个动点，过点P 分别作AB 和BC 的垂线，垂足分别是点F 和E ，若菱形的周长是12cm ，面积是6cm 2，则PE +PF 的值是_____cm ．30．如图所示，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b ，两条对角线相交于点O ，OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形1OBB C ，对角线相交于点1A ，以为11A B 、1AC邻边作第2个平行四边形111A B C C ，对角线相交于1O ；再以11O B 、11O C 为邻边作第3个平行四边形1121O B B C ……此类推，第2020个平行四边形的面积__________．【答案与解析】1．B【解析】矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分，互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，据此解答．A 、是菱形的性质，是矩形的性质，故本选项不符合题意；B 、是矩形的性质，不是菱形的性质，故本选项符合题意；C 、是菱形的性质，不是矩形的性质，故本选项不符合题意；D 、矩形、菱形的对角都相等，故本选项不符合题意；故选：B ．此题考查矩形的性质，菱形的性质，熟记各自的性质特征是解题的关键．2．D【解析】先证得DE 是△ABC 的中位线，求出DE=8，及EF=6，再根据90AFC ∠=︒证得AC=2EF 求出答案．∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE=12BC=8， ∵4DE DF =，∴DF=2，EF=6，∵90AFC ∠=︒，AE=CE ，∴AC=2EF=12，故选：D ．此题考查三角形中位线的判定及性质定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，熟练掌握各定理并运用解决问题是解题的关键．3．D【解析】根据勾股定理得出AB ，进而利用直角三角形的性质得出：BD=DC=AD=5，利用三角形面积公式解答即可．∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴10AB ==，∵D 是AB 的中点，∴BD=DC=AD=5，1116812222BDC BAC SS ==⨯⨯⨯=，连接DE ，∵E 是BC 的中点， ∴162DEC BDC S S ==， ∵115622DEC S DC EF EF ==⨯⨯= ∴125EF = 故选：D ．本题主要考查的是勾股定理，直角三角形斜边上的中线，关键是根据勾股定理解出AB ，进而利用直角三角形的性质解答．4．B【解析】延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，构造出全等三角形，()ABE ADF AAS ≅，即可得到四边形ABCD 的面积就等于正方形AECF 的面积．解：如图，延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，∵AE BC ⊥，∴90AEC AEB ∠=∠=︒，∵AF CD ⊥，∴90AFC ∠=︒，∵90C ∠=︒，∴四边形AECF 是矩形，∴90EAF ∠=︒，∵BAD EAF ∠=∠，∴BAD EAD EAF EAD ∠-∠=∠-∠，即BAE DAF ∠=∠，在ABE △和ADF 中，BAE DAF AEB AFD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADF AAS ≅，∴AE AF =，∴四边形AECF 是正方形，∵ABE ADF S S ，∴216ABCD AECF S S AE ===．故选：B ．本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．5．（1）见解析；（2）１．【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质解得CD=BD ，得到30DCB B ==︒∠∠，继而得到60ADC A ∠=∠=︒再根据等腰三角形的判定推出AC=CD ，最后根据等腰三角形的性质解题；（2）先解得30ACE ∠=︒，根据含30°角的直角三角形的性质解得AE 的长，即可解题．（1）证明：在ABC 中，90ACB ︒∠=，D 是AB 的中点，12CD AD BD AB ∴===DCB B ∴∠=∠ 30,90B ACB ∠=︒∠=︒30,180903060DCB A ∴∠=︒∠=︒-︒-︒=︒60ADC B DCB ∴∠=∠+∠=︒A ADC ∴∠=∠AC DC ∴=CE 垂直AB 于点EAE ED ∴=；（2）CE AB ⊥90AEC ∴∠=︒60A ∠=︒30ACE ∴∠=︒12AE AC ∴= 2,AC AE DE ==1DE AE ∴==．本题考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线、含30°角的直角三角形、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 6．（1）见解析；（2）△ABC ， △ADE ，△ADF ，△AFE【解析】（1）根据90BAC DAE ∠=∠=︒得到BAD CAE ∠=∠再根据已知条件求证ABD ACE ABD ACE ∠=∠≌，再根据题意得∠ABD=∠ACE=45°，进而得到△DCE 为直角三角形，再由点F 是DE 的中点得到CF=AF ；（2）根据等腰直角三角形的性质和定义结合第一问即可得到结果．（1）证明：∵90BAC DAE ∠=∠=︒∴BAC CAD DAE CAD ∠-∠=∠-∠即BAD CAE ∠=∠∵AB AC =，AD AE =∴ABD ACE △≌△，∴ABD ACE ∠=∠∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠∵90BAC ∠=︒∴90ABC ACB ∠+∠=︒，∴45ABC ACB ∠=∠=︒∴45ABD ACE ∠=∠=︒∴90DCE ACB ACE ∠︒=∠+∠=∵点F 是DE 的中点，90DAE DCE ∠=∠=︒ ∴12AF DE =，12CF DE = ∴CF AF =（2）图中所有的等腰直角三角形是：ABC ，ADE ，ADF ，AFE △；此题属于三角形旋转类综合性问题，涉及知识点为三角形全等，直角三角形斜边上的中线为斜边的一半．7．见解析【解析】根据平行四边形的性质，可以得到AD=CB ，AD ∥CB ，从而可以得到∠DAE=∠BCF ，再根据DE ∥BF和等角的补角相等，从而可以得到∠AED=∠CFB ，然后即可证明△ADE 和△CBF 全等，从而可以得到DE=BF ，再根据DE ∥BF ，即可得到四边形EBFD 是平行四边形，再根据BE=DE ，即可得到四边形EBFD 为菱形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=CB ，AD ∥CB ，∴∠DAE=∠BCF ，∵DE ∥BF ，∴∠DEF=∠BFE ，∴∠AED=∠CFB ，在△ADE 和△CBF 中，DAE BCF AED CFB AD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CBF （AAS ），∴DE=BF ，又∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BE=DE，∴四边形EBFD为菱形．本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．8．（1）见解析；（2）【解析】（1）先证四边形ABDE为平行四边形，再证得AE＝CD，得四边形ADCE是平行四边形，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得AD＝CD，即可得出结论；（2）先由菱形的性质得AD＝AE＝CE＝CD，AC⊥DE，OA＝OC，再证OD是△ABC的中位线，得AB＝2OD＝2，则AO＝AB＝2，然后由勾股定理求出AD的长即可解决问题．解：（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，∴AD＝12BC＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵四边形ADCE是菱形，∴AD＝AE＝CE＝CD，AC⊥DE，OA＝OC，∵BD＝CD，∴OD是△ABC的中位线，∴AB＝2OD＝2，∴AO＝AB＝2，∴AD∴菱形ADCE 的周长＝4AD ＝故答案为：本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识；证得四边形ADCE 为菱形是解题的关键．9．（1）证明见解析；（2）30A ∠=︒，证明见解析【解析】（1）先根据垂直平分线和直角证得DF//BC ，再结合BF//CE ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；（2）根据有一组临边相等的平行四边形是菱形，所以需添加的条件能证明有一组临边相等据此作答．解：（1）证明：∵DF 垂直平分AC ，90ACB ∠=︒，∴DF//BC ，又∵BF//CE ，∴四边形BCEF 是平行四边形；（2）当30A ∠=︒时，四边形BCEF 是菱形，理由是：∵DF 垂直平分AC ，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，∴EA=EC ，1903060∠=︒-︒=︒，∴230A ∠=∠=︒，即3903060∠=︒-︒=︒，∴∆BCE 是等边三角形，∴BC=EC ，由（1）得四边形BCEF 是平行四边形，∴四边形BCEF 是菱形．本题考查菱形的判定定理，平行四边形的判定定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握判定定理，并能结合题意选择合适的定理证明是解题关键．10．（1）点F(12，0)；（2）点E(15，4) ．【解析】（1）由四边形OBCD 是长方形可得CD=OB=15、BC=OD=9、∠DOB=∠OBC=900，由折叠的性质可得DF=CD=15，然后运用勾股定理求得OF ，即可确定F 点的坐标；（2）运用线段的和差可得BF=OB-OF=3，再由折叠的性质可得CE=EF, 设BE=x ，则CE= =9-x ，然后运用勾股定理求得x 即可解答．解：（1）∵四边形OBCD 是长方形∴CD=OB=15，BC=OD=9，∠DOB=∠OBC=900由折叠△CDE 得△FDE 可知：DF=CD=15∴12OF∴点F （12，0）；（2）由（1）得OF=12∴BF=OB-OF=15-12=3由折叠可知：CE=EF设BE=x ，则CE=EF=BC-BE=9-x∴()22293x x -=+，解得x=4∴点E （15，4）．本题主要考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理的应用，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（1）见解析；（2）75 【解析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AD CD BD ==，再由折叠的性质得BD ED =，ADE ADB ∠=∠，再由外角和定理得DCE DEC EDB ADE ADB ∠+∠=∠=∠+∠，则DEC ADE ∠=∠，即可证明结论；（2）利用勾股定理求出BC 的长，由（1）得1522AD BC ==，设DF x =，则52AF x =-，在Rt ABF 和Rt BDF 中，利用勾股定理列式求出x 的值，再根据中位线定理得到2CE DF =即可．解：（1）∵90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，∴AD CD BD ==，∵折叠，∴BD ED =，ADE ADB ∠=∠，∵CD BD ED ==，∴DCE DEC ∠=∠，∵DCE DEC EDB ADE ADB ∠+∠=∠=∠+∠，∴22DEC ADE ∠=∠，即DEC ADE ∠=∠，∴//AD CE ；（2）∵90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，∴5BC =，由（1）知1522AD BC ==，设DF x =，则52AF x =-， ∵折叠，∴AD 是BE 的垂直平分线，在Rt ABF 和Rt BDF 中，222BF AB AF =-，222BF BD DF =-，∴2222AB AF BD DF -=-，即22525924x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得710x =， ∵D 、F 分别是BC 和BE 的中点， ∴725CE DF ==．本题考查折叠的性质，中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．12．（1）90°；（2）50°；（3）1802α︒-【解析】（1）由折叠的性质知ABC A BC ∠∠'=，EBD E BD '∠=∠，即可得到1902CBD ABE ∠=∠=︒；（2）由115CBD ∠=︒计算出18011565ABC EBD ∠+∠=︒-︒=︒，根据ABC A BC ∠∠'=，EBD E BD '∠=∠，即可求出答案；（3）由CBD α∠=求出180ABC EBD α∠+∠=︒-，根据ABC A BC ∠=∠'，EBD E BD '∠=∠计算得出180(2302)6ABA EBE αα''∠+∠=︒-⨯=︒-，再计算36021801802A BE αα''∠=︒--︒=︒-得出答案．（1）由折叠的性质知ABC A BC ∠∠'=，EBD E BD '∠=∠， ∴12A BC ABA '∠'=∠，12E BD E BE '∠'=∠， ∴1902CBD ABE ∠=∠=︒．（2）∵115CBD ∠=︒∴18011565ABC EBD ∠+∠=︒-︒=︒，∵ABC A BC ∠∠'=，EBD E BD '∠=∠，∴652130ABA EBE ''∠+∠=︒⨯=︒，∴18013050A BE ''∠=︒-︒=︒．（3）∵CBD α∠=∴180ABC EBD α∠+∠=︒-∵ABC A BC ∠=∠'，EBD E BD '∠=∠∴180(2302)6ABA EBE αα''∠+∠=︒-⨯=︒-∴36021801802A BE αα''∠=︒--︒=︒-．此题考查折叠的性质：折叠前后的对应角相等，角度的和差计算，掌握图形中各角度之间的位置及和差关系是解题的关键．13．（1）见解析；（2）以点A 为旋转中心，顺时针旋转90°得到△FAC ．【解析】（1）由题意利用正方形的性质得出∠FAC=∠BAE ，AF=AB ，AC=AE ，即可得出△FAC ≌△BAE ；（2）由题意根据旋转前后图形的关系得出旋转中心和旋转角的度数即可．证明：（1）∵四边形ABGF 和四边形ACDE 是正方形，∴AF ＝AB ，AC ＝AE ，∵∠BAF ＝∠CAE ＝90°，∴∠BAF+∠BAC ＝∠CAE+∠BAC 即∠FAC ＝∠BAE ，∵在△FAC 和△BAE 中，AF AB FAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FAC ≌△BAE （SAS ），（2）以点A 为旋转中心，顺时针旋转90°得到△FAC ．本题主要考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和正方形的性质等知识，根据已知得出∠FAC=∠BAE 是解题的关键．14．（1）证明见解析；（2）证明见解析（3）14【解析】（1）由平行四边形性质可得∠A＋∠DCE=180°，结合已知可得∠DCE=∠E，从而由等角对等边可得CD=DE；（2）过D作DG⊥CE于点G，则由题意可得CE=2CG=2DF，从而得到BE=BC+CE=3DF；（3）由已知可得∠CBG=∠BGC，进一步可得∠HFG=∠FGC，从而可得BC=CG=FC，进而得到BE的值．（1）证明：由题意得：∠A=∠BCD，∠BCD＋∠DCE=180°，∴∠A＋∠DCE=180°，∵∠A＋∠E=180°，∴∠DCE=∠E，∴CD=DE；（2）如图，过D作DG⊥CE于点G，则四边形FDGC为矩形，∴CG=DF，又由（1）可知△DCE是等腰三角形，∴CE=2CG=2DF，∴BE=BC+CE=AF+DF+2DF=AF+3DF；（3）如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABG=∠BGC，∵BG平分∠ABC，∴设∠ABG=∠CBG=∠BGC=α，∴BC=CG，∵∠FGH=45°，∴∠FGC=45°+α，∵∠BCF=90°，∴∠BHC=∠FHG=90°-α，∴∠HFG=45°+α=∠FGC，∴CG=FC，∴BC=FC=8，由（2）知CE=2DF=6，∴BE=BC+CE=8+6=14．本题考查平行四边形的综合运用，灵活运用平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质及有关角的性质是解题关键．15．（1）见解析；（2）60°．【解析】（1）首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可；（2）AE＝OF，四边形BFDE是菱形，BE=BF，可证△ABF≌△OBF, ∠ABF=∠OBF, ∠FBO=∠OBF, ∠OBF=30°，即可求解．证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴ AD∥BC,AD=BC,∴∠EDO=∠OBF,∵EF垂直平分BD,∴BO=DO,∠EOD=∠BOF=90°,∴△DEO=△BFO(ASA)∴OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形,又EF⊥BD,∴四边形EBFD是菱形;(2)∵四边形EBFD是菱形,∴ED=EB又AE＝OF，∠A=∠BOF∴△ABF≌△OBF∴∠ABF=∠OBF,∵∠FBO=∠OBF,∴∠ABF =∠FBO=∠OBF,∴∠OBF=30°∴∠BDC=60°．本题考查了菱形的性质和判定，掌握菱形的性质和判定是解题的关键．16．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据平行四边形的性质得出DF∥BE，根据平行四边形的判定得出四边形DEBF为平行四边形，再加上条件∠DEB=90，即可判定矩形；（2）根据矩形的性质求出∠BFC=90°，根据勾股定理求出BC，求出AD=DF，推出∠DAF=∠DFA，求出∠DAF=∠BAF，即可得出答案．证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF=BE，∴四边形DEBF为平行四边形又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF为矩形；（2）∵四边形DEBF为矩形，∴∠BFC=90°，RtΔBCF中CF=9，BF=12，∴=15，∴AD=BC=15，∴AD=DF=15，∴∠DAF=∠DFA，∵AB∥CD，∴∠FAB=∠DFA，∴∠FAB=∠DAF，∴AF平分∠DAB．本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．17．（1）见解析；（2）成立，理由见解析【解析】（1）取AB 的中点M ，连接ME ，利用ASA 证明△AME ≌△ECF ，可得AE=EF ；（2）在AB 上取一点E ，使AE=CM ，连接ME ，利用ASA 即可证明△AEM ≌△MCN ，然后根据全等三角形的对应边相等得出AM=MN ．（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，∵四边形ABCD 是正方形，AE ⊥EF ，∴∠1＋∠AEB=90°，∠2＋∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵BM=BE ，∠BME=45°，且∠FCG=45°，∴∠AME=∠ECF=135°，AM=CE ，在△AME 和△ECF 中，12AM CEAME ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AME ≌△ECF(ASA)，∴AE=EF ；（2）解：结论AM=MN 还成立．证明：在边AB 上截取AE=MC ，连接ME ．在正△ABC 中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC ．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-60°-（180°-∠B-∠MAE ）=∠MAE ，∵BE=AB-AE=BC-MC=BM ，∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．∵N 是∠ACP 的平分线上一点，∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°，在△AEM 与△MCN 中，MAE NMC AE MC AEM MCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEM ≌△MCN （ASA ），∴AM=MN ．本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质，同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 18．（1）等腰三角形，证明见解析；（2）258AF =．【解析】（1）由矩形的性质和折叠的性质，得到∠BAC ＝∠ACD'，然后得到AF=CF ，即可得到结论成立；（2）由题意，设AF=CF=x ，则BF=4-x ，利用勾股定理，即可求出答案．解：（1）△ACF 为等腰三角形，证明如下：∵ 矩形ABCD ，∴ AB ∥CD ．∴∠BAC ＝∠ACD ．又∵ △ACD 沿对角线AC 翻折得到△ACD'，∴ ∠ACD ＝∠ACD'．∴∠BAC ＝∠ACD'．∴ AF ＝CF ．∴△ACF 为等腰三角形（2）在Rt △BCF 中，设AF=CF=x ，则BF=4-x ，由勾股定理，则 222(4)3x x --=， ∴258x =，∴258 AF ．本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．19．12 5【解析】根据题意，采取割补法，将图中梯形补成与中间的平行四边形一样大小的平行四边形，并找到矩形ABCD与5个小平行四边形的面积关系，即可得出结论．解：如图所示，过A作AK∥DE，交CH的延长线于K，过B作BR∥AF，交DE的延长线于R，过C作CS∥BG，交AF的延长线于S，过D作DT∥CH，交BG的延长线于T，∵H是AD的中点，∴AH=DH，∵AK∥DP，∴∠K=∠DPH，又∵∠AHK=∠DHP，∴△AKH≌△DPH（AAS），∴S△AKH=S△DPH，同理可得，S△BRE=S△AQE，S△CSF=S△BMF，S△DTG=S△CNG，∵AH∥CF，AH=CF，∴四边形AFCH是平行四边形，同理可得，四边形BGDE是平行四边形，∴QM∥PN，QP∥MN，∴四边形MNPQ是平行四边形，∵AK∥QP，AQ∥KP，∴四边形AQPK是平行四边形，又∵E 是AB 的中点，EQ ∥BM ，∴Q 是AM 的中点，∴AQ=MQ ，∴S 四边形AQPK =S 四边形MNPQ ，同理可得，S 四边形BMQR =S 四边形MNPQ ，S 四边形MNCS =S 四边形MNPQ ，S 四边形DTNP =S 四边形MNPQ ，∴S 四边形BMQR =S 四边形MNCS =S 四边形DTNP =S 四边形AQPK =S 四边形MNPQ ，∴S 四边形MNPQ =15S 四边形ABCD =15×3×4=125 故答案为：125本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是要利用矩形的性质，作出图形中的辅助线构造全等三角形，并找出矩形和平行四边形的面积之间的关系．20．（1-1）【解析】画出符合要求的图形，过A 作AD ⊥x 轴于D ，过C 作CE ⊥x 轴于E ，证明△AOD ≌△OCE ，得到CE=OD=1，可得点C 坐标，同理可得结果．解：如图，过A 作AD ⊥x 轴于D ，过C 作CE ⊥x 轴于E ，∵四边形OABC 是正方形，∴OA=OC ，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE ，在△AOD 和△OCE 中，ADO OEC OAD COE OA CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOD ≌△OCE （AAS ），∴CE=OD=1，∵点C 在第二象限，∴点C的坐标为（1），同理可得：点C1-1），综上：点C 的坐标为：故答案为：（1-1）．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是找出所有符合条件的正方形，作出辅助线证明全等．21．2877cm ．【解析】由两个长宽分别为7cm 、3cm 的矩形如图叠放在一起，可证得阴影部分是菱形，然后设BF xcm =，则 D F xcm ，7()AF AD DF x cm ，利用勾股定理可得方程： 2223(7)x x ，则可求得BE 的长，继而求得答案．解：如图：根据题意得：//AD BC ，//BF DE ，∴四边形ABCD 是平行四边形，两个矩形等高，即DH AB =，BEDF S BE AB BF DH ，BE BF ∴=，∴四边形BEDF 是菱形，BF DF ∴=，设BF xcm =，则D F xcm ，7()AF AD DF x cm ，在Rt ABF ∆中，222AB AF BF +=，2223(7)x x ，解得：297x， 297BE cm ， 2877BEDF S BE AB cm 菱形．故答案为：2877cm ．本题考查了菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握方程思想的应用是解此题的关键． 22．45°【解析】延长EB 使得BG=DF ，易证△ABG ≌△ADF （SAS ），可得AF=AG ，进而求证△AEG ≌△AEF ，可得∠EAG=∠EAF ，再求出∠EAG+∠EAF=90︒即可解题．解：如图，延长EB 到点G ，使得 BG=DF ，连接AG ，在正方形ABCD 中，∠D=∠ABC=90︒， AB=AD ，∴∠ABG=∠ADF=90︒，在△ABG 和 △ADF 中，AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△ADF(SAS) ，∴∠DAF=∠BAG ， AF=AG ，又 ∵EF=DF+BE=BG+BE=EG ，∴ 在△AEG 和 △AEF 中，AE AE GE FE AG AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△AEG ≌△AEF(SSS) ，∴∠EAG=∠EAF ，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90︒，∴∠BAG+∠EAF+∠BAE=90︒，∴∠EAG+∠EAF=90︒，∴∠EAF=45︒．故答案为：45︒．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解决此题的关键．23．【解析】连接BF ，过点F 作FG ⊥AB 交AB 延长线于点G ，易知△AED ≌△GFE （AAS ），F 在BF 的射线上，作点C 关于BF 的对称点C′，由全等三角形的性质可得∠CBF ＝45°，继而求得点C′在AB 的延长线上，进而分析可知当D 、F 、C′三点共线时，DF ＋CF ＝DC′最小，在Rt △ADC′中，由勾股定理即可求解．连接BF ，过点F 作FG ⊥AB 交AB 延长线于点G ，∵将ED 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，∴EF ⊥DE ，EF ＝DE ，∴∠DEA ＋∠GEF ＝∠DEA+∠ADE ＝90°∴∠GEF ＝∠ADE又∠A ＝∠EGF ＝90°∴△AED ≌△GFE （AAS ）∴FG ＝EA∵F 在BF 的射线上，作点C 关于BF 的对称点C′∵EG ＝DA ，FG ＝AE∴AE ＝BG∴BG ＝FG∴∠FBG＝45°∴∠CBF＝45°∴点C′在AB的延长线上，当D、F、C′三点共线时，DF＋CF＝DC′最小，在Rt△ADC′中，AD＝3，AC′＝6，∴DC′∴DF＋CF的最小值为故答案为：．．本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及其性质，轴对称最短路线问题，解题的关键是将线段的和通过轴对称旋转转化为共线线段即可．24．40【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2EF，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．解：∵E、F分别是AC、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴AB＝2EF＝2×5＝10，∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40．故答案为：40．本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．25．8【解析】延长AG交BC于D，根据重心的定义，点D为BC的中点，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DG的长，再由重心的性质：三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍进行求解即可．解：延长AG交BC于D，∵点G是重心，∴点D为BC的中点，且AG=2DG，∵∠BGC=90°，BC=8，∴DG=12BC=4，∴AG=2DG=8，故答案为：8．本题考查了三角形的重心、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握三角形的重心定义和性质是解答的关键．26．2.5【解析】先根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD＝12BD＝4，OC＝OA＝12AC＝3，再利用勾股定理计算出BC，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH的长．∵四边形ABCD为菱形，AC＝6，BD＝8，∴AC⊥BD，OB＝OD＝12BD＝4，OC＝OA＝12AC＝3，在Rt△BOC中，BC5，∵H为BC中点，∴OH＝12BC＝2.5．故答案为：2.5．本题考查菱形的性质、勾股定理及直角三角形斜边中线的性质，菱形的对角线互相垂直且平分；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；熟练掌握相关性质是解题关键．27．112n - 【解析】由正方形ABCD 的边长为1，求出12AE AF AC ===，1122AH AB ==，分别算出第二个、第三个正方形的面积，即可推导得出答案；∵正方形ABCD 的边长为1，∴1AB =，AC =∴12AE AF AC ===， 1122AH AB ==，∴1正方形=1ABCD S S =，2正方形1222AEBF S S ==⨯=， 3正方形111224HEGB S S ==⨯=, ⋯， ∴112n n S -=．故答案是：112n - 本题主要考查了正方形的性质，准确分析计算是解题的关键．28．30【解析】根据轴对称和矩形性质，得90EFD A ∠=∠=；结合∠EFB ＝60°，经计算即可得到答案． ∵矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处∴90EFD A ∠=∠=∵∠EFB ＝60°∴180180609030CFD EFB EFD ∠=-∠-∠=--=故答案为：30．本题考查了轴对称、矩形的性质；解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形的性质，从而完成求解．29．2 【解析】连接BP，根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝12ABCDS菱形，S△ABP＋S△BPC＝12AB•PE＋12BC•PE把相应的值代入即可．解：连接BP，∵四边形ABCD是菱形，且周长是12cm，面积是6cm2∴AB＝BC＝14×12＝3（cm），∵AC是菱形ABCD的对角线，∴ S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝12ABCDS菱形＝3（cm2），∴S△ABP＋S△BPC＝12AB•PE＋12BC•PE＝3（cm2），∴12×3×PE＋12×3×PF＝3，∴PE＋PF＝3×23＝2（cm），故答案为：2．此题考查菱形的性质，S△ABP＋S△BPC＝S△ABC＝12ABCDS菱形是解题的关键．注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．30．20202ab【解析】结合题意，根据矩形性质，得平行四边形1OBB C为菱形，从而依次计算前4个平行四边形的面积，并通过归纳计算规律，即可得到第2020个平行四边形的面积．∵矩形ABCD中，AB a，BC b=，两条对角线相交于点O∴OB OC OA==∵OB、OC为邻边作第1个平行四边形1OBB C∴11OB OC BB CB ===∴平行四边形1OBB C 为菱形∵平行四边形1OBB C ，对角线相交于点1A ，∴1OA BC ⊥，1112BA CA BC ==，111OA A B = ∵OC OA = ∴11122OA AB a == ∴第1个平行四边形1OBB C 面积112BC OA a b =⨯=⨯ ∴第2个平行四边形111A B C C 面积1111122AC A B a b =⨯=⨯ 同理，得第3个平行四边形1121O B B C 面积21111122222a b a b ⎛⎫=⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭第4个平行四边形2221A B C C 面积2221111122222a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭以此类推，第2020个平行四边形2221A B C C 面积为：10101010202020201112222ab a b ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：20202ab ．本题考查了数字及图形规律、三角形中位线、幂的乘方、平行四边形、矩形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握数字及图形规律、幂的乘方、平行四边形、矩形的性质，从而完成求解．。

初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习与常考题和培优题(含解析)

初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题一．选择题（共5小题）1．如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．一般三角形D．等腰三角形2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H 是AF的中点，那么CH的长是（）A．3.5 B．C． D．23．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O 作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.54．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．275．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．5二．填空题（共4小题）6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC 于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于．7．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=时，四边形ABEC是矩形．8．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．9．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是．三．解答题（共31小题）10．如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，求∠BEF的度数．11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．12．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．13．如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．14．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．15．如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=度．16．已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB 延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？17．如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．18．如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．19．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．20．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG 交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．21．已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO，并延长MO到N，使NO=MO，连接BN与ND．（1）判断四边形BNDM的形状，并证明；（2）若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状又如何？说明理由．22．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？23．（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．24．如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=，AF=．25．如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE ⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证：MN⊥BD．26．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．27．如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD于G，连接BE交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题：（1）求证：BE⊥AG；（2）求线段DH的长度的最小值．28．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？29．某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD 中，AB=4，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：AP=CQ；（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）在（2）的条件下，若AP=1，求PE的长．30．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值．31．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请直接写出所有BP的值．32．已知：如图，BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F．EF分别交边AB、AC于点M、N．求证：（1）四边形AFBE是矩形；（2）BC=2MN．33．如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线BD=8，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．（1）对角线AC的长是，菱形ABCD的面积是；（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？若不变请说明理由，若变化，请直接写出OE、OF之间的数量关系，不用明理由．34．如图，已知Rt△ABD≌Rt△FEC，且B、D、C、E在同一直线上，连接BF、AE．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形．（2）若∠ABD=60°，AB=2cm，DC=4cm，将△ABD沿着BE方向以1cm/s的速度运动，设△ABD运动的时间为t，在△ABD运动过程中，试解决以下问题：（1）当四边形ABEF是菱形时，求t的值；（2）是否存在四边形ABFE是矩形的情形？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．35．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．36．如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD 于G，连接BE交AG于点H（1）求证：AG⊥BE；（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．37．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E时AD边的中点，点M时AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．38．如图，已知正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，点P（0，m）是线段oc上的一动点9点P不与点O、C重合0，直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形，求m的值．39．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC的中点，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）证明：四边形BDFG是菱形；（2）若AC=10，CF=6，求线段AG的长度．40．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．（1）求证：EF∥AC；（2）求∠BEF大小；（3）若EB=4，则△BAE的面积为．初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2012春•炎陵县校级期中）如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．一般三角形D．等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC，∠G=∠C=90°，GB=CD，根据SAS证△FGB ≌△BCD，推出∠FBG=∠BDC，BF=BD，求出∠DBC+∠FBG=90°，求出∠FBD的度数即可．【解答】解：∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD，∴FG=BE=AD=BC，GB=EF=AB=CD，∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°，∵在△FGB和△BCD中，∴△FGB≌△BCD，∴∠FBG=∠BDC，BF=BD，∵∠BDC+∠DBC=90°，∴∠DBC+∠FBG=90°，∴∠FBD=180°﹣90°=90°，即△FBD是等腰直角三角形，故选B．【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，关键是证出△FGB≌△BCD，主要考查学生运用性质进行推理的能力．2．（2015春•江阴市期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．3.5 B．C． D．2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，∴AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM=BC+CE=4，FM=EF﹣AB=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF==2，∴CH=，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出AF的长和得出CH=AF，有一定的难度．3．（2015春•泗洪县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.5【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，根据线段垂直平分线性质得出AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得出CE2=CD2+DE2，代入求出即可．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，∴∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，∵OE⊥AC，∴AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2=CD2+DE2，即AE2=42+（8﹣AE）2，解得：AE=5，故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是得出关于AE的方程．4．（2015秋•无锡期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．27【分析】根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解．【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，∴FM=BC=×10=5，同理可得，ME=BC=×10=5，又∵EF=7，∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17．故选A．【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM 和ME的长．5．（2015春•乌兰察布校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD 上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．5【分析】连接OP，利用勾股定理列式求出BD，再根据矩形的对角线相等且互相=S△AOP+S△DOP列方程求解即可．平分求出OA、OD，然后根据S△AOD【解答】解：如图，连接OP，∵AB=6，AD=8，∴BD===10，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD=×10=5，∵S=S△AOP+S△DOP，△AOD∴××6×8=×5•P E+×5•PF，解得PE+PF=4.8．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．二．填空题（共4小题）6．（2016春•东平县期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于75°．【分析】由矩形ABCD，得到OA=OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，推出AB=OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，∴AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=45°﹣15°=30°，∠BAC=60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB=OB，∠ABO=60°，∴∠OBC=90°﹣60°=30°，∵AB=OB=BE，∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣30°）=75°．故答案为75°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE．7．（2014春•武昌区期中）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=2时，四边形ABEC是矩形．【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．【解答】解：当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE=∠D，由题意易得AB∥EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，∴FC=FE，∴四边形ABEC是矩形，故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是了解矩形的判定定理．8．（2015春•南长区期中）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE 交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2．【分析】首先根据菱形的判定方法，判断出四边形ABCF是菱形，再根据菱形的性质，即可判断出AC⊥BF；然后根据勾股定理，可得OB2+OC2=BC2，据此推得AC2+BF2=4CD2即可．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB∥CE，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB=BC=CD=DE=EA，∴四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，∴OB2+OC2=BC2，∵AC=2OC，BF=2OB，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，又∵BC=CD，∴AC2+BF2=4CD2．故答案为：AC2+BF2=4CD2．【点评】（1）此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（2）此题还考查了勾股定理的应用：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，要熟练掌握．9．（2015春•株洲校级期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC 是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【分析】先由矩形的性质求出OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时；根据勾股定理求出PC，即可得出结果；（2）当PD=OD=5时；①作PE⊥OA于E，根据勾股定理求出DE，得出PC，即可得出结果；②作PF⊥OA于F，根据勾股定理求出DF，得出PC，即可得出结果．【解答】解：∵A（﹣10，0），C（0，3），∴OA=10，OC=3，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=10，AB=OC=3，∵D是OA的中点，∴AD=OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时，根据勾股定理得：PC==4，∴点P的坐标为：（﹣4，3）；（2）当PD=OD=5时，分两种情况讨论：①如图1所示：作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==4，∴PC=OE=5﹣4=1，∴点P的坐标为：（﹣1，3）；②如图2所示：作PF⊥OA于F，则DF==4，∴PC=OF=5+4=9，∴点P的坐标为：（﹣9，3）；综上所述：点P的坐标为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）；故答案为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三．解答题（共31小题）10．（2012春•西城区校级期中）如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC 于点F，求∠BEF的度数．【分析】设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．【解答】解：设∠BAE=x°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∵AE=AB，∴AB=AE=AD，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣∠BAE）=90°﹣x°，∠DAE=90°﹣x°，∠AED=∠ADE=（180°﹣∠DAE）=[180°﹣（90°﹣x°）]=45°+x°，∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED，=180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°），=45°，答：∠BEF的度数是45°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是有一定的难度．11．（2012秋•高淳县期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH2=2，也即得出了正方形EHGF的边长．【解答】（1）证明：在△ABC中，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=同理FG=，GH=，HE=在梯形ABCD中，∵AB=DC，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形．设AC与EH交于点M在△ABD中，∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD，同理GH∥AC又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°．∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形．（2）解：连接EG，在梯形ABCD中，∵E、G分别是AB、DC的中点，∴EG=（AD+BC）=（1+3）=2，在Rt△HEG中，EG2=EH2+HG2，4=2EH2，EH2=2，则EH=．即四边形EFGH的边长为．【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．12．（2013秋•青岛期中）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．【分析】延长CF、BA交于点M，先证△BCE≌△CDF，再证△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得Rt△MBP中AP=BM，即AP=AB．【解答】证明：延长CF、BA交于点M，∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，∴BC=CD，∠BCE=∠CDF，CE=DF，∴△BCE≌△CDF，∴∠CBE=∠DCF．∵∠DCF+∠BCP=90°，∴∠CBE+∠BCP=90°，∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°．又∵FD=FA，∠CDF=∠MAF，∠CFD=∠MFA，∴△CDF≌△AMF，∴CD=AM．∵CD=AB，∴AB=AM．∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，∴AP=BM，即AP=AB．【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质，本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键．13．（2015春•禹州市期中）如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．【分析】（1）连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF=PC，证△ABP≌△CBP，推出AP=PC即可；（2）证△CBD是等腰直角三角形，求出BF、PF，求出周长即可．【解答】解：证明：（1）连接PC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠C=90°，在△ABP与△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．又∵∠C=90°，∴四边形PFCE是矩形，∴EF=PC，∴PA=EF．（2）由（1）知四边形PFCE是矩形，∴PE=CF，PF=CE，又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°，∴BE=PE，又BC=a，∴矩形PFCE的周长为2（PE+EC）=2（BE+EC）=2BC=2a．【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能证出AP=PC是解此题的关键．14．（2015秋•福建校级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE 的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，=（∠ADF+∠FDC），=×90°，=45°；（2）①证明：如图2所示：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，∴∠5=∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC，即∠5=∠DEC，∴BF∥DE；②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，∵正方形边长为6，E为BC的中点，∴CE=EF=BE=×6=3，∴GE=EF+GF=3+x，在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，即线段AG的长为2．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．15．（2016春•召陵区期中）如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=50度．【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF，然后利用“边角边”证明即可；（2）易证∠FBE=∠FEB，又因为∠FBE=∠FDC，所以可证明∠FEB=∠FDC，进而可证明∠DFE=90°；（3）根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF，根据等边对等角可得∠CBF=∠E，然后求出∠DFE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得解．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCF=∠DCF=45°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS）；∴BF=DF；（2）证明：∵BF=EF，∴∠FBE=∠FEB，又∵∠FBE=∠FDC，∴∠FEB=∠FDC，又∵∠DGF=∠EGC，∴∠DFG=∠ECG=90°，即∠DFE=90°；（3）证明：由（1）知，△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵EE=FB，∴∠CBF=∠E，∵∠DGF=∠EGC（对顶角相等），∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E，即∠DFE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DFE=∠ABC=50°，故答案为：50．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键．16．（2015秋•泗县期中）已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB 延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？【分析】①由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可；②由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可．【解答】①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF；②解：OE=OF还成立；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．17．（2016春•邳州市期中）如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．【分析】（1）由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，由SAS 证明△CDP≌△CBP，得出PB=PD，再由PE=PB，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB，由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC，即可得出∠PDC=∠PEB；（3）由四边形内角和定理得出∠DPE=100°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，在△DCP和△BCP中，，∴△CDP≌△CBP（SAS），∴PB=PD，∵PE=PB，∴PE=PD；（2）证明：∵PE=PB，∴∠PBC=∠PEB，∵△CDP≌△CBP，∴∠PDC=∠PBC，∴∠PDC=∠PEB；（3）解：如图所示：∠PDE=40°；理由如下：在四边形DPEC中，∵∠DPE=360°﹣（∠PDC+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（∠PEB+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（180°+80°）=100°，∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．18．（2016春•昆山市期中）如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，证出∠DAF=∠ABE，由AAS证明△ADF ≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出结论；（2）设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，由已知条件得出DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得出a2+b2=1，再由完全平方公式得出a﹣b即可．【解答】（1）证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，∴∠DAF=∠ABE，在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE（AAS），∴AF=BE，DF=AE，∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE；（2）解：设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，∵△ADF的周长为，AD=1，∴DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，即a2+b2=1，∴（a﹣b）2=2（a2+b2）﹣（a+b）2=2﹣=，∴a﹣b=，即EF=．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题（2）的关键．19．（2015春•繁昌县期中）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．【分析】（1）根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°，OA=OB，再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE，然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）根据等腰直角三角形△EOF，当OE最小时，再根据勾股定理得出EF的最小值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°，∠EAO=∠FBO=45°，∴∠AOE+∠BOE=90°，∵OE⊥OF，∴∠BOF+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠BOF，在△AOE与△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF；（2）由（1）可知，△EOF是等腰直角三角形，∠EOF是直角，当OE最小时，EF的值最小，∵OA=OB，OE⊥AB，∴点E是AB的中点，∴OE=AB，∵AB=4，∴OE=2，∴EF=，即EF的最小值是2．【点评】本题考查了正方形的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．正确作出辅助线是关键．20．（2016春•江宁区期中）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，由SAS证明△BAF ≌△DAF，得出对应边相等即可；（2）由线段垂直平分线的性质得出BF=EF，证出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED，由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°，证出∠ABF+∠FEA=180°，由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°，求出∠BFE=90°即可．【解答】证明：如图所示：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF=DF；（2）∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F，∴BF=EF，∵BF=DF，∴EF=DF，∴∠FDE=∠FED，∵△BAF≌△DAF，∴∠ABF=∠FDE，∴∠ABF=∠FED，∵∠FED+∠FEA=180°，∴∠ABF+∠FEA=180°，∴∠BAE+∠BFE=180°，∴∠BFE=90°，∴BF⊥FE．。

特殊平行四边形提高训练

特殊平行四边形提高训练一．选择题〔共16 小题〕1．〔2021?灵璧县一模〕如下图，矩形 ABCD 中，AE 平分∠ BAD 交 BC 于 E，∠ CAE=15 °，那么下面的结论：① △ODC 是等边三角形；② BC=2AB；③ ∠ AOE=135°；④ S△AOE=S△COE，其中正确结论有〔〕A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个2．〔2021?鄂州一模〕如图，在矩形AOBC 中，点 A 的坐标〔﹣ 2，1〕，点 C 的纵坐标是4，那么 B 、C 两点的坐标分别是〔〕A ．〔，〕、〔﹣，4〕B．〔，3〕、〔﹣，4〕C．〔，3〕、〔﹣，4〕D．〔，〕、〔﹣， 4〕3．〔2021?石峰区模拟〕矩形 ABCD 中，AB=2 ，AD=1 ，点 M 在边 CD 上，假设 AM 平分∠ DMB ，那么 DM 的长是〔〕A．B．C．D．4．〔2021?姜堰区校级模拟〕矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a， CE=2a，连接 BD 、 BF、 DF ，那么△ BDF 的面积是〔〕A．32 B．16 C．82 D． 16+a5．〔2021?灯塔市二模〕如图，在矩形ABCD 中， AB=3 ， DC=2 ，O 是 AD 的中点，连接OB、OC，点 E 在线段 BC 上〔点 E 不与点 B、C 重合〕，过点 E 作 EM ⊥OB 于 M ，EN ⊥ OC 于 N ，那么 EM+EN 的值为〔〕A．6B．1.5 C．D．6．〔2021?肥城市二模〕一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4： 3，那么这个菱形的面积是〔〕2222A ． 12cmB ．96cmC． 48cm D ．24cm7．〔2021 ?丹东〕过矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 作 EF⊥ AC ，交 BC 边于点 E，交 AD 边于点 F，分别连接AE 、 CF．假设 AB=，∠ DCF=30°，那么EF的长为〔〕A．2B．3C．D．8．〔2021?天津一模〕如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O，AC=8 ，BD=6 ，过点 O 作 OH ⊥ AB ，垂足为H，那么点 O 到边 AB 的距离 OH 等于〔〕A．2B．C．D．9．〔2021?和县一模〕如图，菱形ABCD 中，点 O 对角线 AC 的三等分点，连接OB、 OD ，且 OB=OC=OD ． AC=3 ，那么菱形的边长为〔〕A．B．2C．D．10．〔2021?丹东模拟〕如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ， BD 相交于点O，点 E 为 BC 的中点，那么以下等式中一定成立的是〔〕A ． AB=BEB ．AC=2AB C． AB=2OE D ．AC=2OE11．〔2021 ?西城区二模〕如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系xOy 中， O 是原点，假设点 A 的坐标为〔 1，〕，那么点C的坐标为〔〕A ．〔，1〕B．〔﹣ 1，〕C．〔﹣，1〕D．〔﹣，﹣1〕12．〔2021 ?桐庐县模拟〕如图，在正方形ABCD 中，对角线AC=6 ，点 P 是对角线 AC 上的一点，过点P 作 PF⊥ AD ，PE⊥ CD ，那么 PF+PE 的值为〔〕A．3B ．3C．2D．613．〔2021 ?本溪二模〕如图，在矩形ABCD 中， AD=2AB ， E、F 分别是 AD 、 BC 的中点，连接 AF 与 BE 、 CE 与 DF 分别交于点M 、 N 两点，那么四边形EMFN 是〔〕A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．无法确定14．〔2021 春?石林县期末〕如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，连接 CE，与对角线 BD 交于 F，那么∠ BFC 为〔〕A ． 75° B． 70° C． 65° D． 60°15．〔2021 ?铁力市二模〕如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线BD 上一点， PE⊥ BC 于点 E；PF⊥ CD 于点 F，连接 EF ，给出以下五个结论：① AP=EF ；② AP ⊥EF；③∠PFE=∠ BAP ；222④ PD=EC ；⑤ PB +PD =2PA，正确的有〔〕个．A．5B．4C．3D．216．〔2021 ?陕西模拟〕如图，E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线BD 上一点，且 BE=BC ，P 为 CE 上任意一点，PQ⊥ BC 于点 Q， PR⊥ BE 于点 R，那么 PQ+PR 的值是〔〕A．B．C．D．二．解答题〔共11 小题〕17．〔2021?咸阳模拟〕如图，矩形 ABCD ，E、 F 在 AB 、 CD 上，且 EF∥ AD ， M 为 EF 的中点，连接 AM 、DM ，求证： AM=DM ．18．〔2021?市南区一模〕：如图，在矩形ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC上，且 AE=CF ，作 EG∥ FH，分别与对角线BD 交于点 G、 H，连接 EH， FG．（1〕求证：△ BFH ≌△ DEG ；（2〕连接 DF，假设 BF=DF ，那么四边形 EGFH 是什么特殊四边形？证明你的结论．19．〔2021春 ?南京校级月考〕：如图， BE 、 BF 分别是∠ ABC 与它的邻补角∠ ABD 的平分线，AE ⊥BE ，垂足为点 E，AF ⊥ BF ，垂足为点 F，EF 分别交边 AB 、AC 于点 M 和 N ．求证：（1〕四边形 AFBE 是矩形；（2〕 MN= BC ．20．〔2021?安徽模拟〕如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边的中点， F， E 分别是 AD 及其延长线上的点， CF∥ BE，连结 BF， CE．〔1〕求证：四边形BFCE 是平行四边形；〔2〕当边 AB 、 AC 满足什么条件时，四边形BECF 是菱形？并说明理由．21．〔2021?十堰模拟〕：如图，在菱形 ABCD 中， F 为边 BC 的中点， DF 与对角线 AC 交于点M ，过 M 作 ME ⊥CD 于点 E，∠ 1=∠ 2．（1〕假设 CE=2，求 BC 的长；（2〕求证： ME=AM ﹣ DF．22．〔2021?东平县一模〕如图，在△ ABC中，∠ ABC=90°，BD为AC的中线，过点C 作CE⊥ BD 于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交CE 的延长线于点F，在 AF 的延长线上截取FG=BD ，连接 BG、DF ．（1〕求证： BD=DF ；（2〕求证：四边形 BDFG 为菱形；（3〕假设 AG=13 ， CF=6 ，求四边形 BDFG 的周长．23．〔2021?南岗区模拟〕如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在对角线 AC 上，点 F 在边 BC 上，连接 BE 、DF， DF 交对角线 AC 于点 G，且 DE=DG ．（1〕求证： AE=CG ；（2〕试判断 BE 和 DF 的位置关系，并说明理由．24．〔2021?景德镇校级二模〕如图，在四边形 ABCD 中， AB=BC ，对角线 BD 平分∠ ABC ， P 是BD 上一点，过点 P 作 PM⊥ AD ， PN⊥ CD ，垂足分别为 M ， N．（1〕求证：点 A 与 C 关于直线 BD 对称．（2〕假设∠ ADC=90 °，求证四边形 MPND 为正方形．25．〔2021 ?滕州市模拟〕：如图，正方形ABCD 中，点 E 在 BC 的延长线上， AE 分别交DC， BD 于 F， G，点 H 为 EF 的中点．求证：〔 1〕∠ DAG= ∠ DCG ；〔2〕GC⊥CH ．26．〔2021春 ?丹阳市校级月考〕如图，正方形ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点O，E 是 AC 上的一点，过点A 作 AG ⊥ BE ，垂足为 G， AG 交 BD 于点 F．（1〕试说明 OE=OF ；（2〕当 AE=AB 时，过点 E 作 EH⊥BE 交 AD 边于 H ，找出与△ AHE 全等的一个三角形加以证明，〔3〕在〔 2〕的条件下假设该正方形边长为1，求 AH 的长．27．〔2021 ?荆州〕如图 1，在正方形 ABCD 中， P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，且 PA=PE， PE 交 CD 于 F．（1〕证明： PC=PE；（2〕求∠ CPE 的度数；（3〕如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD ，其他条件不变，当∠ ABC=120 °时，连接CE，试探究线段AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由．特殊平行四边形提高训练参考答案与试题解析一．选择题〔共16 小题〕1．〔2021?灵璧县一模〕如下图，矩形 ABCD 中，AE 平分∠ BAD 交 BC 于 E，∠ CAE=15 °，那么下面的结论：① △ODC 是等边三角形；② BC=2AB；③ ∠ AOE=135°；④ S△AOE=S△COE，其中正确结论有〔〕A．1 个 B．2 个C．3 个D．4 个【分析】根据矩形性质求出 OD=OC ，根据角求出∠ DOC=60 °即可得出三角形 DOC 是等边三角形，求出 AC=2AB ，即可判断②，求出∠ BOE=75 °，∠AOB=60 °，相加即可求出∠ AOE ，根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=S COE．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ BAD=90 °， OA=OC ，OD=OB ， AC=BD ，∴OA=OD=OC=OB ，∵AE 平分∠ BAD ，∴∠ DAE=45 °，∵∠ CAE=15 °，∴∠ DAC=30 °，∵OA=OD ，∴∠ ODA= ∠ DAC=30 °，∴∠ DOC=60 °，∵OD=OC ，∴△ ODC 是等边三角形，∴① 正确；∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD ∥ BC ，∠ ABC=90 °∴∠ DAC= ∠ ACB=30 °，∴A C=2AB ，∵AC ＞BC，∴2AB ＞ BC，∴②错误；∵AD ∥BC，∴∠ DBC= ∠ ADB=30 °，∵AE 平分∠DAB ，∠DAB=90 °，∴∠ DAE= ∠ BAE=45 °，∵AD ∥BC，∴∠ DAE= ∠ AEB ，∴∠ AEB= ∠BAE ，∴A B=BE ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ DOC=60 °， DC=AB ，∵△ DOC 是等边三角形，∴DC=OD ，∴BE=BO ，∴∠ BOE= ∠BEO=〔180°﹣∠ OBE〕=75°，∵∠ AOB= ∠ DOC=60 °，∴∠ AOE=60 °+75 °=135 °，∴ ③正确；∵OA=OC ，∴根据等底等高的三角形面积相等得出 S△AOE=S COE，∴④正确；应选C．2．〔2021?鄂州一模〕如图，在矩形AOBC 中，点 A 的坐标〔﹣ 2，1〕，点 C 的纵坐标是4，那么 B 、C 两点的坐标分别是〔〕A ．〔，〕、〔﹣，4〕B．〔，3〕、〔﹣，4〕C．〔，3〕、〔﹣，4〕D．〔，〕、〔﹣， 4〕【分析】如过点 A、 B 作 x 轴的垂线垂足分别为F、 M ．过点 C 作 y 轴的垂线交FA 、根据△AOF ∽△ CAE ，△AOF ≌△ BCN ，△ACE ≌△ BOM 解决问题．【解答】解：如图过点 A 、 B 作 x 轴的垂线垂足分别为 F、M ．过点 C 作 y 轴的垂线交 FA、∵点 A 坐标〔﹣ 2， 1〕，点 C 纵坐标为 4，∴A F=1 ， FO=2 ， AE=3 ，∵∠ EAC+ ∠OAF=90 °，∠ OAF+ ∠ AOF=90 °，∴∠ EAC= ∠AOF ，∵∠ E=∠AFO=90 °，∴△ AEC ∽△ OFA，∴，∴EC=，∴点C坐标〔﹣，4〕，∵△ AOF ≌△ BCN ，△ AEC ≌△ BMO ，∴CN=2 ， BN=1 ， BM=MN ﹣ BN=3 ， BM=AE=3 ， OM=EC=，∴点 B 坐标〔，3〕，应选 C．3．〔2021?石峰区模拟〕矩形 ABCD 中，AB=2 ，AD=1 ，点 M 在边 CD 上，假设 AM 平分∠ DMB ，那么 DM 的长是〔〕A．B．C．D．【分析】由矩形的性质得出CD=AB=2 ， AB ∥CD ， BC=AD=1 ，∠ C=90 °，由平行线的性质得出∠ BAM= ∠AMD ，再由角平分线证出∠BAM= ∠ AMB ，得出 MB=AB=2 ，由勾股定理求出 CM ，即可得出DM 的长．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴C D=AB=2 ， AB ∥ CD ， BC=AD=1 ，∠C=90 °，∴∠ BAM= ∠ AMD ，∵AM 平分∠ DMB ，∴∠AMD= ∠AMB ，∴∠ BAM= ∠ AMB ，∴B MB=AB=2 ，∴CM===，∴DM=CD ﹣CM=2 ﹣；应选： D．4．〔2021?姜堰区校级模拟〕矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a， CE=2a，连接 BD 、 BF、 DF ，那么△ BDF 的面积是〔〕A．32 B．16 C．82 D． 16+a【分析】根据两个矩形面积之和加上三角形DGF 面积，减去△ ABD 面积与△ BEF 面积，求出△ BDF 面积即可．【解答】解：根据题意得：△BDF 的面积 =8 ×4+2a?a+×2a〔 4﹣ a〕﹣222﹣×8×4﹣ a〔 2a+8〕 =32+2a +4a﹣ a ﹣ 16﹣ a4a=16；应选： B．5．〔2021?灯塔市二模〕如图，在矩形 ABCD 中， AB=3 ， DC=2 ，O 是 AD 的中点，连接OB、OC，点 E 在线段 BC 上〔点 E 不与点 B、C 重合〕，过点 E 作 EM ⊥OB 于 M ，EN ⊥ OC于 N ，那么 EM+EN 的值为〔〕A．6B．1.5 C．D．【分析】连接 OE，由矩形的性质得出CD=AB=3 ， AD=BC=2 ，∠ A= ∠ D=90 °，由勾股定理得出 OB=OC=，由△OBE的面积+△ OCE的面积=△ OBC的面积，即可得出结果．【解答】解：连接 OE，如下图：∵四边形 ABCD 是矩形，∴C D=AB=3 ， AD=BC=2 ，∠ A= ∠ D=90 °，∵O 是 AD 的中点，∴A O=DO=1 ，∴OB=OC==，∵△ OBE 的面积 +△OCE 的面积 =△ OBC 的面积，∴OB ?EM+ OC?EN= BC?AB ，∴〔EM+EN〕×=×2×3，解得： EM+EN=；应选： D．6．〔2021?肥城市二模〕一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是 4： 3，那么这个菱形的面积是〔〕2222A ． 12cmB ．96cm C． 48cmD ．24cm【分析】先求出菱形的边长，然后设菱形的两对角线分别为8x ， 6x，根据菱形的对角线垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出x，从而得到对角线的长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进展计算即可得解．【解答】解：∵菱形的周长是 20cm，∴边长为 20÷4=5cm ，∵两条对角线的比是 4： 3，∴设菱形的两对角线分别为8x， 6x，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，那么对角线的一半分别为4x， 3x，222根据勾股定理得，〔 4x〕+〔 3x〕 =5，解得 x=1 ，所以，两对角线分别为8cm， 6cm，所以，这个菱形的面积=×8×6=24cm 2．应选： D．7．〔2021 ?丹东〕过矩形 ABCD 的对角线边于点 F，分别连接 AE 、 CF．假设AB=AC 的中点 O 作 EF⊥ AC ，交 BC 边于点 E，交 AD ，∠ DCF=30 °，那么 EF 的长为〔〕A．2B．3C．D．【分析】求出∠ ACB= ∠ DAC ，然后利用“角角边〞证明△ AOF 和△ COE 全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF ，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF第 12 页〔共 31 页〕【解答】解：∵矩形对边AD ∥BC ，∴∠ ACB= ∠ DAC ，∵O 是 AC 的中点，∴AO=CO ，在△ AOF 和△ COE 中，，∴△ AOF ≌△ COE 〔ASA 〕，∴OE=OF ，又∵ EF⊥ AC ，∴四边形 AECF 是菱形，∵∠ DCF=30 °，∴∠ ECF=90 °﹣ 30°=60°，∴△ CEF 是等边三角形，∴E F=CF ，∵AB= ，∴C D=AB= ，∵∠DCF=30 °，∴C F= ÷ =2，∴E F=2 ．应选 A．8．〔2021?天津一模〕如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O，AC=8 ，BD=6 ，过点 O 作 OH ⊥ AB ，垂足为H，那么点 O 到边 AB 的距离 OH 等于〔〕A．2B．C．D．【分析】因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出OH 的长．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形， AC=8 ，BD=6 ，∴B O=3 ， AO=4 ， AO ⊥ BO ，∴AB==5．∵OH⊥AB ，∴AO ?BO= AB ?OH，∴OH=，应选 D．9．〔2021?和县一模〕如图，菱形ABCD 中，点 O 对角线 AC 的三等分点，连接OB、 OD ，且 OB=OC=OD ． AC=3 ，那么菱形的边长为〔〕A．B．2C．D．【分析】由菱形的性质得出AB=BC ，得出∠ BAC= ∠ ACB ，由条件得出OB=OC=AC=1 ，由等腰三角形的性质得出△ BOC∽△ ABC ，得出对应边成比例，即可求出菱形的边长．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴ AB=BC ，∴∠ BAC= ∠ ACB ，∵点 O 对角线 AC 的三等分点，∴OB=OC=AC=1 ，∴∠ BAC= ∠ ACB= ∠ OBC ，∴△ BOC∽△ ABC ，所以，即，2∴BA =3 ，∴BA=；应选： A．10．〔2021?丹东模拟〕如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ， BD 相交于点O，点 E 为 BC 的中点，那么以下等式中一定成立的是〔〕A ． AB=BEB ．AC=2AB C． AB=2OE D ．AC=2OE【分析】由菱形的性质以及三角形中位线定理逐项分析即可．【解答】解：∵点 E 为 BC 的中点，∴C E=BE= BC，∵A B=BC ，∴AB=2BE ，应选项A 错误；∵在菱形 ABCD 中，对角线AC ， BD 相交于点O，∴AO=CO=AC ，∴OE 是△ ABC 的中位线，∴OE= AB ，应选项 C 正确；∵AC ≠AB ≠BC，∴AC ≠2AB ≠2OE，应选项B ， D 错误，应选 C．11．〔2021 ?西城区二模〕如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系xOy 中， O 是原点，假设点 A 的坐标为〔 1，〕，那么点C的坐标为〔〕A ．〔，1〕B．〔﹣ 1，〕C．〔﹣，1〕D．〔﹣，﹣1〕【分析】作 AD ⊥轴于 D，作 CE⊥ x 轴于 E，那么∠ ADO= ∠OEC=90 °，得出∠ 1+ ∠ 2=90°，由正方形的性质得出OC=AO ，∠ 1+∠ 3=90 °，证出∠ 3=∠2，由 AAS 证明△OCE≌△ AOD ，OE=AD=， CE=OD=1 ，即可得出结果．【解答】解：作 AD ⊥轴于 D，作 CE⊥x 轴于 E，如下图：那么∠ ADO= ∠ OEC=90 °，∴∠ 1+∠ 2=90°，∵点 A 的坐标为〔 1，〕，∴OD=1 ， AD=，∵四边形 OABC 是正方形，∴∠ AOC=90 °， OC=AO ，∴∠ 1+∠ 3=90°，∴∠ 3=∠ 2，在△ OCE 和△ AOD 中，，∴△ OCE≌△ AOD 〔 AAS 〕，∴OE=AD=，CE=OD=1，∴点 C 的坐标为〔﹣，1〕；应选： C．12．〔2021 ?桐庐县模拟〕如图，在正方形ABCD 中，对角线AC=6 ，点 P 是对角线 AC 上的一点，过点P 作 PF⊥ AD ，PE⊥ CD ，那么 PF+PE 的值为〔〕A．3B ．3C．2D．6【分析】由正方形的性质得出∠PAF=∠ PCE=45 °，证出△ APF 和△ CPE 是等腰直角三角形，得出 PF=AP ， PE=PC，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ BAD= ∠ BCD=90 °，∠ PAF=∠ PCE=45°，∵P F⊥AD ， PE⊥CD ，∴△ APF 和△CPE 是等腰直角三角形，∴PF=AP， PE=PC，∴PF+PE=〔AP+PC〕=AC=3；应选： A．13．〔2021 ?本溪二模〕如图，在矩形ABCD 中， AD=2AB ， E、F 分别是 AD 、 BC 的中点，连接 AF 与 BE 、 CE 与 DF 分别交于点M 、 N 两点，那么四边形EMFN 是〔〕A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．无法确定【分析】利用矩形的性质与判定方法得出四边形EMFN 是矩形，进而利用等腰直角三角形的性质得出AM=ME ， BM=MF=AM，那么ME=MF，进而求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥ BC ， AD=BC ，∠ EAB= ∠ ABF= ∠ BCD=∠CDA=90 °，又∵ E， F 分别为 AD ， BC 中点， AD=2AB ，∴AE ∥ BF， ED∥ CF， AE=BF=DE=CF=AB=DC，∴∠ ABE= ∠AEB= ∠DEC= ∠ DCE= ∠ DFC=45 °，∴∠ BEN=90 °，又∵ DE BF， AE FC，∴四边形 EMFN 是矩形，∴AM ⊥BE ，BM ⊥ AF，∴AM=ME ， BM=MF=AM，∴ME=MF ，∴四边形 EMFN 是正方形．应选： A．14．〔2021 春?石林县期末〕如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，连接 CE，与对角线 BD 交于 F，那么∠ BFC 为〔〕A ． 75° B． 70° C． 65° D． 60°【分析】由于四边形ABCD 是正方形，△ADE 是正三角形，由此可以得到CD=DE ，接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ ADC=90 °， AD=DC ，又∵△ ADE 是正三角形，∴CD=DE ，∠ ADE=60 °，∴△ CDE 是等腰三角形，∠CDE=90 °+60 °=150°，∴∠ ECD= ∠DEC=15 °，∵∠ BDC=45 °，∴∠ CFD=180 °﹣15°﹣45°=120°，∴∠ BFC=60 °，应选 D15．〔2021 ?铁力市二模〕如图，点 P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点， PE⊥ BC 于点 E；PF⊥ CD 于点 F，连接 EF ，给出以下五个结论：① AP=EF ；② AP ⊥EF；③∠PFE=∠ BAP ；222④ PD=EC ；⑤ PB +PD =2PA，正确的有〔〕个．A．5B．4C．3D．2【分析】根据正方形的性质与正方形关于对角线对称可得所给选项的正误．【解答】解：①正确，连接PC，可得PC=EF，PC=PA，∴AP=EF ；②正确；延长AP，交 EF 于点 N ，那么∠ EPN= ∠ BAP= ∠ PCE=∠PFE，可得 AP⊥ EF；③正确；∠ PFE= ∠PCE=∠ BAP ；④错误， PD=222．PF= CE；⑤正确， PB +PD =2PA应选 B．16．〔2021 ?陕西模拟〕如图，E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线BD 上一点，且 BE=BC ，P 为 CE 上任意一点，PQ⊥ BC 于点 Q， PR⊥ BE 于点 R，那么 PQ+PR 的值是〔〕A．B．C．D．【分析】连接 BP ，利用面积法求解，PQ+PR 的值等于 C 点到 BE 的距离，即正方形对角线的一半．【解答】解：连接 BP，过 C 作 CM ⊥ BD ，∵S△BCE=S△BPE+S△BPC=BC ×PQ× +BE ×PR×=BC ×〔 PQ+PR〕×=BE ×CM ×，BC=BE ，∴PQ+PR=CM ，∵BE=BC=1 ，且正方形对角线BD=BC=，又∵ BC=CD ， CM ⊥ BD ，∴M 为 BD 中点，又△ BDC 为直角三角形，∴CM= BD=，即 PQ+PR 值是．应选： D．二．解答题〔共11 小题〕17．〔2021?咸阳模拟〕如图，矩形 ABCD ，E、 F 在 AB 、 CD 上，且 EF∥ AD ， M 为 EF 的中点，连接 AM 、DM ，求证： AM=DM ．【分析】由矩形的性质得出AE ∥DF，∠ BAD=90 °，再由 EF∥ AD ，证出四边形AEFD 是矩形，得出 AE=DF ，∠AEM= ∠ DFM=90 °，由 SAS 证明△ AEM ≌△ DFM ，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥ DF ，∠ BAD=90 °，∵E F∥AD ，∴四边形 AEFD 是矩形，∴A E=DF ，∠ AEM= ∠ DFM=90 °，∵M 为 EF 的中点，∴E M=FM ，在△ AEM 和△DFM 中，，∴△ AEM ≌△ DFM 〔SAS〕，∴AM=DM ．18．〔2021?市南区一模〕：如图，在矩形ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC上，且 AE=CF ，作 EG∥ FH，分别与对角线BD 交于点 G、 H，连接 EH， FG．（1〕求证：△ BFH ≌△ DEG ；（2〕连接 DF，假设 BF=DF ，那么四边形 EGFH 是什么特殊四边形？证明你的结论．【分析】〔 1〕由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，OB=OD ，由平行线的性质得出∠F BH= ∠ EDG ，∠ OHF= ∠OGE ，得出∠ BHF= ∠ DGE，求出 BF=DE ，由 AAS 即可得出结论；〔2〕先证明四边形EGFH 是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出EF⊥ GH ，即可得出四边形 EGFH 是菱形．【解答】〔 1〕证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥ BC ， AD=BC ， OB=OD ，∴∠ FBH= ∠ EDG ，∵AE=CF ，∴BF=DE ，∵EG∥ FH ，∴∠ OHF= ∠ OGE ，∴∠ BHF= ∠ DGE ，在△ BFH 和△ DEG 中，，∴B FH ≌△ DEG 〔 AAS 〕；（2〕解：四边形 EGFH 是菱形；理由如下：连接 DF，如下图：由〔 1〕得： BFH ≌△ DEG ，∴FH=EG ，又∵ EG∥ FH ，∴四边形 EGFH 是平行四边形，∵B F=DF ，OB=OD ，∴EF⊥BD ，∴EF⊥GH ，∴四边形 EGFH 是菱形．19．〔2021春 ?南京校级月考〕：如图， BE 、 BF 分别是∠ ABC 与它的邻补角∠ ABD 的平分线，AE ⊥BE ，垂足为点 E，AF ⊥ BF ，垂足为点 F，EF 分别交边 AB 、AC 于点 M 和 N ．求证：〔1〕四边形AFBE 是矩形；（2〕 MN= BC ．【分析】〔 1〕由 BE 、BE 是角平分线可得∠ EBF 是 90°，进而由条件中的两个垂直可得两个直角，可得四边形 AEBF 是矩形；〔2〕由矩形的 F 质可得∠ 2= ∠ 5 进而利用角平分线的性质可得∠ 1=∠ 5，可得 ME ∥ BC ，进而可得 N 为 AC 中点，根据三角形中位线性质求出即可．【解答】证明：〔 1〕∵ BE、 BF 分别是△ ABC 中∠ B 及它的外角的平分线，∴∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4，∵∠ 1+∠ 2+∠ 3+ ∠ 4=180°，∴∠ 2+∠ 3=90°，∵AE ⊥BE，E 为垂足， AF⊥BF， F 为垂足，∴∠ AFB= ∠ AEB=90 °，∴四边形 AEBF 为矩形；〔2〕∵四边形AEBF 为矩形，∴BM=MA=ME，∴∠ 2=∠ 5，∵∠ 2=∠ 1，∴∠ 1=∠ 5，∴ME ∥BC，∵M 是 AB 的中点，∴N 为 AC 的中点，∴MN= BC．20．〔2021?安徽模拟〕如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边的中点， F， E 分别是 AD 及其延长线上的点， CF∥ BE，连结 BF， CE．〔1〕求证：四边形BFCE 是平行四边形；〔2〕当边 AB 、 AC 满足什么条件时，四边形BECF 是菱形？并说明理由．【分析】〔 1〕由各件，据AAS 很容易证得：△ BDE ≌△ CDF ；（2〕连接 BF 、CE，由 AB=AC ，D 是 BC 边的中点，可知 AD ⊥ BC ，易证得△ BFD ≌△ CFD ，可得 BF=CF ；又因为〔 1〕中△BDE ≌△ CDF 得 ED=FD ，所以 EF、 BC 互相垂直平分，根据菱形的性质，可得四边形 BECF 是菱形．【解答】〔 1〕证明：∵在△ ABC 中， D 是 BC 边的中点，∴BD=CD ，∵CF∥ BE，∴∠ CFD= ∠ BED ，在△ CFD 和△ BED 中，，∴△ CFD ≌△ BED 〔 AAS 〕，∴C F=BE ，∴四边形 BFCE 是平行四边形；（2〕解：当 AB=AC 时，四边形 BECF 是菱形；理由如下：∵AB=AC ， D 是 BC 边的中点，∴AD ⊥BC，∴EF⊥BC，∴四边形 BECF 是菱形．21．〔2021?十堰模拟〕：如图，在菱形 ABCD 中， F 为边 BC 的中点， DF 与对角线 AC 交于点M ，过 M 作 ME ⊥CD 于点 E，∠ 1=∠ 2．（1〕假设 CE=2，求 BC 的长；（2〕求证： ME=AM ﹣ DF．【分析】〔 1〕根据菱形的性质可得CB=CD ，AB ∥ CD ，然后再证明∠2=∠ ACD ，根据等角对等边可得MC=MD ，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CE=4 ，进而可得BC=4 ．〔2〕延长 DF， BA 交于 G，首先证明△CEM ≌△ CFM 可得 ME=MF ，然后再证明△CDF ≌△ BGF 可得 DF=GF ，然后证明∠1=∠ G，根据等角对等边可得GM=CM ，利用线段的和差关系可得结论．【解答】〔 1〕解：∵四边形ABCD 是菱形，∴CB=CD ， AB ∥CD ，∴∠ 1=∠ ACD ．∵∠ 1=∠ 2，∴∠ 2=∠ ACD ，∴MC=MD ．∵ME ⊥CD，∴C D=2CE=4 ，∴B C=CD=4 ；（2〕证明：如图，延长 DF， BA 交于 G，∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠ BCA= ∠ DCA ．∵BC=2CF ，CD=2CE ，∴CE=CF ．在△ CEM 和△CFM 中，，∴△ CEM ≌△ CFM 〔 SAS〕，∴ME=MF ．∵AB ∥CD，∴∠ 2=∠ G，∠ GBF= ∠ BCD ，∵F为边 BC 的中点，∵C F=BF ，在△ CDF 和△ BGF 中，，∴△ CDF ≌△ BGF 〔 AAS 〕，∴D F=GF ．∵∠ 1=∠ 2，∠ G=∠ 2，∴∠ 1=∠ G，∴AM=GM=MF+GF=DF+ME，即ME=AM ﹣ DF ．22．〔2021?东平县一模〕如图，在△ ABC 中，∠ ABC=90 °， BD 为 AC 的中线，过点 C 作CE⊥ BD 于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取FG=BD ，连接 BG、DF ．（1〕求证： BD=DF ；（2〕求证：四边形 BDFG 为菱形；（3〕假设 AG=13 ， CF=6 ，求四边形 BDFG 的周长．【分析】〔 1〕先可判断四边形BGFD 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得 BD=FD ；〔2〕由邻边相等可判断四边形BGFD 是菱形；〔3〕设 GF=x，那么 AF=13 ﹣ x，AC=2x ，在 Rt△ ACF 中利用勾股定理可求出x 的值．【解答】〔 1〕证明：∵∠ABC=90 °， BD 为 AC 的中线，∴BD=AC ，∵AG ∥ BD ， BD=FG ，∴四边形 BGFD 是平行四边形，∵C F⊥ BD ，∴CF⊥ AG ，又∵点 D 是 AC 中点，∴D F= AC ，∴B D=DF ；（2〕证明：∵ BD=DF ，∴四边形 BGFD 是菱形，（3〕解：设 GF=x ，那么 AF=13 ﹣ x， AC=2x ，∵在 Rt△ ACF 中，∠ CFA=90 °，222222∴AF +CF =AC ，即〔 13﹣ x〕 +6=〔 2x〕，解得： x=5 ，∴四边形 BDFG 的周长 =4GF=20 ．23．〔2021?南岗区模拟〕如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在对角线 AC 上，点 F 在边 BC 上，连接 BE 、DF， DF 交对角线 AC 于点 G，且 DE=DG ．（1〕求证： AE=CG ；（2〕试判断 BE 和 DF 的位置关系，并说明理由．【分析】〔 1〕先证∠ AED= ∠ CGD ，再证明△ADE ≌△ CDG ，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；〔2〕先证明△AEB ≌△ CGD ，得出对应角相等∠AEB= ∠ CGD ，得出∠ AEB= ∠EGF，即可证出平行线．【解答】解：〔 1〕证明：在正方形ABCD 中，∵AD=CD ，∴∠ DAE= ∠ DCG ，∵DE=DG ，∴∠ DEG= ∠ DGE，∴∠ AED= ∠ CGD ．在△ AED 和△ CGD 中，∴△ AED ≌△ CGD 〔 AAS 〕，∴AE=CG ．（2〕解法一： BE∥ DF ，理由如下：在正方形 ABCD 中， AB ∥CD，∴∠ BAE= ∠DCG ．在△ AEB 和△ CGD 中，∴△ AEB ≌△ CGD 〔 SAS〕，∴∠ AEB= ∠CGD ．∵∠ CGD= ∠ EGF，∴∠ AEB= ∠EGF，∴BE ∥DF．解法二： BE∥ DF，理由如下：在正方形 ABCD 中，∵AD ∥ FC，∴= ．∵CG=AE ，∴AG=CE ．又∵在正方形ABCD 中， AD=CB ，∴= ．又∵∠ GCF= ∠ ECB ，∴△ CGF∽△ CEB ，∴∠ CGF= ∠ CEB ，∴BE ∥DF．24．〔2021?景德镇校级二模〕如图，在四边形 ABCD 中， AB=BC ，对角线 BD 平分∠ ABC ， P 是BD 上一点，过点 P 作 PM⊥ AD ， PN⊥ CD ，垂足分别为 M ， N．（1〕求证：点 A 与 C 关于直线 BD 对称．（2〕假设∠ ADC=90 °，求证四边形 MPND 为正方形．【分析】〔 1〕首先根据角平分线的定义求出∠根据 SAS 证明两个三角形全等，进而得到∠质可得 BD 垂直平分 AC ，进而可得点 A 与ABD= ∠ CBD ，然后在△ ABD 和△ CBD 中，ADB= ∠ CDB ，AD=CD ，根据等腰三角形的性C 关于直线BD 对称；〔2〕首先证明四边形 PMDN 是矩形，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PM=PN ，进而可得四边形 MPND 为正方形．【解答】证明：〔 1〕连接 AC ，∵BD 平分∠ ABC ，∴∠ ABD= ∠ CBD ，在△ ABD 和△ CBD 中，，∴△ ABD ≌△ CBD 〔 SAS〕，∴∠ ADB= ∠ CDB ， DA=DC ，∴BD 垂直平分AC ，∴点 A 与 C 关于直线BD 对称；（2〕∵PM⊥AD ，PN⊥CD，∴∠ PMD= ∠ PND=90 °，∵∠ ADC=90 °，∴四边形 PMDN 是矩形，∵∠ ADB= ∠ CDB ，∴BD 平分∠ ADC ，∵PM ⊥ AD ，PN ⊥CD，∴PM=PN ，∴四边形MPND 为正方形．25．〔2021 ?滕州市模拟〕：如图，正方形ABCD 中，点 E 在 BC 的延长线上， AE 分别交DC， BD 于 F， G，点 H 为 EF 的中点．求证：〔 1〕∠ DAG= ∠ DCG ；〔2〕GC⊥CH ．【分析】〔 1〕要证明∠ DAG= ∠ DCG ，需把两角放到两三角形中，证明两三角形△ ADG与△CDG 全等得到，全等的方法是：由 ABCD 为正方形，得到 AD 与 DC 相等，∠ ADB 与∠ CDB 相等，再加上公共边 DG ，利用“SAS 〞得到全等，利用全等三角形的对应角相等得证；〔2〕要证明 GC 与 CH 垂直，需证∠ GCH=90 °，即∠ FCH+ ∠DCG=90 °，方法是：由正方形的对边 AD 与 BE 平行，根据两直线平行，内错角相等得到∠DAF 与∠ E 相等，由〔 1〕得到的∠ DAG 与∠ DCG 相等，等量代换得到∠ E 与∠ DCG 相等，再由 CH 为直角三角形 ECF 斜边上的中线，得到 CH 与 HE 相等都等于斜边 EF 的一半，根据“等边对等角〞得到∠ E 与∠HCE 相等，又∠ FCH+ ∠DCG 等于 90°，等量代换得到∠ FCH+ ∠DCG=90 °，即∠GCH=90 °，得证．【解答】证明：〔 1〕∵ ABCD 为正方形，∴AD=DC ，∠ ADC=90 °，∠ ADB= ∠ CDB=45 °，又DG=DG ，∴△ ADG ≌△ CDG ，∴∠ DAG= ∠ DCG ；（2〕∵ ABCD 为正方形，∴AD ∥BE，∴∠ DAG= ∠ E，又∠ DAG= ∠DCG ，∴∠ E=∠DCG ，∵H 为直角三角形CEF 斜边 EF 边的中点，∴CH=HE= EF，∴∠ HCE= ∠E，∴∠ DCG= ∠ HCE，又∠ FCH+ ∠ HCE=90 °，∴∠ FCH+ ∠ DCG=90 °，即∠ GCH=90 °，∴GC⊥CH ．26．〔2021春 ?丹阳市校级月考〕如图，正方形ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点O，E 是 AC 上的一点，过点A 作 AG ⊥ BE ，垂足为 G， AG 交 BD 于点 F．（1〕试说明 OE=OF ；（2〕当 AE=AB 时，过点 E 作 EH⊥BE 交 AD 边于 H ，找出与△ AHE 全等的一个三角形加以证明，〔3〕在〔 2〕的条件下假设该正方形边长为1，求 AH 的长．【分析】〔 1〕根据正方形性质得出 AC ⊥BD ， OA=OB ，求出∠ FAO= ∠ EBO，根据 ASA 推出△ AFO ≌△ BEO 即可；（2〕根据正方形性质得出∠ ACB= ∠DAC=45 °，∠ ABE+ ∠ EBC=90 °，求出∠ CBE= ∠AEH ，AE=AB=BC ，证△ BCE≌△ EAH ；〔3〕根据全等三角形的性质推出CE=AH ，即可得出答案．【解答】〔 1〕解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥ BD ， OA=OB ，∴∠ AOF= ∠ BOE=90 °，∵AG ⊥BE，∴∠ FGB=90 °，∴∠ OBE+ ∠BFG=90 °，∠ FAO+ ∠AFO=90 °，∵∠ AFO= ∠BFG ，∴∠ FAO=∠ EBO ，在△ AFO 和△ BEO 中，，∴△ AFO ≌△ BEO 〔ASA 〕，∴OE=OF ．（2〕△ BCE ≌△ EAH ，证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ ACB= ∠ DAC=45 °，∠ ABE+ ∠EBC=90 °，∵EH⊥BE，∴∠ AEH+ ∠ AEB=90 °，∵A E=AB ，∴∠ ABE= ∠AEB ，∴∠ CBE= ∠ AEH ，∵A E=AB=BC ，在△ BCE 和△ EAH 中，，∴△ BCE ≌△ EAH 〔ASA 〕；（3〕解：∵△ BCE ≌△ EAH ，∴CE=AH ，∵A B=BC=1 ，∴AC= ，∵A E=AB=1 ，∴AH=CE=AC ﹣ AE=﹣1．27．〔2021 ?荆州〕如图 1，在正方形 ABCD 中， P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，且 PA=PE， PE 交 CD 于 F．（1〕证明： PC=PE；（2〕求∠ CPE 的度数；（3〕如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD ，其他条件不变，当∠ ABC=120 °时，连接CE，试探究线段AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由．【分析】〔 1〕先证出△ ABP ≌△ CBP，得 PA=PC，由于 PA=PE ，得 PC=PE；（2〕由△ABP ≌△ CBP，得∠ BAP= ∠ BCP，进而得∠ DAP= ∠ DCP，由 PA=PC，得到∠DAP= ∠ E，∠ DCP=∠ E，最后∠ CPF=∠ EDF=90 °得到结论；（3〕借助〔 1〕和〔 2〕的证明方法容易证明结论．【解答】〔 1〕证明：在正方形ABCD 中， AB=BC ，∠A BP= ∠ CBP=45 °，在△ ABP 和△ CBP 中，，∴△ ABP ≌△ CBP〔 SAS 〕，∴PA=PC，∵PA=PE，∴P C=PE；（2〕由〔 1〕知，△ABP ≌△ CBP，∴∠BAP= ∠BCP，∴∠ DAP= ∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP= ∠E，∴∠ DCP= ∠ E，∵∠ CFP=∠ EFD 〔对顶角相等〕，∴180°﹣∠ PFC﹣∠ PCF=180 °﹣∠ DFE﹣∠E，即∠ CPF=∠ EDF=90 °；（3〕在菱形 ABCD 中， AB=BC ，∠ ABP= ∠ CBP=60 °，在△ ABP 和△ CBP 中，，∴△ ABP ≌△ CBP〔 SAS 〕，∴P A=PC，∠BAP= ∠BCP，∵PA=PE，∴P C=PE，∴∠ DAP= ∠DCP，∵P A=PC，∴∠ DAP= ∠AEP ，∴∠ DCP= ∠ AEP∵∠ CFP=∠ EFD 〔对顶角相等〕，∴180°﹣∠ PFC﹣∠ PCF=180 °﹣∠ DFE﹣∠ AEP ，即∠ CPF=∠ EDF=180 °﹣∠ ADC=180 °﹣ 120°=60°，∴△ EPC 是等边三角形，∴PC=CE ，∴A P=CE ．第 30 页〔共 31 页〕专业资料整理第 31 页〔共 31 页〕专业资料整理。

特殊的平行四边形考点梳理与提升(含答案)

特殊的平行四边形考点梳理与提升考点一、正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定．1．下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．【答案】D．2．已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B．【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选B．3．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．14【答案】A．【解析】试题分析：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选A．考点二、正方形、矩形、菱形的性质．4．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．5．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A B．C．D【答案】B．6．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：2D．1：3【答案】D．【解析】试题分析：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为3cm，∴BE==1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB=3（cm），∴BD=2OB=cm，∴AC：BD=1：3．故选D．7.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．B．C．5 D．6【答案】C．8．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=53，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A．103C D2B．5【答案】A．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．9．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O =60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（） A ．201421）（ B ．201521）（ C ．201533）（D ．201433）（【答案】D ．10．如图，已知E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 四边的中点，AB =6cm ，∠ABC =60°，则四边形EFGH 的面积为 cm 2．【答案】．【解析】试题分析：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，∴EH=12BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=12AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=12AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=，∴BD=，∵EH=12BD，EF=12AC，∴EH=EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG=cm2．故答案为：11．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．【答案】（3-，2-）．的交点，∴点P的坐标为方程组(11y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+-⎩的解，解方程组得：32x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点P的坐标为（3，2-），故答案为：（3-，2）．12．菱形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0），动点P 从点A 出发，沿A →B →C →D →A →B →…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P 的坐标为．【答案】（0.5，．13．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．【答案】8．【解析】试题分析：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE 中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8．考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．【答案】45°．考点三：1．特殊的平行四边形与全等三角形的综合问题(含勾股定理、数量规律问题)．15．如图，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上且BE =1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ 的周长取最小值时，四边形AEPQ 的面积是．【答案】92．【解析】试题分析：如图1所示，作E 关于BC 的对称点E ′，点A 关于DC 的对称点A ′，连接A ′E ′，四边形AEPQ 的周长最小，∵AD =A ′D =3，BE =BE ′=1，∴AA ′=6，AE ′=4．∵DQ ∥AE ′，D 是AA ′的中点，∴DQ 是△AA ′E ′的中位线，∴DQ =12AE ′=2；CQ =DC ﹣CQ =3﹣2=1，∵BP ∥AA ′，∴△BE ′P ∽△AE ′A ′，∴'''BP BE AA AE =，即164BP =，BP =32，CP =BC ﹣BP =332-=32，S 四边形AEPQ =S 正方形ABCD ﹣S △ADQ ﹣S △PCQ ﹣SBEP =9﹣12AD •DQ ﹣12CQ •CP ﹣12BE •BP =9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．16．在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 1C 2…，A 1、A 2、A 3…在直线1y x =+上，点C 1、C 2、C 3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S 、3S 、…n S ，则n S 的值为（用含n的代数式表示，n为正整数）．【答案】232n-．故答案为：232n-．17．如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【答案】2014．18．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2．【解析】19．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG⊥CE．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，从而得到△ABG≌△CBE，即可得到结论；（2）由△ABG≌△CBE，得出∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，∴∠ABG=∠CBE，在△ABG和△CBE中，∵AB=CB，∠ABG=∠CBE，BG=BE，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG=CE；（2）如图所示：∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG=∠BCE，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG⊥CE．20．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求EFAK的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．【答案】（1）①32；②3(8)2S x x=-，S的最大值是24；（2）245或24049．试题解析：（1）①∵EF∥BC，∴AK EFAD BC=，∴EF BCAK AD==128=32，即EFAK的值是32；21．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A=PE，PE交CD于F．（1）PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE．【解析】试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得到P A=PC，由P A=PE，得到PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得到∠BAP=∠BCP，进而得到∠DAP=∠DCP，由P A=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．22.如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE，则MF的长是（）A B C．1 D．【答案】D．23．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．【解析】试题分析：∵AE=13AB，∴BE=2AE．由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=12（180°﹣∠AEP）=12（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．∴EF=2BE．故①正确．∵BE=PE，∴EF=2PE．∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE．∴FQ=3EQ．故③错误．由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．∴△PBF是等边三角形．故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．24．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析．【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF （SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由是：考点四：翻折变换与坐标计算．25．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB 1E ，则△AB 1E 与四边形AECD 重叠部分的面积为（）A ．0.7B ．0.9C ．−2 D【答案】C ．【解析】试题分析：如图，∵∠B =45°，AE ⊥BC ，∴∠BAE =∠B =45°，∴AE =BE ，由勾股定理得：BE 2+AE 2=22，解得：BE=，由题意得：△ABE ≌△AB 1E ，∴∠BAB 1=2∠BAE =90°，BE =B 1E，∴BBB 1C-2，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠FCB 1=∠B =45°，∠CFB 1=∠BAB 1=90°，∴∠CB 1F =45°，CF =B 1F ，∵CF ∥AB ，∴△CFB 1∽△BAB 1，∴11B C CF AB BB =，解得：CF，∴△AEB 1、△CFB 1的面积分别为：112=，21(232⨯=-，∴△AB 1E 与四边形AECD 重叠部分的面积=1(32--=．故选C ．26．如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标系原点，顶点A 在x 轴上，∠B =120°，OA =2，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为（）A．（）B．，）C．（2，-2）D．【答案】B．27．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④ 【答案】D ．综上所述，结论正确的是①④．故选D ．28．如图，在矩形ABCD 中，AB ，AD =1，把该矩形绕点A 顺时针旋转α度得矩形AB ′C ′D ′，点C ′落在AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是．4π．29．如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O 相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为．【答案】．【解析】试题分析：过O点作GH⊥BC于G，交BE于H，连接OB、OE，∴G是BC的切点，OE⊥BH，∴BG=BE，∵△ABE为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴GH，BH OG=OE=x，则EH，OH-x，在RT△OEH中，EH2+OE2=OH2，即（-3）2+x2=x）2，解得x，∴⊙O的半径为．故答案为：．30．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．．31．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥E D．理由见解析；（2）证明见解析．【解析】32．如图，已知点E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；（2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF的面积．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=B C．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，∴AE=CE=12B C．同理，AF=CF=12A D．∴AF=CE．∴四边形AECF是平行四边形．∴平行四边形AECF是菱形．考点五、特殊四边形中的复杂问题含相似三角形、解一元二次方程、分类讨论、在型与探究)．33．如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞O B．(提示:sinθ表示以角θ为锐角的直角三角形的对边比斜边.)（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=163，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）45．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．【解析】试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长，那么就能求得sin∠ABC的值；（2）易得到点D 的坐标为（6，4），还需求得点E 的坐标，OA 之间的距离是一定的，那么点E 的坐标可能在点O 的左边，也有可能在点O 的右边．根据所给的面积可求得点E 的坐标，把A 、E 代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；（3）根据菱形的性质，分AC 与AF 是邻边并且点F 在射线AB 上与射线BA 上两种情况，以及AC 与AF 分别是对角线的情况分别进行求解计算．试题解析：（1）解x 2-7x +12=0，得x 1=4，x 2=3．∵OA ＞OB ，∴OA =4，OB =3．在Rt △AOB中，由勾股定理有AB 5=，∴sin ∠ABC =54OA AB =；（3）根据计算的数据，OB =OC =3，∴AO 平分∠BAC ，①AC 、AF 是邻边，点F 在射线AB 上时，AF =AC =5，所以点F 与B 重合，即F （-3，0）；②AC 、AF 是邻边，点F 在射线BA 上时，M 应在直线AD 上，且FC 垂直平分AM ，点F （3，8）；③AC 是对角线时，做AC 垂直平分线L ，AC 解析式为y =-43x +4，直线L 过（32，2），且k 值为34（平面内互相垂直的两条直线k 值乘积为-1），L 解析式为y =34x +78，联立直线L 与直线AB 求交点， ∴F （4751-，722-）； ④AF 是对角线时，过C 做AB 垂线，垂足为N ，根据等积法求出CN =245，勾股定理得出，AN =75，做A 关于N 的对称点即为F ，AF =145，过F 做y 轴垂线，垂足为G ，FG =145×35=4225，∴F （-4225，4425）．综上所述，满足条件的点有四个：F 1（3，8）；F 2（-3，0）；F 3（4751-，722-），F 4（-4225，4425）． 34．如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，F 是DC 延长线上一点，连接BF 、EF ，恰有BF =EF ，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90°得FG ，过点B 作EF 的垂线，交EF 于点M ，交DA 的延长线于点N ，连接NG ．（1）求证：BE =2CF ；（2）试猜想四边形BFGN 是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN 为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN 为菱形，证明如下：35．如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB ′C ′D ′，其中点C 的运动路径为 CC'，则图中阴影部分的面积为．【答案】342π+-．【解析】试题分析：连接CD ′和BC ′，∵∠DAB =60°，∴∠DAC =∠CAB =30°，∵∠C ′AB ′=30°，∴A 、D ′、C 及A 、B 、C ′分别共线∴AC ，∴扇形ACC ′4π=．∵AC =AC ′，AD′=AB，∴在△OCD′和△OC'B中，CD BCACO AC DCOD C OB''=⎧⎪''∠=∠⎨⎪''∠=∠⎩，∴△OCD′≌△OC′B（AAS），∴OB=OD′，CO=C′O．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC-AD-1，OB+C′O=1，∴在Rt△BOC′中，BO2+（1-BO）2=-1）2，解得BO12-，32C O'=，∴。

特殊的平行四边形能力提升卷及参考答案

八年级下册特殊的平行四边形能力提升卷一、选择题1.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，∠BCD ＝120°，则对角线AC 等于（） A.20 B.15 C.10 D.52.如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN 、EF ，M 、N 、E 、F 分别在边AB 、CD 、AD 、BC 上.小明认为：若MN ＝EF ，则MN ⊥EF ；小亮认为: 若MN ⊥EF ，则MN ＝EF .你认为（） A.仅小明对 B.仅小亮对 C.两人都对 D.两人都不对3.如图（1），把一个长为m 、宽为n 的长方形(m ＞n )沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（）A.2m n B.m －n C.2mD.2n4.如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）5.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5.过对角线交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，则AE 的长是（） A.1.6 B.2.5 C.3 D.3.46.如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A.10cm2 B.20cm 2 C.40cm2 D.80cm2 7.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC ＝45°，OC 则点B 的坐标为（），1)B.(1) +1，1) 8.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕， ∠BAE ＝30°，AB C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（）B.2C.3 9.如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果Q 点从A 点出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（）A.2B.4－πC.πD.π－1 10.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）C.3二、填空题11.长方形一条边长为3cm ，面积为12cm 2，则该长方形另一条边长为＿＿＿cm. 12.如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是＿＿＿. 13.如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，BA C D A ．B ．C ．D ． A D EPBCmn nn （2）（1）EDC BAOABDRN F ECO BAH CCH 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于＿＿＿. 14.如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件：＿＿＿，使得该菱形为正方形.15.如图，将两张长为8，宽为2最小值8，那么菱形周长的最大值是＿＿＿.16.如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在＿＿＿点.17.如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是＿＿＿.18.若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE ＝3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF ＝AE ，则BM 的长为＿＿＿. 19.如图，菱形ABCD 的对角线长分别为a 、b ，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形A 1B 1C 1D 1，然后再以矩形A 1B 1C 1D 1的中点为顶点作菱形A 2B 2C 2D 2，…，如此下去，得到四边形A 2009B 2009C 2009D 2009的面积用含 a 、b 的代数式表示为＿＿＿.20.如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E ，若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N ＝＿＿＿；若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（n ≥2，且n 为整数），则A ′N ＝＿＿＿（用含有n 的式子表示）.三、解答题 21.已知：如图，在矩形ABCD 中，AF ＝BE .求证：DE ＝CF .22.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图放置，AB ＝BF ，求证：四边形BNDM 为菱形.23.如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内. 求证：（1）∠PBA ＝∠PCQ ＝30°；（2）P A ＝PQ .24.如图菱形ABCD 的边长为2，对角线BD ＝2，E 、F 分别是AD 、CD 上的两个动点，且满足AE +CF ＝2.（1）求证：△BDF ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由.同时指出△BCF 是由△BDE 经过如何变换得到?A B D D C B A OO ED CA FN M DC B A E A ′ 第20题图3A CB D PQ BC D A E F C D EM A B FN25.（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为E G（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中∠α的大小．26.问题解决如图1，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN.当CE CD＝12时，求AMBN的值.EDCFBA图③E DCAB F G'D'A DECBα图④图⑤ACD图①ACD图②FEG图2NAB CDEFMN图1AB CEFM类比归纳在图1中，若CE CD ＝13，则AM BN 的值等于＿＿＿；若CE CD ＝14，则AM BN 的值等于＿＿＿；若CE CD ＝1n(n 为整数)，则AMBN的值等于＿＿＿. (用含n 的式子表示) 联系拓广如图2，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ，设ABBC＝1m(m ＞1)，CE CD ＝1n ，则AM BN 的值等于＿＿＿.（用含m ，n 的式子表示）参考答案1.D.点拨：利用菱形和等边三角形的性质；2.C ；3.A.点拨：利用整式的运算及特殊平行四边形的面积求解；4.D ；5.D.点拨：利用矩形的性质、勾股定理求解；6.A.点拨：菱形的面积等于对角线乘积的一半；7.C.点拨：利用菱形的性质与判定、直角三角形的有关计算、平面内点的坐标的意义； 8.C ； 9.B ；10.A.点拨：易求得正方形的边长等于，由于正方形是轴对称图形，所以点D 与点B 是关于AC 对称，所以BE 与AC 的交点即为使PD +PE 的和最小的点P 位置，此时PD +PE 的和最小等于BE ，即为正方形的边长. 11.4；12.3cm.点拨：设CN ＝x cm.因为正方形的边长为8cm ，点E 是BC 中点，所以EC ＝4cm ，又因为由折叠的原理可知EN ＝DN ＝8－x ，在Rt △ECN 中，由勾股定理，得EN 2＝EC 2+CN 2，即(8－x )2＝42+x 2，解得x ＝3.即线段CN 的长是3cm ； 13.3.点拨：利用菱形的性质和直角三角形斜边上中线的性质求解，或利用菱形的性质和三角形中位线性质求解； 14.答案不惟一.如，AB ⊥BC ，或AC ＝BD ，或AO ＝BO 等； 15.17；16.B.点拨：因为有两个全等菱形，则周长和等于8，所以微型机器人由A 点开始行走，每运动8米，则又回到A 点，而2009÷8＝251…1，所以微型机器人由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米时则在点B 处停下；17.14，或16，或26.点拨：①长为4，宽为3；②长为12，宽为1；③长为6，宽为2；18.52，或125.点拨：分两种情况：若点F 在DC 上，因为BF ＝AE ，且AB ＝BC ，则△ABE ≌△BCF ，则∠BAE ＝∠BFC ，则∠BME ＝90°，则AB ×BE ＝AE ×BM ，则BM ＝512；若点F 在AD 上，此时可连接FE ，则可证明四边形ABEF 这矩形，则对角线互相平分，则BM ＝25； 19.201012⎛⎫ ⎪⎝⎭ab .点拨：利用矩形、菱形的面积及归纳法求解；.点拨：由折叠，得BA ′＝AB ＝1，若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，BN ＝12，则A ′N2.若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（n ≥2，且n 为整数），BN ＝1n n-，则A ′N. 21.因为AF ＝BE ，EF ＝EF ，所以AE ＝BF .因为四边形ABCD 是矩形，所以∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ，所以△DAE ≌△CBF ，所以DE ＝CF .22.因为四边形ABCD 、BFDE 是矩形，BM ∥DN ,DM ∥BN ，所以四边形BNDM 是平行四边形.又因为AB ＝BF ＝ED ，∠A ＝∠E ＝90°∠AMB ＝∠EMD ，所以△ABM ≌△EDM ，所以BM ＝DM ，所以平行四边形BNDM 是菱形. 23.（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以∠ABC ＝∠BCD ＝90°.因为△PBC 和△QCD 是等边三角形，所以∠PBC ＝∠PCB ＝∠QCD ＝60°，所以∠PBA ＝∠ABC －∠PBC ＝30°，∠PCD ＝∠BCD －∠PCB ＝30°，所以∠PCQ ＝∠QCD －∠PCD ＝30°，即∠PBA ＝∠PCQ ＝30°.（2）因为AB ＝DC ＝QC ，∠PBA ＝∠PCQ ，PB ＝PC ，所以△P AB ≌△PQC ，所以P A ＝PQ . 24.（1）因为菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，所以BD ＝BC ，且∠BDE ＝∠BCF ＝60°.因为AE +CF ＝2，而AE +DE ＝AD ＝2，所以DE ＝CF ，所以△BDE ≌△BCF .（2）△BEF 是等边三角形.理由如下：由（1）得△BDE ≌△BCF ，所以BE ＝BF ，∠CBF ＝∠DBE ，即∠EBF ＝∠EBD +∠DBF ＝∠CBF +∠DBF ＝60°，所以△BEF 是等边三角形.△BCF 是由△BDE 绕点B 顺时针旋转60°得到.25.（1）同意.如图②，设AD 与EF 交于点G .由折叠知，AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD .又由折叠知，∠AGE ＝∠DGE ＝90°，所以∠AGE ＝∠AGF ＝90°，所以∠AEF ＝∠AFE ，所以AE ＝AF ，即△AEF 为等腰三角形.（2）由折叠知，四边形ABFE 是正方形，∠AEB ＝45°，所以∠BED ＝135°，又由折叠知，∠BEG ＝∠DEG ，所以∠DEG ＝67.5°，所以∠α＝90°－67.5°＝22.5°.26.问题解决：如图1，连接BM ，EM ，BE .由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称，所以MN 垂直平分BE ，所以BM ＝EM ，BN ＝EN .因为四边形ABCD 是正方形，所以∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2.因为CE CD ＝12，所以CE ＝DE ＝1.设BN ＝x ，则NE ＝x ，NC ＝2－x .在Rt △CNE 中，由勾股定理，得NE 2＝CN 2+CE 2，即x 2＝(2－x )2+12，解得x ＝54.即BN ＝54.在Rt △ABM 和Rt △DEM 在中，分别由勾股定理，得BM 2＝AM 2+AB 2，EM 2＝DM 2+DE 2，所以AM 2+AB 2＝DM 2+DE 2.设AM ＝y ，则DM ＝2－y ，所以y 2+22＝(2－y )2+12，解得y ＝14，即AM ＝14.所以AM BN ＝15.类比归纳：设正方形的边长为2，仿照问题解决，当CE CD ＝13时，则CE ＝23，DE ＝43.设BN ＝x ，则NE ＝x ，NC ＝2－x .所以x 2＝(2－x )2+223⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得x ＝109，BN ＝109；设AM ＝y ，则DM ＝2－y ，所以y 2+22＝(2－y )2+243⎛⎫⎪⎝⎭，解得y ＝49，即AM ＝49.所以AM BN ＝410＝25.当CE CD ＝14时，则CE ＝24，DE ＝64.设BN ＝x ，则NE ＝x ，NC ＝2－x .所以x 2＝(2－x )2+224⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得x ＝1716，BN ＝1716；设AM ＝y ，则DM ＝2－y ，所以y 2+22＝(2－y )2+264⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得y ＝916，即AM ＝916.所以AM BN ＝917.…当CE CD ＝1n 时，则CE ＝2n ，DE ＝22n n-.设BN ＝x ，则NE ＝x ，NC ＝2－x .所以x 2＝(2－x)2+22n⎛⎫⎪⎝⎭，解得x＝221nn+，BN＝221nn+；设AM＝y，则DM＝2－y，所以y2+22＝(2－y)2+222nn-⎛⎫⎪⎝⎭，解得y＝()221nn-，即AM＝()221nn-.所以AMBN＝()2211nn-+.联系拓广：因为ABBC＝1m(m＞1)，所以设AB＝a，则BC＝ma，于是仿照上面求解过程，由CECD＝1n，得CE＝an，DE＝a－an，设BN＝x，则NE＝x，NC＝ma－x.在Rt△CNE中，由勾股定理，得NE2＝CN2+CE2，即x2＝(ma－x)2+2an⎛⎫⎪⎝⎭，解得x＝22212m nmn+a.即BN＝22212m nmn+a；同样，在Rt△ABM和Rt△DEM在中，分别由勾股定理，得BM2＝AM2+AB2，EM2＝DM2+DE2，所以AM2+AB2＝DM2+DE2.设AM＝y，则DM＝ma－y，所以y2+a2＝(ma－y)2+2aan⎛⎫-⎪⎝⎭，解得y＝222212m n nmn-+a，即AM＝222212m n nmn-+a.所以AMBN＝2222211n m nn m-++.。

《特殊平行四边形》提高练习

DG 《特殊平行四边形》提高练习1．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕， ∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（）A ．3 B ．2 C ．3 D ．322．如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2． 3．将边长分别为2、3、5则图中阴影部分的面积为．4．如图，矩形ABCD 的周长是20cm ，以AB 、CD ABEF 和正方形ADGH ，若正方形ABEF 和ADGH 的面积之和那么矩形ABCD 的面积是（）A ．21cm 2B ．16cm 2C ．24cm 2D ．9cm 25．如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α∠= 度． 6．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是． 7．将五个边长都为2cm 的正方形按如图所示摆放，点A 、B 、C 、D 分别是正方形的中心，则途中四块阴影部分的面积和为__________cm 2.G第5题图第7题图DAB C ml α65°C 'B '第6题图8．如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为．9．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为．10．把矩形纸条ABCD 沿EF GH ，同时折叠，B C ，两点恰好落在AD 边的P 点处，若90FPH =∠，8PF =，6PH =，则矩形ABCD 的边BC 长为( )A ．20B ．22C ．24D ．3011．如图所示，正方形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上两点，连接BE 、BF 、DE 、DF ，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF 是菱形（）A 、∠1=∠2B 、BE =DFC 、∠EDF =60°D 、AB =AF12．在如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则12+=∠∠ _______度．13．如图，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．ADE PBC1250°PDEABQC14．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是．(结果可用根号表示)15．如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH =3厘米，EF =4厘米，则边AD 的长是___________厘米.16．用边长为1的正方形纸板，制成一幅七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案（如图②），其中阴影部分的面积为（）A .38 B .716 C .12 D .3417．已知菱形的周长为20，两对角线之和为14，则菱形的面积为． 18．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为（）A ．21 B ．33C ．1－33 D ．1－4319．如图，E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD 各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积是5，那么大正方形的边长应该是( )（A ）52 （B ）53 （C ）5 （）520．如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的CAFDE BG 26B F CH E 第13题图第15题图第14题图点E，使DE=5，这痕为PQ，则PQ的长为_______.21．如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成正方形EFGH，中间阴影为正方形．已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm2，四边形ABCD的面积是20cm2，则甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为___________cm．22中，延长CD到E，使DE=CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG的长．23．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形? 并证明你的结论．24．将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°，得到Rt△ACE（如图所示），点D及点F分别是斜边AB，AE的中点，连接CD，CF，则四边形ADCF 是菱形，请给予证明．25．如图：△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB及AC、AE分别交于点O、E，连接EC．（1）求证：AD=EC；（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是菱形；（3）在（2）的条件下，若AB=AO，且OD=a，求菱形ADCE的周长．26．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DCADEG边上，且GH =21DC ．若AB =10，BC =12，则图中阴影部分面积是多少?27．如图：平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BD =12cm ，AC =6cm ，点E 在线段BO 上从点B 以1cm /s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2cm /s 的速度运动.（1）若点E 、F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形AECF 是平行四边形；（2）在（1）的条件下，①当AB 为何值时，四边形AECF 是菱形；②四边形AECF 可以是矩形吗? 为什么?D28．如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ．（1）求证：四边形AFCD 是菱形；（2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形? 为什么?29．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′及CD交于点E.（1）试找出一个及△AED全等的三角形，并证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.30．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立? 通过观察你还能得出什么结论? （均不要求证明）DBD第4题图②B第4题图③FBD第4题图①HABCDEF GA BCDE F G图（1）图（2）ABCDE F GH (A)(B)31．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 的E 点上，BG =10.(1)当折痕的另一端F 在AB 边上时，如图(1)，求△EFG 的面积.(2)当折痕的另一端F 在AD 边上时，如图(2)，证明四边形BGEF 为菱形，并求出折痕GF 的长.32．在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N ．（1）如图（1），当点M 在AB 边上时，连接BN ．①求证：ABN ADN △≌△；②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =α，求点M 到AD 的距离及tan α的值；（2）如图（2），若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）．试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形．CBMAND图1CM BNAD图2BBMBCNCN M CNM 图1图2图3A A ADDD 33．已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，(或它们的延长线)于点M N ，．当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时(如图1)，易证BM DN MN +=．(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时(如图2)，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．(2)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．34．观察下列图形的变化过程，解答以下问题：如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一动点（D 点不及B 、C 两点重合）．DE ∥AC 交AB 于E 点，DF ∥AB 交AC 于F 点．（1）试探索AD 满足什么条件时，四边形AEDF 为菱形，并说明理由；（2）在（1）的条件下，△ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 为正方形? 为什么?35．如图，在Rt△ABC及Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD 相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）（2）证明：四边形AHBG是菱形；（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件? 请你写出这个条件．（不必证明）36．已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM 且交∠CBE的平分线于N．(1)试判定线段MD及MN的数量关系；(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上或AB延长线上的任意一点”，其余条件不变，试问(1)中的结论还成立吗? 如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．37．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG及CD相交于点F．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）当AE=2EF时，判断FG及EF有何数量关系? 并证明你的结论．。

专题1.7特殊的平行四边形单元提升卷-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]

第1章特殊的平行四边形单元提升卷【北师大版】考试时间：60分钟；满分：100分考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）（23-24九年级·四川泸州·期中）1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A ．两组对边分别平行B ．对角线互相平分C ．两组对角线分别相等，对角线互相垂直D ．对角线互相垂直（23-24九年级·河南焦作·期中）2．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿对角线BD 方向平移1cm 得到正方形A B C D ¢¢¢¢，形成一个“方胜”图案，则点D ，B ¢之间的距离为（　）A ．2cmBC ．1)cmD ．1)cm -（23-24九年级·重庆江津·期中）3．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D ¢处，则重叠部分AFC V 的面积为（）A ．6B ．8C ．10D ．12（23-24九年级·陕西渭南·期中）4．如图，四边形ABCD 是菱形，等边AMN V 的顶点M N 、分别在BC CD 、上，且AM BC =，则C Ð的度数为（）A ．105°B ．100°C ．115°D ．120°（23-24九年级·江西九江·期中）5．如图，矩形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(1,3),(4,3),(4,1)A B C ．若直线y x b =+平分矩形ABCD 的周长，则b 的值为（）A ．12-B ．1-C ．12D ．2（23-24九年级·河北保定·期中）6．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，用拉紧的橡皮筋连接AC BD ，，转动这个四边形，使它的形状改变．当90ABC Ð=°时，如图1，测得AC =．当60ABC Ð=°时，如图2，此时BD AC -=（）A ．B 1C ．1D ．（23-24九年级·河北廊坊·期中）7．如图，四边形ABCD 是由四个边长为1的正六边形所围成，则四边形ABCD 的面积是（）A B ．1C D ．2（23-24九年级·湖北孝感·期中）8．如图，D 是ABC V 内部一点，AC BD ^，依次取AB ，BC ，CD ，AD 的中点，并顺次连接得到四边形MNPQ ，若4BD =，6AC =，则四边形MNPQ 的面积为（）A ．24B ．18C ．12D ．6（23-24九年级·江苏苏州·期中）9．如图，已知菱形ABCD 的边长为6，点M 是对角线AC 上的一动点，且120ABC Ð=°，则MA MB MD ++的最小值是（）A ．B ．3+C ．6D ．（23-24·黑龙江大庆·三模）10．如图，已知四边形ABCD 为正方形，AB =E 为对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF DE ^，交BC 的延长线于点F ，以DE ，EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．下列结论：①矩形DEFG 是正方形；②2CE CG +；③CG 平分DCF Ð；④CE CF =．其中结论正确的序号有（）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②③④二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）（23-24九年级·江苏扬州·期中）11．如图，在四边形ABCD 中，P 、Q 、M 、N 分别是AD 、BC 、BD 、AC 的中点，当四边形ABCD 满足时（填写一个条件），PQ ⊥MN ．（23-24九年级·湖北恩施·期末）12．如图，点P 是矩形ABCD 对角线AC 上一点，过点P 做EF BC ∥，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接,PB PD ．若2AE =，9PF =，则图中阴影部分的面积为．（23-24九年级·山东滨州·期末）13．以正方形ABCD 的边CD 为一边作等边CDE V ，则AEC Ð的度数是．（23-24九年级·江苏苏州·期中）14．如图，菱形ABCD 的顶点A 恰好是矩形BCEF 对角线的交点，若菱形ABCD 的周长为8，则矩形BCEF 的面积是．（23-24九年级·河南郑州·期末）15．如图，在等腰ABC V 中，3AB BC ==，AC =A ，B 分别在x 轴，y 轴上，且BC x ∥轴，将ABC V 沿x 轴向左平移，当点A 与点O 重合时，点B 的坐标为．（23-24九年级·江苏·期中）16．已知矩形ABCD ，AB ＝6，AD ＝8，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG ，当θ＝ °时，GC ＝GB ．三．解答题（共7小题，满分52分）（23-24九年级·浙江·专题练习）17．如图，四边形ABCD 是菱形，点C ，点D 的坐标分别是()4,0，()0,3．(1)请分别写出点A ，点B 的坐标；(2)求出该菱形的周长．（23-24九年级·广东潮州·期末）18．如图，菱形ABCD 对角线交于点O ，BE AC AE BD ∥，∥，EO 与AB 交于点F ．(1)试判断四边形AEBO 的形状，并说明你的理由；(2)求证：EO DC =．（23-24九年级·湖北荆州·期中）19．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD 是平行四边形．?求作：菱形ABEF （点E 在BC 上，点F 在AD 上）．作法：①以A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点F ；②以B 为圆心，AB 长为半径作弧，交BC 于点E ；③连接EF ．所以四边形ABEF 为所求作的菱形．(1)根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明；证明：AF AB =Q ，BE AB =，\ = ．在ABCD Y 中，AD BC ∥，即AF BE ∥，\四边形ABEF 为平行四边形( )（填推理的依据），AF AB =Q ，\四边形ABEF 为菱形( )（填推理的依据）．（23-24九年级·广东广州·期中）20．如图，线段9AB =，射线BG AB ^，P 为射线BG 上一点，以AP 为边作正方形APCD ，且C 、D 与点B 在AP 两侧，已知DP 平分CPA Ð，在线段DP 取一点E ，使EAP BAP Ð=Ð，直线CE 与线段AB 相交于点F （点F 与点A 、B 不重合）．(1)求证：AEP CEP △≌△；(2)判断CF 与AB 的位置关系，并说明理由；(3)求AEF △的周长．（23-24九年级·江苏常州·期中）21．图①、图②、图③均是106´的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A 、B 、C 、D 、P 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，作以点P 为对称中心的平行四边形ABEF ．(2)在图②中，在边AD 上找一点G ，在边BC 上找一点H ，连接CG ，AH ，使四边形CGAH 为矩形．(3)在图③中，在四边形ABCD 的边CD 上找一点N ，连接AN ，使45DAN Ð=o ．（23-24九年级·广西桂林·期中）22．如图1，在矩形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，606cm AOB AB Ð=°=，，点P 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点Q 从点C 出发沿CA 方向以每秒2cm 的速度向点A 运动，设运动的时间为t 秒，当点P 运动到点B 时，点Q 停止运动．过点Q 作QH BC ^于点H ．(1)填空：ACB =∠ °，HQ = ，AQ = （用含有t 的式子表示）；(2)是否存在某一时刻t ，使四边形APHQ 为菱形？若存在，求出t 的值，请说明理由；(3)若在某一时刻t ，平面内存在一点G ，使P 、Q 、G 、H 四点构成的四边形是矩形，求出t 的值．（23-24九年级·天津滨海新·期中）23．已知正方形ABCD 的边长为8，点E 是对角线AC 上的一点．(1)如图①，若点E 到AD 的距离为6，则点E 到AB 的距离为；(2)连接DE ，过点E 作EF ED ^，交AB 于点F ．①如图②，以DE ，EF 为邻边作矩形DEFG ．求证：矩形DEFG 是正方形；②如图③，在①的条件下，连接AG ，求AG AE +的值．1．D【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可直接求解．【详解】解：菱形的性质有：两组对边平行，两组对边相等，对角线互相垂直平分，平行四边形的性质有：两组对边分别平行，两组对边相等，对角线互相平分，∴菱形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相垂直，故选：D ．2．D【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得1cm BB ¢=，根据正方形的性质和勾股定理，求出BD ，进而求出答案即可；【详解】由题意得1cm BB ¢=，Q 四边形ABCD 是正方形，2cm,90AB AD A \==Ð=°，BD \=，()1cm DB BD BB ¢¢\=-=-，\点D ，B ¢之间的距离为()1cm -，故选：D ．3．C【分析】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质和折叠的性质，勾股定理，以及间接法求三角形的面积，解题的关键是利用勾股定理正确求出BF 的长度，先证明¢V AD F ≌CBF V ，得到AF CF =，设BF x =，则8AF CF x ==-，根据勾股定理，求出x ，然后利用ABC V 的面积减去CBF V 的面积，即可得到答案．【详解】解：由折叠和矩形的性质可知，90D D B ¢Ð=Ð=Ð=°，4¢==AD CB ，又∵¢Ð=ÐAFD CFB ，∴AD F ¢V ≌CBF V （AAS ），∴AF CF =，设BF x =，则8AF CF x ==-，在Rt CBF △中，由勾股定理，得：()22248x x +=-，解得：3x =，∴1184431022AFC ABC CBF S S S =-=´-´´=V V V ；故选：C ．4．B【分析】由四边形ABCD 的四边都相等，可证得四边形ABCD 是菱形，又由等边AMN V 的顶点M 、N 分别在BC 、CD 上，且AM AB =，可设BAM NAD x Ð=Ð=，根据三角形的内角和定理得出方程()2180602180x x +°-°-=°，解此方程的解即可求出答案．【详解】解：Q 四边形ABCD 的四边都相等，\四边形ABCD 是菱形，B D \Ð=Ð，DABC Ð=Ð，//AD BC ，180DAB B \Ð+Ð=°，AMN Q △是等边三角形，AM AB =，60AMN ANM \Ð=Ð=°，AM AD =，B AMB \Ð=Ð，D AND Ð=Ð，由三角形的内角和定理得：BAM NAD Ð=Ð，设BAM NAD x Ð=Ð=，则180602D AND x Ð=Ð=°-°-，180NAD D AND Ð+Ð+Ð=°Q ，2(180602)180x x \+°-°-=°，解得：20x =°，22060100C BAD \Ð=Ð=´°+°=°．故选：B ．【点睛】本题主要考查对菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及平行线的性质等知识点．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．5．A【分析】连接,AC BD 相交于点E ，根据四边形ABCD 是矩形，可得点E 是AC 的中点，即可求出5,22E æöç÷èø，再将5,22E æöç÷èø代入y x b =+即可求出b 的值．【详解】解：连接,AC BD 相交于点E ，如下图所示，∵(1,3),(4,3)A B ，∴AB x ∥轴，∵四边形ABCD 是矩形，,AC BD 相交于点E ，∴AE CE =，点E 是AC 的中点，∴1431,22E ++æöç÷èø，即5,22E æöç÷èø，∵直线y x b =+平分矩形ABCD 的周长，∴直线y x b =+经过点5,22E æöç÷èø，∴522b +=，解得12b =-，故选：A ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质和一次函数，求出点E 的坐标是解题的关键．6．B【分析】本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，先根据正方形的性质求出AB ，再根据菱形的性质和勾股定理求出AC BD ，即可求解，掌握正方形和菱形的性质是解题的关键．【详解】解：如图1，当90ABC Ð=°时，AB BC CD DA ===，∴四边形ABCD 是正方形，又∵AC =，∴1AB =，如图2，AC 与BD 的交点为O ，当60ABC Ð=°时，，∴AB BC CD DA ===四边形ABCD 是菱形，∴90AOB Ð=°，1302ABO ABC =Ð=Ð°，OA OC OB OD ==，，∴11122OA AB ==´=∴OB =∴12212AC OA ==´=，22BD OB ===∴1BD AC -=-，故选：B ．7．C【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角，菱形的性质与判定，勾股定理的应用，化为最简二次根式，先证明四边形ABCD 是菱形，18012060BAD Ð=°-°=°，如图，连接BD ，过点D 作DE AB ^交AB 于点E ，再进一步可得答案．【详解】解：如图，由正六边形的性质可得：18012060BAD Ð=°-°=°，1AB BC CD AD ====，∴四边形ABCD 是菱形，如图，连接BD ，过点D 作DE AB ^交AB 于点E ，∵四边形ABCD 是菱形，∴ABD BCD S S =△△，又∵60BAD Ð=°，∴ABD △为等边三角形，∵DE AB ^，∴1122AE AB ==，∴在Rt ADE V 中，DE ===，∴12ABD S AB DE △=´´，∴菱形ABCD 故选：C ．8．D【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质与判定，先根据三角形中位线定理可得1,22MQ BD MQ BD ==∥，1,22PN BD PN BD ==∥，1,32MN AC MN AC ==∥，从而可得,MQ PN MQ PN =∥，再根据平行四边形的判定可得四边形MNPQ 是平行四边形，然后根据平行线的性质可得MQ MN ^，根据矩形的判定可得平行四边形MNPQ 是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得．【详解】解：Q 点,M Q 分别是AB ，AD 的中点，且4BD =，1,22MQ BD MQ BD \==∥，同理可得：1,22PN BD PN BD ==∥，1,32MN AC MN AC ==∥，,MQ PN MQ PN \=∥，\四边形MNPQ 是平行四边形，AC BD ^Q ，MQ AC \^，又M N AC Q ∥，MQ MN \^，\平行四边形MNPQ 是矩形，∴四边形MNPQ 的面积是236MQ MN ×=´=，故选：D ．9．D【分析】过点D 作DE AB ^于点E ，连接BD ，根据垂线段最短，此时DE 最短，即MA MB MD ++最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE 的长，进而可得结论．【详解】解：如图，过点D 作DE AB ^于点E ，连接BD ，Q 菱形ABCD 中，120ABC Ð=°，60DAB \Ð=°，AD AB DC BC ===，ADB \V 是等边三角形，30MAE \Ð=°，2AM ME \=，MD MB =Q ，222MA MB MD ME DM DE \++=+=，根据垂线段最短，此时DE 最短，即MA MB MD ++最小，Q 菱形ABCD 的边长为6，DE \===2DE \=．MA MB MD ++\的最小值是故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．10．A【分析】过E 作EM BC ^，过E 作EN CD ^于N ，如图所示，根据正方形性质得90BCD Ð=°，45ECN Ð=°，推出四边形EMCN 是正方形，由矩形性质得EM EN =，90DEN NEF MEF NEF Ð+Ð=Ð+Ð=°，根据全等三角形的性质得ED EF =，推出矩形DEFG 是正方形，故①正确；根据正方形性质得AD DC =，90ADE EDC Ð+Ð=°推出ADE CDG V V ≌，得到AE CG =，45DAE DCG Ð=Ð=°，由此推出CG 平分DCF Ð，故③正确；进而求得AC AE CE CE CG =+=+=，故②错误；当DE AC ^时，点C 与点F 重合，得到CE 不一定等于CF ，故④错误；故选A ．【详解】过E 作EM BC ^，过E 作EN CD ^于N ，如图所示，∵四边形ABCD 是正方形，∴90BCD Ð=°，45ECN Ð=°，∴90EMC ENC BCD Ð=Ð=Ð=°，∴NE NC =，∴四边形EMCN 是正方形，∴EM EN =，∵四边形DEFG 是矩形，∴90DEN NEF MEF NEF Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴DEN MEF Ð=Ð，在DEN V 和FEM △中，DNE FME EN EMDEN FEM Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()DEN FEM ASA V V ≌，∴ED EF =，∴矩形DEFG 是正方形，故①正确；∴DE DG =，90EDC CDG Ð+Ð=°∵四边形ABCD 是正方形∴AD DC =，90ADE EDC Ð+Ð=°∴ADE CDGÐ=Ð在ADE V 和CDG V中AD CD ADE CDGDE DG =ìïÐ=Ðíï=î∴()ADE CDG SAS V V ≌∴AE CG =，45DAE DCG Ð=Ð=°∵90DCF Ð=°∴CG 平分DCF Ð，故③正确；∴AC AE CE CE CG =+=+=，故②错误；当DE AC ^时，点C 与点F 重合，∴CE 不一定等于CF ，故④错误．故选：A【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解本题的关键．11．A B =CD【分析】根三角形中位线的性质，菱形的性质即可解答；【详解】解：∵P 、Q 、M 、N 分别是AD 、BC 、BD 、AC 的中点，∴PN 是△ACD 的中位线，PN =12CD ， MQ 是△BCD 的中位线，MQ =12CD ， ∴MQ =PN =12CD ，同理可得：NQ =PM =12AB ，当AB =CD 时，MQ =PN =NQ =PM ，四边形MQNP 是菱形，∵菱形对角线垂直平分，∴PQ ⊥MN ，故答案为：AB =CD ；【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题关键．12．18【分析】本题考查了矩形的性质，过点P 作GH 分别交AB 、CD 于点G 、H ，证明GPFB EPHD S S =四边形四边形，从而1122GPFB EPHD S S =四边形四边形，即DPE PFB S S =△△，求出PFB S V 的值即可求出整个阴影部分的面积，熟练掌握矩形的性质定理是解题关键．【详解】解：过点P 作GH 分别交AB 、CD 于点G 、H ，如图所示：由矩形性质可知，ADC ABC S S =△△，PFC PHC S S =△△，AGP AEP S S =△△，ABC PFC AGP ADC PHC AEP S S S S S S \--=--△△△△△△，即GPFB EPHD S S =四边形四边形，\1122GPFB EPHD S S =四边形四边形，即DPE PFB S S =△△，2GP AE ==Q ，9PF =，12992PFB DPE S S \=´´==△△，即图中阴影面积为9918DPE PFB S S +=+=△△，故答案为：18．13．45°或135°【分析】分类讨论；当点E 在正方形内部，根据正方形的性质和等边三角形的性质可得AD DC DE ==，30ADE Ð=°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解；当点E 在正方形ABCD 的外部时，根据正方形的性质和等边三角形的性质可得AD DE =，150ADE Ð=°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．【详解】解：当点E 在正方形内部时，∵四边形ABCD 是正方形，∴90ADC Ð=°，AD DC =，∵DEC V 是等边三角形，∴DE DC =，60EDC DEC Ð=Ð=°，∴AD DC DE ==，30ADE Ð=°，∴18030752AED °-°Ð==°，∴==7560=135AEC AED DEC ÐÐ+Ð°+°°；当点E 在正方形ABCD 的外部时，∵四边形ABCD 是正方形，∴90ADC Ð=°，AD DC =，∵DEC V 是等边三角形，∴60EDC DEC Ð=Ð=°，DC DE =，∴AD DE =，9060150ADE Ð=°+°=°，∴180150152AED °-°Ð==°， ∴=6015=45AEC Ð°-°°，故答案为：45°或135°．【点睛】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角定理，熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．14．【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定，菱形的性质，与性质，根据菱形的性质得出2AB BC ==，进而利用矩形的性质得出AB AC =，得出ABC V 是等边三角形，利用矩形的面积解答即可．【详解】解：Q 四边形ABCD 是菱形，2AB BC \==，Q 四边形BCEF 是矩形，FC BE \=，FA AC =，AE AB =，90ACB Ð=°，AB AC \=，1AB AC BC ===Q ，ABC \V 是等边三角形，60ABC \Ð=°，24BE AB \==，在Rt ECB V 中，EC ===\矩形BCEF 的面积2BC EC =×==故答案为：15．53æ-ççè【分析】本题考查勾股定理，矩形的判定与性质以及图形的平移，过点A 作AD BC ^，证明四边形OABD 是矩形，得到OA BD =，OB AD =，根据勾股定理求得BD 和OB 的长度，可得平移的距离，即可求解．【详解】解：如图，过点A 作AD BC ^，∵90AOB OBD BDA Ð=Ð=Ð=°，∴四边形OABD 是矩形，∴OA BD =，OB AD =，由勾股定理可得，2222AB BD AC DC -=-，∴()22983BD BD -=--，∴53BD =，∴53OA =，OB ==∴当点A 与点O 重合时，点A 向左移动53个单位，∴点B 的坐标为53æ-ççè，故答案为：53æ-ççè．16．60或300【分析】当GB ＝GC 时，点G 在BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG ＝60°，即可得到旋转角θ的度数．【详解】解：当GB ＝GC 时，点G 在BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G 在AD 右侧时，取BC 的中点H ，连接GH 交AD 于M ，∵GC ＝GB ，∴GH ⊥BC ，∴四边形ABHM 是矩形，∴AM ＝BH ＝12AD ＝12AG ，∴GM 垂直平分AD ，∴GD ＝GA ＝DA ，∴△ADG 是等边三角形，∴∠DAG ＝60°，∴旋转角θ＝60°；②当点G 在AD 左侧时，同理可得△ADG 是等边三角形，∴∠DAG ＝60°，∴旋转角θ＝360°﹣60°＝300°．故答案为60或300【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．17．(1)()4,0A -，()0,3B -(2)20【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，（1）首先根据菱形的性质得到OA OC =，OB OD =，AC BD ^，然后根据对称的性质求解即可；（2）首先求出4OC =，3OD =，然后利用勾股定理求出5CD ==，然后根据菱形的性质求解即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴OA OC =，OB OD =，AC BD ^，∴点A 与点C 关于点O 对称，点B 与点D 关于点O 对称，∵点C 、点D 的坐标分别是()4,0，()0,3，∴点()4,0A -，点()0,3B -；（2）∵点C 、点D 的坐标分别是()4,0，()0,3，∴4OC =，3OD =，在Rt COD V 中，由勾股定理得：5CD ==，∵四边形ABCD 是菱形，∴5AB BC AD CD ====，∴菱形ABCD 的周长44520CD ==´=．18．(1)矩形，见解析(2)见解析【分析】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定；（1）先证明四边形AEBO 为平行四边形，再由由菱形的性质可证明90BOA Ð=°，从而可证明四边形AEBO 是矩形；（2）依据矩形的性质可得到EO BA =，然后依据菱形的性质可得到AB CD =．【详解】（1）解：四边形AEBO 是矩形，证明如下：∵BE AC AE BD ∥，∥，\四边形AEBO 是平行四边形．又Q 菱形ABCD 对角线交于点OAC BD \^，即90AOB Ð=°．\四边形AEBO 是矩形．（2）证明：Q 四边形AEBO 是矩形EO AB \=，在菱形ABCD 中，AB DC =．EO DC \=．19．(1)见解析(2)AF ，BE ，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（1）作图见解答过程；（2）AF ，BE ，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形．【详解】（1）四边形ABEF 为所求作的菱形．（2）AF AB =Q ，BE AB =，AF BE \=，在ABCD Y 中，AD BC ∥．即AF BE ∥．\四边形ABEF 为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）．AF AB =Q ，\四边形ABEF 为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形．)故答案为：AF ，BE ，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．20．(1)见解析(2)CF AB ^．理由见解析(3)18【分析】此题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等是解题的关键．（1）利用正方形的性质得到PC PA =，45APD CPD Ð=Ð=°，又由已知PE PE =，即可证明AEP CEP △≌△；（2）如图，设AP 与CF 相交于点M ，证明BAP FCP Ð=Ð，由90FCP CMP Ð+Ð=°，AMF CMP Ð=Ð，得到90AMF PAB Ð+Ð=°，即可证明结论；（3）过点C 作CN PB ^于点N ，则90CNP Ð=°．证明四边形CFBN 是矩形，则CN BF =，证明()AAS PCN APB V V ≌，则CN PB BF ==，PN AB =，又由AEP CEP △≌△得到AE CE =，利用等量代换得到218AE EF AF AB \++==，即可得到答案．【详解】（1）解：证明：Q 四边形APCD 为正方形，DP \平分APC Ð，PC PA =，90APC Ð=°，45APD CPD \Ð=Ð=°，又∵PE PE =，(SAS)AEP CEP \≌△△；（2）CF AB ^．理由如下：如图，设AP 与CF 相交于点M ，AEP CEP Q ≌△△，EAP ECP \Ð=Ð，EAP BAP Ð=ÐQ ，BAP FCP \Ð=Ð，90FCP CMP Ð+Ð=°Q ，AMF CMP Ð=Ð，90AMF PAB \Ð+Ð=°，90AFM \Ð=°，CF AB \^；（3）过点C 作CN PB ^于点N ，则90CNP Ð=°．∵18090CFB AFM Ð=°-Ð=°，∴90CFB CNP ABP Ð=Ð=Ð=°∴四边形CFBN 是矩形，∴CN BF =，∵90CPN PCN CPN APB Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴PCN APB Ð=Ð，∵,90AB PN CNP PBA =Ð=Ð=°∴()AAS PCN APB V V ≌，CN PB BF \==，PN AB =，AEP CEP Q ≌△△，AE CE \=，218AE EF AF CE EF AF BN AF PN PB AF AB CN AF AB BF AF AB \++=++=+=++=++=++==即AEF △的周长为18．21．(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】（1）利用网格特征连接,AP BP 并延长，即可作以点P 为对称中心的平行四边形ABEF ；（2）取格点E ，连接AE 交BC 于点H ，取格点F ，连接CF 交AD 于点G ，连接CG ，AH ，即可作四边形CGAH 为矩形；（3）取格点,,E P Q ，连接,,,AE PQ ED PQ 与ED 交于点F ，连接AF 并延长交CD 于点N 即可．【详解】（1）解：如图①中，平行四边形ABEF 即为所求；理由：BP FP AP EP ======Q ，∴四边形ABEF 是平行四边形．（2）解：如图②中，矩形CGAH 即为所求；理由：如图12903490Ð+Ð=°Ð+Ð=°Q ，，1234180Ð+Ð+Ð+Ð=\°，∵4CO AG ==，5BC AE ===，3BO EG ==，BCO EAG \V V ≌，∴13Ð=Ð，24ÐÐ=，1490\Ð+Ð=°，即90AHB Ð=°，同理可得90DGC Ð=°，5,CD AB CD AB ==∥Q ，ABCD \是平行四边形，,,B D AD BC AD BC \Ð=Ð=∥，,,90B D CD AB AHB DGC Ð=Ð=Ð=Ð=°Q ，()AHB CGD AAS \V V ≌，DG BH \=，,AG CH AG CH \=∥，\四边形CGAH 是矩形；（3）解：如图③中，45DAN Ð=o ，点N 即为所求．理由：5,3,4AE AD AG EH DG AH ======Q ，()AEH DAG SSS \V V ≌，12\Ð=Ð，2390Ð+Ð=°Q ，1390\Ð+Ð=°，90DAE \Ð=°，ADE \V 是等腰直角三角形，,DQ PE DQ PE =∥Q ，,FDQ FEP FQD FPE \Ð=ÐÐ=Ð，()FQD FPE ASA \V V ≌，DF EF \=，,AF DE AF \^平分DAE Ð，1452DAN DAE \Ð=Ð=°．【点睛】本题主要考查了中心对称图形，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．(1)30，t ，()122t -(2)存在，2t =时，四边形APHQ 是菱形(3)t 的值为3或245【分析】（1）证明AOB V 是等边三角形，推出60BAC Ð=°，可得结论；（2）存在，当AP AQ =时，四边形APHQ 是菱形，构建方程求解即可；（3）分两种情形，当90QPH Ð=°时，当90QPH Ð=°时，存在一点G ，使P 、Q 、G 、H 四点构成的四边形是矩形，分别构建方程求解．【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，90AC BD OA OC ABC \==Ð=°，，，OA OB \=，60AOB Ð=°Q ，AOB \V 是等边三角形，60BAO \Ð=°，906030°°\Ð=-°=ACB ，6cm AB =Q ，212cm AC AB \==，QH CB ^Q ，90QHC \Ð=°，2cm CQ t =Q ，()122cm AQ t \=-，1cm 2QH CQ t ==，故答案为：30，t ，()122t -；（2）存在某一时刻t ，使四边形APHQ 为菱形由题意得：HQ AP ∥，cm AP QH t ==，\四边形APHQ 是平行四边形，当AP AQ =时，四边形APHQ 是菱形，122t t \=-，4t \=，4t \=时，四边形APHQ 是菱形；（3）当90PQH Ð=°时，存在一点P 、Q 、G 、H 四点构成的四边形是矩形，此时四边形PBHQ 是矩形，所以PB QH =，6t t \-=，3t \=；当90QPH Ð=°时，存在一点P 、Q 、G 、H 四点构成的四边形是矩形，根据解析（2）可知，四边形APHQ 为平行四边形，60QHP BAC \Ð=Ð=°，90QPH Ð=°Q ，30PQH \Ð=°，QH AP ∥Q ，30APQ PQH \Ð=Ð=°，2AP AQ \=，()2122t t \=-，245t \=，综上所述，满足条件的t 的值为3或245．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．23．(1)6(2)①见解析；②【分析】本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．（1）过点E 作EM AD ^于M ，利用角平分线的性质定理解决问题即可．（2）①连接EB ，证明DE EB =，EF EB =，可得结论；②证明SAS GDA EDC ≌（）△△，推出AG EC =，可得结论．【详解】（1）解：如图①中，过点E 作EM AD ^于M ，EN AB ^于N ．Q 四边形ABCD 是正方形，∴45EAM EAN Ð=Ð=°，Q EM AM ^，EN AN ^，∴6EM EN ==，∴点E 到AB 的距离为6，故答案为：6．（2）①证明：如图②中，连接EB ．Q 四边形ABCD 是正方形，\CD CB =，45DCE BCE Ð=Ð=°，在DCE △和BCE V 中，CD CB DCE BCE CE CE =ìïÐ=Ðíï=î，\SAS DCE BCE ≌（）△△，\DE EB =，CDE CBE =∠∠，Q 90ADC ABC Ð=Ð=°，\EBF ADE Ð=Ð，Q DE EF ^，\90DEF DAF Ð=Ð=°，\180ADE AFE Ð+Ð=°，Q 180AFE EFB °Ð+Ð=，\ADE EFB Ð=Ð，\EFB EBF Ð=Ð，\EF EB =，答案第23页，共23页\=DE EF ，Q 四边形DEFG 是矩形，\四边形DEFG 是正方形．②解：如图③中，Q 四边形DEFG ，四边形ABCD 都是正方形，\90ADC GDE Ð=Ð=°，DA DC =，DG DE =，\GDA EDC Ð=Ð，在GDA △和EDC △中，DG DE GDA EDC DA DC =ìïÐ=Ðíï=î，\SAS GDA EDC ≌（）△△，\AG EC =，\AG AE EC AE AC +=+=，在Rt ADC V 中，AD CD =，由勾股定理有AC ====，\AG AE EC AE AC +=+===。

《第1章特殊平行四边形》专题培优提升训练2021-2022学年北师大版九年级数学上册

2021年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》专题培优提升训练（附答案）1．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．（1）当α＝20°时，求∠DAE的度数；（2）判断△AEG的形状，并说明理由；（3）当GF＝1时，求CE的长．2．如图，O是正方形ABCD对角线AC，BD的交点，AF平分∠BAC，交BD于点M，DE ⊥AF于点H，分别交AB，AC于点E，G．（1）证明△AED≌△BF A；（2）△ADM是等腰三角形吗？请说明理由；（3）若OG的长为1，求BE的长度．3．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．（1）求证：CE＝FE；（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面积．4．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN＝1．（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；（2）求△BMN面积的最小值．5．如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．6．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，H是AF的中点．（1）求证：CH＝AF；（2）若BC＝1，CE＝3，求CH的长．7．四边形ABCD是正方形，点M在边BC上（不与端点B、C重合），点N在对角线AC上，且MN⊥AC，连接AM，点G是AM的中点，连接DN、NG．（1）若AB＝10，BM＝2，求NG的长；（2）求证：DN＝NG．8．如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．（1）如图1，求证EB＝GD；（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的长．9．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．10．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），O是对角线AC的中点，过点O的直线EF⊥AC交AD边于E，交BC边于F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．11．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．12．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．13．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．14．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF ∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）求证：四边形AECF是菱形．（3）若ED＝6，AE＝10，则菱形AECF的面积是多少？15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．16．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．17．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BD上一点，延长AE到点N，使AE ＝EN，连接CN、CE．（1）求证：△CAN为直角三角形．（2）若AN＝4，正方形的边长为6，求BE的长．18．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．20．探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．21．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，作BF⊥CE于点F，交OC于点G．（1）求证：BG＝CE；（2）若AB＝4，BF是∠DBC的角平分线，求OG的长．参考答案1．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AB＝AD，∵∠CDE＝20°，∴∠ADE＝70°，∵DE＝AB，∴DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°．（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，∴DG是AE的垂直平分线，∴AG＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∵DE＝DC＝AD，∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，∴∠DEA+∠DEC＝135°，∴∠GEA＝45°，∴∠GAE＝∠GEA＝45°，∴∠AGE＝90°，∴△AEG为等腰直角三角形．（3）如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB＝，∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，∴GF＝AF＝EF＝1，∴AG＝GE＝，∵AC2＝AG2+GC2，∴10＝2+（EC+）2，∴EC＝（负根已经舍弃）．2．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAE＝∠ABF＝90°，AD＝AB，∵DE⊥AF，∴∠DAH+∠ADE＝90°，∵∠DAH+∠BAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，在△AED和△BF A中，，∴△AED≌△BF A（ASA）．（2）△ADM是等腰三角形，理由如下：∵∠BAC＝45°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝22.5°，∴∠DAM＝∠DAC+∠CAF＝67.5°，∴∠DMA＝180°﹣∠DAM﹣∠ADM＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠DAM＝∠DMA，∴△ADM是等腰三角形．（3）∵∠ADE＝∠BAF＝22.5°，∴∠CDG＝∠ADC﹣∠ADE＝67.5°，∴∠DGC＝180°﹣∠GCD﹣∠CDG＝67.5°，∴CG＝CB，∵AE∥CD，∴∠AEG＝∠CDG＝67.5°，∴AE＝AG，如图，作FK⊥AC于点K，设AG＝AE＝x，∵AO＝AG+OG＝x+1，∴AB＝BC＝AO＝（x+1），AC＝2AO＝2（x+1），∵△AED≌△BF A，∴BF＝AE＝x，∵AF平分∠BAC，∴FK＝BF＝x，∵S△ABF＝AB•BF，S△ACF＝AC•FK，∴＝＝，又∵＝，∴＝＝，即＝，解得x＝，∴BE＝AB﹣AE＝（x+1）﹣x＝2．解法二：BF＝x之后，可以直接AB＝（x+1），BC＝x+x，由AB＝BC，可以直接解出x．3．解：（1）连结DE，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，在△ABE和△DF A中，，△ABE≌△DF A（AAS），∴AB＝CD＝DF，在Rt△DFE和Rt△DCE中，，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）．∴CE＝FE．（2）∵△DEF≌△DEC，∴FE＝CE＝1，DC＝DF＝5，设AD＝x，则AF＝AE﹣EF＝AD﹣1＝x﹣1，在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF2+DF2＝AD2，∴（x﹣1）2+52＝x2，∴x＝13，即AD＝13，∴S矩形ABCD＝AD•DC＝65．4．（1）证明：如图所示，连接BD，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴∠ADB＝∠NDB＝60°，故△ADB是等边三角形，∴AB＝BD，又AM+CN＝1，DN+CN＝1，∴AM＝DN，在△AMB和△DNB中，，∴△AMB≌△DNB（SAS），∴BM＝BN，∠MBA＝∠NBD，又∠MBA+∠DBM＝60°，∴∠NBD+∠DBM＝60°，即∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；（2）解：过点B作BE⊥MN于点E．设BM＝BN＝MN＝x，则，故，∴当BM⊥AD时，x最小，此时，，．∴△BMN面积的最小值为．5．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF＝FC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，根据勾股定理，得AE＝＝＝5，∵四边形AECF是菱形，∴EC＝AE＝5，∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB，∵DG⊥AE，∴∠DGA＝∠B＝90°，∴DG＝．6．（1）证明：如图，延长AD交EF于M，连接AC，CF，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，∵H为AF的中点，∴；（2）解：方法一：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，在Rt△AMF中，由勾股定理得：＝，∴．方法二：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，∴AC＝，CF＝3，∴AF＝＝，∴．7．解：（1）∵∠B＝90°，AB＝10，BM＝2∴AM＝∵MN⊥AC，点G是AM的中点∴GN＝（2）证明：过点D作DE⊥AC于点E∵四边形ABCD是正方形∴DE＝∵AC为正方形对角线∴∠ACB＝45°∵MN⊥AC∴MN＝NC设MN＝NC＝a，AN＝b∴由勾股定理AM＝∵MN⊥AC，点G是AM的中点∴GN＝∵AC＝a+b∴DE＝EC＝∴EN＝EC﹣NC＝DN＝∴DN＝NG8．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△AGD和△AEB中，，∴△AGD≌△AEB（SAS），∴EB＝GD；（2）解：作AH⊥DG于H，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AD＝AB＝5，AE＝AG＝3．∴由勾股定理得：EG＝＝6，AH＝GH＝EG＝3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴DH＝＝4，∴BE＝DG＝DH+GH＝3+4＝7．9．解：（1）结论：PB＝PQ，理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形．∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ；（2）结论：PB＝PQ．理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ．10．（1）证明：∵O是对角线AC的中点，∴AO＝CO，∵矩形ABCD的边AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，∵EF⊥AC，∴∠AOE＝∠COF＝90°，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形；（2）解：∵AE＝10cm，四边形AFCE是菱形，∴AF＝AE＝10cm，设AB＝x，∵△ABF的面积为24cm2，∴BF＝，在Rt△ABF中，根据勾股定理，AB2+BF2＝AF2，即x2+（）2＝102，x4﹣100x2+2304＝0，解得，x1＝6，x2＝8，∴BF＝＝8cm，BF＝＝6cm，所以，△ABF的周长＝6+8+10＝24cm．11．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．12．解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，∵BA＝BC，∴BA＝3x．在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即40＝x2+9x2，解得x＝2．∴AB＝3x＝6．（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．∵DE＝DA，DP⊥AF∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF≌△ADH（SAS）．∴AF＝AH，BF＝DH．∵Rt△F AH是等腰直角三角形，∴HF＝AF．∵HF＝DH+DF＝BF+DF，∴BF+DF＝AF．13．解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝2，∴DM＝BD＝．方法二：过M作MH⊥DF于H，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形，∴∠CEF＝45°，∴∠AEB＝∠CEF＝45°，∴BE＝AB＝8，∴CE＝CF＝14﹣8＝6，∵MH∥CE，EM＝FM，∴CH＝FH＝CF＝3，∴MH＝CE＝3，∴DH＝11，∴DM＝＝．14．（1）证明：∵PQ为线段AC的垂直平分线，，∴AE＝CE，AD＝CD，∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD（AAS）；（2）证明：∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝F A，∴EC＝EA＝FC＝F A，∴四边形AECF为菱形；（3）解：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，∵ED＝6，AE＝10，∴EF＝2ED＝12，AD＝＝8．∴AC＝2AD＝16，∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝×16×12＝96．15．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．16．解：（1）∵MN∥BC，∴∠3＝∠2，又∵CF平分∠GCO，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴FO＝CO，同理：EO＝CO，∴EO＝FO．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，由（1）可知，FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO，∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，∵MN∥BC，∴∠AOE＝∠ACB∵∠ACB＝90°，∴∠AOE＝90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．17．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE；∵AE＝CE，AE＝EN，∴∠EAC＝∠ECA，CE＝EN，∴∠ECN＝∠N，∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N＝180°，∴∠ACE+∠ECN＝90°，即∠ACN＝90°，∴△CAN为直角三角形；（2）∵正方形的边长为6，∴AC＝BD＝6，∵∠ACN＝90°，AN＝4，∴CN＝＝2，∵OA＝OC，AE＝EN，∴OE＝CN＝，∵OB＝BD＝3，∴BE＝OB+OE＝4．18．证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD．在△AFE和△DCE中，∴△AEF≌△DEC（AAS）．∴AF＝DC，∵BD＝DC，∴AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形；（2）∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC．∴∠ADB＝90°．∵四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形．19．（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴四边形BECD是菱形；（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．20．解：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立．理由如下：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，则△ADF≌△ABF′，∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，∠ABF′＝∠D，又∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAE+∠BAF′，∴∠EAF＝∠EAF′，又∵∠ABC+∠D＝180°，∴∠ABF′+∠ABE＝180°，∴F′、B、E三点共线，在△AEF与△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又∵EF′＝BE+BF′，∴EF＝BE+DF；（3）发生变化．EF、BE、DF之间的关系是EF＝BE﹣DF．理由如下：如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点F′处，得到△ABF′，∴△ADF≌△ABF′，∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，又∵∠EAF＝∠BAD，且∠BAF′＝∠DAF，∴∠F′AE＝∠BAD﹣（∠BAF′+∠EAD）＝∠BAD﹣（∠DAF+∠EAD）＝∠BAD﹣∠F AE＝∠F AE，即∠F′AE＝∠F AE，在△F′AE与△F AE中，，∴△F′AE≌△F AE（SAS），∴EF＝EF′，又∵BE＝BF′+EF′，∴EF′＝BE﹣BF′，即EF＝BE﹣DF．21．（1）证明：∵正方形ABCD中，AC、BD相交于O，∴BO＝CO，BO⊥CO，∵BF⊥EC，∴∠5＝∠6＝∠7＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∴△BOG≌△CEO，（AAS）∴BG＝CE．（2）解：∵BF是∠DBC的角平分线，∴∠1＝∠8，∵BF＝BF，∠9＝∠6＝90°，∴△BEF≌△BCF（ASA），∴BE＝BC＝4，∵四边形BCD是正方形∴∠AOB＝90°，AO＝BO设AO为x，由勾股定理，得2x2＝42解得x＝2∵△BOG≌△COE∴OG＝OE∵OE＝BE﹣BO＝4﹣2，∴OG＝4﹣2．。

八年级数学第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷 (21)(含解析)

6．B
【解析】
根据余角的性质得到∠FAC＝∠ABC，根据全等三角形的性质得到S△FAM＝S△ABN，推出S△ABC＝S四边形FNCM，根据勾股定理得到AC2＋BC2＝AB2，解方程组得到3AB2＝57，于是得到结论．
，
∴△FBC≌△GDC（SAS），
∴∠BCF＝∠DCG，
∴∠BFM＝∠FCD＝∠DCG+∠FCG＝∠BCF+∠FCG，
∴当且仅当∠FCG＝45°时，∠BFM＝∠BMF，故②错误；
③∵GE∥BD，
∴∠FMB＝∠GFC，
∵△FBC≌△GDC，
∴CF＝CG，
∴∠GFC＝∠CGF，
∴∠FMB＝∠CGF，
∴∠CGF﹣∠BAE＝∠FMB﹣∠BCM＝∠MBC＝45°，故③正确；
①点P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP AR；④△BRP≌△QSP．
A．全部正确B．①②正确C．①②③正确D．①③正确
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（）
A． B． C． D．
4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是边CB延长线上一点，F为AB边上一点，BE＝BF，连接EF并延长交线段AD于点G，连接CF交BD于点M，连接CG交BD于点N．则下列结论：
①AE＝CF；
②∠BFM＝∠BMF；
③∠CGF﹣∠BAE＝45°；
④当∠BAE＝15°时，MN＝．
其中正确的个数有（）
A．1B．2C．3D．4
5．如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的周长为（）
A．20B．22C．24D．26

北师大八年级数学下平行四边形拓展提高

平行四边形拓展提高1、如图，在 ABC 中，BD 是 ABC 的角均分线， DE ∥BC ，交 AB 于点 E ，AEF ∥AC ，交 BC 于点 F ，试判断线段 BE 和 FC 的大小关系 .2、如图，□ ABCD 中， AF 均分BAD 交直线 BC 于 F ，DE 均分ADC 交直线 CB 于 E ，试说明EDBFCADBE=CF 。

MN3、如图，某村有一口呈四边EC形BF的池塘，在它的四个角A 、B 、C 、D 处均种有一棵大核桃树，这村准备开挖池塘建养鱼池A，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行BD四边形形状，请问这村可否实现这一假想？若能，请你设计并画出图形；若不可以，请说明原因．C4．已知如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ A = 60，E 、 F 分别为 AB 、 CD 的中点， AB = 2AD ，求证： BD =3 EF ．DFC5、如图，已知 CD 是 ABC 的中线， CN=MN ，求证： AM=CBAEB6、如图，在□ ABCD 中， BC=2AB ， M 为 AD 的中点， CE ⊥ AB 于点 E ，连结 ME ，试说明 DME=3 AEM7、如图，已知 ABC 的面积为 36，将 ABC 沿 BC 平移到A B C中,使B和 C 重合，连结AC交 AC 于 D，则CDC的面积为（）A、6B、9C、12D、188、在四边形ABCD 中， ACBD 订交于 O 点， AC=BD,E 、 F 分别是 AB 、CD 的中点 ,连结 EF 分别交 AC 、BD 于 M 、N，判断三角形MON 的形状，并说明原因。

9、如图，在四边形 ABCD 中， AB=CD,E 、 F 分别是 BC、 AD 的中点，连结 EF 并延伸，分别与 BA 、CD 的延伸线订交于 M 、N。

求证：∠ BME= ∠CNE MNA10、如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D 、F 分D别在线段BC、EAB 上，∠ EFB=60 °， DC=EF ．（1）求证：四边形EFCD 是平行四边形；CB F（2）若 BF=EF ，求证： AE=AD ．11．如图，△ACD 、△ABE 、△BCF 均为直线B C 同侧的等边三角形．当 AB ≠AC 时，证明：四边形ADFE 为平行四边形；．。