中考圆有关的动点几何压轴题

北辰教育学科老师辅导讲义

（3）联结P B ，当点P 是AB 的中点时，求△ABP 的面积与△ABD 的面积比

ABD

ABP

S S ∆∆的值． 定圆结合直角三角形，考察三

角形相似，线段与三角形周长

的函数关系

2（2010上海）如图，

在Rt △ABC 中，∠ACB=90°．半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连接DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P ．

（1）当∠B=30°时，连接AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长； （2）若CE=2，BD=BC ，求∠BPD 的正切值；

（3）若tan ∠BPD=，设CE=x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式．

定圆结合直角三角形，考察两线段函数关系，圆心距，存在性问题

3．如图，在半径为5的⊙O 中，点A 、B 在⊙O 上，∠AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，设AC=x ，BD=y ．

（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；

（2）如果⊙O 1与⊙O 相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD=OB 时，求⊙O 1的半径； （3）是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．

定圆中结合平行线，弧中点，考察两线段函数关系，圆相切

4（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分）

在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ．

（1） 如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （2） 如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长；

（3） 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长．

动圆结合直角梯形，考察圆相切和相似

5（14分）（2014金山区二模）如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=4，AD=3，sin ∠DCB=，P 是边CD 上一点（点P 与点C 、D 不重合），以PC 为半径的⊙P 与边BC 相交于点C 和点Q ． （1）如果BP ⊥CD ，求CP 的长；

（2）如果PA=PB ，试判断以AB 为直径的⊙O 与⊙P 的位置关系；

O

P

D C B

A

第25题图

备用图

O

C B

A

A

B

E F C

D

O

（第25题图1）

A B E

F C D O

解得5=x ，即⊙O 的半径为5．………………………………………………（1分） （2）过点O 作OH ⊥AD 于点H ． ∵OH 过圆心，且OH ⊥AD ． ∴x AP AH 2

1

21==

．………………………（1分） 在Rt △AOH 中，可得22AH AO OH -=

即21004252

2

x

x OH -=-

=．…………（1分） 在△AOH 和△ACD 中，

OHA C ∠=∠，CAD HAO ∠=∠，∴△AOH ∽△ADC ．……………………（1分）

∴AC

AH CD OH =

．即8242-1002x

y x =+． 得410082

--=

x

x y ．………………………………………………………（1分） 定义域为540<

（3）∵P 是AB 的中点，∴AP =BP ．∵AO =BO ，∴PO 垂直平分AB ．

设α=∠CAB ，可求得α=∠ABO ，α2=∠COB ，α290-=∠οOBC ，

α-=∠ο90AOP ，α+=∠ο90ABD ，α+=∠=∠ο902APO APB ． ∴APB ABD ∠=∠．

∴△ABP ∽△ABD ．…………………………（1分） ∴ABD ABP S S ∆∆2

⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB AP ．………………………（1分） D ABP ∠=∠．

由AP =BP 可得PAB ABP ∠=∠． ∴D PAB ∠=∠．

∴54==AB BD ，即54=y ．…………（1分）

由410082

--=

x x y 可得510502-=x ，即510502-=AP ．………（1分） ABD ABP S S ∆∆85

580510502

-=-=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=AB AP ．……………………………………（1分） 2考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形。

专题：几何综合题；压轴题。 分析：（1）当∠B=30°时，∠A=60°，此时△ADE 是等边三角形，则∠PEC=∠AED=60°，由此可证得∠P=∠B=30°；若△AEP 与△BDP 相似，那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°，此时EP=EA=1，即可在Rt △PEC 中求得CE 的长；

（2）若BD=BC ，可在Rt △ABC 中，由勾股定理求得BD 、BC 的长；过C 作CF ∥DP 交AB 于F ，易证得△ADE ∽△AFC ，根据得到的比例线段可求出DF 的长；进而可通过证△BCF ∽△BPD ，根据相似三角形的对应边成比例求得BP 、BC 的比例关系，进而求出BP 、CP 的长；在Rt △CEP 中，根据求得的CP 的长及已知的CE 的长即可得到∠BPD 的正切值；

（3）过点D 作DQ ⊥AC 于Q ，可用未知数表示出QE 的长，根据∠BPD （即∠EDQ ）的正切值即可求出DQ 的长；在Rt △ADQ 中，可用QE 表示出AQ 的长，由勾股定理即可求得EQ 、DQ 、AQ 的长；易证得△ADQ ∽△ABC ，根据得到的比例线段可求出BD 、BC 的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到y 、x 的函数关系式． 解答：解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=90°， ∴∠BAC=60°． ∵AD=AE ，

H

O

P

D C B

A