1.4.1 运用立体几何中的向量方法解决平行问题(教师版)

1.4.1运用立体几何中的向量方法解决平行问题

一、单选题

1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段AB 上一点,且23

AC AB =

,则点C 的坐标为（

）

A ．715(,,)222-

B ．3(,3,2)8-

C ．7(,1,1)3--

D ．573(,,222

-【答案】C

【解析】设C 的坐标是（x ，y ，z ）

∵A (3,3,-5),B (2,-3,1)，∴166,335AB AC x y z =--=--+

（，，）（，，）

∵23AC AB = ，∴

2335166,3x y z --+=--（，，）（，，）由此解得7

,1,1,3

x y z ==-=-，故选C.2．在正方体1111ABCD A B C D -中,平面1ACB 的一个法向量为（）A ．1

BD

B ．DB

C ．1

BA D ．1

BA

【答案】A

【解析】如图所示，

由正方体的性质可得：BD 1⊥B 1C ，BD 1⊥AC ．∴BD 1⊥平面ACB 1．

∴平面ACB 1的一个法向量为1BD

．故选A ．

3．已知空间四边形ABCD 中,AC=BD,顺次连接各边中点P,Q,R,S,如图,所得图形是（

）

A ．长方形

B ．正方形

C ．梯形

D ．菱形

【答案】D

【解析】因为111222PQ BQ BP BC BA AC =-=-= .同理12SR AC = ,所以PQ SR = ,

所以四边形PQRS 为平行四边形.又111222

PS AS AP AD AB BD =-=-=

,

所以|PS |=1|2BD |,即PS=12BD.又|PQ |=1|2AC |,故PQ=1

2

AC ,而AC=BD ,

所以PS=PQ ,故四边形ABCD 为菱形.故选D ．

4．如图，在平行六面体ABCD -1111A B C D 中，点,,M P Q 分别为棱AB ，,CD BC 中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出下列说法：

①1A M ∥1D P ；②1A M ∥1B Q ；

③1A M ∥平面11DCC D ；④1A M ∥平面11D PQB ，则以上正确说法的个数为（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C

【解析】连接PM ，因为M 、P 为AB 、CD 的中点，故PM 平行且等于AD 。由题意知AD 平行且等于11A D 。故PM 平行且等于11A D 。所以11PMA D 为平行四边形，故①正确。显然1A M 与1B Q 为异面直线。故②错误。由①知1A M ∥1 D P 。由于1D P 即在平面11DCC D 内，又在平面11D PQB 内。且1A M 即不在在平面11DCC D 内，又不在平面11D PQB 内。故③④正确故选C 5．若AB =λCD +μCE

,则直线AB 与平面CDE 的位置关系是（）

A ．相交

B ．平行

C ．在平面内

D ．平行或在平面内.

【答案】D

【解析】∵AB =λCD

+μCE ,∴,,AB CD CE 共面,则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内.故选D

6．若点A (a ,0,0),B (0,b ,0),C (0,0,c )，则平面ABC 的一个法向量为（

）

A ．(bc ,ac ,ab )

B ．(ac ,ab ,bc )

C ．(bc ,ab ,ac )

D ．(ab ,ac ,bc

【答案】A

【解析】设法向量为n=(x ,y ,z ),则AB ·n=0,AC

·n=0,则0

0ax by ax cz -+=⎧⎨

-+=⎩

，所以n=(bc ,ac ,ab ).故选A

7．在如图所示的坐标系中，1111ABCD A B C D -为正方体，给出下列结论：

①直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)；②直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)；③平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)；④平面1B CD 的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为()A ．1B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C

【解析】 DD 1∥AA 1,1AA =(0,0,1)，故①正确；BC 1∥AD 1,1AD

=(0,1,1),故②正确；

直线AD ⊥平面ABB 1A 1,AD

=(0,1,0).故③正确；点C 1的坐标为(1,1,1),1AC 与平面B 1CD 不垂直,故④错.

故选C

8．已知空间三点坐标分别为A （4,1,3），B(2,3,1），C （3,7，-5），又点P （x,-1,3)在平面ABC 内，则x 的值（）

A ．-4

B ．1

C ．10

D ．11

【答案】D

【解析】(),1,3P x - 点在平面ABC 内,,λμ∴存在实数使得等式AP AB AC λμ=+

成立()()()

4,2,02,2,21,6,8x λμ∴--=--+--

42226028x λμλμλμ-=--⎧⎪

∴-=+⎨⎪=--⎩

，消去λμ，解得11x =,故选D 9．若平面α，β的法向量分别为1,1,32a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭

，()1,2,6b =-

，则（

）

A ．//αβ

B ．α与β相交但不垂直

C ．αβ⊥

D ．//αβ或α与β重合

【答案】A

【解析】因为平面α，β的法向量分别为1,1,32

a ⎛⎫

=-- ⎪⎝⎭

，()1,2,6b =-

,即2a b =-

，所以//a b

r r

所以//αβ,故选A

10．若平面α，β平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（

）

A ．()11,2,3n = ，()23,2,1n =-

B ．()11,2,2n = ，()22,2,1n =-

C ．()11,1,1n = ，()

22,2,1n =- D ．()11,1,1n = ，()

22,2,2n =--- 【答案】D

【解析】两个平面平行时，其法向量也平行，

对于A 选项，

123

321

≠≠-，则1n u r 与2n u u r 不共线，A 选项不合乎题意；对于B 选项，

122

221

≠≠-，则1n u r 与2n u u r 不共线，B 选项不合乎题意；对于C 选项，

111

221

≠≠-，则1n u r 与2n u u r 不共线，C 选项不合乎题意；对于D 选项，111

222

==---，则1n u r 与2n u u r 共线，D 选项合乎题意.故选D.11．已知平面α内的三点()0,0,1A ，()0,1,0B ，()1,0,0C ，平面β的一个法向量为()1,1,1n =---

，且

β与α不重合，则（

）

A ．//αβ

B ．αβ⊥

C ．α与β相交但不垂直

D ．以上都不对

【答案】A