1.4.1 运用立体几何中的向量方法解决平行问题(教师版)
第52讲 用向量法解决空间中的平行与垂直及角问题(上课版)
令b＝1可得n＝(0,1,1)，
MN n 6 sin 3 n
6 ∴直线MN与平面SAB所成的角的正弦值为 3
2．(2010· 苏北四市联系)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是BC 的中点，点E在D1C1上，且D1E＝ 面D1AC所成角的正弦值． D1C1，试求直线EF与平
(2010· 徐州质检)如图所示，在四棱锥S－OABC中， 底面四边形OABC是直角梯形，且∠COA＝∠OAB＝
＝OS＝AB＝1，OC＝4，点M是棱SB的中点，N是OC上的点， 2
z轴 建立空间直角坐标系O－xyz. (1)求异面直线MN与BC所成的
，OA
且ON∶NC＝1∶3，以OC，OA，OS所在直线分别为x轴，y轴，
以d为原点射线dadcdp为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系则p001c02012而平面ecd的一个法向量n001二面角pecd的平面角当ae2时二面角pecd的平面角为利用空间向量解决空间中线面位置关系的论证空间中各种角的求解问题以代数运算代替复杂的空间的想象给解决立体几何问题带来了鲜活的方法
一、点、直线、平面的位置的向量表示
l
a
l
|au| l , 的夹角为 ， cos( ) 2 | a || u |
u
u v
| uv | , 的夹角为 ， cos | u || v |
u
v
| uv | , 的夹角为 ， cos | u || v |
∴cos〈
〉＝
＝
＝－
，
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(5分) 所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为 .(6分)
用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系(课时教学设计)-高中数学人教A版2019选择性必修一
空间中直线、平面的平行、垂直教学设计（一）教学内容空间直线、平面间的平行、垂直关系的向量表示，证明直线、平面位置关系的判定定理.（二）教学目标通过用向量方法判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系．发展用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行、垂直关系的判定定理的能力．提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.（三）教学重点及难点重点：用向量方法解决空间图形的平行、垂直问题．难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，如何把立体几何问题转化为空间向量问题．（四）教学过程设计新课导入：因为空间向量可以表示空间中的点、直线、平面，所以自然地会联想到利用空间向量及其运算可以表示“直线与直线”“直线与平面”和“平面与平面”之间的平行、垂直等位置关系，解决此问题的关键是转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.教材对空间中直线、平面的平行和垂直两种位置关系分开研究，首先研究空间中直线、平面的平行.1.空间中直线、平面的平行问题1：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？师生活动：学生思考，教师点拨.问题1.1由直线与直线平行，可以得到直线的方向向量间有什u1l1u2l2的方向向量分别为u,v ,则l 1//l 2u //v u =λv , λ∈R.问题1.2由直线与平面平行、平面与平面平行，可以得到直线与面平行.得出结论：直线与平面平行还可以用直线的方向向量与平面法向量垂直进行，平面平行可以转化为法向量共线，教师可以结合右图启发学生对此进行研究.设计意图: 实现将直线平行与直线的方向向量平行的互相转化，直线和平面的平行与直线的方向向量和平面法向量垂直的转化，平面平行与平面法向量共线的转化. 2．空间中直线、平面的平行例题例2. 已知:如图，a ⊄β，b ⊂β，a ⋂b =P ， a //α，b //α. 求证:α//β.师生活动：学生读懂题意，尝试分析解答.老师引导分析.分析：设平面α的法向量为n ，直线a ，b 的方向向量分别为u ，v ，则由已知条件可得n·u =n·v =0，由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.学生完成证明, 教师示范解答. 证明：如图，取平面α的法向量n ，直线a ，b 的方向向量u ，v .αn 1βn 2a buvP αnβ因为a //α，b //α， 所以n·u =0，n·v =0.因为a ⊂β，b ⊂β，a ⋂b =P ，所以对任意点Q ∈β，存在x ，y ∈R,使得 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xu +yv . 从而n·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =n·(xu +yv )=xn· u +yn· v =0. 所以，向量n 也是平面β的法向量．故α//β.设计意图：例2是用向量方法证明平面与平面平行的判定定理，设置例2的目的是使学生体会利用法向量证明两个平面平行的一般基本思路.例3.如图在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BC=3，CC 1=2． 线段BC 上是否存在点P ，使得A 1P//平面 ACD 1? 师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析.分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，以及平面ACD 1的法向量n 等都可以用坐标表示．如果点P 存在，那么就有n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由此通过向量的坐标运算可得结果.学生完成求解，教师示范解答.解:以D 为原点，DA ，DC ，DD 1，所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A,C,D 1的坐标分别为(3,0,0)，(0,4,0)，(0,0,2)， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,2). 设n =(x,y,z )是平面ACD 1的法向量， 则n·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−3x +4y =0−3x +2z =0),所以x =23z ，y =12z .取z =6,则x =4,y =3, 所以n =(4,3,6)是平面ACD 1的一个法向量,由A,C,B 1的坐标分别为（3,0,2)，(0,4,0)，(3,4,2)， 得A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,-2)DABC D 1A 1B 1C 1设点P 满足B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ≤1)， 则B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,0,-2λ)，所以A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,4,-2λ).令n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=12，这样的点P 存在 所以,当B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即P 为B 1C 的中点时，A 1P//平面ACD 1.设计意图：例3是用向量方法判断直线与平面平行的问题，设置例3的目的是使学生体会利用法向量和坐标法解决直线与平面平行问题的一般思路.本题也可以利用共面的充要条件求解. 3.空间中直线、平面的垂直问题2：在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？师生活动：教师引导学生结合图形研究线与面垂直，两平面垂直.教师引导学生类比已经经历了研究空间中直线、平面平行的过程，对直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直关系的研究可以类似地进行，让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式.问题2.1 直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1，v 2，直线l 1，l 2垂直时,方向向量v 1，v 2有什么关系？师生活动：让学生自主探究显现垂直时，直线方向向量v 1，v 2有什么关系，教师展示答案.问题 2.2：由直线与平面的垂直关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究线面垂直时，直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.问题2.3：由平面与平面的垂直关系,可以得到这两个平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究面面垂直时，两个平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.设计意图：让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式，进一步体会空间向量在研究直线、平面间位置关系中的作用. 4.空间中直线、平面的垂直例题例4 如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，求证：直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.师生活动：学生读懂题意，尝试解答，老师引导分析.分析：根据条件建立适当的基底向量，通过向量运算证明直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.证明：设AB a =，AD b =，1AA c =，则{,,}a b c 为空间的一个基底且1AC a b c =+-，BD b a =-，1BB c =.因为AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°， 所以2221ab c ===，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=. 在平面BDD 1B 1上，取BD 、1BB 为基向量，则对于面BDD 1B 1上任意一点P ，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得1BP BD BB λμ=+. 所以，1111()()()0AC BP AC BD AC BB a b c b a a b c c λμλμ⋅=⋅+⋅=+-⋅-++-⋅=. 所以1AC 是平面BDD 1B 1的法向量． 所以A 1C ⊥平面BDD 1B 1.设计意图：设置例 4 的目的是使学生体会“基底法”比“坐标法”更具有一般性.教学时要注意让学生体会空间向量基本定理在证明中的作用，体会用空间向量解决问题的一般方法.例 5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析,学生完成证明.已知：如图，l⊥α，1⊂β,求证：α⊥β.证明：取直线 l 的方向向量u⃗，平面β的法向量n⃗.因为l⊥α，所以u⃗是平面α的法向量.因为1⊂β，而n⃗是平面β的法向量，所以u⃗⊥n⃗.所以α⊥β.设计意图：设置例 5 的目的是使学生体会利用法向量证明平面与平面垂直的一般思路.教学时要注意突出直线的方向向量和平面的法向量的作用，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系，通过向量的运算，得到空间图形的位置关系.5.课堂小结，反思感悟（1）知识总结：（2）学生反思：①通过这节课，你学到了什么知识？②回顾这节课的学习，空间中用向量法判断直线、平面平行与垂直用的具体方法？③在解决问题时，用到了哪些数学思想？设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,教给学生如何总结，提升学生的数学“学习力”. 6.课堂检测与评价1. 如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面AB 1，面A 1C 1的中心. 求证：EF//平面ACD 1.证明:设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz , 则根据题意A(2,0,0)，C( 0,2,0)，D 1(0,0,2 )，E( 2,1,1 )， F( 1,1,2 ) 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)， 设n=( x , y ,z )是平面ACD 1的一个法向量，则n ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⊥AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以{n ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0n ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0)，取x = 1，则y =1，z = 1，所以n = ( 1,1,1 ) 又EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =(−1,0,1)·(1,1,1)= − 1+1=0，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n , 所以EF 平面ACD 1.2.如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明：由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝(－2,0，12)． 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎨⎧ n 1·AA1→＝0，n 1·AC→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎨⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0，令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .设计意图：第一题证明线面平行，第二题用向量法证明面面垂直，恰当建系向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度，可以使学生巩固课上所学习的知识.7.作业布置完成教材：第31页练习第1，2题第33页练习第1，2，3题第41 页习题1.4 第5，8，11题（六）教学反思1.认识与运用向量及其运算中数与形的关联，体会转化思想.教学中应结合几何图形予以探讨，特别要重视平行六面体、长方体模型作用，引导学生借助图形理解它们，注意避免不联系几何意义的死记硬背;2.深化理解向量运算的作用,正是有了向量运算，向量才显示其重要性.要引导学生结合几何问题，关注向量运算在分析解决问题中的作用;3.重视综合方法、基底向量方法、建立坐标系方法各自特点的分析与归纳，综合方法以逻辑推理作为工具解决问题，基底向量方法利用向量的概念及其运算解决问题，坐标方法利用数及其运算来解决问题，坐标方法常与向量运算结合起来使用，根据它们的具体条件和特点选择合适的方法.总之新的教材，让学生经历向量由平面向空间的推广，重视了知识的发生、发展过程，使学生学会数学思考和推理.。
用空间向量解决立体几何中的平行问题
§3.2 立体几何中的向量方法第1课时 用空间向量解决立体几何中的平行问题学习目标 1.了解空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义，并会求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 (1)用向量表示直线的位置(2)用向量表示平面的位置①通过平面α上的一个定点O 和两个向量a 和b 来确定：②通过平面α上的一个定点A 和法向量来确定：(3)直线的方向向量和平面的法向量知识点二 平面的法向量及其求法在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)；(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0；(4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量． 知识点三 用空间向量处理平行关系设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则.(1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(√)(2)两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(×) (3)若向量n 1，n 2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(×) (4)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(√) (5)若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则l 1⊥l 2.(√)类型一 求平面的法向量例1 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量．考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)， ∴AB →＝(－2,1,3)，BC →＝(1，－1,0)．则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋3z ＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3z ，x ＝y .令z ＝1，则x ＝y ＝3.故平面ABC 的一个法向量为n ＝(3,3,1)．反思与感悟 利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个平面的法向量不是唯一的，它有无数个，它们是共线的．跟踪训练1 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量． 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量解 以A 为坐标原点，AD ，AB ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ， 则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)， 则DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DS →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 向量AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，得y ＝－1，z ＝1，故平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．类型二 利用空间向量证明平行问题例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量证明 (1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1-→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1-→·n 1＝－2＋2＝0， 所以FC 1-→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1-→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1-→，n 2⊥C 1B 1-→， 得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1-→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1-→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1， 所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由． 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量解 存在点E 使CE ∥平面P AB .以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Axyz ， ∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， 设E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z －1)， PD →＝(0,2，－1)，∵PE →∥PD →，∴y (－1)－2(z －1)＝0，① ∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0. ∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在E 点，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .1．已知l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量为v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 B解析 由l 1∥l 2，得v 1∥v 2，得1λ＝24＝36，故λ＝2.2．已知直线l 1，l 2的方向向量分别为a ，b ，且a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若l 1∥l 2，则λ与μ的值可以分别是( )A ．2，12B ．－13，12 C ．－3,2 D ．2,2考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量答案 A解析 由题意知⎩⎨⎧λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.3．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 A解析 因为AB →＝(2,4,6)，所以与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量． 4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m 为( ) A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．8 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 C解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2， ∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝0， ∴2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1的一个法向量为________． 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 (1,1,1)(答案不唯一)解析 不妨设正方体的棱长为1，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，设平面ACD 1的一个法向量a ＝(x ，y ，z )， 则a ·AC →＝0, a ·AD 1-→＝0.因为AC →＝(－1,1,0)，AD 1-→＝(－1,0,1)，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧(－1)·x ＋1·y ＋0·z ＝0，(－1)·x ＋0·y ＋1·z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝z ，不妨取x ＝1，则a ＝(1,1,1)．(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．一、选择题1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1) D ．a ＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1)考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 D解析 由l ∥α，故a ⊥μ，即a ·μ＝0，故选D.2．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3,5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若两直线l 1∥l 2，则x ，y 的值分别是( ) A ．6和－10 B ．－6和10 C ．－6和－10D ．6和10考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 A解析 由两直线l 1∥l 2，得两向量a ，b 平行，即2－4＝－3x ＝5y ，所以x ，y 的值分别是6和－10.3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为( )A ．－2B ．－ 2 C. 2 D ．±2 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D解析 依题意得，－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0， 解得x ＝±2.4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫33，33，－33 B.⎝⎛⎭⎫33，－33，33 C.⎝⎛⎭⎫－33，33，33 D.⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D解析 AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)． 设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．∵⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AC →·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)， 单位法向量为⎝⎛⎭⎫33，33，33或⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33. 5．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊂α C ．l ⊥αD ．l ⊂α或l ∥α考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 D解析 当a ·b ＝0时，l ⊂α或l ∥α.6．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )A ．－103B ．6C ．－6 D.103考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 B解析 ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行． ∴24＝3λ＝－1－2，∴λ＝6. 7．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( ) A ．－1,2 B ．1，－2 C ．1,2D ．－1，－2考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 A解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3m ＋n ＋1＝0，m ＋5n －9＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2. 二、填空题8．若A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内三点，设平面α的法向量为a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 2∶3∶(－4)解析 由已知得，AB →＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74， AC →＝⎝⎛⎭⎫－2，－1，－74， ∵a 是平面α的一个法向量，∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0， 即⎩⎨⎧ x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝23y ，z ＝－43y ，∴x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． 9．已知l ∥α，且l 的方向向量为m ＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n ＝(1，y,2)，则y ＝________. 考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 12解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量m ＝(2，－8,1)与平面α的法向量n ＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y＋2＝0，∴y ＝12. 10．设平面α的法向量为m ＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n ＝(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________.考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 4解析 由α∥β得1－2＝2－4＝－2k，解得k ＝4. 三、解答题11．已知平面α经过点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量． 考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量是n ＝(x ，y ，z )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4y －3z ＝0，x －2y －4z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ z ＝0，x ＝2y ，令y ＝1，则x ＝2， ∴平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．12.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量解 因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则D (0，3，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，B (1,0,0)， C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12，AC →＝(1，3，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)．13．已知空间四边形ABCD ，P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，求证：PQ ∥平面ACD . 考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量证明 如图，连接AP 并延长交BC 于点E ，连接ED ，易知Q 在线段ED 上，∵P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心， ∴PQ →＝EQ →－EP →＝13ED →－13EA →＝13(ED →－EA →)＝13AD →， ∴PQ →∥AD →，即PQ ∥AD ，又AD ⊂平面ACD ，PQ ⊄平面ACD ，∴PQ ∥平面ACD .四、探究与拓展14．已知直线l 过点P (1,0，－1)且平行于向量a ＝(2,1,1)，平面α过直线l 与点M (1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( )A ．(1，－4,2)B.⎝⎛⎭⎫14，－1，12C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－12 D ．(0，－1,1)考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 D解析 因为PM →＝(0,2,4)，直线l 平行于向量a ，若n 是平面α的一个法向量，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·PM →＝0，把选项代入验证，只有选项D 不满足，故选D. 15.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AA 1＝4，AD ＝5.求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C .考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量证明 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，A 1(5,0,4)，B (5,3,0)，D 1(0,0,4)，B 1(5,3,4)，C (0,3,0)，∴A 1D -→＝(－5,0，－4)，A 1B -→＝(0,3，－4)，D 1C -→＝(0,3，－4)，B 1C -→＝(－5,0，－4)．设平面A 1BD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥A 1D -→，m ⊥A 1B -→，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ·A 1D -→＝－5x －4z ＝0，m ·A 1B -→＝3y －4z ＝0. 取z ＝1，得x ＝－45，y ＝43，则m ＝⎝⎛⎭⎫－45，43，1. 设平面B 1D 1C 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·D 1C -→＝0，n ·B 1C -→＝0，得n ＝⎝⎛⎭⎫－45，43，1. ∵m ＝n ，即m ∥n ，∴平面A 1BD ∥平面B 1D 1C .。
立体几何中的向量方法平行与垂直
⑶平面
空间中平面 的位置可以由 内两条相 交直线来确定.
n
b
O a
P
对于平面 上的任一点 P ,
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
OP xa yb
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的 方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面 的位置.
平面பைடு நூலகம்法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
y
AP =(0,0,1), AB ( 2,1,0), CB ( 2, 0x, 0), CP (0, 1,1) ,
设平面
PAB
的法向量为
m
=(x,y,z),则
m
AP
0
∴
( x,
y, z) (0, 0,1)
0
∴
y
2
x
,令
m AB 0 x=1,则 m =(1,
.
uv
以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.
练习 1.已知两点 A(1， 2，3),B（2，1， 3）,求直线 AB 与坐 标平面 yOz 的交点. 2.已知两点 A（1，2，3）,B（2，1，2）,P（1，1，2）,点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则 线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ； 线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
1.4.1 运用立体几何中的向量方法解决平行问题(解析版)
③平面 的一个法向量为(0,1,0)；
④平面 的一个法向量为(1,1,1).
其中正确的个数为()
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】 DD1∥AA1, =(0,0,1)，故①正确；
BC1∥AD1, =(0,1,1),故②正确；
直线AD⊥平面ABB1A1, =(0,1,0).故③正确；
则
则
解得： ，
故填 ．
14．已知平面 的一个法向量为 ，则直线 与平面 的位置关系为_______.
【答案】直线 在平面 上或直线 与平面 平行
【解析】由 Leabharlann 所以 .又向量 为平面 的一个法向量.
所以直线 在平面 上或直线 与平面 平行.
故填直线 在平面 上或直线 与平面 平行.
15．平面α的法向量 =(x，1，-2)，平面β的法向量 = ，已知α∥β，则x+y=______.
课时同步练
1.4.1运用立体几何中的向量方法解决平行问题
一、单选题
1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C为线段AB上一点,且 ,则点C的坐标为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设C的坐标是（x，y，z）
∵A(3,3,-5),B(2,-3,1)，
∴
∵ ，
∴
由此解得 ，
故选C.
2．在正方体 中,平面 的一个法向量为（）
对于B选项， ，则 与 不共线，B选项不合乎题意；
对于C选项， ，则 与 不共线，C选项不合乎题意；
对于D选项， ，则 与 共线，D选项合乎题意.
故选D.
11．已知平面 内的三点 ， ， ，平面 的一个法向量为 ，且 与 不重合，则（ ）
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（ 1）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》,本节课主要学习运用空间向量解决线线、线面、面面的位置关系,主要是平行。
在向量坐标化的基础上,将空间中线线、线面、面面的位置关系,转化为向量语言,进而运用向量的坐标表示,从而实现运用空间向量解决立体几何问题,为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点,为培养学生思维提供了更广阔的空间。
1.教学重点:用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系2.教学难点: 用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系多媒体教学过程 教学设计意图 核心素养目标一、情境导学牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝。
在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口。
牌楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大。
如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行。
这是为什么呢? 二、探究新知一、空间中点、直线和平面的向量表示 1.点的位置向量在空间中,我们取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP⃗⃗⃗⃗⃗ 来表示.我们把向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 称为点P 的位置向量.如图.2.空间直线的向量表示式如图①,a 是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,设P 是直线l 上的任意一点,则点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t a ,即AP⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .如图②,取定空间中的任意一点O ,可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t a , ① 或OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.创设问题情境,引导学生回顾空间中线线、线面、面面的位置关系,并提出运用空间向量解法立体几何的问题,实现将空间几何问题代数化的基本思想1.下列说法中正确的是( ) A.直线的方向向量是唯一的B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量C.直线的方向向量有两个D.平面的法向量是唯一的答案:B 详细解析:由平面法向量的定义可知,B 项正确.3.空间平面的向量表示式如图,取定空间任意一点O ,空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ,y ,使OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .我们把这个式子称为空间平面ABC 的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.4.平面的法向量如图,直线l ⊥α,取直线l 的方向向量a ,我们称向量a 为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a ,那么过点A ,且以向量a 为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0}.点睛:空间中,一个向量成为直线l 的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l 平行或重合.2.若直线l 过点A (-1,3,4),B (1,2,1),则直线l 的一个方向向量可以是( )A.(-1,12,-32) B.(-1,-12,32) C.(1,12,32) D.(-23,13,1) 答案:D 详细解析: AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-3)=-3(-23,13,1),故选D . 3.若两个向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2,1),则平面ABC 的一个法向量为( )答案:平行详细解析:因为u ·n =(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u ⊥n .所以直线与平面平行,即l ∥β.例1.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD=DC=1,E 是PC 的中点,求平面EDB 的一个法向量.思路分析首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解.解:如图所示建立空间直角坐标系.依题意可得D (0,0,0),P (0,0,1), E (0,12,12),B (1,1,0),于是DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12), DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0). 设平面EDB 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ⊥DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是{n ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12y +12z =0,n ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0,取x=1,则y=-1,z=1,故平面EDB 的一个法向量为n =(1,-1,1). 延伸探究:本例条件不变,你能分别求出平面PAD 与平面PCD 的一个法向量吗?它们之间的关系如何?解:如同例题建系方法,易知平面PAD 的一个法向量为n 1=(0,1,0),平面PCD 的一个法向量为n 2=(1,0,0),因为n 1·n 2=0,所以n 1⊥n 2.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设平面的法向量为n =(x ,y ,z ).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a =(a 1,b 1,c 1),b =(a 2,b 2,c 2).(3)根据法向量的定义建立关于x ,y ,z 的方程组{n ·a =0,n ·b =0.(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.1.如图所示,已知四边形ABCD 是直角梯形,AD ∥BC ,∠ABC=90°,SA ⊥平面ABCD ,SA=AB=BC=1, AD=12,试建立适当的坐标系. (1)求平面ABCD 的一个法向量; (2)求平面SAB 的一个法向量; (3)求平面SCD 的一个法向量.解:以点A 为原点,AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A (0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D 12,0,0,S (0,0,1).(1)∵SA ⊥平面ABCD ,∴AS⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量. (2)∵AD ⊥AB ,AD ⊥SA ,∴AD ⊥平面SAB , ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗ =12,0,0是平面SAB 的一个法向量.(3)在平面SCD 中,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,1,0,SC⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-1). 设平面SCD 的法向量是n =(x ,y ,z ),则n ⊥DC⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥SC ⃗⃗⃗⃗ ,∴{n ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗=0,n ·SC ⃗⃗⃗⃗ =0, 得方程组{12x +y =0,x +y -z =0,∴{x =-2y ,z =-y ,令y=-1,得x=2,z=1,∴n=(2,-1,1).例2.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=4,AD=3,AA 1=2,点P ,Q ,R ,S 分别是AA 1,D 1C 1,AB ,CC 1的中点.求证:PQ ∥RS.证明: (方法1)以点D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则P (3,0,1),Q (0,2,2),R (3,2,0),S (0,4,1),PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,2,1),RS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,2,1), ∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =RS ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥RS ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即PQ ∥RS.(方法2)RS ⃗⃗⃗⃗⃗ =RC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CS ⃗⃗⃗⃗=12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,通过典型例题的分析和解决,让学生感受空间向量坐标运算在解决立体几何问题的应用。
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量确实定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．()(6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．()1．以下各组向量中不平行的是()A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则以下点P 中，在平面α的是()A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(*－1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数*，y ，z 分别为______________．4．假设A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(*，y ，z )，则*∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1(2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．题型二 证明垂直问题例2 如下图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .如下图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .题型三 解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，假设存在，求出点P的位置，假设不存在，请说明理由．如下图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A组专项根底训练1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交2．假设AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面D．平行或在平面3．A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A．(2,4，－1) B．(2,3,1)C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)4．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为()A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ . 10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()A ．(1,1,1)B ．(23，23，1) C ．(22，22，1) D ．(24，24，1)12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，假设α⊥β，则t 等于()A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN→的实数λ有________个．14．如下图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。
高二数学人教版用空间向量解决立体几何中的平行与垂直问题
解：
以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴， z轴建立空间直角坐标系Axyz， ∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，
设∵A→ED(0＝，(01,2，,021)是)，平则面P→PEA＝B 的(0法，向1，量－，21)，P→D＝(0,2，－1)，
又C→E＝(－1，0，21 )，∴C→E·A→D=0，
又因为CE ⊄平面PAB ， ∴ CE∥平面PAB.
考点例析
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考点二 利用空间向量证明垂直问题
例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点. 求证：AB1⊥平面A1BD.
证明 如图所示，取BC的中点O，连接AO.
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC. 因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在直线分别为x轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
得zx22＝＝－0，2y2.
令z2＝2，得y2＝－1， 所以n2＝(0，－1,2)， 因为n1＝n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F.
考点例析
类题通法
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利用空间向量证明平行的方法
线线平行 证明两直线的方向向量共线
线面平行
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； ②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
用空间向量解决立体几何 中的平行与垂直问题
知识梳理
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【教案】1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 教学设计-人教版(2019)选择性必修一
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系一、内容和内容解析1.内容空间中点、直线和平面的向量表示；直线的方向向量和平面的法向量.2.内容解析在本章前三节中，学生类比平面向量，学习了空间向量的概念、线性运算和数量积运算、空间向量基本定理及空间向量的坐标运算，体会了平面向量与空间向量的共性和差异．在这一节中，学生将会运用向量方法研究空间基本图形的平行、垂直等位置关系和距离、角度等度量问题，从中体会向量方法与几何方法的共性和差异，通过运用向量方法解决简单数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具．为了用空间向量解决立体几何问题，首先要把点、直线、平面等组成立体图形的要素用向量表示，使其成为可以运算的对象，将几何问题转化为向量问题；进而利用空间向量的运算，研究空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；而解决这些问题经常要用到平面的法向量．结合以上分析，确定本节课的教学重点：平面法向量的概念及求法.二、目标和目标解析1.目标（1）能用向量表示空间中的点、直线和平面；（2）理解平面的法向量的概念，会求法向量；（3）经历用代数运算解决几何问题的过程，提升直观想象、数学运算素养．2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）理解用位置向量与空间中的点建立对应关系，理解一个点和一个定方向唯一确定一条直线，一个定点和两个定方向确定一个平面，能推导出直线和平面向量表示式．（2）理解与平面垂直的直线的方向向量是平面的法向量，从而法向量不是唯一的，清楚在用待定系数法求法向量的坐标时，为什么只需要两个方程．三、教学问题诊断分析对于问题“空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l．如何用向量表示直线l？”学生可能会感到比较抽象，不知道需要做什么．教师可以进行追问将问题描述地更加具体，起到提示和辅助学生的作用．比如换成思考“直线上任意一点P如何用向量表达式表示，式子中只含有点A和方向向量a”.上述问题解决后，在提出问题“一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？”时，学生可以利用直线的向量表示式的经验去思考．最后对于问题“一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？”，有的同学可能觉得“经过一条直线和直线外一点”也可以确定平面，这时教师要注意强调问题中的一个定点的任意性（即可能在直线上）．这样提出“经过定点A且垂直于l的平面是唯一确定的”就比较自然．另外与前几个问题不同的是，在表示平面上任意一点P时，用到数量积运算而不是线性运算，究其原因一是让学生结合线面垂直的定义理解法向量与平面内的任意向量垂直，二是向量垂直关系用运算表达等价于数量积为0．本节课的教学难点是空间中的点、直线和平面的向量表示.四、教学过程设计引言：我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素．因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．（一）思考空间中点、直线和平面的向量表示问题1：如何用向量表示空间中的一个点？追问:取空间中一个定点O为起点,空间中的向量与向量的终点间有怎样的关系？师生活动：教师引导学生类比平面中用向量表示点．设计意图：引发学生思考起点确定时，空间中任意一个点作为终点都可以得到一个空间向量，这种一一对应关系决定能用向量OP表示点P．问题2：我们知道，空间中给定一个点A 和一个方向就能唯一确定一条直线l ．如何用向量表示直线l ？师生活动：教师在课件中给出图形，即点A 和直线l 的方向向量a ，并向学生阐明，用向量表示直线l ，就是用点A 和向量a 表示直线l 上的任意一点．学生观察图形，进行思考．追问：（1）P 是直线l 上的任意一点，由方向向量的定义可知，AP 怎样用a 来表示？（2）假设O 是空间任意一点，运用问题1中用位置向量表示点的方法，又可以怎样表示AP ？ 师生活动：教师引导学生观察、讨论、分析．设计意图：教材第1节就给出了直线的方向向量的概念，根据空间向量数乘运算的意义，AP =t a （t ∈R ）．通过追问2，让学生得到OA OP AP -=，从而得出直线的向量表示式a t OA OP +=，进一步深化理解点的向量表示．同时应指出，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使a t OA OP +=．问题3：一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？追问：（1）我们知道，经过两条相交直线可以确定一个平面α，设这两条直线的交点为A ，方向向量为a 和b ，P 为平面α内任意一点，根据平面向量基本定理，如何表示AP ？（2）取定空间任意一点O ，类似于问题2，你能得到平面ABC 的向量表示式吗？师生活动：教师展示图形，引导学生思考并进行演算．设计意图：根据平面向量基本定理，存在唯一实数对（x ，y ），使得b a y x AP +=．类比问题2的推导过程，学生容易得到平面的向量表示式AC y AB x OA OP ++=，由学生自行推导，强调前后知识的联系，形成解决同类问题的思想方法．（二）平面的法向量的概念及求法问题4：一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？师生活动：教师展示图形，经过定点A 且垂直于l 的平面是唯一确定的，给出平面法向量的概念，即l ⊥α，l 的方向向量a 叫做α的法向量．对于第二个问题可进行如下追问．追问：（1）对于平面内任意一点P ，AP 与a 有怎样的关系？可以用哪种运算来表示这种关系？（2）如果另有一条直线m ⊥α，在m 上取向量b ，则b 与a 有什么关系？设计意图：让学生在思考中理解垂直关系可以用向量数量积为0来表示，为后面求平面的法向量提供依据．教师给出集合{}|0P AP •=a 表示平面，加强知识间的联系，用集合的观点表示图形．例 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =3，CC 1=2，M 是AB 中点，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求平面BCC 1B 1的法向量．（2）求平面MCA 1的法向量．设计意图：第（1）问是通过定义法求法向量，第（2）问是用待定系数法求法向量，加深学生对法向量的概念理解，熟练空间直角坐标系和空间向量的坐标表示．问题5：如果设平面MCA 1的法向量为n=（x ，y ，z ），如何得到x 、y 、z 满足的方程？师生活动：学生通过观察结合本节课所学，可知平面MCA 1可以看成由MC ，1MA ，1AC 中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算列出方程．追问：为什么只需用n 与两个不共线的向量数量积为0列方程组就可以？设计意图：让学生通过线面垂直的判定定理理解用待定系数法求法向量的过程．同时教师应指出方程组有无数个解，我们只需求出平面的一个法向量，求直线的方向向量也是如此．（三）归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：（1）如何用向量表示空间中的点、直线和平面？（2）什么是平面的法向量，如何求平面法向量？（3）通过本节课对你今后解决立体几何问题有哪些启发？设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．布置作业：教科书习题1.4第1，2题．思考：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行、垂直关系，可以得到直线的方向向量和平面的法向量间的什么关系？五、目标检测设计1．如图，在三棱锥A -BCD 中，E 是CD 的中点，点F 在AE 上，且EF =2F A ．设a =BC ，b =BD ，c =BA ，求直线AE 、BF 的方向向量．设计意图：考查学生用基底法求直线的方向向量.2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求平面BCC1B1的法向量；（2）求平面A1BC的法向量．设计意图：考查学生用空间向量坐标运算求法向量.。
1.4.1 运用立体几何中的向量方法解决平行问题(解析版).pdf
3．已知空间四边形 ABCD 中,AC=BD,顺次连接各边中点 P,Q,R,S,如图,所得图形是（ ）
A．长方形
B．正方形
C．梯形
【参考答案】D
PQ
BQ
BP
1
BC
1
BA
1
AC
【解析】因为
2
2
2.
同理
SR
1 2
AC
,所以
PQ
SR
,
D．菱形
所以四边形 PQRS 为平行四边形.
【参考答案】C
【解析】设 C 的坐标是（x,y,z）
∵A(3,3,-5),B(2,-3,1),
∴ AB （，1，）6 6（,，AC，）x 3 y 3 z 5
AC
2
AB
∵
3,
（x，，3 ）y（ ，3 ，z ）5 2 1 6 6 ,
∴
3
(5 , 7 , 3) D． 2 2 2
x 7 , y 1, z 1,
①直线 DD1 的一个方向向量为(0,0,1)；
②直线 BC1 的一个方向向量为(0,1,1)；
③平面 ABB1A1 的一个法向量为(0,1,0)；
④平面 B1CD 的一个法向量为(1,1,1).
其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【参考答案】C
【解析】 DD1∥AA1, AA1 =(0,0,1),故①正确；
A．相交
B．平行
C．在平面内
D．平行或在平面内.
【参考答案】D
【解析】∵ AB =λ CD +μ CE ,∴ AB, CD, CE 共面,则 AB 与平面 CDE 的位置关系是平行或在平面内.
高中数学空间向量与立体几何立体几何中的向量方法利用向量解决平行垂直问题课后
则D→N＝D→C＋→CN＝(0,2a,0)＋(0，－2aλ，aλ)＝(0，2a(1－λ)，aλ)，
M→N＝→DN－D→M＝－34a，a－2aλ，aλ. 又D→C是平面 ADD1A1 的一个法向量， ∴M→N⊥D→C，则 2a(a－2aλ)＝0，λ＝12.
又 MN⊄平面 ADD1A1，故存在 N 为 CD1 的中点使 MN∥平面 ADD1A1.
得
B(0,0,0)，C
23a，
23a，0，D(0，
3a，0)，E
43a，
43a，a2，F0，
23a，a2，
故A→B＝(0,0，－a)，→BC＝
23a，
23a，0.
12/12/2021
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答案
设平面 ABC 的法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，
则nn11··AB→→BC＝＝00，， 即－ x1＋azy11＝＝00，，
又平面 BB1C1C 的一个法向量为 n＝(0,1,0)，
∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴M→N⊥n.∴MN∥平面 BB1C1C.故选 B.
12/12/2021
第六页，共三十五页。
解析
4．如图所示，在空间直角坐标系中 BC＝2，原点 O 是 BC 的中点，点 D
在平面 yOz 上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则向量O→D的坐标为( )
①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q； ③A1M∥平面 DCC1D1； ④A M∥平面 12/12/2021 1 D1PQB1.
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这四个结论中正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ∵A→1M＝A→1A＋A→M＝A→1A＋12→ AB，D→1P＝D→1D＋D→P＝A→1A＋12→ AB，∴A→1M∥D→1P，
向量法在空间平行关系中的应用 课件
设平面 A1BD 的法向量为 n1=(x,y,z),
则由 n1⊥ DB ,n1⊥ DA1 得 x+y=0,x+z=0.取 x=1,则 y=z=-1, 故平面 A1BD 的一个法向量是 n1=(1,-1,-1); 同理设平面 BDG 的一个法向量是 n2=(a,b,c), 则有 a+b=0,b+ 1 c=0.
, .
2
所以 CM = 3 DP + 1 DA . 44
又 CM 平面 PAD,所以 CM∥平面 PAD.
考点二 利用空间向量证明垂直问题 【例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为CC1的中点,求证:平面A1BD⊥平面GBD.
证明:法一 如图,连接 AC,与 BD 交于点 O,连接 A1O,OG.设 A1B1 =a, A1D1 =b, A1A =c.
α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3. (4)面面垂直
α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.
3.利用向量求空间角 (1)求两条异面直线所成的角 设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量,a 与 b 的夹角为 ,l1 与 l2 所成的角为θ,
证明:以 C 为坐标原点,CB 所在直线为 x 轴,CD 所在直线为 y 轴,CP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz. 因为 PC⊥平面 ABCD, 所以∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角, 所以∠PBC=30°, 因为 PC=2,所以 BC=2 3 ,PB=4, 所以 D(0,1,0),B(2 3 ,0,0),A(2 3 ,4,0),P(0,0,2),M( 3 ,0, 3 ),
用向量解决立体几何平行问题
G(1-
2 2
a , 1-
2 2
a,0),
量为n (0,1,0), 故 HG n,而 故 HG∥平面CBE
z
D
H y
A G
F
平面CBE
例2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， A1 P、Q分别是A1B1和 BC上的动点，且 A1P=BQ，M是AB1 的中点，N是PQ的 中点. 求证： A MN∥平面AC.
D
H
A G F
C
D
H B E G P
A
F
证明：由已知得：AB、 C BC、BE两两垂直，故可 建立如图所示的空间直 角坐标系o-xyz. 设正方形边长为1, oB AH=FG=a, 则 2 2 H(0,1- 2 a , 2 a)、 E
x
2 2 (1 a,0, a) ,而平面CBE的法向 故 HG H 2 2
z 证明：建立如图 D1 所示的空间直角 C1 坐标系o-xyz A1 B1 设正方形边长为2， P 又A1P=BQ=2x N 则P(2，2x，2)、 M o Q(2-2x，2，0) C D Q 故N(2-x, 1+x, 1),而A B M(2, 1, 1) x 所以向量 MN (-x, x, 0)，又平面 AC 的法 向量为 n (0, 0, 1)，∴ MN n 0 ∴MN n 又M不在平面AC 内，所以MN∥平面AC
D1 H
G F B1
C1
A1
E
D A B
C
略证：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz A1 则求得平面 AEF的法向 量为 n (2,2,1) 求得平面 BDGH的法向 A 量为 m (2,2,1) x 显然有
立体几何中的向量方法解决平行问题PPT课件
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巩固性训练1
1.设 a,b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列
条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2),b (6,3,6)平行 (2)a (1,2,2),b (2,3,2) 垂直 (3)a (0,0,1),b (0,0,3) 平行
D! A!
D A
C! N B! M
C B
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例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、
B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD
法1:建立如图所示的空间直角坐标系 z
. 设正方体的棱长为1,则可求得
D!
C!
N
M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0 A!
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1) | AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
d AB | AB | ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
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2.两个向量夹角公式
cos a,b a b | a || b |
B! M
,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).于是
MN ( 1 , 0, 1 )
D
22
设平面A1BD的法向量是 n (x, y, z) xAຫໍສະໝຸດ C yB则n
DA1
0且n
DB
0,
得
x x
z0 y0
取x=1,得y=-1,z=-1, ∴n (1, 1, 1)
又 MN n ( 1 , 0, 1 ) (1, 1, 1) 0,∴ MN ⊥ n 22
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1.4.1运用立体几何中的向量方法解决平行问题一、单选题1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段AB 上一点,且23AC AB =,则点C 的坐标为（）A ．715(,,)222-B ．3(,3,2)8-C ．7(,1,1)3--D ．573(,,222-【答案】C【解析】设C 的坐标是（x ，y ，z ）∵A (3,3,-5),B (2,-3,1)，∴166,335AB AC x y z =--=--+（，，）（，，）∵23AC AB = ，∴2335166,3x y z --+=--（，，）（，，）由此解得7,1,1,3x y z ==-=-，故选C.2．在正方体1111ABCD A B C D -中,平面1ACB 的一个法向量为（）A ．1BDB ．DBC ．1BA D ．1BA【答案】A【解析】如图所示，由正方体的性质可得：BD 1⊥B 1C ，BD 1⊥AC ．∴BD 1⊥平面ACB 1．∴平面ACB 1的一个法向量为1BD．故选A ．3．已知空间四边形ABCD 中,AC=BD,顺次连接各边中点P,Q,R,S,如图,所得图形是（）A ．长方形B ．正方形C ．梯形D ．菱形【答案】D【解析】因为111222PQ BQ BP BC BA AC =-=-= .同理12SR AC = ,所以PQ SR = ,所以四边形PQRS 为平行四边形.又111222PS AS AP AD AB BD =-=-=,所以|PS |=1|2BD |,即PS=12BD.又|PQ |=1|2AC |,故PQ=12AC ,而AC=BD ,所以PS=PQ ,故四边形ABCD 为菱形.故选D ．4．如图，在平行六面体ABCD -1111A B C D 中，点,,M P Q 分别为棱AB ，,CD BC 中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出下列说法：①1A M ∥1D P ；②1A M ∥1B Q ；③1A M ∥平面11DCC D ；④1A M ∥平面11D PQB ，则以上正确说法的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】连接PM ，因为M 、P 为AB 、CD 的中点，故PM 平行且等于AD 。
由题意知AD 平行且等于11A D 。
故PM 平行且等于11A D 。
所以11PMA D 为平行四边形，故①正确。
显然1A M 与1B Q 为异面直线。
故②错误。
由①知1A M ∥1 D P 。
由于1D P 即在平面11DCC D 内，又在平面11D PQB 内。
且1A M 即不在在平面11DCC D 内，又不在平面11D PQB 内。
故③④正确故选C 5．若AB =λCD +μCE,则直线AB 与平面CDE 的位置关系是（）A ．相交B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内.【答案】D【解析】∵AB =λCD+μCE ,∴,,AB CD CE 共面,则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内.故选D6．若点A (a ,0,0),B (0,b ,0),C (0,0,c )，则平面ABC 的一个法向量为（）A ．(bc ,ac ,ab )B ．(ac ,ab ,bc )C ．(bc ,ab ,ac )D ．(ab ,ac ,bc【答案】A【解析】设法向量为n=(x ,y ,z ),则AB ·n=0,AC·n=0,则00ax by ax cz -+=⎧⎨-+=⎩，所以n=(bc ,ac ,ab ).故选A7．在如图所示的坐标系中，1111ABCD A B C D -为正方体，给出下列结论：①直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)；②直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)；③平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)；④平面1B CD 的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】 DD 1∥AA 1,1AA =(0,0,1)，故①正确；BC 1∥AD 1,1AD=(0,1,1),故②正确；直线AD ⊥平面ABB 1A 1,AD=(0,1,0).故③正确；点C 1的坐标为(1,1,1),1AC 与平面B 1CD 不垂直,故④错.故选C8．已知空间三点坐标分别为A （4,1,3），B(2,3,1），C （3,7，-5），又点P （x,-1,3)在平面ABC 内，则x 的值（）A ．-4B ．1C ．10D ．11【答案】D【解析】(),1,3P x - 点在平面ABC 内,,λμ∴存在实数使得等式AP AB AC λμ=+成立()()()4,2,02,2,21,6,8x λμ∴--=--+--42226028x λμλμλμ-=--⎧⎪∴-=+⎨⎪=--⎩，消去λμ，解得11x =,故选D 9．若平面α，β的法向量分别为1,1,32a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,2,6b =-，则（）A ．//αβB ．α与β相交但不垂直C ．αβ⊥D ．//αβ或α与β重合【答案】A【解析】因为平面α，β的法向量分别为1,1,32a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,2,6b =-,即2a b =-，所以//a br r所以//αβ,故选A10．若平面α，β平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（）A ．()11,2,3n = ，()23,2,1n =-B ．()11,2,2n = ，()22,2,1n =-C ．()11,1,1n = ，()22,2,1n =- D ．()11,1,1n = ，()22,2,2n =--- 【答案】D【解析】两个平面平行时，其法向量也平行，对于A 选项，123321≠≠-，则1n u r 与2n u u r 不共线，A 选项不合乎题意；对于B 选项，122221≠≠-，则1n u r 与2n u u r 不共线，B 选项不合乎题意；对于C 选项，111221≠≠-，则1n u r 与2n u u r 不共线，C 选项不合乎题意；对于D 选项，111222==---，则1n u r 与2n u u r 共线，D 选项合乎题意.故选D.11．已知平面α内的三点()0,0,1A ，()0,1,0B ，()1,0,0C ，平面β的一个法向量为()1,1,1n =---，且β与α不重合，则（）A ．//αβB ．αβ⊥C ．α与β相交但不垂直D ．以上都不对【答案】A【解析】()0,1,1AB =- ，()1,0,1AC =-，()()()()()1,1,10,1,11011110n AB ⋅=---⋅-=-⨯+-⨯+-⨯-=，()()1,1,11,0,1n AC ⋅=---⋅-()()110110=-⨯++-⋅-=，n AB ∴⊥ ，n AC ⊥ ，n ∴也为α的一个法向量，又α与β不重合，因此，//αβ.故选A.12．直线l 的方向向量为a ，平面α内两共点向量OA 、OB，下列关系中能表示//l α的是（）A ．a OA=B ．a kOB=C ．a pOA OBλ=+D ．以上均不能【答案】D【解析】对于A 选项，a OA =，则//l OA ，OA α⊂，则//l α或l α⊂；对于B 选项，a kOB =，则//l OB ，OB α⊂，则//l α或l α⊂；对于C 选项，设平面α的法向量为n ，则0n OA ⋅= ，0n OB ⋅= ，()0n a n pOA OB λ∴⋅=⋅+= ，a n ∴⊥ ，则//l α或l α⊂.因此，A 、B 、C 选项都不一定能表示//l α.故选D.二、填空题13．已知直线l 的方向向量v=(2,1,3)，且过A (0,y,3)和B (-1,-2,z)两点，则y =________，z =_________.【答案】32-32【解析】∵直线l 的方向向量为v=(2,-1,3)，且直线过A （0，y ，3），B （-1，2，z ）两点．则123213AB y z λ=----=（,,）（,,）,则11323222y z λ=---=--=-，，解得：3322y z =-=，故填3322y z =-=．．14．已知平面α的一个法向量为(1,2,2),(2,1,0)n AB ==-，则直线AB 与平面α的位置关系为_______.【答案】直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行【解析】由()12+21+200n AB ⋅=⨯-⨯⨯=，所以n AB ⊥ .又向量n为平面α的一个法向量.所以直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行.故填直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行.15．平面α的法向量u =(x ，1，-2)，平面β的法向量v =11,,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，已知α∥β，则x +y =______.【答案】154【解析】因为α∥β,所以u ∥v .则1-21-12x y ==,即4,1-,4x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故x+y=154.故填15416．已知平面α内有一个点()2,1,2A -，α的一个法向量为()3,1,2n =，则下列各点中，在平面α内的是________．（把正确的序号都填上）①()1,1,1-；②31,3,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；③31,3,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；④31,3,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【答案】②【解析】设①②③④中的点分别为B 、C 、D 、E .对于①中的点()1,1,1B -，()1,0,1AB =-- ，3250AB n ⋅=--=-≠，则B α∉；对于②中的点31,3,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,4,2AC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，134202AC n ⎛⎫⋅=-++⨯-= ⎪⎝⎭ ，则C α∈；对于③中的点31,3,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,2,2AD ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ ，3210AD n ⋅=---≠ ，则D α∉；对于④中的点31,3,2E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，73,4,2AE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，9470AE n ⋅=-+-≠ ，则E α∉.因此，②中的点在平面α内.故填②.17．已知a =(2，-1，3)，b =(-1，4，-2)，c =(7，7，λ)，若a ，b ，c共面，则实数λ=_________.【答案】9【解析】∵a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,7,λ),，∴由若a ,b ,c共面，则存在实数m ，n ，使得 c ma nb +＝，∴（7，7，λ）=m （2，-1，3）+n （-1，4，-2），∴274732m n m n m n λ-⎧⎪-+⎨⎪-⎩＝＝＝，解得n=3，m=5，∴λ=3×5-2×3=9．故填9．18．如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系是________.【答案】垂直【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则E 111,,222⎛⎫⎪⎝⎭，F 1,0,02⎛⎫⎪⎝⎭，∴EF ＝110,,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，平面PBC 的一个法向量n＝(0,1,1)．∵EF＝－12n，∴EF ∥n .∴EF ⊥平面PBC ．故填垂直三、解答题19．已知三棱锥O -ABC 中，OA =OB =1，OC =2，OA ，OB ，OC 两两垂直，试找出一点D ，使BD ∥AC ，DC ∥AB ．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，2)，设所求点D (x ，y ，z ).由BD ∥AC ，DC ∥AB ⇒,BD AC DC AB ，因此12-1,(,-1,)(-1,0,2),1,(-,-,2-)(-1,1,0), 2.x x y z k y x y z k z =⎧=⎧⎪⇒=⎨⎨=⎩⎪=⎩即点D 的坐标为(-1，1，2).20．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0，0，2)，B (4，2，0)，C (2，4，0)，求平面ABC 的单位法向量.【解析】AB=(4,2,-2)，AC =(2,4,-2),设n =(x ,y ,z )是平面ABC 的单位法向量，则有2222||1,1,·0,2-0,2-0.·0n x y z n AB x y z x y z n AC ⎧=⎧++=⎪⎪⎪=⇒+=⎨⎨⎪⎪+==⎩⎪⎩取z>0，得11,11.故平面ABC 的单位法向量为n =113111111.21．如图，已知三棱锥P －ABC ，D ，E ，F 分别是棱PA ，PB ，PC 的中点．求证：平面DEF ∥平面ABC ．【解析】证明如图:设PD =a ，PE =b ，PF=c ，则PA =2a ，PB =2b ，PC =2c ，所以DE =b-a ，DF =c-a ，AB =2b-2a ，AC=2c-2a ，对于平面ABC 内任一直线l ，设其方向向量为e ，由平面向量基本定理知，存在唯一实数对(x ，y )，使e=x AB +y AC =x (2b -2a )+y (2c -2a )=2x (b -a )+2y (c -a )=2x DE +2y DF，因此e 与,DE DF 共面，即e ∥平面DEF ，所以l ⊄平面DEF ，即l ∥平面DEF.由l 的任意性知，平面ABC ∥平面DEF.22．如图所示，ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD ，M ，N ，Q 分别是PC ，AB ，CD 的中点.求证:（1）MN ∥平面PAD ；（2）平面QMN ∥平面PAD .【解析】（1）证明:如图以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设B (b ，0，0)，D (0，d ，0)，P (0，0，d )，则C (b ，d ，0)，因为M ，N ，Q 分别是PC ，AB ，CD 的中点，所以M ,,222b d d ⎛⎫ ⎪⎝⎭，N ,0,02b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q ,,02b d ⎛⎫⎪⎝⎭，所以0,-,-22d d MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为平面PAD 的一个法向量为m =(1，0，0)，所以MN ·m =0，即MN⊥m .因为MN 不在平面PAD 内，故MN ∥平面PAD.（2）QN =(0，-d ，0)，QN⊥m ，又QN 不在平面PAD 内，又QN ∥平面PAD.又因为MN ∩QN=N ，所以平面MNQ ∥平面PAD。