消元法解线性方程组
高斯消元法解线性方程组
高斯消元法解线性方程组线性方程组是数学中常见的问题，其中包含多个线性方程，求解线性方程组即为找到满足所有方程的解。
高斯消元法是一种常用的方法，可以有效地解决线性方程组。
本文将介绍高斯消元法的原理和步骤，并通过一个具体的例子来演示其应用。
一、高斯消元法原理高斯消元法是通过一系列的行变换来将线性方程组转化为上三角形式，进而求解方程组。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵形式，其中每一行表示一个方程，最后一列为常数项。
2. 选择一个主元，通常选择第一列的第一个非零元素作为主元。
3. 将主元所在行的所有元素除以主元，使主元变为1。
4. 将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行，使得主元所在列的其他元素都变为0。
5. 重复步骤2-4，直到将矩阵转化为上三角形式。
6. 从最后一行开始，通过回代法求解每个未知数的值。
二、高斯消元法步骤示例为了更好地理解高斯消元法的步骤，下面以一个具体的线性方程组为例进行演示。
假设有如下线性方程组：2x + y - z = 1-3x - y + 2z = -2-2x + y + 2z = 3首先，将线性方程组写成增广矩阵形式：[ 2 1 -1 | 1 ][-3 -1 2 | -2 ][-2 1 2 | 3 ]选择第一列的第一个非零元素2作为主元，将主元所在行的所有元素除以主元，使主元变为1，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][-3 -1 2 | -2 ][-2 1 2 | 3 ]然后，将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行，使得主元所在列的其他元素都变为0，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 -1 1.5 | -0.5 ][ 0 1 3 | 4 ]接下来，选择第二列的第二个非零元素-1作为主元，将主元所在行的所有元素除以主元，使主元变为1，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 1 -1.5 | 0.5 ][ 0 1 3 | 4 ]再次进行行变换，将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行，使得主元所在列的其他元素都变为0，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 1 -1.5 | 0.5 ][ 0 0 4.5 | 3 ]将矩阵转化为上三角形式后，从最后一行开始，通过回代法求解每个未知数的值。
W084线性代数-3.1 线性方程组的消元解法
解线性方程组
2x1 x1
2x2 2x2
x3 4x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
解
2x1 x1
2x2 2x2
4
x3 x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
2
x1
2x2 3x2
(9
/
x3 2)x3
6 0
2x2 (7 / 2)x3 13
2
x1
2x2 3x2
0 0 1 2
可以看出用消元法解线性方程组的过程 实质上就是对
该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程 解线性方程组
时 为了书写简便 只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可
2x1
2x2 3x2
8 9
x3 2
2
x1
2
x2 x2
8 3
x3 2
2x1
x2
2 3
x3 2
xxx121 x3
233
0001
5 1 0 0
1 1 0 0
1 2
0 0
0021
0001
1 1 0 0
2 1 6 0
3 4
3 0
2911
都是阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
如果阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1 且
线性方程组的消元法
1.2 消元法与矩阵初等变换的关系
定义
定义 2 设 n 元线性方程组
1( 3 )
2
x1
x 2 x2
2x x3
3
2 2
x3 4
(1) ， (2) ， (3) ，
解得 x3 4 ，x2 6 ，x1 12 ．
系数矩阵是阶梯形矩阵的方程组称为阶梯形方程组。
（4-1）
1.1 消元法
定义
消元法解线性方程组的实质是反复地对方程组进行变换，得到阶梯形方程组．而所作的 变换，也只有以下三种类型．
线性代数
1.1 消元法
例题
例1
2x1 x2 5x3 2
解线性方程组
x1
x2 2x3 2
x1 2x2 x3 4
(1) ， (2) ， (3) ．
解：为了更方便地表达解题过程，可用符号来表示，符号含义如下： (1) (2) 表示交
换方程 (1) 与 (2) ； (2) 2(1) 表示方程 (2) 减去方程 (1) 的 2 倍，类似地， (3) (1) 表示方程 (3)
加方程 (1) ， (3) (2) 表示方程 (3) 减去方程 (2) ； 1 (3) 表示方程 (3) 乘以 1 ．
2
2
消元法解方程组的过程表示如下．
2x1 x2 5x3 2 (1)
x1 x2 2x3 2 (1)
x1
x2 2x3 2
(2) (1)(2) 2x1 x2 5x3 2
线性方程组的消元法
线性方程组的消元法线性方程组的消元法是解决线性方程组的常用方法之一，通过逐步消去未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
本文将详细介绍线性方程组的消元法及其应用。
1. 消元法简介消元法是一种通过逐步消除未知数的系数，将线性方程组转化为更简单形式的方法。
它的基本思想是通过不断的代入与消去操作，将方程组转化为三角形式或最简形式，从而求得方程组的解。
2. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为未知数的系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
3. 消元法的步骤（1）选取主元：根据方程组的特点，选择一项作为主元，并将其系数置为1，并且使其所在的其他行对应的列的系数皆为0，这样可以简化计算过程并减少误差。
（2）代入消元：选择一个非主元进行代入，将其代入主元所在的其他方程中，从而消去该未知数。
（3）重复步骤（1）和（2），直至将所有的非主元都消去为止。
（4）最后得到一个三角形形式的线性方程组，可以通过回代法求解该方程组的解。
4. 消元法的应用消元法广泛应用于各个领域，特别是在科学和工程领域中具有重要作用。
以下是几个应用实例：（1）经济学中的输入产出模型：通过消元法可以分析不同产业之间的投入产出关系，从而得出经济模型的解释。
（2）物理学中的电路分析：通过消元法可以简化复杂的电路方程组，从而计算出电路中各个节点的电压和电流。
（3）化学反应平衡问题：通过消元法可以解决化学反应平衡过程中的复杂线性方程组，从而得到反应物和生成物的浓度。
5. 总结消元法是一种解决线性方程组的有效方法，通过逐步消除未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
消元法求解常系数线性微分方程组
消元法求解常系数线性微分方程组下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!消元法求解常系数线性微分方程组导言在微积分和线性代数领域，线性微分方程组是一类重要的数学问题，它们在物理学、工程学以及其他科学领域中有着广泛的应用。
用高斯消元法解线性方程组
用高斯消元法解线性方程组高斯消元法是一种常用的解线性方程组的方法。
它通过一系列的行变换将线性方程组转化为一个简化的行阶梯形式，从而可以方便地求解方程组。
基本步骤使用高斯消元法解线性方程组的基本步骤如下：1. 构造增广矩阵：将线性方程组的系数矩阵和常数向量按照方程的顺序组合成一个增广矩阵。
2. 初等行变换：通过初等行变换操作，将增广矩阵转化为行阶梯形或行最简形。
3. 回代求解：从最后一行开始，反向代入得到方程组的解。
详细步骤以下是用高斯消元法解线性方程组的详细步骤：1. 将线性方程组的系数矩阵和常数向量按照方程的顺序组合成一个增广矩阵，如下所示：[a11 a12 ... a1n | b1][a21 a22 ... a2n | b2][... ... ... ... | ...][an1 an2 ... ann | bn]2. 选择第一个非零元素所在的列，记为第 k 列。
3. 通过初等行变换操作，将第 k 列除了第 k 行之外的所有元素变为零。
首先，将第 k 行的第 k 个元素系数标准化为 1，即将第 k 行的所有元素除以第 k 个元素的值。
然后，对第 i 行（i ≠ k）进行以下操作：将第 i 行的第 k 个元素的系数变为零，即将第 i 行减去第 k 行的 k 个元素乘以第 i 行的第 k 个元素的系数。
4. 重复步骤 2 和步骤 3，直至所有列都处理完毕。
5. 如果最后一行的所有元素都为零，则该线性方程组无解。
6. 如果最后一行的最后一个非零元素所在的列号为 m，则 m+1 到 n 列的所有元素均为自由变量。
7. 从最后一行开始，反向代入求解自由变量。
示例假设有以下线性方程组：2x + 3y - z = 13x + 2y + z = 2x + 3y + 2z = 3将该方程组转化为增广矩阵的形式：[2 3 -1 | 1][3 2 1 | 2][1 3 2 | 3]通过高斯消元法的步骤，可以得到以下的行阶梯形式：[1 3/2 1/2 | 3/2][0 7/2 -3/2 | -3/2][0 0 17/7 | 17/14]根据行阶梯形式，可以得到方程组的解为：x = 1/2y = -1/2z = 2/7总结高斯消元法是一种简单而有效的方法，用于解线性方程组。
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法线性方程组的解法：消元法、代入法和高斯消元法线性方程组是数学中的基本概念之一，在现代数学和物理学的研究中有着广泛的应用。
为了求解线性方程组，人们发明了许多方法，其中最常用的有消元法、代入法和高斯消元法。
本文将介绍这三种方法的基本原理和求解步骤，并通过实例对其进行说明。
一、消元法消元法是一种通过逐步消除未知量，从而求解线性方程组的方法。
其基本原理是利用等式变换，逐步消去各个方程中的未知量，直到将方程组化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将含有未知量的项都移动到等式的同一侧，即将线性方程组转化为增广矩阵形式。
2. 选取一个主元素，将该列的其他元素全部变为0，从而消去该列的未知量。
3. 依次选取下一个主元素，直到整个增广矩阵被消元成上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
二、代入法代入法是一种通过将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解未知量的方法。
其基本原理是将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量，不断代入，从而求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量。
2. 将该解代入另一个方程，求解未知量的值。
3. 重复以上步骤，直到求出所有未知量的值。
三、高斯消元法高斯消元法是一种通过矩阵变换，将线性方程组化为上三角形式，从而求解未知量的方法。
其基本原理是利用初等矩阵变换，逐步将增广矩阵化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将矩阵的列向量按递增顺序排列，从左到右依次选取主元素。
2. 利用初等矩阵变换，将每一列的主元素下方元素全部变为0。
3. 重复以上步骤，直到整个增广矩阵被化为上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
举例说明：考虑以下线性方程组：x + 2y – z = 92x – y + 3z = –33x + y + 4z = 12采用消元法求解：将该方程组转化为增广矩阵形式：1 2 –1 | 92 –13 | –33 14 | 12选取主元素1，将第2行乘以2减去第1行，将第3行乘以3减去第1行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 –5 7 | –15选取主元素–5，将第3行减去第2行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 0 2 | 6将该矩阵化为上三角形式，然后采用回代方法，求得：x = 2y = –3z = 3同样的，采用代入法或高斯消元法也能求解出相同的结果。
消元法解线性方程组
消元法解线性方程组学校：青海师范大学院系：数学系专业：数学与应用数学班级：10B指导教师：邓红梅学号：20101611218姓名：梅增旺摘要：线性方程组在数学的各个分支，在自然科学，工程技术，生产实际中经常遇到，而且未知元的个数及方程的个数可达成百上千，因此它的理论是很重要的，其应用也很广泛。
本篇将就解线性方程组在此做一浅谈，以消元法为主要方法。
消元法是解一般线性方程组行之有效的方法，早在中学大家都已经有接触，消元法的基本思想是通消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组进行求解。
关键字：线性方程组消元法求解Abstract: linear equations in various branches of mathematics, natural science,engineering technology, often encountered in actual production, and theunknown element number and the number of equations canbe hundreds, so itis important in the theory, its applicationis very extensive. This article on thesolution of linear equations based on a discussion, mainly by means ofelimination method. Elimination method is the general linear equations ofeffective early in high school, everyone hasa contact, the basic idea ofelimination method is throughthe elimination of the equations of deformationinto easy to solve with the solution of equations.Keywords:elimination method for solving linear equations正文：我们主要探讨一下在复数域上用高斯（C.F.Gauss,1775--1855）消元法解线性方程组（以下我们统称线性方程组）。
高斯消元法解线性方程组
高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。
那么这样的线性方程组是否有解呢如果有解，解是否唯一若解不唯一，解的结构如何呢这就是下面要讨论的问题。
一、线性方程组设含有n个未知量、有m个方程式组成的方程组a ii X i a i2X2 a in X nb ia2i X i a22 X2 a2n X n b2（）a mi X i a m2X2 a mn X nb m其中系数a j ,常数b j都是已知数，x i是未知量（也称为未知数）。
当右端常数项b1, b2，…,b m 不全为0时，称方程组（）为非齐次线性方程组；当bj=b2=…=b m= 0时，即a ii X i a i2X2 a in X n 0a2i X i a22 X2 a2n X n 0（）a mi X i a m2 X2 a mn X n称为齐次线性方程组。
由n个数k i，k2,…,k n组成的一个有序数组（k i，k2，…,k n），如果将它们依次代入方程组（）中的x i，X2，…,X n后，（）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k i，k2,…,k n）为方程组（）的一个解。
显然由X i=0, X2=0，…，X n=0 组成的有序数组（0，0，…， 0 ）是齐次线性方程组（）的一个解，称之为齐次线性方程组（）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。
因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
）非齐次线性方程组（）的矩阵表示形式为：AX = B其中a ii a i2 a inX i b ia2i a22 a2n，X = X2，B = b2A =a mi a m2 a mn X nb n称A为方程组（）的系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。
线性方程组的消元法与矩阵法
线性方程组的消元法与矩阵法线性方程组是数学中的一个重要概念，它广泛应用于物理、经济、金融等领域中。
在解决实际问题中，我们通常采用消元法和矩阵法来求解线性方程组。
一、线性方程组消元法消元法是一种代数方法，可以用来解决线性方程组。
这种方法的基本思想是先通过一系列等式变形，消去某些未知数，以便求出其他未知数。
这样，我们就能逐步减少未知数的数量，最终得出一个或多个未知数的值。
以三元一次方程组为例：$$\begin{cases}2x+3y-4z=9\\3x-2y+z=-6\\x+4y-3z=5\end{cases}$$消元法的一般步骤如下：1. 将方程组写成增广矩阵的形式。
$$ \begin{bmatrix} 2 & 3 & -4 & | & 9 \\ 3 & -2 & 1 & | & -6 \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix} $$2. 选取一行或一列作为基准行或基准列，并通过列运算或行运算将其他行或列化成与之相似的形式。
3. 重复第2步，逐步消去所有未知数。
在这个例子中，我们选取第一行第一列的元素2作为基准元。
我们可以将第二行的第一列元素3变为0，通过将第二行乘以$-\frac{3}{2}$，再加到第一行上。
$$ \begin{bmatrix} 2 & 3 & -4 & | & 9 \\ 0 & -\frac{13}{2} &\frac{11}{2} & | & -\frac{33}{2} \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix} $$然后，我们可以选取第二行第二列的元素$-\frac{13}{2}$作为基准元，将第三行的第二列元素4变为0，通过将第三行乘以$-\frac{1}{13}$，再加到第二行上。
第1节 用消元法解线性方程组
对应矩阵的初 等行变换
称上述三种变换为线性方程组的初等变换。
注意到上面用线性方程组初等变换解方程组时， 未知量没参与运算且参与运算的仅仅是系数和 常数项；并且线性方程组的初等变换正好对应 矩阵的初等行变换。 因此，上面解线性方程组
的过程可在增广矩阵上进行。如上例：
2 1 3 1 A 1 1 1 2 3 2 5 0 1 1 1 2 r1 r2 2 1 3 1 3 2 5 0
命题1.1 线性方程组的初等变换总是把线性方程组 变成同解的方程组。 命题1.2 任意矩阵都可经过一系列初等行变换化成 行阶梯矩阵。 命题1.3 任意矩阵都可经过一系列初等行变换化成 简化行阶梯矩阵。
例1.2 用矩阵的初等变换将A化为（简化）行阶梯矩阵
0 1 1 1 A 2 1 1 3 1 2 2 5
x1 x2 x3 2 x2 x3 3 x3 3
回代
x1 5 x2 0 x3 3
上面求解线性方程组都
用了哪些变换？
求解上述线性方程组用到下面三种变换 ① 将一个方程的倍数加到另一个方程上；
② 交换两个方程的位置.
③ 用一个非零的数乘某一个方程；
该矩阵主元都是1且每个主元所在列其它元素都是0.
为了保证上述方法（消元法）对所有方程组可进行， 必须解决下面两个问题：
（1）方程组的初等变换不会影响方程组的解；
（2）任一个矩阵都可用初等行变换化成行阶梯矩阵。
三、同解方程组 定义1.3 如果两个线性方程组的解集合相同，则称 这两个线性方程组是同解的。 同解作为线性方程组解之间的关系式一个等价关系， 即它具有下面三条性质 （1）自反性： 任何线性方程组都与它自身是同解的。 （2）对称性： 如果（I）与（II）同解， 则（II）与 （I）同解。 如果（I）与（II）同解， 且（II）与 （3）传递性： （III）同解, 则（I）与（III）同解。
应用消元法解方程组
应用消元法解方程组消元法（Elimination Method）是一种常用的解线性方程组的方法，通过逐步消去未知数，将方程组转化为最简形式，从而求得未知数的值。
本文将介绍如何应用消元法解决方程组，并给出详细的步骤和案例分析。
一、消元法的基本原理消元法的基本思想是通过加减法将方程组中的某些未知数消去，转化为只含有一个未知数的方程，从而逐步求解出所有的未知数。
具体步骤如下：1. 确定主元选择一个未知数作为主元，并设主元的系数为1，然后利用该方程消去其他方程中的主元。
2. 消元根据主元的系数和其他方程的系数，通过加减法将其他方程中的主元系数变为0，从而逐步消去其他未知数。
3. 重复上述步骤重复以上步骤，直到将方程组转化为最简形式，即只含有一个未知数的方程。
最后，通过反推法求解得到每个未知数的值。
二、应用消元法解方程组的步骤1. 线性方程组的表示首先，将给定的线性方程组表示出来。
例如，考虑如下方程组：```2x + 3y = 7 （1）4x - 2y = 10 （2）```2. 确定主元选择其中一个未知数作为主元，通常选择系数较大的未知数作为主元。
假设我们选择方程（1）中的x作为主元。
3. 消元根据主元方程（1）中的系数2，将方程（2）中的x消去。
通过乘以某个系数，使得方程（2）中的x的系数与方程（1）中的系数相同，然后将两个方程相减，得到新的方程。
```(4x - 2y) - 2(2x + 3y) = 10 - 2 * 7=> 4x - 2y - 4x - 6y = 10 - 14=> -8y = -4```4. 求解主元由新方程可解得y的值。
在本例中，解得y = 1。
5. 反推求解未知数将求解出的y的值代入方程（1）或方程（2）中，求解得到x的值。
在本例中，代入方程（1），解得x = 2。
三、案例分析现在，我们以一个具体的方程组为例来演示应用消元法解方程组的过程。
考虑如下方程组：```2x + 3y - z = 8 （1）x - y + 2z = -4 （2）3x - y + 3z = 2 （3）```1. 选择主元首先选择一个未知数作为主元。
线性方程组的解法(代入消元法)
线性方程组的解法(代入消元法)引言线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的方法有很多种。
其中，代入消元法是一种比较常用且简单的解法。
本文将介绍代入消元法的原理和步骤，以及具体的示例。
原理代入消元法的基本思想是：将一个方程的解代入到其他方程中，通过逐步消去未知数的方法求得最终的解。
这种方法适用于方程组的规模较小的情况。
步骤代入消元法的步骤如下：1. 确定方程组的个数和未知数的个数，假设方程组有n个方程和n个未知数。
2. 选择一个方程作为基本方程，将其化简为只含有一个未知数的形式。
3. 将已知方程的解代入到其他方程中，并逐步消去未知数。
4. 重复步骤2和步骤3，直到最后一个未知数的解求得。
5. 将求得的未知数的值代入到其他方程中，验证解是否正确。
示例假设有如下线性方程组：2x + y = 53x - 2y = -4我们可以选择第一个方程作为基本方程，将其化简为只含有一个未知数的形式：y = 5 - 2x然后，将y的值代入到第二个方程中：3x - 2(5 - 2x) = -4通过展开和合并同类项的运算，得到：7x - 10 = -4继续化简，得到：7x = 6解得x的值为x = 6/7。
将x的值代入到第一个方程中，得到：2(6/7) + y = 5y = 5 - 12/7化简，得到：y = 23/7因此，线性方程组的解为x = 6/7，y = 23/7。
结论代入消元法是一种简单而有效的解线性方程组的方法。
通过选择一个方程作为基本方程，并逐步代入其他方程中消去未知数，最终可以求得方程组的解。
在实际应用中，代入消元法常用于解决线性方程组个数较少的情况。
以上是关于线性方程组的解法(代入消元法)的介绍，希望对你有所帮助。
矩阵消元法解线性方程组
矩阵消元法解线性方程组
矩阵消元法是一种用于解线性方程组的算法，它是通过将增广矩阵化为阶梯形或行最简形矩阵，从而找到方程组的解。
该方法基于高斯消元法，但适用于更一般的情况。
首先，将增广矩阵G(A∣B)通过行变换化为行阶梯形矩阵，使得右侧的常数矩阵变为单位矩阵。
在这个过程中，我们保持方程的解不变，因为行变换是可逆的。
然后，将行阶梯形矩阵继续通过行变换化为行最简形矩阵。
在这个过程中，右侧的常数矩阵变为单位矩阵，左侧的矩阵变为一个与原方程组同解的线性方程组的系数矩阵。
最后，通过行最简形矩阵得到原方程组的解。
如果系数矩阵中有非零元素，则对应未知数的值即为该元素所在的列中的常数值。
如果某个未知数在系数矩阵中全为零，那么该未知数可以自由取值。
除了高斯消元法，另一种常见的消元法是1U分解法。
1U分解法将增广矩阵分解为一个下三角矩阵1和一个上三角矩阵U的乘积。
然后，通过逐行推移的方式求解线性方程组。
这种方法在某些情况下比高斯消元法更快，因为它利用了更多的信息。
总的来说，矩阵消元法是一种非常有效的求解线性方程组的方法，它适用于各种大小和复杂性的方程组。
在实际应用中，选择哪种消元法取决于具体的问题和计算资源。
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组线性方程组的解法——学会利用消元法解决线性方程组线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的方法有很多种，而消元法是其中最常用的一种解法。
本文将详细介绍线性方程组的消元法解法及其应用。
一、线性方程组的基本概念在介绍消元法之前，我们首先需要了解线性方程组的基本概念。
线性方程组由多个线性方程组成，每个线性方程可以写成如下形式：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为系数，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，b₁,b₂, ..., bₙ为常数项，m为方程组的数量，n为未知数的数量。
二、消元法的原理消元法的基本思想是通过变换线性方程组的等价形式，将未知数的系数化为0，使得方程组具备易解性。
具体来说，消元法通过一系列的行变换和列变换，将线性方程组化为最简形式，也即阶梯形式。
三、消元法的步骤1. 第一步：将线性方程组写成增广矩阵的形式将线性方程组转化为矩阵形式，如下所示：⎡ a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙ | b₁⎤⎢ a₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ | b₂⎥⎢ ... ... ... ... | ... ⎥⎢ aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ | bₙ ⎥⎣以矩阵的形式更方便进行行变换和列变换。
2. 第二步：选主元在进行消元操作前，需要选取主元。
主元是指每一行首个不为0的元素，它将作为该行进行消元的依据。
3. 第三步：消元操作通过行变换和列变换，将主元下方的元素化为0。
行变换包括以下几种操作：- 交换两行位置- 将某行乘以一个非零常数- 将某行的倍数加到另一行上4. 第四步：重复进行消元操作重复进行消元操作，直到将所有非主元下方的元素全部化为0。
5. 第五步：回代求解未知数消元完成后，可得到一个阶梯形矩阵。
1线性方程组的消元解法
dr1 0 时，方程组有解
r( A ) r( Ab )
r n 时，方程组有唯一解 r( A ) r( Ab ) n r n 时，方程组有无穷多解 r( A ) r( Ab ) n
即： 线性方程组化为阶梯形后，有 r( A ) r( Ab ) 无解
r( A ) r( Ab ) n 唯一解
x1
13 7
3 7
c1
13 7
c2
x2
4 7
2 7
c1
4 7
c2
x3 c1
x4
c2
四、齐次线性方程组的求解 1、定理3.2 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
是： r( A ) n
例5 解齐次线性方程组
x1 x2 5 x3 x4 0
x1 x2 2 x3 3x4 0
则方程组可写为： AX b
Ab
a11 a12 a1n b1
a21 a22 a2n b2
am1
am2
amn
bm
2、求解步骤：
① 写出增广矩阵
② 化为阶梯形
③ 判断是否有解，如有解
④ 进行回代
称为增广矩阵
化为阶梯形
a'
11
x1
a' 12 x2 a' 22 x2
1 0 1 7
0
1
4 1
8 9
2 4
方程组有无穷多个解
引例3 线性方程组
x31x1
2
x2 x2
3x3 5x3
x4 3x4
1
2
2x1 x2 2x3 2x4 3
解：消元得
x1
2x2 5x2
3x3 x4 4x3 1
线性代数—解线性方程组的消元法
例4 t 为何值时线性方程组
x1 x3 t 4x1 x2 2x3 t 2 6x1 x2 4x3 2t 3
有解? 并求解.
解
1 0 1 t 1 0 1
t
A 4 1 2 t 2 0 1 2 3t 2
6 1 4 2t 3 0 1 2 4t 3
1 0 1 t 当 t1时 ， r(A )r(A )2,
若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
8
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系 数和常数进行运算，未知量并未参与运算．
若记
2 1 1 1 2
A(Ab) 341
1 6
6
2 2
若 d r 1 0 , 则 r (A ) r (A ) r, 若 d r 1 0 , 则 r (A ) r (A ) 1 ,
线性方程组解的判定定理
线 性 方 程 组 A b 有 解 的 x 充 分 必 要 条 件 是 r(A)r(A).
在有解的情况下，
当 r(A )n时 有 唯 一 解 ； 当 r(A ) n 时 有 无 穷 多 解 ； 这 时 自 由 未 知 量 个 数 为 n r ( A ).
(1)
1 2 3 2
2x1 x2 x3 x4 2, 2x1 3x2 x3 x4 2,
2 3
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
3
x1 x2 2x3 x4 4, 1
2x1 x2 x3 x4 2, 2x1 3x2 x3 x4 2,
2 3
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
第2章 2.6消元法 线性方程组解的情况
a1n
a2n
称为方程组(5)的系数矩阵,
ann
a1n b1
a2n
b2
称为方程组(5)的增广矩阵。
asn bs
显然，线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的。
定义2 矩阵的行(列)初等变换是指以下三种变换： (1) 交换矩阵的任意两行(列) ； (2) 用一个不为零的数乘以某一行(列) ； (3) 用一个数乘以某一行(列) ，然后加到另一行(列) .
6、消元法 线性方程组解的情况
本节主要从实际计算中解决数域Ｋ上的一般线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2 amn xn bm
(2.5)
的如下三个问题：
A
1 1
2 2
5 3
3 2
,
对A 作初等行变换：
A
(1,2)
1
0 1
2 4 2
5 12 3
3
10 2
3+1(-1)
1 2 5 3
0 0
4 0
12 2
10 5
写出对应的方程组
x1 2x2 5x3 3, 4x2 12x3 10,
对线性方程
a21 x1 a22 x2
a2n xn b2
(5)
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
由方程(5)的系数组成的矩阵
a11 a12
A
克劳特消元法
克劳特消元法克劳特消元法是一种用于解决线性方程组的算法，它的目的是将线性方程组转化为简化形式，从而得到方程组的解。
这种方法是由德国数学家弗朗茨·克劳特在19世纪末提出的，至今仍然被广泛应用于线性代数领域。
克劳特消元法的基本思想是通过一系列的行变换，将方程组的系数矩阵化为上三角形式。
具体而言，克劳特消元法通过将某一行乘以一个系数并加到另一行上来消去某个变量的系数。
通过重复这个过程，我们可以逐步将方程组化简为上三角形式。
使用克劳特消元法解决线性方程组的步骤如下：1.根据线性方程组的系数矩阵，写出增广矩阵。
2.选择一个主元（系数矩阵中的一个非零元素），将该主元所在列的其他元素变为0。
3.将主元所在行交换到合适的位置，保证主元的绝对值最大。
4.重复步骤2和步骤3，直到所有的主元都被选出并放置在对角线上。
5.通过回代法求解方程组的解。
克劳特消元法的优势在于它能够将复杂的线性方程组转化为上三角形式，从而简化了计算过程。
此外，克劳特消元法也能够判断方程组的解的个数，当出现矛盾的方程时，方程组无解；而当方程组出现自由变量时，方程组有无穷多解。
这使得克劳特消元法不仅适用于求解线性方程组，还可以用于判断线性方程组的解的性质。
然而，需要注意的是，克劳特消元法在实际应用中可能会遇到一些问题。
当系数矩阵的某个元素非常接近于零时，可能会导致数值不稳定性，使得结果的精度下降。
因此，在使用克劳特消元法解决实际问题时，我们需要考虑到这些潜在的问题，并采取相应的措施来提高计算的准确性。
总之，克劳特消元法是一种强大的算法，它为我们解决线性方程组提供了一个有效的工具。
通过将方程组转化为上三角形式，克劳特消元法能够简化计算过程，并且可以通过判断方程组的解的性质来进一步分析问题。
尽管在实际应用中可能会遇到一些问题，但克劳特消元法仍然是解决线性方程组的重要方法之一。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3
÷2
(1)
4
首页
上页
返回
下页
结束
解
1↔ 2 3 ÷2
(1)
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ 2 x − x − x + x = 2, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, ⎪ 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, ⎩ ⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ 2 x − 2 x + 2 x = 0,43; 5 x 3 − 3 x 4 = − 6, ⎪ 3 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = − 3, ⎩
首页
上页
返回
下页
结束
2 r2 − ⎛31 ⎛ 1 − 1 r ⎜ ⎜ 1 r3 − ⎜ 21 − 0 − 2 2r ⎜ 1 B1 = ⎜ ⎜3 2 −0 −5 1 r4 − ⎜ 1 ⎜ 3r ⎜3 ⎜0 −3 9 ⎝6 ⎝
r2 ÷ 2 r3 − 5r2 r4 − 3r2
2 − 1 4 ⎞1 ⎟ 2 − 1 2 ⎟2 − 1 2 ⎟3 5 − ⎟ ⎟4 3 − 7 9⎠
k1 (0,1,1,0 ) + k2 (− 1,2,2,1)
T T
(k1 , k2 ∈ R ).
问( I )与( II )是否有非零公共解 ? 若有 , 求出来;若没 有, 说明理由.
首页
上页
返回
下页
结束
思考题解答 解
将( II )的通解代入 ( I )得
⎧ − k2 + k1 + 2k2 = 0 ⇒ k1 = − k2 . ⎨ ⎩ k1 + 2k2 − k2 = 0
其中x3为任意取值 .
或令 x3 = c , 方程组的解可记作 ⎛ x1 ⎞ ⎛ c + 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ c + 3 ⎟ x=⎜ ⎟=⎜ , x3 c ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ ⎛ 1⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 1⎟ ⎜ 3 ⎟ 即x = c ⎜ ⎟ + ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ − 3⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
一、消元法解线性方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程． 引例 求解线性方程组
⎧ 2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, ⎪ x + x − 2 x + x = 4, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ 4 x1 − 6 x2 + 2 x3 − 2 x4 = 4, ⎪ 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, ⎩
注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定， 行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定． 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．
首页 上页 返回 下页 结束
矩阵 的标准形 .
⎛1 ⎜ ⎜0 B5 = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝ 0 −1 0 4⎞ ⎟ 1 −1 0 3⎟ 0 0 1 − 3⎟ ⎟ 0 0 0 0⎟ ⎠ 0 0 0 1 0 ⎞4 ⎞ ⎞ 4 − ⎟ ⎟⎟ 3 − 1 0 0 1 0 ⎟3 ⎟ ⎟ F ⎟3= ⎟ 0 1 0 0 0 −⎟ − 3 ⎟ ⎟⎟ ⎟ 0⎟ 0 0 0 0 0 ⎠0 ⎟ ⎠ ⎠
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ x − x + x = 0, ⎪ 2 3 4 ⎨ x 4 = − 3, ⎪ ⎪ 0 = 0, ⎩
1 2
3
( B3 )
4 1 2
3
3
4
↔4 −23
( B4 )
4
用“回代”的方法求出解：
首页 上页 返回 下页 结束
⎧ x1 = x3 + 4 ⎪ 于是解得 ⎨ x2 = x3 + 3 ⎪ x = −3 ⎩ 4
故 ( II )与( I )的公共解为
(0,1,1,0)T + k2 (− 1,2,2,1)T = k2 (− 1,1,1,1)T k1
所有非零公共解为
k (− 1,1,1,1)
首页 上页
T
(k ≠ 0).
返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) 若( A) 若( A)
i i i
↔
j
( B ), 则( B ) ( B ), 则( B ) ( B ), 则( B )
i
i i
↔
j
( A);
×k +k
j
÷ k ( A); −k
j
( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
首页 上页 返回 下页 结束
（第 i 行乘 k , 记作 ri × k）
同理，可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把 “r”换成“c”)． 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同． ri ↔ rj 逆变换 ri ↔ rj ; 1 ri × k 逆变换 ri × ( ) 或 ri ÷ k ; k ri + krj 逆变换 ri + ( − k )r j 或 ri − krj .
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
首页 上页 返回 下页 结束
⎛1 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎝
0 −1 0 4⎞ 1 −1 0 3⎟ = B 5 0 0 1 − 3⎟ ⎟ 0 0 0 0⎠
行阶梯形矩阵 B5还称为行最简形矩阵， 即非 零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在的 列 的其他元素都为零 . 对于任何矩阵 A m×n , 总可经过有限次初等行 变换把他变为行阶梯形 和行最简形 .
r2 4 ⎞r3 − ⎟ r3 0 ⎟2r1 − ⎟ = B2 −− r4 6 ⎟3r1 ⎟ − 3⎠
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
1 −2 1 4⎞ ⎟ 1 −1 1 0⎟ = B3 0 0 2 − 6⎟ ⎟ ⎟ 0 0 1 − 3⎠
首页
上页
返回
下页
结束
⎛ 1 1 − 2⎛1 11 ⎜ r ↔r ⎜ 4 ⎜ 03 1 − 1⎜0 11 B3 = ⎜ 0 − 2r 0⎜0 20 r4 0 3 ⎜ ⎜ ⎜0 0 0⎜0 10 ⎝ ⎝ r1 − r2 r2 − r3 ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
首页
上页
返回
下页
结束
二、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
(1) 对调两行（对调 i , j 两行 , 记作 ri ↔ r j）； (2 ) 以数 k ≠ 0 乘以某一行的所有元素 ;
(3 ) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作 ri + kr j） .
例如，
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 c5 − 4c1 − 3c2 + 3c3⎜ ⎜ ⎝0
c3 ↔ c4 c4 + c1 + c2
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形 .
首页 上页 返回 下页 结束
特点：F的左上角是一个单位矩 阵，其余元素全为零 .
m × n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
⎛ Er F =⎜ ⎝O
首页
上页
返回
下页
结束
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的 系数和常数进行运算，未知量并未参与运算． 若记
1 ⎛2 −1 −1 ⎜ 1 −2 1 ⎜1 B = ( A b) = ⎜ 4 −6 2 −2 ⎜ ⎜3 6 −9 7 ⎝ 2⎞ ⎟ 4⎟ 4⎟ ⎟ 9⎟ ⎠
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程 组（1）的增广矩阵）的变换．
也称这两个线性方程组等价
首页 上页 返回 下页 结束
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：
1 2⎞ ⎛2 −1 −1 ⎜1 1 −2 1 − 4⎟ B=⎜ 4 −6 2 −2 4⎟ ⎜3 6 −9 7 9⎟ ⎝ ⎠ 1 −2 1 − 4⎞ ⎛1 r1 ↔ r2 ⎜ 2 − 1 − 1 1 2⎟ = B 1 ⎜ 1 −1 2⎟ r3 ÷ 2 ⎜ 2 − 3 3 6 −9 7 9⎟ ⎝ ⎠
(2)
其中c为任意常数 .
无穷解，Cramer rule
首页 上页 返回 下页 结束
小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换） （2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i × k 替换 i） （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i + k j 替换 i ）
O⎞ ⎟ O ⎠ m ×n
此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定，其中 r 就是 行阶梯形矩阵中非零行 的行数 .
所有与矩阵 A 等价的矩阵组成的一个集合， 称为一个等价类，标准形 F是这个等价类中最简 单的矩阵.
看P61例
首页 上页 返回 下页 结束
三、小结
⎧ (1)ri ↔ rj (ci ↔ c j ); ⎪ ⎪ 1.初等行(列)变换 ⎨ (2 )ri × k (ci × k ); ⎪ ⎪ (3 )ri + krj (ci + kc j ). ⎩
4 −2 ⎞1 4⎞ ⎟ ⎟ ↔ 0 −1 ⎟1 r3 0⎟ r4 = B4 6 −− − 0 ⎟1 r43⎟ 2r3 ⎟ ⎟0 0⎟ ⎟ 3 −0 ⎠ ⎠
0 −1 0
4⎞ ⎟ 1 −1 0 3⎟ = B5 0 0 1 − 3⎟ ⎟ 0 0 0 0⎟ ⎠