中考第一轮总复习 《解直角三角形》
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辅导讲义
授课时间：2014年月日
年级：九年级
第次课
学员姓名：
辅导科目：数学
教师姓名：
课题
中考第一轮总复习《解直角三角形》
教学内容
【知识要点】
1、三角函数的概念：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，
记作sinA；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA；
例6、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角
（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了
例7、如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是
例8、如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数， ≈1.73， ≈1.41）
高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离．
7.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（2）平方关系：sin2A＋cos2A=1
（3）商数关系： 可作为公式使用.
2、特殊角的三角函数值列表如下:
3、解直角三角形
一般地，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．
例9、如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．（结果保留根号）
例10、身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）．经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．
例12、如图，A、B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上．已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？为什么？
8.如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据： ≈1.4， ≈1.7，结果保留整数．）
【课后作业】
1．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（ ）
A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=bD．ctanB=b
2．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为（ ）
9.天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．
10.已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处
A． B． C． D．
3．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB=α，那么AB等于（ ）
A．m•sinα米B．m•tanα米C．m•cosα米D． 米
（1）求风筝距地面的高度GF；
（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
例11、星期天，小强去水库大坝游玩，他站在大坝上的A处看到一棵大树的影子刚好落在坝底的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面成60°角．在A处测得树顶D的俯角为15°．如图所示，已知AB与地面的夹角为60°，AB为8米．请你帮助小强计算一下这颗大树的高度？（结果精确到1米．参考数据 ≈1.4， ≈1.7）
例4、如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标
是（0，2），直线AC的解析式为y＝ x−1，则tanA的值是
例5、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA= ；②cosB= ；③tanA= ；④tanB= ，其中正确的结论是（只需填上正确结论的序号）
【典例赏析】
例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA= ，则斜边上的高等于（ ）
A． B． C． D．
例2、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，
若tan∠DBA= ，则AD的长是（ ）
A．2 B． C． D．
例3、将宽2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是cm
2、学生本次上课情况评价：○优秀○良好○一般○差
教师签名：
家长签名：___________
5.如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A．8tan20°B．tan20°C． D．8cos20°
6.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的
锐角A的正弦、余弦、正切统称为锐角A的三角函数
注意：①sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体，不可分开。
②三角函数值是两条线段的比，它们是比值，只是数值，没有单位，大小与角的大小有关，与所在直角三角形的大小无关．
③锐角三角函数的三种表示方式，sinA、sin56°、sin∠DEF
补充：（1）互余关系：sinA=cos(90°－A)，cosA=sin(90°－A)
测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶
A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PO的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
教师评定：
1、学生上次作业评价：○优秀○好○一般○差○没做作业
授课时间：2014年月日
年级：九年级
第次课
学员姓名：
辅导科目：数学
教师姓名：
课题
中考第一轮总复习《解直角三角形》
教学内容
【知识要点】
1、三角函数的概念：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，
记作sinA；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA；
例6、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角
（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了
例7、如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是
例8、如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数， ≈1.73， ≈1.41）
高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离．
7.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（2）平方关系：sin2A＋cos2A=1
（3）商数关系： 可作为公式使用.
2、特殊角的三角函数值列表如下:
3、解直角三角形
一般地，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．
例9、如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．（结果保留根号）
例10、身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）．经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．
例12、如图，A、B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上．已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？为什么？
8.如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据： ≈1.4， ≈1.7，结果保留整数．）
【课后作业】
1．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（ ）
A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=bD．ctanB=b
2．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为（ ）
9.天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．
10.已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处
A． B． C． D．
3．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB=α，那么AB等于（ ）
A．m•sinα米B．m•tanα米C．m•cosα米D． 米
（1）求风筝距地面的高度GF；
（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
例11、星期天，小强去水库大坝游玩，他站在大坝上的A处看到一棵大树的影子刚好落在坝底的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面成60°角．在A处测得树顶D的俯角为15°．如图所示，已知AB与地面的夹角为60°，AB为8米．请你帮助小强计算一下这颗大树的高度？（结果精确到1米．参考数据 ≈1.4， ≈1.7）
例4、如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标
是（0，2），直线AC的解析式为y＝ x−1，则tanA的值是
例5、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA= ；②cosB= ；③tanA= ；④tanB= ，其中正确的结论是（只需填上正确结论的序号）
【典例赏析】
例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA= ，则斜边上的高等于（ ）
A． B． C． D．
例2、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，
若tan∠DBA= ，则AD的长是（ ）
A．2 B． C． D．
例3、将宽2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是cm
2、学生本次上课情况评价：○优秀○良好○一般○差
教师签名：
家长签名：___________
5.如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A．8tan20°B．tan20°C． D．8cos20°
6.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的
锐角A的正弦、余弦、正切统称为锐角A的三角函数
注意：①sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体，不可分开。
②三角函数值是两条线段的比，它们是比值，只是数值，没有单位，大小与角的大小有关，与所在直角三角形的大小无关．
③锐角三角函数的三种表示方式，sinA、sin56°、sin∠DEF
补充：（1）互余关系：sinA=cos(90°－A)，cosA=sin(90°－A)
测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶
A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PO的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
教师评定：
1、学生上次作业评价：○优秀○好○一般○差○没做作业