西北大学2008年数学分析硕士学位研究生试题

西北大学信息科学与技术学院851数据结构[专业硕士]历年考研真题专业课考试试题

第一部分历年考研真题汇编
2002年西北大学信息科学与技术学院449数据结构[专业硕士]考研真题
2001年西北大学信息科学与技术学院数据结构[专业硕士]考研真题（回忆版）
第二部分兄弟院校真题汇编
2011年厦门大学845数据结构考研真题
2009年厦门大学845数据结构考研真题
目录
第一部分历年考研真题汇编 2002年西北大学信息科学与技术学院449数据结构[专业硕士]考研真题 2001年西北大学信息科学与技术学院数据结构[专业硕士]考研真题（回忆版）
第二部分兄弟院校真题汇编 2011年厦门大学845数据结构考研真题 2009年厦门大学845数据结构考研真题 2008年厦门大学845数据结构考研真题 2006年厦门大学496数据结构考研真题
Hale Waihona Puke 2008年厦门大学845数据结构考研真题
2006年厦门大学496数据结构考研真题

考研数学十年真题数三

(D)
v u
f
(u
)
（5）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵若 A3 = 0 ，则（）
（A） E − A 不可逆， E + A 不可逆 .
（B） E − A 不可逆， E + A 可逆 .
（C） E − A 可逆， E + A 可逆 .
（D） E − A 可逆， E + A 不可逆 .
求极限
lim
x→0
1 x2
ln
sin x
x
（16）（本题满分 10 分）
设 z = z (x, y) 是由方程 x2 + y2 − z= ϕ ( x + y + z ) 所确定的函数，其中ϕ 具有 2 阶导数且ϕ′ ≠ −1，
求：（1） dz ；（2）记= u ( x, y)
x
1 −
y

∂z ∂x
(Xi
−
X
)2
，
=T X 2 − 1 S 2 n
（1）证 T 是 µ 2 的无偏估计量 . （2）当=µ 0= ,σ 1时，求 D(T).
8
2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题 : 本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 . 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .
三、解答题 : 本题共 9 小题，共 94 分 . 请将解答写在答题纸指定的位置上 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
（15）（本题满分 9 分）
( ) 求二元函数 f (x, y) = x2 2 + y2 + y ln y 的极值

西交大2008年数学分析考研试题

看到千鹤的遗w，四只眼睛的眼睛闪现在他胸前的剑伤中。在仔细检查了千鹤的身体之后，他消除了他内心的怀疑和不满。成千上万的起重机确实因血液和血液的减少而死亡，他们仍然可以看到南方和北方的旧油。这种险恶的事情真的只出现在故事书中，他真的有更多的心。对不起，王皓是一个臭男孩。唯一剩下的王皓似乎是钱合力的唯一后裔。有一个王小姐，一个侧面奔跑的少年和皇家僵尸。由于这个想法，四眼的领导者不如原来的主人。经过短暂的道教仪式向千鹤道场致敬，他们两人与王皓联手开始清理整个营地被王朔打破的尸体。王宇在丛林环境中点燃柴火和烈火的顾忌在两者眼里都不是。在所有的尸体都集中在一个空地上之后，蠕虫的四只眼睛用篝火解决了这个问题。茅山的许多祖先在河流和湖泊方面都有很多经验，这种场景有长期的解决方案。 “史博，主人，主人和兄弟兄弟们，我明天会来聚会。我会请石博和师傅帮我把今晚的皇家僵尸放在剑下，以为我哥哥和我会复仇“。皇家僵尸被我的主人和我的兄弟打破了，尸体被排出了50％。只要没有很多血液或亲戚来支持血液恢复它，我可以保证它不会生活在黎明。头顶的皇家僵尸在黎明前发现了足够的血液，或吸收了亲人的鲜血。我们的主人和妻子过去经常在皖南地区与僵尸打交道，但他们从来没有见过这么难的僵尸。同时插入四把木剑。它不能杀死它的身体！如果你让它从受伤中恢复过来，那么逃避，躲避和恢复，恐怕世界上会有更多的伤害！刚才Shibo说，乌兹别克斯坦逃到了Shibo，这震惊了你。他是一个忠诚的人。据推测，七十一个王子也必须在你家里。
这个圈子人口稀少，有七十一个王子被这种血液所吸引。皇家僵尸必须追逐他们的脚步去Shibo。还请高博师傅帮助我。 “对于王皓的话，四只眼睛和一个休息的主人都听了。两江湖的僵尸习惯不明确。即使王皓不说他们原先想到的第一个说服王皓明天回来。成千上万的起重机都是灰烬。毕竟，此刻，他们两个的学徒和镣铐很可能与皇家僵尸发生了巨大的碰撞。此刻的时间更加激烈。木屋，后院的竹林，微风吹过，一道阴影闪过，竹子摇曳的声音为安静的夜晚敲响了一夜！

西北大学数学分析考研试题

西北大学2010年招收攻读硕士学位研究生试题科目名称：数学分析科目代号：622 适用专业：数学系各专业1.证明：若函数()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上必有最大值和最小值.（15分）证：因为函数()f x 在[],a b 上连续所以()f x 在[],a b 上有界于是由确界原理知，()f x 在[],a b 上有上确界，记之为M下证：存在[],a b ξ∈，使得()f M ξ=，否则，对一切[],x a b ∈，都有()f x M < 令[]1(),,()g x x a b M f x =∈-则()g x 为[],a b 上的连续函数于是()g x 在[],a b 上有上界，不妨设G 为()g x 在[],a b 上的一个上界则对任意的[],x a b ∈，都有10()()g x G M f x <=≤- []1(),,f x M x a b G⇒≤-∈1M G∴-为()f x 在[],a b 上的一个上界，而这显然与上述推得的M 为()f x 在[],a b 上的上确界（最小上界）矛盾 ∴假设不成立故必存在[],a b ξ∈，使得()f M ξ=，即()f x 在[],a b 上必有最大值同理可证：()f x 在[],a b 上必有最小值2.讨论函数222222()sin 0(,)0,0x y x y z f x y x y ⎧++≠⎪==⎨⎪+=⎩在坐标原点处：（1）是否连续？（2）是否存在偏导数？（3）是否可微？（18分）解：（1）因为22(,)(0,0)lim ()0,sin1x y x y →+=≤所以22(,)(0,0)(,)(0,0)lim (,)lim (0(0,0)x y x y f x y x y f →→=+==∴函数(,)f x y 在点(0,0)处连续（2）由偏导数的定义知，000(0,0)(0,0)1(0,0)lim limlim sin0x x x x f x f f x xx∆→∆→∆→+∆-===∆=∆∆，00(0,0)(0,0)1(0,0)limlim lim sin0y y y y f y f f y yy∆→∆→∆→+∆-===∆=∆∆ ∴函数(,)f x y 在点(0,0)处关于x 和y 的偏导数都存在且都为零（3）因为2222(0,0)(0,0)(0,0)(0(f f x y f x y x y ∆=+∆+∆-=∆+∆=∆+∆(0,0)(0,0)0x y f x f y ∆+∆=所以(0,0)((0,0)(0,0))0(0)x y f f x f y ρρ∆-∆+∆==≤=→(0,0)(0,0)(0,0)x y f f x f y∴∆=∆+∆∴函数(,)f x y 在点(0,0)处可微3.设级数1n n a ∞=∑收敛，0n a >，且数列{}n a 单调递减.试证：lim 0n n na →+∞=.（15分）证：因为正项级数1n n a ∞=∑收敛所以由级数收敛的柯西准则可知，对任给的0ε>，总存在正整数N ，使得当n N >时，有120N N a a ++<++ (2)n a ε+<又因为数列{}n a 单调递减所以当n N >时，12N N a a ++≥≥…n a ≥于是当n N >时，有120()n N N n N a a a ++<-≤++ (2)n a ε+<取2n N >，则有0()2n n n a n N a <<-12N N a a ++≤++ (2)n a ε+< 即0n na ε<<（当2n N >时）故lim 0n n na →+∞=4.确定函数22(,)4f x y x xy y =++在圆形区域221x y +≤上的最大值和最小值.（12分）解：（ⅰ）先求函数(,)f x y 在区域22:1D x y +≤内部221x y +<的可疑极值点；因为2(,)40x f x y y =+>所以函数(,)f x y 在区域22:1D x y +≤内部221x y +<没有极值点因为函数(,)f x y 的最大值、最小值只能在区域D 的边界221x y +=上取得（ⅱ）再求函数(,)f x y 在区域22:1D x y +≤边界221x y +=上的可疑极值点；为此作拉格朗日函数2222(,,)4(1)L x y x xy y x y λλ=++++- 对L 求一阶偏导数，并令它们都为零则有222420222010x y L y x L xy y y L x y λλλ⎧=++=⎪=++=⎨⎪=+-=⎩解得：102x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩或102x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以函数(,)f x y 在区域22:1D x y +≤边界221x y +=上的最大值为(1,0)4f =，最小值为(1,0)4f -=-.故函数22(,)4f x y x xy y =++在圆形区域221x y +≤上的最大值为4，最小值为-4. 5.设()0f x >且在[]0,1上连续.研究函数122()()yf x g y dx x y=+⎰的连续性.（15分）证：对任意的00y >，取0δ>，使00y δ->则被积函数22()yf x x y+在矩形区域[][]000,1,D y y δδ=⨯-+内连续于是由含参量正常积分的连续性定理知，函数122()()yf x g y dx x y =+⎰在[]00,y y δδ-+上连续再由0y 的任意性可知，函数()g y 在()0,+∞上连续又因为11222200()()()()yf x yf x g y dx dx g y x y x y --==-=-++⎰⎰ 所以()g y 为奇函数 ∴函数()g y 在(),0-∞上也连续于是函数()g y 在()(),00,-∞⋃+∞上连续在0y =处，()(0)0g y g ==又函数()f x 为[]0,1上的正值连续函数所以函数()f x 在[]0,1上存在最小值m ，且0m > 于是当0y >时，111222222000()()yf x my yg y dx dx m dx x y x y x y =≥=+++⎰⎰⎰ 102111()arctan arctan 01()x x m d m m x yy y y===+⎰1lim ()lim arctan02y y g y m m y π++→→∴==⋅>，而(0)0g = ∴函数()g y 在0y =处不连续故函数122()()yf x g y dx x y =+⎰在()(),00,-∞⋃+∞上连续，而在0y =处不连续. 6.设函数()f x 在[]0,1上可微，且当()0,1x ∈时，0()1,(0)0f x f '<<=.试证：()2113()()f x dx f x dx >⎰⎰. （15分）证：令()230()()()xxF x f t dtf t dt =-⎰⎰则320()2()()()()[2()()],(0)0xxF x f t dt f x f x f x f t dt f x F '=⋅-=-=⎰⎰且再令20(2()()x G x f t dt f x =-⎰）则2(2()2()()2()[1()],(0)0(0)0G x f x f x f x f x f x G f '''=-=-=-=）且因为当()0,1x ∈时，0()1f x '<< 所以函数()f x 在()0,1内严格单调递增()(0)0,1()0f x f f x '∴>=->而 (0G x '∴>）(G x ∴函数）在()0,1内也严格单调递增()(0)0G x G ∴>= ()0F x '∴> ()F x ∴函数在()0,1内严格单调递增又函数()F x 在[]0,1上连续故(1)(0)0F F >= 即()21130()()f x dxf x dx >⎰⎰7.计算曲面积分323232()()()I x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑=+++++⎰⎰，其中∑为上半球面z =. （15分）解：补充圆面2221:,0x y a z ∑+≤=，并取下侧为正向则它与曲面∑构成封闭曲面这里，32(,,)P x y z x az =+，32(,,)Q x y z y ax =+,32(,,)R x y z z ay =+ 则2223,3,3P Q R x y z x y z∂∂∂===∂∂∂ 于是由高斯公式，有1323232()()()()VP Q Rx az dydz y ax dzdx z ay dxdy dxdydz x y z∑+∑∂∂∂+++++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 222222(333)3()VVx y z dxdydz x y z dxdydz =++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰令sin cos :sin sin cos x r T y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，则在球坐标变换T 的作用下，xyz空间中的有界闭区域{(,,)0V x y z z =≤≤与r ϕθ空间中的闭区域(,,)0,0,022V r r a πϕθϕθπ⎧⎫'=≤≤≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭对应，变换T 的函数行列式为2(,,)sin J r r ϕθϕ=于是2222243()3sin 3sin VV V x y z dxdydz r r drd d r drd d ϕϕθϕϕθ''++=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰245552001663sin 32(cos )(0)(01)20555aa d r dr d r a a πππθϕϕπϕππ=⋅⋅=⋅⋅⋅-=---=⎰⎰⎰又11132323222()()()x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ay dxdy a y dxdy ∑∑∑+++++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2232230445(sin )sin sin 1sin 221112002444xyxyaD D a r rdrd a r drd a d r draa r a a a πθθθθθθθθπππ=⋅==⋅-=⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故3232325556119()()()5420I x az dydz y ax dzdx z ay dxdy a a a πππ∑=+++++=-=⎰⎰8.设函数()f x 在[),a +∞上一致连续，函数()x ϕ在[),a +∞上连续，lim[()()]0x f x x ϕ→+∞-=.证明：()x ϕ在[),a +∞上一致连续. （15分）证：因为lim[()()]0x f x x ϕ→+∞-=所以由函数收敛的柯西准则可知，对任给的0ε>，总存在0M >，使得对任意的()12,,x x M ∈+∞，都有2211(()())(()())2f x x f x x εϕϕ---<即1212(()())(()())2x x f x f x εϕϕ---<于是有1212()()()()2x x f x f x εϕϕ-<-+又因为函数()f x 在[),a +∞上一致连续所以函数()f x 在(),M +∞上一致连续∴对任给的0ε>，总存在10δ>，使得对任意的()12,,x x M ∈+∞，只要121x x δ-<，就有12()()2f x f x ε-<于是当121x x δ-<时，有12()()22x x εεϕϕε-<+=∴函数()x ϕ在(),M +∞上一致连续又函数()x ϕ在[),a +∞上连续∴函数()x ϕ在闭区间[],1a M +上连续 ∴函数()x ϕ在闭区间[],1a M +上一致连续∴对上述的0ε>，总存在20δ>，使得对任意的[],,1x x a M '''∈+，只要2x x δ'''-<，就有()()x x ϕϕε'''-<于是对任给的0ε>，总存在正数{}12min ,,1δδδ=，使得对任意的[),,x x a '''∈+∞，只要x x δ'''-<，就有()()x x ϕϕε'''-< 故()x ϕ在[),a +∞上一致连续9.证明：若函数()f x 在()0,+∞内可微，且lim ()0x f x →+∞'=，则()lim0x f x x→+∞=. （15分）证：因为lim ()0x f x →+∞'=所以对任给的0ε>，总存在10M >，使得当1x M >时，有()02f x ε'-<即()2f x ε'<又因为函数()f x 在()0,+∞内可微所以函数()f x 在[]1,M x 上可微于是由拉格朗日中值定理知，至少存在一点()1,M x ξ∈，使得11()()()()f x f M f x M ξ'-=-于是1111()[()()]()()()()f M f x f M f M f x M f x x x xξ'+-+-==11111()()()()()()2f M f M f M f x M x M f x x x x x ξεξ'--'=+=+<+又1()lim0x f M x→+∞= ∴对上述的0ε>，总存在20M >，使得当2x M >时，有1()2f M x ε< 取{}12max ,M M M = 则当x M >时，有()22f x x εεε<+= 故()lim0x f x x→+∞=10.证明：函数cos sin xuxu e yv e yv ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩00000(,,,)(1,1,0,)4P x y u v π==的某领域内确定了唯一的隐函数(,),(,)u u x y v v x y ==，并求2d u 在点0P 处的值. （15分）证：令(,,,)cos (,,,)sin xu xu F x y u v e yv G x y u v e yv ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由于（ⅰ）函数(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 在以点0P 为内点的某一区域4V R ⊂内连续；（ⅱ）10(1,1,0,)cos(1)04422F e ππ⨯=⨯=-=，10(1,1,0,)sin(1)044G e ππ⨯=⨯==；（ⅲ）函数(,,,)F x y u v 与(,,,)G x y u v 的所有一阶偏导数都在区域V 内连续；（ⅳ）0(1,1,0,)4(,)1110(,)22u v p u vF F FG G G u v π∂===+=≠∂. 因此由隐函数组定理知，在点0(1,1,0,)4P π的某领域0()U P 内，方程组(,,,)cos (,,,)sin xu xu F x y u v e yv G x y u v e yv ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩0(1,1)Q 的某领域0()U Q 内以,x y 为自变量的两个二元隐函数(,),(,)u u x y v v x y == 由（＊）式，有2222xux y e+=两边取对数，得：222ln 2x y xu += 2222ln ln()ln 2222x y x y u x x++-⇒==于是有，2222222222211222[ln()ln 2][ln()ln 2]24x x x x y x y u x y x y x x x ⋅⋅-+--+-∂++==∂，2222122()y u y x y y x x x y ⋅∂+==∂+. 西北大学2009年招收攻读硕士学位研究生试题科目名称：数学分析科目代号：619 适用专业：数学系各专业一．单项选择题:（本题共30分，每小题6分） 1. 若a 是数列{}+1n n x ∞=的最大聚点，则（B ） A. {}n n x x ∀∈，有n x a ≤B. 0N n N ε∀>∃∀>，，，有n x a ε<+C. N n N ∃∀>，，有n x a <D. N n N ∃∀>，，有n x a ≤ 2. 下列结论正确的是（D ）A. 若(),()x t y t ϕψ==，则y 必是x 的函数B. 若函数()f x 在(),a b 内连续，则()f x 在(),a b 内有界C. 若函数()f x 在[],a b εε+-上连续，则()f x 在(),a b 内一致连续D. 若{}n x 是有界数列，则{}lim sup n n n x x →∞≤3. 设函数()f x 在[],a b 上可积，则函数()f x 在[],a b 上（C ） A. 可积 B.不可积 C. 不一定可积D.只要()f x 连续，()f x 就可积 4. 级数11(1)nn n x n∞-=-∑在（D ） A. []0,1上一致收敛 B. []1,1-上一致收敛 C. [)1,+∞上一致收敛 D. ()1,1-内内闭一致收敛5. 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处沿任意方向的方向导数都存在，则（C ） A. (,)f x y 在点00(,)x y 处连续 B. (,)f x y 在点00(,)x y 处可微 C. 0000(,),(,)x y f x y f x y 都存在 D. (,),(,)x y f x y f x y 在点00(,)x y 处连续二．解答题：（本题共60分，每小题10分）1. 设01110,0,()2n n n aa x x x x -->>=+（1,2,3,n =…），求lim n n x →∞.2. 设0lim ()0x f x →=，且()()()(0)2x f x f o x x -=→，求0()lim x f x x→. 3. 讨论积分1110(1)p q x x dx ---⎰的敛散性. 4. 设动点(),x y 在圆周221x y +=上，求函数z xy =的最大值和最小值. 5. 计算二重积分22(ln ln )D dxdy I xy x y =+⎰⎰，其中D 是221x y +=与1x y +=所围平面区域位于第一象限的部分.6. 计算曲面积分222SI x dydz y dzdx z dxdy =++⎰⎰，其中S 是曲面2222()()()x a y b z c R -+-+-=的外侧.三．证明题：（本题共60分，每小题15分）1. 对任意自然数n 及实数1α>，设11123n x αα=+++…1nα+，则数列{}n x 收敛. 2. 设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，且存在[],n x a b ∈使得1()()n n f x g x += (1,2,3,n =…).证明：必存在[]0,x a b ∈使得00()()f x g x =.3. 若对任意自然数m ，当x m ≥时，()f x 是一非负单增函数，则对任意m ξ≥，都有[]()()()m k m f k f x dx f ξξξ=-≤∑⎰.4. 设函数1()f x 在[],a b 上()Riemann 黎曼可积，且1()(),1,2,3,x n n af x f t dt n +==⎰…，则函数列{}()n f x 在[],a b 上一致收敛于零.。

西北大学2009年数学分析硕士学位研究生试题及答案

x 2
f ( x) . x
x 解：令 f ( x) f ( ) ( x) x 2 x x x x x x 则 f ( x) f ( ) ( x) x f ( ) ( ) ( x) x x ( x) ( ) … 2 4 2 2 2 2 x x x n ( n ) f ( n 1 ) 2 2 2
1, 当x为有理数解析：（ⅰ）当取函数 f ( x) 时，函数 f ( x) 1 . 1, 当x为无理数
显然，此时函数 f ( x) 可积，但函数 f ( x) 不可积；（ⅱ）当取函数 f ( x) x, x 1,1 时，函数 f ( x) x , x 1,1 . 显然，此时函数 f ( x) 与函数 f ( x) 都在 1,1 上可积. 4. 级数 (1) n 1
因为 lim
n
an 1 an
1 n n 1 lim lim 1 n n n 1 n 1 1 (1) n (1) n 1 1 ，即其收敛区间为 1,1 .
所以该幂级数的收敛半径为 R

故该幂级数在 1,1 内内闭一致收敛 5. 若函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处沿任意方向的方向导数都存在，则（C） A. f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续 B. f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微 C. f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 都存在 D. f x ( x, y ), f y ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续解析：（ⅰ）二元函数在一点可微是其方向导数存在的充分条件而不是必要条件；（ⅱ）二元函数在一点连续既不是其方向导数存在的必要条件也不是其方向导数存在的充分条件；（ⅲ） f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 分别表示函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处沿 x 轴正向， y 轴正向的方向导数. 二．解答题：（本题共 60 分，每小题 10 分）

西北大学2008年考研试题

答案：C
10.(西北大学2008年考研试题)用同一电导池分别测定浓度为0.01molkg-1
和0.1 molkg-1的两个电解质溶液，其电阻分别为1000和500，则它们依次
的摩尔电导率之比为：（）
（A）1∶5 （B）5∶1 （C）10∶5 （D）5∶10
答案：B
11.(西北大学2008年考研试题)下列电解质溶液中，离子平均活度系数最
6.(西北大学2008年考研试题)以补偿法用电位差计测定可逆电池的电动
势时，电位差计上的接触按钮键（其作用是使标准化或测量电路呈通路
或断路）只能瞬间接通。若接通时间长将引起电极（）；其后果是
（
）。
答案：极化；使测得的电动势偏小
7.(西北大学2008年考研试题)简单碰撞理论的速率常数公式为k=Aexp（-
moldm-3时，半衰期为
600s，此反应为：（）（A）0级反应（B）1.5级反应（C）2级反应（D）1级反应答案：C 16.(西北大学2008年考研试题)已知400K，汞的饱和蒸气压为p0，密度为，如果求在相同温度下，一个直径为10-7m的汞滴的蒸气压，应该用公式：（）
（A）（B）ln/R （C）RTln （D）p=nRT/V 答案：C 17.(西北大学2008年考研试题)纯水的表面张力为，某溶质的表面张力为，且>，制成水溶液后，溶质的表面浓度为cs，本体浓度为c，则：（）
=zF=1965008.7610-5=8.45 Jmol-1K-1
=+T=-19.3+2988.4510-3=-16.8 kJmol-1 ==-56.32 Jmol-1K-1
五.(西北大学2008年考研试题)（10分）
潮湿的Ag2CO3需要在383K的温度下在空气流中干燥去水。试计算空气中CO2的分压力为多少才能防止Ag2CO3的分解？已知：

2008研究生数值分析试题及答案-石家庄铁道大学

姓名学号评分时间120分钟2008级硕士研究生数值分析考试试卷参考答案及评分标准2008 年— 2009 年度第 I 学期任课教师王亚红一.(1-7题 2分/空;8-9题 3分/空)1. 5，4，4；2. -2；3. -3，充分4. 幂法5.222hh --+…6. 8/3，8/3，-4/3 7. 08. )(2111=++++++=n n n n n n y x y x hy y ;9.,)1(22-x 二1.(14分).解:LU A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==102021111121------------------------9分解Ly=b 得y=（1，-2，2），解Ux=y 得x=（-1，1，2）--------------------------14分 2.(6分) Jacobi 迭代法计算公式:初始向量)0(x⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=+++)(1)1(3)(1)1(2)(2)1(1121k k k k k k x x x x x x , ,2,1,0=k -----------------------------3分 Gauss-Seideli 迭代法计算公式:初始向量)0(x⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=+++++)1(1)1(3)1(1)1(2)(2)1(1121k k k k k k x x x x x x , ,2,1,0=k---------------------------------6分 3.(4分) Jacobi 迭代法的迭代矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=001001020B计算其谱半径为12>,所以, Jacobi 迭代法不收敛.三.1.(6分)差商表解1．+------=)41)(21)(01()4)(2)(0()(3x x x x L )42)(12)(02()4)(1)(0(8------x x x+)24)(14)(04()2)(1)(0(64------x x x -------------------------------------------------------6分--------------------------------------------7分33)3)(2)(0(1)2)(0(3)0(10)(x x x x x x x x N =---⋅+--⋅+-⋅+= -----10分3.（8分）解: 根据最小二乘法,求a,b ,使∑=+-=312))((),(i i iax b yb a I 最小,有00=∂∂=∂∂aI b I 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑====i i i i i i i i i i x y a x b x y a x b )()()(4302303030 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2737321774a b , ------------------------------6分得8.10,6.16-≈≈b a所以,拟和曲线8.106.16-=x y -------------------------------8分四.证明：1.******132)2sin()2sin(232cos cos 32)cos 324(cos 324x x x x x x x x x x x x n n n n n n -≤-+=-=--+=-+ --------------------------6分 2. ,1,0,sin 23cos 23121=--+--=+n x x x x x nnn n n ----------------10分3.(*)的迭代函数x x cos 324)(+=ϕ,0)(*≠'x ϕ,所以,(*)线性收敛; 牛顿法的迭代函数0)(,0)(,sin 23cos 2312)(**≠''='++-+=x x xxx x x ϕϕϕ,所以,牛顿法二阶收敛. ------------------------------14分五.证明: 222)()()(vuvv tr u uv vu tr A A tr AT T T T F====分3------------------------------------6分。

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)设2()(1)(2)f x x x x =--，求()f x '的零点个数（）()A 0()B 1 ()C 2()D 3解：()D分析：()()()()()()22221212494f x x x x x x x x x x x '=--+-+-=-+令()0f x '=，则可得()f x '零点的个数为3.（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分'()axf x dx ⎰（）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.解：()C分析：0()()()()aaaxf x dx xdf x af a f x dx '==-⎰⎰⎰，其中()af a 是矩形面积，0()af x dx⎰为曲边梯形的面积，所以()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积。

（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）()A 440y y y y ''''''+--=.()B 440y y y y ''''''+++=. ()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.解：()D .分析；由123cos2sin 2x y C e C x C x =++可知其特征根为12,31,2i λλ==±.故对应的特征方程为 2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+，即32440λλλ-+-=所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=, 选()D . （4）判断函数ln ()sin (0)1xf x x x x =>-间断点的情况( )()A 有1个可去间断点，1个跳跃间断点 ()B 有1个跳跃间断点，1个无穷间断点 ()C 有两个无穷间断点 ()D 有两个跳跃间断点解：()A分析：()f x 的间断点为1,0x =，而0lim ()0x f x →+=，故0x =是可去间断点；1lim ()sin1x f x →+=，1lim ()sin1x f x →+=-，故1x =是跳跃间断点故选()A 。

北京大学2008数学分析

北京大学2008年硕士研究生入学考试试题考试科目：数学基础考试1（数学分析）考试时间：2008年1月20日上午招生专业：数学学院各专业研究方向：数学学院各方向说明：答题一律写在答题纸上（含填空题、选择题等客观题），写在此页上无效。

1.（15分）证明：有界闭区间上的连续函数一致连续。

2.（15分）是否存在(,)-∞+∞上的连续函数()f x 满足(()),(,)x f f x e x -=∈-∞+∞。

证明你的结论。

3.（15分）数列1{}n n x ≥满足：对任意n m <，有1n m x x n->。

证明：数列{}n x 无界。

4.（15分）设()f x 在（-1，1）上无穷次可导，满足'(0)1,(0)2f f =≤。

如果'()()()f xg x f x =满足()(0)2!,1,2,3,...n g n n ≤=证明：对任意正整数n ，()(0)(1)!n f n ≤+。

5.（15分）求()()()I y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑=-+-+-⎰⎰，其中∑是球面2222x y z Rx ++=被柱面222(0)x y rx r R +=<<截下的位于0z ≥的部分，取外侧。

6.（15分）证明：方程3(,)2sin 0y F x y x y e -=-+=在全平面上存在唯一解()y y x =，且()y x 在(,)-∞+∞上连续可微。

7.（15分）设()f x 在[0,)+∞上内闭Riemann 可积，且无穷积分0()f x dx +∞⎰收敛。

证明：000lim ()()ax a e f x dx f x dx +∞+∞-→+=⎰⎰。

8.（15分）已知()f x 在(,)-∞+∞上二次可导，且满足：（1）lim (())0x f x x →+∞-=；（2）存在0(,)x ∈-∞+∞使得0()0f x ≤。

证明："()f x 在(,)-∞+∞上变号。

2008年考研数学一真题及答案

2008年考研数学一真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)设函数,则的零点个数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】B。

【解析】且，则是唯一的零点综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数(2)函数在点处的梯度等于(A) (B)(C) (D)【答案】A。

【解析】所以综上所述，本题正确答案是A。

【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度(3)在下列微分方程中，以为通解的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】由通解表达式可知其特征根为可见其对应特征方程为故对应微分方程为综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程(4)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是(A)若收敛，则收敛(B)若单调，则收敛(C)若收敛，则收敛(D)若单调，则收敛【答案】B。

【解析】【方法一】由于单调，单调有界，则数列单调有界，根据单调有界准则知数列收敛。

【方法二】排除法：若取,,则显然单调，收敛，但，显然不收敛，排除A。

若取,显然收敛且单调，但不收敛，排除C和D。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则(5)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若,则(A)不可逆，不可逆(B)不可逆，可逆(C)可逆，可逆(D)可逆，不可逆【答案】C。

【解析】因为所以可知可逆，可逆综上所述，本题正确答案是C。

【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件(6)设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则的正特征值的个数为(A) (B)1(C)2 (D)3【答案】B。

【解析】所给图形为双叶双曲线，标准方程为二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是的特征值，可知的正特征值的个数为1综上所述，本题正确答案是B。

南京大学2008年和2009年数学分析考研试题（卷）和解答

南京大学2008年和2009年数学分析考研试题（卷）和解答南京大学2008年数学分析考研试题一设()f x 为1R 上的周期函数，且lim ()0x f x →+∞=，证明f 恒为0。

二设定义在2R 上的二元函数(,)f x y 关于x ，y 的偏导数均恒为零，证明f 为常值函数。

三设()n f x (1,2,...)n =为n R 上的一致连续函数，且lim ()()n n f x f x →∞=，1x R ?∈，问：()f x 是否为连续函数？若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。

四是否存在[0,1]区间上的数列{}n x ，使得该数列的极限点（即聚点）集为[0,1]，把极限点集换成(0,1)，结论如何？请证明你的所有结论。

五设()f x 为[0,)+∞上的非负连续函数，且0()f x dx +∞<+∞?，问()f x 是否在[0,)+∞上有界? 若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。

六计算由函数211()2f x x =和22()1f x x =-+的图像在平面2R 上所围成区域的面积。

七计算积分222(22)x xy y R edxdy -++??。

八计算积分xyzdxdydz Ω，其中Ω为如下区域：3{(,,):0,0,0,}x y z R x y z x y z a Ω=∈≥≥≥++≤，a 为正常数。

九设0n a >(1,2,...)n =，1n n k k S a ==∑，证明：级数21n n n a S ∞=∑是收敛的。

十方程2232327x y z x y z +++-=在(1,2,1)-附近决定了隐函数(,)z z x y =，求2(1,2)z x y-??的值。

十一求函数333(,,)f x y z x y z =++在约束条件2x y z ++=，22212x y z ++=下的极值，并判断极值的类型。

十二设1[0,1]f C ∈，且(0)(1)0f f ==，证明：1122001[()][()]4f x dx f x dx '≤??。