2021年高中数学课时跟踪检测二十五函数的应用Ⅱ新人教B版必修
2021-2022年高中数学课时跟踪检测十八指数函数及其性质的应用习题课新人教B版
2021-2022年高中数学课时跟踪检测十八指数函数及其性质的应用习题课新人教B 版1．下列判断正确的是( )A ．2.52.5＞2.53B ．0.82＜0.83C ．π2＜π 2D ．0.90.3＞0.90.5解析：选D ∵y ＝0.9x 是减函数，且0.5＞0.3， ∴0.90.3＞0.90.5.2．若函数f (x )＝(1－2a )x 在实数集R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 解析：选B 由已知，得0＜1－2a ＜1，解得0＜a ＜12，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，12.3．若⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，1)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12解析：选B ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，∴2a ＋1＞3－2a ，∴a ＞12.4．设函数f (x )＝a －|x |(a ＞0，且a ≠1)，若f (2)＝4，则( ) A ．f (－2)＞f (－1) B ．f (－1)＞f (－2) C ．f (1)＞f (2)D ．f (－2)＞f (2)解析：选A f (2)＝a －2＝4，a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |，则f (－2)＞f (－1)．5．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调递增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析：选A 定义域为R.设u ＝1－x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u ，∵u ＝1－x 在R 上为减函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在(－∞，＋∞)上为减函数，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A.6．若－1＜x ＜0，a ＝2－x ，b ＝2x ，c ＝0.2x ，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：因为－1＜x ＜0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x ＜1,2－x ＞1,0.2x＞1，又因为0.5x ＜0.2x ，所以b ＜a ＜c .答案：b ＜a ＜c7．满足方程4x ＋2x －2＝0的x 值为________． 解析：设t ＝2x (t ＞0)，则原方程化为t 2＋t －2＝0， ∴t ＝1或t ＝－2. ∵t ＞0，∴t ＝－2舍去． ∴t ＝1，即2x＝1，∴x ＝0. 答案：08．函数y ＝3x 2－2x 的值域为________． 解析：设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ，u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以y ＝3u ≥3－1＝13，所以函数y ＝3x 2－2x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞9．已知指数函数f (x )的图象过点P (3,8)，且函数g (x )的图象与f (x )的图象关于y 轴对称，又g (2x －1)＜g (3x )，求x 的取值范围．解：设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，因为f (3)＝8，所以a 3＝8，即a ＝2，又因为g (x )与f (x )的图象关于y 轴对称，所以g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因此g (2x －1)＜g (3x )，即⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫123x ，所以2x －1＞3x ，解得x ＜－1. 10．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a ＞0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．解：函数y ＝a 2x ＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，x ∈[－1,1]．若a ＞1，则x ＝1时，函数取最大值a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3.若0＜a ＜1，则x ＝－1时，函数取最大值a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13.综上所述，a ＝3或13.1．已知f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是( )A ．a ＞0B ．a ＞1C ．a ＜1D ．0＜a ＜1解析：选D ∵－2＞－3，f (－2)＞f (－3)， 又f (x )＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －3， ∴1a＞1，∴0＜a ＜1.2．已知函数f (x )＝a 2－x (a ＞0且a ≠1)，当x ＞2时，f (x )＞1，则f (x )在R 上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．当x ＞2时是增函数，当x ＜2时是减函数D ．当x ＞2时是减函数，当x ＜2时是增函数解析：选A 令2－x ＝t ，则t ＝2－x 是减函数，因为当x ＞2时，f (x )＞1，所以当t ＜0时，a t＞1.所以0＜a ＜1，所以f (x )在R 上是增函数，故选A.3．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3 D.32解析：选C 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3.4．函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3a ，x ＜0，a x，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)是R 上的减函数，则a的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1C.⎝⎛⎦⎥⎤0，13D.⎝⎛⎦⎥⎤0，23解析：选B 由单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎨⎧0＜a ＜1，3a ≥a 0，即13≤a ＜1，故选B. 5．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 2的单调递增区间为________．解析：由于底数12∈(0,1)，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 2的单调性与y ＝1－x 2的单调性相反，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 2的单调递增区间就是y ＝1－x 2的单调递减区间．由y ＝1－x 2的图象(图略)可知：当x ≤0时，y ＝1－x 2是增函数；当x ≥0时，y ＝1－x 2是减函数．所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 2的单调递增区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)6．已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________． 解析：∵a 2＋a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋74>1，∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 为R 上的增函数． ∴x >1－x .即x >12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞7．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)．(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)解：(1)1年后该城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100× (1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3；…x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．8．设函数f(x)＝12－12x＋1，(1)证明函数f(x)是奇函数；(2)证明函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域．解：(1)证明：函数的定义域为R，关于原点对称．f (－x )＝12－112x ＋1＝12－2x2x ＋1＝1－2x22x ＋1＝－12＋12x ＋1＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．(2)证明：设x 1，x 2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝12－12x 1＋1－12＋12x 2＋1＝2x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1.因为x 1＜x 2，所以2x 1－2x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数． (3)因为函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数， 所以函数f (x )在[1,2]上也是增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝16，f (x )max ＝f (2)＝310.所以函数f (x )在[1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，310. 35093 8915 褕32860 805C 聜33307 821B 舛37687 9337 錷39558 9A86 骆K31521 7B21 笡21613 546D 呭D28395 6EEB 滫29735 7427 琧。
人教B版数学高一版必修13.4函数的应用(Ⅱ)
课后训练基础巩固1．某种商品2011年提价25%,2013年要恢复成原价，则应降价( ) A ．30% B ．25% C ．20% D ．15%2．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过( )小时才能开车．(精确到1小时)A ．3B ．4C ．5D ．63．某研究小组在一项实验中获得一组关于y ，t 之间的数据，将其整理后得到如下的散点图，下列函数中，最能近似刻画y 与t 之间的关系的是()A ．y ＝2tB ．y ＝2t 2C ．y ＝t 3D ．y ＝log 2t4．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )A ．10天B ．15天C ．19天D ．2天6．已知气压p (百帕)与海拔h (m)的关系式为30007=1 000100h p ⎛⎫⎪⎝⎭，则海拔6 000 m 处的气压为______百帕．7．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月，2月生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此厂3月份该产品的产量为__________万件．能力提升8现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律，其中接近的一个是( )A ．s ＝2t －3＋1 B ．23=log 2s t C ．211=22s t - D ．s ＝2t －2 9．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克，火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是=2 000ln 1M v m⎛⎫⋅+⎪⎝⎭.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．10．有浓度为a %的酒精一满瓶共m 升，每次倒出n 升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是__________．11．人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音强度I 的单位用瓦/米2(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1表示，它们满足以下公式：10=10lgIL I (单位为分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m 2，耳语的强度是1×10－10 W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m 2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？参考答案1．C2．C 点拨：设至少经过x 小时才能开车，由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09，即33410x⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⇒x ≥4.19，故至少经过5小时才能开车． 3．D 点拨：此曲线符合对数函数的变化趋势．4．A 点拨：∵由题意得100＝a log 2(1＋1)，∴a ＝100， ∴y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.5．C 点拨：荷叶覆盖水面面积y 与生长时间x 的函数关系为y ＝2x ， 当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半．6．4.9 点拨：令h ＝6 000，得27=1 000=4.9100p ⎛⎫⎪⎝⎭.7．1.75 点拨：利用待定系数法，得121=0.5,1.5=0.5,a b a b ⎧⨯+⎨⨯+⎩ 解得=2,=2,a b -⎧⎨⎩∴y ＝－2·0.5x ＋2.当x ＝3时y ＝－2×0.53＋2＝1.75. 8．C 点拨：画出散点图如图所示．由散点图可见，此函数是增函数，但增长速度较慢，则排除选项A ；此函数的图象不是直线，排除选项D ；此函数的图象不符合对数函数的图象，排除选项B.9．e 6－1 点拨：当v ＝12 000时，2 000ln 1=12 000M m⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭，∴ln 1=6Mm ⎛⎫+⎪⎝⎭，∴6=e 1M m-. 10．101%n a m ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭点拨：本题考查指数函数的应用．第一次加满水时，瓶中酒精的浓度为1%n a m ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭，第二次加满水时，瓶中酒精的浓度为211%=1%n n n a a m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，依次可得第n 次加满水时，瓶中酒精的浓度为1%nn a m ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭.11．解：(1)由题意可知：树叶沙沙声的强度是I 1＝1×10－12W/m 2，则1=1I I ，所以LI 1＝10·lg 1＝0，则树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I 2＝1×10－10W/m 2，则22=10I I ，所以LI 2＝10·lg 102＝20，即耳语声的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播强度是I 3＝1×10－8 W/m 2，则430=10I I ，所以LI 3＝10·lg 104＝40，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝．(2)由题意可知：0≤L 1≤50，即0010lg50I I ≤⋅≤，所以50110II ≤≤，即10－12≤I ≤10－7.所以新建的小区内公共场所的声音强度I 的范围为10－12W/m 2≤I ≤10－7 W/m 2.。
【2020新教材】人教B版高中数学必修第二册新学案 第四章 课时跟踪检测4.6 函数的应用(二)
[易错矫正] 解答本题易出现对增长率问题的公式 y＝N(1 ＋P)x 理解不透彻而造成指数写错，或者是由于审题不缜密而造 成题意的理解错误．
“课下双层级演练过关 ”见“课时跟踪检测（九） ” (单击进入电子文档)
“章末综合检测”见“章末综合检测（一） ” (单击进入电子文档)
(1)求 t 年后，这种放射性元素的质量 w 的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果 精确到 0.1)．
[解] (1)最初的质量为 500 g. 经过 1 年，w＝500(1－10%)＝500×0.9； 经过 2 年，w＝500×0.92； 由此推知，t 年后，w＝500×0.9t. (2)由题意得 500×0.9t＝250， 即 0.9t＝0.5，两边取以 10 为底的对数， 得 lg 0.9t＝lg 0.5，即 tlg 0.9＝lg 0.5， ∴t＝llgg 00..59≈6.6. 即这种放射性元素的半衰期为 6.6 年．
(3)设雄鸟的耗氧量为 x1，雌鸟的耗氧量为 x2， 由题意得，2.5＝12log31x010－lg x0，
1.5＝12log31x020－lg x0， 两式相减可得 1＝12log3xx12，解得xx12＝9，故此时雄鸟每分钟的耗 氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的 9 倍．
[课堂一刻钟巩固训练]
[方法技巧] 在实际问题的应用中，常见的增长率问题的解析式可以表 示为 y＝N(1＋p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形 式．有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指 数函数模型表示．
[对点练清] 1．据报道，青海湖的湖水在最近 50 年内减少了 10%，如果按
此规律，设 2000 年的湖水量为 m，从 2000 年起，过 x 年后 湖水量 y 与 x 的函数关系式为________．
2021_2022学年新教材高中数学第三章函数测评含解析新人教B版必修第一册
第三章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山西运城高一期中)函数f (x )=√x -1+2x 2-4的定义域为( )A.[1,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.[1,2)∪(2,+∞),则{x -1≥0,x 2-4≠0,解得{x ≥1,x ≠2.故函数f (x )的定义域是[1,2)∪(2,+∞),故选D .2.(2021北京朝阳高一期末)已知函数y=f (x )可表示为如表所示,则下列结论正确的是( ) A.f (f (4))=3B.f (x )的值域是{1,2,3,4}C.f (x )的值域是[1,4]D.f (x )在区间[4,8]上单调递增f (4)=3,得f (f (4))=f (3)=2,故A 错误;函数的值域为{1,2,3,4},故B 正确,C 错误;由表可知,f (x )在定义域上不单调,故D 错误.故选B .3.(2021山东烟台高一期中)某高三学生去高铁站乘高铁.早上他乘坐出租车从家里出发,离开家不久,发现身份证忘带,于是回到家取上身份证,然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站,令x (单位:分钟)表示离开家的时间,y (单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计,下列图像中与上述事件吻合最好的是( ),该高三学生离开家的过程中,y 是x 的一次函数,且斜率为正;小明返回家的过程中,y 仍然是x 的一次函数,斜率为负;小明最后由家到高铁站,y 仍然是x 的一次函数,斜率为正值,且斜率比第一段的斜率大,结合图像可知,与上述事件吻合最好的图像为C .故选C .4.(2021山东潍坊高一期中)已知函数f (x )=ax 2+bx+c 满足f (2)<0且f (3)>0,则f (x )在(2,3)上的零点( )A.至多有一个B.有1个或2个C.有且仅有一个D.一个也没有,函数f (x )=ax 2+bx+c 是连续函数,又f (2)<0,f (3)>0,由函数零点存在定理,可知f (x )在(2,3)上的零点个数有且只有一个,故选C .5.(2021浙江杭州中学高一期中)若函数f (x )满足关系式f (x )+2f (1-x )=-3x ,则f (2)的值为( ) A.-3B.32C.-52D.52f (x )+2f (1-x )=-3x,令x=2,则有f (2)+2f (-1)=-32;令x=-1,则有f (-1)+2f (2)=3.由上式可得f (2)=52,故选D .6.(2021河北邯郸高一期中)已知函数f (x )=ax 2+b x是定义在(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)上的奇函数.若f (2)=3,则a+b 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.0函数f (x )是定义在(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)上的奇函数,∴b-3+b-1=0,即2b=4,解得b=2,则f (x )=ax 2+2x.∵f (2)=3,∴f (2)=4a+22=3,解得2a+1=3,即a=1.因此a+b=1+2=3,故选C .7.已知函数f (x )={x 2+1(x ≤0),2x (x >0),若f (a )=10,则a 的值是( )A.-3或5B.3或-3C.-3D.3或-3或5a ≤0,则f (a )=a 2+1=10,∴a=-3(a=3舍去),若a>0,则f (a )=2a=10,∴a=5,综上可得,a=5或a=-3,故选A .8.(2021广西北海高一期末)已知定义在[-2,2]上的奇函数f (x )满足:对任意的x 1,x 2∈[-2,2]都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,则不等式f (x+1)+f (1-4x )>0的解集为( )A.-14,34B.23,34C.-14,1 D.-14,23解析由f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0可知函数f (x )在[-2,2]上单调递减,f (x )是奇函数,所以f (x+1)>-f (1-4x )=f (4x-1).所以{-2≤x +1≤2,-2≤1-4x ≤2,x +1<4x -1,解得{-3≤x ≤1,-14≤x ≤34,x >23,所以23<x ≤34,即不等式的解集为23,34.故选B .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.下列对应关系f ,能构成从集合M 到集合N 的函数的是 ( )A.M=12,1,32,N={-6,-3,1},f 12=-6,f (1)=-3,f32=1B.M=N={x|x ≥-1},f (x )=2x+1C.M=N={1,2,3},f (x )=2x+1D.M=Z ,N={-1,1},f (x )={-1,x 为奇数,1,x 为偶数解析∵M=12,1,32,N={-6,-3,1},f 12=-6,f (1)=-3,f32=1,由定义知M 中的任一个元素,N 中都有唯一的元素和它相对应,∴构成从集合M 到集合N 的函数,故A 正确;由M=N={x|x ≥-1},f (x )=2x+1,能构成从集合M 到集合N 的函数,故B 正确;由M=N={1,2,3},f (x )=2x+1,∵f (2)=5,f (3)=7,5∉{1,2,3},7∉{1,2,3},因此不能构成从集合M 到集合N 的函数,故C 错误;由M=Z ,N={-1,1},f (x )={-1,x 为奇数,1,x 为偶数,因此能构成从集合M 到集合N 的函数,故D 正确.故选ABD .10.(2021重庆八中高一期中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( ) A.y=f (-x ) B.y=f (x )+x 3 C.y=f (x )xD.y=√x 3f (x )F (x )=f (-x ),其定义域为R ,则有F (-x )=f [-(-x )]=f (x )=-f (-x )=-F (x ),函数y=f (-x )为奇函数,故A 正确;设F (x )=f (x )+x 3,其定义域为R ,则有F (-x )=f (-x )+(-x )3=-[f (x )+x 3]=-F (x ),函数y=f (x )+x 3为奇函数,故B 正确;设F (x )=f (x )x,其定义域为{x|x ≠0},则有F (-x )=f (-x )-x=f (x )x=F (x ),是偶函数,故C 错误;由于函数y=√x 3f (x ),其定义域为[0,+∞),其定义域不关于原点对称,不是奇函数,故D 错误. 故选AB.11.(2020山东日照高二期末)如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图像的一部分,图像过点A (-3,0),且对称轴为x=-1,则以下选项中正确的为( )A.b 2>4acB.2a-b=1C.a-b+c=0D.5a<ba<0,与y 轴的交点在y 轴的正半轴上得c>0.因为二次函数的图像与x 轴有2个不同交点,所以Δ=b 2-4ac>0,故A 正确; 因为对称轴方程为x=-1,所以-b2a =-1,即2a-b=0,故B 不正确;又因为图像过点A (-3,0),且对称轴方程为x=-1,所以图像与x 轴的另一个交点是(1,0),把点(1,0)代入解析式得a+b+c=0,故C 不正确;把x=-3代入解析式得9a-3b+c=0,与a+b+c=0联立,两式相加并整理得10a-2b=-2c<0,即5a<b ,故D 正确.故选AD.12.(2021山东临沂高一期中)某校学习兴趣小组通过研究发现形如y=ax+bcx+d (ac ≠0,b ,d 不同时为0)的函数图像可以通过反比例函数的图像平移变换而得到,则对于函数y=x+2x -1的图像及性质的下列表述正确的是( )A.图像上点的纵坐标不可能为1B.图像关于点(1,1)成中心对称C.图像与x 轴无交点D.函数在区间(1,+∞)上单调递减y=x+2x -1=x -1+3x -1=1+3x -1,因此函数y=x+2x -1的图像可以看作是由y=3x的图像先向右平移一个单位,再向上平移一个单位而得到,因此函数图像上点的纵坐标不可能为1,函数图像关于点(1,1)成中心对称,函数图像与x 轴交点为(-2,0),函数y 在区间(1,+∞)上单调递减,故选ABD . 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数y=f (x )在定义域R 上的值域为[0,1],则函数y=f (x-1)+1的值域为 .,而只有上下平移才改变函数的值域,因此函数y=f (x-1)+1的值域为[1,2].14.某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米3元收费;用水超过10立方米的,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水为 立方米.x 立方米,所缴水费为y 元,由题意得y={3x ,0≤x ≤10,30+5(x -10),x >10,即y={3x ,0≤x ≤10,5x -20,x >10.由于该职工这个月的实际用水量超过10立方米,所以5x-20=55,解得x=15. 15.已知函数f (x )=3+x 1+x,记f (1)+f (2)+f (4)+…+f (1 024)=m ,f12+f14+…+f11024=n ,则m+n= .解析由题意得f (x )+f1x=x+3x+1+1x +31x+1=x+3x+1+1+3x x+1=4(x+1)x+1=4,f (1)=3+11+1=2,∴m+n=f (1)+f12+f (2)+f 14+f (4)+…+f11024+f (1024)=2+4×512=2050.16.(2021江苏海门中学高一期中)设函数f (x )={-(x -a )2+a 2,x ≤0,-x 2+2x +1-a ,x >0,若f (0)是f (x )的最大值,则a 的取值范围为 .+∞)a>0,则满足题意的函数f (x )的图像如图所示:由数形结合可得Δ=4+4(1-a )≤0,解得a ≥2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(2021山东德州高一期中)已知函数f (x )=x+1x .(1)用定义法证明f (x )在[1,+∞)上为增函数;(2)若对∀x ∈[2,4],恒有f (x )≤2m-1,求实数m 的取值范围. (1)证明设1≤x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=x 2+1x 2-x 1-1x 1=(x 2-x 1)+x 1-x2x 1x 2=(x 2-x 1)1-1x 1x 2=(x 2-x 1)(x 1x 2-1)x 1x 2,因为x 2>x 1≥1,所以x 2-x 1>0且x 1x 2>1. 所以(x 2-x 1)(x 1x 2-1)x 1x 2>0,即f (x 2)-f (x 1)>0,f (x 1)<f (x 2), 所以f (x )在[1,+∞)上是增函数.(1)知f (x )在[2,4]上单调递增,所以f (x )max =f (4)=174.所以2m-1≥174,即m ≥218. 所以m 的取值范围是218,+∞.18.(12分)(2020辽宁朝阳一中高一期中)设函数f (x )=ax 2+ax-1(a ∈R ). (1)当a=12时,求函数f (x )的零点; (2)讨论函数f (x )零点的个数.当a=12时,函数f (x )=12x 2+12x-1,令12x 2+12x-1=0,解得x=1或x=-2.函数f (x )的零点为1,-2.(2)当a=0时,f (x )=ax 2+ax-1=-1,函数没有零点; 当a ≠0时,Δ=a 2+4a.若Δ=a 2+4a=0,解得a=-4,此时函数f (x )有1个零点. 若Δ=a 2+4a>0,解得a<-4或a>0,此时函数有2个零点. 若Δ=a 2+4a<0,解得-4<a<0,此时函数没有零点. 综上所述,当a=-4时,函数f (x )有1个零点. 当a<-4或a>0时,函数有2个零点, 当-4<a ≤0时,函数没有零点.19.(12分)(2021云南玉溪一中高一期中)已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),满足f (x+1)-f (x )=2x ,且f (0)=1.(1)求函数f (x )的解析式;(2)函数f (x )在区间[n ,1)上的值域是34,1,求n 的取值范围.因为二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),满足f (x+1)-f (x )=2x ,且f (0)=1,所以a (x+1)2+b (x+1)+c-ax 2-bx-c=2x ,c=1, 即2ax+a+b=2x ,故a=1,b=-1,c=1. 所以函数f (x )的解析式为f (x )=x 2-x+1.(2)因为f (x )=x 2-x+1的开口向上,对称轴x=12,且f12=34,f (0)=f (1)=1,由f (x )在区间[n ,1)上的值域是34,1可得0<n ≤12.故n 的取值范围为0,12. 20.(12分)(2020江苏启东高一期中)已知函数f (x )=1x-1+12(x>0).(1)若m>n>0时,f (m )=f (n ),求1m +1n 的值;(2)若m>n>0时,函数f (x )的定义域与值域均为[n ,m ],求所有m ,n 的值.∵f (m )=f (n ),∴1m -1+12=1n-1+12.∴1m-1=1n-1,∴1m -1=1n -1或1m -1=1-1n . ∵m>n>0,∴1m +1n =2.(2)由题意f (x )={1x -12,0<x ≤1,32-1x,x >1,∴f (x )在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. ①0<n<m ≤1,则f (n )=m ,f (m )=n ,∴{1n -12=m ,1m -12=n ,解得m=n=√17-14(舍去).②n<1<m ,则f (x )min =f (1)=12=n ,f (x )max =m=max{f (n ),f (m )}=max 32,f (m ),∴m=32. ③1≤n<m ,则f (n )=n ,f (m )=m ,无解. 综上,m=32,n=12.21.(12分)(2021山东聊城高一期中)为了节能减排,某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后,该农场每年消耗的电费C (单位:万元)与太阳能电池面积x (单位:平方米)之间的函数关系为C (x )={m -4x5,0≤x ≤10,m x ,x >10(m 为常数).已知太阳能电池面积为5平方米时,每年消耗的电费为8万元.安装这种供电设备的工本费为0.6x (单位:万元).记F (x )为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和. (1)写出F (x )的解析式;(2)当x 为多少平方米时,F (x )取得最小值?最小值是多少万元?(精确到小数点后一位)(已知√3≈1.7,√10≈3.2)当0≤x ≤10时,C (x )=m -4x 5,由题意8=m -4×55,即m=60.∴C (x )={60-4x5,0≤x ≤10,60x,x >10,则F (x )={10×60-4x5+0.6x ,0≤x ≤10,10×60x +0.6x ,x >10,化简可得F (x )={120-7.4x ,0≤x ≤10,600x+0.6x ,x >10.(2)当0≤x ≤10时,F (x )=120-7.4x ,可得F (x )min =F (10)=46(万元), 当x>10时,F (x )=600x+610x ≥2√600x·610x =6√10≈19.2(万元),当且仅当600x=610x ,即x=10√10≈32平方米时,等号成立,故当x 为32平方米时,F (x )取得最小值,最小值是19.2万元.22.(12分)(2021重庆外国语学校高一期中)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≤0时,f (x )=x 2+2x.函数f (x )在y 轴左侧的图像如图所示,并根据图像:(1)画出f (x )在y 轴右侧的图像并写出函数f (x )(x ∈R )的单调递增区间; (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式;(3)若函数g (x )=f (x )+(4-2a )x+2(x ∈[1,2]),求函数g (x )的最小值.函数f (x )是定义在R 上的偶函数,即函数f (x )的图像关于y 轴对称,则函数f (x )图像如图所示.故函数f (x )的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞). (2)根据题意,令x>0,则-x<0,则f (-x )=x 2-2x ,又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数,则f (x )=f (-x )=x 2-2x ,则f (x )={x 2+2x ,x ≤0,x 2-2x ,x >0.(3)根据题意,x ∈[1,2],则f (x )=x 2-2x ,则g (x )=x 2-2x+(4-2a )x+2=x 2+(2-2a )x+2, 其对称轴为x=a-1,当a-1<1时,即a<2时,g (x )在区间[1,2]上单调递增,g (x )min =g (1)=5-2a ; 当1≤a-1≤2时,即2≤a ≤3时,g (x )min =g (a-1)=1+2a-a 2;当a-1>2时,即a>3时,g (x )在区间[1,2]上单调递减,g (x )min =g (2)=10-4a , 故g (x )min ={5-2a ,a <2,1+2a -a 2,2≤a ≤3,10-4a ,a >3.。
2020_2021学年新教材高中数学第三章函数3.3函数的应用一课时跟踪训练含解析新人教B版必修第一
函数的应用（一）一、复习巩固1．据调查，某地铁的自行车处在某星期日的库存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车数x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )A ．y ＝0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)B ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)C ．y ＝－0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)D ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)解析：根据题意总收入分为两部分：普通车存车费为0.2x 元，变速车费用(4 000－x )×0.3元．∴y ＝0.2x ＋1 200－0.3x ＝－0.1x ＋1 200，故选D. 答案：D2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A ．310元B ．300元C ．290元D ．280元解析：设函数模型为y ＝kx ＋b ，将(1,800)，(2,1300)代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝800，2k ＋b ＝1 300，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝500，b ＝300，∴y ＝500x ＋300.令x ＝0时y ＝300，故选B. 答案：B3．用长度为24 m 的材料围成一个矩形家禽养殖场，中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，隔墙长度应为( )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m解析：设隔墙长度为x m ，则矩形的一边长为x m ，另一边长为24－4x 2m ，∴S ＝x ·24－4x2＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18(0<x <6)，∴当x ＝3时，S 取最大值．故选A. 答案：A4．如图表示人的体重与年龄的关系，则( )A ．体重随年龄的增长而增加B ．25岁之后体重不变C ．体重增加最快的是15岁至25岁D ．体重增加最快的是15岁之前解析：∵函数不是增函数，∴A 错；[25,50]上为增函数，故B 错；[0,15]上线段增长比[15,25]上线段增长快．答案：D5．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量/件400360320280240200160/件)应为( )A ．4B ．5.5C ．8.5D ．10解析：由题意可设定价为x 元/件，利润为y 元，则y ＝(x －3)[400－40(x －4)]＝40(－x 2＋17x －42)，故当x ＝8.5时，y 有最大值，故选C.答案：C6．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费S (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式的电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元 解析：依题意可设S A (t )＝20＋kt ，S B (t )＝mt . 又S A (100)＝S B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2， 于是S A (150)－S B (150)＝20＋150k －150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式的电话费相差10元，故选A. 答案：A7．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税，已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前) 为( )A ．2 800元 B. 3 000元 C ．3 800元D ．3 818元解析：由题意知，纳税额y 与稿费x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， x ≤800，0.14x －800，800＜x ≤4 000，0.112x ， x ＞4 000.令(x －800)×0.14＝420， 解得x ＝3 800，令0.112x ＝420，得x ＝3 750(舍去)， 故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元． 故选C. 答案：C8．王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)网络 月租费 本地话费长途话费甲：联通130 12元 0.36元/分 0.06元/秒 乙：移动“神州行”无0.60元/分 0.07元/秒130应最少打________秒长途电话才合算．( )A ．300B ．400C ．500D ．600解析：设王先生每月拨打长途电话的时间为x 分钟，所需话费为y 元，若使用联通130，则所需话费y 元与通话时间x 分钟的函数关系式为y ＝12＋0.36×5x ＋3.6x (x ＞0)；若使用移动“神州行”，则所需话费y 元与通话时间x 分钟的函数关系式为y ＝0.6×5x ＋4.2x (x ＞0)．若要用联通130更合算，则12＋0.36×5x ＋3.6x ＜0.6×5x ＋4.2x ，解得x ＞203(分钟)＝400(秒)．故选B.答案：B9．某市有绿地100平方千米，计划每年按10%的速度扩大绿地面积，则三年后该市的绿地为________平方千米．解析：应用平均增长率的公式，即100·(1＋0.1)3＝133.1(平方千米)． 答案：133.1 二、综合应用10．以每秒a 米的速度从地面垂直向上发射子弹，t 秒后的高度x 米可由x ＝at －4.9t 2确定，已知5秒后子弹高245米，问子弹保持245米以上(含245米)高度共有( )A ．4秒B ．5秒C ．6秒D ．7秒解析：已知x ＝at －4.9t 2，由条件t ＝5秒时，x ＝245米，得a ＝73.5，所以x ＝73.5t －4.9t 2，子弹保持在245米以上(含245米)，即x ≥245，所以73.5t －4.9t 2≥245，解得5≤t ≤10.因此，子弹保持在245米以上的高度有5秒．答案：B11．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz解析：采用特值法进行求解验证即可，若x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3，则ax ＋by ＋cz ＝14，az ＋by ＋cx ＝10，ay ＋bz ＋cx ＝11，ay ＋bx ＋cz ＝13.由此可知最低的总费用是az ＋by ＋cx .答案：B12．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．解析：L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500，当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元． 答案：2 50013．某汽车油箱中存油22 kg ，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩余量y (kg)与流出时间x (分钟)之间的函数关系式为________．解析：流速为22200＝11100，x 分钟可流11100x .答案：y ＝22－11100x (0≤x ≤200) 14．某DVD 光盘销售部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，每张DVD 光盘的进价是6元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：(1)并写出其定义域；(2)问这个销售部销售的DVD 光盘销售单价定为多少时才能使日均销售利润最大？最大销售利润是多少？解析：(1)根据图表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40张， ∴P (x )＝480－40(x －7)＝－40x ＋760， 由x >0且－40x ＋760>0，得0<x <19， ∴P (x )关于x 的函数关系式为P (x )＝－40x ＋760(0<x <19)．(2)设日均销售利润为y 元，于是可得y ＝(－40x ＋760)(x －6)－300＝－40x 2＋1 000x －4 860 ＝－40(x －252)2＋1 390，当x ＝12.5时，y 有最大值，最大值为1 390元．故只需将销售单价定为12.5元，就可使日均销售利润最大，最大为1 390元． 15．某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：前8年在正常情况下，该产品产量将平稳增长．已知2015年为第一年，前4年年产量f (x )(万件)如表所示：x 1 2 3 4 f (x )4.005.587.008.44(1)画出2015～(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求之； (3)2021年(即x ＝7)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量应为多少？解析：(1)如图所示．(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝43a ＋b ＝7，解得a ＝1.5，b ＝2.5，∴f(x)＝1.5x＋2.5.检验：f(2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08<0.1.f(4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2021年的年产量为f(7)＝1.5×7＋2.5＝13(万件)，又年产量要减少30%，即为13×70%＝9.1(万件)，即2021年的年产量应为9.1万件．。
2022新教材高中数学课时检测25函数的应用一新人教B版必修第一册
函数的应用(一)[A级基础巩固]1．某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆．现需要调往A县10辆，B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元．则总费用最少为( ) A．300元B．400元C．700元D．860元解析：选D 设从甲仓库调到A县的车辆数为x，则从甲仓库调往B县的车辆数为12－x，从乙仓库调往A县的车辆数为10－x，从乙仓库调往B县的车辆数为6－(10－x)＝x－4.设总费用为y，则y＝40x＋80×(12－x)＋30×(10－x)＋50×(x－4)＝1 060－20x(4≤x≤10，x∈N)，要想使运费y最少，则需x最大，所以当x＝10时，运费y最少，为860元．2．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x.若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A．30元B．42元C．54元D．越高越好解析：选B 设每天的销售利润为y元，则y＝(x－30)·(162－3x)，30≤x≤54，将上式配方后得y＝－3(x－42)2＋432，当x＝42时，y取得最大值．故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得最大的销售利润．3．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A.32cm2B．4 cm2C．3 2 cm2D．2 3 cm2解析：选D 设一段长为x cm，则另一段长为(12－x) cm，两个正三角形的面积之和为S cm2.分析知0<x<12.则S＝34⎝⎛⎭⎪⎫x32＋34⎝⎛⎭⎪⎫4－x32＝318(x－6)2＋23，当x＝6时，S min＝2 3.4．4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，6个茶杯和3包茶叶的价格之和大于24元，则2个茶杯和3包茶叶的价格比较( )A．2个茶杯贵B．3包茶叶贵C．两者相同D．无法确定解析：选A 设茶杯单价为x元，茶叶每包为y元，则4x＋5y<22且6x＋3y>24，则原问题可转化为比较t＝2x－3y与0的大小．设4x ＋5y ＝m ，6x ＋3y ＝n ，则2x ＝5n －3m 9，3y ＝3m －2n 3， 故t ＝2x －3y ＝11n －12m 9>11×24－12×229＝0， 所以2个茶杯贵．5．(多选)水滴进玻璃容器，如图所示(设单位时间内进水量相同)，观察水的高度随时间的变化，下列图像与容器匹配的有( )A ．a —(3)B ．b —(2)C ．c —(1)D ．d —(4) 解析：选AB 图a 和图b 的水面上升速度是匀速的，且a 上升得快，因此a —(3)，b —(2)．图c 的水面开始是缓慢上升，后来上升得快，而图d 的水面是开始上升得快，中间较缓慢，后来加快，因此c —(4)，d —(1)．故选A 、B.6．(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y 1(千元)和乙厂的总费用y 2(千元)与印制证书数量x (千个)的函数关系分别如图中甲、乙所示，则( )A ．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B ．甲厂的费用y 1与证书数量x 之间的函数关系式为y 1＝0.5x ＋1C ．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元D ．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y 2与证书数量x 之间的函数关系式为y 2＝14x ＋52解析：选ABCD 由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A 正确；甲厂的费用y 1与证书数量x 满足的函数关系为y 1＝0.5x ＋1，故B 正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5元，故C 正确；易知当x >2时，y 2与x之间的函数关系式为y 2＝14x ＋52，故D 正确，故选A 、B 、C 、D. 7．某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2021年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2019年到2020年，每年经营总收入的年增长率相同，则2020年预计经营总收入为________万元．解析：设年增长率为x (x >0)，则40040%×(1＋x )2＝1 690，所以1＋x ＝1310，因此2020年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元)． 答案：1 3008．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位，成本增加1万元，又知总收入R 是生产数量Q 的函数：R (Q )＝4Q －1200Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)解析：由L (Q )＝4Q －1200Q 2－(200＋Q )＝－1200(Q －300)2＋250，则当Q ＝300时，总利润L (Q )取得最大值250万元．答案：250 3009.某人定制了一批地砖，每块地砖(如图所示)是边长为1 m 的正方形ABCD ，点E ，F 分别在边BC 和CD 上，且CE ＝CF ，△CFE ，△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成．制成△CFE ，△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元．问点E 在什么位置时，每块地砖所需的材料费用最省？解：设CE ＝x m ，0<x <1，则BE ＝(1－x )m ，每块地砖所需的材料费用为W ，则W ＝12x 2×30＋12×1×(1－x )×20＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12x 2－12×1×（1－x ）×10＝10x 2－5x ＋15＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋1158. 当x ＝14＝0.25时，W 有最小值，即费用最省． 故当点E 与点C 相距0.25 m 时，每块地砖所需的材料费用最省．10．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解：(1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3 200，由均值不等式得3 200≥240x×90y＋20xy＝120xy＋20xy，＝120S＋20S.所以S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，故S≤10，从而S≤100，所以S的最大允许值是100平方米．(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，求得x＝15，即铁栅的长是15米．[B级综合运用]11．(多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图像．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示．则下列说法中，正确的有( )A．图②的建议：提高成本，并提高票价B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变D．图③的建议：提高票价，并降低成本解析：选BC 根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确．12．某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处达到最高，最高的高度为8 m．另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为( )A ．5 mB ．3.5 mC ．5.5 mD ．7.5 m解析：选D 根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x ，与此点的高度y 之间的函数关系式是：y ＝a 1(x ＋2)2＋8(－10≤x ≤0)或y ＝a 2(x －2)2＋8(0≤x ≤10)，由x ＝－10，y ＝0，可得a 1＝－18；由x ＝10，y ＝0，可得a 2＝－18，于是，所求函数解析式是y ＝－18(x ＋2)2＋8(－10≤x <0) 或y ＝－18(x －2)2＋8(0≤x ≤10)．当x ＝0时，y ＝7.5，∴装饰物的高度为7.5 m ．故选D.13．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米．解析：若以左边的树根为原点建立平面直角坐标系(图略)，则抛物线的对称轴为直线x ＝1.设抛物线方程为y ＝ax 2－2ax ＋2.5，当x ＝0.5时，y ＝0.25a －a ＋2.5＝1，解得a ＝2.∴y ＝2(x －1)2＋0.5.∴绳子的最低点距地面的距离为0.5米．答案：0.514．用水清洗一份蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f (x )＝11＋x 2. (1)求f (0)的值，并解释其实际意义；(2)现有a (a >0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．解：(1)f (0)＝1，其实际意义为没有用水清洗的情况下蔬菜上残留的农药量．(2)f (a )＝11＋a 2>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝44＋a 2， f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋a 22＝16（a 2＋4）2>0， f （a ）f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝（a 2＋4）216（a 2＋1）， ①f （a ）f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>1，即a >22时，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<f (a )， 此时清洗两次残留的农药量更少；②f （a ）f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1，即a ＝22时，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝f (a )， 此时清洗一次或两次残留的农药量一样；③f （a ）f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<1，即0<a <22时，f (a )<f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2， 此时清洗一次残留的农药量更少．综上，当0<a <22时，清洗一次残留的农药量更少；当a ＝22时，清洗一次或两次残留的农药量一样；当a >22时，清洗两次残留的农药量更少．[C 级 拓展探究]15．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系如图所示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如下：t (天)5 15 20 30 Q (件)35 25 20 10(1)根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式；(2)在平面直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定日销售量Q 与时间t 的函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)解：(1)根据图像，每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N *，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *. (2)描出实数对(t ，Q )的对应点(如图)．从图中可以发现，点(5，35)，(15，25)，(20，20)，(30，10)基本上分布在一条直线上，假设这条直线为l ：Q ＝kt ＋b .由点(5，35)，(30，10)确定出直线l 的解析式为Q ＝－t ＋40，通过检验可知点(15，25)，(20，20)也在直线l 上．所以日销售量Q 与时间t 的函数关系式为Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N *)．(3)设日销售金额为y (元)，则y ＝P ×Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0＜t ＜25，t ∈N *t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N * ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（t －10）2＋900，0＜t ＜25，t ∈N *，（t －70）2－900，25≤t ≤30，t ∈N *， 若0<t <25，t ∈N *，则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30，t ∈N *，则当t ＝25时，y max ＝1 125.由1 125>900，知y max ＝1 125.故这种商品日销售金额的最大值为1 125元，30天中的第25天的日销售金额最大．。
高中数学 课时跟踪检测(十七)不等式的实际应用 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学试题
课时跟踪检测（十七） 不等式的实际应用层级一 学业水平达标1．某工人共加工300个零件．在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务．则改进操作方法前，每天至少要加工零件的个数为( )A ．9B ．10C ．8D ．11解析：选A 设每天至少要加工x 零件． 由题意得：100x ＋200x ＋15<20，解得x >53或x <－53，设每天至少要加工9个零件． 2.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝nv100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6<s 1<8，14<s 2<17.则n 为( )A ．7B ．5C ．6D ．8解析：选C 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧6<40n 100＋1 600400<8，14<70n 100＋4 900400<17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5<n <10，52<n <9514.又n ∈N ，所以n ＝6.3．某，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本．如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2 000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 设这种书的最高定价应当为x 元，由题意得：[80 000－(x －2.5)×20 000]×x ≥200 000，解得： 52≤x ≤4，所以最高定价为4元．4．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈R)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析：选C 由题意知3 000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150.5．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( )A ．500件B ．1 000件C ．2 500件D ．5 000件解析：选B 设每次进x 件费用为y 元，由y ＝10 000×100x ＋x2×2≥21 000 000x·x ＝2 000，当1 000 000x＝x ，x ＝1 000时，y 最小．6．某家庭用14.4万元购买了一辆汽车，使用中维修费用逐年上升，第n 年维修费用约为0.2n 万元，每年其他费用为0.9万元．报废损失最小指的是购车费、维修费及其他费用之和的年平均值最小，则这辆车应在________年后报废损失最小．解析：年平均值y ＝14.4＋0.9n ＋0.21＋2＋…＋n n ＝14.4n＋0.1n ＋1≥3.4，当且仅当14.4n＝0.1n ，即n ＝12时，年平均值最小，所以12年后报废损失最小．答案：127．某地每年销售木材约20万m 3，每立方米价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万m 3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值X 围是________．解析：设按销售收入的t %征收木材税时，税金收入为y 万元，则y ＝2 400⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2)．令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900，解得3≤t ≤5. 答案：[3,5]8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．解析：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，所以一年的总运费与总存储费用之和为⎝⎛⎭⎪⎫1 600x ＋4x 万元，而1 600x ＋4x ≥160，当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小．答案：209．甲、乙两家饭馆的老板同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100 kg 大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？解：设两次大米的价格分别为a 元/千克，b 元/千克(a ，b >0，a ≠b )，则甲两次购买大米的平均价格是100a ＋b200＝a ＋b2元/千克；乙两次购买大米的平均价格是200100a ＋100b ＝21a ＋1b＝2aba ＋b 元/千克．∵a ＋b2－2aba ＋b ＝a ＋b 2－4ab 2a ＋b ＝a －b 22a ＋b>0，∴a ＋b 2>2aba ＋b. ∴乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．10．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP 公司可供选择．公司A 每小时收费1.5元；公司B 在用户每次上的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP 公司较省钱？解：假设一次上网x 小时，则公司A 收取的费用为1.5x 元， 公司B 收取的费用为x 35－x20元．若能够保证选择A 比选择B 费用少， 则x 35－x20>1.5x (0<x <17)，整理得x 2－5x <0，解得0<x <5，所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A 的费用少；超过5小时，选择公司B 的费用少．层级二 应试能力达标1．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0<t ≤20，t ∈N)；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0<t ≤30，t ∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t 的X 围为( )A ．[15,20]B ．[10,15]C ．(10,15)D ．(0,10]解析：选B 由日销售金额为(t ＋10)(－t ＋35)≥500， 解得10≤t ≤15.2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值X 围是( )A ．[15,30]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]解析：选C 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y40，∴y ＝40－x ，∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.3．一种产品的年产量情况是第一年为a 件，第二年比第一年增长P 1%，第三年比第二年增长P 2%，且P 1＞0，P 2＞0，P 1＋P 2＝2P ，如果年平均增长x %，则有( )A ．x ＝PB ．x ≤PC ．x ≥PD ．x ＜P解析：选B 设三年后产量为y ， 则y ＝a (1＋P 1%)(1＋P 2%)≤a ·⎝⎛⎭⎪⎫1＋P 1%＋1＋P 2%22＝a ·(1＋P %)2.又∵年平均增长x %，则y ＝a (1＋x %)2， ∴a (1＋x %)2≤a (1＋P %)2，∴x ≤P .4．某商店销售某种商品，每件获利20元时，销售量为m 件，为了促销，拟采用每销售1件商品向顾客赠送1件小礼品的办法．试验表明赠送价值为n (n ∈N ＋)元的礼品比赠送价值为n －1元的礼品销售量增加了10%，为了获得最大利润，应赠送的礼品价值为( )A ．9元或10元B ．10元或11元C ．8元或9元D ．8元或10元解析：选A 设礼品价值为n 元时，总利润为a n ，则a n ＝(20－n )m (1＋10%)n＝m (20－n )1.1n(0＜n ＜20，n ∈N ＋)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧20－n·1.1≥21－n ，20－n ≥19－n ·1.1，解得9≤n ≤10.由n ∈N ＋，知n ＝9或n ＝10.故选A.5．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值X 围是________．解析：5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%，解得x 的X 围是(100,400)． 答案：(100,400)6．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000， 即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66，令t ＝1＋x %， 则25t 2＋25t －66≥0，解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20.答案：207．某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x 台(x 是正整数)，且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输费和保管费共43 600元．现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．解：设每批购入x 台，运输费和保管费共y 元，则需进货3 600x次，每批进货总价值为2 000x元，设全年保管费为2 000kx (k ＞0)元．依题意得，43 600＝2 000×400k ＋3 600400×400，则k ＝120，∴y ＝3 600x ×400＋2 000kx ＝1 440 000x ＋100x ≥21 440 000x×100x ＝24 000，当且仅当1 440 000x＝100x ，即x ＝120时，等号成立．故每批进货120台时，能使资金够用．8．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的X 围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值． 解：税率为P %时，销售量为(80－10P )万件， 即f (P )＝80(80－10P )，税金为80(80－10P )·P %， 其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧8080－10P ·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6.故P 的X 围为[2,6]．(2)∵f (P )＝80(80－10P )(2≤P ≤6)为减函数， ∴当P ＝2时，厂家获得最大的销售金额，f (2)＝4 800(万元)．(3)∵0<P <8，g (P )＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128，∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．。
2017-2018学年高中数学人教B版必修1课时跟踪检测十三
课时跟踪检测（十三） 函数的应用（Ⅰ）层级一 学业水平达标1．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：A ．20元B ．18元C ．16元D ．14元解析：选C 每天的收入在四种情况下分别为20×65%×100＝1 300(元)，18×75%×100＝1 350(元)，16×85%×100＝1 360(元)，14×95%×100＝1 330(元)，故应定价为16元．2．若等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( ) A ．y ＝20－2x (x ≤10) B ．y ＝20－2x (x ＜10) C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5＜x ＜10)解析：选D 由题意，得2x ＋y ＝20，∴y ＝20－2x .∵y ＞0，∴20－2x ＞0，∴x ＜10.又∵三角形两边之和大于第三边，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞y ，y ＝20－2x ，解得x ＞5，∴5＜x ＜10，故选D.3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤10，x ∈N ，2x ＋10，10＜x ＜100，x ∈N ，1.5x ，x ≥100，x ∈N ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．130解析：选C 若4x ＝60，则x ＝15＞10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40＜100，不合题意．故拟录用25人．4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3B ．4C ．6D ．12解析：选A 如图所示．设隔墙的长为x (0＜x ＜6)，矩形面积为y ，y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )，∴当x ＝3时，y 最大． 5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本(单位：万元)为C (x )＝12x 2＋2x ＋20.已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．22万件C ．18万件D ．9万件解析：选C ∵利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，∴当x ＝18时，L (x )取最大值．6．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是______年．解析：由题意可知，第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量为a n ＝f (n )－f (n－1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12n ·(n －1)(2n －1)＝3n 2(n ∈N ＋)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52⇒1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．答案：77．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式是______________．解析：设新价为b ，则售价为b (1－20%)．∵原价为a ，∴进价为a (1－25%)．依题意，有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)×25%，化简得b ＝54a ，∴y ＝b ×20%·x ＝54a ×20%·x ，即y ＝a4x (x ∈N ＋)． 答案：y ＝a4x (x ∈N ＋)8．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶．解析：设销售价每瓶定为x 元，利润为y 元，则y ＝(x －3)⎝⎛⎭⎪⎫400＋4－x0.5×40＝80(x －3)(9－x )＝－80(x －6)2＋720(x ≥3)，所以x ＝6时，y 取得最大值．答案：69．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm ，椅子的高度为x cm ，则y 应是x 的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：(1)请你确定y 与(2)现有一把高42.0 cm 的椅子和一张高78.2 cm 的课桌，它们是否配套？为什么？ 解：(1)根据题意，课桌高度y 是椅子高度x 的一次函数，故可设函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝75，37k ＋b ＝70.2，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.6，b ＝11，所以y 与x 的函数解析式是y ＝1.6x ＋11.(2)把x ＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y ＝1.6×42＋11＝78.2.所以给出的这套桌椅是配套的．10．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费40元．(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：(1)租金增加了900元，900÷60＝15， 所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．(2)设租金提高后有x 辆未租出，则已租出(100－x )辆． 租赁公司的月收益为y 元，y ＝(3 000＋60x )(100－x )－160(100－x )－40x ，其中x ∈[0,100]，x ∈N ，整理，得y ＝－60x 2＋3 120x ＋284 000 ＝－60(x －26)2＋324 560， 当x ＝26时，y ＝324 560， 即最大月收益为324 560元．此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元)．层级二 应试能力达标1．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费( )A ．1.00元B ．0.90元C ．1.20元D ．0.80元解析：选B y ＝0.2＋0.1×([x ]－3)，([x ]是大于x 的最小整数，x ＞0)，令x ＝55060，故[x ]＝10，则y ＝0.9.故选B.2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A ．3 100元B ．3 000元C ．2 900元D ．2 800元解析：选B 设函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 函数图象过点(1,8 000)，(2,13 000)，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝8 000，2k ＋b ＝13 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝5 000，b ＝3 000，∴y ＝5 000x ＋3 000，当x ＝0时，y ＝3 000，∴营销人员没有销售量时的收入是3 000元．3．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( )A ．此人可在7秒内追上汽车B ．此人可在10秒内追上汽车C ．此人追不上汽车，其间距最少为5米D ．此人追不上汽车，其间距最少为7米解析：选D 设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7.当t ＝6时，d 取得最小值7.4．已知直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，BC ⊥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线x ＝t 截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(如图中阴影部分)为y ，则函数y ＝f (t )的大致图象为( )解析：选C 当0≤t ≤1时，f (t )＝12t ·2t ＝t 2，当1＜t ≤2时，f (t )＝12×1×2＋(t －1)×2＝2t －1，所以在t ∈[0,1]时图象是抛物线的一部分，在t ∈[1,2]时图象是一条线段，故选C.5．如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付的电话费为________元； (2)通话5分钟，需付的电话费为________元；(3)如果t ≥3，则电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系式为________． 解析：(1)由图象可知，当t ≤3时，电话费都是3.6元． (2)由图象可知，当t ＝5时，y ＝6，即需付电话费6元．(3)当t ≥3时，y 关于x 的图象是一条直线，且经过(3，3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y ＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝3.6，5k ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2，b ＝0.故y 关于t 的函数关系式为y ＝1.2t (t ≥3)．答案：(1)3.6 (2)6 (3)y ＝1.2t (t ≥3)6．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位，成本就增加1万元，又知总收入R 是单位产量Q 的函数：R (Q )＝4Q －1200Q 2，那么，总利润L (Q )的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)解析：L (Q )＝4Q －1200Q 2－(200＋Q )＝－1200(Q －300)2＋250，则当Q ＝300时，总利润L (Q )取最大值250万元．答案：250 3007．某旅游公司的最大接待量为1 000(人)，为保证公司正常运作，实际的接待量x 要小于1 000，留出适当的空闲量(如：当接待量为800(人)时，则空闲量为200(人))，空闲量与最大接待量的比值叫作空闲率．已知该公司4月份接待游客的日增加量y (人)和实际接待量x (人)与空闲率的乘积成正比．(设比例系数k ＞0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出定义域； (2)当k ＝110时，求4月份游客日增加量的最大值．解：(1)由题意知，当实际接待量为x (人)时，空闲率为1 000－x1 000.故y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ·1 000－x1 000(k ＞0)，函数的定义域为(0＜x ＜1 000)．(2)当k ＝110时，y ＝110x ·1 000－x1 000＝110 000(－x 2＋1 000x )＝110 000[－(x －500)2＋250 000]＝－110 000(x －500)2＋25，∴当x ＝500时，y max ＝25.∴4月份游客日增加量的最大值为25人．8．某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：(1)＋)； (2)销售量g (x )与时间x 的函数关系式为g (x )＝－13x ＋1093(1≤x ≤100，x ∈N ＋)，则该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少千元？解：(1)当0＜x ≤40时，设f (x )＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝23，32k ＋b ＝30⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，b ＝22，∴f (x )＝14x ＋22(0＜x ≤40，x ∈N ＋)．同理可得f (x )＝－12x ＋52(40＜x ≤100，x ∈N ＋)，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋22，0＜x ≤40，－12x ＋52，40＜x ≤100其中x ∈N ＋.(2)设日销售额为S (x )千元，则当0＜x ≤40，x ∈N ＋时，S (x )＝f (x )g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋22⎝⎛⎭⎪⎫－13x ＋1093＝ －112(x ＋88)(x －109)． 其图象的对称轴为x ＝109－882＝10.5，∴当x ＝10,11时，S (x )取最大值，S (x )max ＝808.5.当40＜x ≤100，x ∈N ＋时，S (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x ＋1093＝16(x －104)(x －109)．其图象的对称轴为x ＝104＋1092＝106.5，∴当40＜x ≤100，x ∈N ＋时，S (x )＜S (40)＝736＜808.5.综上可得，该产品投放市场第10天和第11天的销售额最高，最高销售额为808.5千元．。
(新课改地区)2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2.1函数及其表示练习新人教B版
2.1 函数及其表示核心考点·精准研析考点一函数的定义域1.函数y=的定义域是( )A.(-1,3)B.(-1,3]C.(-1,0)∪(0,3)D.(-1,0)∪(0,3]2.若函数y=f(x)的定义域是[0,2 020],则函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域是( )A.[-1,2 019]B.[-1,1)∪(1,2 019]C.[0,2 020]D.[-1,1)∪(1,2 020]3.(2020·抚州模拟)若函数f(x)的定义域为[0,6],则函数的定义域为( ) A.(0,3) B.[1,3)∪(3,8]C.[1,3)D.[0,3)4.函数f(x)=lg+(4-x)0的定义域为____________.【解析】1.选D.由题意得解得-1<x≤3且x≠0,所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,3].2.选B.由0≤x+1≤2 020,得-1≤x≤2 019,又因为x≠1,所以函数g(x)的定义域是[-1,1)∪(1,2 019].3.选D.因为函数f(x)的定义域为[0,6],所以0≤2x≤6,解得0≤x≤3.又因为x-3≠0,所以函数的定义域为[0,3).4.由已知得解得x>2且x≠3且x≠4,所以函数的定义域为(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞).答案:(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞)题2中,若将“函数y=f(x)的定义域是[0,2 020]”改为“函数y=f(x-1)的定义域是[0,2 020]”,则函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域为__________.【解析】由0≤x≤2 020,得-1≤x-1≤2 019,再由-1≤x+1≤2 019,解得-2≤x≤2 018,又因为x≠1,所以函数g(x)的定义域是[-2,1)∪(1,2 018].答案:[-2,1)∪(1,2 018]1.具体函数y=f(x)的定义域序号f(x)解析式定义域1 整式R2 分式分母≠03 偶次根式被开方数≥04 奇次根式被开方数∈R5 指数式幂指数∈R6 对数式真数>0;底数>0且≠17 y=x0底数x≠02.抽象函数(没有解析式的函数)的定义域解题方法:精髓是“换元法”,即将括号内看作整体,关键是看求x,还是求整体的取值范围.(1)已知y=f(x)的定义域是A,求y=f(g(x))的定义域:可由g(x)∈A,求出x的范围,即为y=f(g(x))的定义域.(2)已知y=f(g(x))的定义域是A,求y=f(x)的定义域:可由x∈A求出g(x)的范围,即为y=f(x)的定义域.【秒杀绝招】1.排除法解T1,可依据选项的特点,将0,3代入验证.2.转化法解T4,将二次函数的定义域转化为二次不等式的解集,利用三个二次的关系解题. 考点二求函数解析式【典例】1.已知f=ln x,则f(x)=________.2.已知f=x2+x-2,则f(x)=________.3.已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=________.4.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f·-1,则f(x)=________.【解题导思】序号联想解题1由f,想到换元法2由f,想到配凑法3 由f(x)是二次函数,想到待定系数法4由f,想到消去(也称解方程组)法【解析】1.设t=+1(t>1),则x=,代入f=ln x得f(t)=ln,所以f(x)=ln (x>1).答案:ln(x>1)2.因为f=x2+x-2=-2,又因为x+≤-2或x+≥2,所以f(x)=x2-2(x≤-2或x≥2).答案:x2-2(x≤-2或x≥2)3.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2,f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=x-1,即2ax+a+b=x-1,所以即所以f(x)=x2-x+2.答案:x2-x+24.在f(x)=2f·-1中,将x换成,则换成x,得f=2f(x)·-1,由解得f(x)=+.答案:+函数解析式的求法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)消去(方程组)法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).1.已知f(+1)=x+2,则f(x)=________.【解析】令+1=t(t≥1),则x=(t-1)2,代入原式得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,所以f(x)=x2-1(x≥1).答案:x2-1(x≥1)2.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=________.【解析】设f(x)=ax+b(a≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=ax+5a+b,所以ax+5a+b=2x+17对任意实数x都成立,所以解得所以f(x)=2x+7.答案:2x+7考点三分段函数及其应用命题精解读考什么:(1)考查求函数值、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、直观想象等核心素养.怎么考:基本初等函数、函数的单调性、不等式交汇考查函数的概念、图象等知识.新趋势:以基本初等函数为载体,与其他知识交汇考查为主.学霸好方法1.求值问题的解题思路(1)求函数值:当出现f(f(x))的形式时,应从内到外依次求值.(2)求自变量的值:依据题设条件,在各段上得出关于自变量的方程,然后求出相应自变量的值.2.交汇问题:与方程、不等式交汇时,要依据“分段问题,分段解决”进行讨论,最后将结果并起来.分段函数的求值问题【典例】已知f(x)=则f+f的值为( )A. B.- C.-1 D.1【解析】选D.f+f=f+1+f=cos+1+cos=1.如何求分段函数的函数值?提示:分段函数求函数值时,要根据自变量选取函数解析式,然后再代入.分段函数与方程问题【典例】已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=( )A.-B.-C.-D.-【解析】选A.当a≤1时不符合题意,所以a>1,即-log2(a+1)=-3,解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-.求分段函数含有参数的函数值,如何列方程?提示:列方程时,若自变量的范围确定时,则直接代入;若不确定,则需要分类讨论.分段函数与不等式问题【典例】设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是________.【解析】令g(x)=f(x)+f,当x≤0时,g(x)=f(x)+f=2x+;当0<x≤时,g(x)=f(x)+f=2x+x+;当x>时,g(x)=f(x)+f=2x-1,写成分段函数的形式:g(x)=f(x)+f=函数g(x)在区间(-∞,0],,三段区间内均连续单调递增,且g=1,20+0+>1,(+2)×20-1>1,可知x的取值范围是.答案:如何求解由分段函数构成的不等式?提示:求解分段函数构成的不等式,关键是确定自变量在分段函数的哪一段,用对解析式.1.设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)= ( )A.3B.6C.9D.12【解析】选C.因为函数f(x)=所以f(-2)=1+log2(2+2)=1+2=3,f(log212)==×=12×=6,则有f(-2)+f(log212)=3+6=9.2.已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f(g(1))=1,则a= ( )A.1B.2C.3D.-1【解析】选A.因为g(x)=ax2-x,所以g(1)=a-1.因为f(x)=5|x|,所以f(g(1))=f(a-1)=5|a-1|=1,所以|a-1|=0,所以a=1.1.已知函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),如果f(x+2 020)=那么f·f= ( )A.2 020B.C.4D.【解析】选C.当x≥0时,有f=sin x,所以f=sin =1,当x<0时,f=lg(-x),所以f(-7 980)=f(-10 000+2 020)=lg10 000=4,f·f=1×4=4.2.在一个展现人脑智力的综艺节目中,一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位,更神奇的是,当主持人说出小数点后面的位数时,这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率π小数点后第n位上的数字为y.那么你认为y是n的函数吗?如果是,请写出函数的定义域、值域与对应关系.如果不是,请说明理由.【解析】y是n的函数.理由如下:n任取一个数字,就有0到9之间的一个数字与之对应,符合函数的定义,所以函数的定义域是{1,2,3,4,…,n}(其中n是圆周率小数点后面的位数);值域是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};对应关系是y与π的小数点后第n位上的数字对应.。
2020-2021新课程同步人教B版高中数学必修课时跟踪检测《函数的零点、二次函数》
5．关于 x 的不等式 ax－b>0 的解集是(1，＋∞)，则关于 x 的不等式(ax＋b)(x－3)>0 的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(－1,3)
C．(1,3)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选 A 由题意，知 a>0，且 1 是 ax－b＝0 的根，所以 a＝b>0，所以(ax＋b)(x－
(2)因为 f(x)的零点一个大于 1，另一个小于 1，如图． 需 f(1)<0，即 1－b＋3<0，所以 b>4. 故 b 的取值范围为(4，＋∞)．
5．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求 m 的取值范围；
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3)＝a(x＋1)(x－3)>0，所以 x<－1 或 x>3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
6．函数 f(x)＝2 019x＋1 的零点为________．
解析：令 f(x)＝0，则 x＝－ 1 . 2 019
答案：－ 1 2 019
7．若二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图像与 x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等
式 ax2＋bx＋c<0 的解集是________．
解析：根据二次函数的图像知，所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
x2＋2x，x≥0，
8．已知函数 f(x)＝
若 f(a)≤3，则 a 的取值范围是________．
－x2＋2x，x<0.
解析：当 a≥0 时，a2＋2a≤3，所以 0≤a≤1；
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2021年高中数学课时跟踪检测二十五函数的应用Ⅱ新人教B 版必修1．某种动物的数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的函数关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只解析：选A 由题意，知100＝a log 2(1＋1)，得a ＝100，则当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝100×3＝300.2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则x ，y ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx解析：选B 在坐标系中描出各点，知模拟函数为y ＝a ＋b x. 3．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝50 B ．y ＝1 000xC ．y ＝0.4·2x －1D ．y ＝11 000e x解析：选D 指数函数y ＝a x，在a ＞1时呈爆炸式增长，而且a 越大，增长速度越快，选D.4．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数解析：选D 由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增长符合．5．y 1＝2x，y 2＝x 2，y 3＝log 2x ，当2＜x ＜4时，有( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 2＞y 3＞y 1解析：选B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y 2＝x 2，y 1＝2x，y 3＝log 2x ，故y 2>y 1>y 3.6．小明xx 年用7 200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一．三年后小明这台笔记本还值________元．解析：三年后的价格为7 200×23×23×23＝6 4003元．答案：6 40037．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2 000·ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：当v ＝12 000时，2 000·ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m＝12 000，∴ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝6，∴M m＝e 6－1. 答案：e 6－18．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·(0.5)x＋b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．解析：∵y ＝a ·(0.5)x＋b ，且当x ＝1时，y ＝1，当x ＝2时，y ＝1.5，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ×0.5＋b ，1.5＝a ×0.25＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.∴y ＝－2×(0.5)x＋2.当x ＝3时，y ＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)． 答案：1.759．画出函数f (x )＝x 与函数g (x )＝14x 2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．解：函数f (x )与g (x )的图象如图所示．根据图象易得：当0≤x ＜4时，f (x )＞g (x )； 当x ＝4时，f (x )＝g (x )； 当x ＞4时，f (x )＜g (x )．10．一种放射性元素，最初的质量为500 g ，按每年10%衰减． (1)求t 年后，这种放射性元素的质量w 的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)． 解析：(1)最初的质量为500 g.经过1年，w ＝500(1－10%)＝500×0.9； 经过2年，w ＝500×0.92； 由此推知，t 年后，w ＝500×0.9t. (2)由题意得500×0.9t＝250，即 0．9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得 lg 0.9t ＝lg 0.5，即t lg 0.9＝lg 0.5， ∴t ＝lg 0.5lg 0.9≈6.6.即这种放射性元素的半衰期为6.6年．层级二 应试能力达标1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选 D 设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意可得ax ＝a (1＋0.104)y，故y ＝log 1.104x (x ≥1)，函数为对数函数，所以函数y ＝f (x )的图象大致为D 中图象，故选D.2．三个变量y 1，y 2，y 3，随着变量x 的变化情况如下表：x 1 3 5 7 9 11 y 1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y 2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y 356.106.616.9857.27.4则关于x A ．y 1，y 2，y 3 B ．y 2，y 1，y 3 C ．y 3，y 2，y 1D ．y 1，y 3，y 2解析：选C 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律，故选C.3．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x，故选D.4．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50解析：选C 由已知，得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49150.设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e－kt 1， ∴827＝(e －k)t 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49t 150， ∴t 150＝32，t 1＝75. 5．某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系式y ＝a ·0.5x＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份该产品的产量为________万件．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1＝0.5a ＋b ，1.5＝0.25a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.∴y ＝－2×0.5x＋2.∴3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75万件． 答案：1.756．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A 对应______；B 对应_____；C 对应______；D 对应______．解析：A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B 容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C ，D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与(3)对应，D 容器慢，与(2)对应．答案：(4) (1) (3) (2)7．函数f (x )＝1.1x，g (x )＝ln x ＋1，h (x )＝x 12的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a ，b ，c ，d ，e 为分界点)．解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C 1对应的函数是f (x )＝1.1x，曲线C 2对应的函数是h (x )＝x 12，曲线C 3对应的函数是g (x )＝ln x ＋1.由题图知，当x <1时，f (x )>h (x )>g (x )； 当1<x <e 时，f (x )>g (x )>h (x )； 当e <x <a 时，g (x )>f (x )>h (x )； 当a <x <b 时，g (x )>h (x )>f (x )； 当b <x <c 时，h (x )>g (x )>f (x )； 当c <x <d 时，h (x )>f (x )>g (x )； 当x >d 时，f (x )>h (x )>g (x )．8．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y ＝ax 2＋bx ＋c ，乙选择了模型y ＝p ·q x＋r ，其中y 为患病人数，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ·12＋b ·1＋c ＝52，a ·22＋b ·2＋c ＝54，a ·32＋b ·3＋c ＝58，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝52，4a ＋2b ＋c ＝54，9a ＋3b ＋c ＝58，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝52，所以甲：y 1＝x 2－x ＋52，又⎩⎪⎨⎪⎧p ·q 1＋r ＝52 ①，p ·q 2＋r ＝54 ②，p ·q 3＋r ＝58 ③，②－①，得p ·q 2－p ·q 1＝2， ④ ③－②，得p ·q 3－p ·q 2＝4， ⑤ ⑤÷④，得q ＝2.将q ＝2代入④式，得p ＝1. 将q ＝2，p ＝1代入①式，得r ＝50， 所以乙：y 2＝2x＋50.计算当x ＝4时，y 1＝64，y 2＝66； 当x ＝5时，y 1＝72，y 2＝82； 当x ＝6时，y 1＝82，y 2＝114. 可见，乙选择的模型较好．。