正态分布图作图指导-Normal distribution curve
正态分布
2、医学参考值范围的用途：
①作为诊断标准，划分正常与异常的界限； ②根据传染病传染期的长短确定该病患者的隔离期限，或根据潜伏期 长短确定接触者的留验期限。 ③制订卫生标准及有害物质的容许浓度，作为保护健康的安全界限。 ④制订不同性别、年龄儿童某项生长发育指标的等级标准。 ⑤在质量控制中制订各种控制限。
不变， 发生变化
不变， 发生变化
正态分布的特征
（4）正态分布在 处各有一个拐点。
凸
凹
凹
+
（5）正态曲线下的面积分布有一定规律。（见下文）
三、标准正态分布 （standard normal distribution）
1. 概念：均数为 0，方差为1的正态分布称为标准正态分布， 记为 N ( 0, 1 )。 2. 概率密度函数:
提 纲
• • • • • 正态分布的概念 正态分布的特征 标准正态分布 正态曲线下的面积分布规律 正态分布的应用
1.制定医学参考值范围 2.正态分布是许多统计方法的理论基础
一、正态分布的概念
1、定义：
若随机变量 x 的概率密度函数可以表示为:
f (x)
1
2
。
e
1 x 2 _ ( ) 2
则称x服从正态分布，记为 x ~N(,2)，其中 x Biblioteka , 2、正态分布的图形
f(x)
x
二、正态分布的特征
（1）正态曲线（normal curve）在横轴上方均数处最高。 （2）正态分布以均数为中心，左右对称。 （3）正态分布有2个参数，即均数 和标准差。 是位置 参数，当 固定不变时， 越大，曲线沿横轴越向右移动； 反之， 越小，则曲线沿横轴越向左移动。 是形状参数 （亦称变异度参数），当 固定不变时， 越大，曲线越 平阔； 越小，曲线越尖峭。通常用N( , 2)表示均数为 ，方差为 的正态分布。 （4）正态分布在 处各有一个拐点。 （5）正态曲线下面积的分布有一定规律。
C++normal_distribution高斯正态分布函数的用法示例
C++normal_distribution⾼斯正态分布函数的⽤法⽰例图 1 显⽰的是正态(或⾼斯)分布。
它是⼀条连续的贝尔曲线，期望两边的值是相等的，可以理解为期望就是平均值。
它是⼀个概率分布，因此曲线下⽅的⾯积是1。
正态分布是由两个参数完全定义的：期望和标准差，它们是衡量期望两边的值如何分布的⼀种⽅式。
图 1 正态分布期望和标准差分别是⽤希腊字母 µ 和σ来表⽰的，变量 x 有 n 个样本，这些是由下⾯的公式定义的：因此，期望就是值的和除以值的个数⼀换句话说，也就是平均值。
可以通过值和期望的差值的平⽅⼦和除以 n-1，然后对结果开⽅来得到标准差。
对于不同的期望和标准差的值，正态分布的相对宽度和⾼度分布曲线的变化是相当⼤的。
但是，分布值总是如图 1 所⽰。
这意味着，如果知道⼀个符合正态分布的变量的期望和标准差，例如在⼤量⼈⼝中个体的⾝⾼，就可以知道95% 的⼈⾝⾼不超过期望的 2σ。
标准正态分布的期望为 0，标准差为 1。
uniform_distribution 模板定义了可以产⽣随机浮点值的分布对象类型，默认是 double 类型。
默认构造函数创建的是标准正态分布，因此期望是 0，⽅差是 1.0:std::normal_distribution<> dist; // mu: 0 sigma: 1下⾯展⽰了如何创建⼀个有特定值和标准差的正态分布：double mu {50.0}, sigma {10.0};std::normal_distribution<> norm {mu, sigma};这⾥定义了⼀个⽣成 double 值的分布对象，期望为 50.0，标准差是 10.0。
为了⽣成值，可以将⼀个随机数⽣成器传给 norm 函数对象。
例如：std::random_device rd;std::default_random_engine rng {rd()};std::cout << "Normally distributed values: "<< norm (rng) << " " << norm (rng) << std::endl; // 39.6153 45.5608可以通过调⽤对象的成员函数 mean() 和 stddev() 来获取它的期望值和标准差：std::cout<<"mu: "<< norm.mean () << " sigma: " << norm.stddev ()<< std::endl; // mu: 50 sigma: 10通过调⽤⽆参数的成员函数 param()，可以得到⼀个封装了这两个值的 param_type 对象。
定性数据的统计描述、正态分布以及应用(normaldistribution)
-2.58 -1.96 -1
0
1 1.96 2.58
标准正态分布
-1～1 -1.96～1.96 -2.58～2.58
面积或概率 68.27% 95.00% 99.00%
曲线下面积分布规律
68.27%
68.27%
95.00%
95.00%
-2.58 -1.96 -1
99.00%
0
1 1.96 2.58μ-2.58σ μ-1.96σ μ-σ
标准正态分布
标准正态分布 (standard normal distribution) 的两个参数为：μ=0,σ=1 记为 N(0,1)
一般正态分布为一个分布族:N(m,2) ；标准
正态分布只有一个 N(0,1) ；这样简化了应 用
u曲线下面积
0.5
f(X)
1 u X2
0.4
-∞
u0.3
(u)
五． 正态分布的应用
1．许多医学指标服从正态分布或近似 正态分布，如同性别、同年龄儿童的身 高，同性别健康成人的红细胞数、血红 蛋白量等，及实验中的误差。
2. 估计医学参考值范围 医学正常值范围
定义：又称参考值范围，是指特定健康人群的 解剖、生理、生化等各种数据的波动范围。习 惯上是确定包括95%的人的界值。
e 2dX
2
0.2
附表（标准正态分布
0.1
左侧曲线下面积）就
0.0
是根据此公式和图形
-4 -3 -2 -1 0 1 X
2
3
4
制定的
曲线下面积分布规律
查附表
68.27%
( 1 .9 6 ) P (u 1 .9 6 ) ?
95.00%
正态分布图作图指导-Normaldistributioncurve
1. 双击Origin Pro的图标,
2. 将数据从text 文件里复制粘贴到数据区域
3. 按照如下路径,选择频率分
析.Frequency Count
4. 设置起点终点和步进,一般
步进50,单击ok
5. 选择生成的 X,Y列数据,点
击plot，按如下路径画图,
--------------------
6. 对得到的柱形图进行颜色调整，默认是红色。
7. 单击菜单栏的Analysis选项，按照图中路径，选择高级拟合（Advanced Fitting Tool）
8. 在Advanced Fitting Tool 菜单界面选择Action-Fit
9. 弹出的对话框，选择
Active Dateset。
10. 选择100Iter，单击Done。
11. 对模型的解释框内容进行删除，只保留Model，Equation，and R2的信息。
12. 右击边框，在属性Properties窗口中去掉边框。
13. 对坐标轴进行命名
14. 右击空白区域，弹出菜单中单击添加Text选项，添加本图表的制作日期。
15. 右击图标空白区域，探出菜单中选择Export Page 导出图片，图片DPI选择200，格式选择png or jpg
16. 最后，保存数据
继续阅读。
医学统计学课件之正态分布(Normal Distribution)
Ⅱ类错误 本质为不拒绝实际上不成立的H0 犯该类错误的最大概率为 “存伪”、“假阴性”、“漏诊”
两类错误此消彼长，欲同时减少他们的唯 一手段——增大样本含量
返回
严密的科研设计是保证假设检验结论正确性 的前提
选用合适的检验方法，必须以符合其适用条 件为前提
正确理解假设检验的统计意义
假设检验与可信区间的联系与区别
返回
计量资料的t检验 计量资料的ANOVA 计数资料的卡方检验 非参数的秩和检验
Example
从
总体中重复随机抽样10000次，
每次抽取n为9的样本
其中，2个样本的观测值及其均数和标准差：
身高观测值
均数 标准差
1 125 124 117 116 125 132 122 118 115 121.56 5.55
准差进行反映的，也叫标准误。
结论
只要抽样，则必定存在抽样误差
标准误越小，意味着抽样误差越小；反之，则大
抽样误差的大小反映的就是样本统计量对总体参 数的偏离程度
尽量减少抽样误差的最佳方法——增大样本含量 均为反映离散程度的统计指标
不同
定义 单个原始观测值对均数 样本均数对总体均数
正态分布（Normal Distribution）
u变换
标准正态变换
目的
标准正态分布曲线下面积规律
双侧95%或99%面积（1.96与2.58）
单侧95%或99%面积（1.645与2.32）
正态性检验（Normality test）
符合正态概率密度函数 矩法 偏度系数与峰度系数 W检验或D检验 原始目测法 P-P plot Q-Q plot
返回
可信区间
正态分布(Normal distribution).
系 X 1.96S 35.92-37.22
X 2.58S 35.71-37.43
137 94.48 95.00 144 99.31 99.00
医学参考值范围的制定
公 （一）、概念： 共 医学参考值是指包括绝大多数“正常人”
卫 的各种生理及生化指标常数，也称正
生
常值。 由于存在个体差异，正常值并非为常数，
共 （二）、区间面积： 区间表示方法：μ±uσ
x us
卫
u=1时，区间面积为68.25％
u=1.96时，区间面积为95%
生
u=2.58时，区间面积为99％
系
区间面积含义：
表示此区间的变量值个数占全部变量值
个数的百分比或表示变量值在此区间出 现的概率（P）
四、正态分布的应用
公 1.根据样本分布判断总体分布情 共况
系 而是在一定范围内波动，医学上常用
95% 或 99% 的 分 布 范 围 作 为 判 定 正 常
和异常的参考标准。
（二）、参考值范围的制定方法 公 1、百分位数法：偏态分布，样本含量足够大
共 ⑴求正常成年人尿铅的95％的参考值范围
卫 ⑵求正常成年男子肺活量的95％的参考值范围 生 单侧参考值范围
0 12.0 14.5 17.0 19.5 22.0 24.5 27.0 29.5 32.0
(3)
(4)
图2-4 频数分布与正态分布示意图
二、正态分布曲线的特征
公 （1）以X= μ为中心,μ左右X值对称性减少。 （2）在X= μ处曲线最高，f（X=μ）为最大值。
共 （3）μ 、σ决定 正态分布曲线位置和形状：
系 ⑶求正常成年男子白细胞的95％的参考值范围
双侧参考值范围
excel画正态分布曲线图
excel画正态分布曲线图正态分布是一种被广泛应用的概率分布，它的概率密度函数是一个标准的钟形曲线，它的简称为NDF(Normal Distribution Function)，或者叫作正态分布曲线。
正态分布在做实验中经常使用，但人们不得不用许多繁琐的统计学公式来绘制出正态分布曲线。
为了使用更简便的方法来绘制正态分布曲线，本文将介绍如何使用微软的Excel构建正态分布曲线图。
首先，需要准备一份Excel表格，将某一维度的分布曲线数据记录在一列中。
这里以“height”（身高）为例，在第一列的表格中，列出人的身高（以厘米为单位），在第二列的表格中，记录身高的频数（以人数为单位）。
接下来，在Excel中选择插入“图表”，选择“线形图”，把第一列的数据作为图表的X轴，第二列的数据作为图表的Y轴。
然后，在图表右上角的菜单中，点击“选项”，勾选“折线”并且把它改为“曲线”，当把曲线拖动到正常位置时，图表就出来了。
最后，可以给正态分布曲线图添加标题和比例尺，使其更加易于理解。
正态分布曲线图主要用于表示一组数据的分布特征。
例如，可以用正态分布曲线图来表示全国人口的年龄分布情况，或是某类测试成绩的分布特征，或是市场消费行为的变化情况。
另外，正态分布曲线图也可以用于比较两个不同维度的数据分布特征，从而更好地表现出这些数据之间的相关性。
正态分布曲线图被广泛应用于商业决策分析、统计学、有限元素分析等领域中，可以帮助人们对数据的变化趋势进行更加客观的分析，从而准确地了解现象背后的规律性。
使用Excel绘制正态分布曲线图不但简单易操作，而且能够获得较为准确的曲线图，因此得到了广泛的应用。
以上就是本文关于如何使用Excel画正态分布曲线图的介绍，希望读者通过本文的介绍，能够对Excel构建正态分布曲线图有一个较为完整的了解，可以灵活运用Excel技术来解决一些数据处理问题。
标准正态分布示意图
lgG = lg(12571032040)=lg(571032040)1/12=1/1 2(7lg5+3lg10+lg20+lg40)=0.89966
为简化计算, 可两边取对数
G = lg-1(lgG)= lg-10.89966 = 7.94
加权法: G=lg-1( lgx/ ), 当变量值个数 较多或变量值为频数表资料时
(3） （4）=（2）（3） （5）=（2）（4）
1 127
16129
• 129 131
4 524
68644
• 133 135
9 1215
164025
• 137 139
28 3829
540988
• 141 143
35 5005
715715
• 145 147
27 3969
583443
• 149 151
11 1661
250811
• 153 155
4 620
96100
• 157161 159 • 合计 •
1 159
120 17172
（ƒ）（ ƒx）
25181
2461136
（ ƒx2）
•
2461136 - （17172）2/120
• s=
•
120 - 1
•
• 三、变异系数: 又称离散系数。代号为CV。
甲的变异程度>乙组
一、极差和四分位间距
• （一）全距: R(range), 亦称极差。即一组变量 值中最大值与最小值之差。
• R甲=4.0 - 2.8 = 1.2 • R乙=3.8 - 3.0 = 0.8 • 优点: 简单明了 • 缺点: 仅考虑了资料的最大值与最小值, 不能反
第二章正态分布
3
1
15
2
均数相等、方差不等的正态分布图示
2 1
3
16
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
17
正态曲线下的面积规律
141.2 148.9 154.0 147.7 152.3 146.6 132.1 145.9 146.7 144.0
135.5 144.4 143.4 137.4 143.6 150.0 143.3 146.5 149.0 142.1 140.2 145.4 142.4 148.9 146.7 139.2 139.6 142.4 138.7 139.9
z
X
则z服从标准正态分布 Nhomakorabea28正态分布转换为标准正态分布
实际应用中，经z变换后，就可把求解任意 一个正态分布曲线下面积的问题，转化成标准 正态分布曲线下相应的面积问题。
29
标准正态分布的特征
标准正态分布特征同正态分布，它是正态分布的特例。 每一条正态分布曲线经z变换都可转换为标准正态分布。 正态分布取值与标准正态分布取值具有一一对应的关系；
曲线下的面积也具有一一对应的关系。
30
附表1
标准正态曲线下的面积分布表
z取不同值时z值左侧的标准正态曲线下面积，记做 (z ) 列出了标准正态曲线下-∞到z(z≤0)的左侧累计面积 因为z分布是对称的，所以只列出了一半的面积
( z ) 1 ( z )
8
某市2007年12岁男童120人的身高(cm)资料如下
142.3 156.6 142.7 145.7 138.2 141.6 142.5 130.5 134.5 148.8 134.4 148.8 137.9 151.3 140.8 149.8 145.2 141.8 146.8 135.1 150.3 133.1 142.7 143.9 151.1 144.0 145.4 146.2 143.3 156.3 141.9 140.7 141.2 141.5 148.8 140.1 150.6 139.5 146.4 143.8 143.5 139.2 144.7 139.3 141.9 147.8 140.5 138.9 134.7 147.3
正态分布
例3： 正态总体为 ： 正态总体为µ=0， ， x2 1 −2 σ=1时的概率密度函数是 f ( x) = 2π e , x∈R 时的概率密度函数是 (1)求证：f(x)是偶函数； 求证： 是偶函数 是偶函数； 求证 (2)求f(x)的最大值； 求 的最大值； 的最大值 (3)利用指数函数的性质说明 的增减性． 利用指数函数的性质说明f(x)的增减性 利用指数函数的性质说明 的增减性．
1 2 π
5 10 15 20 25 30 35 x
练习3: 练习
已知函数f ( x ) =
1
2p X轴上方 轴上方 a、它的图象在__________
1
e
x2 2
，则
b、它的最大值是________ 2p 直线x=0 直线x=0 ________对 c、它的图象关于________对称
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服 从正态分布： 从正态分布：
以及降雨量等，水文中的水位； 以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、 总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。 产及科学技术的许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质 、
①曲线在坐标平面的什么位置？ 曲线在坐标平面的什么位置？ 曲线的变化趋势如何？ ③ 曲线的变化趋势如何？
一般正态分布为一个分布族:N(µ,σ2) ；标准 µσ 正态分布只有一个 N(0,1) ；这样简化了应
用
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于 。 轴与正态曲线所夹面积恒等于1 轴与正态曲线所夹面积恒等于 • 对称区域面积相等。 对称区域面积相等。
S(-∞,-X)
讲稿21正态分布
正态分布及其应用刘关键四川大学华西临床医学院 循证医学与临床流行病学教研室正态分布(normal distribution) 又称高斯分布(Gaussian distribution) 是一种很重要的连续型分布，是统 计理论基础中最重要的分布之一， 应用甚广。
学习正态分布的数学特征，目的是 了解统计学中有关“分布”的概念。
正态分布的密度函数在统计上，某个分布的密度函数，即指 该分布的曲线方程。
正态分布的曲线方 程（密度函数）可由下式表达：f(X ) = 1 -(X -μ ) 2σ 2 e2σ2πf(X)μ－ ∞ ＜ X＜ ∞X正态分布曲线图正态分布的参数按此方程可绘出其图形。
式中μ为均数，σ为标准差；π为圆周率， 即3.14159；ｅ为自然对数的底，即2.7183。
以上均为常量，仅X为变量。
当X确定后， 就可由此式求得其密度函数f(X)，也就是相 应的纵坐标高度。
所以已知μ和σ ，就能按公式绘出正态曲线 的图形。
两个参数(parameter)，即均数μ、标准差σ。
当标准差σ不变，均数μ越大，则曲线沿横轴 向右移动；反之，均数μ越小，则曲线沿横轴 向左移动，故均数μ是反映正态分布在横轴上 位置的参数。
当均数μ不变，标准差σ越大，表示数据越分 散，曲线越“胖”；标准差σ越小，表示数据越 集中，曲线越“瘦”，故标准差σ是反映正态分 布变异大小的参数。
可见有了μ和σ，就把正态分布确定下来了， 为了叙述方便，一般用N(μ，σ2)表示均数为 μ，方差为σ2的正态分布。
1正态分布曲线的特征正态分布是一簇单峰分布，当X =μ时，也 就是均数处，其曲线峰值，即函数f(X)的值 最大。
正态分布以均数μ为中心，左右对称。
因 为，式中(X – μ)的值无论正负，只要绝对 值相等，则函数的值(纵高)相等。
正态分布是以μ，σ2为参数的多个分布的总 称，即正态分布是多条曲线的总称。
正态分布的分布函数统计上，某个分布的分布函数，就是指该曲线 方程下的面积，它可由曲线方程的定积分所 得，故正态分布的分布函数可由下式表达：X F(X) = 1σ2π⌠ ⎮ ⎮ ⌡-(X-μ) 2 2 e 2σdX-∞正态分布曲线下的面积规律式中F(X)为正态变量X的累计分布 函数，反映正态曲线下，横轴尺度 自-∞到X的面积，即下侧累计面积 (概率)。
正态分布(normal distribution)
(normal distribution)
3.1 随机变量
变量和随机变量
变量取值的相对频率说明了具有某个性质 的观察对象的出现的可能性。
随机变量
离散型：性别、血型、子女数、事故数 连续型：身高、体重
随机变量的概率分布
概率函数（Probability Function)，或者 说概率密度函数（Probability Density Function) 、密度函数 分布函数(Distribution Function)。用此 函数的大小来说明变量取某些值的可能性 当变量的取值包括了所有可能的取值时， 分布函数值为1 当变量具备了以上两个函数之后，称它具 有某种分布（Distribution)
正态分布图示
f(x)
.4
.3
.2
.1
0
x
方差相等、均数不等的正态分布图示
2 1 3
3
1
2
均数相等、方差不等的正态分布图示
2 3 1 2 1
3
3.2.4正态曲线下面积的分布规律
-
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
f (X )
1
2
e
( X 值表 表中的面积是指p(u<x), 也记作 φ（x）
标准正态分布曲线下面积(u)
u 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
u 0
-3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010
3.2.5 正态分布的应用
1．估计参考值范围(reference interval) 参考值范围又称正常值范围(normal range)。 什么是参考值范围：
人教B版选修2-3高中数学2.4《正态分布》ppt课件1
单侧95%正常值范围： X 1.64S (上限)
X 1.64S （下限）
12
2. 百分位数法
双侧95%正常值范围： P2.5～P97.5 单侧95%正常值范围： < P95（上限）
或 > P5（下限） 适用于偏态分布资料
13
第三节 计数资料的统计描述
一、计数资料的数据整理 二、常用相对数指标 三、应用注意事项
如：治愈率、病死率、阳性率、人群患病率等
17
2.构成比（proportion）：
说明某一事物内部，各组成部分所占的 比重。也叫百分比。
构成比=（某部分观察单位数/各组成部分 观察单位总数）×100%
如：教研室16人高级职称有4人，占 25％;中级职称有8人，占50％;初级 职称有4人，占25％。
18
正态曲线（normal curve）
2
二、正态曲线（ normal curve ）
f(X)
图形特点：
1. 钟型 2. 中间高 3. 两头低 4. 左右对称 5. 最高处对应
于X轴的值 就是均数
X 6. 曲线下面积 为1
7. 标准差决定 曲线的形状
3
N (1,0.82 )
0.6 f (X )
0.5
22
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
定性数据统计描述,正态分布及其应用
18
• 例如成年男子红细胞数近似服从正太分布,
x~N(4.7,80.38 2) , 现想知道在4x1012/L以下所
占的比例。
u44.782.05 0.38
查附表1得:
(2.05 )0.0202
表明成年男子的红细胞数低于4x1012/L的人约占总体
双侧t0.05/2，9＝2.262
＝单侧t0.025，9
单侧t0.05，9＝1.833
双侧t0.01/2，9＝3.250
＝单侧t0.005，9
单侧t0.01，9＝2.821
双侧t0.05/2，∞＝1.96
＝单侧t0.025，∞
单侧t0.05，∞ ＝1.64
31
查t 界值表 ✓ 举例：
① 10，单=0.05，t0.05,10 1.812 ，则有 P(t 1.812) 0.05 或 P(t 1.812) 0.05
34
小结 1.描述一组观察值，除需要表示其平均水平外，还 要说明它的离散或变异的情况。
2.衡量变异程度大小的指标有多种: 极差、四分位数 间距、方差、标准差和变异系数。其中应用最多的 是标准差和变异系数。
3.标准差与均数结合能够完整地描述一个正态分布 。对任何参数的正态分布，都可以通过一个简单的 变量变换化成标准正态分布。正态分布可以很容易 地确定其数值出现在任意指定范围内的概率。 35
2.用均数和标准差可全面描述： A.正偏态资料 B.负偏态资料 C.正态分布和近似正态分布 D.
任何分布
3.正态分布曲线下，从均数μ 到μ +1.96的面积为； A.95% B.45% C. 97.5% D.47.5%
38
一步一步教你作正态分布图
=NORMDI ST(A2,Av gValue,S DValue,F ALSE) NORMDIS T函数帮助 信息：
=IF((ROU
ND(A2,Ma
in!$C$2)=
控制上限
ROUND(U pValue,M
ain!$C$2))
,MAX(B:B)
*1.15,NA()
=IF((ROU
ND(A2,Ma
in!$C$2)=
目标值
ROUND(T gtValue,M
ain!$C$2))
,MAX(B:B)
*1.15,NA() 定义名称：
数据的小数位数
1
数据个数
298
最大值
479
最小值
406
平均值
441
标准偏差
11.6
目标值
440
控制上限
460
控制下限
420
控制下限
目标值
控制上限
1 2
34正态来自分布图
5
391.4 398.4 405.4 412.4 419.4 426.4 433.4 440.4 447.4 454.4 461.4 468.4 475.4 482.4 489.4
（目的是作
图时易于控
制数据源） =OFFSET
(Calculati
on!$A$1,1
ChartData ,0,COUNT
A(Calculat
ion!$A:$A)
正态分布概念
x
正态分布曲线下面积的含义
1.表示变量值（x）在【a-b】区间变量值 所占全部（总体）变量值的比例或概率 (p)。
2变量值在整个曲线下的面积为100%,或 出现的概率为1。
[例1] 设X～N(1,22)，试求： (1)P(－1＜X≤3)；(2)P(X≥5)． [思路点拨] 首先确定μ＝1，σ＝2，然后根据三个特 殊区间上的概率值求解． [精解详析] 因为X～N(1,22)， 所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ) ＝0.683.
2.正态曲线的性质
(1)非负性：曲线 f? ,? ( x) 在轴的上方,与x轴
不相交(即x轴是曲线的渐近线).
(2)定值性:曲线f?,? (x) 与x轴围成的面积为1．
(3)对称性：正态曲线关于直线 x=μ对称， 曲线成“钟形”． (4)单调性：在直线 x=μ的左边, 曲线是上升的 ; 在直线 x=μ的右边, 曲线是下降的 .
f（X）
0.14 0.12
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02
0 12.00 14.50 17.00 19.50 22.00 24.50 27.00 29.50 32.00
图2-4 频数分布与正态分布曲线示意图
一、正态分布的概念和特征
1.正态分布曲线的数学函数表达式：
X服从的概率密度函数f（x）
2．如图所示，是一个正态分布密度曲 线．试根据图像写出其正态分布的 概率密度函数的解析式，并求出总 体随机变量的期望和方差．
解析：从正态曲线的图像可知， 该正态曲线关于直线 x＝20
对称，最大值为 2 1π，所以 μ＝20，
1 2π
·σ＝2
1
正态分布及其应用 (normal distribution)
➢二．图形 正态分布密度函数
f(X) 21 exp((X 2 2)2)
其中参数 为均值， 为标准差，由此
决定的正态分布记作 N(三．特征
➢ 正态分布是单峰曲线，形状呈钟型，中间高，两
端低，以 X 为对称轴，左右完全对称。
➢ 在 X 处，f (X) 取得最大值。
➢ 有两个参数：位置参数 和变异度参数 。 一定， 越大，数据越分散，曲线越平坦； 一
定， 增大，曲线沿 X 轴向右平移。因此，不
同的 ，不同的 ，对应不同的正态分布。
不同均值正态分布示意图
1.5 1
不同标准差的正态分布示意图
➢ 正态曲线下面积的分布规律
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1。理论上：
• 根据正态 分布的对称性知，外侧尾部面 积 u2.21与外侧尾部面积 u2.21 相同，查附表1，得对应的概率为0.0136， 体重在50kg以上的12岁儿童占1.36%。
第三节 医学参考值范围的制定
➢医学参考值范围Reference Range 指某 群体“正常人”的解剖、生理、生化等 各种指标大多数个体值的波动范围。
附表1给出了标准正态分布曲线下从的面积根据正态分布的对称性我们可以求出任何一个区间内标准正态分布曲线下的面积也就是落在任何一个区间内的概率
正态分布及其应用
(normal distribution)
第一节 正态分布的概念和特征
➢一.概念 正态分布又称高斯（Gauss）分布，
是最常见、最重要的一种连续型分布， 医学资料中有许多指标的频数分布都呈 正态分布，如身高、体重、脉搏、血红 蛋白、血清总胆固醇等。
限和上限，即双侧界值；有些指标如
肺活量通常只以过低为异常，血铅以
正态分布
（三）正态分布的重要性
正态分布的表示方法：N( ，2) 正态分布的重要性 正态分布是自然界最常见的一种分布 正态分布是最重要的一种分布
⑴许多分布与正态分布近似，如t 分布、二项分布和泊松分布
⑵许多分布可由正态分布导出，如t 分布、χ2 分布 ⑶正态分布是许多统计方法的理论基础，如u 检验、参数估计
19
正态分布向标准正态分布的转换（u转换）
u
x
?s -3 -2 -1
µ 0
? s 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
正态分布
标准正态分布
20
标准正态分布
标准正态分布曲线下面积分布示意图
21
标准正态分布
例题1： 一次统计测验的平均分是72，标准差是15，求60分、93分、72分的标 准分数。 解答：
利用u 转换，
u
x
22
x
标准正态分布
u 转换的应用
当、 和x已知时，(当 和 未知时，常分别用 须进行u 转换,即
x u ，然后对标准正态变量u 的累计分
和s 来估计)， x
布函数Φ(u)的积分，计算更为简便。它反映了正态曲线下，横轴 上自-∞到u 的面积，也是下侧（左侧）累计面积。
有的指标有上下界值（双侧）； 某些指标只需确定上限（单）；
某些指标只需确定下限（单）。
估计的方法： 1. 正态分布法 2. 百分位数法
28
确定医学参考值范围
1. 正态分布法
应用条件：正态分布或近似正态分布资料
计算公式： 双侧95%医学参考值范围：
( x 1.96s, x 1.96s ),即 (
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1.双击Origin
Pro的图标,
2.将数据从text
文件里复制
粘贴到数据
区域
3.按照如下路
径,选择频率
分
析.Frequency
Count
4.设置起点终
点和步进,一
般步进50,单
击ok
5.选择生成的
X,Y列数据,点
击plot，按如
下路径画图,
--------------------
6.对得到的柱
形图进行颜
色调整，默认
是红色。
7.单击菜单栏
的Analysis选
项，按照图中
路径，选择高
级拟合
（Advanced
Fitting Tool）
8.在Advanced
Fitting Tool
菜单界面选
择Action-Fit
9.弹出的对话
框，选择
Active
Dateset。
10.选择100Iter，
单击Done。
11.对模型的解
释框内容进
行删除，只保
留Model，
Equation，and
R2的信息。
12.右击边框，在
属性
Properties窗
口中去掉边
框。
13.对坐标轴进
行命名
14.右击空白区
域，弹出菜单
中单击添加
Text选项，添
加本图表的
制作日期。
15.右击图标空
白区域，探出
菜单中选择
Export Page
导出图片，图
片DPI选择
200，格式选
择png or jpg
16.最后，保存数
据。