高等数学-第9章---(偏导数-全微分)

( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
解 当( x, y) (0,0)时,
f x (x, y)
y(
x
2 (x
y2 ) 2 y2
2x )2
xy
y( y2 x 2 ) (x2 y2 )2 ,
f y (x, y)
x(x2 y2 ) 2 y (x2 y2 )2
xy
x( x2 y2 ) (x2 y2 )2 ,
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（2）偏导函数
如果函数z f ( x, y)在区域 D内任一点
( x, y)处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是 x、 y的函数，它就称为函数z f ( x, y)对
自变量 x的偏导数，
记作
z x
，
f x
，
z
x
或
f
x
(
x,
y
).
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量 y
的偏导数，记作
原结论成立．
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说明
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(1)偏导数 u 是一个整体记号，不能拆分; x
(2)求fx (x0，y0)时，可先将y0代入得
f ( x, y0 ) ( x), 再求 d ，即 d df ( x, y0 )，
dx dx
dx
最后再将x0代入.
例4
f ( x, y) x 2 ( y 1)arcsin
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• 第九章 多元函数微分学
▫ 9.1 多元函数的基本概念 ▫ 9.2 偏导数 ▫ 9.3 全微分 ▫ 9.4 多元复合函数的求导法则 ▫ 9.5 隐函数的求导公式 ▫ 9.6 多元函数微分学的几何应用 ▫ 9.7 方向导数与梯度 ▫ 9.8 多元函数的极值 ▫ 9.9 综合例题
反映在数学上就是所谓的偏导数问题，现以二元函 数为例，引入偏导数的概念。
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一、偏导数的定义与计算方法
1. 偏导数的概念
(1) f (x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数
定义 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻域内 有定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0处有增量x 时，相
x ,
y
求f x ( x,1), f x (2,1).
解
f ( x,1) x 2 ,
df ( x,1) f x ( x,1) dx 2x;
f x (2,1) 4
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(3)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
xy
例5
设
f
( x,
y)
x2
y2
0
求 f ( x, y)的偏导数.
应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) (1)存在，
x0
x
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则称此极限为函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数，记为
z x
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9.2偏导数
• 1.偏导数的概念及计算方法 • 2.高阶偏导数
9.3全微分
• 1.全微分的概念及计算方法 • 2.全微分在近似计算中的应用
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一元函数的导数表示函数的变化率，对于多元函数 同样需要讨论函数的变化率，我们常常需要研究某个受 到多种因素制约的变量，在其他因素固定不变的情况下， 只随一种因素变化的变化率问题。
2．偏导数的计算
仍然是一元函数的求导公式和求导法则，对某一个自变 量求偏导时，其余的自变量看作常量。
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1,2)处的偏导数．
解 z 2x 3 y x
z 3x 2 y y
z
x
x1 2 1 3 2 8
y2
z y
x1 3 1 2 2 7
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当( x, y) (0,0)时, 按定义可知：
f x (0,0)
lim
x0
f (x,0) x
f (0,0)
0 lim
y2
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例 2 设z x y ( x 0, x 1)，
求证 x z 1 z 2z. y x ln x y
证明 z yx y1 , x
z x y ln x, y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x
y x ln x y y
ln x
x y x y 2z.
z y
，
f y
，
z
y
或
f
y
(
x
,
y).
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说明
f x ( x0 , y0 ) f x ( x, y) xx0 y y0
f y ( x0 , y0 ) f y ( x, y) xx0 y y0
(3) 偏导数概念可推广到二元以上的函数
如u f ( x, y, z)在( x, y, z)处
f ( x x, y, z) f ( x, y, z)
f
x
(
x,
y,
z)
lim
x0
x
,
f y (x,
y, z)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x,
y, z) ,
f ( x, y, z z) f ( x, y, z)
f
z
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
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课程相关
• 教材及相关辅导用书
▫ 《高等数学》第一版，肖筱南主编,林建华等编著, 北京大学出版社2010.8.
▫ 《高等数学精品课程下册》第一版，林建华等编著, 厦门大学出版社,2006.7. 《高等数学》第七版,同济大学数学教研室主编，高 等教育出版社,2014.7. 《高等数学学习辅导与习题选解》（同济第七版上 下合订本）同济大学应用数学系编 高等教育出版 社,2014.8.
对 y 的偏导数， 为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
记为 z y
，f x x0 y
，zy
x x0
或 x x0
y y0
f y ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
即f y (x0,
y0 )
lim
y0
f
( x0 ,
y0
y) y
f
(x0,y0 )
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，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 y y0
或
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
例如，极限(1)可以表示为
fx (x0 ,
y0 )
lim
x0
f (x0
x, y0 ) x
f
( x0 ,y0 )
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同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处