四川大学线性代数3.3和4.1节.ppt

n
akn Akj xn
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
而其余xi i j的系数均为0; 又等式右端为Dj .
于是 Dxj Dj j 1,2,,n.
2
当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
第三章 矩阵的逆
第二节 初等矩阵和逆矩阵的求法
1
矩阵的初等变换
1. 用一个非零数乘矩阵的某行；（列） ri k ci k
2. 交换矩阵的两行；（列）
ri rj ci c j
（列）
3. 把矩阵某行的k倍加到另一行（. 列）ri krj ci kc j
以上三种对矩阵施行的变换称为矩阵的初等行变换.
3. 若作初等行变换时,出现全行为0，则矩阵的行列式 等于0。结论：矩阵不可逆!
练习 ：用初等行变换求可逆矩阵A的逆矩阵
0 2 1
A
1 1
1 1
21
0 2 1 1 0 0
A
E
1 1
1 1
2 1
0 0
1 0
0 1
1 r1 r2 0
1 2 0 1 0 2 1 1 0 0
1 1 1 0 0 1
a31 a32 a33
则三元线性方程组的解为:
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
.
10
Cramer法则
a11 x1 a12 x2
若n元线性方程组
a21
x1
a22 x2
an1 x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2 (1)
ann xn bn
a11 a12
a1n
的系数行列式 D A a21 a22
a2n 0
an1 an2
ann
则方程组（１）有唯一解，且
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
, , xn
Dn D
.
11
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a a b a a 11
1, j1
6
1 1 2 0 1 0
1 1 2 0 1 0
r3r1 0
2
1
1
0
0
r2r3 0
2
0
1
1
1
0 0 1 0 1 1
0 0 1 0 1 1
1 1 2 0 1 0
r212 0 1
0
1
1
1
0
0
1
2 0
2 1
2 1
1 0 0 1 3 5
2 2 2
Fra Baidu bibliotek
r1 r22r3 0 1 0
1 2
1 2
（列）
矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换.
注：对矩阵施行初等变换后得到的是一个新的矩阵，它和
原来的矩阵不同，两者间不能写“=”。
2
初等矩阵
由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
设A是m n矩阵，对A施行一次初等行变换， 相当于在A的左边乘一个相应的m阶初等矩阵； 对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边 乘一个相应的n阶初等矩阵。
3
用矩阵的初等变换求逆矩阵
用矩阵的初等行变换求逆矩阵方法
A E 初等 行变换 E A1
特别地， A B 初等 行变换 E A1B
用矩阵的初等列变换求逆矩阵方法
A E
初等 列变换
E A1
特别地，
A B
初等 列变换
E BA1
4
注： 1. A 与 E 每一次变换必须同步; 2. 求逆时,自始至终每一步都只能用初等行（列）变 换，千万不能夹杂任何初等列（行）变换.
1
1, j1
1n
Dj
a a b a a n1
n , j1
n
n , j1
nn
第j列
12
证明 用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j ,, Anj
依次乘方程组1的n个方程,得
a11 x1 a12 x2 a1n xn A1 j b1 A1 j
a21 x1 a22 x2 a2n xn A2 j b2 A2 j
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
9
三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
的系数行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 0,
3,
x3
D3 D
27 27
1,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
解 2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 0 6 r1 2r2 1 3 0 6
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
16
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
17
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
27,
x1
D1 D
81 27
an1 x1 an2 x2 ann xn Anj bn Anj
在把 n 个方程依次相加，得
n
ak1 Akj x1
k1
n
akj Akj x j
k1
n
n
akn Akj xn
k1
bk Akj ,
k 1
13
n
ak1 Akj x1
n
akj Akj x j
D2 D
,, xn
Dn D
.
14
由于方程组 2 与方程组 1 等价, 故
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,, xn
Dn D
.
也是方程组的 1 解.
15
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
1 2
0 0 1 0 1 1
1 3 5
2 2 2
A1
1 2
1 2
1 2
0 1 1
7
第三章 矩阵的逆
第三节 Cramer法则
8
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
即 当系数行列式 D≠0时, 二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21