2020年四川省泸州市高考数学一诊试卷(文科)

在 上是增函数，
∴ ＝ 在 上恒成立，
∴ 在 上恒成立，
令 ＝ ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ＝ ＝ ，
∴ ，即 的范围为 ．
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，己知 ＝ ．
Ⅰ 求 ；
Ⅱ 已知 ， 边上的高 ＝ ，求 的值．
【答案】
（1）∵ ＝ ，
∴由正弦定理可得 ＝ ，可得 ＝ ，可得 ＝ ，
柱体、锥体、台体的体积计算
直线与平面垂直
【解析】
Ⅰ 推导出 ，从而 平面 ，由此能证明 ．
Ⅱ 推导出点 到平面 的距离为点 到平面 的距离的 ， ，多面体 的体积为： ，由此能求出结果．
【解答】
（1）证明：∵ 是等边三角形， ＝ ，∴ ，
∵平面 平面 ，且交线为 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ．
（2）∵ ＝ ， ＝ ， ＝ ，
④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．如： ，所以④正确；
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知函数 （其中 为常数）．
Ⅰ 若 ＝ 是 的极值点，求函数 的减区间；
Ⅱ 若 在 上是增函数，求 的取值范围．
【答案】
（I）∵ ，
∴ ＝ ，
∵ ＝ 是 的极值点，
，求出 的值，则函数解析式可求，再由 的范围求得函数 在 上的最小值．
【解答】
函数 ＝ 图象向左平移 个单位得 ，
由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，
又 ，∴ ，得 ，
∴ ，
由于 ，∴ ，
∴ ，
当 ，即 ＝ 时， ．
9.我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在 中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值 ，这可以通过方程 确定 的值，类似地 的值为（）
（I）先对函数求导，然后结合已知可知 ＝ ，代入即可求解，
由题意可得， ＝ 在 恒成立，分离得 在 上恒成立，结合恒成立与最值的相互转化及二次函数的单调性即可求解．
【解答】
（I）∵ ，
∴ ＝ ，
∵ ＝ 是 的极值点，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
当 或 时， ，当 时， ，
即 ＝ 时符合题意，即 的单调单调递减区间 ，
设 的外接圆半径为 ，由正弦定理，得， ，所以 ，在 中， ＝ ，所以 ＝源自，解得 ＝ ，所以 ＝ ＝ ．
12.已知函数 ＝ 的图象与函数 的图象关于直线 ＝ 对称，函数 是最小正周期为 的偶函数，且当 时， ＝ ，若函数 ＝ 有 个零点，则实数 的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【考点】
函数的零点与方程根的关系
B
【考点】
球的体积和表面积
【解析】
根据题给信息，可以将直三棱锥补形成为直棱柱问题，即可用直棱柱外接球问题的求解方法求解．
【解答】
因为是直三棱锥，底面是正三角形，所以可以将图补形成为正三棱柱，如图所示，
此时三棱锥四个点的外接球，与三棱柱 个点的外接球是同一个，所以问题转化为求解正三棱柱外接球的问题，
设球心为 ，作 平面 ，连接 ， ，则 ＝ ，
④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．
【答案】
①②④
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
画出正方体的图形，在几何体中找出满足结论的图形即可．
【解答】
①每个面都是直角三角形的四面体；如： ，所以①正确；
②每个面都是等边三角形的四面体；如 ，所以②正确；
③每个面都是全等的直角三角形的四面体：这是不可能的，③错误；
∵ ，∴ ，∴ ．
∴
．
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
两角和与差的三角函数
【解析】
Ⅰ 由题意利用三角恒等变换化简函数 得解析式，再根据正弦函数的最值求得函数 的最小值及取最小值时 取值的集合．
Ⅱ 由题意利用函数 ＝ 的图象变换规律，求得 的解析式，再利用两角和的正弦公式求得 的值．
【解答】
过直线 作与 、 都相交的平面 ，
记 ＝ ， ＝ ，
则 且 ，
∴ ．
又 ， ＝ ，
∴ ．
∴ ．
6.函数 ＝ 的图象大致为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
利用排除法，根据函数值即可判断．
【解答】
当 时， ＝ ，故排除 ， ，
当 时， ， ，∴ ＝ ，故排除
7.己知 ， ， ， ＝ ，则下列选项中是假命题的为（）
Ⅰ 求证： ；
Ⅱ 求多面体 的体积．
【答案】
（1）证明：∵ 是等边三角形， ＝ ，∴ ，
∵平面 平面 ，且交线为 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ．
（2）∵ ＝ ， ＝ ， ＝ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∵ ＝ ，∴ ， ，
∴点 到平面 的距离为点 到平面 的距离的 ，
∴ ，
∴多面体 的体积为：
．
【考点】
【解答】
∵ 后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数 ＝ ＝ ，满足 ＝
可得 ，
因此，当 后甲桶中的水只有 升，
即 ，
即 ＝ ，
即为 ＝ ，
解之得 ＝ ，
经过了 ＝ 分钟，即 ＝（5）
11.如图，三棱锥 中， 平面 ，且 为等边三角形，若 ＝ ， ＝ ，则三棱锥 的外接球的表面积为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
Ⅱ 若将函数 的图象上所有点的横坐标扩大为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，且 ， ，求 的值．
【答案】
（1）∵函数 ＝ ＝ ＝ ，
故当 时，函数 取得最小值．
∴ 的最小值为 ， 取最小值时 取值的集合为 ．
（2）将函数 的图象上所有点的横坐标扩大为原来的 倍，纵坐标不变，
得到函数 的图象，且 ，∴ ．
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
当 或 时， ，当 时， ，
即 ＝ 时符合题意，即 的单调单调递减区间 ，
在 上是增函数，
∴ ＝ 在 上恒成立，
∴ 在 上恒成立，
令 ＝ ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ＝ ＝ ，
∴ ，即 的范围为 ．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
∴ ＝ ．
2.下列函数 中，满足“对任意 ， ，且 都有 ”的是（）
A.
B. ＝
C. ＝
D. ＝
【答案】
B
【考点】
函数单调性的性质与判断
【解析】
对任意 ， ，且 都有 ”，可知函数 在 上单调递减，结合选项即可判断．
【解答】
“对任意 ， ，且 都有 ”，
∴函数 在 上单调递减，
结合选项可知， 在 单调递增，不符合题意，
A.
B. ￢
C.
D. ￢
【答案】
C
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
命题 ：由三角函数定义，即可判断出真假；命题 ：由求根公式，即可判断出真假．根据复合命题真值表判断结果即可．
【解答】
命题 ：由三角函数的定义，角 终边与单位圆交于点 ，
过 作 轴，垂足是 ，单位圆交 轴于点 ，则 ＝ ，弧长 即为角 ；显然 弧长 ；
【解答】
∵ ＝ ＝
＝
∵
当 ＝ 时，函数有最小值
己知正方体有 个不同顶点，现任意选择其中 个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成平面图形或空间几何体．在组成的空间几何体中，可以是下列空间几何体中的________．
①每个面都是直角三角形的四面体；
②每个面都是等边三角形的四面体；
③每个面都是全等的直角三角形的四面体：
（1）∵函数 ＝ ＝ ＝ ，
故当 时，函数 取得最小值．
∴ 的最小值为 ， 取最小值时 取值的集合为 ．
（2）将函数 的图象上所有点的横坐标扩大为原来的 倍，纵坐标不变，
得到函数 的图象，且 ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
∴
．
如图，己知 为圆锥 底面的直径，点 是圆锥底面的圆周上， ＝ ＝ ， ， ＝ ， 是 上一点，且平面 平面 ．
要使函数 ＝ 与 ＝ 的图象有 个交点，则
，且 ，即
∴实数 的取值范围是 ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
函数 的定义域为________．
【答案】
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由题意可得， ，解不等式即可求解．
【解答】
由题意可得， ，
解可得，
即函数的定义域为
【解答】
（1）∵ ＝ ，
∴由正弦定理可得 ＝ ，可得 ＝ ，可得 ＝ ，
∵ 为三角形内角， ，
∴ ＝ ，
∵ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴代入 ， ＝ ， ，可得 ，
∵由余弦定理可得 ＝ ＝ ，
∴代入 ，可得 ＝ ，
∴解得 ，或 （舍去），
∴ ．
己知函数 ＝ ．
Ⅰ 求函数 的最小值及取最小值时 取值的集合；
2020年四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ＝ ，集合 ＝ ，则 ＝（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
可以求出集合 ，然后进行交集的运算即可．
【解答】
＝ ， ＝ ，
∴ ， 是真命题；
命题 ：解方程 ＝ ，则 ＝ ，因此 ， ＝ ，是假命题．
则下列选项中是假命题的为 ．而 ， ， 都是真命题．
8.函数 ＝ 的图象向左平移 个单位后关于原点对称，则函数 在 上的最小值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
由函数图象的平移得到 ，再由函数为奇函数及 的范围得到
【解析】
把函数 ＝ 有 个零点，转化为 ＝ 有 个不同根，画出函数 ＝ 与 ＝ 的图象，转化为关于 的不等式组求解．
【解答】
由函数 ＝ 的图象与函数 的图象关于直线 ＝ 对称，得 ＝ ，
函数 是最小正周期为 的偶函数，当 时， ＝ ＝ ，
函数 ＝ 有 个零点，即 ＝ 有 个不同根，
画出函数 ＝ 与 ＝ 的图象如图：
10.若将甲桶中的 水缓慢注入空桶乙中，则 后甲桶中剩余的水量符合衰减函数 ＝ （其中 是自然对数的底数）．假设过 后甲桶和乙桶的水量相等，再过 后，甲桶中的水只有 ，则 的值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
函数与方程的综合运用
【解析】
由题意，函数 ＝ ＝ 满足 ，解出 ．再根据 ，建立关于 的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出 的值，由 ＝ 即可得到．
【解答】
＝ ，则 ＝ ，
＝ ，则 ＝ ，
是 的真子集，所以前者是后者的充分不必要条件，
4.已知函数 ＝ 是偶函数，且 ＝ ，则 ＝（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
由函数 ＝ 是偶函数，得 ＝ ，得 ＝ ＝（5）
【解答】
∵函数 ＝ 是偶函数，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝（5）
∴ ， ，
在 中， ，
∵ ＝ ，∴ ， ，
∴点 到平面 的距离为点 到平面 的距离的 ，
∴ ，
∴多面体 的体积为：
．
己知函数 ＝ ， （其中 是常数），
Ⅰ 求过点 与曲线 相切的直线方程；
Ⅱ 是否存在 的实数，使得只有唯一的正数 ，当 时不等式 恒成立，若这样的实数 存在，试求 ， 的值；若不存在，请说明理由．
∵ 为三角形内角， ，
∴ ＝ ，
∵ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴代入 ， ＝ ， ，可得 ，
∵由余弦定理可得 ＝ ＝ ，
∴代入 ，可得 ＝ ，
∴解得 ，或 （舍去），
∴ ．
【考点】
正弦定理
【解析】
Ⅰ 由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合 ，可得 ＝ ，结合范围 ，可求 ．
Ⅱ 由已知利用三角形的面积公式可求得 ，由余弦定理可得 ＝ ，解方程可求 的值．
＝ 在 单调递减，符合题意，
＝ 在 单调递增，不符合题意，
＝ 在 单调递增，不符合题意，
3. “ ＝ ”是“ ＝ ”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
解出关于 的集合，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．
故答案为：
设函数 ，那么 的值________．
【答案】
【考点】
函数的求值
求函数的值
【解析】
推导出 ＝ ＝ ，由此能求出结果．
【解答】
∵函数 ，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝（9）
（文）函数 ＝ 的最小值为________．
【答案】
【考点】
二倍角的三角函数
三角函数的最值
【解析】
利用二倍角公式对已知函数化简， ＝ ＝ 结合 及二次函数的性质可求函数的最小值
5.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）
A.异面
B.相交
C.平行
D.不能确定
【答案】
C
【考点】
平面与平面平行的性质
平面与平面平行的判定
【解析】
由题意设 ＝ ， ， ，然后过直线 作与 、 都相交的平面 ，利用平面与平面平行的性质进行求解．
【解答】
设 ＝ ， ， ，
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
类比推理
【解析】
通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．
【解答】
由已知代数式的求值方法：
先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），
可得要求的式子．
令 ，
则两边平方得，则 ，
即 ＝ ，解得， ＝ ， ＝ 舍去．