2020考研高数(一)真题及答案解析

2020年考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似．【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()nii X μ=-∑服从2χ分布． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ．【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a．【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ．【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明：（I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

2020年考研数学一真题及答案解析

（4）【答案】（A）.
【解析】若 anrn 发散，则 r R ，否则，若 r R ，由阿贝尔定理知， anrn
n 1
n 1
绝对收敛，矛盾. 故应选（A）.
（5）若矩阵 A 经过初等列变换化成 B ，则
（）
（A）存在矩阵 P ，使得 PA B.
（B）存在矩阵 P ，使得 BP A.
（C）存在矩阵 P ，使得 PB A.
x a2 a1
y b2 b1
z c2 c1
与直线 L2
:
x a3 a2
y b3 b2
z c3 c2
相交于一
ai
点，法向量 αi
bi
,
i
1, 2,3 .则
ci
（）
（A） α1 可由 α2 , α3 线性表示.
（B） α2 可由 α1, α3 线性表示.
（C） α3 可由 α1, α2 线性表示. （6）【答案】（C）.
f x
,
f y
, 1
0,0
fx0, 0, fy 0, 0 , 1 ，故
n x, y, f x, y fx0, 0 x fy 0, 0 y f x, y x2 y2 ，
3
n x, y, f x, y
x2 y2
则 lim
lim
0. 故应选（A）.
x, y0,0
x2 y2
x, y0,0
x2 y2
（4）设 R 为幂级数 an xn 的收敛半径， r 是实数，则 n 1
（）
（A） anrn 发散时， r R . n 1
（B） anrn 发散时， r R . n 1
（C） r R 时， anrn 发散. n 1

2020-数一真题答案解析

x→0
e
1 x−
1
−
1 ln(1 +
x)
=
lim
x→0
ln(1+ x) − ex (ex −1) ln(1+
+1 x)
=
lim
x→0
ln(1 +
x) − x2
ex
+1
2020 数学（一）真题第 5 页共 13 页
1 − ex = lim 1+ x = −1.
x→0 2x
（10）若
=x y =
∑ 可得
P
100 i =1
Xi
55
的近似值为
(A) 1− Φ(1)
(B) Φ(1)
(C) 1− Φ(2)
(D) Φ(2)
【答案】B.
【解析】由题意= EX 1= ，DX 1 ，
2
4
∑ E
100 i =1
= Xi X
1= 00EX
50 ，
∑ D
1= i0=01 X i
1= 00DX
25 .
∞
∑ (C) | r | R 时， a2nr2n 发散 n=1
∞
∑ (B) a2nr2n 收敛时， | r | R n=1
∞
∑ (D) | r | R 时， a2nr2n 收敛 n=1
【答案】A.
（5）若矩阵 A 经初等列变换化成 B ，则
(A) 存在矩阵 P ，使得 PA = B
(B) 存在矩阵 P ，使得 BP = A
1 x2 2 0
5
= 52 ⋅
1 2
2
⋅ x5 .
（2）设函数 f (x) 在区间 (−1，1) 内有定义，且 lim f (x) = 0 ，则 x→0

2020年考研数学一真题(含完整答案)

x2
+
y2
=
2，方向为逆时针方向.
(17)
( 设数列 {an} 满足 a1 = 1，(n + 1)an+1 = n +
1 2
)
an.
证明：当
|x|
<
1
时，幂级数
∑∞
anxn
收敛，
n=1
并求其和函数.
√ (18) 设 Σ 为曲面 z = x2 + y2(1 ≤ x2 + y2 ≤ 4) 的下侧，f (x) 为连续函数. 计算
.
则
d2 y dx2
=
t=1
.
(11)
设
f (x)
满足
f ′′(x)
+
af ′(x)
+
f (x)
=
0(a
>
0)，f (0)
=
m，f ′(0)
=
n，则
´ +∞
0
f (x)dx
=
.
(12)
设
f (x,
y)
=
´ xy
0
ext2 dt，则
∂2f ∂x∂y
=
(1,1)
.
a 0 −1 1
(13) 行列式 0
a
1 −1 =
,·-·O X
.r-0 X
.r-·•O X
排除 CD)'故应选 CC). (3) 【答案】A
。, + 【解析】
利用函数z=
一
.I 位，y)在(x
Yo)处可微的充要条件Jim 幻 -J'心 . X 汇�,Jt:,x2
- J:t:,y= t:,yZ

2020年考研数学(一)真题及解析

2020年考研数学（一）真题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1. +→0x 时，下列无穷小量中最高阶是（）A.()⎰-xt dt e 012B.0ln(1x dt +⎰C.⎰xdt t sin 02sin D.⎰-xdt t cos 103sin【答案】D【解析】()A 22++3200(1)(1)1lim lim33xxt t x x e dt e dt x x →→--==⎰⎰，可知0x +→，2301(1)~3x t e dt x -⎰， ()B ++500222limlim ln(155xx x xx dt→→==+⎰，可知5202ln(1~5x dt x +⎰，0x +→ ()C +++s 3in 2200020sin sin(sin )co cos 1limlim lim 333s x x x xx x t dt x x x →→→===⋅⎰，可知sin 2301sin ~3x t dt x ⎰，0x +→()D ++1co 50s 0limlim x x x →→-===⎰，可知1cos 50~x -⎰，0x +→ 通过对比，⎰-xdt t cos 103sin 的阶数最高，故选()D2. 设函数()x f 在区间()1,1-内有定义，且()0lim 0=→x f x ，则（）A. 当()0lim=→xx f x ，()x f 在0=x 处可导.B. 当()0lim2=→xx f x ，()x f 在0=x 处可导.C. 当()x f 在0=x 处可导时，()0lim=→xx f x .D. 当()x f 在0=x 处可导时，()0lim2=→xx f x .【答案】C 【解析】当()f x 在0x =处可导时，由()0(0)lim 0x f f x →==，且0()(0)()(0)limlim 0x x f x f f x f x x →→-'==-，也即0()lim x f x x →存在，从而()0lim0=→xx f x ，故选C 3. 设函数(),f x y 在点()0,0处可微，()00,0=f ，()0,01,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂∂∂=y f x f n 非零向量d 与n 垂直，则（）A.()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x n y x 存在. B.()()()()0,,,lim220,0,=+⨯→yx y x f y x n y x 存在.C. ()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x d y x 存在. D.()()()()0,,,lim220,0,=+⨯→yx y x f y x d y x .【答案】A【解析】函数(),f x y 在点()0,0处可微，()00,0=f ，(,)(0,0)(0,0)(0,0)0x y f x y f f x f y→→''---=，00(,)(0,0)(0,0)0x y f x y f x f y→→''--=由于()(),,,n x y f x y ⋅=(0,0)(0,0)(,)x y f x f y f x y ''+-，所以()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x n y x 存在4. 设R 为幂级数1nn n a r∞=∑的收敛半径，r 是实数，则（）A.1nn n a r∞=∑发散时，R r ≥. B.1nn n a r∞=∑发散时，R r ≤.C.R r ≥时，1nn n a r∞=∑发散. D. R r ≤时，1nn n a r∞=∑发散.【答案】A【解析】R 为1nn n a r∞=∑的收敛半径，所以1nn n a r∞=∑在(,)R R -必收敛，所以1nn n a r∞=∑发散时，R r ≥.故选A5. 若矩阵A 经初等列变换化成B ，则（）A. 存在矩阵P ，使得B PA =.B.存在矩阵P ，使得A BP =.C.存在矩阵P ，使得A PB =.D. 方程组0=Ax 与0=Bx 同解. 【答案】B【解析】A 经过初等列变换化成B ，存在可逆矩阵1P 使得1AP B =,令11PP -=，得出A BP =,故选B6. 已知直线12121212:c c b b y a a x L -=-=-与直线23232322:c c b b y a a x L -=-=-相交于一点，法向量i i i i a b c α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3,2,1=i . 则 A. 1a 可由32,a a 线性表示. B. 2a 可由31,a a 线性表示. C.3a 可由21,a a 线性表示. D. 321,,a a a 线性无关. 【答案】C【解析】令22211112:x a y b c L t a b c ---===，即有21212121=+a a x y b t b t z c c αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由2L 方程得32323223=+a a x y b t b t z c c αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两条线相交，得2132++t t αααα=即2123123+(1)t t t t ααααααα-=⇔+-=，故选C 7. 设A ，B ，C 为三个随机事件，且()()()41===C P B P A P ，()0=AB P ， ()()121==BC P AC P ，则A ，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为 A. 43. B. 32. C. 21. D. 125. 【答案】D【解析】()()()(())P ABC P ABUC P A P A BUC ==-111()()()()004126P A P AB P AC P ABC =--+=--+=()()()(())P BAC P B AUC P B P B AUC ==-111()()()()004126P B P AB P BC P ABC =--+=--+=()()()(())P CAB P C AUB P B P C AUB ==-1111()()()()04121212P C P CB P CA P ABC =--+=--+=所以1115()()()661212P ABC P ABC P ABC ++=++= 8. 设n x x x ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，其中()()2110====X P X P ， ()x Φ表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得⎪⎭⎫⎝⎛≤∑=100155i i X P 的近似值为A. ()11Φ-.B. ()1Φ.C.()2,01Φ-.D.()2,0Φ. 【答案】B【解析】由题意12EX =，14DX =,根据中心极限定理1001~(50,25)i i X N =∑,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑=100155i i X P=10050(1)iX P ⎛⎫- ⎪≤=Φ⎝⎭∑二、填空题：9~14小题，每小题2分，共24分.请将解答写在答题纸指定位置上. 9. ()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--→x e x x 1ln 111lim 0 . 【答案】-1【解析】()()()()2000ln 11ln 1111lim lim lim 1ln 1(1)ln 1x x x x x x x x e x e e x e x x →→→⎡⎤⎡⎤+-++-+-==⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦ =()2222001111ln 1122lim lim 1xx x x x x x x e x x→→----++-+==-10. 设()⎪⎩⎪⎨⎧++=+=1ln 122t t y t x ，则==122t dx y d .【答案】【解析】1dy dy dt dx dx dt t ===22231=dy dy d d d y dt dx dt dx dx dt dx t t t⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===--得212t d y dx==11. 若函数()x f 满足()()()()00>=+'+''a x f x f a x f ，且()m f =0，()n f ='0，则()f x dx +∞=⎰.【答案】n am +【解析】特征方程210a λλ++=，则1212,1a λλλλ+=-⋅=，所以两个特征根都是负的。

2020考研数学(一)答案解析

E ( X ) 0,
π
1
2
π
E ( XY ) E ( X sin X )2π
x sin x
dx
02x sin xdx
π
π
2
2
π
2
π
π
02xd cos x
x cos x|0202cos xdx
π
π
2
sin x|
π
2
.
02
π
π
9
故 cov( X , Y )2π0π2.
三、解答题
（15）（本题满分10分）
f ( x) 0.
x
x
综上，
f ( x )d x
f ( x ) af ( x)
lim
f
( x ) af ( x )
f (0) af (0)
am n.
0
0
x
2f
12.f(x,y)0xyext2dt，则
．
x y
(1,1)
（12）【答案】4e.
【解析】因为
2f
2f
，又
f
ex xy2xxex3y2,
x y
y x
x , y0,0x2y2
x , y0,0
x2y2
（4）设R为幂级数anxn的收敛半径，r是实数，则
（
）
n1
（A）anrn发散时，
r
R.
n 1
（B）anrn发散时，
r
R.
n 1
（C）
r
R时，anrn发散.
n 1
（D）
r
R时，anrn发散.
n 1
（4）【答案】（A）.
【解析】若anrn发散，则

2020年考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似．【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()nii X μ=-∑服从2χ分布． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ．【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a．【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ．【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明：（I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)

2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。

XXX 时，下列无穷小量中最高阶是（）A。

$\int_{x^2}^{et-1}dt$B。

$\int_0^x\frac{3\ln(1+tdt)}{t}$C。

$\int_0^x\frac{\sin x}{\sin t^2}dt$D。

$\int_0^x\frac{1-\cos x}{\sin t^2}dt$2.设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$，则（）A。

当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{|x|}=0$，$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。

B。

当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0$，$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。

C。

当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{|x|}=0$。

D。

当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$。

3.设函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，$f(0,0)=0,n=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partialx}(0,0)\\\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\-1\end{pmatrix}$ 非零向量 $d$ 与 $n$ 垂直，则（）A。

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\cdot(x,y,f(x,y))$ 存在。

B。

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\times(x,y,f(x,y))$ 存在。

数1--20真题答案

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）当0x +→，下列无穷小量中最高阶的是（A ）2(1)xt e dt −⎰ （B ）0ln(1xdt +⎰（C ）sin 20sin xt dt ⎰．（D ）1cos 0−⎰【答案】（D ）．【详解】()2220(1)1xt x e dte x '−=−⎰；()320ln(1ln(1xdt x '=⎰；()()sin 2220sin sin sin cos xt dt x x x '=⎰； ()21cos342()24x dt xx x −'=⎰．故选（D ）．（2）设函数()f x 在区间(1,1)−有定义，且0lim ()0x f x →=，则（）（A ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导（B ）当20()lim0x f x x→=时，()f x 在0x =处可导（C ）()f x 在0x =处可导时，0x →=（D ）()f x 在0x =处可导时，20()lim0x f x x→= 【答案】（C ）．【详解】()f x 在0x =处可导，所以在0x =处连续，则0lim ()(0)0x f x f →==，'(0)00x x f →→==⋅=，故选（C ）．（3）(,)f x y 在()00，可微，(0,0)0f =，()(0,0),,1x y f f ''=−n ，非零向量⊥αn ，则（）（A ）(,)limx y → （B ）(,)limx y →（C）(,)limx y →存在（D）(,)limx y →存在【答案】（A ）．【详解】(,)f x y 在()00，可微，则(,)(,)(0,0)(0,0)(0,0)lim0x y f x y f f x f y→''−−−=，即(,)(,)(,)limlimlimx y x y x y →→→===（4）R 为幂级数1nn n a x∞=∑的收敛半径，r 为实数，则（）（A ）221nnn ar∞=∑发散，则r R ≥ （B ）221n nn ar ∞=∑收敛，则r R ≤（C ）r R ≥，221nn n a r∞=∑发散（D ）r R ≤，则221nn n a r ∞=∑收敛【答案】（A ）．【详解】R 为1nn n a x∞=∑的收敛半径，设r R <，则1nn n a r∞=∑绝对收敛，而212221221111+nn nn nn n n n n n n a ra ra ra r ∞∞∞∞−−=====≥∑∑∑∑由比较判别法知221nnn ar ∞=∑绝对收敛，221n n n a r ∞=∑收敛。

2020考研数一真题答案及详细解析

一、选择题(1)【答案】D【解析】（方法一）利用结论：若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续，且当x-o时，f位）～g(x)'则J勹(t)dt �r g(t)dt.(A)『(/-l)dt� 『t 2dt =气3(B)『ln(l +万）dt �rt 令dt=气5(C) f"工s int 2dt �厂r t 2dt�f c 2d t =丘。

3(D)J :-co sx /忒臣了d t -I -c os rt i d t �I :''l令d t=岊（占）寺x故应选CD).（方法二）设J(x)和<p (x)在x =O某邻域内连续，且当x-0时，f(x)和<p (x)分别是x 的m阶和n阶无穷小，则『(,-)J(t)dt 是x -0时的n(m+ 1)阶无穷小．。

CA)r C / -1) d t , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。

ln(l + #)dt,m =立，n= 1, 则n(m+l)=立。

2 2.CC)厂sint 2dt, m =2, n =1 , 则n(m+ 1)=3.。

1一cos,·3叫产t,m=一，n= 2, 则n(m+l)=5.。

2故应选(D).(2)【答案】C【解析】（方法一）直接法若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x=O处连续，且f(O)=lim f(x) = 0.工-o故应选(C).f(x) -f(O) = limf(x)j'(O) = Jim;-0X—r•OXf(x)f(x) lim=lim ——•X =j'(0)• 0 = 0工-o,/了.,·-oX�（方法二）排除法取f (x)= {X3, X # 0，则l im f位）=o ,且1,X= 0J-0 x 3f(x ) x 3lim·f(x)=lim _。

J了工-o�= O ,lim 一=lim —=22 工-oXr--0 X但f(x)在x=O处不可导，因为f(x)在X = 0处不连续，则排除选项(A),CB).若取f(x)= x , 则lim f(x)= 0, 且f(x)在x =O处可导，但J-0• 5 •叫排除CD )'故应选CC).(3)【答案】A2 ,·-·OX.r-0 X.r -•O X【解析】利用函数z = .I 一位，y)在(x 。

2020年考研数学一真题及答案(全)

2020年考研数学一真题及答案(全)全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1.若函数 $f(x)=\begin{cases}1-\cos x。

& x>0 \\ a x + b。

& x\leq 0\end{cases}$ 在 $x$ 连续，则 $ab=$答案：A详解：由 $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)$ 得 $ab=1$。

2.设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(x)f'(x)>0$，则A) $f(1)>f(-1)$；(B) $f(1)f(-1)$；(D) $f(1)<f(-1)$。

答案：C详解：$f(x)f'(x)>0$ 表示 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 和$(0,+\infty)$ 上单调，且 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在$(0,+\infty)$ 上单调递增，所以 $f(1)>f(-1)$。

3.函数 $f(x,y,z)=xy+z$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿着向量$n=(1,2,2)$ 的方向导数为A) $12$；(B) $6$；(C) $4$；(D) $2$。

答案：D详解：方向余弦$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+2^2+2^2}}=\frac{1}{3}$，$\cos\beta=\frac{2}{3}$，$\cos\gamma=\frac{2}{3}$，偏导数$f_x'=2xy$，$f_y'=x^2$，$f_z'=2z$，代入 $\cos\alphaf_x'+\cos\beta f_y'+\cos\gamma f_z'$ 即可。

2020-数一真题答案解析

由α1 ，α2 线性表示，故应选(C).
（ 7 ）设 A，B ，C 为三个随机事件，且 P= ( A) P= (B) P= (C) 1 ，P(= AB) 0 , 4
P= ( AC) P= (BC) 1 ，则 A，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为 12
(A) 3 4
(B) 2 3
L
4x 4x2
− +
y y2
dx
+
x+ y 4x2 + y2
dy
，其中
L
是
x2
+
y2
= 2 ，方向
为逆时针方向.
【解析】
2020 数学（一）真题第 8 页共 13 页
0= ，n

∂f ∂x
，∂f ∂y
，−1
(0 ，0)
且非
零向量 d 与 n 垂直，则
(A) lim | n ⋅ (x ，y ，f (x ，y)) | = 0 存在
( x ，y)→(0，0)
x2 + y2
(B) lim | n× (x ，y ，f (x ，y)) | = 0 存在
( x ，y)→(0，0)
y= − b2 b1
z
− c2 c1
与直线
L2
：x= − a3 a2
y= − b3 b2
z − c3 相交于 c2
一点，法向= 量 αi = abii ，i 1，2 ，3.则 ci
(A) α1 可由 α2 ，α3 线性表示 (C) α3 可由 α1 ，α2 线性表示
(B) α2 可由 α1 ，α3 线性表示 (D) α1 ，α2 ，α3 线性无关
x a3 a2

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版附答案解析

sin
t2dt) '
=
sin
x2
cos
x
~
x2
；
0
1-cos x
D 选项 (
sin3 tdt) ' = sin x
sin3(1− cos x) ~
1 x4 .
0
2
2.设函数 f ( x) 在区间（-1,1）内有定义，且 lim f (x) = 0 ，则（） x→0 A 当 lim f (x) = 0 ， f ( x) 在 x = 0 处可导。 x→0 x B 当 lim f (x) = 0 ， f ( x) 在 x = 0 处可导。 x→0 x C 当 f ( x) 在 x = 0 处可导时， lim f (x) = 0 。 x→0 x
a1 a2 a2 − a3 点组成的向量与两直线的方向向量共面，故 b1 b2 b2 − b3 = 0 ，故选 C .
c1 c2 c2 − c3
7. 设 A, B,C 为三个随机事件，且 P(A) = P(B) = P(C) = 1 , P(AB) = 0
4
P(AC) = P(BC) = 1 ，则 A, B,C 中恰有一个事件发生的概率为
A 存在矩阵 P ，使得 PA = B B 存在矩阵 P ，使得 BP = A
C 存在矩阵 P ，使得 PB = A
D 方程组 Ax = 0 与 Bx = 0 同解
答案：B
解析：矩阵 A 经初等列变换化成 B ，根据左行右列，应该选 B .
6.
已
知
直
线
L1：x
− a2 a1
=
y − b2 b1
=
z − c2 c1
12 A. 3

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

A 、B 、C 、D 、A 、B 、C 、D 、A 、B 、C 、D 、A 、B 、C 、D 、2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析第1题单项选择题（每题4分，共8题，共32分）下列每小题的四个选项中，只有一项是最符合题意的正确答案，多选、错选或不选均不得分。

1、当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是( )．2、设函数f(x)在区间(-1，1)内有定义，且，则( )3、设函数f(x ，y)在点(0，0)处可微f(0，0)=0，且非零向量d 与n 垂直，则( )．4、设R 为幂级数的收敛半径，r 是实数，则( )．5、若矩阵A 经初等列变换化成B ，则( )．A 、存在矩阵P ，使得PA=BB 、存在矩阵P ，使得BP=AC 、存在矩阵P ，使得PB=AD 、方程组Ax=0与Bx=0同解A 、可由，线性表示B 、可由，线性表示C 、可由，线性表示D 、，，线性无关A 、B 、C 、D 、A 、1-(1)B 、(1)C 、 1-(0．2)D 、 (0．2)6、已知直线相交于一点，法向量，则( )．7、设A ，B ，C 为三个随机事件，P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=O,P(AC)=P(BC)=1，则A ，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为( )．8、设X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的简单随机样本，其中P{X=0}=P{X=1}=，(x)表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得的近似值为( )．第2题填空题（每题4分，共6题，共24分）将正确答案写在题中横线上（或者“括号里”）的空白处。

9、10、11、若函数f(x)满足f”(x)+af’(x)+f(x)=0(a>0)，且f(0)=m，f'(0)=n，则12、13、14、设X服从区间(-)上的均匀分布，Y=sinX，则Cov(X，Y)=——．第3题解答题（每题10.44分，共9题，共93.96分）根据所给材料回答问题。

2020年考研数学一真题详细答案解析

一、选择题(1)【答案】D【解析】（方法一）利用结论：若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续，且当x-o时，f位）～g(x)'则J勹(t)dt �r g(t)dt.(A)『(/-l)dt� 『t 2dt =气3(B)『ln(l +万）dt �rt 令dt=气5(C) f"工s int 2dt �厂r t 2dt�f c 2d t =丘。

3(D)J :-co sx /忒臣了d t -I -c os rt i d t �I :''l令d t=岊（占）寺x故应选CD).（方法二）设J(x)和<p (x)在x =O某邻域内连续，且当x-0时，f(x)和<p (x)分别是x 的m阶和n阶无穷小，则『(,-)J(t)dt 是x -0时的n(m+ 1)阶无穷小．。

CA)r C / -1) d t , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。

ln(l + #)dt,m =立，n= 1, 则n(m+l)=立。

2 2.CC)厂sint 2dt, m =2, n =1 , 则n(m+ 1)=3.。

1一cos,·3叫产t,m=一，n= 2, 则n(m+l)=5.。

2故应选(D).(2)【答案】C【解析】（方法一）直接法若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x=O处连续，且f(O)=lim f(x) = 0.工-o故应选(C).f(x) -f(O) = limf(x)j'(O) = Jim;-0Xr•OXf(x)f(x) lim=lim ——•X =j'(0)• 0 = 0工-o,/了.,·-oX�（方法二）排除法取f (x)= {X, X # 0，则l im f位）=o ,且1,X= 0J-0 x 3f(x ) x 3lim·f(x)=lim _。

J了工-o�= O ,lim 一=lim —=22 工-oXr--0 X但f(x)在x=O处不可导，因为f(x)在X = 0处不连续，则排除选项(A),CB).若取f(x)= x , 则lim f(x)= 0, 且f(x)在x =O处可导，但J-0• 5 •叫排除CD )'故应选CC).(3)【答案】A2 ,·-·OX.r-0 X.r -•O X【解析】利用函数z = .I 一位，y)在(x 。

2020考研数学一真题及答案

0 0⎰⎰x →0→ →2020考研数学一真题及答案一、选择题：1~8 小题，第小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1. x → 0+ 时，下列无穷小阶数最高的是 A. ⎰ x (e t 2-1)d tB.⎰ x ln (1+ t 3)d tC.sin x sin t 2d t1-cos xD.1. 答案：Dsin 3 t d t2. 设函数 f (x ) 在区间（-1，1）内有定义，且lim f ( x ) = 0, 则（）A. 当limxB. 当limx →0f (x )= 0, f ( x )在x = 0 处可导. | x |f (x )= 0, f ( x )在x = 0 处可导.C. 当 f (x )在x = 0处可导时,limx 0D. 当 f (x )在x = 0处可导时,limx →0f (x ) = 0.| x |f (x )= 0.x 2 + y 2x 2 + y 2x 2 + y 2x 2 + y 2x 2 + y 2x 2 + y 22. 答案：B解析: limf (x )= 0 ∴limf (x )= 0 ∴ limf (x )= 0, lim f (x ) = 0x →0x →0| x |x →0+x x →0-x∴limf (x )= 0, lim f ( x ) = 0x →0xx →0∴lim f (x ) - f (0) = lim f (x ) = 0 = f '(0) x →0 x - 0 x →0 x∴ f (x ) 在 x = 0 处可导∴选 Blim ( x , y)→(0,0)lim ( x , y)→(0,0)lim ( x , y)→(0,0)lim ( x , y)→(0,0) | n ⋅ ( x , y , f ( x , y )) |= 0存在| n ⨯( x , y , f ( x , y )) |= 0存在| d ⋅ ( x , y , f ( x , y )) |= 0存在| d ⨯( x , y , f ( x , y )) |= 03. 答案：A解析：f (x , y )在(0, 0) 处可微. f (0, 0)=0∴limx →0 y →0f (x , y ) - f (0, 0) - f x '(0, 0) ⋅ x - f y '(0, 0) ⋅ y= 0即lim x →0y →0f (x , y ) - f x '(0, 0) ⋅ x - f y '(0, 0) ⋅ y= 0n ⋅ ( x , y , f (x , y ) ) = f x '(0, 0)x + f y '(0, 0) y - f (x , y )n ⋅ ( x , y , f (x , y ) )A. B. C. D.4.设 R 为幂级数∑ a r 的收敛半径，r 是实数，则（）A.∑ a r 发散时，| r |≥ RB.∑ a r 发散时，| r |≤ RC.| r |≥ R 时，∑ a r 发散D.| r |≤ R 时，∑ a r 发散∵R 为幂级数∑ a x 的收敛半径.∴∑ a x 在(-R , R ) 内必收敛.∴∑ a r 发散时，| r |≥ R .1 1 ∴ lim( x , y )→(0,0)= 0 存在∴选 A.∞n n n =1∞n n n =1∞n nn =1∞n nn =1∞n nn =14. 答案：A解析：∞n n n =1∞n n n =1∞n n n =1∴选 A. 5. 若矩阵 A 经初等列变换化成 B ，则（）A. 存在矩阵 P ，使得 PA =BB. 存在矩阵 P ，使得 BP =AC. 存在矩阵 P ，使得 PB =AD. 方程组 Ax =0 与 Bx =0 同解 5. 答案：B 解析：A 经初等列变换化成 B. ∴存在可逆矩阵 P 1 使得 AP 1 = B∴ A = BP -1令P = P -1∴ A = BP .∴选B .6.已知直线 L : x - a 2 = y - b 2 = 2 - c 2 与直线 L : x - a 3 = y - b 3 = 2 - c 3 相交于一点，法1⎡a i ⎤ a 1 b 1 c 1a 2b 2c 2 向量 a = ⎢b ⎥,i = 1, 2, 3. 则i ⎢ i ⎥ ⎢⎣c i ⎥⎦A. a 1 可由 a 2 , a 3 线性表示B. a 2 可由 a 1, a 3 线性表示C. a 3 可由 a 1, a 2 线性表示D. a 1, a 2 , a 3 线性无关6.答案：C 解析：令 L 的方程x - a 2 = y - b 2= z - c 2 = t1⎛ x ⎫ a 1 b 1 c 1⎛ a 2 ⎫ ⎛ a 1 ⎫ 即有y ⎪ = b ⎪ + tb ⎪ =α + t α ⎪ 2 ⎪ 1 ⎪ 2 1 z ⎪c ⎪ c ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 1 ⎭ ⎛ x ⎫ ⎛ a 3 ⎫ ⎛ a 2 ⎫ 由 L 的方程得 y ⎪= b ⎪ + t b ⎪ =α + t α 2 ⎪ 3 ⎪ 2 ⎪ 32 z ⎪ c ⎪ c ⎪ ⎝ ⎭ ⎝3 ⎭ ⎝ 2 ⎭由直线 L 1 与 L 2 相交得存在 t 使α2 + t α1 =α3 + t α2即α3 = t α1 + (1- t )α2 ，α3 可由α1 ,α2 线性表示，故应选C. 7. 设 A,B,C 为三个随机事件，且 P ( A ) = P (B ) = P (C ) =1, P ( AB ) = 0 4P ( AC ) = P (BC ) = 1123A. 4 2B. 3 1C.2，则 A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为25D.127.答案：D解析： P( ABC ) =P( ABUC) =P( A) -P[ A(BUC)]=P( A) -P( AB +AC)=P( A) +P( AB) -P( AC) +P( ABC)=1- 0 -1+ 0 =1 4 12 6P(BAC ) =P(BAUC) =P(B) -P[B( AUC)] =P(B) -P(BA) -P(BC) +P( ABC)=1- 0 -1+ 0 =1 4 12 6P(CBA) =P(CBUA) =P(C) -P[CU (BUA)] =P(C) -P(CB) -P(CA) +P( ABC)=1-1-1+ 0 =14 12 12 12P( ABC +ABC +ABC) =P( ABC ) +P( ABC ) +P( ABC)=1+1+1=5 6 6 12 12选择D8.设X1 , X 2,…, X n为来自总体X 的简单随机样本，其中P( X = 0) =P( X = 1) =1, Φ(x) 表2⎛100 ⎫示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得P ∑X i ≤ 55⎪的近似值为⎝i=1 ⎭A.1-Φ(1)B. Φ(1)C.1-Φ(2)D. Φ(2)8.答案：B解析：由题意EX =1, DX =1 2 4∑ ⎣ ⎦⎝ ⎭⎛ 100 ⎫ ⎛ 100 ⎫ E ∑ X i ⎪ X = 100EX = 50. D ∑ X i ⎪ = 100DX = 25 ⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭100由中心极限定理X i~ N (50, 25)i =1⎧ 100⎫ ⎧ 100⎫ ⎪∑ X i - 55 55 - 50⎪ ∴ P ⎨∑ X i ≤ 55⎬ = P ⎨ i =1 ≤ 55 ⎬ = Φ(1) ⎩ i =1 ⎭ ⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎭故选择 B二、填空题：9—14 小题，每小题 2 分，共 24 分。

2020考研数学一真题及解析【完整版】

2020考研数学一真题及解析（完整版）一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.x 0 时，下列无穷小阶数最高的是A. 0xe t 21d tB. 0xln 1+t 3d t C.sin 20sin d xt tD.1cos 30sin d x t t1.答案：D解析：A.232001~3xx t x e dt t dtB.35322002ln 1~5x x t dt t dt x C.sin 223001sin ~3xxt dt t dt x D.2311cos 3220sin ~xx tdt t dt25122025x t 5252152x2.设函数()f x 在区间（-1，1）内有定义，且0lim ()0,x f x 则（）A.当0()lim 0,()0||x f x f x x x在处可导.B.当2()lim0,()0x f x f x x x在处可导.C.当()()0lim0.||x f x f x x x 在处可导时,D.当2()()0lim 0.x f x f x x x在处可导时,2.答案：B解析:0200()()()()lim 0lim 0lim 0,lim 0||x x x x f x f x f x f x x x x x00()lim 0,lim ()0x x f x f x x00()(0)()lim lim 0(0)0x x f x f f x f x x()f x 在0x 处可导选B3.设函数(,)f x y 在点（0，0）处可微，(0,0)(0,0)0,,,1f ff x yn 且非零向量d 与n 垂直，则（）A.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x y存在n B.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x y存在n C.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x y存在d D.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x yd 3.答案：A 解析：(,)(0,0)f x y 在处可微.(0,0)0f =22(,)(0,0)(0,0)(0,0)lim 0x y x y f x y f f x f yx y即2200(,)(0,0)(0,0)lim 0x yx y f x y f x f y x y,,(,)(0,0)(0,0)(,)x y n x y f x y f x f y f x y22(,)(0,0),,(,)lim 0x y n x y f x y x y存在选A.4.设R 为幂级数1nn n a r的收敛半径，r 是实数，则（）A.1nn n a r发散时，||r R B.1nnn a r发散时，||r RC.||r R 时，1n nn a r发散D.||r R 时，1nnn a r发散4.答案：A 解析：∵R 为幂级数1nn n a x的收敛半径.∴1n nn a x在(,)R R 内必收敛.∴1nnn a r发散时，||r R .∴选A.5.若矩阵A 经初等列变换化成B ，则（）A.存在矩阵P ，使得PA =BB.存在矩阵P ，使得BP =AC.存在矩阵P ，使得PB =AD.方程组Ax =0与Bx =0同解5.答案：B 解析：A 经初等列变换化成B.存在可逆矩阵1P使得1AP B 1111A BP P P 令..A BPB 选6.已知直线22211112:x a y b c L a b c 与直线33322222:x a y b c L a b c相交于一点，相交于一点，法法向量,1,2,3.i i i i a a b i c则A.1a 可由23,a a 线性表示B.2a 可由13,a a 线性表示C.3a 可由12,a a 线性表示D.123,,a a a 线性无关6.答案：C 解析：令1L的方程222111=x a y b z c t a b c即有21212121=a a x y b t b t z c c由2L 的方程得32323223=a a x yb t b t zc c由直线1L 与2L 相交得存在t 使2132t t 即312(1)t t ，3 可由12, 线性表示，故应选C.7.设A,B,C 为三个随机事件，且1()()(),()04P A P B P C P AB 1()()12P AC P BC，则A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为A.34B.23C.12D.5127.答案：D解析：()()()[()]P ABC P ABUC P A P A BUC ()()()()()()111004126P A P AB AC P A P AB P AC P ABC ()()()[()]()()()()111004126P BAC P B AUC P B P B AUC P B P BA P BC P ABC ()()()[()]()()()()111104121212P CBA P CBUA P C P CU BUA P C P CB P CA P ABC()()()()1115661212P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC选择D8.设12,,,nX X X…为来自总体X 的简单随机样本，其中1(0)(1),()2P X P X x 表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得100155i i P X的近似值为A.1(1) B.(1) C.1(2) D.(2)8.答案：B解析：由题意11,24EX DX1001001110050.10025i i i i E X X EX D X DX由中心极限定理1001~(50,25)i i X N∴1001001155555055(1)55i i i i X P X P故选择B二、填空题：9—14小题，每小题2分，共24分。

2020考研数学(一)真题(含解析)

2020 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上．
1、当 x 0 时，下列无穷小量中最高阶的是
（A） x (ex2 1)dt
b3
t
b2
c3 c2
3
t2
由直线 L1, L2 相交得存在 t ，使得2 t1 3 t2 3 t1 (1 t)2 ，选【C】
a1
a2
【解析二】直线
L1
的方向向量为 1
b1
，直线
L2
的方向向量为 2
b2
，
c1
c2
a3 a2
x0 x 0
x0 x
1
3、 f (x, y) 在 (0, 0) 可微， f (0,0) 0 ， n
fx ', f y ', 1
，非 0 向量
(0,0)
n ，则（
）
（A） lim n (x, y, f (x, y)) 存在
( x, y)(0,0)
x2 y2
（B） lim n (x, y, f (x, y)) 存在
（B）2 可由1,3 线性表示
（C）3 可由1,2 线性表示
（D）1,2,3 线性无关
【答案】C
【解析一】 L1 :
x a2 a1
y b2 b1
z c2 c1
t
x
y
z
a2 a1
b2
t
b1
2
c2 c1
t1
L2
:
x a3 a3