2.2等差数列的概念

(1)2,4；
(2)－1,5；
(3)a，b；
(4)0,0.
梳理 如果三个数 a，A，b 组成等差数列，那么 A 叫做 a 和 b 的等差中项，且 A＝a＋b. 2
例 3 在－1 与 7 之间顺次插入三个数 a，b，c 使这五个数成等差数列，求此数列．
解 ∵－1，a，b，c,7 成等差数列，
∴b 是－1 与 7 的等差中项，
2
1 n
（2）已知数列{an}满足：a1＝1， an ＝n－1(n≥2，n∈N*)，求通项 an. an－1 n
解： an n1
an1
n
an1 n 2 an2 n 1
a3 2
n 1式
a2 3
a2 1 a1 2
将n 1式相乘得：
an an1 a3 a2 n 1 n 2 2 1 an1 an2 a2 a1 n n 1 3 2
a1＋17d＝36.
解得 d＝2，a1＝2. ∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
跟踪训练 4 (1)求等差数列 8,5,2，…的第 20 项； (2)判断－401 是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 解 (1)由 a1＝8，a2＝5，得 d＝a2－a1＝5－8＝－3， 由 n＝20，得 a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
2
等差数列： 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示，可 正可负可为零．
等差数列递推公式： an1 an d
知识点四 等差数列的通项公式
若一个等差数列{an}，首项是 a1，公差为 d
整理得：an 1 a1 n
a1 1
an
1 n
累乘法
总结
（1）递推公式形如 an1 an f (n) ，可用累加法求通项公式 （2）递推公式形如 an1 f (n) ，可用累乘法求通项公式
an
跟踪训练 1 已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝
1
n 1
解： an1 an
由题得：an an1 d an1 an2 d
a3 a2 d
将n 1式相加得： (an an1) (an1 an2 ) (a3 a2 ) (a2 a1) d d d
n 1式
整理得： an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
a2 a1 d
例 4 在等差数列{an}中，已知 a6＝12，a18＝36，求通项公式 an. 解 由题意可得 a1＋5d＝12，
(2)由 a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4， 得这个数列的通项公式为 an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1. 由题意，令－401＝－4n－1，得 n＝100， 即－401 是这个数列的第 100 项．
例 写出下列等差数列的通项公式
(1)9,7,5,3，…；
an 2n 11
(2)－1,11,23,35，…； an 12n 13
(3)8,5,2，…；
an 3n 11
(4)－5，－9，－13，…；an 4n 1
(5)a，a，a，a，a，…. an a
等差数列通项公式： an kn b，其中k为此数列的公差
跟踪训练 数列{an}的通项公式 an＝2n＋5，则此数列( ) A．是公差为 2 的等差数列 B．是公差为 5 的等差数列 C．是首项为 5 的等差数列 D．是公差为 n 的等差数列
a3 a2 3 2 a2 a1 2 1
an n
知识点二 等差数列的概念
思考 给出以下三个数列： (1)0,5,10,15,20； (2)4,4,4,4，…； (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它们有什么共同的特征？
知识点二 等差数列的概念
等差数列： 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示，可 正可负可为零．
谢谢！
必修5 第二章 数列
§2.2 等差数列(一)
1 知识归纳
PART ONE
Baidu Nhomakorabea 数列的表示方法
知识点一 已知递推公式求通项公式
例
1（1）已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝
1 n(n 1)
，求通项 an；
解：
an1
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
将n 1式相加得：
累加法 an
an1
1 n 1
等差数列递推公式： an1 an d
例 2 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n－13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a，a，a，a，a，….
知识点三 等差中项
思考 观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
∴b＝－1＋7＝3. 2
又 a 是－1 与 3 的等差中项，∴a＝－1＋3＝1. 2
又 c 是 3 与 7 的等差中项，∴c＝3＋7＝5. 2
∴该数列为－1,1,3,5,7.
跟踪训练 3 若 m 和 2n 的等差中项为 4,2m 和 n 的等差中项为 5，求 m 和 n 的等差中项．
解 由 m 和 2n 的等差中项为 4，得 m＋2n＝8. 又由 2m 和 n 的等差中项为 5，得 2m＋n＝10. 两式相加，得 m＋n＝6. 所以 m 和 n 的等差中项为m＋n＝3.
1 n
(an
an1) (an1 an2 )
(a3
a2 ) (a2
a1) (1
1) (1 22
1) 3
( 1 n2
1 )( 1 n 1 n 1
1) n
n 1式
an1
an2
1 n2
1 n 1
a3
a2
1 2
1 3
1 a2 a1 1 2
整理得：an
a1
1
1 n
a1 1
an
1 n 1
n
n 1
n
将n 1式相加得：
，求通项 an.
n
an an1 n n 1 (an an1) (an1 an2) (a3 a2) (a2 a1) n n 1 n 1 n 2 3 2 2 1
n 1式
an1 an2 n 1 n 2
整理得：an a1 n 1 a1 1