第二章晶体的投影
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ρ ϕ= 0 ϕ
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投 影点距圆心的距离（h = r tan ρ /2） 。
极射赤平投影：
是将物体在三维空间的几何要素表述在平面上的一种投影方式。
特点：只反映物体的线和面在三度空间的方位和角距关系，而不涉及它 们的具体位置、长短大小和距离远近。它是一种等角投影。
上述投影平面与球面相截的圆称 为投影基圆。 球面上位于赤道上的点，其极射 赤平投影点将落在基圆上； 北极的投影点即是基圆的中心； 北半球上其他的点，它们的投影 都将落在基圆之内。
第二章 晶体的测量与投影
Ⅰ.面角守恒定律 Ⅱ.晶体的测量 Ⅲ.晶体的球面投影及其坐标 Ⅳ.极射赤平投影和乌尔夫网(吴氏网) Ⅴ.乌尔夫网应用举例
理想晶体与歪晶
p 理想晶体：理想条件下生长的晶体，表现为同一单形的晶面同形等大。 p 歪晶：偏离理想状态的晶体，表现为同一单形的晶面不同形等大，有
些晶面甚至缺失。
˜
˜
˜ ˜
˜˜ ˜
˜
凡是北半球上的点均以南极为视 点；南半球上的点则以北极作为视点。
北半球（包括赤道）上的点的极射 赤平投影点标记为“•”，南半球上者 标记为“○”；
如果南、北半球上的某两个点的投 影位置恰好重合时，则记为“☉”。
也有参考书将北半球（包括赤道）上的点的 极射赤平投影点标记为“⊙”，南半球上者标 记为“×”； 如果南、北半球上的某两个点的投影位置恰 好重合时，则记为“⊕”。
ϕ=350o；ρ=40.5o。
①求作该直线的另一个投影点b 1； ②求b 1的球面坐标值。
例：立方体晶面的球面投影
2. 球面坐标
• 球面坐标（ρ,ϕ):
类似地球的经纬度
• 极距角ρ (纬度) ：投影轴与晶面
法线的夹角。（0 ~ 180° ） 从 北极开始
M
• 方位角ϕ (经度) ：包含该晶面 法线的子午面与零度子午面之 间的夹角。 （0 ~ 360°）
（二）极射赤平投影
1.投影的原理：
直立小圆的投影形成小圆弧
实例：
投影的反推：
投影的反推：
m3m
c
（三）吴氏网（乌尔夫网The Wulff Net）
吴氏网既是极射赤平投影网，它是由基圆(赤平大圆) 和一系列经纬网格所组 成，经纬网格是由一系列走向南北的经向大圆弧和一系列走向东西的纬向小 圆弧交织而成。
标准吴氏网的基圆直径为 20cm，网格的纵横间距为2度。 使用标准网进行投影，误差可 以不超过半度。
投影球、投影面（赤平面）、投影轴, 北极点与南极点 （目测点）。
1.投影的原理：
N
S
投影轴 投影中心 赤道平面 赤道 子午面
子午线
投影过程：球面上任一点A与南极点S连线，此连线与投影 面（赤道平面）的交点A’即为投影点。如果A点在下半球， 就与北极点N连线。
目的：将晶面的空间分布转化为平面图.
在赤平投影图上, 方位角与极距角怎么体现?
本章总结：
1. 面角守恒定律及其意义; 2. 晶面的投影过程； 3. 乌尔夫网的构成与应用； 4. 方位角与极距角的概念； 5. 投影图的解读，即从投影图上点的分布规律 能看出晶体上晶面的空间分布规律，例如上图。
作业一：
1. 下图为锡石晶体，请做出极射赤平投影图。
r m
2：已知某直线的一个投影点为b，其球面坐标为：
a
o
o
a
a
o
金刚石矿物晶体构造属等轴晶系。常见晶形有八面体、菱形十二 面体、立方体、四面体和六八面体。
p 歪晶掩盖了晶体的固有的对称性特点，给人类掌握晶体形 态的规律带来困难。
p 后来发现：同种晶体，尽管形态随生长环境的变化而变 化，但对应晶面间的夹角不变。
石英的理想晶形（左）与歪晶（右）
一、面角守恒定律 :
2.主要的投影类型：
大圆再在赤平面上进行投影
大圆是指球面上其平面半径等于球半径的圆。 小圆是指球面上其平面半径小于球半径的圆。
对球面上的大圆（它代表空间的平 面）进行极射赤平投影时，由于一个大 圆通常都被投影平面分割成相等的两 半，因而一般只取其位于北半球上的半 个圆进行投影。使其上的每个点均与南 极联线，从而在投影平面上获得一系列 交点，由后者所连接成的一条曲线即是 平面的极射赤平投影。
任意一晶面在球面上的投影为均一个点。 晶面的球面投影点只能反映晶面的空间 方位，与晶面的实际形态和大小无关。
（2）晶体上的各种直线 (包括晶棱) 的球面投影：
对其进行投影时，首先应将直线平 移，使之通过投影球球心，然后延长之。 它将与投影球球面在相对的两侧面各交于 一点，此两点便是该直线方向的一对球面 投影点。
• 将投影平面标上刻度
• 规定 – ϕ 起始于E – ρ 起始点于中心
经向大圆弧
纬向小圆弧
N S
吴氏网的应用：
吴氏网的应用实例：
例一：晶面M的坐标为ρ =30º和ϕ = 40º，作M的极射赤平投影
(a)
(b)
点M（ρ =30º和ϕ = 40º）的极射赤平投影
˜
M
(a)
例2：已知两晶面M (ρ1, ϕ1)和P(ρ2, ϕ2)，求此二晶面的面角
所有直线都必须平移到过投影球中 心，然后才能进行投影。
一条直线在球面上有两个投影点。 方向相同的直线，球面投影点的位置 相同。 直线的球面投影只能反映直线方向， 不能反映直线的具体位置。
（3）晶体上平面本身的球面投影
习惯上， 晶体上的对称面、 双晶面、双晶结合面的投影， 是将这些平面直接投影的， 首 先将平面平移至通过投影球球 心， 然后延展之， 使其与球面 相交， 交线形成一个所谓的大 圆， 该大圆就是平面本身的球 面投影。
晶面M (ρ1, ϕ1)和P(ρ2, ϕ2) 的面角
例2：已知两晶面M (ρ1, ϕ1)和P(ρ2, ϕ2)，求此二晶面的面角
(a)
(b)
例2：已知两晶面M (ρ1, ϕ1)和P(ρ2, ϕ2)，求此二晶面的面角
（四）心射极平投影
与极射赤平投影相反,是将目测点置于投影球中心, 在过北极点的切面上投影.
依据空间平面在吴氏网上的投影，可 以求空间平面间的夹角。
吴氏网成图原理
1、经向大圆弧，系由一系列通过 球心，走向南北，分别向东和向 西倾斜，倾角从0度到90度的许多 平面的投影大圆弧组成。这些大 圆弧与东西向直径线的各交点到 直径端点(E点和W点)的角距值就 是它们所代表的平面的倾角值。
2、纬向小圆弧，系由一系列走向 东西而不通过球心的直立球面小 圆投影而成。这些小圆离球心越 远，圆弧的半径角距就越小，距 球心越近，圆弧的半径角距就越 大。赤平投影是一种等角投影， 即物体各面、线的夹角关系，投 影后仍然不变。
分为两类，一类是其测得的数据直接就是各对晶面间的面角值。另一类所 得出的则是每一个晶面的所谓球面坐标值。
通常用面角（晶面法线的夹角）
面角：是指晶面法线间的夹角，其数值等于相应晶面 实际夹角的补角。
注意：晶面夹角与面角（晶面法线的夹角）的区别： 它们之间的关系为互补的关系。
2.晶体测量方法
（1）接触测角仪测量
同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。 亦称为斯丹诺定律（law of Steno）。
一方面，晶体有自发地成长为几何多面 体外形的固有能力；
另一方面，由于受到生长时环境的影响， 晶体又经常表现为所谓的歪形。
在不同晶体中，各晶面间的相对大小发 育不等，致使各晶体的形状也迥然不同，但 它们之中任何一组对应晶面的夹角却保持恒 定。
球面上的任一个大圆，其极射赤平 投影是一一对封闭的大圆弧，而且它们 与基圆的一对交点，必定是基圆中同一 直径的两个端点，亦即两者的角距必为 180度。平面上这样的圆弧，同样也称 之为大圆，或为大圆弧。
水平大圆的投影形成基圆 直立大圆的投影形成直径
倾斜大圆的投影形成大圆弧
等倾角间隔投影：有什么用？
适用于较大晶体
接触测角仪
（2）反射测角仪测量
三、晶体的投影
晶体的投影就是把三维空间中的晶体（包括构成晶体立体形态的 点、线、面、体等几何元素按照一定的投影规则投影到二维平面上。
投影的方法： 1.晶体的球面投影
2.极射赤平投影
3.心射极平投影
（一）晶体的球面投影
1.晶体的球面投影：
（1）晶面的球面投影：是各晶面 之法线在球面上的投影。以晶体的 中心为球心，任意长为半径，作一 球面；然后从球心出发，引每一晶 面的法线，延长后各自交球面于一 点，这些点便是相应的球面投影点。
面角守恒定律的意义：结晶学发展的奠基石。
同种晶体具有相同形式的 格子构造，晶体上的对应 晶面就是格子构造中的对 应面网，而在晶体生长过 程中，它们各自都是平行 地向外推移的，因此， (返回)不论晶面长得大小 如何，对应晶面间的夹角 将始终保持恒定。
二、晶体的测量
1.晶体测量
根据各晶面间的面角关系，我们就有可能恢复出晶体的理想几何形状来， 因此，我们需要对晶面间的夹角进行实际测量，称晶体测量，或称晶体测角。
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投 影点距圆心的距离（h = r tan ρ /2） 。
极射赤平投影：
是将物体在三维空间的几何要素表述在平面上的一种投影方式。
特点：只反映物体的线和面在三度空间的方位和角距关系，而不涉及它 们的具体位置、长短大小和距离远近。它是一种等角投影。
上述投影平面与球面相截的圆称 为投影基圆。 球面上位于赤道上的点，其极射 赤平投影点将落在基圆上； 北极的投影点即是基圆的中心； 北半球上其他的点，它们的投影 都将落在基圆之内。
第二章 晶体的测量与投影
Ⅰ.面角守恒定律 Ⅱ.晶体的测量 Ⅲ.晶体的球面投影及其坐标 Ⅳ.极射赤平投影和乌尔夫网(吴氏网) Ⅴ.乌尔夫网应用举例
理想晶体与歪晶
p 理想晶体：理想条件下生长的晶体，表现为同一单形的晶面同形等大。 p 歪晶：偏离理想状态的晶体，表现为同一单形的晶面不同形等大，有
些晶面甚至缺失。
˜
˜
˜ ˜
˜˜ ˜
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凡是北半球上的点均以南极为视 点；南半球上的点则以北极作为视点。
北半球（包括赤道）上的点的极射 赤平投影点标记为“•”，南半球上者 标记为“○”；
如果南、北半球上的某两个点的投 影位置恰好重合时，则记为“☉”。
也有参考书将北半球（包括赤道）上的点的 极射赤平投影点标记为“⊙”，南半球上者标 记为“×”； 如果南、北半球上的某两个点的投影位置恰 好重合时，则记为“⊕”。
ϕ=350o；ρ=40.5o。
①求作该直线的另一个投影点b 1； ②求b 1的球面坐标值。
例：立方体晶面的球面投影
2. 球面坐标
• 球面坐标（ρ,ϕ):
类似地球的经纬度
• 极距角ρ (纬度) ：投影轴与晶面
法线的夹角。（0 ~ 180° ） 从 北极开始
M
• 方位角ϕ (经度) ：包含该晶面 法线的子午面与零度子午面之 间的夹角。 （0 ~ 360°）
（二）极射赤平投影
1.投影的原理：
直立小圆的投影形成小圆弧
实例：
投影的反推：
投影的反推：
m3m
c
（三）吴氏网（乌尔夫网The Wulff Net）
吴氏网既是极射赤平投影网，它是由基圆(赤平大圆) 和一系列经纬网格所组 成，经纬网格是由一系列走向南北的经向大圆弧和一系列走向东西的纬向小 圆弧交织而成。
标准吴氏网的基圆直径为 20cm，网格的纵横间距为2度。 使用标准网进行投影，误差可 以不超过半度。
投影球、投影面（赤平面）、投影轴, 北极点与南极点 （目测点）。
1.投影的原理：
N
S
投影轴 投影中心 赤道平面 赤道 子午面
子午线
投影过程：球面上任一点A与南极点S连线，此连线与投影 面（赤道平面）的交点A’即为投影点。如果A点在下半球， 就与北极点N连线。
目的：将晶面的空间分布转化为平面图.
在赤平投影图上, 方位角与极距角怎么体现?
本章总结：
1. 面角守恒定律及其意义; 2. 晶面的投影过程； 3. 乌尔夫网的构成与应用； 4. 方位角与极距角的概念； 5. 投影图的解读，即从投影图上点的分布规律 能看出晶体上晶面的空间分布规律，例如上图。
作业一：
1. 下图为锡石晶体，请做出极射赤平投影图。
r m
2：已知某直线的一个投影点为b，其球面坐标为：
a
o
o
a
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o
金刚石矿物晶体构造属等轴晶系。常见晶形有八面体、菱形十二 面体、立方体、四面体和六八面体。
p 歪晶掩盖了晶体的固有的对称性特点，给人类掌握晶体形 态的规律带来困难。
p 后来发现：同种晶体，尽管形态随生长环境的变化而变 化，但对应晶面间的夹角不变。
石英的理想晶形（左）与歪晶（右）
一、面角守恒定律 :
2.主要的投影类型：
大圆再在赤平面上进行投影
大圆是指球面上其平面半径等于球半径的圆。 小圆是指球面上其平面半径小于球半径的圆。
对球面上的大圆（它代表空间的平 面）进行极射赤平投影时，由于一个大 圆通常都被投影平面分割成相等的两 半，因而一般只取其位于北半球上的半 个圆进行投影。使其上的每个点均与南 极联线，从而在投影平面上获得一系列 交点，由后者所连接成的一条曲线即是 平面的极射赤平投影。
任意一晶面在球面上的投影为均一个点。 晶面的球面投影点只能反映晶面的空间 方位，与晶面的实际形态和大小无关。
（2）晶体上的各种直线 (包括晶棱) 的球面投影：
对其进行投影时，首先应将直线平 移，使之通过投影球球心，然后延长之。 它将与投影球球面在相对的两侧面各交于 一点，此两点便是该直线方向的一对球面 投影点。
• 将投影平面标上刻度
• 规定 – ϕ 起始于E – ρ 起始点于中心
经向大圆弧
纬向小圆弧
N S
吴氏网的应用：
吴氏网的应用实例：
例一：晶面M的坐标为ρ =30º和ϕ = 40º，作M的极射赤平投影
(a)
(b)
点M（ρ =30º和ϕ = 40º）的极射赤平投影
˜
M
(a)
例2：已知两晶面M (ρ1, ϕ1)和P(ρ2, ϕ2)，求此二晶面的面角
所有直线都必须平移到过投影球中 心，然后才能进行投影。
一条直线在球面上有两个投影点。 方向相同的直线，球面投影点的位置 相同。 直线的球面投影只能反映直线方向， 不能反映直线的具体位置。
（3）晶体上平面本身的球面投影
习惯上， 晶体上的对称面、 双晶面、双晶结合面的投影， 是将这些平面直接投影的， 首 先将平面平移至通过投影球球 心， 然后延展之， 使其与球面 相交， 交线形成一个所谓的大 圆， 该大圆就是平面本身的球 面投影。
晶面M (ρ1, ϕ1)和P(ρ2, ϕ2) 的面角
例2：已知两晶面M (ρ1, ϕ1)和P(ρ2, ϕ2)，求此二晶面的面角
(a)
(b)
例2：已知两晶面M (ρ1, ϕ1)和P(ρ2, ϕ2)，求此二晶面的面角
（四）心射极平投影
与极射赤平投影相反,是将目测点置于投影球中心, 在过北极点的切面上投影.
依据空间平面在吴氏网上的投影，可 以求空间平面间的夹角。
吴氏网成图原理
1、经向大圆弧，系由一系列通过 球心，走向南北，分别向东和向 西倾斜，倾角从0度到90度的许多 平面的投影大圆弧组成。这些大 圆弧与东西向直径线的各交点到 直径端点(E点和W点)的角距值就 是它们所代表的平面的倾角值。
2、纬向小圆弧，系由一系列走向 东西而不通过球心的直立球面小 圆投影而成。这些小圆离球心越 远，圆弧的半径角距就越小，距 球心越近，圆弧的半径角距就越 大。赤平投影是一种等角投影， 即物体各面、线的夹角关系，投 影后仍然不变。
分为两类，一类是其测得的数据直接就是各对晶面间的面角值。另一类所 得出的则是每一个晶面的所谓球面坐标值。
通常用面角（晶面法线的夹角）
面角：是指晶面法线间的夹角，其数值等于相应晶面 实际夹角的补角。
注意：晶面夹角与面角（晶面法线的夹角）的区别： 它们之间的关系为互补的关系。
2.晶体测量方法
（1）接触测角仪测量
同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。 亦称为斯丹诺定律（law of Steno）。
一方面，晶体有自发地成长为几何多面 体外形的固有能力；
另一方面，由于受到生长时环境的影响， 晶体又经常表现为所谓的歪形。
在不同晶体中，各晶面间的相对大小发 育不等，致使各晶体的形状也迥然不同，但 它们之中任何一组对应晶面的夹角却保持恒 定。
球面上的任一个大圆，其极射赤平 投影是一一对封闭的大圆弧，而且它们 与基圆的一对交点，必定是基圆中同一 直径的两个端点，亦即两者的角距必为 180度。平面上这样的圆弧，同样也称 之为大圆，或为大圆弧。
水平大圆的投影形成基圆 直立大圆的投影形成直径
倾斜大圆的投影形成大圆弧
等倾角间隔投影：有什么用？
适用于较大晶体
接触测角仪
（2）反射测角仪测量
三、晶体的投影
晶体的投影就是把三维空间中的晶体（包括构成晶体立体形态的 点、线、面、体等几何元素按照一定的投影规则投影到二维平面上。
投影的方法： 1.晶体的球面投影
2.极射赤平投影
3.心射极平投影
（一）晶体的球面投影
1.晶体的球面投影：
（1）晶面的球面投影：是各晶面 之法线在球面上的投影。以晶体的 中心为球心，任意长为半径，作一 球面；然后从球心出发，引每一晶 面的法线，延长后各自交球面于一 点，这些点便是相应的球面投影点。
面角守恒定律的意义：结晶学发展的奠基石。
同种晶体具有相同形式的 格子构造，晶体上的对应 晶面就是格子构造中的对 应面网，而在晶体生长过 程中，它们各自都是平行 地向外推移的，因此， (返回)不论晶面长得大小 如何，对应晶面间的夹角 将始终保持恒定。
二、晶体的测量
1.晶体测量
根据各晶面间的面角关系，我们就有可能恢复出晶体的理想几何形状来， 因此，我们需要对晶面间的夹角进行实际测量，称晶体测量，或称晶体测角。