2019春哈尔滨工程大学试卷概率论和数理统计试卷和答案

合集下载

哈工大概率论与数理统计期末试卷及标准答案B卷(2006)

一.判断题(5210⨯=分分)1. ()1P A =,则A 为必然事件. ( )2. 设X Y 与不相关,则X Y 与相互独立. ( )3. 参数的无偏估计是唯一的. ( )4. A B 与独立,则A B 与互相互独立. ( )5. 假设检验中,取伪表示事件{拒绝01H H 真} ( ) 二.选择题(5315⨯=分分)6. 设,,A B C 为三个事件,则”这,,A B C 中至多发生一个”的事件为( )()()()()A A B C B AB AC BC C A BC ABC ABCD ABC ABCU U U U U U U7. 设X Y 与相互独立,()4,()2,D X D Y == 则(32)D X Y -=( ) ()8()16()28()44A B C D8. 设(0,1),21X N Y X =-:,则Y : ( ) ()(0,1)()(1,2)()(1,8)()(1,9)A N B N C N D N ---9. 设总体212(3,3),,,,n X N X X X :L 为X 的样本,则下列结果正确的是( )33()(0,1)()(0,1)392()(0,1)((0,1)3X X A N B N X X C N D N n ---::::10. 设2(),()E X D X μσ==,则由切比雪夫不等式可知{2}P X μσ-≥≤ ( )1113()()()()2484A B C D三.填空题(5315⨯=分分)11. 设X 的概率密度为31,0(),30,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则()D X =_____________.12. 设事件A B 与相互独立,()0.4,()0.6,P A P A B ==U 则()P B A =_____________. 13. 设()X πλ:,且{3}{4},P X P X ===则λ=____________. 14.设(,)X Y 的概率密度为:6,00(,),0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其他则(1)P X Y +≤=__________.15. 设(),X t n :则2X -:______________. 四.计算题(共60分)16. 设()4,12X U :,求关于t 的方程290t Xt -+=有解的概率.(6分)17. 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律如下:问α,β取何值时, ,X Y 相互独立?(6分)18. 设X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他,Y 表示对X 四次独立重复观察事件 12X ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭出现的次数.求{}1P Y =.(8分)19. 设X 的概率密度为,02(),240,ax x f x bx c x <<⎧⎪=+≤<⎨⎪⎩其他,已知(){}32,13,4E X P X =<<=,,.a b c 求(8分)20. 袋中有6只全新的乒乓球,每次比赛取出2只用完之后放回,已知第三次取得的2只球都是新球,求第二次取到的只有1只新球的概率. (8分)21. 某保险公司经多年的资料统计表明索赔户中被盗赔户占20%,在随意抽查的10000家索赔户中被盗的索赔户设为随机变量X ,试用中心极限定理估计被盗索赔户在1920户到2080户之间的概率. ()()()()2.50.994,20.977,0.6250.732ΦΦΦ===(8分)22.设总体X 具有分布律其中(01)θθ<<为未知参数.已知取得样本值1231,2,1x x x ===,试求θ的最大似然估计值. (8分)23.有一批枪弹,出厂时,其初速2(950,10)v N :,经过较长时间储存,取9发进行测试得x =945 米/秒.问这批枪弹得初速度是否有显著变化()0.1α=?()0.050.11.645, 1.28u u ==(8分)一.判断题(5210⨯=分分)× × × √ × 二.选择题(5315⨯=分分)B D D D B三.填空题(5315⨯=分分)11、9 12、2313、4 14、6. 15、(,1)F n 四.计算题(共60分)16. 解:因为1,412()80,x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,(2分)所以{}{}{}122613036066.84P P X P X X dx ∆≥=-≥=≤-≥==⎰或(4分) 17. 解:因为,X Y 相互独立,所以13=13α+⨯23,29=29β+⨯23(4分)所以α=16,β=19.(2分)18. 解:因为12011224P X xdx ⎧⎫≥==⎨⎬⎩⎭⎰,(3分)所以1(4,),4Y b :(3分){}131413271.4464P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2分) 19. 解: 22()0.7,()0.7,()0.5,()0.5,E X E X E Y E Y ====Q (2分)()0.21,()0.25D X D Y ∴== (2分)()0.2,(,)()()()0.15E XY COV X Y E XY E X E Y =∴=-=-Q (2分)所以XY ρ∴=== (2分)20. 解:设i A ,i 表示第二次取到只新球0,1,2i =;A 表示第三次取到2只新球.()()()21122244012222666186,,151515C C C C P A P A P A C C C ======()()()222342012222666631|,|,|151515C C C P A A P A A P A A C C C ======.(2分)()16836136151515151515225P A =⨯+⨯+⨯=.(3分) ()18321515|.363225P A A ⨯==(3分) 21. 解: 因为(10000,0.2)X b :,所以()()2000,1600E X D X ==(4分) 所以{}()200019202080222210.954.40X P X P Φ-⎧⎫≤≤=-≤≤=-=⎨⎬⎩⎭(4分)22. 解: ()2252(1)2(1)L θθθθθθθ=⋅-⋅=-,()ln ln 25ln ln(1)L θθθ=++-(4分)()ln 5101d L d θθθθ=-=-,所以5.6θ=)(4分)23. 解: 提出假设0010:,:H H μμμμ=≠拒绝域为2αμμ≥,2αμ≥(4分)又因为00.05945,950,10,9, 1.645x n μσμ=====,所以21.5,x u u αμ==-≤,所以拒绝0H ,枪弹的初速度无显著变化. (4分)。

哈工大概率论与数理统计模拟试题(一)

概率论与数理统计模拟试题（一）一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设事件,,A B C 两两独立，且ABC φ=，1()()()2P A P B P C ==<， 9()16P A B C =，则()P A = . 2．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等. 则()P A = .3．设随机变量~(1,1)X -，则X Y e =的概率密度为()Y f y = .4．设随机变量[]~0,6X U ，1~12,4Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，且X 与Y 相互独立，则根据切比雪夫不等式有：(33)P X Y X -<<+≥__________. 5．总体22~(,),0.04X N μσσ=抽取容量为16的样本，测得均值1.416，若μ的置信区间是(1.4160.098,1.4160.098)-+，则置信度_________. 二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内）1．设,,A B C 是三个独立的随机事件且0()1P C <<. 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（）（A ）AB 与C ；（B ）BC 与C ；（C ）A B -与C ；（D ）AB 与C .2．设随机变量X 的概率密度为21()(1)f x x π=+，则2Y X =的概率密度为（）（A ）21(14)y π+；（B ）21(4)y π+；（C ）22(4)y π+；（D ）22(1)y π+.3．如下四个函数中不是随机变量分布函数的是（）（A ）21,0()1,02x F x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩ （B ）0,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩（C ）()(),x F x f t dt -∞=⎰其中()1f t dt ∞-∞=⎰（D ）0,0()1,0xx F x e x -≤⎧=⎨->⎩4．随机变量7~(1,1),X U Y X -=，则（）（A ）X 与Y 不相关，不独立（B ）X 与Y 相关，不独立（C ）X 与Y 不相关，独立（D ）X 与Y 相关，独立 5．设1,,n X X 是总体X 的样本，2,EX DX μσ==，X 是样本均值，2S 是样本方差，则（）（A ）21(,)XN nμσ; （B ）2S 与X 独立;（C ）2S 是2σ的无偏估计; （D ）222(1)(1)n S n χσ--.三、（10分）某炮台上有三门炮，假定第一门炮的命中率为0.4，第二门炮的命中率为0.3，第三门炮的命中率为0.5，今三门炮向同一目标各射一发炮弹. 结果有两弹中靶，求第一门炮中靶的概率？四、（10分）某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为,0()0,0t te t f t t -⎧>=⎨≤⎩设各周的需求量是相互独立的，试求两周需求量的概率密度.五、（10分）设随机变量X 的密度函数1,203(),10,x f x A x B ⎧-<<⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎩其他，分布函数()F x 在2x =处的值5(2)6F =，求（1）,A B . （2）若||Y X =，求,X Y 联合分布函数(,)F x y 在(2,3)处的值.六、（14分）总体X密度函数2232,(1,) ()(1)0,xf x xθθθ⎧∈⎪=-⎨⎪⎩其他抽取简单随机样本1,,nX X，求θ的矩估计和最大似然估计.七、（6分）证明若2~()X n χ，则,2EX n DX n ==.。

大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案

大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案一、填空题(每空 3 分，共 30分)在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加样本容量 .设随机变量具有数学期望与方差，则有切比雪夫不等式 .设为连续型随机变量,为实常数，则概率= 0 . 设的分布律为，,若绝对收敛(为正整数),则=.某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为. 设服从参数为的分布,则=. 设，则数学期望= 7 .为二维随机变量, 概率密度为, 与的协方差的积分表达式为 .设为总体中抽取的样本的均值,则＝ . (计算结果用标准正态分布的分布函数表X ()E X μ=2()D X σ={}2P X μσ-≥≤14X a {}P X a =X ,{}1,2,k k P X x p k ===2Y X =1n k k k x p ∞=∑n()E Y 21k k k x p ∞=∑17X λpoisson (2)E X 2λ(2,3)YN 2()E Y (,)X Y (,)f x y X Y (,)Cov X Y (())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰X N （3，4）14,,X X {}15P X ≤≤2(2)1Φ-()x Φ示)10. 随机变量,为总体的一个样本，,则常数=.A 卷第1页共4页概率论试题(45分) 1、(8分)题略解：用，分别表示三人译出该份密码,所求概率为（2分）由概率公式（4分）（2分） 2、(8分) 设随机变量，求数学期望与方差.解：(1) = （3分） (2) （3分）（2分）(8分) 某种电器元件的寿命服从均值为的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命相互独立，记，用中心极限定理计算的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数表示).2(0,)XN σn X X X ,,,21 X221()(1)ni i Y k X χ==∑k 21n σA B C 、、P A B C （）P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）1-1-1-p q r =1-（）（）（）()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====()E X Y +(23)D X Y -()E X Y +E X E Y （）+（）=1+3=4(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-8361244XYρ=+-=-100h i T 161ii T T ==∑{1920}P T ≥()x Φ解：（3分）（5分）(4分)(10分)设随机变量具有概率密度,.(1)求的概率密度； (2) 求概率.解: (1) （1分）A 卷第2页共4页（2分）（2分）概率密度函数（2分）(2) . （3分） (11分) 设随机变量具有概率分布如下,且.i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000{1920}0.8}1P T P ≥=≥≈-Φ（0.8）X 11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它21Y X =+Y ()Y f y 312P Y ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭12Y Y y F y y F y≤>时（）=0,时（）=1212,{}{1}()d Y y F yP Y y P X y f x x <≤≤=+≤=（）=02d 1x y ==-2()=Y Y y f y F y≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222(,)X Y {}110P X Y X +===(1)求常数； (2)求与的协方差,并问与是否独立?解: (1) （2分）由（2分）可得（1分）(2), , （3分）（2分）由可知与不独立（1分）三、数理统计试题(25分)1、(8分) 题略. A 卷第3页共4页证明:,相互独立（4分） ,（4分）,p q X Y (,)Cov X Y X Y 1111134123p q p q ++++=+=，即{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X p P X Y X P X P X p +====+========+，，1p q ==EX 1（）=2E Y 1（）=-3E XY 1（）=-6,-CovX Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0..ij i j P P P ≠X Y 222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ--22(1)X n S σ-2(1)X t n -(1)X t n -(10分) 题略解：似然函数（4分）由可得为的最大似然估计 (2分)由可知为的无偏估计量，为的有偏估计量 (4分) 、(7分) 题略解：（2分）检验统计量，拒绝域（2分）而（1分）因而拒绝域，即不认为总体的均值仍为4.55 （2分）A 卷第4页共4页2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑2,μσ221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==11ˆn i i x n μ==∑μ2211ˆ()ni i x n σμ==-∑2σ01: 4.55: 4.55H H μμ=≠x z =0.025 1.96z z ≥=0.185 1.960.036z ==>0H。

2019概率论与数理统计期末考试试卷及答案.doc

《概率论与数理统计》试卷A（考试时间：90分钟；考试形式：闭卷）（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。

答案填写在试卷和草稿纸上无效）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则AB =()A 、AB B 、A BC 、A BD 、A B2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示()A 、A ，B ，C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生C 、A ，B ，C 中不多于一个发生D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P AB =，()0.2P A =，()0.4P B =，则()成立A 、()0.32P AB = B 、()0.2P A B =C 、()0.4P B A -=D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则()A 、()()()P AB P A P B -=- B 、()()()P AB P A P B =+C 、()()()P AB P A P B =D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是()A 、A 与B 独立 B 、A 与B 独立C 、()()()P AB P A P B =D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为()F x ，则(3)F =()A 、0B 、0.3C 、0.8D 、17、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1]()0,cx x f x ⎧∈=⎨⎩其它，则常数c =()A 、15 B 、14C 、4D 、58、设X ～)1,0(N，密度函数22()x x ϕ-=，则()x ϕ的最大值是()A 、0B 、1 C、9、设随机变量X 可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为33(;3),0,1,2,!k p k e k k -==，则下式成立的是()A 、3EX DX ==B 、13EX DX == C 、13,3EX DX == D 、1,93EX DX ==10、设X 服从二项分布B(n,p),则有()A 、(21)2E X np -=B 、(21)4(1)1D X np p +=-+C 、(21)41E X np +=+D 、(21)4(1)D X np p -=-11、独立随机变量,X Y ，若X ～N(1,4)，Y ～N(3,16)，下式中不成立的是()A 、()4E X Y +=B 、()3E XY =C 、()12D X Y -= D 、()216E Y += 12、设随机变量X 的分布列为：则常数c=()A 、0B 、1C 、14 D 、14- 13、设X ～)1,0(N ,又常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<,则c 等于()A 、1B 、0C 、12D 、-1 14、已知1,3EX DX =-=,则()232E X ⎡⎤-⎣⎦=()A 、9B 、6C 、30D 、36 15、当X 服从( )分布时,EX DX =。

哈工大概率论与数理统计期末试卷及标准答案A卷(2006)

第1页一、判断题(每小题2分,共10分)1、()0P A =,则A 为不可能事件. ( )2、设X Y 与相互独立,则X Y 与一定不相关. ( )3、µµ12,θθ为θ的两个估计量,µµ12()(),D D θθ<则µ1θ更有效. ( ) 4、A B 与互不相容,则A B 与互不相容.( ) 5、假设检验中,弃真表示事件{接收01H H 真}. ( ) 二、选择题(每小题3分,共15分) 6、设,A B 为两个事件,则“这两个事件至少有一个没发生”可表示为( )()()()()A ABB AB ABC A BD AB U U7、设X Y 与相互独立,()4,()1,D X D Y == 则(23)D X Y -=( )()5()11()7()25A B C D 8、设(0,1),21X N Y X =-:,则Y : ( ) ()(0,1)()(1,4)()(1,3)()(1,1)A N B N C N D N ---9、设总体212(2,4),,,,n X N X X X :L 为X 的样本,则下列结果正确的是( )22()(0,1)()(0,1)416X X A N B N ::-- 2()(0,1)((0,1)2X C N D N ::-10、设2(),()E X D X μσ==,由切比雪夫不等式得{3}P X μσ-≥≤ ( )第2页 1218()()()()339A B C D三、填空题(每小题3分,共15分)11、设X 的概率密度为41,0(),40,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则()D X =____________.12、设事件A B 与相互独立,()0.4,()0.7,P A P A B ==U 则()P B A = ______13、设()X πλ:,且{2}{3},P X P X ===则λ=____________.14、设(,)X Y 的概率密度为:,01(,),0,cx x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其他则c =_________.15、设(),X t n :则2X :______________.四、计算题(共60分)16、(6分)设()4,10X U :,求关于t 的方程2160t Xt -+=有解的概率.17、(6分)设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律如下: 问α,β取何值时, ,X Y 相互独立?……………密………………………………封……………………………………装………………………………订…………………第3页18、(8分)设X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他,Y 表示对X 三次独立重复观察事件12X ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭出现的次数.求{}2P Y =.19、(8分)设随机变量(,)X Y 的分布律为求XY ρ.20、(8分)袋中有6只全新的乒乓球,每次比赛取出2只用完之后放回,已知第三次取得的2只球都是新球,求第二次取到的也是2只新球的概率.………………密………………………………封………………级学号姓名………………………………装………………………………订………………第4页21、(8分)某保险公司经多年的资料统计表明索赔户中被盗赔户占20%,在随意抽查的10000家索赔户中被盗的索赔户设为随机变量X ,试用中心极限定理估计被盗索赔户在1900户到2100户之间的概率.()()( 2.50.994,20.977,ΦΦ==()0.625Φ0.732)=其中(01)θθ<<为未知参数.已知取得样本值121,2,x x ==31x =,试求θ 的矩估计值. 23、有一批枪弹,出厂时,其初速2(950,10)v N :,经过较长时间储存,取9发进行测试得x =928米/秒.问这批枪弹的初速度是否有显著变化()0.1α=?()0.050.11.645, 1.28u u ==(8分)………………密……………封………………………………线…………………学院专业级学号姓名………………………………装………………………………订………………………………线…………………第5页一.判断题(5210⨯=分分)× √ × × × 二.选择题(5315⨯=分分)C D B B C三.填空题(5315⨯=分分)11、16 12、0.5 13、3 14、6. 15、(1,)F n四.计算题(共60分)16. 解:因为1,410()60,x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他, (2分)所以{}{}{}102811064088.63P P X P X X dx ∆≥=-≥=≤-≥==⎰或 (4分) 17. 解:因为,X Y 相互独立,所以19=19α+⨯13,118=118β+⨯13 (4分)所以α=29,β=19.(2分)第6页18. 解:因为12011224P X xdx ⎧⎫≥==⎨⎬⎩⎭⎰, (3分)所以1(3,),4Y b :(3分){}2231392.4464P Y C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ (2分) 19. 解: 22()0.6,()0.6,()0.5,()0.5,E X E X E Y E Y ====Q (2分)()0.24,()0.25D X D Y ∴== (2分)()0.1,(,)()()()0.2E XY COV X Y E XY E X E Y =∴=-=-Q (2分)所以3XY ρ∴===- (2分)20. 解:设i A ,i 表示第二次取到只新球0,1,2i =;A 表示第三次取到2只新球.()()()21122244012222666186,,151515C C C C P A P A P A C C C ======()()()222342012222666631|,|,|151515C C C P A A P A A P A A C C C ======.(2分)()16836136151515151515225P A =⨯+⨯+⨯=.(3分)()01611515|.366225P A A ⨯== (3分)21. 解: 因为(10000,0.2)X b :,所以()()2000,1600E X D X ==(4分) 所以{}()200019002100 2.5 2.52 2.510.988.40X P X P Φ-⎧⎫≤≤=-≤≤=-=⎨⎬⎩⎭(4分) 22. 解:()221()122(1)3132E X μθθθθθ==⋅+⋅-+⋅-=- (4分)第7页()11412133A =++=4532,.36θθ∴-==) (4分)23. 解: 提出假设0010:,:H H μμμμ=≠拒绝域为2αμμ≥,2αμ≥(4分)又因为00.05928,950,10,9, 1.645x n μσμ=====,所以26.6,x u u αμ==-≥,所以拒绝0H ,枪弹的初速度有显著变化. (4分)。

精选最新2019概率论与数理统计期末考核题库完整版200题(含参考答案)

2019年概率论与数理统计期末测试复习题200题[含答案]一、选择题1．已知连续型随机变量X 的概率密度为求（1）k ；（2）分布函数F (x)；（3）P (1.5 <X <2.5) 解：22200(1) ()(1)()|22 1 21/2 k f x dx kx dx x x k k +∞-∞=+=+=+==-⎰⎰ 2020 ()()0 02 ()()(0.51) 4 2 ()() 1 xx x xx F x f t dt x x F x f t dt t dt x x F x f t dt -∞-∞-∞<==≤<==-+=-+≥==⎰⎰⎰⎰（）当时，当时，当时，20, 0 (), 0241, 2x x F x x x x <⎧⎪⎪=-+≤<⎨⎪≥⎪⎩故(3) P （1.5<X<2.5）=F(2.5)—F(1.5)=1/162．设)(x Φ为标准正态分布函数，100, ,2, 1, 0A ,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，发生事件且()0.7P A =，10021X X X ，，，相互独立。

令∑==1001i iX Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y ΦB.ΦC.(70)y Φ-D.70()21y -Φ3．随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=3(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的方差2σ的置信度为0.95的置信区间。

22220.0250.9750.0250.975((8)17.535, (8) 2.18(9)19.02, (9) 2.7)χχχχ====已知：；因为炮口速度服从正态分布，所以 ⎩⎨⎧≤≤+=其它 ,020 ,1)(x kx x f。

2019-2019学年第一学期概率论与数理统计阶段测验一试卷答案-6页精选文档

北京交通大学2019~2019学年第一学期概率论与数理统计阶段测验（一）试卷参考答案一．（本题满分4分）从1到1000这1000个数字中任取一个，求取出的数字能被2或者被3整除的概率．解：设=A “取出的数字能够被2或者3整除”，所求概率为()A P ．=B “取出的数字能够被2整除”，=C “取出的数字能够被3整除”．则 C B A ⋃=．由概率的加法公式，得二．（本题满分8分）n ()2>n 个人围成一个圆圈，求甲、乙两人站在一起的概率．解：n 个人围成一个圆圈，有方法()!1-n 种，这是样本点总数．设=A “甲、乙两人站在一起”．甲乙两人站在一起，有2种可能，将甲乙两人排好后，再与其余2-n 人，共1-n 个“人”排成一个圆圈，有()!2-n 种方法，因此A 事件所含的样本点数为()!22-⨯n ．所以三．（本题满分8分）在某城市中，共发行3种报纸A ，B ，C ，在这城市的居民中，订有A 报纸的占%45，订有B 报纸的占%35，订有C 报纸的占%30，同时订购A ，B 报纸的占%10，同时订购B ，C 报纸的占%5，同时订购A ，C 报纸的占%8，同时订购A ，B ，C 报纸的占%3，试求下列事件的百分率：⑴ 只订购A 报纸的（4分）；⑵ 正好订购两种报纸的（4分）．解：设=A “订购A 报纸”；=B “订购B 报纸”；=C “订购C 报纸”．由已知，()45.0=A P ，()35.0=B P ，()30.0=C P ，()10.0=AB P ，()05.0=BC P ，⑴ 所求概率为()C B A P ．⑴ 所求概率为()BC A C B A C AB P ⋃⋃．四．（本题满分8分）将6只颜色分别为黑、白、红、黄、蓝、绿的球任意地放入6只颜色也分别为黑、白、红、黄、蓝、绿的盒子中，每个盒子放一球．求球与盒子的颜色都不一致的概率．解：设=B “球与盒子的颜色都不一致”．=1A “黑球放入黑盒”，=2A “白球放入白盒”，=3A “红球放入红盒”，=4A “黄球放入黄盒”，=5A “蓝球放入蓝盒”，=6A “绿球放入绿盒”，则有 Y 61654321===i i A A A A A A A B ．所以有五．（本题满分8分）某地区有甲、乙、丙、丁四家商店，分别有员工80人、90人、60人及150人，其中女员工分别占各店员工总数的21、32、41和53，现已知一名女员工辞职了，求这名员工是乙商店员工的概率．解：设=1A “辞职员工是甲店员工”，=2A “辞职员工是乙店员工”，=3A “辞职员工是丙店员工”，=4A “辞职员工是丁店员工”．=B “辞职员工是女员工”．则所求概率为()B A P 2．由Bayes 公式，得六．（本题满分8分）设()4.0=A P ，()5.0=B P ，()5.0=C P ．试分别就下面两种情况，计算概率()C AB C A P ⋃- ： ⑴. 随机事件A 、B 、C 相互独立；⑵. 随机事件A 、B 相互独立，且随机事件A 、C 互不相容；解：⑴. 随机事件A 、B 、C 相互独立时⑵. 随机事件A 、B 相互独立，且随机事件A 、C 互不相容时，即∅=AC ，并且由于AC ABC ⊂，所以有∅=ABC ．因此，七．（本题满分8分）设甲，乙，丙三枚导弹向同一目标射击．已知甲，乙，丙三枚导弹击中目标的概率分别为4.0，5.0，7.0．如果只有一枚导弹击中目标，目标被摧毁的概率为2.0；如果只有两枚导弹击中目标，目标被摧毁的概率为6.0；如果三枚导弹全击中目标，目标被摧毁的概率为9.0．⑴ 求目标被摧毁的概率（4分）．⑵ 已知目标被摧毁，求恰有两枚导弹击中目标的概率（4分）．解：⑴ 设=1A “甲导弹命中目标”，=2A “乙导弹命中目标”，=3A “丙导弹命中目标”． =1B “恰有1枚导弹命中目标”，=2B “恰有2枚导弹命中目标”，=3B “3枚导弹都命中目标”．=C “目标被摧毁”．则有 3213213211A A A A A A A A A B ⋃⋃=，所以，又有 3213213212A A A A A A A A A B ⋃⋃=，所以，又有 3213A A A B =，所以，因此，由全概率公式，得⑵ 所求概率为()C B P 2．八．（本题满分8分）某工厂宣称自己的产品的次品率为20%，检查人员从该厂的产品中随机地抽取10件，发现有3件次品，可否据此判断该厂谎报了次品率？解：将抽取10件产品看作是一10重Bernoulli 试验，每次试验“成功”的概率为2.0=p ．设X ：抽取10件产品中的次品数，则()2.010~，B X所以，()2013.08.02.0373310=⨯⨯==C X P 因此随机事件“{}3=X ”并非是小概率事件，故不能据此判断该厂谎报了次品率．九．（本题满分8分）设连续型随机变量X 的分布函数为试求：⑴. 系数A 与B （3分）；⑵. 概率{}11<<-X P （3分）；⑶. 随机变量X 的密度函数（2分）．解：⑴. 由()1lim =+∞→x F x ，()0lim =-∞→x F x ，得解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+0212B A B A ππ ，得21=A ，π1=B 所以，⑶. X 的密度函数为()()2111x x F x f +='=π ()+∞<<∞-x ．十．（本题满分8分）某地区成年男子的体重X （以kg 计）服从正态分布()2,σμN ．若已知⑴ 求μ与σ的值；⑵ 如果在该地区随机抽取5名成年男子，求至少有两个人的体重超过kg 65的概率．解： ⑴ 由已知()5.0707070=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤σμσμσμX P X P ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ75.025.016015.070σμσμ ．即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ75.0605.070σμσμ ，查正态分布表，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=-675.060070σμσμ ，解方程组，得70=μ，81.14=σ． ⑵ 设=A “从该地区任意选取一名成年男子，其体重超过kg 65”．则设X ：该地区随机抽取的5名成年男子中体重超过kg 65的人数．则 ()6631.0,5~B X ．设=B “5人中至少有两人的体重超过kg 65．则 ()()()()()101112===-=≤-=≥=X P X P X P X P B P（已知()75.0675.0=Φ，()6631.034.0=Φ）十一．（本题满分8分）一袋中有5个编号分别为5,4,3,2,1的乒乓球，从中任意地取出三个，以X 表示取出的三个球中的最大号码，写出X 的分布律和X 的分布函数，并画出其分布函数的图形．解：X 的取值为3，4，5，并且所以，X 的分布律为X 的分布函数为（分布函数的图形省略．）十二．（本题满分8分）假设一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数λ降为1=λ（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数λ降为3=λ（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？解：设{}此药疗效显著=1A ，{}此药疗效一般=2A ，{}此药无效=3A ，由题设，可知如果事件1A 发生，则X 服从参数为1=λ的Poisson 分布；如果事件2A 发生，则X 服从参数为3=λ的Poisson 分布；如果事件3A 发生，则X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．因此，由Bayes 公式，我们有十三．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为求随机变量X Y sin =的密度函数()y f Y ．解：由随机变量X Y sin =，知随机变量Y 的取值范围是[]1,0．因此，当0<y 时，()0=y F Y ；当1>y 时，()1=y F Y ；当10≤≤y 时，所以，随机变量X Y sin =的分布函数为因此，随机变量X Y sin =的密度函数为。

概率论与数理统计习题二解析【哈工大版】

A BC ，
所求概率为
P(C | A)
P( AC ) P(C ) C3 / C3 2 3 36 11 3 3 P( A) P( B C ) C6 / C11 C5 / C11 3
4．从 52 张朴克牌中任意抽取 5 张，求在至少有 3 张黑桃的条件下，5 张都是黑桃的概率. 解设 A ‘至少有 3 张黑桃’ ， Bi ‘5 张中恰有 i 张黑桃’ ， i 3, 4, 5 ，则
P( B1 A) P( B1 ) P( B1 ) P( A) P( B1 B2 ) 1 P( B1 B2 ) 0.6 0.75 . 1 0.4 0.5
1 1 1 ，求他们将此密码译 5 3 4
16．三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是 , , 出的概率. 解 1 设 A ‘将密码译出’ ， Bi ‘第 i 个人译出’ 则
任取一枚，已知将它投掷 r 次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？解设 A ‘任取一枚硬币掷 r 次得 r 个国徽’ ，， B ‘任取一枚硬币是正品’ 则
A BA BA ，
所求概率为
P( B | A)
P( B) P( A | B) P( B) P( A | B) P( B ) P( A | B ) m 1 mn2
12．玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0，1， 2 只残次品的概率分别为 0.8，0.1， 0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率 . 解设 A ‘顾客买下该箱’ ，， i 0,1, 2 ， B ‘箱中恰有 i 件残次品’ （1） P ( A) P ( B0 ) P ( A | B0 ) P ( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B2 ) P ( A | B2 )

哈工大概率论与数理统计课后习题答案四

习题四1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.解 (,)X Y 的分布列为其中 (1,1)(1)(1|1)P X Y P X P Y X =======(1,2)(1)(2|1)P X Y P X P Y X ======121436=⨯= 余者类推。

2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。

解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1~(3,).2X B 331()(),0,1,2,32k P X k C k ===，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为其中(0,1)(0)(1|0)P X Y P X P Y X =======，13313(1,1)(1)(1|1)()128P X Y P X P Y X C =======⨯=，余者类推。

3．设(,)X Y 的概率密度为1(6),02,24,(,)80,.x y x y f x y ⎧--<<<<⎪=⎨⎪⎩其它又（1）{(,)|1,3}D x y x y =<<；（2）{(,)|3}D x y x y =+<。

求{(,)}P X Y D ∈解（1）13021{(,)}(6)8P x y D x y dxdxy ∈=--⎰⎰1194368228-⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦；13021{(,)}(6)8x P X Y D x y dxdy -∈=--⎰⎰ 11200113(1)[(3)4]82x x dx x dx ⎧⎫-----⎨⎬⎩⎭⎰⎰524.4．设(,)X Y 的概率密度为222(,(,)0,.C R x y R f x y ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他求（1）系数C ；（2）(,)X Y 落在圆222()x y r r R +≤<内的概率.解（1）22223201(R x y R CR dxdy C R C r drd ππθ+≤==-⎰⎰⎰⎰333233R R C R C πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦，∴ 33C Rπ=. （2）设222{(,)|}D x y x y r =+≤，所求概率为22233{(,)}(x y r P X Y D R dxdy R π+≤∈=⎰⎰322323232133r r r Rr R R R πππ⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,01,01(,)0,.xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它求X 和Y 的联合分布函数.解1 设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞+∞=⎰⎰001001000,00,4,01,01,4,01,1,4,1,01,1,1, 1.x y x y x y uvdudv x y uydudy x y xvdxdv x y x y ⎧<<⎪⎪≤≤≤≤⎪⎪⎪=≤≤>⎨⎪⎪>≤≤⎪⎪>>⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰或22220,00,,01,01,,01,1,,1,01,1,1, 1.x y x y x y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或解2 由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为2,01,()0,;X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他 2,01,()0,.Y y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则20,0,()(),01,1, 1.x X X x F x f u du x x x -∞<⎧⎪==≤≤⎨⎪>⎩⎰20,0,()(),01,1, 1.y Y X y F y f v dv y y y -∞<⎧⎪==≤≤⎨⎪>⎩⎰设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则22220,00,,01,01(,)()(),01,1,,1,01,1,1, 1.X Y x y x y x y F x y F x F y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=⋅=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:01D x <<，|率密度。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

.
哈尔滨工程大学试卷
考试科目:概率论与数理统计
题号
一
二
三
四
五
六
总分
分数
评卷人
三、计算题（每小题8分，共24分）
1．已知随机事件的概率，随机事件的概率，条件概率，求。
2．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。
而，
，，
3．设随机变量的概率密度函数为，
(1)确定常数 (2)求的概率密度函数。
四.计算题（每小题10分，共40分）
1.设随机变量服从区间上的均匀分布，当已知时，服从区间上的均匀分布，(1) 与是否独立(2)求概率
2.设总体的概率密度函数为是样本，(1)求参数的极大似然估计，(2) 是否为无偏估计。
3.袋中有张卡片，号码分别为，从中有放回地抽出张卡片，求这张卡片的号码之和的数学期望和方差。
4．设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，乘客在5分钟内任一时间到达汽车站是等可能的，求在汽车站候车的5个乘客中有3个乘客等待时间超过4分钟的概率。
五．证明题（每小题6分，共12分）
1．设连续型随机变量的概率密度函数是偶函数，其分布函数为。证明对任意实数，有。
一、填空题（每小题3分，共12分）
1．设随机变量，，当时，取得最大值。
2．设为随机变量，已知，，与的
相关系数，则。
3．设总体，样本容量为9，样本均值，则未知参数的95%的置信区间是。
4．设总体，未知，分别为样本均值和样本方差，样本容量为，检验， ( 已知)的双边拒绝域。
二、单项选择题（每小题3分，共12分）
1．设随机变量互不相关，则（）
. 相互独立不相互独立
2．设总体，为样本，分别为样本均值和标准差，则下列正确的是（）
3．若总体，其中已知，当样本容量保持不变时，如果置信度变小，则的置信区间（）
.长度变大长度不变长度不一定不变
4．设随机变量的数学期望为12，方差为9，利用契比雪夫不等式估计（）。
(2). ……2分
……2分
……1分
2．解:（1）设是相应于样本的一个样本值，故似然函数为
……2分
当时，，似然方程为
……2分
解得的极大似然估计为 ……2分
（2），……2分
而且
所以，则为的无偏估计。……2分
3．解：表示抽出张卡片的号码之和，表示第次抽到的卡片的号码，则，且相互独立
1．解： ……2分
……4分
……2分
2.解：记 {经过的是货车}， {经过的是客车}， {中途停车修理}
则
……4分
……4分
3.解：（1）由，……2分
得 ……2分
（2）当
……2分
……2分
解法2：用公式
四、计算题（每小题10分，共40分）
1.解： ,……1分
……1分
(1). ……1分
……1分
, 与不独立……1分
2．设总体服从参数为的泊松分布，是样本，分别是样本均值和样本方差。证明：对于任意常数，是的无偏估计量。
概率论与数理统计答案与评分标准
一、填空题（每小题3分，共12分）
1. 2. 3. 4.
二、选择题（每小题3分，共12分）
1. C 2. C 3. B 4.B
三、计算题(每小题8分，共24分)
对有
……2分
……2分
……2分
所以
……2分
……2分
4．解：用表示候车时间，则 ……2分
用表示在车站候车的5个乘客中等候时间超过4分钟的人数，则 ……2分
其中 ……2分
于是所求概率为 ……2分
……2分
五、（每小题6分，共12分）
1.证： ,令 ……2分
……2分
……2分
即
2.证：
……4分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ因为：
……2分