高考数学大一轮复习第九章平面解析几何7第6讲双曲线新题培优练文(含解析)新人教A版
2024届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第六节双曲线课件
4.与双曲线有关的
3.了解双曲线的简单应用.
最值和范围问题
核心素养
直观想象
逻辑推理
数学运算
强基础 增分策略
知识梳理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的 距离的差的绝对值 等于非零常数(小于|F1F2|)
的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 双曲线的焦点 ,两焦点间的距离
2x2-y2=k(k≠0).又点 P(2 2,- 2)在双曲线上,所以 k=16-2=14,所以双曲线的方
程为
2
2x2-y2=14,所以双曲线的标准方程为
7
2
− =1.故选
14
B.
(3)3x±4y=0
可化为4 ± 3=0.
设以4 ± 3=0
2
2
为渐近线的双曲线方程为16 − 9 =λ(λ≠0).
2
2
C:36 − 64=1
可得 a2=36,b2=64,
所以 c2=a2+b2=36+64=100,即 a=6,b=8,c=10,
所以|F1F2|=2c=20,所以|PF2|=|F1F2|=20.
由双曲线的定义可得|PF1|=|PF2|+2a=20+12=32,
所以在△PF1F2 中,PF1 边上的高为 202 -
1 2
)
2
2.(多选)(2022 湖北武汉高三期末)已知双曲线 C:12
判断正确的是(
)
A.实轴长是虚轴长的 2 倍
B.焦距为 8
C.离心率为 3
D.渐近线方程为 x± 3y=0
−
2
=1,下列对双曲线 C 的
2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档：第九章
9．6 双曲线1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．※(2)另一种定义方式(见人教A版教材选修2-1 P59例5)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的轨迹叫做双曲线．定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的________．(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做_________．“离心率e＝2”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相______．一般可设其方程为x2-y2＝λ(λ≠0)．2．双曲线的标准方程及几何性质自查自纠1．(1)绝对值＜焦点焦距(2)离心率(3)等轴双曲线充要垂直2．(2)x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)(5)A1(0，-a)，A2(0，a)(7)F1(-c，0)，F2(c，0) (9)e＝ca(e＞1)(10)y＝±bax(2015·广东)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为( )A.x24-y23＝1 B.x29-y216＝1C.x216-y29＝1 D.x23-y24＝1解：c＝5，e＝ca＝5a＝54，得a＝4，b2＝c2-a2＝52-42＝9，双曲线方程为x216-y29＝1.故选C.(2015·福建)若双曲线x29-y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|(( (解：设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM 轴于H ，则∠MBH ＝60，3a )．将点M 的坐标代入双曲线a ＝b ，所以e ＝ca＝·南昌调研)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 是C 上一点，若F 2最小内角的大小为的渐近线方程是( )0 B ．x ±0D ．2x ±解：由题意，不妨设|PF |>|PF |，则根据双曲线＝AE ＝1，则AD ＝BE ，双曲线实轴长为23，2a ′＝3-1，所以＝ 3.故填3. )过双曲线x 2-y 23＝轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于为坐标原点，动直线分别在第一、四象限试探究：是否存在总与直线E？若存在，求出双曲线程；若不存在，说明理由．因为双曲线E的渐近线分别为。
(浙江专用)高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线练习(含解析)
（浙江专用）高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线练习（含解析）[基础达标]1．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A．y＝±2x B．y＝±2xC．y＝±12x D．y＝±22x 解析：选B.由条件e＝3，即ca＝3，得c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝3，所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.故选B.2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝kx(k＞0)，离心率e＝5k，则双曲线方程为( )A．x2a2－y24a2＝1 B．x2a2－y25a2＝1 C．x24b2－y2b2＝1 D．x25b2－y2b2＝1解析：选C.由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b a＝k，ca＝5k，a2＋b2＝c2，所以a2＝4b2.3．(2019·杭州学军中学高三质检)双曲线M：x2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则点P的横坐标为( )A．3＋12B．3＋22 C．3＋32D．332解析：选A.由点P在双曲线的第一象限可得|PF1|－|PF2|＝2，则|PF2|＝|PF1|－2＝c，又|OP|＝c，∠F1PF2＝90°，由勾股定理可得(c＋2)2＋c2＝(2c)2，解得c＝1＋ 3.易知△POF2为等边三角形，则x P ＝c2＝3＋12，选项A 正确． 4．(2019·杭州中学高三月考)已知F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，OF 1为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为( )A ． 3B ．3C ． 2D ．2解析：选D.由题意，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，一条渐近线方程为y ＝b ax ，则F 2到渐近线的距离为bcb 2＋a 2＝b . 设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，所以|MF 2|＝2b ，A 为F 2M 的中点，又O 是F 1F 2的中点，所以OA ∥F 1M ，所以∠F 1MF 2为直角，所以△MF 1F 2为直角三角形， 所以由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2， 所以3c 2＝4(c 2－a 2)，所以c 2＝4a 2， 所以c ＝2a ，所以e ＝2. 故选D.5．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )解析：选D.法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP →＝(1，0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D.6．(2019·浙江高中学科基础测试)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝20x有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝17，则双曲线的离心率为( )A ． 5B ．53C ．54D ．52解析：选B.由题意知F (5，0)，不妨设P 点在x 轴的上方，由|PF |＝17知点P 的横坐标为17－5＝12，则其纵坐标为20×12＝415，设双曲线的另一个焦点为F 1(－5，0)，则|PF 1|＝（12＋5）2＋（415）2＝23，所以2a ＝|PF 1|－|PF |＝23－17＝6，所以a ＝3，所以e ＝c a ＝53，故选B.7．(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知曲线x 22＋y 2k 2－k ＝1，当曲线表示焦点在y 轴上的椭圆时k 的取值范围是________；当曲线表示双曲线时k 的取值范围是________．解析：当曲线表示焦点在y 轴上的椭圆时，k 2－k ＞2， 所以k ＜－1或k ＞2；当曲线表示双曲线时，k 2－k ＜0， 所以0＜k ＜1.答案：k ＜－1或k ＞2 0＜k ＜18．(2019·金华十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为________．解析：F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2.答案：29．(2019·瑞安四校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与直线x ＝a 2c分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°<∠AFB <90°，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c，－ab c ，因为60°<∠AFB <90°，所以33<k FB <1，所以33<ab c c －a 2c<1，所以33<a b <1，所以13<a 2c 2－a2<1，所以1<e 2－1<3，所以2<e <2.答案：(2，2)10．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的左、右焦点，若△PF 1F 2的面积为12，则∠F 1PF 2＝________．解析：由题意可知，F 1(－13，0)，F 2(13，0)，|F 1F 2|＝213.设P (x 0，y 0)，则△PF 1F 2的面积为12×213|y 0|＝12.故y 20＝12213，将P 点坐标代入双曲线方程得x 20＝2513，不妨设点P ⎝⎛⎭⎪⎫51313，121313，则PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－181313，－121313，PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫81313，－121313，可得PF 1→·PF 2→＝0，即PF 1⊥PF 2，故∠F 1PF 2＝π2. 答案：π211．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. 所以|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，所以双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.12．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m >0，n >0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ，所以S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.[能力提升]1．(2019·舟山市普陀三中高三期中)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C .若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是( )A ． 2B ． 3C ． 5D ．10解析：选C.直线l ：y ＝－x ＋a 与渐近线l 1：bx －ay ＝0交于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋b ，ab a ＋b ，l 与渐近线l 2：bx ＋ay ＝0交于C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a －b ，－ab a －b ，A (a ，0)，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－ab a ＋b ，ab a ＋b ，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2b a 2－b 2，－2a 2b a 2－b 2， 因为AB →＝12BC →，所以b ＝2a ， 所以c 2－a 2＝4a 2，所以e 2＝c 2a2＝5，所以e ＝5，故选C.2．(2019·宁波高考模拟)如图，F 1、F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，则C 1与C 2的离心率之和为( )A ．2 3B ．4C ．2 5D ．2 6解析：选A.F 1、F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12c ，32c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，－32c ，代入椭圆方程可得c 24a 2＋3c 24b 2＝1，可得e 24＋34e 2－4＝1，可得e 4－8e 2＋4＝0，解得e ＝3－1.代入双曲线方程可得：c 24a 2－3c 24b2＝1，可得：e 24－34－4e 2＝1，可得：e 4－8e 2＋4＝0，解得e ＝3＋1， 则C 1与C 2的离心率之和为2 3. 故选A.3．设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是__________．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．答案：(27，8)4．(2019·温州十五校联合体联考)过点M (0，1)且斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两渐近线交于点A ，B ，且BM →＝2AM →，则直线l 的方程为____________；如果双曲线的焦距为210，则b 的值为________．解析：直线l 的方程为y ＝x ＋1，两渐近线的方程为y ＝±b ax .其交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －a ，b b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a ＋b ，b a ＋b .由BM →＝2AM →，得x B ＝2x A .若a b －a ＝－2a a ＋b ，得a ＝3b ，由a 2＋b 2＝10b 2＝10得b ＝1，若－aa ＋b ＝2ab －a，得a ＝－3b (舍去)．答案：y ＝x ＋1 15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A ，B 两点，F 1为左焦点．(1)求双曲线的方程；(2)若△F 1AB 的面积等于62，求直线l 的方程．解：(1)依题意，b ＝3，c a ＝2⇒a ＝1，c ＝2，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知F 2(2，0)．易验证当直线l 斜率不存在时不满足题意，故可设直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 2－y 23＝1，消元得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0，k ≠±3，x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1－y 2＝k (x 1－x 2)，△F 1AB 的面积S ＝c |y 1－y 2|＝2|k |·|x 1－x 2|＝2|k |·16k 4－4（k 2－3）（4k 2＋3）|k 2－3|＝12|k |·k 2＋1|k 2－3|＝6 2.得k 4＋8k 2－9＝0，则k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝x －2或y ＝－x ＋2.6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，已知A (1，0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．解：(1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，因为a 2＋b 2＝c 2，所以c ＝2a ，所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1得2x 2－2mx －m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又因为DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1，所以m ＝0(舍)或m ＝2，。
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第九章解析几何第六节双曲线教案理解析版
１．双曲线的定义平面内与两个定点F１，F２的距离的差的绝对值等于非零常数（小于F１F ２）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M||MF１—MF２|＝２a}，F１F２＝２c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0．（１）当２a＜F１F２时，P点的轨迹是双曲线；（２）当２a＝F１F２时，P点的轨迹是两条射线；（３）当２a＞F１F２时，P点不存在．２．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）图形性质范围x≤—a或x≥a，y∈R y≤—a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A１（—a,0），A２（a,0）顶点坐标：A１（0，—a），A２（0，a）渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈（１，＋∞）a，b，c的关系c２＝a２＋b２实虚轴线段A１A２叫做双曲线的实轴，它的长A１A２＝错误!；线段B１B２叫做双曲线的虚轴，它的长B１B２＝错误!；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长[小题体验]１．双曲线x２—５y２＝１0的焦距为________．解析：∵双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１，∴a２＝１0，b２＝２，∴c２＝a２＋b２＝１２，c＝２错误!，故焦距为４错误!.答案：４错误!２．双曲线２x２—y２＝8的实轴长为________．解析：双曲线２x２—y２＝8的标准方程为错误!—错误!＝１，实轴长为２a＝４．答案：４３．已知双曲线错误!—错误!＝１的右焦点为（３,0），则该双曲线的离心率等于________．解析：∵右焦点为（３,0），∴c＝３．∴a２＝c２—b２＝9—５＝４，∴a＝２，∴e＝错误!＝错误!.答案：错误!１．双曲线的定义中易忽视２a＜F１F２这一条件．若２a＝F１F２，则轨迹是以F１，F２为端点的两条射线，若２a＞F１F２，则轨迹不存在．２．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a＞0，b＞0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈（１，错误!）；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝错误!；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e∈（错误!，＋∞）．３．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a２＝b２＋c２，而在双曲线中c２＝a２＋b２.４．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±错误!，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±错误!.[小题纠偏]１．设P是双曲线错误!—错误!＝１上一点，F１，F２分别是双曲线左、右两个焦点，若PF１＝9，则PF２等于________．解析：由题意知PF１＝9＜a＋c＝１0，所以P点在双曲线的左支，则有PF２—PF１＝２a＝8，故PF＝PF１＋8＝１7．２答案：１7２．若a＞１，则双曲线错误!—y２＝１的离心率的取值范围是________．解析：由题意得双曲线的离心率e＝错误!.即e２＝错误!＝１＋错误!.因为a＞１，所以0＜错误!＜１，所以１＜１＋错误!＜２，所以１＜e＜错误!.答案：（１，错误!）３．离心率为错误!，且经过（—错误!，２）的双曲线的标准方程为________．解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为错误!—错误!＝１．则有错误!解得错误!所以所求双曲线的标准方程为x２—错误!＝１．当双曲线焦点在y轴上时，设方程为错误!—错误!＝１．则有错误!解得错误!所以所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：x２—错误!＝１或错误!—错误!＝１错误!错误![题组练透]１．若方程错误!＋错误!＝１（k∈R）表示双曲线，则k的取值范围是________．解析：依题意可知（k—３）（k＋３）＜0，解得—３＜k＜３．答案：（—３,３）２．已知双曲线C：错误!—错误!＝１的离心率e＝错误!，且其右焦点为F２（５,0），则双曲线C的标准方程为________．解析：因为所求双曲线的右焦点为F２（５,0）且离心率为e＝错误!＝错误!，所以c＝５，a＝４，b ２＝c２—a２＝9，所以所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１３．若以F１（—错误!，0），F２（错误!，0）为焦点的双曲线过点（２,１），则该双曲线的标准方程为________．解析：依题意，设题中的双曲线方程是错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0），则有错误!解得a２＝２，b２＝１．因此该双曲线的标准方程是错误!—y２＝１．答案：错误!—y２＝１４．（２0１9·苏锡常镇调研）已知双曲线Γ过点（２，错误!），且与双曲线错误!—y２＝１有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为________．解析：依题意，设所求双曲线的标准方程为错误!—y２＝λ，将点（２，错误!）的坐标代入，得１—３＝λ，∴λ＝—２，∴所求双曲线的方程为错误!—y２＝—２，其标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１[谨记通法]求双曲线标准方程的一般方法（１）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线错误!—错误!＝１有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为错误!—错误!＝λ（λ≠0）．（２）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．错误!错误![典例引领]１．设F１，F２分别是双曲线错误!—错误!＝１的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F１AF２＝90°且AF１＝３AF２，则双曲线的离心率为________．解析：因为∠F１AF２＝90°，故AF错误!＋AF错误!＝F１F错误!＝４c２，又AF１＝３AF２，且AF１—AF２＝２a，故１0a２＝４c２，故错误!＝错误!，故e＝错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·海门中学检测）已知双曲线x２—错误!＝１的两个焦点为F１，F２，P为双曲线右支上一点．若PF１＝错误!PF２，则△F１PF２的面积为________．解析：由双曲线的定义可得PF１—PF２＝错误!PF２＝２a＝２，解得PF２＝6，故PF１＝8，又F１F２＝１0，由勾股定理可知三角形PF１F２为直角三角形，因此S△PF１F２＝错误!PF１·PF２＝２４．答案：２４[由题悟法]应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．[即时应用]１．设F１，F２分别为双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得PF１＋PF２＝３b，PF１·PF２＝错误!ab，则该双曲线的离心率为________．解析：由题设条件得PF１＋PF２＝３b，由双曲线的定义得|PF１—PF２|＝２a，两个式子平方相减得PF１·PF２＝错误!，则错误!＝错误!ab，整理得（３b—４a）·（３b＋a）＝0，即错误!＝错误!，所以e＝错误!＝错误!.答案：错误!２．设双曲线错误!—错误!＝１的左、右焦点分别为F１，F２，过F１的直线l交双曲线左支于A，B 两点，则BF２＋AF２的最小值为________．解析：由双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１，得a＝２，由双曲线的定义可得AF２—AF１＝４，BF２—BF１＝４，所以AF２—AF１＋BF２—BF１＝8．因为AF１＋BF１＝AB，当AB是双曲线的通径时，AB最小，所以（AF２＋BF２）min＝AB min＋8＝错误!＋8＝１0．答案：１0错误!错误![锁定考向]双曲线的几何性质是高考命题的热点．常见的命题角度有：（１）求双曲线的离心率或范围；（２）求双曲线的渐近线方程；（３）双曲线性质的应用．[题点全练]角度一：求双曲线的离心率或范围１．（２0１8·海安高三质量测试）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±错误!x，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意知错误!＝错误!，即b２＝３a２，所以c２＝a２＋b２＝４a２，所以e＝错误!＝２．答案：２２．（２0１7·全国卷Ⅰ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A（a,0），设点M，N在渐近线y＝错误!x，即bx—ay＝0上，则圆心A到此渐近线的距离d＝错误!＝错误!.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝错误!，即错误!＝错误!，所以e＝错误!＝错误!.答案：错误!角度二：求双曲线的渐近线方程３．（２0１9·徐州调研）若双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为错误!，则双曲线C的渐近线方程为________．解析：∵双曲线C的离心率为错误!，∴e＝错误!＝错误!，则c２＝１0a２＝a２＋b２，得b２＝9a２，即b＝３a，则双曲线C的渐近线方程为y＝±错误!x＝±３x.答案：y＝±３x角度三：双曲线性质的应用４．已知点F１，F２分别为双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若错误!的最小值为9a，则双曲线的离心率为________．解析：在双曲线中，P为右支上一点，则PF１＝PF２＋２a，则错误!＝错误!＝PF２＋错误!＋４a≥２错误!＋４a＝8a（当且仅当PF２＝２a时取等号），因为已知错误!min＝9a，故PF２≠２a，在双曲线右支上点P 满足（PF２）min＝c—a，则c—a＞２a，即c＞３a，故e＞３，又由错误!≥9a，即错误!≥9a可得e≤２或e≥５，综上可得，e≥５，故当错误!取最小值9a时，e＝５．答案：５[通法在握]与双曲线几何性质有关问题的解题策略（１）求双曲线的离心率（或范围）．依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式（或不等式），解方程（或不等式）即可求得．（２）求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．（３）求双曲线的方程．依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．（４）求双曲线焦点（焦距）、实虚轴的长．依题设条件及a，b，c之间的关系求解．[演练冲关]１．（２0１9·通州模拟）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点都在双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）上，若双曲线的焦点在正方形的外部，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：由题意，可设正方形与双曲线的某个交点为A（m，m），则双曲线错误!—错误!＝１，可得m ２＝错误!＜c２，即c２b２—c２a２＞a２b２，又c２＝b２＋a２，化简可得c４—３c２a２＋a４＞0，即e４—３e２＋１＞0，又e＞１，解得e＞错误!，故该双曲线的离心率的取值范围是错误!.答案：错误!２．（２0１8·无锡调研）双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为错误!，焦点到渐近线的距离为３，则C的实轴长等于________．解析：因为e＝错误!＝错误!，所以c＝错误!a，设双曲线的一条渐近线方程为y＝错误!x，即ax—by ＝0，焦点为（0，c），所以错误!＝b＝３，所以a＝错误!＝错误!，所以a２＝１6，即a＝４，故２a＝8．答案：8３．（２0１8·盐城二模）已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y＝错误! x与双曲线相交于A，B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为________．解析：由题意可知，双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c,0），联立错误!整理得（9b２—１6a２）x２＝9a２b２，即x２＝错误!，∴A与B关于原点对称，设A错误!，B错误!，则错误!＝错误!，错误!＝错误!，∵AF⊥BF，∴错误!·错误!＝0，即（x—c）（—x—c）＋错误!x×错误!＝0，整理得c２＝错误!x２，∴a２＋b２＝错误!×错误!，即9b４—３２a２b２—１6a４＝0，∴（b２—４a２）（9b２＋４a２）＝0，∵a＞0，b＞0，∴9b２＋４a２≠0，∴b２—４a２＝0，故b＝２a，∴双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±２x.答案：y＝±２x４．已知双曲线x２—错误!＝１的左顶点为A１，右焦点为F２，P为双曲线右支上一点，则错误!·错误!的最小值为________．解析：由题可知A１（—１,0），F２（２,0）．设P（x，y）（x≥１），则错误!＝（—１—x，—y），错误!＝（２—x，—y），错误!·错误!＝（—１—x）（２—x）＋y２＝x２—x—２＋y２＝x２—x—２＋３（x２—１）＝４x２—x—５．因为x≥１，函数f（x）＝４x２—x—５的图象的对称轴为x＝错误!，所以当x＝１时，错误!·错误!取得最小值—２．答案：—２一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·滨湖月考）已知双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，实轴长为１２，则该双曲线的标准方程为________________．解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，实轴长为１２，∴当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为错误!—错误!＝１，a＞0，b＞0，此时错误!解得a＝6，b＝４，∴双曲线方程为错误!—错误!＝１．当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为错误!—错误!＝１，a＞0，b＞0，此时错误!解得a＝6，b＝9，∴双曲线方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１２．已知双曲线x２＋my２＝１的虚轴长是实轴长的２倍，则实数m的值是________．解析：依题意得m＜0，双曲线方程是x２—错误!＝１，于是有错误!＝２×１，m＝—错误!.答案：—错误!３．若双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为错误!，则其渐近线方程为________．解析：由条件e＝错误!，即错误!＝错误!，得错误!＝错误!＝１＋错误!＝３，所以错误!＝错误!，所以双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.答案：y＝±错误!x４．（２0１8·苏州高三暑假测试）双曲线错误!—y２＝１（m＞0）的右焦点与抛物线y２＝8x的焦点重合，则m＝________.解析：因为双曲线的右焦点为（错误!，0），抛物线的焦点为（２,0），所以错误!＝２，解得m＝３．答案：３５．（２0１9·常州一中检测）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线错误!—y２＝１（m＞0）的一条渐近线方程为x—错误!y＝0，则实数m的值为________．解析：∵双曲线错误!—y２＝１（m＞0）的渐近线方程为x±my＝0，已知其中一条渐近线方程为x—错误!y＝0，∴m＝错误!.答案：错误!6．（２0１8·苏北四市摸底）已知双曲线x２—错误!＝１（m＞0）的一条渐近线方程为x＋错误!y＝0，则实数m＝________.解析：双曲线x２—错误!＝１（m＞0）的渐近线为y＝±mx，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x＋错误!y＝0，所以m＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．双曲线错误!—错误!＝１的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为________．解析：由渐近线互相垂直可知错误!·错误!＝—１，即a２＝b２，即c２＝２a２，即c＝错误!a，所以e ＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·常州期末）双曲线错误!—错误!＝１的右焦点与左准线之间的距离是________．解析：因为a２＝４，b２＝１２，所以c２＝１6，即右焦点为（４,0），又左准线为x＝—错误!＝—１，故右焦点到左准线的距离为５．答案：５３．（２0１8·南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0）的一条渐近线与直线y＝２x＋１平行，则实数a＝________.解析：由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±错误!x.因为一条渐近线与直线y＝２x＋１平行，所以错误!＝２，解得a＝１．答案：１４．已知直线l与双曲线C：x２—y２＝２的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A（x１，x１），B（x２，—x２），所以AB中点坐标为错误!，所以错误!２—错误!２＝２，即x１x２＝２，所以S△AOB＝错误!OA·OB＝错误!|错误!x１|·|错误!x２|＝x１x２＝２．答案：２５．（２0１8·镇江期末）双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．解析：由题意c—错误!＝２a，即错误!２—２·错误!—１＝0，e２—２e—１＝0，解得e＝１±错误!.又因为双曲线的离心率大于１，故双曲线的离心率为１＋错误!.答案：１＋错误!6．（２0１9·连云港调研）渐近线方程为y＝±２x，一个焦点的坐标为（错误!，0）的双曲线的标准方程为________．解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±２x，∴设双曲线方程为x２—错误!＝λ（λ≠0），∵一个焦点的坐标为（错误!，0），∴（错误!）２＝λ＋４λ，解得λ＝２，∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１7．（２0１9·淮安模拟）已知双曲线错误!—错误!＝１的一个焦点与圆x２＋y２—１0x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于错误!，则该双曲线的标准方程为________．解析：将圆x２＋y２—１0x＝0化成标准方程，得（x—５）２＋y２＝２５，则圆x２＋y２—１0x＝0的圆心为（５,0）．∴双曲线错误!—错误!＝１的一个焦点为F（５,0），又该双曲线的离心率等于错误!，∴c＝５，且错误!＝错误!，∴a２＝５，b２＝c２—a２＝２0，故该双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１8．已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，点P在双曲线的右支上，且PF１＝４PF２，则双曲线的离心率e的最大值为________．解析：由双曲线定义知PF１—PF２＝２a，又已知PF１＝４PF２，所以PF１＝错误!a，PF２＝错误!a，在△PF１F２中，由余弦定理得cos∠F１PF２＝错误!＝错误!—错误!e２，要求e的最大值，即求cos∠F１PF２的最小值，因为cos∠F１PF２≥—１，所以cos∠F１PF２＝错误!—错误!e２≥—１，解得e≤错误!，即e的最大值为错误!.答案：错误!9．已知双曲线的中心在原点，焦点F１，F２在坐标轴上，离心率为错误!，且过点（４，—错误!），点M（３，m）在双曲线上．（１）求双曲线的方程；（２）求证：错误!·错误!＝0；（３）求△F１MF２的面积．解：（１）因为e＝错误!，则双曲线的实轴、虚轴相等．所以可设双曲线方程为x２—y２＝λ.因为双曲线过点（４，—错误!），所以１6—１0＝λ，即λ＝6．所以双曲线方程为x２—y２＝6．（２）证明：设错误!＝（—２错误!—３，—m），错误!＝（２错误!—３，—m）．所以错误!·错误!＝（３＋２错误!）×（３—２错误!）＋m２＝—３＋m２，因为M点在双曲线上，所以9—m２＝6，即m２—３＝0，所以错误!·错误!＝0．（３）因为△F１MF２的底边长F１F２＝４错误!.由（２）知m＝±错误!.＝错误!×４错误!×错误!＝6．所以△F１MF２的高h＝|m|＝错误!，所以S△F１MF２１0．（２0１8·启东中学检测）已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F１，F２，一条渐近线方程为２x＋y＝0，且焦点到这条渐近线的距离为１．（１）求此双曲线的方程；（２）若点M错误!在双曲线上，求证：点M在以F１F２为直径的圆上．解：（１）依题意得错误!解得错误!故双曲线的方程为错误!—x２＝１．（２）证明：因为点M错误!在双曲线上，所以错误!—错误!＝１．所以m２＝错误!，又双曲线错误!—x２＝１的焦点为F１（0，—错误!），F２（0，错误!），所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!２—（错误!）２＋m２＝错误!—５＋错误!＝0，所以MF１⊥MF２，所以点M在以F１F２为直径的圆上．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线错误!—错误!＝１的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．解析：∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，且渐近线关于x，y轴对称，若夹角在x轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为３0°，１５0°，斜率为±错误!，故错误!＝错误!.∵c２＝a２＋b２，∴错误!＝错误!，即e２—１＝错误!，解得e＝错误!.若夹角在y轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为60°，１２0°，斜率为±错误!，故错误!＝错误!.同理可求得e＝２．综上，e＝错误!或２．答案：错误!或２２．（２0１8·南通中学高三数学练习）已知点F是双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．解析：由题意得F（—c,0），A错误!，B错误!，E（a，0）．因为△ABE是锐角三角形，所以错误!·错误!＞0，即错误!·错误!＝错误!·错误!＞0．整理，得３e２＋２e＞e４.所以e３—e—２e—２＝e（e＋１）（e—１）—２（e＋１）＝（e＋１）２（e—２）＜0，解得0＜e＜２．又e＞１，所以e∈（１,２）．答案：（１,２）３．已知椭圆C１的方程为错误!＋y２＝１，双曲线C２的左、右焦点分别是C１的左、右顶点，而C２的左、右顶点分别是C１的左、右焦点，O为坐标原点．（１）求双曲线C２的方程；（２）若直线l：y＝kx＋错误!与双曲线C２恒有两个不同的交点A和B，且错误!·错误!＞２，求k的取值范围．解：（１）设双曲线C２的方程为错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0），则a２＝４—１＝３，c２＝４，再由a２＋b２＝c２，得b２＝１，故双曲线C２的方程为错误!—y２＝１．（２）将y＝kx＋错误!代入错误!—y２＝１，得（１—３k２）x２—6错误!kx—9＝0．由直线l与双曲线C２交于不同的两点，得错误!所以k２＜１且k２≠错误!.１设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!.所以x１x２＋y１y２＝x１x２＋（kx１＋错误!）（kx２＋错误!）＝（k２＋１）x１x２＋错误!k（x１＋x２）＋２＝错误!.又因为错误!·错误!＞２，即x１x２＋y１y２＞２，所以错误!＞２，即错误!＞0，解得错误!＜k２＜３．２由１２得错误!＜k２＜１，故k的取值范围为错误!∪错误!.。
2020届高考理科数学一轮复习第9章 第6节 双曲线含答案
第六节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F 1F 2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. 2．双曲线的标准方程和几何性质若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．设双曲线上的点M 到两焦点F 1，F 2的距离之差的绝对值为2a ，则0＜2a ＜|F 1F 2|，这一条件不能忽略．①若2a ＝|F 1F 2|，则点M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线； ②若2a ＞|F 1F 2|，则点M 的轨迹不存在；③若2a ＝0，则点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( ) (4)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e22＝1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√二、选填题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2 2C．4 D．4 2解析：选C双曲线2x2－y2＝8的标准方程为x24－y28＝1，故实轴长为4.2．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D．(3，0)解析：选C∵原方程可化为x21－y212＝1，∴a2＝1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.3．若方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________.解析：因为方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)4．若双曲线x2－y2m＝1的离心率为3，则实数m＝________.解析：由已知可得a＝1，c＝1＋m，所以e＝ca＝1＋m＝3，解得m＝2.答案：25．双曲线C的焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则该双曲线的标准方程为____________________．解析：由题意得2a＝|(－5＋6)2＋22－(－5－6)2＋22|＝45，所以a＝25，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.答案：x 220－y 216＝1考点一 双曲线的标准方程[基础自学过关][题组练透]1．(2019·绵阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选B 由题意得b a ＝34，c 2＝a 2＋b 2＝25，所以a ＝4，b ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线标准方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为双曲线过点P (2,1)， 所以4a 2－1b2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线标准方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1＜λ＜4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为x 22－y 2＝1.3．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析：选A 因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.4．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝15．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ＞0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝1[名师微点]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． [提醒] 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．(如第4题)考点二 双曲线的定义及其应用 [师生共研过关][典例精析](1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.(3)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．[解析] (1)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ，根据两圆外切的充要条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |. 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2＜6.这表明动点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数2且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义知，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小)，且a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，则其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， |PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22， 则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.(3)因为F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，所以F (－4,0)，设其右焦点为H (4,0)，则由双曲线的定义可得|PF |＋|PA |＝2a ＋|PH |＋|PA |≥2a ＋|AH |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9.[答案] (1)x 2－y 28＝1(x ≤－1) (2)34(3)9[解题技法]双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a ＜|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．[过关训练]1．(2019·唐山模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为( )A ．1 B.52C ．2D. 5解析：选A 不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝|m －n |＝4.又因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝20，即m 2＋n 2＝20.又||PF 1|－|PF 2||2＝|m －n |2＝16，所以mn ＝2.所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn ＝1，故选A.2．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24－y 221＝1(x ＞2) B.y 24－x 221＝1(y ＞2) C.x 221－y 24＝1 D.y 24－x 22＝1解析：选A 如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F . |AG |＝|AE |＝7，|BF |＝|BG |＝3，|CE |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为x 24－y 221＝1(x ＞2)．考点三 双曲线的几何性质[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[例1] (1)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)(2)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，|OP |＝|OF |，则双曲线C 的离心率为( )A ．5 B. 5 C.53D.54[解析] (1)若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac ＞0，则e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，则1＜e ＜2，故选B.(2)根据直线4x －3y ＋20＝0与x 轴的交点F 为(－5,0)，可知半焦距c ＝5，设双曲线C 的右焦点为F 2，连接PF 2，根据|OF 2|＝|OF |且|OP |＝|OF |可得，△PFF 2为直角三角形，如图，过点O 作OA 垂直于直线4x －3y ＋20＝0，垂足为A ，则易知OA 为△PFF 2的中位线，又原点O 到直线4x －3y ＋20＝0的距离d ＝4，所以|PF 2|＝2d ＝8，|PF |＝|FF 2|2－|PF 2|2＝6，故结合双曲线的定义可知|PF 2|－|PF |＝2a ＝2，所以a ＝1，故e ＝ca＝5.[答案] (1)B (2)A考法(二) 求双曲线的渐近线[例2] (2019·武汉调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0[解析] 由题意知，椭圆中a 2＝25，b 2＝16，∴椭圆的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝35， ∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A.[答案] A考法(三) 求双曲线的方程[例3] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 [解析] 由离心率为2，可知a ＝b ，c ＝2a ， 所以F (－2a ,0)，由题意知k PF ＝4－00－(－2a )＝42a ＝1，所以2a ＝4，解得a ＝22， 所以双曲线的方程为x 28－y 28＝1.[答案] B[规律探求][过关训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x解析：选A ∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝3， ∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .2．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5B.2C. 3D. 2解析：选C 不妨设一条渐近线的方程为y ＝ba x ，则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b . 在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－(6a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－ac ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.3．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1―→·MF 2―→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎫－233，233解析：选A 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1―→＝(－3－x 0，－y 0)， MF 2―→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1―→·MF 2―→＜0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0， 即x 20－3＋y 20＜0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线C 上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴－33＜y 0＜33.。
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何7第6讲双曲线练习理含解析
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何7第6讲双曲线练习理含解析[基础题组练]1．“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，所以(25－k )(k －9)<0，所以k <9或k >25，所以“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2018·高考全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 解析：选A.法一：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ，故选A.法二：由e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A.3．(一题多解)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)解析：选A.法一：由题意可知：c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2，其中c 为半焦距，所以2c ＝2×|2m |＝4，所以|m |＝1，因为方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，所以(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，所以－m 2<n <3m 2，所以－1<n <3.故选A. 法二：因为原方程表示双曲线，且焦距为4，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0，m 2＋n ＋3m 2－n ＝4， ①或⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n <0，3m 2－n <0，－（3m 2－n ）－（m 2＋n ）＝4，② 由①得m 2＝1，n ∈(－1，3)．②无解．故选A.4．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.由题意得，ba＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.5．(一题多解)(2019·开封模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c ，0)作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 5B.52C.5＋1D.5＋12解析：选A.法一：如图所示，不妨设E 在x 轴上方，F ′为双曲线的右焦点，连接OE ，PF ′，因为PF 是圆O 的切线，所以OE ⊥PE ，又E ，O 分别为PF ，FF ′的中点，所以|OE |＝12|PF ′|，又|OE |＝a ，所以|PF ′|＝2a ，根据双曲线的性质，|PF |－|PF ′|＝2a ，所以|PF |＝4a ，所以|EF |＝2a ，在Rt △OEF 中，|OE |2＋|EF |2＝|OF |2，即a 2＋4a 2＝c 2，所以e ＝5，故选A.法二：连接OE ，因为|OF |＝c ，|OE |＝a ，OE ⊥EF ，所以|EF |＝b ，设F ′为双曲线的右焦点，连接PF ′，因为O ，E 分别为线段FF ′，FP 的中点，所以|PF |＝2b ，|PF ′|＝2a ，所以|PF |－|PF ′|＝2a ，所以b ＝2a ，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5. 6．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B.因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.7．(2019·辽宁五校协作体联合模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1解析：选D.因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.8．(2019·河北邯郸联考)如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，若直线y ＝x 与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形PF 1QF 2为矩形，则双曲线的离心率为( )A ．2＋ 6 B.2＋ 6 C ．2＋ 2D.2＋ 2解析：选D.由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y ＝x 代入双曲线C 方程，可得x ＝±a 2b 2b 2－a 2，所以2·a 2b 2b 2－a2＝c ，所以2a 2b 2＝c 2(b 2－a 2)，即2(e 2－1)＝e 4－2e 2，所以e 4－4e 2＋2＝0.因为e >1，所以e 2＝2＋2，所以e ＝2＋2，故选D.9．(2019·贵阳模拟)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ，若PM →＝2MF →，则双曲线的离心率为( )A. 2B.62C. 3D ．2解析：选B.设P (0，3m )，由PM →＝2MF →，可得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23c ，m ，因为OM ⊥PF ，所以m23c ·3m －c ＝－1，所以m 2＝29c 2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23c ，± 2c 29，由|OM |2＋|MF |2＝|OF |2，|OM |＝a ，|OF |＝c 得，a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 32＋2c 29＝c 2，a 2＝23c 2，所以e ＝c a ＝62，故选B.10．(2019·石家庄模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是( )A. 3B. 2 C ．2D.33解析：选A.由题意可知F 1(－c ，0)，设A (0，y 0)，因为A 是F 1B 的中点，所以点B 的横坐标为c ，又点B 在双曲线的右支上，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，因为直线F 1B 的倾斜角为30°，所以b 2a －0c －（－c ）＝33，化简整理得b 22ac ＝33，又b 2＝c 2－a 2，所以3c 2－3a 2－23ac ＝0，两边同时除以a 2得3e 2－23e －3＝0，解得e ＝3或e ＝－33(舍去)，故选A. 11．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析：选A.由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． 因为MF 1→·MF 2→<0，所以(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线C 上， 所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20<0，所以－33<y 0<33. 12．(2019·四川南充模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，2)B ．(2，2＋2)C ．(2，2)D ．(1，2)∪(2＋2，＋∞)解析：选D.设双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，令x ＝－c ，可得y ＝±b 2a ，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a . 又设D (0，b )，可得AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b －b 2a .AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2b 2a ，DB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－c ，－b －b 2a . 由△ABD 为钝角三角形，可得∠DAB 为钝角或∠ADB 为钝角．当∠DAB 为钝角时，可得AD →·AB →<0，即为0－2b 2a·⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b 2a <0，化为a >b ，即有a 2>b 2＝c2－a 2.可得c 2<2a 2，即e ＝c a< 2.又e >1，可得1<e <2；当∠ADB 为钝角时，可得DA →·DB →<0，即为c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a －b <0，化为c 4－4a 2c 2＋2a 4>0，由e ＝c a ，可得e 4－4e 2＋2>0.又e >1，可得e >2＋ 2.综上可得，e 的范围为(1，2)∪(2＋2，＋∞)．故选D.13．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，所以b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，所以e 2＝259，所以e ＝53.答案：5314．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.答案：215．(2019·武汉调研)已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥x 轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意知F (c ，0)，由PF ⊥x 轴，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，双曲线渐近线的方程为bx ±ay ＝0，由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a a 2＋b 2＝13，解得c ＝2b ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a＝3b ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2b 3b＝233. 答案：23316．(2019·长春监测)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝________．解析：如图所示，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，可知|PF 1|＝|PQ |，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，从而|QF 2|＝2，在△F 1QF 2中，易知OH 为中位线，故|OH |＝1.答案：1[综合题组练]1．(一题多解)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选 B.法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k >0)，即x 24k －y 25k＝1，因为双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，所以4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1，故双曲线C的方程为x 24－y 25＝1.故选B.法二：因为椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3，0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，所以a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，因为双曲线的一条渐近线为y ＝52x ，所以b a ＝52②，联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.2．(2019·郑州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两条渐近线与圆O ：x 2＋y 2＝5交于M ，N ，P ，Q 四点，若四边形MNPQ 的面积为8，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±12xC ．y ＝±22x D ．y ＝±24x 解析：选 B.以原点为圆心，半径长为5的圆的方程为x 2＋y 2＝5，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±bax ，不妨设M ⎝⎛⎭⎪⎫x ，b a x ，因为四边形MNPQ 的面积为8，所以4x ·b ax ＝8， 所以x 2＝2a b，将M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，b a x 代入x 2＋y 2＝5，可得x 2＋b 2a 2x 2＝5，所以2a b ＋2ba＝5，a ＞b ＞0，解得b a ＝12，故选B.3．(2019·石家庄模拟)以椭圆x 29＋y 25＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2.已知点M 的坐标为(2，1)，双曲线C 上的点P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)满足PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，则S △PMF 1－S △PMF 2＝( )A ．2B ．4C ．1D ．－1解析：选 A.由题意，知双曲线方程为x 24－y 25＝1，|PF 1|－|PF 2|＝4，由PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，可得F 1P →·F 1M→|MF 1→||F 1P →|＝F 1F 2→·F 1M→|MF 1→||F 1F 2→|，即F 1M 平分∠PF 1F 2.又结合平面几何知识可得，△F 1PF 2的内心在直线x ＝2上，所以点M (2，1)就是△F 1PF 2的内心．故S △PMF 1－S △PMF 2＝12×(|PF 1|－|PF 2|)×1＝12×4×1＝2.4．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．解析：通解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C的两条渐近线，所以tan ∠BF 1O ＝a b ，tan ∠BOF 2＝b a .因为tan ∠BOF 2＝tan (2∠BF 1O )，所以b a＝2×a b1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2.优解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2 中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c ，0)可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，因为点B 在直线y ＝b a x 上，所以32c ＝b a ·c 2，所以ba＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2. 答案：25．设双曲线y 2a 2－x 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为2.(1)若A ，B 分别为此双曲线的渐近线l 1，l 2上的动点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；(2)过点N (1，0)能否作出直线l ，使l 交双曲线于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)因为e ＝2，所以c 2＝4a 2， 因为c 2＝a 2＋3，所以a ＝1，c ＝2，所以双曲线方程为y 2－x 23＝1，渐近线方程为y ＝±33x ；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )， 因为2|AB |＝5|F 1F 2|， 所以|AB |＝52|F 1F 2|＝10，所以（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝10， 因为y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2，2x ＝x 1＋x 2，2y ＝y 1＋y 2， 所以y 1＋y 2＝33(x 1－x 2)，y 1－y 2＝33(x 1＋x 2)， 所以[3（y 1＋y 2）]2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤33（x 1＋x 2）2＝10，所以3(2y )2＋13(2x )2＝100，即x 275＋y 2253＝1， 则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆．(2)假设存在满足条件的直线l .设l ：y ＝k (x －1)，l 与双曲线交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 因为OP →·OQ →＝0， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝0， 所以x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝0，①因为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）3y 2－x 2＝3，可得(3k 2－1)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝6k 23k 2－1，x 1x 2＝3k 2－33k 2－1，②将②代入①得k 2＋3＝0，所以k 不存在，所以假设不成立，即不存在满足条件的直线l .- 1 -。
北师大版2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第6讲双曲线学案含解析
第6讲双曲线基础知识整合1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做01双曲线.这两个定点叫做双曲线的02焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的03焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)当04a<c时，M点的轨迹是双曲线；(2)当05a＝c时，M点的轨迹是两条06射线；(3)当07a>c时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥08a或x≤09－a，y∈R x∈R，y≤10－a或y≥11a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)渐近线12y＝±bax 13y＝±abx离心率e＝ca，e∈14(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的15实轴，它的长|A1A2|＝162a；线段B1B2叫做双曲线的17虚轴，它的长|B1B2|＝182b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系19c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min ＝c－a.3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2 a；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.5．若P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.6．等轴双曲线(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a＝b；②e＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )A．22B．1C． 2 D．2答案 C解析由题意可得ba＝1，∴e＝1＋b2a2＝1＋12＝ 2.故选C．2．(2019·北京高考)已知双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的离心率是5，则a＝( ) A． 6 B．4C．2 D．12答案 D解析由双曲线方程x2a2－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝c2a2＝a2＋1a2＝1＋1a2.结合a >0，解得a ＝12.故选D ．3．(2019·宁夏模拟)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对答案 B解析 根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒|PF 2|＝1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B ．4．(2019·湖北荆州模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A ．73B ．54C ．43D ．53答案 D解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53.故选D ．5．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________.答案 y ＝±2x解析 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .6．已知曲线方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________．答案 λ<－2或λ>－1解析 ∵方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1.核心考向突破考向一 双曲线的定义例1 (1)(2019·山西太原模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a >0)的一条渐近线方程为2x＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2，则|PF 2|＝( )A ．4B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由题意得2a ＝23，解得a ＝3.因为|PF 1|＝2，所以点P 在双曲线的左支上．所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 2|＝8.故选C ．(2)(2019·河南濮阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝4，F 1是左焦点，P 1，P 2是右支上的两个动点，则|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．16答案 C解析 设双曲线的右焦点为F 2，∵|F 1P 1|＝2a ＋|F 2P 1|，|F 1P 2|＝2a ＋|F 2P 2|，∴|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|＝2a ＋|F 2P 1|＋2a ＋|F 2P 2|－|P 1P 2|＝8＋(|F 2P 1|＋|F 2P 2|－|P 1P 2|)≥8(当且仅当P 1，P 2，F 2三点共线时，取等号)，∴|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是8.故选C ．(1)①抓住“焦点三角形PF 1F 2”中的数量关系是求解本题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a <|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．[即时训练] 1.已知动点M (x ，y )满足x ＋22＋y 2－x －22＋y 2＝4，则动点M的轨迹是( )A ．射线B ．直线C ．椭圆D ．双曲线的一支答案 A解析 设F 1(－2,0)，F 2(2,0)，由题意知动点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝4＝|F 1F 2|，故动点M 的轨迹是射线，故选A ．2．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________.答案 9解析 设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|PA |最小时满足|PF |＋|PA |最小．由双曲线的图象，可知当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|PA |最小，|AF 1|即|PF 1|＋|PA |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9.考向二 双曲线的标准方程例2 (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1B.x 28－y 2＝1 C ．x 2－y 28＝1(x ≥1)D ．x 2－y 28＝1(x ≤－1)答案 D解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)(2020·河北石家庄毕业班摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x223＝1 答案 C解析 因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b 或2c ，从而求出a 2，b 2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点是在x 轴还是在y 轴，设出标准方程，再由条件确定a 2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．注意：①双曲线与椭圆标准方程均可设为mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)，其中m >0且n >0，且m ≠n 时表示椭圆；mn <0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．②常见双曲线设法：(ⅰ)已知a ＝b 的双曲线，可设为x 2－y 2＝λ(λ≠0)； (ⅱ)已知过两点的双曲线，可设为Ax 2－By 2＝1(AB >0)；(ⅲ)已知渐近线为x m ±y n ＝0的双曲线，可设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)．③双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的，必须结合其他已知条件综合判断． ④判断清楚所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．[即时训练] 3.(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1 C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1答案 C解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴e 2＝1＋b 2a 2＝4，∴b 2a2＝3，即b 2＝3a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )，∵b 2a2＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ， 则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |2＝23－32a ，d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3，∴b 2＝9.∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C ．4．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3,0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为__________.答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 设动圆M 的半径为R ，则|MC |＝2＋R ，|MA |＝R ，所以|MC |－|MA |＝2，由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8，则动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．精准设计考向，多角度探究突破 考向三 双曲线的几何性质角度1 例3 (1)(2019·全国卷Ⅲ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5答案 A解析 令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)，则c ＝a 2＋b 2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，∴ca＝2，即离心率e ＝ 2.故选A ．(2)若斜率为2的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)答案 D解析 因为斜率为2的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，所以b a >2，则e ＝ca ＝1＋b 2a2>1＋2＝3，所以双曲线离心率的取值范围是(3，＋∞)，故选D ．求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝ca转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．[即时训练] 5.双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A ． 6B ． 3C ． 2D ．33答案 B解析 如图所示，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝2c cos30°＝433c ，|MF 2|＝2c ·tan30°＝233c ，∴2a ＝|MF 1|－|MF 2|＝433c －233c ＝233c ⇒e ＝ca＝ 3.6．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)答案 D解析 依题意，0<∠AF 2F 1<π4，故0<tan ∠AF 2F 1<1，则b 2a 2c ＝c 2－a 22ac <1，即e －1e<2，e 2－2e－1<0，(e －1)2<2，所以1<e <1＋2，故选D ．角度2 双曲线的渐近线问题例4 (1)(2020·贵州综合测试一)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±13xB ．y ＝±33x C ．y ＝±3x D ．y ＝±3x答案 B解析 由题可知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ，圆心为(2,0)，半径为1，易知圆心到渐近线的距离d ＝2ba 2＋b2＝1，故4b 2＝a 2＋b 2，即3b 2＝a 2，则b a ＝33，故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，选B ． (2)(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin40°B ．2cos 40°C ．1sin50°D ．1cos50°答案 D解析 由题意可得－ba＝tan130°，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos130°|＝1cos50°.故选D ．(1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b2＝0，即得两渐近线方程x a ±y b＝0⎝⎛⎭⎪⎫y ＝±b ax .(2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a满足关系式e 2＝1＋k 2.[即时训练] 7.(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 答案 A解析 ∵e ＝c a ＝3，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝3－1＝2，∴ba＝ 2.因为该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A ．8．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．2 2D ．3 2答案 A解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A ． 考向四 直线与双曲线的位置关系例5 已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)经过点P (2,1)，且其中一焦点F 到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点P 作两条相互垂直的直线PA ，PB 分别交双曲线Γ于A ，B 两点，求点P 到直线AB 距离的最大值．解 (1)∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2,1)，∴4a 2－1b2＝1.不妨设F 为右焦点，则F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，∴b ＝1，a2＝2，∴所求双曲线的方程为x 22－y 2＝1.(2)当直线AB 的斜率不存在时，设A (x 0，y 0)(y 0>0)，则B (x 0，－y 0)，PA →＝(x 0－2，y 0－1)，PB →＝(x 0－2，－y 0－1)，∵PA →·PB →＝0，∴(x 0－2)2－(y 0－1)(y 0＋1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－4x 0－y 20＋5＝0，x 202－y 20＝1，得⎩⎨⎧x 0＝6，y 0＝17或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝1(舍去)，即A (6，17)，B (6，－17)，此时点P 到AB 的距离为6－2＝4.当直线AB 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m 代入x 2－2y 2＝2中， 整理得(2k 2－1)x 2＋4kmx ＋2m 2＋2＝0. ∴x 1＋x 2＝－4km2k 2－1，①x 1x 2＝2m 2＋22k 2－1.②∵PA →·PB →＝0，∴(x 1－2，y 1－1)·(x 2－2，y 2－1)＝0， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋(kx 1＋m －1)(kx 2＋m －1)＝0， ∴(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋m 2－2m ＋5＝0.③ 将①②代入③，得m 2＋8km ＋12k 2＋2m －3＝0， ∴(m ＋2k －1)(m ＋6k ＋3)＝0. 而P ∉AB ，∴m ＝－6k －3，从而直线AB 的方程为y ＝kx －6k －3.将y ＝kx －6k －3代入x 2－2y 2－2＝0中，得(1－2k 2)x 2＋(24k 2＋12k )x －72k 2－72k －20＝0，判别式Δ＝16(17k 2＋18k ＋5)>0恒成立， ∴y ＝kx －6k －3即为所求直线．∴P 到AB 的距离d ＝|2k －6k －3－1|1＋k 2＝4|k ＋1|k 2＋1.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫d 42＝k 2＋1＋2k k 2＋1＝1＋2k k 2＋1≤2. ∴d ≤42，即此时点P 到直线AB 距离的最大值为4 2. ∵42>4，故点P 到直线AB 距离的最大值为4 2.求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是： (1)设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．(2)利用点差法．[即时训练] 9.设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B ．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，取PA →＝512PB →，求a 的值．解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)中，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 21－a 2>0，解得0<a <2且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，所以e >62且e ≠2，即e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a21－a2， x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，由a >0，解得a ＝1713.直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A ，B . (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后， 整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝2k 2－8k 2－2>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0，解得k 的取值范围是－2<k <－ 2.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2－k2，x 1x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)，则由FA ⊥FB ，得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0.即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F .答题启示(1)以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)关于这种探索性问题．若存在，可用点差法求出直线的斜率，进而求方程；也可以设直线斜率为k ，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．对点训练已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P是线段AB 的中点？解 设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．① 则x 0＝x 1＋x 22＝k 1－k2－k2. 由题意，得k 1－k2－k2＝1，解得k ＝2. 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．故不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．1、在最软入的时候，你会想起谁。
高考数学一轮复习第9章平面解析几何第6讲双曲线课件文
2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)
图形
标准方程
范围 对称 性性 质 顶点 渐近 线
xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) x≥a 或 x≤－a，y∈R
ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0) y≤－a 或 y≥a，x∈R
所以渐近线方程为 bx±ay＝0 且 a2＋b2＝25，
又圆心 M(0，5)到两条渐近线的距离为 r＝3．
所以 b|52＋a| a2＝3，得 a＝3，b＝4， 所以双曲线 G 的方程为x92－1y62 ＝1． 【答案】 (1)9 (2)x92－1y62 ＝1
(1)双曲线上点 P 与焦点问题首先想到双曲线定义 |PF1|－|PF2|＝2－a（2aP（在P右 在支 左上 支） 上），其中 F1、F2 为左、右焦 点． (2)求双曲线标准方程的一般方法 ①待定系数法
B．2x02－1y62 ＝1
C．2y02 －1x62＝1
D．2y02 －x42＝1
解析：选 B．2a＝ （－5＋6）2＋22－ （－5－6）2＋22 ＝4 5． 所以 a＝2 5，又 c＝6， 所以 b2＝c2－a2＝36－20＝16． 所以双曲线的标准方程为2x02－1y62 ＝1．故选 B．
(选修 1-1 P51 例 3 改编)双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的一条
A．20
B．16
C．12
D．8
解析：选 A．设 P 到另一个焦点的距离为 d，
则|d－4|＝2×8＝16，
所以 d＝20，故选 A．
(选修 1-1 P48 练习 T1(3)改编)双曲线 C 的焦点为(－6，0)，
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线分层演练理(含解析)新人教A版
第6讲 双曲线1．(2019·石家庄模拟)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c ＝4，a ＝2，b 2＝12，双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选A.2．(2019·辽宁抚顺模拟)当双曲线M ：x 2m 2－y 22m ＋6＝1(－2≤m <0)的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2xD ．y ＝±12x解析：选C.由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为x 2－y 24＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .故选C.3．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32解析：选D.法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP →＝(1，0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D.4．(2019·武汉市武昌区调研考试)已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1＋e 22的最小值为( )A ．6B ．3 C. 6D. 3解析：选 A.设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a ′，半焦距为c ，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a |PF 1|－|PF 2|＝2a ′，2a ＝2a ′＋4c ，所以2e 1＋e 22＝2a c ＋c 2a ′＝2a ′＋4c c ＋c 2a ′＝2a ′c ＋c 2a ′＋4≥2＋4＝6，当且仅当c ＝2a ′时取“＝”，故选A.5．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( ) A.32B ．3C ．2 3D ．4 解析：选B.因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.6．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x 2m ＝1的焦距等于4，则n ＝________．解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n >0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)． 答案：57．(2018·高考北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．解析：设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，所以b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，因为b 2＝a 2－c 2，所以(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，所以4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，所以e 4椭－8e 2椭＋4＝0，所以e 2椭＝4±23，所以e 椭＝3＋1(舍去)或e 椭＝3－1，所以椭圆M 的离心率为3－1，因为双曲线的渐近线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，所以渐近线方程为y ＝3x ，所以n m ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2. 答案：3－1 28．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的左、右焦点，若△PF 1F 2的面积为12，则∠F 1PF 2＝________．解析：由题意可知，F 1(－13，0)，F 2(13，0)，|F 1F 2|＝213.设P (x 0，y 0)，则△PF 1F 2的面积为12×213|y 0|＝12.故y 20＝12213，将P 点坐标代入双曲线方程得x 20＝2513，不妨设点P ⎝⎛⎭⎪⎫51313，121313，则PF 1→＝(－181313，－121313)，PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫81313，－121313，可得PF 1→·PF 2→＝0，即PF 1⊥PF 2，故∠F 1PF 2＝π2. 答案：π29．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程． 解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. 所以|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，所以双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1. (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m >0，n >0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ，所以S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.1．(2019·长春市质量检测(二))过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( ) A ．10 B ．13 C ．16D ．19解析：选B.由题可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)，因此|PM |2－|PN |2＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13.故选B.2．(2019·石家庄模拟)以椭圆x 29＋y 25＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2.已知点M 的坐标为(2，1)，双曲线C 上的点P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)满足PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，则S △PMF 1－S △PMF 2＝( )A ．2B ．4C ．1D ．－1解析：选A.由题意，知双曲线方程为x 24－y 25＝1，|PF 1|－|PF 2|＝4，由PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，可得F 1P →·F 1M→|MF 1→||F 1P →|＝F 1F 2→·F 1M→|MF 1→||F 1F 2→|，即F 1M 平分∠PF 1F 2.又结合平面几何知识可得，△F 1PF 2的内心在直线x ＝2上，所以点M (2，1)就是△F 1PF 2的内心．故S △PMF 1－S △PMF 2＝12×(|PF 1|－|PF 2|)×1＝12×4×1＝2.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A ，B 两点，F 1为左焦点．(1)求双曲线的方程；(2)若△F 1AB 的面积等于62，求直线l 的方程．解：(1)依题意，b ＝3，c a ＝2⇒a ＝1，c ＝2，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知F 2(2，0)．易验证当直线l 斜率不存在时不满足题意，故可设直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 2－y 23＝1，消元得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0，k ≠±3，x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1－y 2＝k (x 1－x 2)，△F 1AB 的面积S ＝c |y 1－y 2|＝2|k |·|x 1－x 2|＝2|k |·16k 4－4（k 2－3）（4k 2＋3）|k 2－3|＝12|k |·k 2＋1|k 2－3|＝6 2.得k 4＋8k 2－9＝0，则k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝x －2或y＝－x ＋2.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x＝a 2c 的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，已知A (1，0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．解：(1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，因为a 2＋b 2＝c 2，所以c ＝2a ， 所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3， 所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1得2x 2－2mx －m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又因为DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1，所以m ＝0(舍)或m ＝2， 所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1，因为DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0，所以AD ⊥AB ，所以过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， 因为点M 的横坐标为1，所以MA ⊥x 轴， 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．。
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第6节双曲线最新考纲了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2(|F1F2｜＝2c＞0）的距离差的绝对值等于常数(小于｜F1F2|且大于零）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M｜||MF1｜－｜MF2||＝2a}，|F1F2｜＝2c,其中a，c为常数且a〉0,c〉0：（1）若a<c时，则集合P为双曲线；（2）若a＝c时，则集合P为两条射线；（3)若a〉c时,则集合P为空集.2。
双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0)错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴:坐标轴；对称中心:原点顶点A1（－a，0），A2（a，0）A1(0，－a），A2(0，a）[常用结论与微点提醒]1。
过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为错误!，也叫通径.2.离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.3。
等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于错误!。
2020版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线教案理(含解析)新人教A版(最新整理)
第6讲双曲线基础知识整合1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2（|F1F2｜＝2c>0）的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2｜且不等于零)的点的轨迹叫做错误!双曲线．这两个定点叫做双曲线的错误!焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的错误!焦距．集合P＝{M|｜｜MF1|－|MF2｜｜＝2a}，|F1F2｜＝2c,其中a，c为常数且a〉0，c>0:（1）当错误!a〈c时，M点的轨迹是双曲线；(2）当错误!a＝c时，M点的轨迹是两条错误!射线；（3)当错误!a>c时,M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质续表a,b,c的关系，错误!c2＝a2＋b2(c〉a>0,c〉b>0）双曲线中的几个常用结论（1）焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．（3）双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝错误!⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系）．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为错误!.（5)双曲线的离心率公式可表示为e＝错误!。
1．（2018·浙江高考）双曲线错误!－y2＝1的焦点坐标是( ）A．（－错误!，0),(错误!,0) B．（－2，0），（2，0)C．（0，－错误!），(0，错误!）D．（0，－2)，(0，2）答案 B解析 因为双曲线方程为错误!－y 2＝1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，因为c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4,c ＝2,所以焦点坐标为(±2,0）,选B 。
2．(2019·宁夏模拟)设P 是双曲线错误!－错误!＝1上一点,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点，若｜PF 1|＝9，则|PF 2｜等于( ）A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对答案 B解析 根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2|｜＝8⇒｜PF 2｜＝1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B 。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第6讲 双曲线教案 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学教
第6讲双曲线一、知识梳理1．双曲线的定义条件结论1结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点|F1F2|为双曲线的焦距||MF1|－|MF2||＝2a2a<|F1F2|2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质X围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx 离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. 常用结论1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线PA ，PB 斜率存在且不为0，则直线PA 与PB 的斜率之积为b 2a2.2．巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． 二、习题改编1．(选修11P53T1改编)双曲线x 224－y 225＝－1的实轴长，离心率，渐近线方程．答案：10 75y ＝±5612x2．(选修11P53练习T3改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为．答案：x 2－y 23＝13．(选修11P54A 组T6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为．答案：x 28－y 28＝1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．( )(2)椭圆的离心率e ∈(0，1)，双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)．( )(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、易错纠偏常见误区(1)忽视双曲线定义的条件致误； (2)忽视双曲线焦点的位置致误．1．平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是．解析：由|PF 1|－|PF 2|＝6<|F 1F 2|＝8，得a ＝3，又c ＝4，则b 2＝c 2－a 2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y 29－x 27＝1的下支．答案：双曲线y 29－x 27＝1的下支2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为．解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则渐近线的方程为y ＝±b ax ， 由题意可得b a＝3，b ＝3a ，可得c ＝2a ，则e ＝c a＝2；若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1，则渐近线的方程为y ＝±a bx ，由题意可得a b ＝3，a ＝3b ，可得c ＝233a ，则e ＝233.综上可得e ＝2或e ＝233.答案：2或233双曲线的定义及应用(典例迁移)设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是．【解析】 双曲线x 24－y 2＝1中，a ＝2，b ＝1，c ＝ 5.可设点P 在右支上，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝4，两边平方得，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝16，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝20，所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝1.【答案】 1【迁移探究】 (变设问)在本例条件下，则△F 1PF 2的周长为．解析：又(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋4|PF 1|·|PF 2|＝16＋8＝24，所以|PF 1|＋|PF 2|＝26，△PF 1F 2的周长为26＋2 5.答案：25＋26双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，当∠F 1PF 2＝90°时，S △PF 1F 2＝b 2，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．[注意] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．1．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( )A ．6B ．4C ．8D ．4或8解析：选D.由双曲线的标准方程可得a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.2．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝．解析：由双曲线的定义有 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， 所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34. 答案：34双曲线的标准方程(师生共研)(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1B.x 28－y 2＝1 C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1)D ．x 2－y 28＝1(x ≥1)(2)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的方程为．【解析】 (1)设动圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (2)在椭圆x 29＋y 24＝1中，c ＝9－4＝ 5.因为双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，所以可设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x 24λ－y 2λλ>0时，c ＝λ＋4λ＝5，解得λ＝1，则双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1；当λ<0时，c ＝－λ－4λ＝5，解得λ＝－1，则双曲线C 的方程为y 2－x 24，双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1.【答案】 (1)C (2)x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1求双曲线标准方程的方法(1)定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： ①c 2＝a 2＋b 2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a . (2)待定系数法 ①一般步骤②常用设法(i)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；(ii)若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(iii)若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)或mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．1．双曲线C 的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 220－y 24＝1 B.x 220－y 216＝1 C.y 220－x 216＝1 D ．y 220－x 24＝1 解析：选a ＝|（－5＋6）2＋22－ |（－5－6）2＋22 ＝4 5.所以a ＝25，又c ＝6， 所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16. 所以双曲线的标准方程为x 220－y 216B.2．(2020·某某市第一次质检测)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为4，一条渐近线的方程为y ＝12x ，则双曲线C 的方程为( )A.x 216－y 24＝1 B.x 24－y 216＝1C.x 264－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1解析：选A.由题意知，双曲线的虚轴长为4，得2b ＝4，即b ＝2，又双曲线的焦点在x轴上，则其一条渐近线的方程为y ＝b a x ＝12x ，可得a ＝4，所以双曲线C 的方程为x 216－y 24＝1，故选A.双曲线的几何性质(多维探究) 角度一 双曲线的渐近线问题(2020·某某第三次调研测试)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长是虚轴长的2倍，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±24x 【解析】 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，所以2a ＝22b ，即a ＝2b .所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .故选C. 【答案】 C求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)．[说明] 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x 轴，y 轴对称．角度二 双曲线的离心率问题(1)(2020·某某市诊断考试)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为4，离心率为3，则其虚轴长为( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．463(2)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ． 5【解析】 (1)由题意知2a ＝4，所以ae ＝ca＝3，所以c ＝23，所以b ＝c 2－a 2＝22，所以2b ＝42，即该双曲线的虚轴长为42，故选B.(2)法一：依题意，记F (c ，0)，则以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24，将圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24与圆x 2＋y 2＝a 2的方程相减得cx ＝a 2，即x ＝a 2c ，所以点P ，Q 的横坐标均为a 2c.由于PQ 是圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|PQ |22＝a 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，即c 24＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2c 2＝a 2b 2c2，所以c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ，因此C 的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选A.法二：记F (c ，0)．连接OP ，PF ，则OP ⊥PF ，所以S △OPF ＝12|OP |·|PF |＝12|OF |·12|PQ |，即12a ·c 2－a 2＝12c ·12c ，即c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ，因此C 的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选A.法三：记F (c ，0)．依题意，PQ 是以OF 为直径的圆的一条弦，因此OF 垂直平分PQ .又|PQ |＝|OF |，因此PQ 是该圆的与OF 垂直的直径，所以∠FOP ＝45°，点P 的横坐标为c2，纵坐标的绝对值为c 2，于是有2×c 2＝a ，即e ＝ca＝2，即C 的离心率为2，故选A.【答案】 (1)B (2)A(1)求双曲线的离心率或其取值X 围的方法①求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝b a ＝c 2－a 2a＝c 2a2－1＝e 2－1.1．(2020·某某、某某、某某联考)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，则斜率为正的渐近线的斜率为( )A.32B.12C. 3D ．2解析：选D.双曲线的离心率为5，即c a＝5，所以b a ＝c 2－a 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选D. 2．(2020·某某某某二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，左顶点为A ，右焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线C 在第一象限内的交点为B ，且直线AB 的斜率为12，则C 的离心率为．解析：把x ＝c 代入双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)得y ＝b 2a ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，又A (－a ，0)，直线AB 的斜率为12，所以b 2aa ＋c ＝12，可得a 2＋ac ＝2c 2－2a 2，即2c 2－3a 2－ac ＝0， 即2e 2－3－e ＝0， 因为e >1，所以e ＝32.答案：32思想方法系列14 方程思想求圆锥曲线的离心率(2020·某某某某一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 是双曲线C 的右焦点，A 是双曲线C 的右顶点，过F 作x 轴的垂线，交双曲线于M ，N 两点．若tan ∠MAN ＝－34，则双曲线C 的离心率为( ) A ．3 B ．2 C.43D ． 2【解析】 由题意可知 tan ∠MAN ＝－34＝2tan ∠MAF1－tan 2∠MAF，解得tan ∠MAF ＝3，可得b 2ac －a＝3，可得c 2＋2a 2－3ac ＝0，e 2＋2－3e ＝0， 因为e ＞1， 所以解得e ＝2. 故选B. 【答案】 B(1)本例利用方程思想，将已知条件转化为关于e 的方程，然后求出离心率e . (2)求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值X 围的方法通常是根据条件列出关于a ，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e 的方程或不等式求解．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点．若△ABF 2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值X 围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1，1)C ．(0，3－1)D ．(3－1，1)解析：选B.由题意得F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a .因为△ABF 2是锐角三角形，所以∠AF 2F 1＜45°，所以tan ∠AF 2F 1＜1，即b 2a 2c，得b 2＜2ac ，所以a 2－c 2＜2ac .两边同时除以a 2并整理，得e 2＋2e －1＞0，解得e ＞2－1或e ＜－2－1(舍去)．又因为0＜e ＜1，所以椭圆的离心率e 的取值X 围为(2－1，1)．[基础题组练]1．(2019·高考卷)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的离心率是5，则a ＝( )A. 6 B ．4 C ．2D.12解析：选D.由双曲线方程x 2a2－y 2＝1，得b 2＝1， 所以c 2＝a 2＋1.所以5＝e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.结合a >0，解得a ＝12.故选D.2．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.由题意得，b a＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.3．设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．10 3B ．8 3C ．8 5D ．16 5解析：选C.依题意|F 1F 2|＝6，|PF 2|－|PF 1|＝2，因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，所以等腰三角形PF 1F 2的面积S ＝12×8×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝8 5. 4．(2020·某某市质量监测(一))已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A ，B ，点P 为双曲线上除A ，B 外任意一点，且点P 与点A ，B 连线的斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2＝3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：选C.设点P (x ，y )，由题意知k 1·k 2＝yx －a ·yx ＋a ＝y 2x 2－a 2＝y 2a 2y 2b 2＝b 2a 2＝3，所以其渐近线方程为y ＝±3x ，故选C.5．(2019·高考某某卷)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ． 5解析：选D.由题意知F (1，0)，l ：x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，则|AB |＝4|OF |＝4，而|AB |＝2×b a ，所以b a ＝2，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝a 2＋4a 2a＝5，故选D.6．(2019·高考某某卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是．解析：因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3，4)，所以9－16b2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x7．(2020·某某某某期末改编)已知方程x 24－k＋y 2k －2＝1，若该方程表示双曲线，则k的取值X 围是，若该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值X 围是．解析：方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线，若焦点在x 轴上，则4－k >0，k －2<0，解得k <2；若焦点在y 轴上，则4－k <0，k －2>0，解得k >4，则k 的取值X 围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．若方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则4－k >k －2>0，即2<k <3，则k 的取值X 围为(2，3)．答案：(－∞，2)∪(4，＋∞) (2，3)8．(2020·某某某某诊断测试改编)已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点．若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为，其离心率为．解析：因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，点P (1，3)在渐近线上，所以b a＝ 3.在Rt △OPF 中，|OP |＝（3）2＋1＝2，∠FOP ＝60°，所以|OF |＝cc 2＝a 2＋b 2，所以b ＝23，a ＝2，所以双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1，离心率e ＝ca＝2.答案：x 24－y 212＝1 29．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为3. 所以|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，所以双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上． 解：(1)因为离心率e ＝2， 所以双曲线为等轴双曲线， 可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)， 则由点(4，－10)在双曲线上， 可得λ＝42－(－10)2＝6，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝6. (2)证明：因为点M (3，m )在双曲线上， 所以32－m 2＝6，所以m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)，所以MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0，所以MF 1⊥MF 2，所以点M 在以F 1F 2为直径的圆上．[综合题组练]1．(2020·某某某某高中4月模拟)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，且∠F 1PF 2＝60°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.3x ±y ＝0 B ．2x ±7y ＝0 C.3x ±2y ＝0D ．2x ±3y ＝0解析：选C.因为F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线右支上，所以由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又知|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即12＝（3a ）2＋a 2－4c 22×3a ×a，所以3a 2＝10a2－4c 2，即4c 2＝7a 2，又知b 2＋a 2＝c 2，所以b 2a 2＝34，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±32x ，即3x ±2y ＝0，故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为．解析：法一：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan ∠BF 1O ＝a b ，tan ∠BOF 2＝b a.因为tan ∠BOF 2＝tan (2∠BF 1O )，所以b a＝2×a b1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2.法二：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c ，0)可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，因为点B 在直线y ＝b a x 上，所以32c ＝b a ·c 2，所以ba＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2.答案：23．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，所以双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33（x －3），得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635. 4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4，0)，实轴长为4 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋22与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值X 围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得，a ＝23，c ＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4， 所以双曲线C 的方程为x 212－y 24＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋22与x 212－y 24＝1联立，得(1－3k 2)x 2－122kx ⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－122k ）2＋4×（1－3k 2）×36>0，x A ＋x B ＝122k 1－3k 2<0，x A x B ＝－361－3k2>0， 解得33<k <1. 所以当33<k <1时，l 与双曲线的左支有两个交点． 所以k 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1。
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何7第6讲双曲线新题培优练文(含解析)新人教A版
第 6讲双曲线[ 基础题组练 ]x2y2x2y21．若双曲线C1：2 －8＝ 1 与C2：a2－b2＝ 1( a>0，b>0) 的渐近线同样，且双曲线C2的焦距为 45，则b＝ ()A．2B． 4C．6D． 8b22分析：选 B. 由题意得，a＝2? b＝ 2a，C2的焦距 2c＝ 45? c＝ a ＋ b ＝25? b＝4，故选 B.x2y22．已知双曲线a2－b2＝ 1( a>0，b>0) 的左、右焦点分别为F1， F2，点 P 在双曲线的右支上，若 | PF1| － | PF2| ＝ 4b，且双曲线的焦距为 2 5，则该双曲线的方程为 ()x22 B.x2y2A.－y ＝1－＝ 14322y2x2y2C．x－4＝1 D.2－3＝1| PF1| － | PF2| ＝2a＝ 4b，分析：选 A. 由题意可得c2＝a2＋ b2，2 ＝ 25，ca2＝4，x22解得b2＝1，则该双曲线方程为4－ y ＝1.x2y23．(2019 ·高考全国卷Ⅲ ) 已知F是双曲线 C：4－5＝1的一个焦点，点P在 C上，O为坐标原点．若 || ＝ || ，则△的面积为 ()OP OF OPF35A. 2B. 279C. 2D. 2分析：选 B. 因为c2＝a2＋b2＝ 9，因此 | OP| ＝| OF|＝3. 设点P的坐标为 ( x，y) ，则x2＋y222515＝ 9，把x＝ 9－ y代入双曲线方程得 | y| ＝，因此S△OPF＝ | OF| · | y P| ＝.应选 B.322x2y24．已知双曲线a2－b2＝ 1( a>0，b>0) ，过其左焦点 F 作 x 轴的垂线，交双曲线于A，B 两点，若双曲线的右极点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是()A ．(2 ，＋∞)B ．(1 ，2)33C. 2，＋∞D. 1，222分析：选 A. 由双曲线的性质可得| | ＝ b，即以AB 为直径的圆的半径为b，而右极点与AFaab 22222左焦点的距离为 a ＋ c ，由题意可知 a >a ＋ c ，整理得 c － 2a － ac >0，两边同除以 a ，则 e －e － 2>0，解得 e >2 或 e <－ 1，又双曲线的离心率大于 1，因此 e >2.5．已知双曲线的焦距为 6，其上一点 P 到两焦点的距离之差为－ 4，则双曲线的标准方程为 ________．分析：若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为 x 2 y 22c ＝ 6， 即2－ 2＝ 1. 由题意得2a ＝ 4，a ba ＝ 2，2222x 2y 2c ＝ 3. 又 c ＝ a ＋b ，故 b ＝ 5. 因此双曲线的标准方程为 4 － 5 ＝1. 若双曲线的焦点在 y 轴y 2 x 2 a ＝ 2， 22 2yx上，设其标准方程为2－ 2＝ 1. 同理可得 1因此 b 1＝ 5. 因此双曲线的标准方程为 －a b c 1 ＝3， 1 145x 2 y 2 y 2 x 2＝ 1. 综上所述，双曲线的标准方程为4－ 5＝1 或 4－5＝1.x 2y 2y 2 x 2答案： －＝1或 －＝ 14545x 2 y 2＝ 1( a >0， b >0) 的一条渐近线经过点6．若双曲线 a 2－ b 2 (3 ，－ 4) ，则此双曲线的离心率为 ________．b 4分析：由双曲线的渐近线过点(3 ，－ 4) 知a ＝3，因此 b 2 16 2 2 2c 2－ a 2 16a 2＝ . 又 b ＝ c － a ，因此2＝，9a92162255即 e －1＝ 9 ，因此 e ＝ 9 ，因此 e ＝3.5 答案： 37．已知椭圆 D ：x 2y 222G 与椭圆 D 有同样的焦点，50＋＝ 1与圆 M ： x ＋( y － 5)＝9，双曲线25它的两条渐近线恰巧与圆M 相切，求双曲线 G 的方程．解：椭圆 D 的两个焦点坐标为 ( － 5， 0) ，(5 ， 0) ，因此双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且 c ＝ 5.x 2 y 2设双曲线 G 的方程为 a 2－b 2＝ 1( a >0，b >0) ，因此渐近线方程为bx± ay＝0且 a2＋ b2＝25，又圆心(0 ，5) 到两条渐近线的距离为r ＝ 3.M因此|5 a|2＝3，得a＝3，b＝ 4，2b ＋ ax2y2因此双曲线 G的方程为9－16＝1.8．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为 4 3.(1)求双曲线 C的方程；(2) 若直线l：y＝kx＋22与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．x2 y2解： (1) 设双曲线C的方程为a2－b2＝ 1( a>0，b>0) ．由已知得：＝ 23，＝ 4，再由2＋2＝2，得2x2y2a b c b＝ 4，因此双曲线C的方程为－＝a c124 1.x2y222(2) 设A( x A，y A) ，B( x B，y B) ，将y＝kx＋ 22与12－4＝ 1 联立，得 (1－3k) x－ 122kx－36＝ 0. 由题意知1－ 3k2≠ 0，＝（－ 122k）2＋4×（ 1－3k2）× 36>0，122kx A＋ x B＝1－3k2<0，－36x A x B＝1－3k2>0，3解得3 <k<1.3因此当 3<k<1时，l与双曲线左支有两个交点．因此k 的取值范围为33， 1[ 综合题组练 ]1．(2019 ·唐山市摸底考试) 已知椭圆x2y2> >0) 和双曲线：2y2有同样： 2＋ 2＝1(－＝ 1C a b a b E x的焦点1， 2，且离心率之积为1，P 为两曲线的一个交点，则△12的形状为()F F F PF A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不可以确立c2分析：选 B. 由题意可知，a× 2＝ 1?c＝2 a，因为 c ＝ 2，222因此 a ＝ 2，b ＝a － c ＝ 2，| PF 1| ＋| PF 2| ＝4 则 ，| PF 1| －| PF 2| ＝2得| PF 1| 2＝ | F 1F 2| 2＋ | PF 2| 2，因此△ F 1PF 2 为直角三角形，应选 B.2．(2018 ·高考全国卷Ⅰ ) 已知双曲线x 22F 为 C 的右焦点，过C ： － y ＝ 1，O 为坐标原点，3F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 ， .若△为直角三角形，则 ||＝()M NOMNMN3B ． 3A.2C ．2 3D ． 4分析：选 B. 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝± 1x .3设两渐近线夹角为2α，13则有 tan α＝3＝ 3 ，因此 α＝ 30° .因此∠ MON ＝2α＝ 60° .又△ OMN 为直角三角形，因为双曲线拥有对称性，不如设MN ⊥ ON ，如下图．在 Rt △ ONF 中， | OF | ＝ 2，则 | ON |＝ 3.则在 Rt △ OMN 中， | MN |＝ | ON |· tan 2 α＝ 3· tan 60 °＝ 3. 应选 B.法二：因为双曲线x 22的渐近线方程为＝±3，因此∠＝ 60° . 不如设过点－y ＝1y 3xF3MON3的直线与直线y ＝ 3 x 交于点 M ，由△ OMN 为直角三角形，不如设∠OMN ＝ 90°，则∠ MFO ＝60°，又直线 MN 过点 F (2 ， 0) ，因此直线 MN 的方程为 y ＝－ 3( x － 2) ，y ＝－ 3（x － 2），3x ＝ ，2 223，因此|3由3得因此 M 3 ，| ＝＋ 3 ＝ y ＝32 2OM22x ，3y ＝ 2 ，3，因此 ||＝ 3|| ＝ 3，应选 B.MNOM223．( 综合型 ) 已知双曲线 x－y＝ 1，过点 ( ， 0) 作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交3 4M m于 A ， B 两点．若△ AOB 是锐角三角形 ( O 为坐标原点 ) ，则实数 m 的取值范围是 ________．22，因此 →＝2， → ＝分析：由题意得A m ， 2m， B m ，－ 2mm3 － 13 － 1OA m ， 23 － 1OB2→ →m. 因为△ AOB 是锐角三角形，因此∠，－2－1 AOB 是锐角，即 OA 与OB 的夹角为锐角，所m32以 → · →>0，即2－4m3< <2 3.由过点( ， 0) 作垂直于双曲线实轴的直＋ 4>0，解得－ 2OA OBm3mM m线与双曲线交于A ，B 两点可知 m <－ 3 或 m > 3. 故实数 m 的取值范围是 ( － 2 3 ，－3) ∪( 3，2 3) ．答案： ( －2 3，－ 3) ∪( 3，2 3)4．(2019 ·河北名校名师俱乐部二调)已知 1， 2 分别是双曲线x 2y 2 b>0) 的左、右－ 2＝1(F Fb焦点， A 是双曲线上在第一象限内的点，若 | AF 2| ＝2 且∠ F 1AF 2＝45°，延伸 AF 2 交双曲线的右支于点 ，则△1的面积等于 ________．B F AB分析：由题意知 a ＝ 1，由双曲线定义知| AF | － | AF | ＝ 2a ＝ 2， | BF | － | BF | ＝2a ＝ 2，所1212以 | AF 1| ＝ 2＋| AF 2| ＝ 4， | BF 1| ＝2＋ | BF 2|. 由题意知 | AB | ＝ | AF 2| ＋ | BF 2| ＝ 2＋ | BF 2| ，因此 | BA |＝ |1| ，因此△1 为等腰三角形，因为∠12＝ 45°，因此∠1＝ 90°，因此△1为BFBAFF AFABF BAF等腰直角三角形．因此| BA | ＝| BF | ＝ 2 |AF |＝×4＝2 2.因此 S 1 ＝ |BA |·|BF |＝ ×112△FAB 1112 2222 2 ×2 2＝ 4.答案： 4x 2 y 25．已知双曲线 C ： a 2－ b 2＝ 1( a >0， b >0) 的离心率为 3，点 (3， 0) 是双曲线的一个顶点．(1) 求双曲线的方程；(2) 过双曲线右焦点 F 2 作倾斜角为 30°的直线，直线与双曲线交于不一样的两点A ， B ，求| AB |.x 2 y 2解： (1) 因为双曲线 C ： a 2－ b 2＝ 1( a >0， b >0) 的离心率为 3 ，点 ( 3， 0) 是双曲线的一个极点，c＝3，ax2y2因此双曲线的方程为3－6＝1.x2y2(2) 双曲线3－6＝ 1 的右焦点为F2(3 ， 0) ，3因此经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝3 ( x－3) ．x2y2－＝1，联立36得 5x2＋ 6x－ 27＝ 0.3y＝3（ x－3），设 (1，1)，(2，y 2)，则1＋2＝－6， 1 2＝－27.A x yB x x x5 x x5因此 || ＝1 6227163 1＋×－－4×－＝.AB3555x2y26．( 综合型 ) 设A，B分别为双曲线a2－b2＝ 1( a>0，b>0) 的左、右极点，双曲线的实轴长为 43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；3(2) 已知直线y＝3x－2与双曲线的右支交于M， N两点，且在双曲线的右支上存在点D，→→→使 OM＋ON＝ tOD，求t的值及点D的坐标．解： (1)由题意知a＝23，b因为一条渐近线为y＝ax，即bx－ ay＝0.因此由焦点到渐近线的距离为3，| bc|得b2＋a2＝ 3.又因为 c2＝ a2＋ b2，因此 b2＝3，x2y2因此双曲线的方程为12－3＝1.(2)设 M( x1， y1)， N( x2， y2)，D( x0， y0)，此中 x0≥2 3.则 x1＋x2＝ tx 0， y1＋y2＝ ty 0.3x 2 y 22将直线方程 y ＝ 3 x －2 代入双曲线方程 12－ 3 ＝ 1 得 x － 16 3x ＋ 84＝0，3则 x 1＋x 2＝ 16 3， y 1＋ y 2＝ 3 ( x 1＋ x 2) －4＝ 12.x 04 3＝3，＝ 4 3，因此y 0x 0 22解得y 0＝ 3.x 0y 0－ ＝1.12 3因此 t ＝ 4，点 D 的坐标为 (4 3，3) ．。
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第7讲 双曲线配套练习 文 北师大版-北师大版高三全册数学
第7讲 双曲线一、选择题1．(2017·某某模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2x解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x ，故选B. 答案 B2．(2015·某某卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.答案 C3．(2017·某某省四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53 B.355 C.63 D.62解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c,0)到y ＝bax 的距离为2，即|bc |a 2＋b 2＝2，又b ＞0，c ＞0，a 2＋b 2＝c 2，∴bc c＝b ＝2，又∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3，∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a＝35＝355.答案 B4．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35 C.34D.45解析 由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2. 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.答案 C5．(2017·某某诊断)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3 解析 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3. 答案 D 二、填空题6．(2016·某某卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．解析 由已知，得a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 答案 2107．(2016·卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________. 解析取B 为双曲线右焦点，如图所示．∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝22， 又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tan π4＝1，即a ＝b . 又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案 28．(2016·某某卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析 由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b2a＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案 2 三、解答题9．(2017·某某江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. (1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0. 法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3,0)在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.10．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值X 围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋361－3k2＝361－k2＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 11．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析 由双曲线方程知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝bax ，因此可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c,0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.答案 A12．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，52B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 解析 由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.答案 C13．(2016·某某卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值X 围是________． 解析如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设点P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＋22＜m 2＋42，42＜m ＋22＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8. 答案 (27，8)14．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若A P →＝P B →，求△AOB 的面积．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1. (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m ＞0，n ＞0，由A P →＝P B →得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2， 则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.。
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高考数学大一轮复习第九章平面解析几何7第6讲双曲线新题培优练文（含解析）新人教A 版[基础题组练]1．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.由题意得，ba＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1D.x 22－y 23＝1 解析：选A.由题意可得⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线方程为x 24－y 2＝1.3．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( )A.32B.52C.72D.92解析：选B.因为c 2＝a 2＋b 2＝9，所以|OP |＝|OF |＝3.设点P 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝9，把x 2＝9－y 2代入双曲线方程得|y |＝53，所以S △OPF ＝12|OF |·|y P |＝52.故选B.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32解析：选A.由双曲线的性质可得|AF |＝b 2a ，即以AB 为直径的圆的半径为b 2a ，而右顶点与左焦点的距离为a ＋c ，由题意可知b 2a>a ＋c ，整理得c 2－2a 2－ac >0，两边同除以a 2，则e 2－e－2>0，解得e >2或e <－1，又双曲线的离心率大于1，所以e >2.5．已知双曲线的焦距为6，其上一点P 到两焦点的距离之差为－4，则双曲线的标准方程为________．解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝6，2a ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.又c 2＝a 2＋b 2，故b 2＝5.所以双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 21－x 2b 21＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，c 1＝3，所以b 21＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.综上所述，双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1或y 24－x 25＝1.答案：x 24－y 25＝1或y 24－x 25＝16．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，所以b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，所以e 2＝259，所以e ＝53.答案：537．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. 所以|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，所以双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.8．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4，0)，实轴长为4 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋22与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得：a ＝23，c ＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 212－y 24＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋22与x 212－y 24＝1联立，得(1－3k 2)x 2－122kx －36＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－122k ）2＋4×（1－3k 2）×36>0，x A ＋x B ＝122k 1－3k 2<0，x A x B ＝－361－3k2>0， 解得33<k <1. 所以当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点． 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫33，1 [综合题组练]1．(2019·唐山市摸底考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)和双曲线E ：x 2－y 2＝1有相同的焦点F 1，F 2，且离心率之积为1，P 为两曲线的一个交点，则△F 1PF 2的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解析：选B.由题意可知，ca ×2＝1⇒c ＝22a ， 因为c ＝2，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2， 不妨设P 与F 2在y 轴右侧，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4|PF 1|－|PF 2|＝2， 得|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2， 所以△F 1PF 2为直角三角形，故选B.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B.法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x .设两渐近线夹角为2α， 则有tan α＝13＝33，所以α＝30°. 所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示． 在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选B.法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.3．(综合型)已知双曲线x 23－y 24＝1，过点M (m ，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若△AOB 是锐角三角形(O 为坐标原点)，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，2m 23－1，B ⎝⎛⎭⎪⎫m ，－2m 23－1，所以OA →＝⎝⎛⎭⎪⎫m ，2m 23－1，OB →＝⎝⎛⎭⎪⎫m ，－2m 23－1.因为△AOB 是锐角三角形，所以∠AOB 是锐角，即OA →与OB →的夹角为锐角，所以OA →·OB →>0，即m 2－4m 23＋4>0，解得－23<m <2 3.由过点M (m ，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A ，B 两点可知m <－3或m > 3.故实数m 的取值范围是(－23，－3)∪(3，23)．答案：(－23，－3)∪(3，23)4．(2019·河北名校名师俱乐部二调)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．解析：由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，所以|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，所以|BA |＝|BF 1|，所以△BAF 1为等腰三角形，因为∠F 1AF 2＝45°，所以∠ABF 1＝90°，所以△BAF 1为等腰直角三角形．所以|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2.所以S △F 1AB ＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.答案：45．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，所以双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33（x －3），得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635. 6．(综合型)设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，因为一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. 所以由焦点到渐近线的距离为3， 得|bc |b 2＋a 2＝ 3.又因为c 2＝a 2＋b 2， 所以b 2＝3，所以双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥2 3. 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。