[数学]第二章 轴向拉伸与压缩
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第二章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩§2−1 轴向拉伸和压缩的概念F(图2−1)则为轴向拉伸，此时杆被2−1虚线)；若作用力F 压缩杆件(图(图2−2工程中许多构件，(图2−3)、各类(图2−4)等，这类结构的构2−1和图2−2。
§ 2−2 内力·截面法·轴力及轴力图一、横截面上的内力——轴力图2−5a 所示的杆件求解横截面m−m 的内力。
按截面法求解步骤有：可在此截面处假想将杆截断，保留左部分或右部分为脱离体，移去部分对保留部分的作用，用内力来代替，其合力F N ，如图2−5b 或图2−5c 所示。
对于留下部分Ⅰ来说，截面m −m 上的内力F N 就成为外力。
由于原直杆处于平衡状态，故截开后各部分仍应维持平衡。
根据保留部分的平衡条件得 mF N F N（a ）（b ） （c ）图2−5Ⅱ图2−1图2−2图2-4F F F F Fx==-=∑N N ,0,0 (2−1)式中，F N 为杆件任一截面m −m 上的内力，其作用线也与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心，故称这种内力为轴力，用符号F N 表示。
若取部分Ⅱ为脱离体，则由作用与反作用原理可知，部分Ⅱ截开面上的轴力与前述部分上的轴力数值相等而方向相反(图2−5b,c)。
同样也可以从脱离体的平衡条件来确定。
二、轴力图当杆受多个轴向外力作用时，如图2−7a ，求轴力时须分段进行，因为AB 段的轴力与BC 段的轴力不相同。
要求AB 段杆内某截面m −m 的轴力，则假想用一平面沿m −m 处将杆截开，设取左段为脱离体(图2−7b)，以F N Ⅰ代表该截面上的轴力。
于是，根据平衡条件∑F x ＝0，有 F F -=ⅠN负号表示的方向与所设的方向相反，即为压力。
要求B C 段杆内某截面n-n 的轴力，则在n −n 处将杆截开，仍取左段为脱离体（图2−7c ），以F N Ⅱ代表该截面上的轴力。
于是，根据平衡条件∑F x ＝0，有 02N Ⅱ=+-F F F由此得F F =N Ⅱ在多个力作用时，由于各段杆轴力的大小及正负号各异，所以为了形象地表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘成“轴力图”(图2−7d)。
第二章轴向拉伸和压缩精品文档25页
脱离体(图b、c)。根据平衡条件可求得：
F
F
F
F a
G1 3m F
a
G2
3m
b
b
240 370 （a）
G1
G1
F
F
FN a a－a （b）
例题2−3图
G2
FN b b－b （c）
截面a−a：
F y 0 , F N a F G 1 1 2 . 5 0 1 . 5 k 2 N
截面b−b：
杆和AC杆的应力分别为
3m
FNAB
A
σAB F A N A AB B 3 4.8 0 8 1 1 0 3 0 60 16 1360 P a16 M 3PaC
FNAC
σAC F A N A AC C 18 .7 2 .3 1 11 4 0 30 6 4 16P 0 a 6M 4 Pa
4m
σαpαcoα sσco2αs
ταpαsiα n1 2σsi2 nα 正应力的最大值发生在α = 0的截面，即横截面上，其值为
σα0 σmaxσ
当 α π 时对应的斜截面上，切应力取得最大值
4
ταπ 4
τmax
σ 2
§2−5 拉压杆的变形、胡克定律
拉压杆的变形
F
d1 d
F
F
d1
d
F
l
l
l1
l1
§2−1 轴向拉伸和压缩的概念
轴向拉压变形的受力及变形特点: F
F
杆件受一对方向相反、作用线与
杆件的轴线重合的外力作用。杆 F
F
件发生轴线方向的伸长或缩短。
§ 2−2 轴力与轴力图
横截面上的内力——轴
按截力面法求解步骤：
5 材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
μ
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
23
四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
23
四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
材料力学课件第二章 轴向拉伸和压缩
2.3 材料在拉伸和压缩时的力学性能
解： 量得a点的应力、应变分别 为230MPa、0.003
E=σa/εa=76.7GPa 比例极限σp=σa=230MPa 当应力增加到σ＝350MPa时，对应b点，量得正应变值
ε = 0. 0075 过ｂ点作直线段的平行线交于ε坐标轴，量得 此时的塑性应变和弹性应变
εp=0. 0030 εe= 0 . 0075-0.003=0.0045
内力：变形固体在受到外力作用 时，变形固体内部各相邻部分之 间的相互作用力的改变量。
①②③ 切加求 一内平 刀力衡
应力:是内力分布集度，即 单位面积上的内力
p＝dF/dA
F
F
FX = 0
金属材料拉伸时的力学性能
低碳钢(C≤0.3%)
Ⅰ 弹性阶段σe σP=Eε
Ⅱ 屈服阶段 屈服强度σs 、（σ0.2）
FN FN<0
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
第二章 轴向拉伸和压缩
在应用截面法时应注意：
（1）外载荷不能沿其作用线移动。
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
第二章 轴向拉伸和压缩
在应用截面法时应注意：
（2）截面不能切在外载荷作用点处，要离开或 稍微离开作用点。
1
2
11
22
f 30 f 20
60kN
Ⅲ 强化阶段 抗压强度 （强度极限）σb
Ⅳ 局部颈缩阶段
例1
一根材料为Q235钢的拉伸试样，其直径d＝10mm，工作段 长度l＝100mm。当试验机上荷载读数达到F＝10kN 时，量 得工作段的伸长为Δ l＝0.0607mm ，直径的缩小为 Δd=0.0017mm 。试求此时试样横截面上的正应力σ，并求出 材料的弹性模量Ｅ。已知Q235钢的比例极限为σ p ＝200MPa。
轴向拉伸和压缩 PPT课件
x
F 0 FN
FN
F FN
F
x
轴力正负号规定：
F
FN FN
拉力
均为正 故FN 和FN
F
压力
上述求解拉（压）杆轴力的方法称为截面法，其基本步骤是：
① 截开：在需求内力的截面处，假想地用该截面将杆件一分为二。
②代替：任取一部分，另一部分对其作用以内力代替。(假设为正）
③平衡：建立该部分平衡方程，解出内力。
课堂练习： 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷 的分布集度为：q =42kN/m，屋架中的钢拉杆为NO.22a型工 字钢，试求钢拉杆横截面的正应力。（不计钢拉杆的自重） q
C
FAx
A
FAy
钢拉杆
16m
B
FB
解： ① 整体平衡求支反力
Fx 0 FAx 0
42 2 M 0 F 16 16 0 B Ay 2
（1）荷载将杆件分成几段，就取几段截面来研究 （3）集中力作用处轴力图发生突变，突变值等于该集中力
例 2-2 试作轴力图
解：1-1截面
1
40 kN
2
30 kN
3 20 kN 3D 20 kN
F
x
0
得
2-2截面
FN 1 40 30 20 0 A FN 1 50kN 拉 FN1
第二章 轴向拉伸和压缩
目
§2-1
§2-1 §2-3 §2-4 §2-5
录
概述
拉压杆的内力 横截面上的应力 斜截面的应力 拉压杆的变形和位移
§2-6
§2-7 §2-8 §2-9 §2-10 §2-11
应变能
材料在拉压时的力学性能 应力集中 强度计算 拉压超静定问题 装配应力和温度应力
材料力学--轴向拉伸和压缩
2、轴力图的作法：以平行于杆轴线的横坐标（称为基
线）表示横截面的位置；以垂直于杆轴线方向的纵坐
标表示相应横截面上的轴力值，绘制各横截面上的轴 FN
力变化曲线。
x
§2-2 轴力、轴力图
三、轴力图
FN
3、轴力图的作图步骤：
x
①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线；
②画纵坐标，正、负轴力各绘在基线的一侧；
③标注正负号、各控制截面处 、单位及图形名称。
FN
4、作轴力图的注意事项： ①基线一定平行于杆的轴线，轴力图与原图上下截面对齐； ②正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④整个轴力图比例一致。
50kN 50kN 50kN
第二章 轴向拉伸和压缩
第二章
轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
§2 — 1 概述
§2 — 2 轴力 轴力图
目
§2 — 3 拉（压）杆截面上的应力
§2 — 4 拉（压）杆的变形 胡克定律 泊松比
录
§2 — 5 材料在拉伸与压缩时的力学性质
§2 — 6 拉（压）杆的强度计算
§2 — 7 拉（压）杆超静定问题
FN
作轴力图的注意事项： ①多力作用时要分段求解，一律先假定为正方向，优先考虑直接法； ②基线‖轴线，正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，比例一致，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④阴影线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
§2 — 8 连接件的实用计算
§2-1 概述 §2-1 概述
——轴向拉伸或压缩，简称为拉伸或压缩，是最简单也是做基本的变形。
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
FN 3 P
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
工程力学 第二章 轴向拉伸与压缩.
2 sin ( 2 cos 1 )ctg 3.9 103 m
B1 B B1 B3 B3 B
B B
B B12 B1 B 2 4.45 10 3 m
[例2-11] 薄壁管壁厚为,求壁厚变化和直径变化D。
解：1）求横截面上的正应力
dx
N ( x) l dx EA( x) l
例[2-4] 图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2 段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。 已知2段杆内的应力σ 2=-30MPa，E=210GPa，求整个 杆的伸长△L
解: P 2 A2
30 25 18.75KN
N 1l Pl l1 l2 EA 2 EA cos l1 Pl cos 2 EA
[例2-8]求图示结构结点A 的垂直位移和水平位移。
解:
N1 P, N 2 0
Pl l1 , l2 0 EA Pl y l1 EA
N1
N2
Pl x l1ctg ctg EA
F
FN
FN F
F
F
CL2TU2
2.实验现象：
平截面假设
截面变形前后一直保持为平面，两个平行的截面之 间的纤维伸长相同。 3.平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面。 4.应力的计算 轴力垂直于横截面，所以其应力也仅仅是正应力。按 胡克定律：变形与力成正比。同一截面上各点变形相 同，其应力必然也相同。 FN （2-1） A 式中： A横截面的面积；FN该截面的轴力。 应力的符号：拉应力为正值应力，压缩应力为负 值应力。
1. 截面法的三个步骤 切: 代: 平:
F F F F
第2章2.1轴向拉伸与压缩
C
2 L2
D
3 L3
B
2.1.4轴向拉压杆变形和胡克定律
1 FN 50kN 2 3 20kN
A
1
C
2
D
3
B
（1）求约束反力： FX 0 FN-F1+F2 =0 （2）求各段轴力： FX 0 FN-FN1=0
FN=30KN。 FN1=-30KN。 FN2= FN3=20KN
FX
FN
0 FN-F1+FN2 =0
阶梯杆的轴向总变形等于其三段变形的代数和，即
l l1 l2 l3 (-0.036 0.02 0.04) mm 0.024 mm(伸长)
计算结果为正，说明杆的总长度伸长了0.024mm。
2.1.4轴向拉压杆变形和胡克定律
例4：试求图示杆 AC 的轴向变形△ l 。
脆性材料：断裂前塑性变形很小的材料，如铸铁、石料。
实验：材料的力学性质可通过常温静载下的拉伸压缩试验得到 拉伸标准试件：
l 10d 或 l 5d
压缩标准试件：
d
h
h = (1.5 ～ 3.0) d
2.1.5材料在轴向拉伸与压缩时的力学性能 万能实验机：材料的力学实验可以在 万能试验机上进行。国家对材料的力 学实验有标准规定：《金属拉伸试验 方法》（GB228—2002)。下面以低 碳钢拉伸实验为例讲解力学实验过程。
1 f 30
60kN 2 f 20 40kN 3 f 35 30kN 50kN
FN1 0 FN 2 60kN FN 3 50kN
FN1 0 A1
1Leabharlann 260 203 50
FN kN
1
+
材料力学轴向拉伸与压缩
轴向拉压变形
第二章 轴向拉伸与压缩 2.2 杆旳变形
F
1.纵向变形 （1）纵向变形 （2） 纵向应变
b h
l l1
Δl l1 l
Δl
l
h1
F
b1
第二章 轴向拉伸与压缩
b
F
h
l l1
2.横向变形
h1
F
b1
（1）横向变形 （2）横向应变 3.泊松比
b b1 b
b1 b Δb
bb
A d 2 FN 4 [ ]
由此可得链环旳圆钢直径为
d
4F [ ]
4 12.5 103 3.14 45106
m=18.8mm
第二章 轴向拉伸与压缩
[例6]如图a所示，构造涉及钢杆1和铜杆2，A、B、C处为铰链连接。 在节点A悬挂一种G=20kN旳重物。钢杆AB旳横截面面A1=75 mm2， 铜杆旳横截面面积为A2=150 mm2 。材料旳许用应力分别为 ，
GB/T 228－2023 金属材料室温拉伸试验措施
原则拉伸试样：
标距： 试样工作段旳原始长度
要求标距: l 10 d 或者
l 5d
第二章 轴向拉伸与压缩
试验设备 （1）微机控制电子万能
试验机 （2）游标卡尺
第二章 轴向拉伸与压缩
试验设备
液压式
电子式
第二章 轴向拉伸与压缩
拉伸试验
第二章 轴向拉伸与压缩
第二章 轴向拉伸与压缩
应力非均布区 应力均布区 应力非均布区
圣维南原理
力作用于杆端旳分 布方式，只影响杆端 局部范围旳应力分布， 影响区约距杆端 1～2 倍杆旳横向尺寸。
端镶入底座，横向变形 受阻，杆应力非均匀分布。
第二章 轴向拉伸与压缩 2.2 杆旳变形
F
1.纵向变形 （1）纵向变形 （2） 纵向应变
b h
l l1
Δl l1 l
Δl
l
h1
F
b1
第二章 轴向拉伸与压缩
b
F
h
l l1
2.横向变形
h1
F
b1
（1）横向变形 （2）横向应变 3.泊松比
b b1 b
b1 b Δb
bb
A d 2 FN 4 [ ]
由此可得链环旳圆钢直径为
d
4F [ ]
4 12.5 103 3.14 45106
m=18.8mm
第二章 轴向拉伸与压缩
[例6]如图a所示，构造涉及钢杆1和铜杆2，A、B、C处为铰链连接。 在节点A悬挂一种G=20kN旳重物。钢杆AB旳横截面面A1=75 mm2， 铜杆旳横截面面积为A2=150 mm2 。材料旳许用应力分别为 ，
GB/T 228－2023 金属材料室温拉伸试验措施
原则拉伸试样：
标距： 试样工作段旳原始长度
要求标距: l 10 d 或者
l 5d
第二章 轴向拉伸与压缩
试验设备 （1）微机控制电子万能
试验机 （2）游标卡尺
第二章 轴向拉伸与压缩
试验设备
液压式
电子式
第二章 轴向拉伸与压缩
拉伸试验
第二章 轴向拉伸与压缩
第二章 轴向拉伸与压缩
应力非均布区 应力均布区 应力非均布区
圣维南原理
力作用于杆端旳分 布方式，只影响杆端 局部范围旳应力分布， 影响区约距杆端 1～2 倍杆旳横向尺寸。
端镶入底座，横向变形 受阻，杆应力非均匀分布。
第2章 轴向拉伸与压缩
2.5.5 塑性材料和脆性材料的主要区别
(5) 塑性材料承受动载荷的能力强，脆性材料承 受动荷载的能力很差，所以承受动载荷作用的构 件多由塑性材料制做。
2.5.5 塑性材料和脆性材料的主要区别
对于脆性材料，当应力达到其强度极限σb 时， 构件会断裂而破坏；对于塑性材料，当应力达到 屈服极限σs时，将产生显著的塑性变形，常会 使构件不能正常工作。
2.5.2 低碳钢拉伸时的力学性能
OB:弹性阶段__弹性极限σe BC:屈服阶段__屈服极限σs CD:强化阶段__强度极限σb DE:颈缩阶段
2.5.2 低碳钢拉伸时的力学性能
OB:弹性阶段---弹性极限σe OA:线性阶段---比例极限σP
σ=Eε 胡克定律
E: 弹性模量 σe≈σP
伸长率
Fbs
Fbs
Fbs
实际挤压面
挤压应力：
2.8.2 挤压和挤压强度计算
smaxBiblioteka dFbs(a)
smax
(b)
t
(b)
ssj bs
(c) (c)
挤压面 计算挤压面积 =dt
两种材料的极限应力分别是？ 许用应力=？
2.6 拉压杆的变形
2.6 拉压杆的变形
例： 已知等截面直杆横截面面积A＝500mm2,弹性模量 E＝200GPa，试计算杆件总变形量。
6KN
8KN 5KN
3KN
1m
2m
1.5m
ΔL=？
2.8 拉压杆接头的计算
2.8 拉压杆接头的计算
2.8.1 剪切和剪切强度计算
(1) 多数塑性材料在弹性变形范围内，应力与应 变成正比关系，符合胡克定律；多数脆性材料在 拉伸或压缩时σ-ε图一开始就是一条微弯曲线， 即应力与应变不成正比关系，不符合胡克定律， 但由于σ-ε曲线的曲率较小，所以在应用上假设 它们成正比关系。
第2章轴向拉伸与压缩精品PPT课件
PB
PC
PD
N3 C
D
PC
PD
N4
D
N4=P
N
PD 5P
轴力图如右图
2P
+ -
3P
P x
5kN
8kN
3kN
N
5kN +
8kN 3kN
-
x
轴力图的特点：突变值 = 集中力大小
2.3 轴向拉伸与压缩时的应力
2.3.1 应力的概念
指内力在横截面上各点处分布的密集程度，即内力的集度。
注意：应力是衡量构件强度大小的量。
△l Nl EA
显然△l与l的大小有关
令： l
l
ε——纵向相对变形或纵向线应变，量纲为1。
ε为正表示拉应变，为负表示压应变。
将 l
l
N ，代入虎克定律表达式，有：
A
或 E
E ——虎克定律另一表达式
a1
2.4.2 横向应变 泊松比
F F
l l1
横向绝对变形： aa1a
横向线应变： aa1a
同理可求得： BC100MPa CD50MPa
2.4 拉（压）杆的变形
2.4.1 纵向变形，虎克定律
设某直杆原长l，原宽a，变形后长l 1，宽a1。
a1
F F
l l1
纵向绝对变形 △l = l1- l
△l Nl A
△l Nl ——虎克定律 EA
式中 E——材料的弹性模量，单位：MPa EA——杆件的抗拉刚度。
力是分析构件强度、刚度、稳定性等
问题的基础，但不能衡量构件强度的大小。
2. 用截面法求杆上内力
例如：截面法求A所在截面内力N
P
轴向拉伸与压缩
轴向拉伸与压缩的特点：
◆ 受力特点：
◆ 变形特点：
F
F
F
F
承受轴向变形的杆件称为拉杆或压杆。
外力合力的作用线与杆轴线重合
主要是沿轴线方向伸长或缩短
第二节 轴力与轴力图 一、内力与截面法 内力 —— 外力引起的构件内部相连部分之间的相互作用力。 ◆ 内力为作用于整个截面上的连续分布力。今后，内力一般被用来特指截面上的分布内力的合力、或合力偶矩、或向截面形心简化所得到的主矢和主矩。
塑性材料为塑性屈服；脆性材料为脆性断裂
极限应力 ——
材料强度失效时所对应的应力，记作 u ，有
塑性材料（拉压相同）
脆性材料（拉压不同）
2.许用应力与安全因数
材料安全工作所容许承受的最大应力，记 作 [ ]，规定
许用应力 ——
02
其中，n 为大于 1 的因数，称为安全因数 。
对于塑性材料，压缩与拉伸的许用应力基本相 同，无需区分；对于脆性材料，压缩与拉伸的许 用应力差异很大，必须严格区分。
（2）计算两杆应力
解得
AB 杆：
（2）计算两杆应力
AB 杆： AC 杆：
拉（压）杆斜截面上的应力 斜截面的方位角 ： 以 x 轴为始边，以外法线轴 n 为终边，逆时针转向的 角为正，反之为负 。 斜截面上的全应力
将 p 沿斜截面的法向和切向分解，即得 斜截面上的正应力、切应力分别为 —— 横截面的面积 —— 横截面上的正应力 切应力的正负号规定：围绕所取分离体顺时针转向的切应力为正，反之为负。
[例 2-3] 试作出图示拉压杆的轴力图。
解：省略计算过程，直接作出轴力图如上图所示。
第三节 拉压杆的应力
一、应力的概念 应力是指截面上分布内力的集度 如图 为分布内力在 k 点的集度，称为 k 点的应力
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2
1.6
C P
V 2 E A 217710976.3610-6
V
W
h
1 2
PC
C
0.79mm
43
h
44
§2-6 材料在拉伸、压缩时的力学性质
（刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
A
800 XA A
YA
解 1）求钢索内力（ABCD为对象）
B 60° 60° D m A0
C P
400 400
Tsin60o0.8-1.2P+1.6Tsin60o0
TP/ 31.15k 5N
2) 钢索的应变能为
TT
B
D
T 2l
11.55103
h
29
2．虎克定理
生产实践表明，一般工程材料，在弹性范围内有： 应力与应变成正比，此定理称为虎克定律。
E
σ—正应力，ε—线应变，E—弹性模量。
E是材料弹性模量,与材料有关的常数， 可由实验测出。单位与应力σ相同。
FN E l
A
l
l F N l ------虎克定律 EA
EA：称为抗拉（压）刚度， EA越大，则变形越小。
h
24
3. 轴向拉（压）杆斜截面上的应力 为什么要研究斜截面上的应力?
h
25
k—k截面上的内力仍为
Pα P
横截面面积为A，则斜
截面面积A为：
A
A cos
p
P A
将全应力分
解成正应力
和切应力
p PAcos0cos
ppsc io ns 20 0c so in s2 2
h
26
pcos0cos2
FN l
l FNl EA
V
FN2l 2EA
F2l 2EA
应变能密度：单位体积内所积蓄的应变能。
v
V 21Fl
V Al
1
2
1 2
2
Eh
1 2
E 2
——能量法
41
V
22FE N21Al 2cosP2l2
64.67J EA
V
W
1 2
PA
A2P V 1.29310-3m
h
42
例 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮,P=20kN， 求刚索的应力和 C点的垂直位移。
h
10
③ 轴力图: 用折线表示轴力沿轴线变化的情况。
水平轴：杆轴线，表示截面的位置；
纵轴：表示轴力的大小。
例
50kN
FN
I
I 50kN
+
II 150kN
II
-
100kN
50kN
FNI－50kN=0
I FNI
I FNI=50kN
II FNII
100kN
100kN
|FN|max=100kN
h
II
- FNII -100kN =0 FNII= -100kN
计算简图：
h
5
§2-2 内力·截面法·轴力及轴力图
1.内力: 由于构件变形，其内部各部分材料之间因 相对位置发生改变，从而引起相邻部分材料相互作 用力，称为内力。
为什么要研究内力?
h
6
§2-2 内力·截面法·轴力及轴力图
1.内力: 由于构件变形，其内部各部分材料之间因 相对位置发生改变，从而引起相邻部分材料相互作 用力，称为内力。
A
B
C
D
E
2
4
R
40KN
FN2
FN2 - R - 40 0
FN2 R + 40 +50 (+)
求DE段内的轴力
FN4
20KN
FN4 20KN (+)
10KN
50KN
+
20KN
FN图
-5KN h
14
做轴力图
1 20 4kN
1
2 6kN
2
10 3kN
5kN
FN 1kN
+
-
1kN
3 30 2kN
3 2kN
第二章 轴向拉伸与压缩
h
1
§2-1轴向拉伸与压缩的概念及实例
实例分析：
连接的螺钉
桁架
h
2
h
3
巷道支护的立柱：
计算简图：
1. 受力特点：作用于杆 件两端的外力大小相等， 方向相反，与杆件轴线 重合。
2. 变形特点：杆件变形 是沿轴线的方向伸长或 缩短。
h
4
本章目的： 杆件在荷载作用下： 1. 力学性能； 2. 强度问题； 3. 刚度问题。
400 400 TP/ 31.15k 5N
XA A YA
TT
2) 钢索的应力和伸长分别为
B
D T1.15519 015M 1 Pa
C
A 7.636
P
h
38
LTL 1.5 1 51.6m 1.3m 6 m EA 7.3 6 6177
A
A 800
B 60C° 60° D
1 C 2
B'
D'
B 60° 60° D C
AB杆的受力为压力，大 小等于 F2
F1
x
F2
Q
最后可以计算的应力：
BC杆： 1N A1 1F A1 1120m K 002 N m 20M 0Pa
AB杆： 2N A 2 2F A 2 2-2 1.0 3 7 m K 0 22m N -8.6MPa
h
22
例 杆系结构如图，已知杆AB、AC材料相同，横
lA B l1+ l2+ l3 - 1 .0 1 5 - 40 （m）
负号说明此h 杆缩短
33
例 图所示杆系结构，
已知BC杆圆截面
C
N2
B
N1
d=20mm，CB=1.2m， CD=1.6m。BD杆为8号
3
P
45
槽钢，E=200GPa，
P=60kN。求B点的位
移。
D
N1
P345kN拉力
4
N2
+
h
15
§2-3应力·轴向拉（压）杆内的应力
1.应力的概念
问题的提出：轴力FN是横截面上分布内力的合 力，并不能说明横截面上各点的受力程度，判断 杆件是否有足够的强度，因此必须用横截面上的 应力来度量杆件的受力程度。
应力——单位面积上的内力， 表示横截面上某点的内力分 布集度。
ΔP dP pΔ lAi m 0pmΔ lAi m 0ΔAdA
截面积分别为A1=706.9mm2，A2=314mm2，设P＝ 97kN，试求各杆应力。
解：由平衡条件计算实际轴力:
N 2si4 n5 N 1si3 n0
N 1c3 o+ 0 sN 2c4 o 5 sP
N1
2P 0.73P2 1+ 3
N2
2P 1+ 3
0.518P
1N A 1 17 0 0 .6 7.3 9 2 1 9 0 7 -6 k m N 2100M P a 2N A 2 2h 0 3.1 54 1 8 10 9- 7 6k m N 2160M Pa23
变力做功，功只转成应变能 （不转成动能、热能）
二、变力做功—贮能
外力缓慢做功W ，无损失地转化 为应变能V，贮存于弹性体内部：
W = V
h
40
l
W Fd 0
l
kd 0
1 k l2 1 F l
2
2
W 1 Fl 2
F 广义力（力，力偶）
l 广义位移（线，角位移）
V
W
1 Fl
2
V
1 2
400 P400
3）变形图如左 C点的垂直位移为：
C
BB + DD 2
1 sin60 + 2 sin60
2
L 2sin60
1.36 2sin60o
0.79mm
h
39
§2–5 杆件的应变能计算 一、条件
大前提：1、小变形； 2、服从胡克定律
线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的 线性函数 小前提：缓慢加载
FN=5kN
FS=5kN
计算内力的方法:截面法(截、取、代、平)
M=10kNm
h
8
3. 轴力及其正负号规定 ① 轴力计算：
X0
FN
P-FN 0
FN P0
FN
②轴力的符号规定
FN：
(+)
(-)
说明：轴力的符号是由杆件的变形决定，而不是由
坐标方向决定。
h
9
说明：力（力偶）的可移性在材料力学中不能用。
l2 5 4+ (l2 5 3+l1 )4 3 1 .5 1 6- 3 0 m
B3 B(B 1 B 3 )2+ (B1 )2 B 1 .7 1 8- 3 0 m
h
35
——原始尺寸原理
P
FN1
FN2
2cos
h l1 l2 2EAPclos
36
l1 l2 2EAPclos
A
AA
l1 cos
2EA P clos20.001293m
psin20sin2
讨论：
1）当＝0o时，横截面，max 0 0
2）当＝45o时，斜截面，
max
0
2
0 2
3）当＝90o时，纵向截面， 0 0
结论：对于轴向拉（压）杆，
最大正应力，发生在横截面上；
最大切应力，发生在45°角的