[数学]第二章 轴向拉伸与压缩

h
10
③ 轴力图: 用折线表示轴力沿轴线变化的情况。
水平轴：杆轴线，表示截面的位置；
纵轴：表示轴力的大小。
例
50kN
FN
I
I 50kN
+
II 150kN
II
-
100kN
50kN
FNI－50kN=0
I FNI
I FNI=50kN
II FNII
100kN
100kN
|FN|max=100kN
h
II
- FNII -100kN =0 FNII= -100kN
B
A
Q = 10KN，求各杆的应力。
首先计算各杆的内力：
需要分析B点的受力
X 0
-F 1co 3s 0 -F 20
y
F1
x
F2
Q
Y 0
F1co6s0-Q0
F12Q20KN
1 F2-2 3F1-17 .32KN
h
21
F12Q20KNF2-1 2 3F1-17 .32KN
由作用力和反作用力可知：
y
BC杆的受力为拉力，大小等于 F1
l2 5 4+ (l2 5 3+l1 )4 3 1 .5 1 6- 3 0 m
B3 B(B 1 B 3 )2+ (B1 )2 B 1 .7 1 8- 3 0 m
h
35
——原始尺寸原理
P
FN1
FN2
2cos
h l1 l2 2EAPclos
36
l1 l2 2EAPclos
A
AA
l1 cos
2EA P clos20.001293m
第二章 轴向拉伸与压缩
h
1
§2-1轴向拉伸与压缩的概念及实例
实例分析：
连接的螺钉
桁架
h
2
h
3
巷道支护的立柱：
计算简图：
1. 受力特点：作用于杆 件两端的外力大小相等， 方向相反，与杆件轴线 重合。
2. 变形特点：杆件变形 是沿轴线的方向伸长或 缩短。
h
4
本章目的： 杆件在荷载作用下： 1. 力学性能； 2. 强度问题； 3. 刚度问题。
400 P400
3）变形图如左 C点的垂直位移为：
C
BB + DD 2
1 sin60 + 2 sin60
2
L 2sin60
1.36 2sin60o
0.79mm
h
39
§2–5 杆件的应变能计算 一、条件
大前提：1、小变形； 2、服从胡克定律
线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的 线性函数 小前提：缓慢加载
请先感觉一下杆是伸长还是缩短？
h
32
解 ： 首 先 分 别 求 得 BD 、
DC、CA三段的轴力 为
N
1，N
2，N
3
P1=5kN，P2=10kN
N1 -5kN
N2 -5kN
N3 5kN
（m） lB D l1N E 1 l1 1 A 1- 2 5 1 1 9 0 0 3 2 0 0 1 .5- 4 0 - 1 .0 1 5- 4 0 （m） lD C l2 N E 2 l2 2 A 1- 2 5 1 1 9 0 0 3 4 0 0 1 .5 - 4 0 - 0 .5 1 2- 4 0 （m） lC A l3N E 3 l3 3 A 15 2 1 1 9 0 3 0 0 4 0 .5 1- 4 0 0 .5 1 2- 4 0
h
37
例 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮,P=20kN， 求刚索的应力和 C点的垂直位移。
（刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
解 1）求钢索内力（ABCD为对象）
A 800
B 60° 60° D m A0
C P
Tsin60o0.8-1.2P+1.6Tsin60o0
h
24
3. 轴向拉（压）杆斜截面上的应力 为什么要研究斜截面上的应力?
h
25
k—k截面上的内力仍为
Pα P
横截面面积为A，则斜
截面面积A为：
A
A cos
p
P A
将全应力分
解成正应力
和切应力
p PAcos0cos
ppsc io ns 20 0c so in s2 2
h
26
pcos0cos2
h
30
3、横向变形
bb1-b
横向线应变： b
b
4、泊松比（横向变形系）
-
不同材料的弹性模量和泊松比见表2-1(P19)
h
31
例 变 截 面 杆 ， A1=2cm2 ， A2=4cm2 ，
P1=5kN ， P2=10kN 。 求 AB 杆 的 变 形 △ lAB 。 （材料的E=120×103MPa）
400 400 TP/ 31.15k 5N
XA A YA
TT
2) 钢索的应力和伸长分别为
B
D T1.15519 015M 1 Pa
C
A 7.636
P
h
38
LTL 1.5 1 51.6m 1.3m 6 m EA 7.3 6 6177
A
A 800
B 60C° 60° D
1 C 2
B'
D'
B 60° 60° D C
L
D
M
N
x
x+u
平均线应变 :
m
u x
(表示线段MN每单位长度 的平均伸长或缩短)
M点沿x方向的线应变：
limu x0 x
du dx
h
28
§2-4 轴向拉（压）杆变形·虎克定理 1．沿杆件轴线的纵向变形
l l1-l
一点纵向线应变为杆件的伸长除以原长。即
l
l
注：应变ε无量纲。 拉为正，压为负。
FN l
l FNl EA
V
FN2l 2EA
F2l 2EA
应变能密度：单位体积内所积蓄的应变能。
v
V 21Fl
V Al
1
2
1 2
2
Eh
1 2
E 2
——能量法
41
V
22FE N21Al 2cosP2l2
64.67J EA
V
W
1 2
PA
A2P V 1.29310-3m
h
42
例 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮,P=20kN， 求刚索的应力和 C点的垂直位移。
截面积分别为A1=706.9mm2，A2=314mm2，设P＝ 97kN，试求各杆应力。
解：由平衡条件计算实际轴力:
N 2si4 n5 N 1si3 n0
N 1c3 o+ 0 sN 2c4 o 5 sP
N1
2P 0.73P2 1+ 3
N2
2P 1+ 3
0.518P
1N A 1 17 0 0 .6 7.3 9 2 1 9 0 7 -6 k m N 2100M P a 2N A 2 2h 0 3.1 54 1 8 10 9- 7 6k m N 2160M Pa23
psin20sin2
讨论：
1）当＝0o时，横截面，max 0 0
2）当＝45o时，斜截面，
max
0
2
0 2
3）当＝90o时，纵向截面， 0 0
结论：对于轴向拉（压）杆，
最大正应力，发生在横截面上；
最大切应力，发生在45°角的
斜截面上。
h
27
§2-4 轴向拉（压）杆变形·虎克定理
应变的概念
h
16
全应力可以分解成正应力和切应力:
垂直于截面的分量称为正应力
切于截面的分量称为切应力
应力的国际单位：N/m2
1N/m2 =1Pa（帕斯卡）
1GPa=109Pa，1MPa=106 N/m2=106Pa
h
17
2.拉压杆横截面上的应力 1）平面假设------变形几何关系
实验结果：变形后，外表面垂线保持为直线
计算简图：
h
5
§2-2 内力·截面法·轴力及轴力图
1.内力: 由于构件变形，其内部各部分材料之间因 相对位置发生改变，从而引起相邻部分材料相互作 用力，称为内力。
为什么要研究内力?
h
6
§2-2 内力·截面法·轴力及轴力图
1.内力: 由于构件变形，其内部各部分材料之间因 相对位置发生改变，从而引起相邻部分材料相互作 用力，称为内力。
h
29
2．虎克定理
生产实践表明，一般工程材料，在弹性范围内有： 应力与应变成正比，此定理称为虎克定律。
E
σ—正应力，ε—线应变，E—弹性模量。
E是材料弹性模量,与材料有关的常数， 可由实验测出。单位与应力σ相同。
FN E l
A
l
l F N l ------虎克定律 EA
EA：称为抗拉（压）刚度， EA越大，则变形越小。
（刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
A
800 XA A
YA
解 1）求钢索内力（ABCD为对象）
B 60° 60° D m A0
C P
400 400
Tsin60o0.8-1.2P+1.6Tsin60o0
TP/ 31.15k 5N
2) 钢索的应变能为
TT
B
D
T 2l
11.55103
变力做功，功只转成应变能 （不转成动能、热能）
二、变力做功—贮能
外力缓慢做功W ，无损失地转化 为应变能V，贮存于弹性体内部：
W = V
h
40
l
W Fd 0
l
kd 0
1 k l2 1 F l
2
2
W 1 Fl 2
F 广义力（力，力偶）
l 广义位移（线，角位移）
V
W
1 Fl
2
V
1 2
h
19
圣维南原理：作用在结构某一位置上的不同载荷，
如果在静力学意义上是等效的，则在远离该位置 处的应力差异甚微。（距离约等于横截面尺寸11.5）
FN
h
20
例 图示为一悬臂吊车， BC为
C
实心圆管，横截面积A1 = 100mm2，
AB为矩形截面，横截面积 A2 = 200mm2，假设起吊物重为
30
FN=5kN
FS=5kN
计算内力的方法:截面法(截、取、代、平)
M=10kNm
h
8
3. 轴力及其正负号规定 ① 轴力计算：
X0
FN
P-FN 0
FN P0
FN
②轴力的符号规定
FN：
(+)
(-)
说明：轴力的符号是由杆件的变形决定，而不是由
坐标方向决定。
h
9
说明：力（力偶）的可移性在材料力学中不能用。
2
1.6
C P
V 2 E A 217710976.3610-6
V
W
h
1 2
PC
C
0.79mm
43
h
44
§2-6 材料在拉伸、压缩时的力学性质
P575kN压力
4
l1
N E1l1A 1 0.8610-3ml2
N2l2 0.73210-3m E2A
h
34
l1
N 1l1 EA1
0.86 10 -3 m
l2
N 2l2 EA2
0.732 10-3 m
C
B
3
P
45
D
B B1
B2
B4
B3
4
3
B 1 B 3 B 1 B 4+ B 4 B 3 B2 B 5+ B 2 B 4 4
为什么要研究内力?
h
7
2.杆件的内力•截面法
例：
A P1=10kN P2=5kN B C
2m
2m
HA
P1=10kN P2=5kN
VA
VB
解：1)求支反力
∑X=0
∑MA=0 ∑Y=0
HA=-5kN （ ） VB=5kN （ ） VA=5kN （ ）
C截面左边内力
A
5kN 5kN
CM
FS FN
FN:轴力 FS:剪力 M:弯矩
11
h
12
例题：一等直杆其受力情况如图所示，作杆 的轴力图。
40KN
55KN 25KN
20KN
A 600
B 300 C 500
D
E
400
R
40KN
55KN 25KN
20KN
A
B
C
20KN-25KN+55KN-40KN-R=0
D
E
R=10KN
h
13
求BC段内的轴力
R
40KN
55KN 25KN
20KN
A
B
C
D
E
2
4
R
40KN
FN2
FN2 - R - 40 0
FN2 R + 40 +50 (+)
求DE段内的轴力
FN4
20KN
FN4 20KN (+)
10KN
50KN
+
20KN
FN图
Байду номын сангаас
-5KN h
14
做轴力图
1 20 4kN
1
2 6kN
2
10 3kN
5kN
FN 1kN
+
-
1kN
3 30 2kN
3 2kN
AB杆的受力为压力，大 小等于 F2
F1
x
F2
Q
最后可以计算的应力：
BC杆： 1N A1 1F A1 1120m K 002 N m 20M 0Pa
AB杆： 2N A 2 2F A 2 2-2 1.0 3 7 m K 0 22m N -8.6MPa
h
22
例 杆系结构如图，已知杆AB、AC材料相同，横
平面假设：变形前后横截面保持为平面，而且仍 垂直于杆轴线。
横截面上各点 纵向变形相等
横截面上各 点应力相等
FN
h
18
2）由静力平衡条件确定σ的大小
FN A
P A
FN
式中：σ—横截面上的正应力 FN —横截面上的轴力 A—横截面面积
正应力σ的正负号规定为： 拉应力为正，压应力为负。
应力的国际单位为：N/m2 1N/m2 =1Pa（帕斯卡）， 1GPa=1GN/m2=109Pa， 1MPa=106 N/m2=106Pa
lA B l1+ l2+ l3 - 1 .0 1 5 - 40 （m）
负号说明此h 杆缩短
33
例 图所示杆系结构，
已知BC杆圆截面
C
N2
B
N1
d=20mm，CB=1.2m， CD=1.6m。BD杆为8号
3
P
45
槽钢，E=200GPa，
P=60kN。求B点的位
移。
D
N1
P345kN拉力
4
N2
+
h
15
§2-3应力·轴向拉（压）杆内的应力
1.应力的概念
问题的提出：轴力FN是横截面上分布内力的合 力，并不能说明横截面上各点的受力程度，判断 杆件是否有足够的强度，因此必须用横截面上的 应力来度量杆件的受力程度。
应力——单位面积上的内力， 表示横截面上某点的内力分 布集度。
ΔP dP pΔ lAi m 0pmΔ lAi m 0ΔAdA