《简明线性代数》 答案
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习 题 3.4
1．证明:对欧氏空间中的向量a ,b ,成立
)||||||(||2||||||||2
2
2
2
b a b a b a +=-++.
证明: 根据内积的性质直接计算,有
[,][,][,]++=+++a b a b a a b b a b [,][,][,][,]=+++a a a b b a b b [,]2[,][,]=++a a a b b b .
因此有公式
2
2
2
||||||||2[,]||||+=++a b a a b b . (1)
以-b 替换b ,得
2
2
2
||||||||2[,]||||-=-+a b a a b b . (2)
由(1),(2)两式即得
)||||||(||2||||||||2
2
2
2
b a b a b a +=-++.
2．求向量a 与b 的夹角.
（1）(2,1,3,2)=a ,(1,2,2,1)=-b ; 解: 因[,]0=a b ,所以向量a 与b 的夹角为2
π
.
（2）(1,2,2,3)=a ,(3,1,5,1)=b . 解: [,]18=a b
,||||=
a ||||6=
b ,向量a 与b 的夹角为
[,]arccos
||||||||
⋅a b a
b arccos
2
4
π
==
.
3．在4R 中求一个单位向量与
1(1,1,1,1)=-a ,2(1,1,1,1)=--a ,3(2,1,1,3)=a 同时正交.
解: 设非零向量T
1234(,,,)x x x x =x 与123,,a a a 同时正交,则有
123⎛⎫
⎪= ⎪⎝⎭
0a a x a . 现在解此方程组.
123111111112
1
1
3-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a a 1
11102000
1
3
1r
-⎛⎫ ⎪−−→- ⎪-⎝⎭
10110
1000
3
1r -⎛⎫ ⎪−−→ ⎪⎝⎭3
00401000
3
1r
⎛⎫
⎪−−→ ⎪⎝⎭
. 由此求得T (4,0,1,3)k =-x (0k ≠).所以,
所求向量为T
10,1,3)±-.
4．设1,,r e e 为欧氏空间V 的一个规范正交基,V 中向量a 在1,,r
e e 下的坐标为),,(1r a a .证明
2
2
12
||||r a a ++= a .
证明: 由规范正交基的性质知
[,],
(1,2,,)i i a i r == a e .
于是
2
1
||||[,][,]r
i i i a ===∑a a a a e 1
[,]r
i
i
i a ==
∑a e 21
r
i
i a
==∑.
5．试用Schmidt 法把下列向量组规范正交化: （1）1231110
11(,,)101110-⎛⎫ ⎪-=
⎪- ⎪ ⎪⎝
⎭a a a ; 解: 11=b a
,0T
110,1,1)==
-e b ,
T
222111[,](1,3,2,1)3
=-=-b a a e e
,
T
2213,2,1)==
-e b ,
T
333113221[,][,](1,3,3,4)5
=--=-b a a e e a e e ,
33==e
b T
1,3,3,4)=
-,
123,,e e e 即为所求.
（2）123413531
331(,,,)113411
1
2⎛⎫ ⎪-=
⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭
a a a a .
解: 11=b a ,0T
111(1,1,1,1)2
==
e b ,
T
22211[,](1,1,1,1)=-=--b a a e e ,
T
221(1,1,1,1)2==
--e b ,
T
33311322[,][,](1,1,1,1)=--=--b a a e e a e e ,
33=e b T
1(1,1,1,1)2
=
--,
T
444114224331[,][,][,](1,1,1,1)2
=---=--b a a e e a e e a e e ,
44=e b T
1(1,1,1,1)2
=
--,
1234,,,e e e e 即为所求.
6．设,A B 为n 阶正交矩阵,证明A B 也为正交矩阵. 证明: 由,A B 为正交矩阵知T =A A I ,T =B B I .于是
T
T
T
T
()===AB AB B A AB B A I ,
所以A B 也为正交矩阵.
7．设A 与B 都是正交矩阵,证明⎛⎫
⎪⎝⎭
A O O
B 也是正交矩阵. 证明: 设A 与B 的阶数分别为,m n .由,A B 为正交矩阵知
T
m =A A I ,T
n =B B I .
于是
T
T
T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭A
O A
O A
O A
O O B O
B O
B O
B T T
m
m n n +⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭I O A A
O I O
I O
B B 所以⎛⎫
⎪⎝⎭
A
O O B 也为正交矩阵.
8．设A 为正交矩阵,证明 （1）||1A =±;
（2）||1A =-时,||0I A +=.
证明: (1) 因A 为正交矩阵,故T =A A I .于是
T
T
2
1||||||||||===⋅=I A A A A A ,