第四讲 整数的拆分
组合数学课件第二章第四节整数的拆分
2.8：整数的拆分
定理2.8.1 正整数r拆分成不同正整数和的拆分数， 等于拆分成奇正整数的拆分数？
对比7拆分成不同正整数之和的拆分数和拆分成奇 数和的拆分数。
解：7拆分成不同正整数和的所有形式如下：
7，6+1，5+2，4+3，4+2+1共5种
解：7拆分成奇数和的所有形式如下： 7，5+1+1， 3+3+1， 3+1+1+1+1，
任何一个奇数都可表示成 2n+1这种形式。
每一个奇数都及右图这样的自 共轭费勒斯图像一一对应。
n拆分成若干奇数和可以如下表示： n=(2n1+1)+(2n2+1)+…+(2nk+1)
第三十一页，共35页。
2.9 费勒斯（Ferrers)图像
例如：17=9+5+3，求所对应的自共轭 费勒斯图像。
首先将9写成2×4+1,按此构造自共轭费 勒斯图像。
第二行，第二列各n2+2格，对应于 2n2+1。
以此类推。由此得到的Ferres图像是自共 轭的。
第三十三页，共35页。源自2.8：整数的拆分例1 若有1克、2克、3克、4克的砝码各 一枚，问能称出几种可能的重量。
允许空盒，因此常数项为零，单独第一盒的 母函数可构造为：x+x2+ …+xn+…
其它盒也有同样的情况，共m个盒子。
G (x)(xx2...x)x (2...)x .x .2. (...) 第一第 盒二第 盒 m 盒
第二十二页，共35页。
2.8：整数的拆分
xm (1 x ) m
整数的分拆
第4讲整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
数学中的整数分拆
数学中的整数分拆在数学中，整数分拆是一个有趣且重要的概念。
它涉及到将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
整数分拆在代数、组合数学以及数论等领域都有广泛的应用和研究。
本文将介绍整数分拆的基本概念、应用以及一些有趣的性质。
一、基本概念整数分拆即是将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
例如，对于整数4，可以将其分拆为1+1+1+1、2+2、1+1+2等不同的方式。
整数分拆的方式可以具有不同的顺序，但只要拆分的数目相同，就属于同一种拆分方式。
通常，我们用P(n)表示一个正整数n的拆分数，P(n)的值表示n的所有拆分方式的总数。
二、应用整数分拆在实际问题中有着广泛的应用。
下面以组合数学为例，介绍一些具体的应用场景。
1. 钱币组合问题假设有不同面额的硬币，例如1元、2元、5元等，我们需要凑出一个特定金额的零钱。
这个问题可以转化为整数分拆的问题。
例如，我们要凑齐10元，可以分解为1+1+1+1+1+1+1+1+1+1、1+1+1+1+1+1+1+1+2、1+1+1+1+1+1+1+2+2等多种方式。
2. 整数拆分问题整数拆分问题是指将一个正整数拆分成若干个正整数之和，并且这些正整数之间没有顺序要求的问题。
例如，将整数4拆分成1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2等都属于整数拆分的方式。
整数拆分问题在计算机科学中有着广泛的应用，例如动态规划算法中的背包问题、分割问题等。
三、性质整数分拆具有很多有趣的性质，下面介绍其中的一些。
1. 奇偶性对于正整数n，其拆分数P(n)具有一定的奇偶性规律。
当n为奇数时，P(n)为奇数；当n为偶数时，P(n)为偶数。
这个结论可以通过归纳法证明。
2. 递推关系正整数n的拆分数P(n)可以通过递推关系计算得到。
具体地，对于正整数m，其拆分数可以通过计算m-1的拆分数、m-2的拆分数等递推得到。
例如，P(5)可以通过计算P(4)、P(3)、P(2)、P(1)的值得到。
3. 生成函数生成函数是一种用于研究组合数学问题的工具。
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数分拆内容概述：1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大。
也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。
2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P。
3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大。
4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。
如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1。
5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数个奇约数。
6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式。
我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。
典型例题：1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆。
【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆。
2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等。
则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少。
选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天。
整数的分解
《整数的分解》
小朋友们，今天咱们来聊聊整数的分解。
比如说 6 这个整数，它可以分成 1 和5，2 和4，3 和3。
就好像把 6 个苹果分给两个小朋友，有好几种分法。
再看8 这个整数，能分成 1 和7，2 和6，3 和5，4 和4。
那为什么要分解整数呢？这能帮助我们更好地理解数学。
比如做加法的时候，知道 3 和 5 能组成8，那 3 + 5 就等于8 啦。
小朋友们，是不是有点意思呀？
《整数的分解》
小朋友们，咱们接着说整数的分解。
比如说10 这个整数，它可以分成 1 和9，2 和8，3 和7，4 和6，5 和5。
想象一下，有10 颗糖果，要分给两个小伙伴，是不是有很多种分法呀？
分解整数还能帮我们解决一些小问题呢。
比如老师有12 支铅笔，要分给三个同学，那我们就可以想想12 能分成哪三个整数相加。
这样就能知道每个同学能分到几支铅笔啦。
小朋友们，明白了吗？
《整数的分解》
小朋友们，今天再来讲讲整数的分解。
咱们看看15 这个整数，它能分成 1 和14，2 和13，3 和12，4 和11，5 和10，6 和9，7 和8。
就像把15 个小玩具分给两个小朋友，有这么多种分法。
而且呀，分解整数在我们生活中也有用呢。
比如有18 个气球，要平均挂在6 根绳子上，那我们就得先知道18 能分成6 个几。
小朋友们，整数的分解是不是很有趣呀？。
整数分拆
整数分拆（严格地讲是自然数分拆）形式多样，解法也很多。
下面谈谈如何利用确定“中间数”法解将一个整数分拆成若干个连续数的问题。
那么什么是“中间数”呢？其实这里的“中间数”也就是平均数。
有的“中间数”是答数中的一个，如：1、2、3、4、5中的“3”便是；也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的，并不是答数中的一个，如：4、5、6、7这四个数的“中间数”即为“5.5”。
由此我们可知，奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数，而偶数个连续自然数的“中间数”则为小数，并且是某个数的一半。
下面利用这种方法解几道题：一、把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题。
例1、把2000分成25个连续偶数的和，这25个数分别什么？分析与解：这道题如果一个一个地试，岂不是很麻烦，我们先求中间数：2000÷25=80，那么80的左边有12个数，右边也有12个数，再加上80本身，正好是25个数，我们又知相邻两个偶数相差2，那么这25个偶数中最小的便为：80—12×2=56，最大的为：80+12×2=104，故所求的这25个数为：56、58、………、80、………、102、104。
例2、把105分成10个连续自然数的和，这10个自然数分别是多少？分析与解：我们仿照例1的办法先求中间数：105÷10=10.5，“10.5”这个数是小数，并不是自然数，很明显“10.5”不是所求的数中的一个，但我们可以把10.5“虚拟”为所求的数中的一个，这样也就是10.5左边有5个数，右边也有5个数，距离10.5最近的分别是10、11，这10个数分别是：6、7、8、9、10、（10.5）、11、12、13、14、15。
二、把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式。
例3、84分拆成2个或2个以上连续自然数的和，有几种？分别是多少？分析与解：此题看上去无从下手解答。
我们先把84分解质因数，84=2×2×3×7由分解式可以看出，84的不同质因数有2、3、7，这就说明能把84分拆成2、3、7的倍数个不同连续自然数的和，但是我们必须明确，有的个数是不符合要求的，例如把84分拆成2个连续自然数的和，无论如何是办不到的，那么我们不妨把其分拆为3、7、8（2×2×2）个连续自然数的和。
组合数学幻灯片44整数的拆分
7=5+2
7=3+1+1+1+1
7=4+3
7=1+1+1+1+1+1+1 7=4+2+1
∴Po(7)=5
Pd(7)=5
于是Po(7)=Pd(7)。
定理4.5 (Sylvester)
对正整数n，有 Pt(n)=1
证明：我们知道，任何正整数都可唯一 地用一个二进制数来表示，而一个二进 制数又可唯一地表成2的幂的和。由此即 得结论。
§4.4整数的拆分
作为母函数应用的一个实例，下面讨论把n 个无区别的球放在一些无区别的盒子中的问 题.
把n个无区别的球分放在一些无区别的盒子中， 究竟有多少种不同的放法?
无区别的盒子意味着，如果有四个相同的球，则 在第一个盒子中放入三个球， 第二个盒子中放入一个球与第一个盒子中放入 一个球，第二个盒子中放入三个球的放法是一 样的。
x3
x6
x9
1 1 x3
(1
1 x)(1 x2 )(1
x3
)
(1
x
x2
)(1
x2
x4
)(1
x3
x6
)
1 x 2x2 3x3 4x4 5x5 7x6
在上式中可以看出xn的系数等于n拆分为1， 2，3的和的方法数。例如x3的系数是3，这 表示整数3拆分成1，2，3的和的方法数是3， 即
定义4.7 1. 用 Pk(n) 表 示 n 拆 分 成 1,2,… ， k 的 允 许 重 复的方法数。 2.用Po(n)表示n拆分成奇整数的方法数。 3.用Pd(n)表示n拆分成不同的整数的方法数。 4.用Pt(n)表示n拆分成2的不同幂(即1，2，4， 8，…)的方法数。
第一周(整数的分拆)
整数的分拆1、整数的分拆其相关结论如下(1)一般的，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大，也就是把整数分拆成两个相等或者相差为1的两个整数。
(2)一般的，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n-r)个p。
(3)把自然数S(S>1)分拆成若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分成的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样他们的乘积最大。
(4)把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+r(r≤n)的形式，再把r一轮一轮的从后往前每个加1即可。
(5)若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
1、将2006分拆成8个自然数的和的形式，使其乘积最大？2、把60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是几？3、把1999分成若干个自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？4、将35分拆成若干个互不相等的自然数之和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？5、电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播出几天？6、把8个苹果分给3个小朋友有多少种不同的分法？(至少1个)。
7、一个自然数可以分拆成9个自然数之和，也可以拆成10个自然数之和，还可以拆成11个自然数之和。
这个自然数最小是几？8、自然数2000能否拆成若干个连续自然数之和？如能，有几种？课后练习：1、把1999分拆成8个自然数之和，使其乘积最大。
2、把50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大的质数是几？3、把49分拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积最大应该怎样分拆？4、将36分成若干个互不相等的自然数之和，且使这些数的乘积最大，求乘积？5、将2008分成若干个互不相等的自然数之和，且乘积最大？6、是否有若干个连续自然数，他们的和恰好等于64？6、把34分拆成若干个连续自然数之和有多少种分法？。
整数拆分——孙克纯
������������
������ ������
������������������������������
= ������
������������−������������������ ������,������ ,������������������������������
������ ������
������ ������
������
������������������ + ������������ ������������������ ������ ������������������������������
������ ������ ������
, ������������������������
������ = (������ − ������)(������ − ������������ ) … (������ − ������������−������ ) ������������ ������ + ������������ + ������������ + ⋯ + (������ − ������)(������ − ������������ ) … (������ − ������������−������ ) ������ = (������ − ������)(������ − ������������ ) … (������ − ������������−������ ) ������������ + (������ − ������)(������ − ������������ ) … (������ − ������������ ) 即整数������拆分成 1,2，…，n 的和的拆分数，等于������拆分 成 1,2，…，n−1 的和的拆分数，加上至少出现一个 r 的拆分数。 若 n 至少出现一个不允许有空盒， ������������ ������������ (������, ������) = (������ − ������)(������ − ������������ ) … (������ − ������������ ) ������ = (������ − ������)(������ − ������������ ) … (������ − ������������ ) ������ − (������ − ������)(������ − ������������ ) … (������ − ������������−������ ) 即整数 m 拆分成 1,2，…，n 的和的拆分数，减去拆 分成 1,2，…，n−1 的和的拆分数，即为至少出现一 个 m 的拆分数。相当于 n 个无区别的球放到 m 个无 标志的盒子，每盒一个球，余下的������ − ������个球按有空 盒办法来处理，即������ − ������个球用 1,2，…，n 进行拆分 的拆分数。
数论-整数拆分
一个正整数可以写成一些正整数的和。
在数论上，跟这些和式有关的问题称为整数分拆、整数剖分、整数分割、分割数或切割数。
其中最常见的问题就是给定正整数，求不同数组的数目，符合下面的条件：1.a1 + a2 +a3 +...+a k = n.2.a1≥a2≥a3...≥a k（k的大小不定）3.其他附加条件（例如限定“k是偶数”，或“不是1就是2”等）我们记所有不多于k个正整数的和以及相应的n时对应的上述方程的解的总数为p(n, k).记所有正好为k个正整数的和以相应的n时对应的解的总数为p k(n)分割函数p(n)是求符合以上第一、二个条件的数组总数目，即p(n) = p1(n)+p2(n)+...+p k(n)。
例：4 = 1+1+1+1=1+1+2=2+2=1+3其中p(4,1) = 1, p(4,2) =2,p(4,3) = 1,p(4,4) =1.=>p(4) = 5.易知对于任意的n>=1，有p1(n) = 1.p n(n) = 1.Ferrers图示[有关知识可以自己查找]：Ferrers图示是将第1行放a1个方格，第2行放a2个方格……第k行放a k个方格，来表示整数分割的其中一个方法。
定理1：给定正整数k和n，n表达成不多于k个正整数之和的方法数目[p1(n)+p2(n)+...p k(n)]，等于将n分割成任意个不大于k的正整数之和的方法数目。
证明：通过把前者任一解的Ferrers图沿对角线反转即可得到后者的一个解，所以两者相等。
定理2[核心定理]：定理1中的两者的数目也等于p(n+k,k).即p k(n+k) = p1(n) + p2(n) +... +p k(n).证明：对于p(n,1)+p(n,2)+...+p(n,k)中的所有情况，都可以通过在Ferrers图中的1到k行添加1个元素来得到p(n+k,k)中的一个元素，因为一共有n+k个元素且必为k行；同样可以通过在p(n+k,k)中每行减去一个元素得到p(n,1)+p(n,2)+...+p(n,k)中的元素，因为每行减去一个元素后剩下n个元素且至多k行。
整数拆分问题
整数的拆分：就是把一个自然数表示成为若十个自然数的和的形式。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
奇约数：首先要知道什么是奇约数，简单的说就是一个数约数当中的奇数，比如说6的奇约数就只有1, 3.那么如何算一个数字的奇约数的个数，如果一个数字A若可以写成A=M A a*N A b*Q A C....的形式他的奇约数就有(a+1)(b+1)(c+1)...j其中M,N,Q必须是奇数。
例1电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？【解析】这个题比较简单，由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1, 2, 3, 4, 5, 7, 8或1, 2, 3, 4, 5, 6, 9都可以。
所以就是7天。
类似于某年国考题。
例2求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为9个连续自然数之和，又可以表示为10个连续自然数之和，还可以表示为11个连续自然数之和。
【解析】：9个连续自然数之和是其中第5个数的9倍，10个连续自然数之和是其中第5个数和第6个数之和的5倍，11个连续自然数之和是其中第6个数的11倍。
这样，可以表示为9个、10个、11个连续自然数之和的数必是5, 9和11的倍数，故最小的这样的数是[5, 9, 11] =495。
对495进行分拆可利用平均数，采取“以平均数为中心，向两边推进的方法”。
11.整数的拆分
4
组合数学
1. 整数的拆分
正整数5的所有拆分如下： (1) 5=5 (2) 5=4＋1 (3) 5=3＋2 (4) 5=3＋1＋1 (5) 5=2＋2＋1 (6) 5=2＋1＋1＋1 (7) 5=1＋1＋1＋1＋1
5
组合数学
1. 整数的拆分
所以， p1(5)=1（5=5） p2(5)=2（5=4＋1，5=3＋2） p3(5)=2（5=3＋1＋1，5=2＋2＋1） p4(5)=1（5=2＋1＋1＋1） p5(5)=1（5=1＋1＋1＋1＋1） p(5)=7
r 1
(3-13)
(3-14)
12
组合数学
1. 整数的拆分
例3-8 求7的3拆分数p3(7)。 解 利用公式(3-14)、(3-10)、(3-12)和
(3-13)，有
p3(7)= p1(7－3)＋p2(7－3)＋p3(7－3) = p1(4)＋p2(4)＋p3(4)
1
4 2
3
组合数学
1. 整数的拆分
正整数的拆分的模型是：n个相同的球放入k 个相同的盒子，每个盒子至少放1个。
为了方便叙述，本书采用以下记号：
pk(n)表示正整数n的k拆分数， p(n)表示正整数n的所有拆分数。
当k＞n时，正整数n的k拆分不存在。为了以 后计算的方便，规定这时的拆分数为0，即当 k＞n时，pk(n) =0。
设正整数n的一个k拆分为n＝n1＋n2＋…＋nk （n1≥n2≥…≥nk≥1）。可以用一个含有n个点 的点阵图表示这个拆分：图的第1行有n1个点， 第2行有n2个点，…，第k行有nk个点；并且 每一行最左边的点上下对齐。这样的图称为 正整数n的一个k拆分的Ferrers图。
(完整版)整数的分拆教案
【学生回答】：老师抽答，上台演示
【教师讲解】：（边操作边讲解）首先分析题目可以知道，每个盒子当中笔的数目不少于2支，也就是说最少有2支。现在我们先将盒子编号为1号、2号。现在假如1号盒子当中只有2块，那2号盒子里面有8块，然后在二号盒子里拿1支到1号盒子当中，此时1号盒子3支，2号盒子里面7支，按照这个规则进行，两个盒子当中笔的数目分别为：1号盒子4支，2号盒子6支，1号盒子5支，2号盒子5支，1号盒子6支，2号盒子4支，1号盒子7支，2号盒子3支，1号盒子8支，2号盒子2支，这时候请同学们注意根据题目要求2号盒子的笔也不能少于2支，所以当2号盒子中只有2支笔时，就不能再往一号盒子中拿了，一共有7种不同的分法。
课
程
讲
授
30min
导入：同学们，欢迎你们来到数字的世界，今天我们一起来玩一些有趣的数字游戏。
【提出问题】：
PPT上展示例题1：同学们，小军想把这六个棒棒糖全部分给奇奇猫和壮壮鼠，一共有多少种不同的分法哪？答对了这个棒棒糖就奖励给答题的小朋友！（拿出准备好的棒棒糖，请同学上台分别扮演角色得出结论）
【学生活动】:分组讨论，交流答案
【教师讲解】：将这6个棒棒糖看成一个整体，将它分为两个不同的部分，也就是将自然数6分为两个不同的自然数，首先最小的自然数为0，如果以0来分那就有一个小动物没有，所以要从自然数1开始，6可以分为1和5，然后按次序5拿一个给1,6就分为了2和4,以此类推6还可以分为3和3，6分为4和2,6分为5和1，所以一共有5种分法：猫1个，鼠 5个，猫2个，鼠 4个，猫3个，鼠 3个，猫4个，鼠2 个，猫5个，鼠 1个。
4、把几个物体分成两堆或相同的物体时，如果没有限制1，8和8，1是相同的分法
【整数的分拆】教学课件
博易新思维数学——全国中小学数学培训课程领军品牌巧分——整数的分拆张大爷今天买回了3只小羊羔，于是他准备在院子的角落里利用院子的两堵墙做一个饲养场。
张大爷家里刚好有10米长的竹篱笆，他想用这10米长的篱笆围成的饲养场面积最大，可以怎样围呢？中小学数学教材例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？把17分成两个数的和，使这两个数的积最大，这个最大的积是多少？例2：一个周长为58米的长方形，这个长方形的面积最大是多少平方米？中小学数学教材米数，可以有几种围法？其中面积最大的是多少平方厘米？例3：金博士想用29米长的竹篱笆围一个长方形的院子，准备利用他家的一面墙，如图。
请问：怎样围，这个院子面积最大？一个长为100米的篱笆，和一面墙一起围成一个长方形，问长和宽各取多少时，所围成的面积最大。
例4：将14分拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积最大，如何分拆?中小学数学教材例5：试把81分拆为8个自然数的和，使其乘积最大。
试把22分拆为5个自然数的和，使其乘积最大。
（接下来的题目有一定难度，如果课堂时间不够，可以留在课下思考。
）例6：把12分成几个自然数的和，再求出这自然数的积，要使乘积尽可能的大，最大的积是多少？将49分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积最大，如何分拆?等分“数圆”这是一个“数圆”，上面写着1～12的数字。
小丽想把这个“数圆”分成三部分，要求每一部分的数相加的和相等。
中小学数学教材他成功了，瞧：11+12+1+2=2610+9+3+4=268+7+6+5=26现在想把“数圆”二等分、四等分。
小朋友，这次她能成功吗？你能帮帮她吗？。
第4讲整数的拆分例题讲解+总结
第4讲整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
小学奥数整数拆分的知识点
小学奥数整数拆分的知识点
小学奥数关于整数拆分的知识点
整数拆分是小学奥数数论模块的重要知识点，小学奥数题所谓整数拆分就是把把一个自然数(0除外)拆成几个大于0的自然数相加的.形式。
下面一起来看看！
一、概念：
把一个自然数(0除外)拆成几个大于0的自然数相加的形式。
二、类型----方法
1、基本型
2、造数型
3、求加数最多
方法：1+2+3+……接近结果但是不超过已知数为止，再补差
4、两数型
(1)和不变：差小积大，差大积小
(2)积不变：差大和大，差小和小
5、拆数型
积最大(1)允许相同：多3少2没有1
(2)不允许相同：从2连续拆分2+3+4+……刚好超过目标数为止
1)超几就去几
2)多1去2，差1补尾
三年级小学奥数题及解析：裂项与拆分
有40枚棋子分别放入8个盒子里，要使每个盒子里都有棋子，那么其中的一个盒子里，最多能有多少棋子?
考点：整数的裂项与拆分.
分析：要使每个盒子里都有棋子，那么每个盒子里面至少有1个球，即40=1+1+1+1+1+1+1+33，所以最多的盒子里面有33个球.
解答：解：因为要使每个盒子里都有棋子，那么每个盒子里面至少有1个球，而要使其中的一个盒子的球最多，则另外的7个盒子里面的球分别为1，
即40=1+1+1+1+1+1+1+33，所以最多的盒子里面有33个球.
答：其中的一个盒子里，最多能有33枚棋子.
奥数题点评：关键是理解题意得出7个盒子里面的球分别为1，求出最多的盒子里面球的个数.。
整数分拆的递推关系式（4）
整数分拆的递推关系式李扩继（咸阳市渭城区第一初级中学，712000）摘要 加法分拆，乘法分拆，递推式。
0 引言整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题。
由于正整数分拆规律的复杂性，长期以来，在递推式方面人们仅得到了 Bell 数 [1]等有限的结果，本文判明了正整数分拆的规律性，并给出了相应的递推式，它对于进一步学习和研究相关问题具有重要意义。
用()p n 表示将正整数n 分拆成若干个正整数之和的方法总数；()k p n 表示将n 分拆成k 个正整数之和的方法总数。
如，(5)7p =，2(5)2p =；5=1+4=1+1+3=1+2+2=1+1+1+2 =1+1+1+1+1=2+3。
用()f n 表示将n 分解成若干个正整数之积的方法总数（说明，乘法分拆实质是正整数的因子分解）；用()k f n 表示将n 分解成k 个正整数之积的方法总数。
如，(24)7f =，3(24)2f =。
24=3×8=3×2×4=3×2×2×2=6×4=6×2×2=12×2。
以上方法均不考虑加数或因子的顺序，且把分拆的加数或分解的因子数称为分部量。
1 加法分拆对正整数n 进行加法分拆：①含1的加法分拆：因为1(1)n n =+-，所以，这种分拆数为(1)p n -；②不含1的加法分拆：因为()n k n k =+-，所以， n 的k 位不含1的加法分拆，是给()n k -的k 位加法分拆的各位分部量分别加上1，此分拆数为()k p n k -。
有 公式1 1()(1)()k k k p n p n p n k -=-+-。
其中, ,n k N ∈ ,1n >，0()0p n =，0(0)1p =；当j i >时，()0j p i =(下同) . 公式2 1()(1)()k k p n p n P n k ==-+-∑。
4年级整数的分拆
4年级整数的分拆《4 年级整数的分拆》在 4 年级的数学学习中，整数的分拆是一个很有趣也很重要的知识点。
它就像是一个神奇的魔法，能把一个整数变成不同的组合，帮助我们更好地理解数字之间的关系。
整数分拆，简单来说，就是把一个整数写成几个整数相加的形式。
比如说，把 5 这个整数进行分拆，可以写成 1 ＋ 4、2 ＋ 3、1 ＋ 1 ＋ 3、1 ＋ 2 ＋ 2 等等。
为什么要学习整数分拆呢？这可有着不少用处呢！首先，它能帮助我们锻炼思维能力，让我们学会从不同的角度去看待一个数字。
其次，在解决一些实际问题的时候，比如计算组合的可能性，整数分拆就派上大用场啦。
那我们来看看整数分拆有哪些方法和技巧。
一种常见的方法是从最小的数开始逐步增加。
就拿 6 来举例吧，如果从 1 开始，我们可以得到 1 ＋ 5、2 ＋ 4、3 ＋ 3。
然后再考虑包含两个以上数字相加的情况，比如 1 ＋ 1 ＋ 4、1 ＋ 2 ＋ 3、2 ＋ 2 ＋ 2 等等。
还有一种方法是按照一定的顺序来分拆。
比如说，我们可以先把整数平均分成两份，如果能整除，那就得到一种分拆。
如果不能整除，就把余数依次加到其中一份上，这样也能得到不同的分拆方式。
在进行整数分拆的时候，我们要注意一些问题。
首先，要确保分拆的结果都是整数，不能有小数或者分数。
其次，每个分拆的数字都不能重复。
下面我们通过一些具体的例子来加深对整数分拆的理解。
假设我们要把 8 进行分拆。
按照从小到大的顺序，我们可以得到 1＋ 7、2 ＋ 6、3 ＋ 5、4 ＋ 4。
然后再考虑三个数字相加的情况，有 1＋ 1 ＋ 6、1 ＋ 2 ＋ 5、1 ＋ 3 ＋ 4、2 ＋ 2 ＋ 4、2 ＋ 3 ＋ 3 。
再比如把 10 进行分拆，我们能得到 1 ＋ 9、2 ＋ 8、3 ＋ 7、4 ＋ 6、5 ＋ 5 。
三个数字相加的有 1 ＋ 1 ＋ 8、1 ＋ 2 ＋ 7、1 ＋ 3 ＋ 6、1 ＋4 ＋ 5、2 ＋ 2 ＋ 6、2 ＋ 3 ＋ 5、2 ＋ 4 ＋ 4、3 ＋ 3 ＋ 4 。
第四讲 整数的拆分
第四讲整数的拆分笔记总结整数的拆分：把自然数分成为若干个自然数之和，每一种表示方法就是一种拆分。
【要求】1.拆成的数的和必须等于这个数n。
2.不允许重复（排列顺序不一样的重复也不可以）：例如：3=2+1.3=1+2只能算一种拆分。
【要点】1.被拆的数 2.拆成多少个数 3.特殊要求一、整数分拆中的计数问题（几种、多少个这样的问题称为计数问题）例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？（不加限制条件的分拆，称为无限制分拆）分类(枚举)法：只能拆成2个至6个数的和。
2个数：6=5+1=4+2=3+3 3个数：6=4+1+1=3+2+1=2+2+24个数：6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；5个数：6=2+1+1＋1＋1 6个数：6＝1+1+1+1+1+1因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法。
例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法：采用枚举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1992+2=…=998＋996=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.【拆成2个数规律】：n是双数，有n÷2种拆分；n是单数，有（n-1）÷2种拆分.二、整数分拆中的最值问题（最大和最小的两种极端情况，称为最值问题）例3 50最多能拆成多少个不同的正整数之和？拆“50”没有个数限制，但要求拆成的数个数最多-------也就是尽量拆的最小50=1+2+3+4+5+6+7+8+9+5 最多拆成9个。
例4 试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大14=1＋13，1×13＝13；14=2+12，2×12=24；14=3＋11，3×11=33；14=4＋10，4×10=40；14=5＋9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49. [结论] 拆成两个数，差越小时，乘积越大；差越大时，乘积越大。
数的整十整百拆分与组合
数的整十整百拆分与组合数的整数拆分与组合，是学习数学中一个基本的概念和技能。
在数的整十整百拆分与组合中，我们主要学习和掌握如何将一个数拆分成整十或整百的组合，并且将多个整十或整百的数进行组合。
通过这种方式，我们可以更好地理解和运用数字，并且提高我们的计算能力和数学思维。
首先，我们来看如何将一个数拆分为整十或整百的组合。
这里以整十为例，整百的操作与之类似。
对于一个任意的整数，我们可以通过以下步骤进行拆分：1. 首先，确定这个数的十位。
将个位舍去，十位上的数字保留。
例如，对于数字275，十位为7。
2. 然后，根据十位数字的大小，判断需要拆分出多少个整十。
如果十位数字为0，那么无需拆分；如果为1，则拆分一个整十；如果为2，则拆分两个整十；以此类推。
对于数字275，十位为7，所以需要拆分7个整十。
3. 最后，将十位上的数字与相应个数的整十相乘，然后进行组合。
对于数字275，十位为7，所以需要拆分7个整十，分别是70、70、70、70、70、70、70。
将这些拆分出来的整十进行组合，即可得到拆分后的结果。
接下来，我们来看如何将多个整十或整百的数进行组合。
这里同样以整十为例，整百的操作与之类似。
假设我们有几个整十的数，例如：30、40、70、90。
要对这些数进行组合，可以按照以下步骤操作：1. 首先，将这些数的十位上的数字相加。
对于30、40、70、90这几个数，十位上的数字分别为3、4、7、9，相加后的结果为23。
2. 然后，确定组合后的数的个位数字。
这个数字等于原始数字个位数字之和的个位数。
对于23，个位数之和为5，所以组合后的数的个位数为5。
3. 最后，将组合后的个位数与原始数字十位上的数字组合在一起，即可得到组合后的结果。
对于23和30、40、70、90，将23和这几个数进行组合，可以得到53、63、93、113。
通过数的整十整百拆分与组合的学习，我们可以更好地掌握数的性质和运算规律。
同时，这也是培养我们的观察力、逻辑思维和计算能力的一种有效方法。
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第四讲整数的拆分笔记总结
整数的拆分：把自然数分成为若干个自然数之和，每一种表示方法就是一种拆分。
【要求】
1.拆成的数的和必须等于这个数n。
2.不允许重复（排列顺序不一样的重复也不可以）：例如：3=2+1.3=1+2只能算一种拆分。
【要点】1.被拆的数 2.拆成多少个数 3.特殊要求
一、整数分拆中的计数问题（几种、多少个这样的问题称为计数问题）
例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？（不加限制条件的分拆，称为无限制分拆）
分类(枚举)法：只能拆成2个至6个数的和。
2个数：6=5+1=4+2=3+3 3个数：6=4+1+1=3+2+1=2+2+2
4个数：6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；5个数：6=2+1+1＋1＋1 6个数：6＝1+1+1+1+1+1
因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法。
例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？
解法：采用枚举法并考虑到加法交换律：
1994=1993+1=1992+2=…=998＋996=997+997
因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.
【拆成2个数规律】：n是双数，有n÷2种拆分；n是单数，有（n-1）÷2种拆分.
二、整数分拆中的最值问题（最大和最小的两种极端情况，称为最值问题）
例3 50最多能拆成多少个不同的正整数之和？
拆“50”没有个数限制，但要求拆成的数个数最多-------也就是尽量拆的最小
50=1+2+3+4+5+6+7+8+9+5 最多拆成9个。
例4 试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大
14=1＋13，1×13＝13；14=2+12，2×12=24；14=3＋11，3×11=33；
14=4＋10，4×10=40；14=5＋9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49. [结论] 拆成两个数，差越小时，乘积越大；差越大时，乘积越大。
拆成三个数，差越小时，乘积越大；差越大时，乘积越大。
【难度问题】给定一个自然数N，把它拆成若干个自然数的和，使它们的积最大
注意，分拆数中有4时，总可把4再分拆成2与2之和而不改变分拆的乘积.
实验结果4：8拆分成2＋3+3时，其积最大.
实验结果5：9拆分成3+3+3时，其积最大.
实验结果6：10拆分成3+3+2＋2时，其积最大.
观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最大，拆分数都由2与3组成，其形式有三种：
①自然数=（若干个3的和）；
②自然数=（若干个3的和）+2；
③自然数=（若干个3的和）+2＋2.
因此，我们得到结论：把一个自然数N拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大.（因为2+2+2=3+3，2×2×2＜3×3，所以分拆数中2的个数不能多于2个.）
例分别拆分1993、1994、2001三个数，使分拆后的积最大
解：∵1993=664×3＋1.
∵1994=664×3＋2
∴1994分拆成（664个3的和）＋2时，其积最大.
∵2001=667×3∴2001分拆成（667个3的和）时，其积最大
[总结]拆成若干个数，使得乘积最大
除以3没有余数，全拆成3的和；
除以3余1，拆成2个2，其余都拆成3的和；
除以3余2，拆成1个2，其余都拆成3的和。