第四讲 整数的拆分

第四讲整数的拆分笔记总结

整数的拆分：把自然数分成为若干个自然数之和，每一种表示方法就是一种拆分。

【要求】

1.拆成的数的和必须等于这个数n。

2.不允许重复（排列顺序不一样的重复也不可以）：例如：3=2+1.3=1+2只能算一种拆分。

【要点】1.被拆的数 2.拆成多少个数 3.特殊要求

一、整数分拆中的计数问题（几种、多少个这样的问题称为计数问题）

例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？（不加限制条件的分拆，称为无限制分拆）

分类(枚举)法：只能拆成2个至6个数的和。

2个数：6=5+1=4+2=3+3 3个数：6=4+1+1=3+2+1=2+2+2

4个数：6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；5个数：6=2+1+1＋1＋1 6个数：6＝1+1+1+1+1+1

因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法。

例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？

解法：采用枚举法并考虑到加法交换律：

1994=1993+1=1992+2=…=998＋996=997+997

因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.

【拆成2个数规律】：n是双数，有n÷2种拆分；n是单数，有（n-1）÷2种拆分.

二、整数分拆中的最值问题（最大和最小的两种极端情况，称为最值问题）

例3 50最多能拆成多少个不同的正整数之和？

拆“50”没有个数限制，但要求拆成的数个数最多-------也就是尽量拆的最小

50=1+2+3+4+5+6+7+8+9+5 最多拆成9个。

例4 试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大

14=1＋13，1×13＝13；14=2+12，2×12=24；14=3＋11，3×11=33；

14=4＋10，4×10=40；14=5＋9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49. [结论] 拆成两个数，差越小时，乘积越大；差越大时，乘积越大。

拆成三个数，差越小时，乘积越大；差越大时，乘积越大。

【难度问题】给定一个自然数N，把它拆成若干个自然数的和，使它们的积最大

注意，分拆数中有4时，总可把4再分拆成2与2之和而不改变分拆的乘积.

实验结果4：8拆分成2＋3+3时，其积最大.

实验结果5：9拆分成3+3+3时，其积最大.

实验结果6：10拆分成3+3+2＋2时，其积最大.

观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最大，拆分数都由2与3组成，其形式有三种：

①自然数=（若干个3的和）；

②自然数=（若干个3的和）+2；

③自然数=（若干个3的和）+2＋2.

因此，我们得到结论：把一个自然数N拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大.（因为2+2+2=3+3，2×2×2＜3×3，所以分拆数中2的个数不能多于2个.）

例分别拆分1993、1994、2001三个数，使分拆后的积最大

解：∵1993=664×3＋1.

∵1994=664×3＋2

∴1994分拆成（664个3的和）＋2时，其积最大.

∵2001=667×3∴2001分拆成（667个3的和）时，其积最大

[总结]拆成若干个数，使得乘积最大

除以3没有余数，全拆成3的和；

除以3余1，拆成2个2，其余都拆成3的和；

除以3余2，拆成1个2，其余都拆成3的和。