三角形期末复习讲义汇总
三角形知识点复习归纳总结
三角形知识点复习归纳总结三角形是几何学中的基本图形之一，其性质和特点的掌握对于解决与三角形相关的问题非常重要。
以下是对于三角形知识点的复习归纳总结：一、基本概念：1.三角形：由三条边和三个角组成的图形。
2.顶角：三角形的顶点所对应的角。
3.边：三角形的两个顶点所连接的线段。
4.外角：三角形的一个内角的补角。
二、分类：1.按边的关系分类：（1）等边三角形：三条边长度相等。
（2）等腰三角形：两条边长度相等。
（3）普通三角形：三边长度都不相等。
2.按角的关系分类：（1）钝角三角形：一个角度大于90°。
（2）直角三角形：一个角度等于90°。
（3）锐角三角形：三个角度都小于90°。
三、性质与定理：1.内角和定理：三角形的三个内角和等于180°。
2.外角和定理：三角形的一个内角与其相邻的外角补角相等。
3.外角定理：一个三角形的外角等于另外两个内角之和。
4.中位线定理：三角形的三条中位线交于一点。
5.高线定理：三角形的三条高线交于一点。
6.中心定理：三角形的三个角的内心、外心和重心都在一条直线上。
7.角平分线定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且与该点到三个顶点的距离相等。
8.边平分线定理：三角形的三个内角的边平分线交于一点，且与该点到三个顶点的距离成比例。
9. 正弦定理：对于一个三角形ABC，AB=c，BC=a，AC=b，A、B、C分别为三角形的内角，那么有sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R，其中R 为三角形外接圆的半径。
10. 余弦定理：对于一个三角形ABC，AB=c，BC=a，AC=b，A、B、C 分别为三角形的内角，那么有c^2=a^2+b^2-2ab*cosC。
11.面积公式：三角形的面积等于1/2底边乘以高。
12.海伦公式：对于一个三角形ABC，AB=c，BC=a，AC=b，s为三边之和的一半，那么三角形的面积等于根号下[s(s-a)(s-b)(s-c)]。
《全等三角形》讲义（完整版）
全等三角形讲义一、知识点总结全等三角形定义：形状大小相同，并且能够完全重合的两个三角形叫做全等形三角形。
：形状大小相同，并且能够完全重合的两个三角形叫做全等形三角形。
补充说明：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等 全等三角形判定定理：（1）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等。
（简称SSS ） （2）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
((简称SAS) （3）角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（简称ASA ASA）） （4）角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（简称AAS AAS）） （5）斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简称HL HL）） 角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等. .∵OP 平分∠平分∠AOB AOB AOB，，PM PM⊥⊥OA 于M ，PN PN⊥⊥OB 于N ，∴PM=PN 角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上到角的两边距离相等的点在角的平分线上. .∵PM PM⊥⊥OA 于M ，PN PN⊥⊥OB 于N ，PM=PN ∴OP 平分∠平分∠AOB AOB三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
二、典型例题举例A BC PMNO A BCPMN O例1、如图,△ABN ≌△ACM,∠B 和∠C 是对应角,AB 与AC 是对应边,写出其他对应边和对应角.例2、如图，△、如图，△ABC ABC 是一个钢架，是一个钢架，AB=AC AB=AC AB=AC，，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．的支架．求证：△求证：△ABD ABD ABD≌△≌△≌△ACD ACD ACD．．例3、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上，AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ． 求证：△ABE ≌△CDF ．例4、如图：、如图：D D 在AB 上，上，E E 在AC 上，上，AB AB AB＝＝AC AC，∠，∠，∠B B ＝∠＝∠C C ．求证AD AD＝＝AE AE．．例5、如图：∠、如图：∠1=1=1=∠∠2，∠，∠3=3=3=∠∠4 求证：求证：AC=AD AC=AD例6、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由吗？说说你的理由D CB ACADB123 4例7、如图1，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.例8、如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交OA 于D ，PE ⊥OB 交OB 于E ，F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ，求证DF ＝EF例9、如图，△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是AD 上的一点，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，求证：D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等的距离相等例10、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是282cm ，AB ＝20cm ，AC ＝8cm，求DE 的长．AGF CBDE图1AEB DCFAB CDED C EF BA 例10、已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：①，求证：① △BEC ≌△DAE ；②DF ⊥BC ．例11、如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C ，D 是垂足，连接CD ，求证:（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OD=OC ；（3）OE 是CD 的中垂线.三、专题版块三、专题版块 专题一：专题一： 全等三角形的判定和性质的应用全等三角形的判定和性质的应用例1、如图，在△ABC 中，AB=AC ， BAC=40°,分别以AB AB、AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ACE，使∠，使∠BAD=∠CAE=90°.(1)求∠DBC 的度数.(2)求证：BD=CE.例2、如图，A B ∥CD,AF CD,AF∥∥DE,BE=CF,DE,BE=CF,求证：求证：求证：AB=CD. AB=CD.例3、如图在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，在BE 延长线上截取BM ＝AC ，在CF 延长线上截到CN ＝AB ，求证：AM ＝AN 。
三角形知识点复习经典归纳
三角形知识点复习经典归纳三角形是初中数学中的重要几何概念之一，掌握三角形的性质和相关知识，对于学生的数学学习和几何思维的培养都非常关键。
本文将回顾三角形的基本定义、性质和相关公式，帮助读者巩固三角形的知识，同时提供一些解题方法和技巧。
一、三角形的定义及基本性质1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，每条线段都是三角形的一条边，相交的点称为顶点，它们之间称为内角。
2. 三角形的内角和三角形的内角和为180度，即三个内角之和等于180度。
3. 三角形的分类根据边的长短和内角的大小，三角形可分为等腰三角形、等边三角形、直角三角形和一般三角形。
4. 等边三角形等边三角形的三条边相等，且三个内角都是60度。
5. 等腰三角形等腰三角形的两边相等，且两个对应的内角也相等。
6. 直角三角形直角三角形的一个内角为90度。
7. 一般三角形一般三角形即除了等腰、等边、直角三角形以外的三角形。
二、三角形的面积计算方法1. 面积计算公式三角形的面积可以通过以下公式进行计算：面积 = 底边长 ×高 / 2其中，底边长为任意一条边的长度，高为从底边到对应顶点的垂直距离。
2. 海伦公式当已知三角形的三条边长时，可以使用海伦公式计算三角形的面积：面积= √(p × (p - a) × (p - b) × (p - c))其中，p为三角形的半周长，即p = (a + b + c) / 2，a、b、c为三角形的三条边长。
三、三角形的重要性质1. 三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边，即三角形两边之和大于第三边。
2. 三角形内角关系三角形的任意两个内角之和等于第三个内角的补角，即α+β=180°-γ。
3. 三角形的外角关系三角形的一个内角的外角等于另外两个内角的和，即α=β+γ。
4. 等腰三角形的性质等腰三角形的底角相等，顶角的平分线也是底边的垂直平分线。
5. 直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互为补角，且斜边是锐角的对边中最长的一边。
三角形知识总复习
折叠纸盒
折叠纸盒的构造中，常常 可以看到三角形的应用， 它们能够承受一定的压力， 保持纸盒的形状。
三角形在数学与其他学科中的应用
几何学
三角形是几何学中基础图形之一， 研究三角形的性质、面积和周长
等基础知识是几何学的重要内容。
工程学
在工程设计中，三角形的应用非常 广泛，如结构设计、机械零件设计 等。
详细描述
根据三角形的角度和边长，可以将三角形分为不同的类型。 例如，等边三角形三边相等，三个角都是60度；等腰三角形 两边相等，两个角相等；直角三角形有一个90度的角等。这 些分类有助于理解三角形的特性和性质。
02 三角形的面积与周长
CHAPTER
三角形的面积计算
01
02
03
公式法
使用三角形面积公式（面 积 = (底 × 高) ÷ 2）计算 面积。
三角形知识总复习
目录
CONTENTS
• 三角形的基本性质 • 三角形的面积与周长 • 三角形的角度与勾股定理 • 三角形的全等与相似 • 三角函数与解三角形 • 三角形的实际应用
01 三角形的基本性质
CHAPTER
三角形的基本定义
总结词
三角形是由三条边和三个角构成的闭合二维图形。
详细描述
三角形的基本定义包括其构成的要素，即三条边和三个角。这三条边在平面几 何中首尾相连，形成一个封闭的二维图形，而三个角则定义了三角形的角度大 小。
等边三角形
等边三角形的三条边长度相等，面积计算公式为（面积 = (√3/4) × a^2），其中a是等边三 角形的边长。周长计算公式为（周长 = 3a）。
等腰三角形
等腰三角形有两边长度相等，面积计算公式为（面积 = (底 × 高) ÷ 2），周长计算公式为 （周长 = a + b + c），其中a、b和c分别是三角形的底、相等的两边和另一条边。
全等三角形讲义
全等三角形讲义(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--全等三角形一、知识点：1.全等形的定义2.全等三角形的定义3.对应顶点、对应边、对应角的定义4.全等三角形的性质二、重难点：1.全等三角形的概念2.对应顶点、对应边、对应角的定义3.全等三角形的性质三、考点全等三角形的性质一、全等形1. 叫做全等形。
全等用符号表示，读作2.两个图形是否为全等形，关键是看两个图形的是否相同，是否相等，而与图形所在的无关；判断两个图形是否是全等形，只要把它们在一起，看是否完全；一个图形经过、、等变换后，所得到的图形与原图形全等。
例题：1.下列说法不正确的是（）A．形状相同的两个图形是全等形 B.大小不同的两个图形不是全等形C. 形状、大小都相同的两个图形是全等形D.能够完全重合的两个图形是全等形2.下列说法正确的是（）A．面积相等的两个图形是全等图形 B.周长相等的两个图形是全等图形C. 形状相同的两个图形是全等图形D.能够重合的两个图形是全等图形二、全等三角形1. 叫做全等三角形2. 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做，重合的边叫做，重合的角叫做3.寻找对应因素的方法：①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角；③全等三角形的公共角是对应角；④全等三角形的公共边是对应边；⑤全等三角形中的对顶角是对应角；⑥全等三角形中一对最长（短）的边是对应边，一对最大（小）的角是对应角例题：1．下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角oO BCDCDABCDCBD2．将ABC ∆沿直线BC 平移，得到DEF ∆，说出你得到的结论，说明理由B AD3．如图，,ACD ABE ∆≅∆AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠B A ，求ADC ∠的大小。
三角形复习讲义
7-7第七章《三角形》专题复习 姓名：第一部分、知识网络结构图与三角形有关的线段 (1) 三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. ①边:AB,BC,CA 或a,b,c ②顶点:A,B,C ③角:C B A ∠∠∠,, (2)三角形的分类①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形底和腰不相等的三角形等腰三角形不等边三角形三角形按边)(②⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形按角(3)三角形的主要线段①三角形的中线:顶点与对边中点的连线,三中线交点叫重心②三角形的角平分线:内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三角角平分线的交点叫内心③三角形的高:顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同) (4)三角形三边间的关系. ①两边之和大于第三边 b a c a c b c b a >+>+>+,,②两边之差小于第三边 a c b c b a b a c <-<-<-,,(5)三角形的稳定性:三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小不变了,这个性质叫做三角形 的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 与三角形有关的角（1）三角形的内角和定理及性质 定理：三角形的内角和等于180°。
推论1：直角三角形的两个锐角互余。
推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
（2）三角形的外角及外角和①三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
②三角形的外角和等于360°。
（3）多边形及多边形的对角线①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。
三角形期末复习讲义汇总
三角形复习讲义一、知识点1.三角形的内角和2.三角形的三边关系，范围3.三角形的外角性质4.三角形的角平分线，性质5.三角形的中线，作用6.三角形的高线；内外之分；三线共同点7.中垂线（垂直平分线），性质8.命题的概念，如果那么；9.全等三角形的定义，记号，性质；10.全等三角形的判定方法；直角三角形全等的判定11.尺规作图：（1）作一条线段等于已知线段（2）作一个角等于已知角（3）作线段的垂直平分线（4）作角平分线（5）过一个已知点作一条直线的垂线12.轴对称与轴对称图形；轴对称图形的作法13.等腰三角形的定义；性质14.等腰三角形的判定；分类讨论15.等边三角形的定义；性质；判定方法16.直角三角形的性质；判定；逆命题与逆定理17.等腰直角三角形、有30 度角的直角三角形边角关系18.勾股定理，逆定理内容及作用二、基础题组知识点1-31.三角形两边的长分别为1和8,若该三角形第三边长为偶数，则该三角形的周长为2.设^ABC 的三边为a、b、c,化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|=3.若一个三角形三个内角度数的比为2: A.直角三角形B .锐角三角形3: 4，那么这个三角形是(C.钝角三角形 D).等边三角形4.在^ ABC中，/ A=3/ B,/ A- / C=30°，则/ A= 度,/ C= 度.5.已知如图，△ ABC为直角三角形, / C=90°, 若沿图中虚线剪去/ C,则/ 1 + / 2等于知识点4-81.如图，AE是^ ABC的角平分线，A . 10° B. 12° C. ADX BC于点15 D. 182.如图，在Rt△ ABC中，/ ACB=90 , 线交于E点，连接AE则/ CEB>(A . 15° B. 20°/ BAC=30，/ ACB的平分线与/ ABC的外角平分 )C. 30°D. 353.如图，△ ABC的面积是12,BD=2CD点E是AD的中点，则^ ACE勺面积是) C R4.如图，在△ ABC中, AD是BC边上的高线，CE是一条角平分线，它们交与点P.已知/APE=60 .求/ DAC的度数.7.能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是5.如图, 一副分别含有 / C=90° A 15,/ B=45。
第十一章三角形16个必考点全梳理(教案)
1.教学重点
-三角形的定义及分类：理解三角形的基本概念，掌握三角形的分类方法。
-重点举例：区分等腰三角形与等边三角形，识别锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
-三角形全等定理：掌握SSS、SAS、ASA、AAS全等定理。
-重点举例：通过实际操作，让学生理解全等三角形的性质，并能够运用全等定理解决具体问题。
-重心：三角形三边中线的交点
-外心：三角形三边垂直平分线的交点
-内心：三角形内角平分线的交点
-垂心：三角形三边高的交点
6.三角形面积计算公式
-底×高÷2
-海伦公式（已知三边长）
7.三角函数的定义及性质
-正弦（sin）
-余弦（cos）
-正切（tan）
-三角函数的周期性、奇偶性、单调性
8.解直角三角形
-利用正弦、余弦、正切函数求解
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三角形全等与相似定理、三角函数的定义和应用这两个重点。对于难点部分，我会通过图例和实际计算来帮助大家理解。
（三）实践活动
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形相关的问题，如三角形全等的判定条件或三角函数在实际问题中的应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和量角器测量角度，演示三角函数的计算过程。
-难点举例：在实际应用问题中，学生可能难以将问题抽象为直角三角形模型，需要教师引导学生进行问题分析和模型构建。
四、教学流程
（一）导入新课
同学们，今天我们将要学习的是《三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过测量三角形面积或解直角三角形的情况？”（如测量旗杆高度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形的奥秘。
初二直角三角形复习同步讲义
初二直角三角形复习同步讲义-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN授课类型T(知识点梳理) C 直角三角形的复习T （学法与能力主题）授课日期及时段教学内容一、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半二、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形三、勾股定理和它的逆定理：1、勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形注意：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、、2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半（请画图）3、在Rt三角形中，30°的边所对的角是斜边的一半。
（请画图）4、直角三角形的边角关系与几种特殊的三角形边角线判定直角 三角形222c b a =+两锐角互余CD=AD=BD (斜边上的中线等于斜边的一半)应用：①斜边上的中线把Rt △分成两等腰三角形；②等腰Rt △斜边上的中线把它分为两个全等的等腰Rt △。
①若∠A+∠B=90°，则△ABC 为Rt △; ②若222c b a =+， 则△ABC 为Rt △;③若CD=AD=BD ， 则△ABC 为Rt △;黄金 直角 三角形2:3:1::=c b a等腰 直角 三角形2:1:1::=c b a四、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义： 一条线段且 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到 得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在4、角的平分线性质：角平分线上的点到 的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在注意：1、线段的垂直平分可以看作是 的点的集合，角平分线可以看作是 的点的集合。
等边三角形 直角三角形 讲义
等边三角形直角三角形讲义一、三角形的基本概念在我们开始深入探讨等边三角形和直角三角形之前，让我们先回顾一下三角形的一些基本概念。
三角形是由三条线段首尾相连组成的封闭图形。
它有三个顶点、三条边和三个内角。
三角形的内角和始终为 180 度。
二、等边三角形（一）定义与特点等边三角形，顾名思义，就是三条边长度都相等的三角形。
由于三条边相等，所以三个角的度数也相等，每个角都是 60 度。
它具有极高的对称性，无论是旋转还是翻转，都能保持不变。
（二）性质1、等边三角形的三条边相等。
2、三个内角相等，均为 60 度。
3、等边三角形是锐角三角形。
4、它的内角平分线、中线、高线三线合一。
（三）周长与面积1、周长：由于三条边相等，假设边长为 a，那么周长 C ＝ 3a 。
2、面积：可以使用公式 S ＝√3/4 a² 来计算，其中 a 为边长。
（四）实际应用等边三角形在生活中有许多应用。
例如，在建筑设计中，一些结构会采用等边三角形的元素来增加稳定性和美观性；在机械制造中，某些零件的形状可能会基于等边三角形的特点进行设计。
三、直角三角形（一）定义与特点直角三角形是指其中一个角为 90 度的三角形。
这个 90 度的角被称为直角，另外两个角则为锐角。
（二）性质1、两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理。
2、直角三角形的两个锐角互余，即它们的和为 90 度。
（三）直角三角形的种类1、等腰直角三角形：两条直角边长度相等，两个锐角都是 45 度。
2、一般直角三角形：两条直角边长度不相等。
（四）周长与面积1、周长：三边之和，即两条直角边的长度与斜边长度之和。
2、面积：通常使用公式 S ＝ 1/2 ×两条直角边的乘积。
（五）实际应用在工程测量、建筑施工、导航等领域，直角三角形都发挥着重要作用。
比如，测量建筑物的高度、确定两点之间的距离等。
四、等边三角形与直角三角形的关系等边三角形和直角三角形是两种不同类型的三角形，它们有着明显的区别。
《三角形》复习课件
《三角形》复习课件一、三角形的定义和基本要素三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形。
这三条线段就是三角形的边，它们相交的点称为三角形的顶点，相邻两边组成的角叫做三角形的内角。
三角形有三个顶点、三条边和三个内角。
需要注意的是，三角形的三条边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这是判断三条线段能否组成三角形的重要依据。
例如，有三条线段长度分别为 3、4、5，因为 3 ＋ 4 ＞ 5，4 3 ＜ 5，所以这三条线段可以组成三角形。
二、三角形的分类1、按角分类（1）锐角三角形：三个内角都小于 90 度的三角形。
（2）直角三角形：有一个内角等于 90 度的三角形。
（3）钝角三角形：有一个内角大于 90 度小于 180 度的三角形。
判断一个三角形属于哪种类型，只需看其最大内角的度数。
2、按边分类（1）等边三角形：三条边长度都相等的三角形，其三个内角也都相等，均为 60 度。
（2）等腰三角形：至少有两条边长度相等的三角形。
相等的两条边称为腰，另一条边称为底边。
等腰三角形的两个底角相等。
（3）不等边三角形：三条边长度都不相等的三角形。
三、三角形的内角和三角形的内角和是 180 度。
这是三角形的一个重要性质，可以通过多种方法来证明。
比如，我们可以将三角形的三个内角剪下来，拼在一起，会发现它们刚好组成一个平角，也就是 180 度。
在求解三角形内角的度数问题时，常常会用到这个性质。
例如，在一个三角形中，已知其中两个角分别为 50 度和 70 度，那么第三个角的度数就是 180 50 70 ＝ 60 度。
四、三角形的外角三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
例如，在三角形 ABC 中，∠ACD 是∠A 的外角，那么∠ACD ＝∠A ＋∠B。
利用这个性质，可以很方便地求解与外角有关的问题。
五、三角形的稳定性三角形具有稳定性，这是三角形的一个重要特性。
八年级数学《第十一章 三角形》期末复习
《第十一章 三角形》期末复习一一、知识点复习 （一）三角形 1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
4、三角形的特性与表示 （1）三角形有下面三个特性：① 三角形有三条线段② 三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 ③ 首尾顺次相接 （2）表示三角形用符号“△”表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
5、三角形的分类（1）三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形等边三角形 （2）三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）注：把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
21F EDCBA推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形。
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
7、三角形的内角和定理及推论（1）定理：三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
【期末培优讲义】专题 全等三角形八大模型必考点(人教版)(含解析)
专题全等三角形八大模型必考点【考点1 一线三等角构造全等模型】方法点拨：“一线三等角模型”最关键的要点就是证明角相等，（1）三垂直：利用同角的余角相等（2）一般角：利用三角形的外角的性质1．阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD△DE于D，BE△DE于E，求证：△ADC△△CEB；（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD△CE于D，BE△CE于E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，△ACB＝90°，AC＝BC，求B点坐标.【分析】（1）证△DAC＝△ECB，再由AAS证△ADC△△CEB即可；（2）证△ADC△△CEB（AAS），得AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，即可解决问题；（3）过点C作直线l△x轴，交y轴于点G，过A作AE△l于点E，过B作BF△l于点F，交x轴于点H，证△AEC△△CFB（AAS），得AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，则FG＝CG+CF＝4，BH＝FH﹣BF＝1，即可得出结论．【解答】（1）证明：△AD△DE，BE△DE，△△ADC＝△CEB＝90°，△△ACB＝90°，△△ACD+△ECB＝90°，△DAC+△ACD＝90°，△△DAC＝△ECB，在△ADC和△CEB中，，△△ADC△△CEB（AAS）；（2）解：△BE△CE，AD△CE，△△ADC＝△CEB＝90°，△△CBE+△ECB＝90°，△△ACB＝90°，△△ECB+△ACD＝90°，△△ACD＝△CBE，在△ADC和△CEB中，，△△ADC△△CEB（AAS），△AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，△BE＝CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8（cm），即BE的长为0.8cm；（3）解：如图3，过点C作直线l△x轴，交y轴于点G，过A作AE△l于点E，过B作BF△l 于点F，交x轴于点H，则△AEC＝△CFB＝△ACB＝90°，△A（﹣1，0），C（1，3），△EG＝OA＝1，CG＝1，FH＝AE＝OG＝3，△CE＝EG+CG＝2，△△ACE+△EAC＝90°，△ACE+△FCB＝90°，△△EAC＝△FCB，在△AEC和△CFB中，，△△AEC△△CFB（AAS），△AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，△FG＝CG+CF＝1+3＝4，BH＝FH﹣BF＝3﹣2＝1，△B点坐标为（4，1）．【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．2．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，P A与CQ有何位置和数量关系，猜想并证明；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时△APB的度数及P点坐标．【分析】（1）作CH△y轴于H，证明△ABO△△BCH，根据全等三角形的性质得到BH＝OA ＝3，CH＝OB＝1，求出OH，得到C点坐标；（2）证明△PBA△△QBC，根据全等三角形的性质即可得到P A＝CQ，P A△CQ；（3）根据C、P，Q三点共线，得到△BQC＝135°，根据全等三角形的性质得到△BP A＝△BQC ＝135°，根据等腰三角形的性质求出OP，即可得到P点坐标．【解答】解：（1）如图1，过C作CH△y轴于H，则△BCH+△CBH＝90°，△AB△BC，△△ABO+△CBH＝90°，△△ABO＝△BCH，在△ABO和△BCH中，，△△ABO△△BCH（AAS），△BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，△OH＝OB+BH＝4，△C点坐标为（1，﹣4）；（2）CQ＝AP，CQ△AP．证明：如图2，延长CQ交x轴于D，交AB于E，△△PBQ＝△ABC＝90°，△△PBQ﹣△ABQ＝△ABC﹣△ABQ，即△PBA＝△QBC，在△PBA和△QBC中，，△△PBA△△QBC（SAS），△P A＝CQ，△BAP＝△BCQ，又△△AED＝△CEB，△△ADE＝△CBE＝90°，即CD△AD，△CQ△AP；（3）△△BPQ是等腰直角三角形，△△BQP＝45°，当C、P，Q三点共线时，△BQC＝135°，由（2）可知，△PBA△△QBC，△△BP A＝△BQC＝135°，△△OPB＝180°﹣135°＝45°，△OP＝OB＝1，△P点坐标为（1，0）．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分△AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE△OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣12n+36+|n ﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，延长DE交x轴于点F，在ED的延长线上取点G，使DG＝DF，连接BG．△BG与y轴的位置关系怎样？说明理由；△求OF的长；（3）如图2，若点F的坐标为（10，10），E是y轴的正半轴上一动点，P是直线AB上一点，且P点的坐标为（6，﹣6），是否存在点E使△EFP为等腰直角三角形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）先利用非负数的性质求出m，n的值，即可得出结论；（2）△先判断出△BDG△△ADF，得出BG＝AF，△G＝△DF A，然后根据平行线的判定得出BG△AF，从而利用平行线的性质即可得出结论；△利用等腰三角形的性质，建立方程即可得出结论；（3）分析题意知要使△EFP为等腰直角三角形，必有EF＝EP，且△FEP═90°，再过F、P分别向y轴作垂线垂足分别为M、N，然后利用全等三角形的判定证得△FME△△ENP，从而利用全等的性质求得ME的长，进而求出OE，即可得出结论．【解答】解：（1）由n2﹣12n+36+|n﹣2m|＝0，△（n﹣6）2+|n﹣2m|＝0，△n﹣6＝0，n﹣2m＝0，△n＝6，m＝3，△A（3，0），B（0，6）；（2）△BG△y轴．在△BDG与△ADF中，BD＝DA，△BDG＝△FDA，DG＝DF，△△BDG△△ADF（SAS），△BG△AF．△AF△y轴，△BG△y轴．△由△可知，BG＝F A，△BDE为等腰直角三角形．△BG＝BE．设OF＝x，则有OE＝x，△3+x＝6﹣x，△x＝1.5，即：OF＝1.5；（3）要使△EFP为等腰直角三角形，必有EF＝EP，且△FEP═90°，如图，过F、P分别向y轴作垂线垂足分别为M、N．△△FEP═90°，△△FEM+△PEN＝90°，又△FEM+△MFE＝90°，△△PEN＝△MFE，△Rt△FME△Rt△ENP（HL），△ME＝NP＝6，△OE＝10﹣6＝4．即存在点E（0，4），使△EFP为等腰直角三角形．【点评】此题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．【考点2 手拉手模型-旋转模型】方法点拨：手拉手模型有一个特点，就是从一个顶点出发，散发出来的四条线段，两两相等（或者对应成比例），然后夹角相等。
直角三角形的总复习
直角三角形全等的判定： 定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形 有两个角是互余的三角形是直角三角形 若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方， 则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理） AAS、ASA、SAS、SSS、HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
A
D
C
B
E
2、一个直角三角形两边的长分别为3，4则第三边的长是（ ）
如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米。那么梯足将滑（ ） 15分米（B）9分米（C）8分米（D）5分米
C
1、在△ABC中，∠C=90度,AC与BC之和为14，AC与BC差为2，则AB的长为______
B
A
D
C
E
F
如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。
PART ONE
变式题：如图，已知AD、BE分别是△ABC的BC、AC边上的高，F是DE的中点，G是AB的中点，则FG⊥DE，请说明理由。
PART ONE
A
D
C
F
E
B
5. 如图，在四边形ABCD中， ∠DCB= ∠DAB=RT∠,点E是对角线BD的中点。 (1)试说明AE=CE的理由。 （2）若F是AC的中点，则EF ⊥ AC,试说明理由。
A
E
D
B
C
32°
综合应用题：
2. 如图,在RT△ABC中,AB=AC,D是斜边BC的中点,点E,F分别在AB,AC上,且∠EDF=RT∠,判断DE与DF的大小关系,并说明理由
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三角形复习讲义一、知识点1.三角形的内角和2.三角形的三边关系，范围3.三角形的外角性质4.三角形的角平分线，性质5.三角形的中线，作用6.三角形的高线；内外之分；三线共同点7.中垂线（垂直平分线），性质8.命题的概念，如果那么；9.全等三角形的定义，记号，性质；10.全等三角形的判定方法；直角三角形全等的判定11.尺规作图：（1）作一条线段等于已知线段（2）作一个角等于已知角（3）作线段的垂直平分线（4）作角平分线（5）过一个已知点作一条直线的垂线12.轴对称与轴对称图形；轴对称图形的作法13.等腰三角形的定义；性质14.等腰三角形的判定；分类讨论15.等边三角形的定义；性质；判定方法16.直角三角形的性质；判定；逆命题与逆定理17.等腰直角三角形、有30 度角的直角三角形边角关系18.勾股定理，逆定理内容及作用二、基础题组知识点1-31.三角形两边的长分别为1 和8，若该三角形第三边长为偶数，则该三角形的周长为2.设△的三边为a、b、c,化简:3.若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，那么这个三角形是（）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D .等边三角形4.在△中，/ 3/B,// 30°,贝V/度，/ 度．5.已知如图，△为直角三角形，/ 90°,若沿图中虚线剪去/ C,则/ 1+Z 2 等于知识点4-8D,若/ 128°,/ 36°，则/的度数是1•如图，是△的角平分线，丄于点( )A . 10° B. 12° C. 15D. 18°2.如图，在△中，/ 90°,/ 30°,/的平分线与/的外角平分线交于E点，连接，则/是( )A . 15° B. 20° C.D. 353.如图，△的面积是12, 2,点E是的中点，则△的面积C4. 如图，在△中，是边上的高线，是一条角平分线，它们交与点P.已知/ 60°. 求/的度数•EB5. 如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中 / 90°,/ 45°,/ 30°,则/的度数是（ ）A. 15° B . 25°C . 30°D . 10°7. 能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝 角” 为 假 命 题 的 两 个 角 是 （ ）A . 120°, 60°B .95. 1 °, 104. 9°C . 30°, 60°D. 90°, 90°8. 下列命题是真命题的有（ ） ①对顶角相等;6.如图，在△中，/ C = 90°,平分/，且/B = 3/,求/的度数 - CAB②两直线平行，内错角相等；两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两分；若a22,则A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个知识点9-111.若△旦△, A与D, B与E分别是对应顶点，/ 52° ,Z 67°, 15,/ 度，2. 如图，在△中，D,E分别是边，上的点，若△□△□△,则/ 度.3. 如图，点P在/的平分线上，若使△旦△，则需添加的一个条件是.（只写一个即可，不添加辅助线）4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图所示，/是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M N重合.过角尺顶点C的射线即是/的平分线.做法中用到三③0B角形全等的判定方法是A. B . C . D5.如图，点E、F在上，，，// C.求证：D.8.如图，△与△中，与交于点E,且//,(1)求证：△旦△;(2)当/ 50°,求/的度数9. 已知二边及夹角，求做三角形已知：线段a , b ，/a 。
a b求作△，使 ，，ZZ a 。
知识点12-151.已知以下四个汽车标志图案:其中是轴对称图形的图案是（只需填入图案代号）2.如图是4X 4正方形网格，其中已有 3个小方格涂 成了黑色.现在要在其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色的小方格图案成轴对称图形， 这样的白色小方格有个，请在图中设计出一种方案.(&)④①3.已知等腰三角形的两边长分别为2和4贝陀的周长为（)A . 6 B. 8 C. 10D. 8 或 104.等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为 30°,则顶角的度数为（ ） A 、60°B 、120°C 、60。
或 150°D 、60° 或 120°5. 等腰三角形一腰长为5, 一边上的高为3，则底边长为•B, NABCT10 ,直线l,m 分别是的中垂线,7.如图，在△中，，/ 120°, 6,的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点 N,交于点F ,则的长为（ ）A . 4B . 3C . 2D . 18.如图，在△中，已知/ B 和/ C 的角平分线相交于 点F ,过点F 作//交于E ,若12,则线段的长为.,那么 .A . C=6.如图，线段，有公共点 M 交于点E , c:知识点16-181. 下列各命题的逆命题成立的是（）A. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等B. 全等三角形的对应角相等C. 两直线平行，同位角相等D. 如果两个角都是45°，那么这两个角相等 2. 把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为 a222”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式3. 在△中，/ 90o , 5, 12,则边上的中线的长为4. 已知直角三角形的两边长为 3和4,则第三边长为5. 如图，△中，10, 8,平分/交于点D,点E 为的中点，连接，则 △的周长为（）6. 如图，在直角三角形中，若/ a 、b ,斜边长为c ,那么90°, D 是边上的一点,且2,则/的度数是（D. 150 A. 30 B. 60 C.120°A7•将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB =14,则阴影部分的面积是 2;9.如图，已知△中，/ C = 90o ,= 8,= 6,现将△进行折叠，使 顶点A B 重合，则△的面积为2.10. 如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，那么C三38.如图△中，，丄，/ 30°, 4,贝V.3B13. 如图，在△中，/ 2/B, D 是上的一点, 且丄，点E 是的中点，连接. (1) 求证：C ; (2) 求证：2;(3) 若6.5 , 5,那么△的周长是多少?11. 如图，直线I 过等腰直角三角形顶点 B, A 、C 两点到直线I 的距离分别 是2和3,贝V 的长是.12. 如图，△中，/ 90°,平分/，丄于E ,若6, 8, 3(1) 求的长； (2) 求△的面积.—D二、提咼题组1.如图，在△中，/ 60°,/ 75°,丄于D,丄于E, 交于H,则/.2.如图，直角梯形中，//,丄，2,将腰以D为中心逆时针旋转90°至，连接、，△的面积为3，则的长为.3.如图，已知△中，10, 8,点D为的中点.如果点P在线段上以3 的速度由B 点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△与△ 是否全等，请说明理由；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△与△全等？A4. 已知：在△中，，/ 90°,点D 是的中点，点 E 是边上一点.(1) 直线垂直于直线于点 F ,交于点G (如图1),求证：；5. 如图所示，在△中，、是边、的垂直平 若/ 40°,求/ F 的度数, (3) 若8, 9,求△周长的范围.6. 如图，已知/ 50°, P 为/内一定点，点 A 为上的点，B为上的点，当△分线，其垂足分别为D M 分别交于 且和交于点F .若/ 20°求/的度数,(2)直线垂直于直线，垂足为点 H,交的延长线于点 M (如图2)，找E的周长取最小值时，则/度数是.7.如图，△中，，，/ 20°,/ 10°,则/的度数为8.如图，△与△都是等边三角形,(1)求/的度数；(2)连接，求证：.点E, F分别在，上，，与交于点G.9.如图，在△中，//，丄，丄，10, 14,动点E以2的速度从A点向F点运动，动点G以1的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t .(1)求证：在运动过程中，不管t取何值，都有S A 2S A.(2)当取何值时，△与△全等.(3)在(2)的前提下，若-BD , S A282，求DC 126 S A10. 如图，点0是等边△内一点，D 是△外的一点，/ 110°,Za, △旦△，/ 60°,连接. (1) 求证：△是等边三角形； (2) 当a =150°时，试判断厶 理由；(3) 探究：当a 为多少度时，11.如图，在四边形中，// 90°,点E 、F 分别是对角线、说明形. c的中点，贝U( )A .丄 B.ZZ C. 1 () D. 1 ()2 212.如图，长方体的底面边长分别为2和4,高为5.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A. 13 B . 12 C . 10 D . 813.如图，丄.已知边长为2的正三角形，两顶点A B 分别在射线，上滑动，滑动过程中，连接，贝V的长的最大值是.5cm 4cm P14. 如图，等边△中，是/的角平分线，D 为上一点，以为一边且在下方作等边△，连接. (1)求证：△旦△;15. 已知：等边△内有一点 P ,且2, 4, 2. 3，贝匚(2)延长至Q P 为上一点，连接、使5,若8时，求的长.16.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成(图中，/ 90°).请解答：(1)如图2,若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是.⑵如图3,若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积之间的数量关系是，请说明理由.(3)如图4，在梯形中，//,// 90°, 2,分别以、、为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3,则S1、S2、S3之间的数量关系式为，请图1 團2 图3 图斗说明理由.DC 图1 團2 图3 图斗。