芝诺悖论与微积分的关系
芝诺悖论
芝诺（埃利亚）（Zeno of Elea）生活在古代希腊的埃利亚城邦。
他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德（Parmenides）的学生和朋友。
关于他的生平，缺少可靠的文字记载。
柏拉图在他的对话《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问。
其中说：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂。
那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所钟爱的了。
”按照以后的希腊著作家们的意见，这次访问乃是柏拉图的虚构。
然而柏拉图在书中记述的芝诺的观点，却被普遍认为是相当准确的。
据信芝诺为巴门尼德的“存在论”辩护。
但是不象他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。
”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。
他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”。
芝诺有一本著作《论自然》。
在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世。
”公元5世纪的评论家普罗克洛斯（Proclus）在给这段话写的评注中说，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出40个各不相同的悖论。
芝诺的著作久已失传，亚里士多德的《物理学》和辛普里西奥斯（Simplici－us）为《物理学》作的注释是了解芝诺悖论的主要依据，此外只有少量零星残篇可提供佐证。
现在流传下来而广为人所知的所谓“芝诺悖论”共有九个：四个是关于运动的，三个是指向“多”的，一个是反对空间观念的，另一个则试图表明感觉是不可靠的，其中关于运动的4个悖论尤为著名。
直到19世纪中叶，亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是权威的，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。
英国数学家B．罗素感慨的说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。
之诺悖论
一、历史追溯芝诺的运动论辨全部得自亚里士多德在《物理学》中的转述，有四个：1、二分法。
物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。
2、阿喀琉斯（一译阿基里斯）。
快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。
3、飞矢不动。
任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的，飞着的箭在任何一个瞬间总是占据与自身相等的处所，所以也是静止的。
4、运动场。
两列物体Ｂ、Ｃ相对于一列静止物体Ａ相向运动，Ｂ越过Ａ的数目是越过Ｃ的一半，所以一半时间等于一倍时间。
四个论辨可分成两组，前两个假定时空是连续的，后两个假定时空是分立的，每组的第一个论证绝对运动不可能，第二个论证相对运动不可能。
关于多的论辨得自辛普里丘在《〈物理学〉注释》的转述，大意是：如果事物是多，那么大会大到无限大，小会小到零，因为任何数量都可以无限分割，若分割的结果等于零，则总和是零，若分割结果不是零，则无限总和是无限大。
以上转述从哲学史角度看都过于粗疏，不过对于讨论其哲学含义则差不多够了。
１９、２０世纪之交的绝对唯心主义者象布拉德雷（Ｂｒａｄｌｅｙ，Ｆ．Ｈ）全盘接受芝诺的论证和结论。
他视运动、时间空间为幻象，芝诺论辩正好符合他的主张，当然全盘接受。
在《现象与实在》中他写道：“时间与空间一样，已被最明显不过的证明为不是实在，而是一个矛盾的假象。
”除布拉德雷之外，哲学史上大部分哲学家认为芝诺的结论是荒谬的，其论证有问题。
不过，在不断检查其论证毛病的过程中，人们反倒发现了芝诺论辨的深刻之处。
常常是人们自以为解决了芝诺悖论，不多久就又发现其实并没有解决。
已知最早的批评来自亚里士多德。
关于二分法，他说，虽然不可能在有限的时间越过无限的点，但若把时间在结构上看成与空间完全一样，也可以无限分割，那么在无限的时间点中越过无限的空间点是可能的；关于阿喀琉斯，他说，如慢者永远领先当然无法追上，但若允许越过一个距离，那就可以追上了；关于飞矢不动，他说，这个论证的前提是时间的不连续性，若不承认这个前提，其结论也就不再成立了；关于运动场，他说，相对于运动物体与相对于静止物体的速度当然是不一样的，越过同样距离所花的时间当然也不一样。
芝诺悖论”悖在哪里？
芝诺悖论”悖在哪里？一个朋友是大学里的哲学老师，前两天打电话说，我的博客里没什么哲学专业可以看的文章，所以，今天专门写一篇。
在“唯物辩证法”的教科书中，都会讲到古希腊时期的诡辩术，其中以“芝诺悖论”最为著名。
“芝诺”是一个人名，古希腊时代的人物。
一般教科书都不称他为哲学家，而称之为“诡辩论者”。
“芝诺悖论”有好几个，最著名的是“飞矢不动”和“阿基利斯追不上乌龟”。
先简单解释一下。
“飞矢不动”中的“矢”指的是弓箭中的箭。
正常的射箭，任何人都知道，只要箭离了弦，就能飞出去，经过一段空间运动后，到达另一个位置。
但是，芝诺说，按照他的解释，射出去的箭是不动的，因此是不能够到达另一个位置的。
他解释说，如果我们截取“飞矢”的每一个瞬间，它在空中都是“静止”的。
既然每一个瞬间都是静止的，所有的瞬间加起来也应该是静止的，所以，“飞矢”是“不动”的。
“阿基利斯追不上乌龟”中的“阿基利斯”也是一个古希腊人物，也就是“特洛伊战争”中那个著名的希腊将领。
传说中，阿基利斯武艺高强，而且奔跑速度极快，似乎还得过古代奥林匹克运动会的桂冠（待查）。
这个悖论有一个假设的前提，就是说，阿基利斯与乌龟赛跑，如果让乌龟先跑一步，阿基利斯就永远追不上乌龟。
芝诺的解释是这样的。
假设乌龟先跑出了一米，阿基利斯要追上乌龟，就必须先到达半米的地方。
但是，当阿基利斯到达半米的时候，乌龟与阿基利斯的距离不是半米，而是半米再加一点，比方说是0.6米。
如此推论循环下去，只要乌龟不停下脚步，阿基利斯便永远只能更接近乌龟，而不能追上或超过乌龟。
“芝诺悖论”之所以被称之为“悖论”，他自己也被后世称为“诡辩论者”，是因为他的悖论完全违反常理，但是，人们又不知道如何才能反驳他。
我在高中时期的哲学课上，第一次接触了“芝诺悖论”。
后来大学里的哲学课，老师又讲了一遍。
我的大学专业是理工科。
本科毕业后，我又学了第二个本科专业，学的是哲学，发的文凭是“法学”学士（我也不知道为何如此奇怪），算是改革开放以后，第一批获得“双学士”的人。
芝诺悖论
芝诺悖论解答芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。
这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。
这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。
），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。
这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的的机械论的分歧点。
这些悖论其实都可以简化为：1/0=无穷。
留传下来的芝诺悖论共有8个，最为著名的主要有4个，分别为二分法悖论、阿基里斯(Achilles)悖论、飞矢不动悖论和游行队伍悖论。
二分法悖论的内容是：事物想要运动完全程，就必须运动完全程的一半，而全程的一半还有一半，一半的一半还是有一半，这样一来一半的概念是可以无限地划分的，因而，事物在运动的过程中是永远无法经过“一半”的。
因此，运动是永远无法终结和进行的，因而运动不存在。
这里的问题所在是把时间看作了一个有限的概念而把空间看做了一个无限的范畴。
因而认为无法在有限中完成无限。
然而事实上，根据马克思理论，事物的有限无限的概念完全是相对的，不能片面地承认一方面的存在而否定另外一方。
比如说，一条线段（距离）包括无限的点，人永远无法走完这无数的点，正如他永远无法数清这些点一样。
为什么人们不认为数不清这无数的点是个悖论，却认为走完这无数的点就成了悖论了呢？原因就在于数数和运动是不同性质的东西，数数是空间中的行为，运动是本身的时间中的行为，不能混淆时间和空间。
第二个悖论是最为复杂的阿基里斯(Achilles)悖论。
芝诺认为追赶者，即阿基里斯需要一定的时间才能达到被追赶者（乌龟）于该时间开始的出发之处。
透过第二次数学危机浅谈神秘可恨的微积分
透过第二次数学危机浅谈神秘可恨的微积分作 者：华中师范大学 计算机科学系2010级 郑舒月 学号2010213877内容摘要：基于大家在学习微积分的过程中的困惑，本文试图透过第二次数学危机谈一谈这位既神秘又可恨可怜的“消失了的量的鬼魂”，以“贝克莱悖论（Berkeley paradox ）”、“芝诺悖论（Zeno paradox ）”等悖论了解牛顿和莱布尼兹关于微积分的理论及公式。
由于18世纪的微积分的理论并不严谨，这就有悖于数学这一学科的首要特点。
关于“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。
但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。
从而掀起了第二次数学危机。
关 键 词：第二次数学危机 微积分Abstract ：Based on most of students have the confusion in the process of studying calculus, from the second mathematical crisis,this paper tries to talk about this mysterious,hateful and poor "disappeared quantity of ghosts", with "Berkeley paradox ", "Zeno paradox" and so on, to know about the theories and formulas of Newton and Leibnitz. Because of calculus theori es were not rigorous in the 18th century, this is contrary to the primary feature of math.As the question-- " whether infinitely small quantity is zero" :as infinitely small quantity is concerned in practical application at that time, it must be zero, and is not zero at the same time. But from the view of the form logic , there is no doubt that this is a contradiction. Thus the second mathematical crisis broke out.Key words ：The second mathematical crisis calculus前言大家知道，在公元前5世纪出现了数学基础的第一次灾难性危机，这就是无理数的诞生。
芝诺曾提出四个运动的不可分性的哲学悖论有什么
B、C两个列队开始移动,如下图所示相对于观众席A,B和C分别向右和左各移动了一个距离单位.
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而此时,对B而言C移动了两个距离单位.也就是,队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位,也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位,这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾.因此队列是移动不了的.
二分法悖论：
这也是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达D,它必须首先到达距离D的二分之一,然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去.因此,这个物体永远也到达不了D.这些结论在实践中不存在,但是在逻辑上无可挑剔.
芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动,因为如果有这样的运动,就会有‘完善的无限’,而这是不可能的.”如果阿基里斯事实上在T时追上了乌龟,那么,“这是一种不合逻辑的现象,因而决不是真理,而仅仅是一种欺骗”.这就是说感官是不可靠的,没有逻辑可靠.
有人用物理语言描述这个问题说,在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量.一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S,速度分别为V1和V2.当时间T=S/(V1-V2)时,阿基里斯就赶上了乌龟.
但是芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点,这个时间为T'.对于任何T',可能无限缩短,但阿基里斯永远在乌龟的后面.关键是这个T'无法度量T=S/(V1-V2)以后的时间.
《微积分》课程的式教学法[论文]
![《微积分》课程的式教学法[论文]](https://img.taocdn.com/s3/m/4ce64e14fc4ffe473368ab9c.png)
《微积分》课程的探究式教学法摘要在传统的《微积分》课程教学中，教师讲解定理公式，学生被动接受，机械重复计算过程，学习热情和效率都不高。
本文提出应用探究式教学法于《微积分》课程的教学实践，并以“无穷级数”为例，说明探究式教学法，并总结了该方法的优点。
关键词探究式教学法《微积分》无穷级数中图分类号：g623.4 文献标识码：a探究式教学法，是指在教学过程中，教师提出例子和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去独立探究，主动发现并掌握相应的原理和结论的一种方法。
探究式教学的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握知识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成自己的概念。
在这一过程中，学生不仅获得了知识，而且学习的主体地位、自主能力都得到了加强。
探究式教学法，是相对于传统的课堂教学模式的改革。
传统教学是以教师为主体，教师讲授知识点，学生被动接受，主动性被抑制。
课堂缺少交流，难以做到因材施教。
学生往往会觉得课上枯燥无味，课后疲于应付练习。
探究式教学的先驱杜威认为，科学教育不仅仅是要让学生学习大量的知识，更重要的是要学习科学研究的过程或方法。
因此，有必要让学生从背诵记忆大量的定理公式，完成大量重复练习的学习过程中解放出来，充分调动他们的积极性，以达到更好的教学效果。
1 探究式教学法的实现过程举例在《微积分》课程的教学过程中，笔者尝试应用探究式教学，取得良好的效果。
下面以“无穷级数”为例，介绍探究式教学法的过程。
首先介绍芝诺悖论之一，阿基里斯追乌龟的例子。
听完介绍之后，学生先是觉得很疑惑：从常识和实际情况来看，速度快的阿基里斯一定可以追上速度慢的乌龟；可是在芝诺的论证里面到底哪里不正确？学生的好奇心和兴趣得到激发，就此展开分析和讨论。
不少学生提出“阿基里斯最终能追上乌龟”。
这时，需要引导学生明确“最终”的含义。
试从高等数学角度探讨芝诺悖论
试从高等数学角度探讨芝诺悖论摘要：古希腊哲学家爱利亚的芝诺曾为了给巴门尼德的存在论辩护，提出了四个著名的悖论。
两千多年来，这四个悖论引起了无数学者的争论。
其中大部分是从哲学角度对其作出解释或反驳，笔者试图从近代数学（微分、积分、极限）的角度，来探讨芝诺的飞矢不动悖论。
关键词：芝诺悖论、微积分、飞矢不动、极限1.芝诺悖论的提出巴门尼德的本体论转向使同时代尚处于直观阶段的希腊人难以容忍：“存在”怎么可能是唯一的、不动的呢？因此其哲学理论一直不被当时的哲人接受。
他的弟子爱利亚的芝诺并没有提出什么独特的哲学理论，但是在全力为老师的存在论的辩护中，为逻辑学留下得意的一笔，同时也是哲学论证发展的里程碑。
芝诺的悖论(paradox)其实都运用了我们所说的反证法，他首先假设“多”和“运动”的存在，然后根据逻辑推出不合理的结论，从而反对“多”和“运动”，也就是维护了巴门尼德的“存在”的“唯一”和“不动”。
无论是亚里士多德的记述还是芝诺的残篇，其表述都带着20多个世纪以前希腊人的含混，我们可以用浅白的语言归纳一下他反对存在运动的几个悖论：最著名的是“阿基里斯追不上龟”。
阿基里斯前面不远有一只乌龟，他和乌龟同时向前跑，每当乌龟向前爬动一段距离，阿基里斯才追到乌龟刚才的出发点，所以，阿基里斯永远都只能追到乌龟的前一刻的出发点，永远追不上乌龟。
其次是“飞矢不动”。
飞矢（箭）在空中飞行是由无数个时间无限小的瞬间组成的，而在这无限小的时间里，飞矢的移动距离只能为0，最终这些为0的移动叠加的结果也是0。
所以飞矢不动。
在反对运动上，芝诺还有“二分法”和“运动场”的论证，前者和阿基里斯追不上龟相似，后者具有明显的诡辩（或者用简单的近代物理中的相对运动原理，即可消解之，本文不表）。
2.传统对芝诺悖论的解释和批驳传统思想家对芝诺悖论的解释，多从哲学角度出发。
第一，从独断论的角度出发。
例如阿里士多德认为芝诺是错的，因为“时间并不是由不可分的瞬间组成的”。
“芝诺悖论”的悖谬实质透视
“芝诺悖论”的悖谬实质透视龙叶先【摘要】芝诺论辩之所以悖谬,实质在于他的论证逻辑以割裂时空的统一性为前提.因此,只要从时空割裂角度就可清楚地阐明芝诺论辩的悖谬所在.【期刊名称】《贵阳学院学报（社会科学版）》【年(卷),期】2017(012)001【总页数】4页(P61-64)【关键词】芝诺悖论;悖论实质;时空割裂【作者】龙叶先【作者单位】贵阳学院马克思主义学院,贵州贵阳550005【正文语种】中文【中图分类】G412物质运动是马克主义哲学中最为基本的原理。
在马克思主义哲学教学中，物质运动原理是否得到清晰、正确的阐述，势将影响到学生能否正确地理解、掌握马克思主义。
为阐明物质运动原理，《马克思主义基本原理概论》将芝诺悖论作为教学的典型实例，但除指出芝诺悖论是“承认静止、否认运动”的诡辩之外，并没有对其加以深究，这使得部分教师在教学中未能充分阐述它的悖谬性，结果就是影响了马克思主义哲学教学的成效性。
因此，深入透视、清楚阐述芝诺悖论是使学生能正确理解、把握马克思主义哲学的重要基础和前提。
古希腊埃利亚学派哲学家芝诺（Zeno of Elea）认为，所谓的“运动”，实际上只是假象。
为证明运动的不可能性，他提出了四个对后世产生深远影响的“芝诺悖论”论辩。
他如何论辩不得而知，人们对他的论辩的了解几乎都来自于亚里士多德在《物理学》中的记述。
亚里士多德在《物理学》中记述说：“第一个说，运动不存在。
理由是：位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处。
”［1］191黑格尔则在他的名著《哲学史讲演录》（第1卷）中做如下转述：“运动者必须到达某一目的地；这一途程是一个全体。
为了要走完这全部途程，运动者首先必须走完一半。
现在这一半途程的终点就是他的目的地。
但这一半又是一个全体，这一段空间或途程也还是有它的一半；因此这运动者首先又须达到这一半的一半，如此递进，以至无穷。
”［2］282芝诺的这个论辩被称为“二分法”。
第二个论辩即众所周知的“阿基里斯永远追不上乌龟”。
芝诺悖论的另一种解读
芝诺悖论的另一种解读作者：琚磊张浩来源：《法制与社会》2013年第36期摘要抽烟和芝诺悖论一样，都内含着理性二难，如果想对之进行理性分析的话，往往会不自觉地走向其反面。
究其原因，在于我们忘记意义是如何生成以及缺乏实践的维度。
以抽烟为例，初看起来，其内中充满理性不能分析的矛盾，但正因如此，事物的本质及其意义才在最广大的视域中被展现出来，这就是抽烟以其全部的悖论告诉我们的实践的必然性。
关键词芝诺悖论抽烟实践作者简介：琚磊、张浩，法学博士，桂林电子科技大学法学院副教授。
中图分类号：D920.4文献标识码：A文章编号：1009-0592（2013）12-009-04虽然芝诺悖论已经为稍微学过点哲学的人都知晓，但是，它并不因此而平常，“卓越的悖论有很长的保质期”。
它展示了人类思维和理性推理中很多令人着迷的现象，即知识和行动方面的不同理性碰到一起时是怎样变得匪夷所思的。
事物的本质往往在截然不同元素的组合以及意想不到的情境中诡异地展现，悖论是人们试图解决这些谜语极好的观察点和入口。
由于亚里士多德在《物理学》中的记载，芝诺悖论为一代又一代人广为讨论。
其内容包括两分法悖论、阿基里斯悖论、飞矢不动悖论等一系列论证运动不可分的哲学命题。
现在一般认为，可以用微积分的概念解释，但无法用微积分方法解决这些悖论。
因为包括微积分在内的分析方法都是在具有广延性的时间空间范畴内进行的，而芝诺在论证这一系列的悖论时既涉及具有广延性的时间点和空间点，又有非广延性的时间点和空间点。
所以，有人因此认为悖论形成就在于这种不自觉的混淆，进而认为运用严格的分析方法可以把问题解释的清清楚楚。
从逻辑和数学的角度或许可以做到这一点，但是，从意义生成和意义解释的角度来说，这种认知性的、论证的方法是于事无补的。
就如同黑格尔的例子，当一个洋葱的皮被一层层剥掉后，最后什么也没有。
这也如同一个人的一生，其每天所过的生活可能都很平淡，但是，当其弥留之际，自己或许他人总会在想他这一生的意义何在，而且总有其意义存在，这个意义就在那些看似平淡无奇的每一天的流逝与汇总中产生。
1微积分的起源
公元前5世纪，芝诺发表态了著名的阿基里斯 和乌龟赛跑悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前 面1000米处开始，并且假定阿基里斯的速度是 乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他 100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所 用的时间为t/10,乌龟仍然前于他10米。当阿基 里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100 ，乌龟仍然前于他1米…… 芝诺解说，阿基里 斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它 。 芝诺悖论症结何在？
中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全 部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜 中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大 倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包 括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的 最关键一步落伍了。
三、芝诺悖论对“无限”的恐惧
三、芝诺悖论对“无限”的恐惧
古人对无穷已有了较深刻认识，然而人们 对无限的认识是缺乏严密的逻辑基础的。对于 只熟知有限概念的人们来说“无限”这一概念 仍然是陌生与神秘的。芝诺悖论的提出清楚地 表明了这一点。
1 2 1 2 S S (t1 ) S (t0 ) gt1 gt0 2 2 1 1 2 2 g[(t0 t ) t0 ] g[2t0 t (t ) 2 ] 2 2
2
S t
。
∴
S 1 gt0 g (t ) t 2
（*）
当 t 变成无穷小时，右端的
1734年，大主教贝克莱写了本《分析学家》 的小册子，在这本小册子中，他十分有效地揭 示了无穷小分析方法中所包含的这种逻辑矛盾 。
31
例如，设自由落体在时间 t 下落的距离为 S (t ) ， 1 2 有公式 S (t ) gt，其中 g 是固定的重力加速度。我
微积分的发展史简述
微积分的发展史简述作者：周锐来源：《当代人（下半月）》2018年第04期摘要：微积分是数学的一个分支，在数学史上占有重要地位。
本文根据时间进程阐述了微积分的发展史及其简要应用。
关键词：微积分;发展史;牛顿;莱布尼兹微积分是数学中的基础学科，也是近现代数学中的重要基石和起点。
它在物理、化学、生物等自然学科中被普遍利用，在社会、经济、人文等范畴也是重要的研究工具之一。
本文将沿着微积分学的发展时间历程，简要论述微积分的发展史。
一、微积分的萌芽之初微积分学发展得最早的是积分学的思想，可以追溯到古希腊时期[1]。
其中做出重要贡献的有古希腊数学家芝诺提出的四大悖论。
古希腊哲学家德谟克利特斯的原子论则充分体现了近代积分的思想，他认为任意事物都是由原子构成。
古希腊诡辩家安提丰提出的“穷竭法”是极限理论最早的表现形式。
古希腊数学家欧多克斯进一步研究原子论和穷竭法，使这两个理论得以稳健前进。
古希腊著名数学家阿基米德所提出的“平衡法”实质上是一种较原始的“积分法”。
他在著作《抛物线求积法》一书中运用穷竭法求出了抛物线构成的弓形的面积。
二、微积分创立之前的酝酿由于种种影响，微积分的概念在15世纪之前一直处于萌芽阶段[2]。
推动欧洲崛起的新航路开辟和文艺复兴是15世纪的大事件。
从14世纪到16世纪的文艺复兴在意大利各城市兴起，之后推广到西欧各国，带来了一场关于科学与艺术的革命。
随着文艺复兴的兴起，生产的发展带动了科学的发展。
与此同时希腊的著作大量进入欧洲，随着活板印刷的发明，知识的传播更加迅速，自然学科开始活跃，自然学科中的数学得以有进一步发展的机会。
在时代背景下，数学成为唯一被公认的真理得以推广。
天文学、光学、力学等自然学科的发展被生产力的发展所推动，为数学带来了大量的研究问题[3]，许多学者开始考虑研究微积分的思想[4]。
开普勒是德国杰出的天文学家、物理学家、数学家和哲学家。
他在《测量酒桶的新立体几何》一书中主要对如何求解旋转体体积的方法进行研究。
芝诺悖论与微积分的关系
芝诺悖论与微积分的关系芝诺悖论是古希腊数学家芝诺（约在公元前464-前461）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。
这些悖论是芝诺反对存在运动的论证。
其中最著名的两个是：“阿基里追不上乌龟”和“飞矢不动”。
“阿基里斯”悖论：“快跑者追不上慢跑者”。
因为追赶者必须先到慢跑者的起点，而在此同时，慢跑者又到达了前面的一点，就这样有无穷的起点在等着他。
那么，阿基里斯真的追不上乌龟了吗? 当然不是。
对于“阿基利斯追不上乌龟”这个悖论，从理论上说，芝诺只做了“微分”，而没有做“积分”，也就是说，他的工作只做了一半。
而且，他还偷换了概念。
无穷小的概念是：趋近于零，但不等于零。
在无穷小“dx”里，芝诺在乌龟那里只部分强调了“不等于零”的概念，而在阿基里斯那里只部分强调了“趋近于零”的概念。
换句话说，芝诺在同一个问题中，采取了两个不同的标准，得出悖论就很正常的。
而这种不同的标准，其实是一个概念的两个方面。
“飞矢不动”悖论：“飞着的箭是静止的”。
飞箭在任一瞬间必静止在一确定的位置上。
所以运动就是由许多的静止组成。
“飞矢不动”这个悖论最关键的地方，是所谓“瞬间”。
理论上的物理学“瞬间”意思是时间长短为零。
而在实际中，时间长短永远不可能为零。
简单来说，“芝诺悖论”的错误就在于，他将无穷小彻底等同于零。
无穷小等于零之后，再怎么相加、累积，最终的结果当然都是零，所以得出推论“飞矢”是“不动”的。
但是，真正的概念是无穷小只是趋近于零，无穷个“趋近于零”的无穷小相加、累积之后，就会有一个确切的值。
其实，“芝诺悖论”的这个隐蔽手段也经常出现在现实之中，比方说“自由”。
从一个侧面说，人的自由似乎是绝对的，是所谓“天赋人权”，但是在另一个方面，任何自由都必然要受到限制的。
我们在讨论问题的时候，如果仅仅只是强调“自由”的一个侧面，就会得出不同的结果。
芝诺的乌龟微积分解释
芝诺的乌龟微积分解释全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：芝诺的乌龟微积分解释是一种简单而又有趣的方式来理解微积分这一复杂的数学概念。
这种解释源自于希腊哲学家芝诺所提出的“芝诺的乌龟悖论”，他在该悖论中讨论了无限逐渐减小的序列之间的关系。
这种思想启发了人们将微积分概念联系到日常生活中，通过可视化的方式来解释微积分的原理。
在芝诺的乌龟微积分解释中，乌龟代表了一个运动中的物体，而微积分则是对这个运动的变化进行分析。
乌龟向前爬行的过程可以看作是一个连续的运动轨迹，这个轨迹可以被看作是一个曲线，而微积分就是用来描述这个曲线的变化情况的数学工具。
我们可以用乌龟在一个直线上爬行的例子来说明微积分的概念。
假设乌龟在直线上爬行，我们可以用一个函数来描述乌龟的位置随时间的变化。
我们可以将乌龟的位置用x(t) 表示，其中t 表示时间。
而乌龟的速度就是位置x(t) 对时间t 的导数，表示的是乌龟在某个时刻的瞬时速度。
如果我们想求解乌龟在某个时间段内的爬行距离，我们可以通过微积分来解决这个问题。
具体来说，我们可以用定积分来计算乌龟在该时间段内的平均速度，然后将这个速度乘以时间段就可以得到乌龟在该时间段内的爬行距离。
通过芝诺的乌龟微积分解释，我们可以更加直观地理解微积分的原理和应用。
这种思想方法不仅可以帮助我们更好地掌握微积分的概念，还能够激发我们对数学的兴趣。
芝诺的乌龟微积分解释不仅是一种有趣的学习方法，更是一种增强数学思维能力的有效工具。
第二篇示例：芝诺的乌龟微积分解释芝诺曾经提出一个哲学难题——“阿基里斯与乌龟”，以此引发人们对无穷的思考。
在这个故事中，阿基里斯与一只乌龟进行赛跑，但规定了乌龟可以领先一段距离。
尽管阿基里斯的速度快过乌龟，但乌龟却始终能够保持在阿基里斯前面。
这个思考实验引出了无限细分的概念，也正是微积分所要描述的。
微积分是研究变化的数学分支，其中的核心思想就是将无限小的变化进行积累，从而得出一个整体的变化。
芝诺悖论与微分的关系
芝诺悖论与微分的关系
芝诺悖论是一个古希腊的哲学问题，涉及到无穷数列和极限的概念，而这两个概念恰好是微积分，尤其是微分学的重要组成部分。
我们可以从以下几个方面分
析芝诺悖论与微分的关系。
首先，微分学的基础是极限理论，而极限理论所研究的是无穷小量，这与芝诺悖论中的无穷概念有着紧密的联系。
各种芝诺悖论都不约而同地提出了“无穷”这个问题，比如最知名的“阿基里斯与乌龟”悖论，阿基里斯要迎头赶上乌龟，必须先赶到乌龟所在的位置，然后还有下一段距离，再下一段......虽然每一段距离都在变小，但依然不断有新的距离出现，因此对于不懂极限概念的古人来讲，阿基里斯永远
无法超越乌龟。
然而如果我们用微分学的语言来表述，这个问题就变得很简单，阿基里斯需要赶上的“距离”可以看作是一个无穷数列，而这个数列的极限就是阿基里斯可以超越乌龟能够达到的距离。
其次，微分学是对连续量的研究，而芝诺悖论中的问题，如果从微观的角度来看，也可以视为对连续量的探讨。
所谓微分，就是研究一个函数在某一点上的局部性质，而芝诺悖论中的无穷小量，其实就是对连续过程中一小段的研究。
只不过微分采用的是数学的语言，而芝诺悖论则用的是哲学的语言。
总的来说，芝诺悖论与微分学都涉及到无穷小、无穷大，以及连续性的概念，虽然解决问题的方法不同，但核心思想却有着千丝万缕的联系。
芝诺悖论用无穷小的观念揭示了运动的连续性，而微分正是这个观念的数学化表达，因此在这个意
义上来说，芝诺悖论与微分是息息相关的。
芝诺悖论
芝诺悖论”悖在哪里？一个朋友是大学里的哲学老师，前两天打电话说，我的博客里没什么哲学专业可以看的文章，所以，今天专门写一篇。
在“唯物辩证法”的教科书中，都会讲到古希腊时期的诡辩术，其中以“芝诺悖论”最为著名。
“芝诺”是一个人名，古希腊时代的人物。
一般教科书都不称他为哲学家，而称之为“诡辩论者”。
“芝诺悖论”有好几个，最著名的是“飞矢不动”和“阿基利斯追不上乌龟”。
先简单解释一下。
“飞矢不动”中的“矢”指的是弓箭中的箭。
正常的射箭，任何人都知道，只要箭离了弦，就能飞出去，经过一段空间运动后，到达另一个位置。
但是，芝诺说，按照他的解释，射出去的箭是不动的，因此是不能够到达另一个位置的。
他解释说，如果我们截取“飞矢”的每一个瞬间，它在空中都是“静止”的。
既然每一个瞬间都是静止的，所有的瞬间加起来也应该是静止的，所以，“飞矢”是“不动”的。
“阿基利斯追不上乌龟”中的“阿基利斯”也是一个古希腊人物，也就是“特洛伊战争”中那个著名的希腊将领。
传说中，阿基利斯武艺高强，而且奔跑速度极快，似乎还得过古代奥林匹克运动会的桂冠（待查）。
这个悖论有一个假设的前提，就是说，阿基利斯与乌龟赛跑，如果让乌龟先跑一步，阿基利斯就永远追不上乌龟。
芝诺的解释是这样的。
假设乌龟先跑出了一米，阿基利斯要追上乌龟，就必须先到达半米的地方。
但是，当阿基利斯到达半米的时候，乌龟与阿基利斯的距离不是半米，而是半米再加一点，比方说是0.6米。
如此推论循环下去，只要乌龟不停下脚步，阿基利斯便永远只能更接近乌龟，而不能追上或超过乌龟。
“芝诺悖论”之所以被称之为“悖论”，他自己也被后世称为“诡辩论者”，是因为他的悖论完全违反常理，但是，人们又不知道如何才能反驳他。
我在高中时期的哲学课上，第一次接触了“芝诺悖论”。
后来大学里的哲学课，老师又讲了一遍。
我的大学专业是理工科。
本科毕业后，我又学了第二个本科专业，学的是哲学，发的文凭是“法学”学士（我也不知道为何如此奇怪），算是改革开放以后，第一批获得“双学士”的人。
芝诺悖论今昔谈
芝诺悖论今昔谈爱利亚的芝诺为了捍卫他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说，提出了著名的运动悖论和多悖论，以表明运动和多是不可能的。
他的结论在常人看来当然很荒谬，但他居然给出了乍看起来颇令人信服的论证，故人们常常称这些论证构成了悖论或佯谬。
不过，若细细推敲，其结论未必荒谬，其论证未必令人信服，故中性的称这些论证为芝诺论辨（Argument）最为合适。
一、历史追溯芝诺的运动论辨全部得自亚里士多德在《物理学》中的转述，有四个：1、二分法。
物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。
2、阿喀琉斯（一译阿基里斯）。
快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。
3、飞矢不动。
任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的，飞着的箭在任何一个瞬间总是占据与自身相等的处所，所以也是静止的。
4、运动场。
两列物体Ｂ、Ｃ相对于一列静止物体Ａ相向运动，Ｂ越过Ａ的数目是越过Ｃ的一半，所以一半时间等于一倍时间。
四个论辨可分成两组，前两个假定时空是连续的，后两个假定时空是分立的，每组的第一个论证绝对运动不可能，第二个论证相对运动不可能。
关于多的论辨得自辛普里丘在《〈物理学〉注释》的转述，大意是：如果事物是多，那么大会大到无限大，小会小到零，因为任何数量都可以无限分割，若分割的结果等于零，则总和是零，若分割结果不是零，则无限总和是无限大。
以上转述从哲学史角度看都过于粗疏，不过对于讨论其哲学含义则差不多够了。
１９、２０世纪之交的绝对唯心主义者象布拉德雷（Ｂｒａｄｌｅｙ，Ｆ．Ｈ）全盘接受芝诺的论证和结论。
他视运动、时间空间为幻象，芝诺论辩正好符合他的主张，当然全盘接受。
在《现象与实在》中他写道：“时间与空间一样，已被最明显不过的证明为不是实在，而是一个矛盾的假象。
自然辩证法论文-数学悖论促进数学的发展
自然辩证法课程论文数学悖论促进数学的发展XX XXXXXXXXXXXX华中科技大学2010-11-18摘要发现悖论、悖论的解决能促进科学的发展。
数学中的悖论对数学的影响是巨大的，由数学中的悖论直接导致了三次数学危机，以及悖论解决后数学的跨越式发展。
“芝诺悖论”的解决使人们认识到了无理数的存在，“微积分悖论”的解决使得微积分理论获得了坚定的理论基础。
关键词：数学悖论数学的发展“芝诺悖论”“微积分悖论”数学悖论促进数学的发展悖论被大哲学家康德称为“人类理智最奇特的现象”。
悖论是什么？从广义上，凡似是而非或似非而是的论点都叫做悖论。
狭义的悖论是由以下三点定义的：一，悖论是相对于一定的背景知识而言的；二，推导过程合乎逻辑；三，推导后可得到两个相互矛盾命题的等价式。
对于悖论，不能仅从字面上把它理解为“悖理”，简单的斥之为“荒谬”。
因为一个一个理论之所以被认为包含悖论，不是由于它明显的暴露了错误，而是在于看起来它没有问题的，然而却在其中包含了悖论。
悖论的实质是客观事物的辩证性同主观思维的形而上学性以及方法的形式化特性之间矛盾的一种集中反映。
悖论分为两类，第一类：有关前提中包含有直接错误的悖论;第二类：前提中并不包含悖论，或看上去没有问题的悖论。
对于第一类悖论，其积极意义是不言而喻的，通过被悖论引出的逻辑矛盾，有助于揭露推理前提中隐含的错误，检查推理过程中的漏洞，这对于增强思维的严谨性，推动人们的认识的不断发展，无疑是有利的。
对于第二类悖论，其对科学发展的意义就更大了。
悖论对数学发展的影响是深刻的的、巨大的。
“芝诺悖论”引发的第一次数学危机，其促进了数学的严谨性，并促使公理化方法逐步成为希腊数学发展的途径。
2悖论，使得人们把眼光从有理数开拓到了无理数，有力的促进了数学的发展。
“微积分悖论”，即无穷小悖论引发了第二次数学危机，危机的克服、悖论的消除，使得微积分理论获得坚实的理论基础，并且导致了集合论的产生。
康托悖论，即最大基数悖论，该悖论的分析解决，形成了今天大家所熟知的ZF系统。
解读 《悖论》 脱水精华版
解读《悖论》脱水精华版今天要为你解读的书是悖论，副标题是破解科学史上最复杂的九大谜团。
悖论是指同一个命题能推导出两个对立矛盾的结论。
在科学发展中，一个理论提出后，有时会演绎出看似荒谬的结果，这时候悖论就产生了。
悖论分为两种，一种叫真悖论，这种悖论是无法解决的，比如究竟是先有鸡还是先有蛋。
还有一种悖论叫认知悖论。
这种悖论乍听上去十分离谱，或者极度违背直觉。
但事实上却漏掉了一些微妙的因素，只要将这些因素考虑进来就可以破除悖论。
这种认知悖论正是本书重点要讨论的悖论。
这些悖论就像是冰山的尖顶底下隐藏的是一套庞大的知识体系。
本书介绍了科学史上最重要的九个悖论，它们横跨古今2000多年涵盖了牛顿物理热力学相对论量子物理等范畴，串联起了整个物理学的发展过程。
本书作者吉姆艾尔哈利利出生于伊拉克是国际顶尖的物理学家。
他是英国萨里大学的教授也是知名作家及节目主持人。
他曾被授予大英帝国官佐勋章还分别被英国皇家学会和英国物理学会授予迈克尔法拉第奖和凯尔文奖以表彰他在科学教育方面的贡献。
在这本悖论中，埃尔哈迪丽打破了一般科普读物，由简入繁的惯例，他先抛出一个个令人费解的悖论，在以充满趣味的方式刨根问底，带着我们了解悖论之后的科学知识。
下面我会分为两组来为你解读，其中七个重要的悖论。
第一组是动物主题。
用四个跟动物相关的悖论介绍物理学的四个发展领域。
第二组是相对论主题将集中讲解三个跟相对论有关的悖论来深入了解相对论的神奇。
下面就让我们开启这场烧脑的破解悖论之旅。
先看第一组有关动物主题的悖论。
在物理学发展中，科学家用思想实验创造了四只动物代表了四个最著名的悖论。
他们分别是芝诺龟拉普拉斯兽麦克斯韦妖和薛定谔的猫。
有人将他们合称为物理学四大神兽，它们分别对应着微积分，经典力学热力学量子力学四大板块儿见证了物理学从古至今的发展。
让我们来分别了解一下四只神兽的来龙去脉。
第一个悖论，芝诺的乌龟悖论也叫阿基里斯悖论。
这个悖论可以追溯到2500年前是希腊哲学家芝诺提出来的。
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芝诺悖论与微积分的关系
芝诺悖论是古希腊数学家芝诺（约在公元前464-前461）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。
这些悖论是芝诺反对存在运动的论证。
其中最著名的两个是：“阿基里追不上乌龟”和“飞矢不动”。
“阿基里斯”悖论：“快跑者追不上慢跑者”。
因为追赶者必须先到慢跑者的起点，而在此同时，慢跑者又到达了前面的一点，就这样有无穷的起点在等着他。
那么，阿基里斯真的追不上乌龟了吗? 当然不是。
对于“阿基利斯追不上乌龟”这个悖论，从理论上说，芝诺只做了“微分”，而没有做“积分”，也就是说，他的工作只做了一半。
而且，他还偷换了概念。
无穷小的概念是：趋近于零，但不等于零。
在无穷小“dx”里，芝诺在乌龟那里只部分强调了“不等于零”的概念，而在阿基里斯那里只部分强调了“趋近于零”的概念。
换句话说，芝诺在同一个问题中，采取了两个不同的标准，得出悖论就很正常的。
而这种不同的标准，其实是一个概念的两个方面。
“飞矢不动”悖论：“飞着的箭是静止的”。
飞箭在任一瞬间必静止在一确定的位置上。
所以运动就是由许多的静止组成。
“飞矢不动”这个悖论最关键的地方，是所谓“瞬间”。
理论上的物理学“瞬间”意思是时间长短为零。
而在实际中，时间长短永远不可能为零。
简单来说，“芝诺悖论”的错误就在于，他将无穷小彻底等同于零。
无穷小等于零之后，再怎么相加、累积，最终的结果当然都是零，所以得出推论“飞矢”是“不动”的。
但是，真正的概念是无穷小只是趋近于零，无穷个“趋近于零”的无穷小相加、累积之后，就会有一个确切的值。
其实，“芝诺悖论”的这个隐蔽手段也经常出现在现实之中，比方说“自由”。
从一个侧面说，人的自由似乎是绝对的，是所谓“天赋人权”，但是在另一个方面，任何自由都必然要受到限制的。
我们在讨论问题的时候，如果仅仅只是强调“自由”的一个侧面，就会得出不同的结果。
如果在同一个问题上转换“自由”概念的不同侧面，就会造成自相矛盾。
芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。
前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可
分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。
芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大波。
它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但由于他们“对无穷的恐惧”和“对严密论证的追求”，使他们最终堵塞了通往无穷小分析发展的道路。
然而“芝诺悖论”却影响了许多代的数学思想，可以这么说，它是追究数学上的严谨性的开始。
无理数的发现和“芝诺悖论”的提出，迫使人们这样的思考：数学内部居然也有逻辑矛盾，那么数学能不能作为一门严格的科学呢？“芝诺悖论”的发现揭示了矛盾，动摇了数学基础；但也正应为揭露了矛盾，使人们发现了数学理论本身所存在的问题，然后设法解决问题，从而加固了数学的基础，促进了数学的发展。
芝诺不自觉的预示解决这些悖论的途径，但他本身并没有产生出解决悖论的办法。
不过“芝诺悖论”却以潜科学形态孕育辩证法和极限思想。
经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。
牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算。
由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。
同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。
关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？
在推导一些定理和公式时，在逻辑上出现了前后矛盾，使人感到了不安，并且也给微积分带上了神秘的色彩，这个神秘主要体现在对无穷小量的解释上。
例如牛顿在推导中是这么处理无穷小量的，第一步，他用无穷小量作分母进行除法；
第二步，他又把无穷小量看做零，以去掉那些包含它的项。
例如在求函数
2x y =的导数，当时是这么计算的:2x y =→222)(2)(dx xdx x dx x dy y ++=+=+→2)(2dx xdx dy +=，当忽略不计式中的2)(dx 时xdx dy 2= 进而
x dx dy 2=。
在式子中，x 2就是函数2x y =的导数，这个运算结果是正确的，但他是在
忽略的2)(dx 基础上得到的，从正统的数学来看dx 应该是等于零的否则就不能把
2)(dx 去掉，但从式子中可以看出它不应该为零，因为它做除数了，而除数不能
为零。
牛顿看到了这个矛盾，但是他无法摆脱它，这就是微积分悖论。
“微积分悖论”的产生，由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。
从微积分悖论悖论的产生开始，人们便开始尝试着去解决它，其中包括达朗贝尔、阿贝尔、柯西、康托尔等，中间经历了半个多世纪，随着微积分悖论的解决，建立了实数理论，以及在实数理论上建立起的极限理论，从而使微积分理论建立在实数理论的严格基础上。
因此微积分悖论促进了微积分理论的发展，巩固了微积分理论的基础，对数学的发展产生了深远的影响。
因此一个数学理论中出现了悖论，并不一定证明这个数学理论是错误的。
一个数学理论中出现了悖论，也不用恐慌，应该勇敢的去正视它，面对它分析它。
数学悖论是数学的生长点，通过分析、解决一个数学理论中悖论的可能会完善发展该原有理论，也可能会创造新的数学理论，甚至产生数学革命，所以说数学悖论能促进数学的发展。
（10级数学与应用数学1班20号李慧凤）。