芝诺悖论与微积分的关系

芝诺悖论与微积分的关系

芝诺悖论是古希腊数学家芝诺（约在公元前464-前461）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论是芝诺反对存在运动的论证。其中最著名的两个是：“阿基里追不上乌龟”和“飞矢不动”。

“阿基里斯”悖论：“快跑者追不上慢跑者”。因为追赶者必须先到慢跑者的起点，而在此同时，慢跑者又到达了前面的一点，就这样有无穷的起点在等着他。

那么，阿基里斯真的追不上乌龟了吗? 当然不是。对于“阿基利斯追不上乌龟”这个悖论，从理论上说，芝诺只做了“微分”，而没有做“积分”，也就是说，他的工作只做了一半。而且，他还偷换了概念。无穷小的概念是：趋近于零，但不等于零。在无穷小“dx”里，芝诺在乌龟那里只部分强调了“不等于零”的概念，而在阿基里斯那里只部分强调了“趋近于零”的概念。换句话说，芝诺在同一个问题中，采取了两个不同的标准，得出悖论就很正常的。而这种不同的标准，其实是一个概念的两个方面。

“飞矢不动”悖论：“飞着的箭是静止的”。飞箭在任一瞬间必静止在一确定的位置上。所以运动就是由许多的静止组成。

“飞矢不动”这个悖论最关键的地方，是所谓“瞬间”。理论上的物理学“瞬间”意思是时间长短为零。而在实际中，时间长短永远不可能为零。简单来说，“芝诺悖论”的错误就在于，他将无穷小彻底等同于零。无穷小等于零之后，再怎么相加、累积，最终的结果当然都是零，所以得出推论“飞矢”是“不动”的。但是，真正的概念是无穷小只是趋近于零，无穷个“趋近于零”的无穷小相加、累积之后，就会有一个确切的值。

其实，“芝诺悖论”的这个隐蔽手段也经常出现在现实之中，比方说“自由”。从一个侧面说，人的自由似乎是绝对的，是所谓“天赋人权”，但是在另一个方面，任何自由都必然要受到限制的。我们在讨论问题的时候，如果仅仅只是强调“自由”的一个侧面，就会得出不同的结果。如果在同一个问题上转换“自由”概念的不同侧面，就会造成自相矛盾。

芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可

分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大波。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但由于他们“对无穷的恐惧”和“对严密论证的追求”，使他们最终堵塞了通往无穷小分析发展的道路。

然而“芝诺悖论”却影响了许多代的数学思想，可以这么说，它是追究数学上的严谨性的开始。无理数的发现和“芝诺悖论”的提出，迫使人们这样的思考：数学内部居然也有逻辑矛盾，那么数学能不能作为一门严格的科学呢？“芝诺悖论”的发现揭示了矛盾，动摇了数学基础；但也正应为揭露了矛盾，使人们发现了数学理论本身所存在的问题，然后设法解决问题，从而加固了数学的基础，促进了数学的发展。芝诺不自觉的预示解决这些悖论的途径，但他本身并没有产生出解决悖论的办法。不过“芝诺悖论”却以潜科学形态孕育辩证法和极限思想。

经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？

在推导一些定理和公式时，在逻辑上出现了前后矛盾，使人感到了不安，并且也给微积分带上了神秘的色彩，这个神秘主要体现在对无穷小量的解释上。例如牛顿在推导中是这么处理无穷小量的，第一步，他用无穷小量作分母进行除法；

第二步，他又把无穷小量看做零，以去掉那些包含它的项。例如在求函数

2x y =的导数，当时是这么计算的:2x y =→222)(2)(dx xdx x dx x dy y ++=+=+→2)(2dx xdx dy +=，当忽略不计式中的2)(dx 时xdx dy 2= 进而

x dx dy 2=。 在式子中，x 2就是函数2x y =的导数，这个运算结果是正确的，但他是在

忽略的2)(dx 基础上得到的，从正统的数学来看dx 应该是等于零的否则就不能把

2)(dx 去掉，但从式子中可以看出它不应该为零，因为它做除数了，而除数不能

为零。牛顿看到了这个矛盾，但是他无法摆脱它，这就是微积分悖论。“微积分悖论”的产生，由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。

从微积分悖论悖论的产生开始，人们便开始尝试着去解决它，其中包括达朗贝尔、阿贝尔、柯西、康托尔等，中间经历了半个多世纪，随着微积分悖论的解决，建立了实数理论，以及在实数理论上建立起的极限理论，从而使微积分理论建立在实数理论的严格基础上。因此微积分悖论促进了微积分理论的发展，巩固了微积分理论的基础，对数学的发展产生了深远的影响。

因此一个数学理论中出现了悖论，并不一定证明这个数学理论是错误的。一个数学理论中出现了悖论，也不用恐慌，应该勇敢的去正视它，面对它分析它。数学悖论是数学的生长点，通过分析、解决一个数学理论中悖论的可能会完善发展该原有理论，也可能会创造新的数学理论，甚至产生数学革命，所以说数学悖论能促进数学的发展。

（10级数学与应用数学1班20号李慧凤）