中国石油大学(华东)概率试卷(一)卷及答案

《概率论与数理统计》试卷一
一、选择题（共6小题，每小题3分，共计18分） 1．设事件A 与B 互不相容，则( D ).
A ．()0P A
B ⋂=； B ．()()()P AB P A P B =； C. ()1()P A P B =-； D ．()1P A B ⋃=.
2. 设随机变量X 的分布函数为0, 0 1(), 0121, 1
x x F x x e x -<⎧⎪⎪
=≤<⎨⎪-≥⎪⎩，则(1)P X ==（ C ）.
A ．0；
B ．12； C. 11
2
e --； D ．11e --.
3. 设随机变量X 的分布函数为1
()0.3()0.7(
)2
x F x x -=Φ+Φ，其中()x Φ为标准正态分布，则EX =（ C ）.
A. 0;
B. 0.3；
C. 0.7;
D. 1 .
4．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则
22(1}P X Y +≤=（ D ）. A. 14; B. 12； C. 8π; D. 4
π.
5. 设随机变量X ,Y 独立同分布，X 的分布为F (x )，max{,}Z X Y =的分布函数 为（ B ）.
A ．()()F x F y ；
B ．2()F x ；
C.21[1()]F x --； D ．[1()][1()]F x F y --.
6. 设二维随机变量（X ，Y ）服从22(, ;, 0)N μμσσ；则2()E X Y =（ A ）.
A.22()μμσ+； B ．2()μμσ+； C. 22()σμσ+ ； D ．2()σμσ+.
二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分）
1.已知111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===，则()P A B = 1
3.
2. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则2()P X EX ==11
2
e -.
3. 设随机变量X 和Y 相互独立，密度函数分别为1, 01
()0, X x f x ≤≤⎧=⎨
⎩
其它 ，
, 0()0, y
Y e y f y -⎧>=⎨
⎩其它，则Z =X +Y 的概率密度为()Z f z =1, 01
(1), 1 0, z z e z e e z --⎧-≤<⎪
-≥⎨⎪⎩
其它. 4. 设12,,,m X X X ⋅⋅⋅为来自二项分布总体(,)b n p 的简单随机样本，2,X S 分别为样本
均值和样本方差，若22[]=E X kS np +，则k = -1 .
三、计算下列各题（共3小题，每小题8分，共计24分）
1. 在150个产品中有40个次品，110个正品，从中任取20个产品，求 （1）恰好取到9个次品的概率；（2）至少取到2个次品的概率.
解：（1） 911
40110
120
150
C C p C =. （2） 2011911040110
22020150150
1C C C p C C =--.
2. 设随机变量X 的概率密度函数 2, 01
()0, x x f x <<⎧=⎨⎩
其它，
现对X 作40次独立重复观察，求事件1
{}2
X ≤出现的次数在10至15
之间的概率. （提示：用正态逼近，(1.83)0.9664Φ=）
解 记Y 表示40次独立重复观察中事件1{}2
X ≤出现的次数，由题知
~(40,)Y b p ，其中
12011
()224p P X xdx =≤==⎰
即 1~(40,)4Y b ，15
10,2
EY np DX npq ====，
(1015)(0)P Y ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫
≤≤≈-=-⎝⎭
()= 1.83(0)0.96640.50.4664.ΦΦ-=-=
3．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为0.5，若第一次 及格则第二次及格的概率也为0.5，若第一次不及格则第二次及格的概率为 0.25. 求（1）该学生两次考试中至少有一次及格的概率；
（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率. 解 （1）设12,A A 分别表示第一、二次考试及格。

121212()()()()P A A P A P A P A A ⋃=+- 220.5(0.50.50.25)0.5=++⨯-=0.625
（2）212122
2()0.52
(|)()0.50.50.253
P A A P A A P A ===+⨯。

四、（10分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从
袋中取两次球，每次取一个，以X ，Y 分别表示两次取球所得的红球、黑 球的个数，（1）求二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律；
（2）求在X =1下，Y 的条件分布律.
解 （1） （X ,Y ）的联合分布律：
0 1 2111
0 4636
11 1 0
39
1 2 0 0
9
Y X
（2）在X =1下，Y 的条件分布律：
0 1
32
55
Y p 。

五、（10分）设二维随机变量（X, Y）的联合概率分布律为
0 1
0 0.1 0.2
1 0.3 0.4
X Y
求（1）EX，EY，DX，DY；
（2）X, Y的协方差、相关系数；
（3）（X, Y）的协方差阵、相关阵.
解（1）0.7,0.6,0.21,0.24.
EX EY DX DY
====
（2）0.4,
EXY=
(,)0.40.420.02,
Cov X Y EXY EXEY
=-=-=-
0.089.
XY
ρ===-
（3）协方差阵
0.210.02
,
0.020.24
-
⎛⎫
∑= ⎪
-
⎝⎭
相关阵
10.089
.
0.0891
R
-
⎛⎫
= ⎪
-
⎝⎭六、（10分）设二维随机变量(X, Y )在G上服从均匀分布，其中G由
0,2,0
x y x y y
-=+==所围成，求:
（1）关于X，关于Y的边缘密度函数；
（2）问X与Y是否独立？为什么？
（3）计算概率()
3
X
P Y≤.
解：（1）
, 01
()2 12
0,
X
x x
f x x x
<≤
⎧
⎪
=-<≤
⎨
⎪
⎩
，
其它
，
22, 01
()
0,
Y
y y
f y
-≤≤
⎧
=⎨
⎩其它
；
（2）X,Y不独立，因为在G上，(,)()()
X Y
f x y f x f y
≠.
（3）
1
2
2
03
1
()
32
y
y
X
P Y dy dx
-
≤==
⎰⎰.
七、（共两小题，每小题8分，共16分）
1. 设随机变量X与Y的概率分布分别为
0 112 33X p ， 1 0 1111
333
Y p -
且 22(=)1P X Y =，求(1) (,)X Y 的联合分布律；（2）(,)X Y 的相关系数. 解 （1） (,)X Y 的联合分布律为：
1 0 1
1 0 0 03
11
1 0 33
X Y -
（2）2
(,)0003
Cov X Y EXY EXEY =-=-⨯=，
0.XY ρ=
2. 设12,X X 为来自2~(0,)X N σ的样本，试确定2
1212X X Y X X ⎛⎫
+= ⎪-⎝⎭
的分布.
解 212~(0,2)X X N σ+~(0,1)N 212~(0,2)X X N σ-~(0,1)N 又由多维正态分布的性质可知，12X X +与12X X -相互独立，
故 212212X X Y X X ⎛⎫+== ⎪-⎝⎭~(1,1).
F。