半角公式

(2)次数尽量低；(3)尽量不含分母；(4)尽量不
含根式；(5)能求值的要求出值来．
例2 化简：
α α 1＋sinα＋cosαsin2－cos2
2＋2cosα
(180° ＜ α＜ 360° )．
α 【思路点拨】 化α为 ，消去1 2 α → 提取公因式去根号 → 判断 的范围 2 → 整理得结论
4 5π 【解】 ∵ sinθ＝ ， ＜ θ＜ 3π， 5 2 3 2 ∴ cosθ＝－ 1－ sin θ＝－ . 5 2θ 由 cosθ＝ 2cos － 1 2 1＋ cosθ 1 2θ 得 cos ＝ ＝ . 2 2 5 5π θ 3 ∵ ＜ ＜ π. 4 2 2
1＋cosθ θ 5 ∴cos ＝－ ＝－ . 2 2 5 θ θ θ sin 2cos sin 2 2 2 θ tan ＝ θ＝ 2 2θ cos 2cos 2 2 sinθ ＝ ＝2. 1＋cosθ
半角的正弦、余弦和正切
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学习目标 1. 了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、
余弦和正切公式的过程． 2．掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确 运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、 求值和恒等式的证明．
课前自主学案
温故夯基 2sinαcosα 1．sin2α＝_____________. 2cos2α－1 2 ． cos2α ＝ cos2α － sin2α ＝ _____________ ＝ 1－2sin2α ____________.
1－ cos2x 2 3 2 【证明】 左边＝ 2( ) ＋ sin 2x＋ 2 4 1＋cos2x 2 1 5( ) － (cos4x＋cos2x) 2 2 2 1－2cos2x＋cos 2x 3 2 ＝2× ＋ sin 2x＋5× 4 4 1＋2cos2x＋cos22x 1 － (2cos22x－1＋cos2x) 4 2
∴cos2φ＜0，∴cos2φ＝－ 1－sin22φ 120 119 2 ＝－ 1－ ＝－ ， 169 169 119 1＋ 1－cos2φ 169 12 ∴sinφ＝ ＝ ＝ ， 2 2 13 119 1－ 1＋cos2φ 169 5 cosφ＝ ＝ ＝ . 2 2 13
三角函数式的化简 三角函数式化简的一般要求：(1)项数尽量少；
2tanα 3．tan2α＝ 2 . 1－tan α
知新益能
思考感悟 1．能用不含根号的形式由sinα，cosα表示tan吗？
α α α sin sin · 2cos 2 2 2 α sinα 提示： 能． tan ＝ α＝ α α＝1＋cosα； 2 cos cos · 2cos 2 2 2 α α α sin sin · 2sin 2 2 2 1－cosα α tan ＝ α＝ α α＝ sinα . 2 cos cos · 2sin 2 2 2
1 5 1 2cos2x 2cos2x 1 ＝ (2× ＋ ＋ )＋ [2× (－ )＋ 5 × － 4 4 2 4 4 2 2 2 cos 2x cos 2x 1 3 2 cos2x]＋ (2× ＋ 5× － × 2cos 2x)＋ 4 4 2 4 sin22x 9 3 2 3 2 ＝ ＋ cos2x＋ cos 2x＋ sin 2x 4 4 4 9 3 ＝ ＋ cos2x＋ 4 4 ＝ 3＋ cos2x＝ 3＋ (2cos2x－ 1)
【解】 原式＝
2cos2α＋ 2sinα cosα sinα－cosα 2 2 2 2 2
2· 2cos
2α
2
α α α α α 2cos cos 2＋ sin2 sin2－ cos2 2 ＝ α 2|cos | 2
α cos －cosα 2 ＝ . α |cos | 2 又∵180° ＜α＜360° ， α ∴90° ＜ ＜180° ， 2 α ∴cos ＜0， 2 α cos · －cosα 2 ∴原式＝ ＝cosα. α －cos 2
2α
2α
课堂互动讲练
考点突破 利用半角公式求值 在套用公式时，一定注意求解顺序和所用到 的角的范围问题，其次还要注意选用公式要 灵活多样．
例 1 sinθ＝ ，且 已知
4 5
5π θ ＜θ＜3π，求 cos 和 2 2
θ tan 的值． 2
【思路点拨】 先由 sinθ的值求出 cosθ的值，
然后利用半角公式求值．
＝2(1＋cos2x)＝右边． ∴原式成立． 【点评】 (1)三角恒等式的证明，包括有条件的 恒等式和无条件的恒等式两种． ①无条件的恒等式证明，常用综合法 ( 执因索果 ) 和分析法 ( 执果索因 ) ，证明的形式有化繁为简， 左右归一，变更论证等． ②有条件的恒等式证明，常常先观察条件与欲证 式中左、右两边三角函数的区别与联系，灵活使 用条件，变形得证．
利用半角公式证明三角恒等式 证明三角恒等式实质上是进行恒等变换，进而 消去等式两端的差异，达到形式上统一的过 程．
3 1 2 4 例3 求证： 2sin x＋ sin 2x＋5cos x－ (cos4x 4 2 ＋cos2x)＝2(1＋cos2x)．
4
【思路点拨】 首先降幂，利用半角公式的变形 4 式(将半角公式两边平方)，统一到二次式，sin x 1－cos2x 2 2 2 ＝ (sin x) ＝ ( ) ， cos4x ＝ (cos2x)2 ＝ 2 1＋cos2x 2 ( ) ，再展开，合并同类项． 2
【点评】 若没有给出角的范围，则根号前的 正负号需要根据条件讨论．
60 π π 变式训练 1 已知 sinφcosφ＝ ， 且 ＜φ＜ ， 169 4 2 求 sinφ，cosφ 的值．
60 解：∵sinφcosφ＝ ， 169 120 ∴sin2φ＝ ， 169 π π 又∵ ＜φ＜ ， 4 2 π ∴ ＜2φ＜π，sinφ＞0，cosφ＞0， 2
(2) 进行恒等变形时，既要注意分析角之间的差 异，寻求角的变换方法，还要观察三角函数的结 构特征，寻求化同名(化弦或化切)的方法，明确
变形的目的．
方法感悟
1．理清倍角与半角的相对关系，相互转化， 熟记公式． α 2． 半角公式中符号判断只依赖于 的终边位置． 2 3．半角公式往往结合两角和与差公式；倍角 公式应用于对三角函数式进行化简和对三角 恒等式进行证明．
α 2．由 tan 能否表示 sinα，cosα？ 2
α α 提示：能．sinα＝2sin cos 2 2 α α α 2sin cos 2tan 2 2 2 ＝ ＝ ， 2α 2α 2α sin ＋cos 1＋tan 2 2 2
cosα＝cos －sin 2 2 2α 2α 2α cos －sin 1－tan 2 2 2 ＝ ＝ . α α α sin2 ＋cos2 1＋tan2 2 2 2
【点评】
化简的方法：
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角． (2)降幂或升幂．
变式训练2
化简：cos72°· cos36°.
2sin36° · cos36° · cos72° 解：cos36° · cos72° ＝ 2sin36° － 36° 2sin72° · cos72° sin144° sin 180° ＝ ＝ ＝ ＝ 4sin36° 4sin36° 4sin36° 1 . 4