概率论与数理统计作业

概率论与数理统计作业

第一章随机事件与概率

1•将一枚均匀的硬币抛两次，事件代B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。

解：舄」正正、正反、反正、反反］

A=.正正、正反/, B =「正正1, C =:正正、正反、反正 /

2.设P(A)二3，P(B)二2，试就以下三种情况分别求P(BA):

3 2

(1)AB=必，(2)A B，( 3)P(AB)=1

8

解：

(1)P(BA) =P(B — AB) =P(B) — P(AB) =P(B) =0.5

(2)P(BA)二P(B —AB)二P(B) —P(AB)二P(B) 一P(A) = 0.5 -1/3 = 1/6

(3)P(BA)二P(B — AB)二P(B) —P(AB) =0.5 —0.125 =0.375

3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

解：记H表拨号不超过三次而能接通。

Ai表第i次拨号能接通。

注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。

寫H = A +瓦人 2 +瓦入2民三种情况互斥

二P(H) =P(A)+P(AjP(A2 |瓦)+ 卩(瓦)卩(入2丨A I)P(A3 1A1A2)

19 19 8 13

=—+—X —+ —X —X —=—

10 10 9 10 9 8 10

如果已知最后一个数字是奇数(记为事件B)问题变为在B已发生的条件下，求H再发

生的概率。

P(H |B) =PA |B A A2 |B A1A2A3| B)

= P(A!|B) P(A1| B)P(A2|BA1) P(A1| B)P(A2| BA!)P(A3 |B^A2)

14 14 3 13

= ---- i ----- 4 --- I ------ A. ---- A. --- = ------

5 5 4 5 4 3 5

4•进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率：

(1)直到第r次才成功;

(2)在n次中取得r(「乞r乞n)次成功；

解：(1) P=(1—p)rJL p (2) P =C：p r(1 一p)^

5.设事件A, B的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种：(a)必然对，(b) 必然错，(c)可能对也可能错，并说明理由。

(1)若A，B互不相容，则它们相互独立。

(2)若A与B相互独立，则它们互不相容。

(3)P(A)二P(B) =0.6，则 A与 B互不相容。

(4)P(A)二P(B) =0.6，则 A与 B相互独立。

解:(1)b, 互斥事件，一定不是独立事件

(2)c, 独立事件不一定是互斥事件，

(3)b, P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)若 A与 B互不相容，则P(AB) = 0

而P(A B) =P(A) P(B) - P(AB) =1.2 1

⑷a, 若A与B相互独立,则P(AB) = P(A)P(B)

J

这时P(A B)二P(A) P(B) -P(AB) =1.2 -0.36 =0.84

6.有甲、乙两个盒子，甲盒中放有 3个白球，2个红球；乙盒中放有4个白球，4个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，再从乙盒中取出一球，试求：

(1)从乙盒中取出的球是白球的概率；

⑵若已知从乙盒中取出的球是白球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。

解:(1)记A, A分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”

再记B表“再从乙袋中取得白球”。

•••B=AB+AB且 A, A互斥

3 4+1 2 4

P ( B)= P ( A) P( B| A»+ P ( A) P (B| A2)= =

3+2 4+4+1 3+2 4+4+1

(2)

7.思考题：讨论对立、互斥(互不相容)和独立性之间的关系。

解:独立事件不是对立事件，也不一定是互斥事件；对立事件是互斥事件，不能是独立事件;互斥事件一般不是对立事件，一定不是独立事件.

第二章随机变量及其概率分布

1.设X的概率分布列为：

F(x)为其分布的函数，则F (2) =?

解：F(2) =P{X 乞2}二P{X =0} P{X =1} P{X =2} =0.3

-c

2 •设随机变量X的概率密度为f (x)= X2, x 1;则常数c等于?

[0, x 兰1,

丹* 「一 c :: c

伤牛：由于 2 dx 2 dx 二 C 二〔，^故 c = 1

x 1 x

3.一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算

机是否被使用相互独立，问在同一时刻

(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少？

(2)至少有3台计算机被使用的概率是多少？

(3)至多有3台计算机被使用的概率是多少？

(4)至少有1台计算机被使用的概率是多少？

解：(1) P{X =2} =C；0.620.43 =0.2304

(2)P{X _3} =1 —P{X =4} —P{X =5} =1 — C；0.640.4 一0.65 = 0.66304

(3)P{X <3} = P{X =1} +P{X =2} +P{X =3} =C；0.6 O44 +C；0.620.43+ C；0.630.42

=0.0768+0.2304+0.1728=0.48

(4)P{X _1} =1 -P{X =0} =1 一0.45=0.98976

4.设随机变量K在区间(0, 5) 上服从均匀分布，求方程4 x2+ 4Kx + K + 2 = 0 有

实根的概率。

解：由,;.=16k2 -4 4 (k 2) =16k2 -16k -32 _0可得：k 乞-1,k _2

所以P{K _2}

5

5.假设打一次电话所用时间(单位：分) X服从:=0.2