线性代数试题与答案解析详解

《线性代数A 》试题（A 卷）
试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：
3的一组标准正交基，=___________
《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）
二、填空题（每小题3分，共18分）
1、 256；
2、 132465798⎛⎫ ⎪
--- ⎪ ⎪⎝⎭； 3、112
2
112
21122
000⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
； 4、 ； 5、 4； 6、 2 。

三． 解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求
1A B -,可利用下列初等行变换的方法：
2312112
01012
010*******
12101
141103311033102321102721
002781
002780
11410
101440
10144001103001103001103---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪
-−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪
−−→--−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
―――――（6分）
所以1
278144103X A B -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭
.―――――（8分）
四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得：
12345111
4
3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
----- ⎪ ⎪
=
→ ⎪ ⎪
--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝
⎭⎝⎭
11
1
431
02
12011310
113100000
00000000000
0000--⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
---- ⎪ ⎪
→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
――――（5分） 从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩
12345{,,,,}ααααα＝2（8分）
且3122ααα=-，4123ααα=+，5122ααα=--――――（10分） 五．解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：
22
1
121121
1211101130
11311101112002421120113400(2)(1)42p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--+⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭
-⎛⎫ ⎪−−→------- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭
(分)
(1) 当10,(2)(1)0,p p p -≠-+-≠且时即1,2,p p ≠≠-且时系数矩阵
与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.――――（5分） (2) 当1,p =时系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无
解.――――（6分）
(3) 当2,p =-时此时方程组有无穷多组解. 方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为
11
221122112212110333011121110333000010110
11180000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪---⎝
⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫
⎪
−−→------ ⎪ ⎪⎝⎭
（分）
故原方程组与下列方程组同解:
1
32311
x x x x -=-⎧⎨
-=-⎩ 令30,x =可得上述非齐次线性方程组的一个特解0(1,1,0)T
ξ=--;
它对应的齐次线性方程组1
323
00x x x x -=⎧⎨-=⎩的基础解系含有一个元素,令
31,x =可得
1(1,1,1)T ξ=为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基
础解系.
此时原方程组的通解为001101,,.k k k k ξξ+这里为任意常数――――（12分）
六
．
解
：（
1
）
由
于
A
的特征多项式
21
24
||2
2
2(3)(6)4
2
1
I A λλλλλλ----=-+-=+----
故A 的特征值为13λ=-（二重特征值），36λ=。

――――（3分）
当13λ=-时，由1()I A X O λ-=，即：123424*********x x x ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
得基础解系为12[1,2,0],[1,0,1]T T
αα=-=-，故属于特征值13λ=-的所有
特征向量为1122k k αα+,12,k k 不全为零的任意常数。

――――（6分）
当36λ=时，由3()I A X O λ-=，即：123524028204250x x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
得基
础解系为3[2,1,2]T
α=，故属于特征值2 6λ=的所有特征向量为33k α,3k
为非零的任意常数。

------(8分) (2)
将
12
,αα正交化可得：
211122111,42
[1,2,0],
[,,1],55
T T
αββαβαβββ<>==-=-
=--<>。

再将其
单位化得
：
121212,
T
T
ββηηββ⎡⎤
⎡====⎢⎥⎢⎣⎦
⎣⎦
将3α单位化得：3212,,333T
η⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦。

――――（12分）
则123,,ηηη是A 的一组单位正交的特征向量，令
[
]23
1123323,,0T ηηη⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦ 则T 是一个正交矩阵，且1
336T AT --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

――――（14分） 七．证明：(1) 因为()()T T T T T T A A A A A A +=+=+, 因此T
A A +为对称矩阵。

――――（2分） 同理,因为
()()()
T T T T T T T A A A A A A A A -=-=-=--,因此
T A A -为反对称矩阵。

――――（4分）
(2) 因为11
()(),22
T T A A A A A =
++-――――（6分）
而由(1) 知1
()
2
T
A A
+为对称矩阵,
1
()
2
T
A A
-为反对称矩阵,因此任
何矩阵A都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。

――――（8分）。