西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案

试 题 二 （考试时间：120分钟）

一、填空（每小题4分，共32分） 1．若矩阵A 相似于矩阵{}2,1,1−diag ，则3

1−A

= 。

2．设33)(×=ij a A 是实正交矩阵且111=a ，T

b )0,0,1(=，则方程组A X =b 的解为 3．设n 阶方阵A 满足2

340A A E −+=，则1

)4(−+E A = 。

4．设A 为4×3阶矩阵，且R (A )=2，又⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎝⎛=301020204B ，则R (A B)- R (A )=

5．若二次型

31212

322213212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=是正定的，则

t 满足 。

6．已知三阶方阵A 的特征值为2，3，4，则A 2= 。

7．已知五阶实对称方阵A 的特征值为0，1，2，3，4，则R (A )= 。 8．设⎟⎟⎠

⎞⎜

⎜⎝⎛=1201A 则=k

A 。（k 为正整数）。 二、（10分）计算行列式：112230000000

00000011

1

1

1

n n a a a a a D a a −−−=

−L L L M M M O M M L L 三、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=+−+=+−+=+−+3

23432424321

43214321x x x x x x x x x x x x λ

讨论λ为何值时，方程组无解，有解？在有解的情况下，求出全部解。

四、（10分）已知二次型322

32

22

13214332),,(x x x x x x x x f +++=

（1）把二次型f 写成Ax x x x x f T

=)(321，，的形式； （2）求矩阵A 的特征值和特征向量；

（3）求正交阵Q，使f 通过正交变换X QY =化为标准形。

五、（10分）已知向量组T

)2,0,4,1(1=α，T

)3,1,7,2(2=α，T a ),1,1,0(3−=α，

T

b )4,,10,3(=β，试讨论（1）a,b 取何值时，β不能由331,,ααα线性表出；

（2）a,b 取何值时，β可以由331,,ααα线性表出。此时写出具体的表达式。

六、（10分）设3阶实对称矩阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值，

()T

0,1,11=α，()T 1,1,22=α，()T 3,2,13−−=α都是A 的属于特征值6的特征向量。

（1）求A 的另一个特征值和对应的特征向量； （2）求矩阵A 。 七、（12分）已知R 3

中两组基T

)

0,0,1(1=εT )0,1,0(2=ε，T )1,0,0(3=ε；及()T 0,0,11=α，

()T 0,1,12=α，T )1,1,1(3=α。

（1） 求由基321,,εεε到基331,,ααα的过渡矩阵A ；

（2） 设由基331,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵为⎟

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=100001111B ，求321,,βββ；

（3） 已知向量ξ在基321,,βββ的坐标为()T

3,2,1，求ξ在基331,,ααα的坐标。

八、设T uu E A −=，E 为n 阶单位阵，u 为n 维非零向量，T u 为u 的转置，

证明: （1）A A =2

的充要条件是1=u u T ；

（2）当1=u u T

时，A 是不可逆的。

试题二参考答案

一、填空

1、 – 1/8 2 、(1,0,0)T

3、 –( A-7E)/31

4、0

5、22<<−t

6、192

7、4

8、⎟

⎟⎠

⎞

⎜

⎜⎝⎛1201k 二 解：提示，第i 列加至第i+1列，i=1,…,n,则D=

1

21000

021+−−n a a L M M M M L L =(-1)n

(n+1)∏=n

i i a 1. 三 解：增广矩阵B=⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡−−→⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡−−−110 404 000010101332 44 121131121λλ (1) 当λ=4时，R(B)=3,R(A)=2,所以无解。

(2) 当4≠λ时，R(B)=R(A)=3<4,方程组有无穷解。

令03=x , 得一特解T

),0,1,(41440−−−=λλη；易得方程组的基础解系 T

)0,1,0,1(=η。 所以方程组的通解为0ηη+=k x 。

四 解：(1)⎟

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝

⎛==321321*********),,(x x x x x x Ax x f T

.

(2) 由03

2

23

00

02

=−−−−−=

−λλλλA E ，得5,2,1321===λλλ。

当11=λ 时，得对应的特征向量T

)110(1−=α； 当22=λ时，得对应的特征向量T )00

1(2=α；

当53=λ时，得对应的特征向量T

)110(3=α；