第三章流体运动学和流体动力学基础3
第三章流体运动学
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
工程流体力学--第三章--流体动力学基础ppt课件
度的物理意义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中 间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的 速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2 点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移
加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变
第三章 流体动力学基础
§1–1 描述流体运动的两种方法
§1–2 流体运动的一些基本概念
§1–3 流体运动的连续性方程
§1–4 理想流体的运动微分方程
§1–5 理想流体微元流束的伯努力方程
§1–6 伯努利（Bernoulli）方程的应用
§1–7 定常流动的动量方程和动量矩方程
§1–8 液体的空化和空蚀现象
拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体 质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本
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3
的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的
位置可表示为：
X=x (a，b，c，t)
y=y (a，b，c，t)
z=z (a，b，c，t)
(3-1)
式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、 b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、 b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。 对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到 某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉
(3-2) (3-3)
az w t t22 zaz(a,b,c,t)
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式（3-6）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间 求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
u dx dt
流体力学 3-1-2流体运动学
，
v x 1 x v y 1 t
其余各项的偏导数为零，所以加速度分布为：
ax x t 1
ay y t 1
az 0
（2）根据拉格朗日方法：
ax dvx dx 1 vx 1 x t 1 dt dt
dy ay 1 v y 1 y t 1 dt dt
dy
z z
dz
dz
ax
d x x x x y x z x dt t x y z
x y z dt t x y z d az z z x z y z z z dt t x y z ay
x ae2t , y bet , z cet
试求：用欧拉方法描述该流动的速度场是怎样的。
a xe2t , b yet , c zet
三、拉格朗日法和欧拉法的转化
（A）由拉格朗日法到欧拉法的转化思路
二、欧拉法
用欧拉法描述流体的运动时，运动要素是空间坐标x，y， z和时间变量t的连续可微函数。x，y，z，t 称为欧拉变量， t 时刻（ x，y，z ）处的速度场表示为：
u x u x ( x, y , z , t ) u y u y ( x, y , z , t ) u z u z ( x, y , z , t )
u x A. t
ux ux B. ux t x
ux ux ux C .ux uy uz x y z
ux ux ux ux D. ux uy uz t x y z
C 的变化情况 2.欧拉法研究_____ (A) 每个质点的速度 (C) 流经每个空间点的流速 (B) 每个质点的轨迹 (D) 流经每个空间点的质点轨迹
工程流体力学课件3流体动力学基础
边界层理论是研究流体在固体表面附近流动的理论， 其特征包括流体的粘性和湍流状态。
详细描述
边界层理论主要关注流体与固体表面之间的相互作用 ，特别是流体的粘性和湍流状态对流动的影响。在边 界层内，流体的速度和压力变化梯度较大，湍流状态 较为明显。
边界层分离现象和转捩过程
总结词
边界层分离现象是指流体在经过曲面或突然扩大区域 时，流速减小，压力增加，导致流体离开壁面并形成 回流的现象。转捩过程则是从层流到湍流的过渡过程 。
有旋流动
需要求解偏微分方程组，如纳维-斯托克斯 方程（Navier-Stokes equations），该方 程组较为复杂，需要采用数值方法进行求解
。
05 流体动力学中的湍流流动
湍流流动的定义和特征
湍流流动的定义
湍流是一种高度复杂的流动状态，其中流体的速度、压 力和其它属性随时间和空间变化。
湍流流动的特征
质量守恒定律在流体中的应用
质量守恒定律
物质的质量不会凭空产生也不会消失，只会从一种形式转化为另一种形式。在流体中，质量守恒定律表现为流体 微元的质量变化率等于进入和离开微元的净质量流量。
质量守恒方程
根据质量守恒定律，流体微元的质量变化率可以表示为流入和流出微元的净质量流量。这个方程是流体动力学基 本方程之一，用于描述流体的运动特性。
流体流动的描述方法
描述流体流动的方法包括拉格朗日法和欧拉法。
拉格朗日法是以流体质点作为描述对象，追踪各个质点的运动轨迹，研究其速度、加速度等参数随时 间的变化。欧拉法是以空间点作为描述对象，研究空间点上流速、压强等参数随时间和空间的变化。
03 流体动力学基本方程的推 导
牛顿第二定律在流体中的应用
能源
流体力学3-3-4流体运动学
流体运动学的应用领域和发展趋势
能源
风力发电、水力发电等领域涉及到流体运动学的知识 ，用于提高能源转换效率和稳定性。
环境
流体运动学在气候变化研究、污染物扩散等领域有广 泛应用。
流体运动学的应用领域和发展趋势
1 2 3
跨学科融合
流体运动学与数学、物理、工程学等多个学科的 交叉融合，推动流体力学理论的创新与发展。
流体机械工作原理
泵的工作原理
通过叶轮旋转产生的离心力将流体吸入，在 叶轮出口处将流体以更高的压力排出。
风机的原理
利用叶轮旋转产生的空气动力学效应，将机 械能转换为空气的压力能和动能。
流体动力学在交通工程中的应用
要点一
车辆空气动力学
要点二
道路排水设计
车辆的外形设计、车速等都会影响空气对车辆的作用力， 进而影响车辆的行驶稳定性、燃油经济性等。
加强跨学科合作与交流是推动流体运动学发展的重要途径。
THANKS
感谢观看
流体力学3-3-4流体运动学
• 流体运动学概述 • 流体运动的分类与描述 • 流体运动的物理性质 • 流体动力学方程 • 流体运动的实例分析 • 总结与展望
01
流体运动学概述
流体运动学的定义与重要性
定义
流体运动学是研究流体运动的学科， 主要关注流体速度、方向和加速度等 物理量的变化规律。
重要性
层流与湍流
层流
流体在运动过程中，流层之间互不掺混，呈规则的层次流动 。
湍流
流体在运动过程中，流层之间相互掺混，流动呈现无规则的 紊乱状态。
定常流动与非定常流动
定常流动
流体在运动过程中，流场参数不随时 间变化而变化的流动。
非定常流动
高等流体力学—流体力学基本方程组
图 3-1 流场中的微元平行六面体
4
一、直角坐标系下连续性微分方程式
先分析x轴方向，已知u和ρ都是坐标和时间的连续函数， 即u=u (x，y，z，t)和ρ = ρ (x，y，z，t)。根据泰勒级数
展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在dt时间内，沿轴 方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为
图 3-1 流场中的微元平行六面体
0.5 (m/s) 2 0 . 5 1
21
图 3-14 输水管道
22
流体流动的连续性方程推导－欧拉法
在空间取一以S面为界的有限体积τ，该面由流面及两 个非流面组成。
23
有限体积τ－流管内流体质量的变化由两部分组成：
1 通过表面S流体的进入或流出（以流入为正）
程。
11
若流体是定常流动，则
0， t
上式成为
u v w 0 x y z
(3-6)
式（3-6）为可压缩流体定常三维流动的连续 性方程。
12
对不可压缩均质流体， ρ为常数，故式(3-6)成为
u v w 0 x y z
19
【例3-2】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布
规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。 【解】 根据式（3-8）
所以
u 2 x sin y x
v 2 x sin y y
u v 2 x sin y (2 x sin y ) 0 x y
( x, y, z, t dt ) dt t
10
则可求出在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量
dt dxdydz dxdydz dxdydzdt t t
流体力学 第三章
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
材料工程基础-动力学
材料工程基础第三节 流体动力学基础课程网址： http://202.114.88.54/new/clgcjc/web/材料工程基础课程网址： http://202.114.88.54/new/clgcjc/web/流体运动学:研究流体的运动规律，如速度、加速度 等运动参数的变化规律 流体动力学:研究流体在外力作用下的运动规律，即 流体的运动参数与所受力之间的关系。
本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知 识，推导出流体动力学中的几个重要的基本方程： • 连续性方程 • 动量方程 • 能量方程1 2011-9-19 2§3–1 描述流体运动的两种方法 §3–2 流体运动的一些基本概念 §3–3 流体运动的连续性方程 §3–4 理想流体的运动微分方程 §3–5 理想流体微元流束的伯努力方程 §3–6 伯努利（Bernoulli）方程的应用 §3–7 恒定流动的动量方程和动量矩方程2011-9-19材料工程基础课程网址： http://202.114.88.54/new/clgcjc/web/材料工程基础课程网址： http://202.114.88.54/new/clgcjc/web/3.1 描述流体运动的两种方法描述流体运动两种方法比较拉格朗日法 — 随体法—质点轨迹： r =r (a，b，c，τ) 欧拉法—当地法—参数分布： B = B（x, y, z, τ ）grange，1736－1813Leonhard Euler，1707-1783拉格朗日（Lagrange）法2011-9-19欧拉（Euler）法3 2011-9-19 4材料工程基础课程网址： http://202.114.88.54/new/clgcjc/web/材料工程基础速度:课程网址： http://202.114.88.54/new/clgcjc/web/拉格朗日（Lagrange）法又称随体法，在某一时刻，任一流体质点的位置为：X=x(a，b，c，τ) 加速度：∂x = ux(a, b, c,τ ) ∂τ ∂y uy = = uy (a, b, c,τ ) ∂τ ∂z uz = = uz (a, b, c,τ ) ∂τ ux =y=y (a，b，c，τ) z=z (a，b，c，τ)ax =2011-9-1952011-9-19∂ux ∂ 2 x = = a x ( a , b, c , τ ) ∂τ ∂τ 2 2 ∂u y ∂ y ay = = = a y ( a , b, c , τ ) ∂τ ∂τ 2 2 ∂uz ∂ z = az = = a z (a, b, c,τ ) ∂τ ∂τ 26材料工程基础欧拉法课程网址： http://202.114.88.54/new/clgcjc/web/材料工程基础欧拉法空间点位置坐标:课程网址： http://202.114.88.54/new/clgcjc/web/又称局部法，分析流场中每一个空间点上的流体质点的运 动，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间 的变化规律。
3流体力学基础知识
欧拉法与拉格朗日法的比较
拉格朗日法得到的运动方程是二阶偏微分方程 组，欧拉法得到的运动方程是一阶偏微分方程
组。
拉格朗日法得到的是流体质点的运动规律，欧
拉法得到的是整个流场中各个空间点上流体运
动规律。
例
质点沿直线以速度 V 3 x 2 y 2 (m/s)运 动, 求质点在(8,6)点的加速度。 解： x，y方向的速度分量分别为
欧拉加速度
质点的加速度由两部分组成：
时变加速度 Time-changing Acceleration
当地加速度 Local Acceleration
流动过程中流体速度随时间变化而引起的加速度。 位变加速度 Location-changing Acceleration
迁移加速度 Connective Acceleration
u V cos 3 x 2 y 2 v V sin 3 x 2 y 2 x x y
2 2
2 2
3y
x
0
故 x，y方向的加速度分量分别为
ax ay u u u u v 0 3x 3 3 y 0 9 x 72m/s 2 t x y v v v u v 0 3x 0 3 y 3 9 y 36m/s 2 t x y
拉格朗日法表示的 t 时刻质点的空间坐标
x x(a, b, c, t ) y y (a, b, c, t ) z z (a, b, c, t )
若行列式D既不为零也不为无穷大，a,b,c存在单值解
x a x, y , z x D a, b, c b x c y a y b y c z a z b z c
第三章一元流体动力学基础ppt
注意：流线和迹线微分方程的异同点。
dx ux dy uy dz uz
——流线方程
第四节 一元流动模型
一.流管、元流与流束 流管—在流场中取任一封闭曲线（不是流线），通 过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成的 管状空间称为流管。 因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的 一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出(由于 流线不能相交)。流管就像固体管子一样，将流体限 制在管内流动。
u x u x x, y , z , t
写成分量形式
u y u y x, y , z , t u z u z x, y , z , t
（x,y,z,t）——欧拉变量
(2) 欧拉加速度
流体质点，某一时刻，处于流场不同位置，速度是坐标及时 间的函数，所以流速是t 的复合函数，对流速求导可得加速度: du x, y , z , t a dt
流体质点速度为：
x a，b，c，t vx t y a，b，c，t vy t z a，b，c，t v z t
流体质点的其它流动参量可以类 似地表示为a、b、c和 t 的函数。 如： p=p(a，b，c，t) ρ=ρ(a，b，c，t)
（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日数。 所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看 作是（a,b,c）和时间t的函数。
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
d2
d1
d3
2) 各断面流速比例保持不变， Q=8L/s,即流量增加为2倍， 则各断面流速亦加至2倍。即
《水力学》课件——第三章 流体运动学
是否是接
均匀流 否
？
渐变流
流线虽不平行，但夹角较小； 流线虽有弯曲，但曲率较小。
急变流
流线间夹角较大； 流线弯曲的曲率较大。
• 渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的
划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况
来判定
急变流示意图
五. 流动按空间维数的分类
一维流动 二维流动 三维流动
• 根据流线的定
• 在非恒定流情况下，流
义，可以推断：除
线一般会随时间变化。在
非流速为零或无穷
恒定流情况下，流线不随
大处，流线不能相
时间变，流体质点将沿着
交，也不能转折。
流线走，迹线与流线重
合。
• 迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流
体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观
点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速
• 由确定的流体质点组成
的集合称为系统。系统在 运动过程中，其空间位 置、体积、形状都会随时 间变化，但与外界无质量 交换。
• 有流体流过的固定不变
的空间区域称为控制 体，其边界叫控制面。 不同的时间控制体将被 不同的系统所占据。
• 通过流场中某曲面 A 的流速通量
u nd A
A
称为流量，记为 Q ，它的物理意 义是单位时间穿过该曲面的流体 体积，所以也称为体积流量，单 位为 m3/s .
n A
dA
u
• u n d A 称为质量流量，记为Qm，单位为 kg/s . 流量计算
A
公式中，曲面 A 的法线指向应予明确，指向相反，流量将反
s s — 空间曲线坐标
元流是严格的一维流动，空间曲线坐标 s 沿着流线。
第3章流体运动学上PPT课件
3.2 描述流体运动的两种方法
3.2.1 Lagrange法
1.基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录 它们在运动过程中的各物理量及其变化
2.拉格朗日变数：（a,b,c,t）——区分流体 质点的标志
3.质点物理量：B(a,b,c,t)， 如：
pp(a,b,c,t) (a,b,c,t)
3.2 描述流体运动的两种方法
3.2 描述流体运动的两种方法
3.2.0 流体质点和空间点
•流体质点：是个物理点，它是在 两者相互关系：流场
连续介质中取出的，在几何尺寸 中空间某一点，先后由 上无限小，可以看作一点，但包 不 同 的 流 体 质 点 所 占 含许多分子，具有一定物理量。 据；流体质点物理量会
发生变化，而空间点是
•空间点：几何点，表示空间位置 不动的。
Reynolds数的物理意义：
惯性力 Re 粘性力
惯性使扰动放大，导致湍流，粘性抑制扰动使流动保持稳定。 当 Re 时，流动趋于理想流体运动。
2. 机翼绕流风洞试验
机翼绕流流场的特点：
流线(streamline)： 上翼面：流线密 下翼面：流线稀
(a) Re~1
3. 卡门涡街(Karman vortex street)
第3章 流体运动学
(Fluid Kinematics)
第3章 流体运动学
从几何的观点研究流体的运动，不 讨论运动产生的动力学原因。
ma F
rrx,y,z,t vvx,y,z,t aax,y,z,t
3.1 流动图形观察 (flow visualization)
观察几个典型流动，感受实际流动现象和特征。 圆管流动——流动状态 机翼绕流——升力、阻力 圆柱绕流——涡激振荡
流体力学 第3章流体动力学基础
第3章 流体动力学基础教学提示：流体力学是研究流体机械运动的一门学科，与理论力学中分析刚体运动的情况相似。
如研究的范围只限于流体运动的方式和状态，则属于流体运动学的范围。
如研究的范围除了流体运动的方式和状态以外，还联系到流体发生运动的条件，则属于流体动力学的范围。
前者研究流体运动的方式和速度、加速度、位移等随空间与时间的变化，后者研究引起运动的原因和流体作用力、力矩、动量和能量的方法。
如前所述，流体力学的研究方法是基于连续介质体系的，重点研究由流体质点所组成的连续介质体系运动所产生的宏观效果，而不讨论流体分子的运动。
与处于相对平衡状态下的情况不同，处于相对运动状态下的实际流体，粘滞性将发生作用。
由于流体具有易流动性和粘滞性的影响，因此流体力学的研究方法与固体力学有明显的区别。
教学要求：流体运动的形式虽然多种多样的，但从普遍规律来讲，都要服从质量守恒定律、动能定律和动量定律这些基本原理。
在本章中，我们将阐述研究流体流动的一些基本方法，讨论流体运动学方面的一些基本概念，应用质量守恒定律、牛顿第二运动定律、动量定理和动量矩定理等推导出理想流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、欧拉方程、伯努利方程、动量方程、动量矩方程等，并举例说明它们的应用。
3.1 流体运动的描述方法要研究流体运动的规律，就要建立描述流体运动的方法。
在流体力学中，表达流体的运动形态和方式有两种不同的基本方法：拉格朗日法和欧拉法。
3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法是瑞士科学家欧拉首先提出的，法国科学家J. L.拉格朗日作了独立的、完整的表述和具体运用。
该方法着眼于流体内部各质点的运动情况，描述流体的运动形态。
按照这个方法，在连续的流体运动中，任意流体质点的空间位置，将是质点的起始坐标),,(c b a (即当时间t 等于起始值0t 时的坐标)以及时间t 的单值连续函数。
若以r 代表任意选择的质点在任意时间t 的矢径，则： ),,,(t c b a r r = (3-1) 式中，r 在x 、y 、z 轴上的投影为x 、y 、z ；a 、b 、c 称为拉格朗日变量。
流体力学-知识点
第一章 流体的基本概念质量力：f X i Yj Z k =++表面力：0lim =limA A P T p AAτ∆→∆→∆∆=∆∆/w w g s γργγρρ== =/体积压缩系数：111dV d V dpdp Kρβρ=-==温度膨胀系数： 11dV d V dTdTραρ==-pRT ρ= =du du T Adydyμμτμνρ= =第二章 流体静力学欧拉平衡微分方程：()dp Xdx Ydy Zdz ρ=++0p p h γ=+ vv a v p p p p p h γ'=-=-=12sin A p l Kl A γα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭匀加速水平直线运动中液体的平衡：0arctan s a a ap p x z ax gz C z x g g g γα⎛⎫⎛⎫=+--+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=匀角速度旋转运动容器中液体的平衡：2222220222s r r rp p z z C z g g g ωωωγ⎛⎫=+--== ⎪⎝⎭静止液体作用于平面壁上的总压力：1．解析法：C c c D C C J P h A p A y y y Aγ===+2．图解法：静水总压力大小等于压强分布图的体积，其作用线通过压强分布图的形心，该作用线与受压面的交点即是压力中心D 。
第三章 流体运动学基础欧拉法：速度为()()(),,,,,,,,,x x y y z z u u x y z t u u x y z t u u x y z t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩加速度为x x x x x xx y z y y y y y y x y z z z z z zz x y zdu u u u u a u u u dt t x y zdu u u u u a u u u dt t x y z du u u u u a u u u dt t x y z ∂∂∂∂⎧==+++⎪∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪==+++⎨∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂==+++⎪∂∂∂∂⎩()u a u u t ∂=+⨯∇∂0utu t⎧∂≠⎪⎪∂⎨∂⎪=⎪∂⎩非恒定流： 恒定流： ()()u u u u ⎧⨯∇≠⎪⎨⨯∇=⎪⎩非均匀流： 均匀流： 流线微分方程：xyzdx dy dz u u u ==迹线微分方程：xyzdx dy dz dt u u u ===流体微团运动分解：1．亥姆霍兹（Helmhotz ）速度分解定理 2．微团运动分解 （1）平移运动（2）线变形运动 线变形速度：x xy y z z u xu y u z θθθ∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩（3）角变形运动 角变形速度： 121212yz x x z y y x z u u y z u u z x u u x y εεε⎧∂⎛⎫∂=+⎪⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂∂⎪⎛⎫=+⎨ ⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂⎛⎫∂⎪=+⎪∂∂⎪⎝⎭⎩ （4）旋转运动 旋转角速度： 121212yz x x z y y x z u u y z u u z x u u x y εεε⎧∂⎛⎫∂=-⎪⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂∂⎪⎛⎫=-⎨ ⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂⎛⎫∂⎪=-⎪∂∂⎪⎝⎭⎩3．有旋运动与无旋运动定义涡量：2xyzij k u xy z u u u ω∂∂∂Ω==∇⨯=∂∂∂有旋流：0Ω≠ 无旋流：0Ω= 即y z x z y xu u y z u u z x u u xy ∂⎧∂=⎪∂∂⎪⎪∂∂=⎨∂∂⎪∂⎪∂=⎪∂∂⎩ 或 000x y z ωωω⎧=⎪=⎨⎪=⎩平面无旋运动：1．速度势函数（简称势函数）(),,x y z ϕ （1）存在条件：不可压缩无旋流。
流体动力学基础
u2 2 g gdQ
h d Q
f A2
（1）势能积分
p p p z gdQ z gQ z g gdQ g g
（2）动能积分
u2 u2 1 v 3 v 2 3 2 g gdQ 2 g gudA 2 g g u dA 2 g gA 2 g gQ
dp p p p dx dy dz x y z
ux dux uyduy uzduz
四式联合
2 2 ux uy uz2 u2 d( ) d( ) ux dux uy duy uz duz 2 2
u2 dW dp d( ) 2 1
u2 dW dp d( ) 2 1
Rh
A X
7.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
1
8. 总流——截面积有限大的流束。 如河流、水渠、水管中的水流及风管中的气流都是总流。 总流分类： （1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束，即流体充满流道，如压 力水管中的流动。 （2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另一部分与气体接触， 形成自由液面，如明渠中的流动。 （3）射流 总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴出口的流动。
质量力只有重力 X
积分
u2 W c 2 p
W gdz gz c1
Y o, Z g
p
u2 z c0 2g
对于同流线上的任意两点1和2，则上式写成
2 u12 p2 u 2 z1 z2 2g 2g
p1
理想流体 流线上的 伯努利方 程
水力学：第三章 流体动力学理论基础
若过水断面为渐变流，则在断面上 得
g
积分可
p
(z
p
Q
g
) gdQ ( z
p
g
) g dQ ( z
u x t p t 0 u y t 0 t u z
非恒定流：流场中任何点上有任何一个运动要素是随 时间而变化的。
6
二、 迹线与流线
拉格朗日法研究个别流体质点在不同时刻的运动情况 ，引出了迹线的概念。 欧拉法考察同一时刻流体质点在不同空间位置的运动 情况引出了流线的概念。
u x x
t
0
0
u y y
常数
u z z 0
22
二、 恒定不可压缩总流的连续性方程
液流的连续性方程是质量守恒定律的一种特殊方式。 取恒定流中微小流束如图所示: 因液体为不可压缩的连续介质，有
1 2
根据质量守恒定律在dt时段内
流入的质量应与流出的质量
）于1738年首先推导出来的。
28
二、实际流体恒定元流的能量方程
理想流体没有粘滞性无须克服内摩擦力而消耗能量，
其机械能保持不变。
对实际流体，令单位重量流体从断面1-1流至断面2-2
所失的能量为
hw
'
。则1-1断面和2-2断面能量方程为：
p1
z1
g
u1
2
2g
z2
p2
g
u2
2
2g
hw
相等。
u 1 dA 1 dt u 2 dA 2 dt u 1 dA 1 u 2 dA 2
第三章流体运动学与动力学基础主要内容基本概念欧拉运动微分方程
第三章流体运动学与动力学基础主要内容z基本概念z欧拉运动微分方程z连续性方程——质量守恒*z伯努利方程——能量守恒** 重点z动量方程——动量守恒** 难点z方程的应用第一节研究流体运动的两种方法z流体质点：物理点。
是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。
z空间点：几何点，表示空间位置。
流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x，y，z）上，具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。
拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。
一、拉格朗日法（跟踪法、质点法）Lagrangian method1、定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。
2、拉格朗日变数：取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置为（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
3、方程：设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z) ，则：x = x(a,b,c,t)y = y(a,b,c,t)z = z(a,b,c,t)4、适用情况：流体的振动和波动问题。
5、优点：可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。
缺点：不便于研究整个流场的特性。
二、欧拉法（站岗法、流场法）Eulerian method1、定义：以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。
2、欧拉变数：空间坐标（x ，y ，z ）称为欧拉变数。
3、方程：因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。
位置： x = x(x,y,z,t) y = y(x,y,z,t) z = z(x,y,z,t) 速度： u x =u x （x,y,z,t ） u y =u y （x,y,z,t ） u z =u z （x,y,z,t ）同理： p =p （x,y,z,t ） ，ρ=ρ(x,y,z,t) 说明： x 、y 、z 也是时间t 的函数。
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式中Cd为流量系数，通过实验测定。
有一贮水装置如所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压 强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中 流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径 d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。
【解】当阀门关闭时，根据 压强计的读数，应用流体静 力学基本,方程求出Ｈ值
（d）沿流程流量保持不变(qv1= qv2 =qv3) ； （e）所选用的过流断面必须是缓变过流断面。
测压管
BA Z
测速管 （皮托管）
V Z
一端垂直向上，这时
测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高h。这是由于
当液流流到测速管入口前的A点处，液流受到阻挡，流
图 3-16 总水头线和静水头线
实际流体总流的伯努利方程式
1)实际流体总流的伯努利方程式
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hf
2)实际流体总流的伯努利方程的适用条件
（a）不可压缩流体（ = constant）；
（b）恒定流动（ u w 0 ）；
t t t
（c）只在重力作用之下（质量力只有重力）；
Hg gh p1 gh1
p1 Hg gh gh1
p1
g
Hg
h h1
13.6 0.2 0.72
2
列1-1和2-2断面的伯努利方程
z1
p1
g
V12 2g
z2
p2
g
V22 2g
由连续性方程：
V1
V2
d2 d1
2
将已知数据代入上式，得
20 2 1 V22 15 0 V22
g 2g
g
h pA pB V 2
g g 2g
v 2 pA pB 2gh
只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h，就可 以确定流体的流动速度。
由于流体的特性，以及皮托管本身对流动的干扰，实 际流速比计算出的要小，因此，实际流速为
V 2gh
式中 ψ—流速修正系数，一般由实验确定， ψ =0.97。
如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量 出气柱差来，必须把两根管子连接到一个Ｕ形差压计上， 从差压计上的液面差来求得流速，如图所示，则
pA pB h液g(液 )
V
2g
液
h液
2gh液
液
1
考虑到实际情况，
V
2gh液
液
1
文特里(Venturi)流量计
文特里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主 要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成。它是利用收 缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用Ｕ形管 差压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体积流量。
称为理想流体微元流束的伯努利方程。
该方程的适用范围:理想不可压缩均质流体在重力作用下作 定常流动，并沿同一流线（或微元流束）。
若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点，则：
z1
p1
g
V1 2 2g
z2
p2
g
V2 2 2g
在特殊情况下，绝对静止流体V=0，可以得到静力学基本方程
z p 常数
g
qV
4
d 2V2
0.785 0.122 20.78 0.235
水流通过如所示管路流入大气，已知：Ｕ形测压管中水
银柱高差Δh=0.2m，h1=0.72m H2O，管径d1=0.1m， 管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管 中流量qv。
【解】 首先计算1-1断面管路中 心的压强。因为A-B为等压面，列 等压面方程得：
理想流体运动微分方程式
X 1 p dvx
x dt
Y 1 p dvy
y dt
Z 1 p dvz
z dt
a x
v x t
vx x
dx vx dt y
dy vx dt z
dz dt
a y
v y t
v y x
dx v y dt y
dy v y dt z
dz dt
a
z
v z t
16 2g
2g
v2 12.1m / s
管中流量
qV
4
d 22V2
0.052 12.1 0.024
4
§3.7 动量方程及其应用
在许多工程实际问题中，可以不必考虑流体内部 的详细流动过程，而只需求解流体边界上流体与固体 的相互作用，这时常常应用动量定理直接求解显得十 分方便。例如求弯管中流动的流体对弯管的作用力， 以及计算射流冲击力等。由于不需要了解流体内部的 流动型式，所以不论对理想流体还是实际流体，可压 缩流体还是不可压缩流体，动量定理都能适用。
速变为零，则在测速管入口形成一个驻点A。驻点A的压
强PA称为全压，在入口前同一水平流线未受扰动处（例 如B点）的液体压强为 PB，速度为V。应用伯努利方程 于同一流线上的Ｂ、Ａ两点，则有
z
pB
V2
z
pA
0
g 2g
g
h pA pB V 2
g g 2g
则
v 2 pA pB 2gh
z pB V 2 z pA 0
V2
2g(液 )h液 [1 ( A2 / A1)2 ]
上式表明，若ρ液， ρ ，A2，A1已知，只要测量出h液，就 可以确定流体的速度。流量为：
qV
A2V2
4
d
2 2
考虑到实际情况
2g(液 )h液 [1 ( A2 / A1)2 ]
qV实
Cd qV
Cd
4
d
2 2
2g(液 )h液 [1 ( A2 / A1)2 ]
以文特里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截面1-
1，2-2的伯努利方程 0 p1 V12 0 p2 V22
g 2g
g 2g
由一维流动连续性方程
所以：V2
2( p1 p2 )
[1 ( A2 / A1)2 ]
V1
A2 A1
V2
p1 p2 (液 )gh液
V2
2g(液 )h液 [1 ( A2 / A1)2 ]
vz dx vz x dt y
dy vz dt z
dz dt
或 a v (v )v
t
用向量表达： F 1 gradp dv (v)v
dt
理想（欧拉）流体运动微分方程式
适用范围：可压缩、不可压缩流体
当dv/dt＝0时即为流体平衡微分方程。
gz
p V2
常数
2
z
p
V2
常数
g 2g
pa gH pa 2.8 pa
则
H 2.8 pa
g
2.8 98060 9806
28(mH 2O)
当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程
H pa 0 0 pa 0.6 pa V22
g
g
2g
0.6 pa
0.6 98000
v2 2g(H g ) 29.8 (2.8 9800 ) 20.78m / s