关于欧拉方程变量代换后系数递推关系的一点总结

关于欧拉方程变量代换后系数递推关系的一点总结
光信1104 李号
)
(0'
1)
1(1
1)
(x f y a xy a y
x
a y
x a n n n n n
n =++++--- 程我们知道，对于欧拉方
不全为0
,,,(32n a a a 可以通过变量代换x t e x t ln ==或化简。

本文主要介绍如何用
低阶导数来表示高阶导数以及线性表示时的系数递推关系。

先用一个例子来说明我们要探讨的问题。

已知：'
''''2'3
3
22
,,,,,,xy y x xy dt
y d dt y d dt dy e x t
求=（此处均为对x 的导数）。

显然，由x dx
dt x t e x t 1,ln =
==则可知
dt
dy xy dt
dy x
dx
dt dt
dy dx
dy y =
⇒⋅
=
⋅
=
=
'
'
1 dt dy dt y d y x dt dy dt y d x dx dt dt y d x dt dy x dt dy x dx d
dx dy dx d dx y d y -=⇒-=⋅⋅+⋅-=⋅===
2
2
'
'22222222
2
'
')(111)1()()1
1(1
)(
2)](
1
[
)(2
2
3322
2
3
2
2
2
22
'
''x dt y d x dt y d x dt dy dt
y d x
dt
dy dt y d x dx d
dx
y d dx d y
⋅-⋅+--
=-
=
= dt
dy dt
y d dt
y d y
x dt
dy dt
y d dt
y d x
2
3)23(
122
3
3
'
''322
3
33+-=
⇒+-=
同理可求出dt
dy dt
y d dt
y d dt
y d y
x 6
11
6
2
2
3
3
4
4
)
4(4
-+-=
我们把系数提出，如下排列： n=1 1 n=2 1 -1
n=3 1 -3 2
n=4 1 -6 11 -6
为了方便讨论，我们作出以下两点规定： i)
用“m
n B ”表示第n 排第m 列的数（显然m n ≥）；
ii) !n -!n 1-)!1()!1()
1(n
1
）（）即（=-=---n n n
由上文中的迭代求导不难得出下面三点规律：
i) 11
=n B ；
ii) 1
1)1(---=n n n n B n B ;
iii) ()1)1(1
11+≥-+=---m n B n B B m n m n m n
该规律可用数学归纳法归纳得出，限于篇幅，此处省去不证。

显然，只要找出了m n B 的通式，就可以表达出)(n n y x 。

dt
dy B dt
y
d
B
dt
y d B
y x n
n
n n n
n
n
n
n n
+++=-- 1
1
21)
(。

为求m n B ，我们有两条路出发。

一是由“11=n B ”着手，另一个是由n
n B 着手。

注意到m n B 既与m n B 1-有关，也与11
--m n B 有关，我们选择从n n B 着手。

后面我们会看到，带入数字“1”计算会因为讨论n 的取值而使得表达式无法统一。

由11
)1(---=n n n n B n B 可知： )!1()1()2)(1()2)(1()1(1
11111n B n n B n n B n B n n n n n n -=---==--=-=----
)!1(n B n n -=∴
显然我们可以把平行于主对角线的数看成一组数列。

取m=n-1，则：
2
1
111
)1(------+=n n n n n n
B n B B 12
2
2332
211)2)(3()2)(1()3()2)(1()2)(1()1(B
n n B n n B n n B n B n n n n n n ----+---++--+-+=------
1
)!1(2
)!1(3)!1(2)!1(1)!1(--+
--+
+--+
--+
--=n n n
n n
n n
n
∑
=--=n
i i
n 2
)11()!1(
取m=n-2，则
3
1212
)1(------+=n n n n n n
B n B B
1
3
2
34
33
22
1)3()2)(1()4()2)(1()2)(1()1(B n n B n n B n n B n B n n n n n n ---+---++--+-+=------ ∑∑∑∑==-=-=---+
---+
+---+
---=
2
2
3
2
1
2
22
11
2
)!1(113
)!1(112)!1(11
1)!1(i i n i n i i n i n i n
n i n
n
∑∑-==---=1
2
3
)]11
11(
[)!1(j i n
j i j
n
故由数学归纳法可求出∑∑∑
--=---=+-=---=1
1
1
2
1
112231)]}(11
[
11
{
)!
1(a m n a a m n a n
m n a m n
a a n B
现在我们再从“11
=n B ”入手，看看会有什么情况。

11
=n B
n B B n B B n n n n -+=-+=---1)1(2
11
12
12
2
212)2()2()1(B B n n +-++-+-== 2
)
1()1321(n n n -=-+++-=
2
13
13
)1(---+=n n n B n B B
3
3232221)3()2()1(B B B n B n n n +-++-+-=--
3
32
2
2
2
)
41(42
)
2)(1(2
)
1(B n n n n +-+
+--+
-=
可以看出求2n B 是需要22B 的值，求3n B 时需要33B 的值而且还要用立方和与平方和公式。

当m 较大时，需要m
m B 的值以及m 次方和与m-1次方和的公式。

更重要的是，具体化m 后，表达式无法统一！ 因此可以看出，成列分布并不是该数组的真正特性，而平行于主对角线的分布才能使该数组统一。

原式可化为D(D-1)(D-2)(D-3)…(D-i+1) D^n=d^ny/dx^n。