偏导数与全微分习题
高等数学偏导数部分的知识点及习题
= 。
−
例1、设 = ⅇ , sin
ⅆ
，具有连续导数，求 。
ⅆ
例2、设 = 2 − 2 , sin ，求 ， 。
例3、设 =
例4、设 =
, ⅇ− , 2
+ 3
，f具有连续导数，求 ， 。
方向导数的计算
= cos + cos ，，分别为与x轴y轴的正向相交的夹角。
例1、求 = ⅇ2 在点 1,0 处从点 1,0 到 2, −1 的方向导数。
推广：在(, , )中，
=
例2、已知两点 1,1,1 ， 5,7,3 ，求 =
量方向的方向导数。
cos 2
1
+
cos
1
2
+
cos
6 2 + 8 2 在P点沿向
五、梯度
定义函数 = , 在点 , 的梯度，记为graⅆ , = ∇ , = Ԧ + Ԧ。
性质：
1、梯度是一个向量。
2、沿梯度方向的导数达到最大。
2、 = , ，其中 = , , ， = , , 。
=
+
=
+
=
+
3、 = f , ，其中 = ， = 。
=
⋅
+
第三节偏导数与全微分
dz = z′ dx + z′ dy x y
= [2(sin xy )(cos xy ) y + y ]dx
2
+ [2(sin xy )(cos xy ) x + 2 yx ]dy .
2.偏导数 设有函数 z = f ( x , y ), 如果极限 偏导数
f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y0 ) lim = lim0 ∆y → ∆y → 0 ∆ y ∆y
∆ yz
存在, 存在 则称此极限为 f ( x , y )在点
( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数 的偏导数.
第三节 偏导数与全微分
一.二元函数的偏导数 二元函数的偏导数 1.改变量 改变量
全改 变量 偏改 变量 偏改 变量
x : x 0 → x 0 + ∆x
y : y 0 → y 0 + ∆y
∆ z = f ( x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 )
∆ x z = f ( x 0 + ∆x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 )
+ x ln x
y
f x′ (1,2) = 2e 2 + 2 f y′ (1,2) = e 2 .
y ∂z ∂z 例3 设 z = arctan x , 求证 x + y = 0. ∂x ∂y
证
∂z = ∂x
y y (− 2 ) = − 2 2 y 2 x +y x 1+ ( ) x ∂z 1 x 1 = ( ) = 2 y 2 x ∂y x + y2 1+ ( ) x y x ∂z ∂z x ) + y( 2 ) = 0. +y = x(− 2 2 2 x +y x +y ∂x ∂y
多元函数微积分学 6.3偏导数与全微分
=1+ 2×0.04 + 0×0.02 =1.08.
24
2. 全微分的运算公式 设二元函数 u(x,y) , v(x,y) 均可微 , 则 ((v(x,y) ≠0)), 也可微 且 也可微,
d( ku)
(k为常数 为常数), 为常数
(k为常数), (k为常数), 为常数
= du ± dv, = vdu + udv,
26
f (x, y),
处连续. 即 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处连续
17
定理4 (充分条件) 若函数
∂z ∂z 的偏导数 , ∂x ∂y 在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分 点 续 则函数在该点可微分. 证 ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
∂u =− sin( x2 − y2 − ez ) ⋅ (−2 y) = 2 y sin( x2 − y2 − ez ) ∂y
∂z 2 2 z z z 2 2 z u = −sin( x − y − e ) ⋅ (−e ) = e sin( x − y − e ) ∂z
10
2. 二元函数偏导数的几何意义
∂f ; z′ x ∂ x (x0 , y0 )
( x0 , y0 )
;
f1′(x0, y0 ) .
2
同样可定义对 y 的偏导数
f (x0, y0 + ∆y ) − f (x0, y0 ) f y′(x0, y0 ) = lim ∆ y→0 ∆y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数 也简称为 则该偏导数称为偏导函数 偏导函数, 偏导数 , 记为
D8.2偏导数与全微分
即 函数zz = ff(x(,xy) 在点x, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微 (2) 偏导数连续
偏导数存在 函数可微
高等数学
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21
定理 (必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
求 fxy (0,0) , f yx (0,0) .
解：
fx (x, y)
f y (x, y)
y
x4
4x2 (x2
y2 y2 )2
y4
,
0,
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0 x2 y2 0 x2 y2 0
高等数学
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分子与分母的商 !
？ z
x
xy y z
y (
z y2
)
1 x
z 1 xy
高等数学
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8
二、二元函数偏导数的几何意义
z
f x
x x0 yy0
d dx
f (x, y0 )
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
24
z
fx (x, y)x f y (x, y)y x y
lim
x0
y 0
0,
lim
x0
y 0
0
注意到
偏导数与全微分
偏改 变量
y z f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
2.偏导数 设有函数 z f (x, y), 如果极限
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x x0
x0
x
存在,则称此极限值为f (x, y)在点
z x (1, 2)
z x1 1 3y y2
z y (1, 2)
例2 已知 f ( x, y) e xy x y , 求 f x( x, y), f y( x, y), f x(1,2), f y(1,2).
解 f x( x, y) ye xy yx y1 f y( x, y) xe xy x y ln x
zy
xe x y ( x 1) 1 1 y
zy (1.0) e 2
dz 2edx (e 2)dy. (1,0)
定理8.2 如果函数 f (x, y) 在点P(x, y)及其邻域 内有连续的偏导数 f x( x, y)和 f y( x, y), 则该函数在点 P(x, y) 处可微.
(3)关系 函数 f (x, y)在 ( x0 , y0 )处的偏导数等于
偏导函数在( x0 , y0 ) 处的函数值.
(4)偏导函数求法 对 x 求偏导把 y 看作常数,
对 y 求偏导把 x 看作常数,
原
按一元函数求导法则求.
始
法 则
重要注意事项
二元函数偏导数的几何意义:
z
f x
x x0 yy0
z z f (x, y)
.P
.O
y0
x0
T2
y
7.3偏导数与全微分
1. 偏导数连续
2.全微分的定义可推广到三元及三元以上函数. 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数. 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂y ∂x ∂z
y 例 求 u = x + sin + e yz 的全微分. 2 1 y yz yz key : d u = dx + ( cos + ze )dy + ye dz. 2 2
§7.3 偏导数与全微分
1.定义 设函数 z = f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内的极限
∆x 的偏导数， 存在, 存在 则称此极限为 z = f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 对 x的偏导数， ∂f ′ 记为 f x ( x0 , y0 ) ; ; f1′( x0 , y0 ). ∂ x ( x0 , y0 )
x0 + ∆x x0
类似可定义对 y 的偏导数
f ( x0 , y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 ) ′ f y ( x0 , y0 )= lim ∆ y→0 ∆y
∂f ; f2′( x0 , y0 ). ∂ y ( x0 , y0 )
′ 记为 f y ( x0 , y0 ) ;
注： 函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 若 则该偏导数称为偏导函数 偏导函数. 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数 记为
Tx
y0
Ty
o
x
y
x0
d = f ( x0 , y) dy y = y0
z = f ( x, y) 在点M 在点 0 处的切线 M0Ty 对 y 的 是曲线 x = x0 斜率. 斜率
第一节 偏导数与全微分
第一节偏导数与全微分一、单项选择题()()()()()00001.lim 11.0 . . .222.,,. . . .3.,x y A B C D z z z f x y x y x y A B C D f x y →→=-+∞∂∂=∂∂函数在点处的两个偏导数和存在是它在该点处可微的充分条件必要条件充要条件无关条件关于函数()()()()()()()()()222222, 00, 0.,0,0 .0,00.0,00 .,0,04.,1tan x y xy x y x y x y A f x y B f C f D f x y f x y xy x ⎧⎫+≠⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪+=⎩⎭===+-下列表述错误的是在点处连续在点处不可微设函数则()()()()22221,0.0 .1 .2 .5.3,.6 .6 .3 .36.sin ,.2sin .cos y f A B C D z z x y y A y B xy C x D x z z x y x y xA xy yB x x y =∂==∂∂=+=∂++不存在设函数则设二元函数则()2222222.2sin .sin 7.1.1 .2 . .C xy x y D x y yz z z x y A B C x y D x y ++⎛⎫∂∂⎛⎫=+= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭++设二元函数则()()()()()20,1228.,|.0 .1 .2 .1,9.,,.2 .2 .2 .221x yz z xy e x A B C D f x y f xy x y x y x A B x C y D x y ∂=+=∂-∂-=+=∂+设函数则已知则()()()()()()()()331,12222220.ln ,|1. .33. .22 0,11.,0, z x y dz A dx dy B dx dy C dx dy D dx dy x y x y z f x y x y =+=++++++≠==+设则设()()()()()()()()()()0,(,)0,0;0,00,0,,,0,0 ,0,0.1 .2 .3 .412.,,lim x y x y f x y f f f x y f x y f x y A B C D f x y a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪=⎩⎭''''则下列四个结论中，①在处连续②，存在；③在处连续；④在处可微.正确结论的个数为设在点处有偏导数，则()()()()()()()()()02222,,.0 .2, ., .,13.=ln ,32,232.ln 32+ .ln 332h x x y f a h b f a h b hA B f a b C f a b D f a b x z z u v u v x y y x x x x A x y B x y x y y y →+--=∂==-=∂--设函数而则()()()()()()2222222232+ 322.ln 32+ .ln 32+3232x y x y yx x x x C x y D x y y x y y y x y y ------二、填空题()()()()()()()2221021.,ln ,1,1 .22.,4,, .23.,lim , .ln 34., .5.3, y x y x y x y y x f x y y f y f x y e xye f x y x y f x y f x y x y z x dz z x y dz --→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭+==+==--===+=设则已知函数则函数设则设则设函数则()()()()()()()()2221,1320 .6.,sin ,, .7., .8.1,| .9.2,sin ,,| .110.x y y t t f x y xy df x y z z f x y e y z z xy y du u x y xy x t y e dt f x z f xy yf x y x ===⎛⎫∂=+= ⎪ ⎪∂⎝⎭∂=+=∂=++===''=++设则设可微，则已知则设则设连续，2, .z x y∂=∂∂则2211., .12.ln = .x yz z e x yz z x y ∂==∂∂∂=∂∂设则设则二、计算题()()()2222220022222ln 1.,0,,2.arcsin .413.lim sin 4.sin ,,,.5.ln 6.,x y xxy y f x y x y x f x y x x y z x y x y z z z z x y ye x x x y z z z x y x yz z y x y→→⎛⎫+=-≠ ⎪⎝⎭+=+++∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂=∂∂设求求函数计算极限设函数求设求已知求()()()()()()()2222327.,.8.2sin 2323,,,.9.,,sin ,10.,,,00.11.,,,,.12.x x y x xy z z e dz z z x y z x y x z f x y x ydz z f x e x dxu f x y z y y x z z x e y e xz du dxy z z z z x f xy f x y y x y +=∂∂+-=+-=+∂∂====-=-=∂∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂∂⎝⎭设求设确定了函数求求设有连续偏导数和分别由方程和所确定，求设具有连续的二阶偏导数，求设()()()()()()()()()222222,cos ,sin ,,,.13.0+0.10;210,11,z z z u v uv u x y v x y x yz z f u z f x y f u f u uf f f u ∂∂=-==∂∂∂∂=+=∂∂'''+='==而求设函数在，∞内具有二阶导数，且满足等式验证若求函数的表达式.四、证明题()()()()()()()()()2221.,,.2.,,,0,.3.,,0.4.1ln ,x f f f x y x y x y x y x yz z z x y xy xf z y z xf z y z x z y f z x y z z z z z x y F x y x y z xy y x x yy z z xf x y x f x x x ϕϕϕ∂∂-+=-+=+∂∂∂∂''=++≠-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂∂⎛⎫∂∂++=+=- ⎪∂∂⎝⎭∂⎛⎫=+- ⎪∂⎝⎭证明设是的函数且证明：设函数由方程所确定，证明：设其中是任意的二次可微函数，求证：()22221.z y x y y ∂-=+∂。
全微分
例3.计算
的近似值.
y f ( x , y ) x ,则 解: 设
f x ( x, y ) y x
y 1
y x ln x f ( x , y ) , y
取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02 则 1.042.02 f (1.04, 2.02 ) f (1 0.04, 2 0.02 )
令 y 0,
Ax o ( x )
x x
x
z xz lim A x x 0 x z B. 同理可证 y
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注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 ! 反例: 函数 f ( x, y ) 易知 fx(0,0)= fy(0,0)=0 我们已知道函数f(x,y)在(0,0)处不连续,则当然不可微.
§9.2内容回顾
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在 • 混合偏导数连续 2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法 函数在此点连续 与求导顺序无关 先代后求再代，如P69 4 先求后代 利用定义 公式法 逐次求导法、
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
d z f x ( x, y )d x f y ( x, y )d y
2. 重要关系:
函数连续
z | x | | y |
z f ( x, y ) z | x | | y | z f ( x, y )
函数可导
函数可微 (反例略) 偏导数连续 3. 微分在近似计算中的应用(略)
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多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使二元函数222(,)xy f x y x y=+在全平面连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BB. C.xD.18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，则极限00lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，而r =()f r 具有二阶连续导数，则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数221z x y =--的极大值点是 （ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A)14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x yx y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ） （A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ∂∂=∂∂+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=∂∂∂y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim（D ）()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。
6.4 全微分-习题
1．求当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时，函数23z x y =的全微分及全增量的值。
【解】⑴求全微分【解法一】由偏导数入手由23z x y =得32x z xy =，223y z x y =，所以3(2,1)22(1)4x z -=⨯⨯-=-，22(2,1)32(1)12y z -=⨯⨯-=，于是得函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分为40.0212(0.01)0.20dz =-⨯+⨯-=-。
【解法二】由微分入手对23z x y =在等号两边求微分，得32223dz xy dx x y dy =+， 代入2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-，得32222(1)0.0232(1)(0.01)dz =⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯-0.20=-。
⑵求全增量由全增量公式(,)(,)z z x x y y z x y ∆=+∆+∆-得函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全增量为(2.02, 1.01)(2,1)z z z ∆=---23232.02)( 1.01)(2)(1)=---(4.0804( 1.030301)4(1)=⨯--⨯- 4.20404020044=-+0.2040402004=-0.20404-2．求下列各函数的全微分： ⑴ln(xyz e x y =++）；【解法一】先求偏导数，得1xyx z ye x y =++，1xyy z xe x y=++， 于是得 x y dz z dx z dy =+11()()xyxy ye dx xe dy x y x y=+++++。
【解法二】直接微分，得1()(xydz e ydx xdy dx dy x y=++++） 整理得 11()()xyxy dz ye dx xe dy x y x y=+++++ ⑵sin(z xy =）；【解法一】先求偏导数，得cos()x z xy y =⋅，cos()y z xy x =⋅，于是得 x y dz z dx z dy =+cos()cos()y xy dx x xy dy =+cos()()xy ydx xdy =+。
多元函数微分学偏导数与全微分
fx 1
x x2 y2
fy 1
y x2 y2
f y (0,2)
fx (0,1) 1, f y (0,2) 0
例2. u zxy 求偏导数
u x
z xy (ln
z) y
u y
z xy (ln z)x
u xyz xy1
z
例3.
f
(x,
y)
求 2z , 2z
yx xy
z x
1
1 ( y )2
(
y x2
)
y , x2 y2
x
z y
1 1 ( y)2
1 x
x x2
y2
,
x
2z yx
y2 x2 (x2 y2)2
2z xy
例6. z x3 y2 3xy3 xy 1
x2
y2 z2
,
u z
3xy2 z 2
sin
x2 y2 z2
2xy2 (x2
y2 ) cos
x2
z2
y2
2.
z
x sin
y x
cos
y x
,求
2z y 2
,
2z xy
z cos y 1 sin y ,
y
xx x
2z y 2
1 x
sin
y x
求 2z , 2z , 2z , 2z , 3z
x2 yx xy y 2 x3
z 3x2 y2 3y3 y, z 2x3 y 9xy2 x
偏导数
( x , y )处 可微分,A∆x + B∆y称为函数 z = f ( x , y ) 可微分, 在点( x , y ) 处的 全微分.记作 dz, 即 全微分. dz = A∆x + B∆y.
y z = ln tan x
y z
的偏导数. 的偏导数
例 求 u=x
( x > 0) 的偏导数 的偏导数.
7
偏导数与全微分
例 求f ( x , y, z ) = ( z − a xy ) sin ln x 2 在点 在点(1,0,2)处的 处的 三个偏导数. 三个偏导数 解 f x (1,0,2) = [sin ln x ]′ x =1
∆ x z = f ( x 0 + ∆x , y0 ) − f ( x 0 , y 0 )
如果极限 f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) ∆ xz lim = lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x 存在, 存在 则称此极限为函数 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 )处 的偏导数, 对x的偏导数 记为 的偏导数
混合偏导 高阶偏导数. 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数.
13
偏导数与全微分
求z = x 3 y 2 + xy 的四个二阶偏导数 例 的四个二阶偏导数. ∂z ∂ 2z 解 = 3 x 2 y 2 + y, = 6 xy 2 , ∂x ∂x 2 ∂ 2z = 6 x 2 y + 1; ∂x∂y ∂z ∂ 2z = 2 x 3 y + x, = 2 x3 , ∂y ∂y 2 ∂ 2z = 6 x 2 y + 1. ∂y∂x
8.2 偏导数与全微分
类似地，可以定义函数z=f(x,y)在区域D内对自变 量y的偏导函数为
f ( x, y + ∆y) − f ( x, y) lim ∆y→0 ∆y
∂z ∂f 记作 , , f y ( x, y)或zy ( x, y) ∂y ∂y
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 u = f ( x, y, z ) 在 ( x, y, z ) 处
= 2×1 + 3× 2 = 8 , = 3×1 + 2× 2 = 7 .
x =1 y= 2
问题： 问题：计算偏导数 f x ( x0 , y0 )时能否将 y = y0 先代入
f ( x, y ) 中再对 求导？ 中再对x求导 求导？
分析： 分析：
f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0, y0 ) f x (x0, y0 )= lim ∆x→0 ∆x
是曲线 斜率. 斜率 在点M 在点 0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的
例4
xy , x2 + y2 ≠ 0, 2 f ( x, y) = x + y2 0, x2 + y2 = 0 ，
设
求f(x,y)在原点(0,0)处的偏导数. 解 原点(0,0)处对x的偏导数为
f (0 + ∆x,0) − f (0,0) fx (0,0) = lim ∆x→0 ∆x (∆x) ⋅ 0 −0 2 (∆x) + 0 = lim = lim0 = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x
内这两个二阶混合偏导数必相等． 内这两个二阶混合偏导数必相等 ． 元函数的高阶混合导数也成立. 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立
例如, 例如 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 连续时, 在点 (x , y , z) 连续时 有
大一高等数学第八章第二节偏导数与全微分
f ( x x , y ) f ( x , y ) A x o(| x |),
f ( x x , y ) f ( x , y ) z lim A , x 0 x x
2 3
2
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形 偏 导 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
导二 函阶 数混 图合 形偏
例 6 设u e ax cos by ，求二阶偏导数.
解
u aeax cos by, x
u beax sinby; y
( y | y |)
2
| y| 2 . 2 x y
z y
1 x 1 2 x y2
2
x x2 y2 y
x2 y2 ( xy ) 2 2 3 | y| (x y )
( y 0)
x 1 2 sgn 2 x y y
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续.
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
0
x 0 y 0
lim f ( x x , y y ) lim[ f ( x , y ) z ]
p V T RT R V RT 1. 2 V T p pV p R V
有关偏导数的几点说明：
u １、 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；
例如, 设z f ( x , y ) xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
7.2偏导数与全微分
其中：∆1Q1 = Q1 ( p1 + ∆p1 , p2 ) − Q1 ( p1 , p2 )
18
p2发生变化，而 p1 不变时
∆ 2Q1 / Q1 p2 ∂Q1 ∂ ln Q1 E12 = lim = = ∆p2 → 0 ∆p / p Q1∂p2 ∂ ln p2 2 2 ∆ 2Q2 / Q2 p2 ∂Q2 ∂ ln Q2 E22 = lim = = ∆p1 → 0 ∆p / p Q2 ∂p2 ∂ ln p2 2 2
∂x
∂z 只要把x暂时看作常量而对 求导数。 暂时看作常量而对y求导数 求 时，只要把 暂时看作常量而对 求导数。 ∂y
8
例 1求
f ( x, y ) = x + 3 xy + y 在点(1,2)处的偏导数。
2 2
解 Q
f x ( x, y ) = 2 x + 3 y
f y ( x, y ) = 3 x + 2 y
∴ f x (1, 2) = (2 x + 3 y )
x =1 y=2
=8
f y (1, 2) = (3 x + 2 y )
x =1 y=2
=7
9
例2 求
z = x + sin 2 y
2
的偏导数。
解：
z x = ( x )′ = 2 x
2
zy = (sin2y)′ = cos2y ⋅ (2y)′
= 2 cos 2 y
∂ ∂z ∂2 z = f y x ( x, y) = f21 ( x, y) = ∂x ∂y ∂y∂x
∂ ∂z ∂2 z = 2 = f y y (x, y) = f22 (x, y) ∂y ∂y ∂y
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偏导数与全微分习题
1. 设y
x
y x y x f arcsin )1(),(-+=，求)1,(x f x
'。
2. 习题8 17题。
3. 设⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠++=0
001sin ),(22222
2
y x y x y x y y x f ，考察f (x ,
y )在点（0,0）的偏导数。
4. 考察⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠++=0
001sin ),(22222
2
y x y x y x xy y x f 在点
（0,0）处的可微性。
5. 证
明
函
数
⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0
001sin
)(),(222
22
22
2y x y x y x y x y x f 在
点（0,0）连续且偏导数存在，但偏导数在（0,0）不连续，而f (x , y )在点（0,0）可微。
}
1． 设y
x
y x y x f arcsin
)1(),(-+=，求)1,(x f x
'。
y
y
x y
x y y x f x
1)
(2111
)1(1),(21
⋅⋅-
-+='- ∴ 1)1,(='x f x。
：
&
2.习题8 17题。
17. 设22)()(ln b y a x z -+-=（a , b 为常数），证明
02
22
2=∂∂+∂∂y z x z 。
先化简函数 ))()ln((2
1
22b y a x z -+-=，
，
2
222)()()
()()()(221b y a x a x b y a x a x x z -+--=
-+--⋅=∂∂，
2222)
()()
()()()(221b y a x b y b y a x b y y z -+--=-+--⋅=∂∂， 2
22
2
222
2))()(()(2)()(b y a x a x b y a x x
z -+----+-=
∂∂
2
22
22)
)()(()()(b y a x a x b y -+----=
，
2
222
222
2))()(()(2)()(b y a x b y b y a x y
z -+----+-=
∂∂
2
2222)
)()(()()(b y a x b y a x -+----= ， ∴ 02
22
2=∂∂+
∂∂y
z x
z 。
3. $
4.
设⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠++=0
001sin ),(22222
2
y x y x y x y y x f ，考察f (x ,
y )在点（0,0）的偏导数。
由偏导数定义可知
00lim )
0,0()0,(lim )0,0(0
==∆-∆='→∆→∆x x x
x
f x f f ，
2
1sin
lim )
0,0(),0(lim )0,0(y y
f y f f y y y
∆=∆-∆='→∆→∆ 不存在。
（
$
4.考察⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠++=0
001sin ),(22222
2
y x y x y x xy y x f 在点
（0,0）处的可微性。
由偏导数定义可知
0)
0,0()0,(lim )0,0(0
=∆-∆='→∆x
f x f f x x
，
0)
0,0(),0(lim )0,0(0
=∆-∆='→∆y
f y f f y y ，
则 d z =0,
2
2
)
()(1sin
)0,0(),(y x y x f y x f dz f ∆+∆∆∆=-∆∆=-∆
{
…
要讨论在（0,0）点可微性，即讨论极限ρ
ρdz
f -∆→0
lim 是
否趋于0，
0)()()()(1sin lim
lim
2
22
20
→∆+∆∆+∆∆∆=-∆→→y x y x y x dz
f ρρρ
，
这是因为
222
22
22
2
)()()()(21|)()()
()(1
sin |
y x y x y x y x y x ∆+∆∆+∆≤
∆+∆∆+∆∆∆ ε<∆+∆≤22)()(2
1
y x
∴ f (x , y )在点（0,0）处的可微
?
5. "
6.
证明函数
⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0
001sin
)(),(22222
22
2y x y x y x y x y x f 在
点（0,0）连续且偏导数存在，但偏导数在（0,0）不连续，而f (x , y )在点（0,0）可微。
（1）连续
|1sin )(||)0,0(),(|2
22
2y x y x f y x f ++=-
ε<+≤||22y x ， 故f (x , y )在（0,0）点连续； （2）偏导数存在 由偏导数定义
~
|
|1
sin
)(lim )0,0()0,(lim )0,0(2
0=∆∆∆=∆-∆='→∆→∆x x x x f x f f x x x
同理 0)0,0(='x
f ，偏导数存在；
（3）偏导数在（0,0）点不连续
当022≠+y x 时
2
22
22
21cos
1sin 2),(y x y x x y x x y x f x
++-
+='，
而
220021
cos
||221
sin 2lim ),(lim x x x x x y x f x
y x y x x x -='==→→ 极限不存在，故),(y x f x
'在（0,0）处不连续； 同理，),(y x f y
'在（0,0）处不连续； （4）可微
由（2）可知: d z =0,
)0,0(),(f y x f dz f -=-∆
2
22
2)()(1sin
))()((y x y x ∆+∆∆+∆=,
2
22
22
2
)()()()(1
sin ))()((lim
lim
y x y x y x dz
f ∆+∆∆+∆∆+∆=-∆→→ρρρ
0)()(1sin
])()[(lim 2
221
220
=∆+∆∆+∆=
→y x y x ρ,
∴ f (x , y )在（0,0）点可微。