流体力学第五章(涡旋动力学基础)
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流体力学第五章
v⋅dl =
l
(udx + vdy + wdz)
l
速度环量是标量，有正负号，规定沿曲线逆 时针绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针绕 行的方向为负方向。对非定常流动，速度环 量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线 上各点的速度计算，积分时为参变量。
Shanghai Jiao Tong University
S
Ω
速度环量
0源汇强度
Shanghai Jiao Tong University
5.6 Stokes定理
例子1：已知二维流场的速度分布为 u = −3y，v = 4x ，试求
绕圆 x 2 + y 2 = R的2 速度环量。
解： 此题用极坐标求解比较方便，坐标变换为:
x = r cosθ y = r sin θ
dJ = Ω⋅ d A = 2ωcos(ω ⋅ n)dA= 2ωndA
对有限面积，则通过这一面积的涡通量
应为
J = ∫∫Ω ⋅ dA = 2∫∫ ωndA
A
A
如果面积A是涡束的某一横截面积，就称为涡束
旋涡强度，它也是旋转角速度矢量的通量。旋涡
强度不仅取决于旋度Ω，而且取决于面积A。
Shanghai Jiao Tong University
涡面的流体质点在以前或以后任一
时刻也永远组成涡面，即涡面是由
相同的流体质点组成的，但其形状
K
可能随时变化。
2)涡线保持定理：在某一时刻组成 涡线的流体质点在以前或以后任一 时刻也永远组成涡线，即涡线是由 相同的流体质点组成的，但其形状 可能随时变化。
Shanghai Jiao Tong University
Ωx
流体力学课件_第五章_流体运动学基础
gQ
2g
2g
u dA v A
3
3
——动能修正系数
g
1
v1
2
2g
z2
p2
g
2
v2
2
层流α=2 紊流α=1.05~1.1≈1
2g
——总流的伯努利方程
5.3 理想流体的伯努利方程
丹· 伯努利（Daniel Bernoull，1700—1782）：瑞 士科学家，曾在俄国彼得堡科学院任教，他在流体力 学、气体动力学、微分方程和概率论等方面都有重大 贡献，是理论流体力学的创始人。 伯努利以《流体动力学》（1738）一书著称于世， 书中提出流体力学的一个定理，反映了理想流体（不 可压缩、不计粘性的流体）中能量守恒定律。这个定 理和相应的公式称为伯努利定理和伯努利公式。 他的固体力学论著也很多。他对好友 欧拉提出 建议，使欧拉解出弹性压杆失稳后的形状，即获得弹 性曲线的精确结果。1733—1734年他和欧拉在研究上 端悬挂重链的振动问题中用了贝塞尔函数，并在由若 干个重质点串联成离散模型的相应振动问题中引用了 拉格尔多项式。他在1735年得出悬臂梁振动方程； 1742年提出弹性振动中的叠加原理，并用具体的振动 试验进行验证；他还考虑过不对称浮体在液面上的晃 动方程等。
g
1
v1
2
2g
z3
g
3
v3
2
3
2g
5.7 伯努利方程的应用 毕托管测流速
p1
h
h p2 p1
g
u
2
p2
2g
g
g
g
u
2 gh c
2 gh c——流速系数
流体力学D课件 第五章
Re
hf
Vd
对数形式为
lg 1.806 lg Re
在尼古拉兹图中为一条斜直线。
(2) 过渡区 (2300 Re 4000) (3) 湍流完全光滑管区
情况复杂，无单一计算公式。
布拉修斯公式 (4000 Re 105 )
0.3164 Re0.25 基于湍流速度分布导出。
水头损失的两种形式
2 p1 v12 p2 v2 z1 1 z2 2 hw g 2g g 2g
hf hj
沿程损失
局部损失
流体克服粘性阻力 而损失的能量，流 程越长，损失越大
流体克服边界形状改变 所产生的阻力而损失的 能量，发生在局部范围
直圆管流动的沿程损失 1 达西公式 不可压缩粘性流体在内壁粗糙的直圆管中作定常流动时，压 强降低（损失）的表达式（可用量纲分析方法确定）
V12 V2 2 1 1 1 2 2 hm ( p1 p2 ) (V1 V2 ) V2 (V2 V1 ) 1 ( ) g 2g g 2g V1
V12 d12 2 V12 (1 2 ) K e1 2g 2g d2
d K e1 1 d
2. 等效粗糙度 穆迪引入等效粗糙度概念 。对实际商用管，粗糙度呈随机分 布，可通过与尼古拉兹实验曲线作对比，确定其等效粗糙度。 材料(新) 铆钉钢 ε(mm) 0.9～9.0
常用商用管的 等效粗糙度列于 右表中。
水泥 木板
铸铁 镀锌铁 镀锌钢 无缝钢
0.3～3.0 0.18～0.9
0.26 0.15 0.25 ～0.50 0.012 ～0.2
1 2
1
(
Re1＝4.22×104，查Mooddy图得λ2＝0.027 ,重新计算速度
hf
Vd
对数形式为
lg 1.806 lg Re
在尼古拉兹图中为一条斜直线。
(2) 过渡区 (2300 Re 4000) (3) 湍流完全光滑管区
情况复杂，无单一计算公式。
布拉修斯公式 (4000 Re 105 )
0.3164 Re0.25 基于湍流速度分布导出。
水头损失的两种形式
2 p1 v12 p2 v2 z1 1 z2 2 hw g 2g g 2g
hf hj
沿程损失
局部损失
流体克服粘性阻力 而损失的能量，流 程越长，损失越大
流体克服边界形状改变 所产生的阻力而损失的 能量，发生在局部范围
直圆管流动的沿程损失 1 达西公式 不可压缩粘性流体在内壁粗糙的直圆管中作定常流动时，压 强降低（损失）的表达式（可用量纲分析方法确定）
V12 V2 2 1 1 1 2 2 hm ( p1 p2 ) (V1 V2 ) V2 (V2 V1 ) 1 ( ) g 2g g 2g V1
V12 d12 2 V12 (1 2 ) K e1 2g 2g d2
d K e1 1 d
2. 等效粗糙度 穆迪引入等效粗糙度概念 。对实际商用管，粗糙度呈随机分 布，可通过与尼古拉兹实验曲线作对比，确定其等效粗糙度。 材料(新) 铆钉钢 ε(mm) 0.9～9.0
常用商用管的 等效粗糙度列于 右表中。
水泥 木板
铸铁 镀锌铁 镀锌钢 无缝钢
0.3～3.0 0.18～0.9
0.26 0.15 0.25 ～0.50 0.012 ～0.2
1 2
1
(
Re1＝4.22×104，查Mooddy图得λ2＝0.027 ,重新计算速度
流体力学第五章5--1讲
有涡旋运动特征的变化速度场 V r
和无旋流动的变化速度场
(5-3) (5-4) (5-5)
V
，即：
V Vr V
其中：
V
Vr
因此，凡是引起流场中
Vr
变化的作用，也就是
导致流体涡度或速度环流变化的原因，这也是本章讨论 涡动力学基础的主要内容。
L
t t0
V dl 0
(5-16-3)
设在初始时刻以前或以后的某一时刻，组成涡面的流体
质点移动到新的位置并组成新的曲面’，而封闭曲线L上的流
体质点则移动到’面的封闭曲线L’上。兹证’亦为一涡面。 因流体是理想正压的，且外力有势，则根据开尔文定理推出 (5-16-4) V dl V dl 0
l
(5-7)
其中式(5-7)也称开尔文关系式，其微分形式为：
d n d
上述两式建立了涡度与速度环流之间的关系。
(5-8)
一、开尔文定理 假设流体是理想的正压的流体在有势外力作用下，则沿任 一封闭曲线的速度环流在运动过程中恒定不变。其证明如下： 对(5-6)式求微商得：
d l d d dV V dl l V dt dt l dt dt l l
1 d p dt
(5-23)
上式又称作皮耶克尼斯定理，它表明压力—密度力引起的环 流变化。
二、亥姆霍兹定理
首先引入几个概念： 1.涡线的定义：在同一时刻，涡旋场中存在这样的曲线，
其曲线上每一点的切线方向和该点的涡旋方向重合。
2.涡面的定义：在涡旋场内取一非涡线的曲线，过曲线的 每一点作涡线，则这些涡线将组成一曲面称涡面。
流体力学中的涡涡动力学
流体力学中的涡旋动力学引言涡旋动力学是流体力学中的一个重要分支，研究流体中旋转性质和涡旋的生成、演化以及相互作用。
涡旋在自然界和工程领域中都具有广泛的应用，如天气系统中的龙卷风、海洋中的涡旋和航空航天领域中的涡轮机等。
本文将介绍涡旋的定义、形成机制以及其在流体力学中的重要性。
涡旋的定义和特性涡旋是一种流体中的局部旋转流动，其特点是流体的速度场在空间上出现剧烈的变化，流动的速度向心性很强。
涡旋通常以旋涡线和旋涡面来描述，旋涡线是指流体中流线的曲线，旋涡面是垂直于旋涡线的一面。
涡旋的旋转方向决定了旋涡线的旋转方向，由外向内的旋转称为正的旋涡，由内向外的旋转称为负的旋涡。
涡旋的核心区域速度较大，称为涡心区；核心区域外围速度逐渐减小，称为边界区；涡旋的周围速度较小、流动相对稳定，称为环境区。
涡旋的大小可以通过核心区域的半径来描述，常用的指标有涡旋半径和涡旋面积。
涡旋的形成机制涡旋的形成和演化是由于流体力学中的各种复杂效应相互作用的结果。
涡旋可以通过以下几种机制形成。
1. 惯性悬浮颗粒聚集机制当流体中含有一定浓度的颗粒时，颗粒的惯性作用会使其在流动中产生集聚现象，形成颗粒聚集区域。
这种集聚区域的速度差异会产生旋转流动，形成涡旋。
2. 旋转物体产生涡旋机制当流体中有旋转物体存在时，旋转物体表面的摩擦力会使流体发生旋转流动，形成涡旋。
例如风车叶片旋转时，周围的气流会产生涡旋。
3. 流体相互作用产生涡旋机制当两个流体相互作用时，由于速度和压力的差异，会形成涡旋。
例如两个不同速度的流体相互接触时，产生的剪切力会形成旋涡。
4. 受力不平衡产生涡旋机制当流体受到的外力不平衡时，会形成旋转流动，形成涡旋。
例如风吹过山峰、建筑物等不规则物体时，流体与障碍物之间的相互作用会产生涡旋。
涡旋的运动方程涡旋的运动可以通过涡量的运动方程来描述。
涡量是流体力学中描述涡旋的重要物理量，表示单位质量流体所围绕某点旋转的程度。
涡量的运动方程可以表示为：$$ \\frac{D\\omega}{Dt} = (\\omega \\cdot \ abla) \\cdot \\mathbf{V} + \ u \ abla^2 \\omega $$其中，$\\omega$是涡量，$\\mathbf{V}$是速度场，u是扩散系数，abla是向量的梯度算子，$\\frac{D\\omega}{Dt}$表示涡量的时间导数。
第五章(1)流体的涡旋运动
§5-1
div ( V ) 0
涡旋的运动学性质
— 涡旋场是无源场 —— 流体的涡量场具有所有无源场运动学性质
1. 过一涡量场的矢量管（涡管）的任一截面上的矢通量（涡通量）相等； 2. 涡管在流体内部不发生不消失； 3. 过任意封闭曲面的涡通量为零。
§5-2 涡旋运动方程 • 亥姆霍兹方程 1 兰姆 — 葛罗米柯运动方程 V (V 2 ) V F P 2 t
C B' o'
P+Δρ//
A'
ρ + Δρ
A'
P+Δρ//
§5-4
外力无势、流体不正压及粘性对涡旋运动的影响
第五章 流体的涡旋运动 9
§5-4-3 流体粘性
考察正压、不可压缩、体力有势流体，粘度为常数的涡旋运动方程
d ( )V dt
平面运动
d dt
Γ C
I C
凯尔文定理 对于理想正压流体，当外力有势时，沿任意一封闭 物质线上的速度环量以及过任意物质面上的涡通量在运动过程中保 持不变。
涡旋不生不灭定理（Lagrange）对于理想正压流体，若外力有势，如 果在时刻 t 流体中某部分流体内无旋，则这部分流体在运动的自始至终 均无旋；反之则自始至终均有旋。
团的旋转运动 影响：质量力 压力，粘性力
d (V ) ()V dt
亥姆霍兹方程
§5-2 涡旋运动方程 • 亥姆霍兹方程
涡旋运动方程物理解释 质量力有势, 流体正压, 无粘 — 无外力作用影响 — 角动量守恒定律 ——
第五章 流体的涡旋运动 4
( V ) ()V
流体力学第五章(涡旋动力学基础)
Γ ≡ ∫V • dl
l
l
运动的趋势，是标量，但具有
5
Γ ≡ ∫V • dl
l
l
如取定曲线方向： Γ>0，流体有顺 对应气旋环流）； 运动的趋势，（逆时针为正方向，
l
应反气旋环流）。
Γ<0，流体有逆 l
运动的趋势，（顺时针为负方向，对
6
根据环流的定义，应用斯托克斯公式
流体涡度
(∇ × V ) • n = lim Γ / σ
环流的加速度 = 加速度的环流
9
凯尔文(Kelvin)环流定理
理想正压流体，在有势力的作用下， 理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理 凯尔文定理。 时间变化，这就是凯尔文定理
10
凯尔文(Kelvin)环流定理
dΓ 下面来考虑特定条件下的 dt
（1）理想流体
dV 1 = F − ∇p 运动方程（欧拉方程）： dt ρ
（仅受质量力和压力梯度力）； （2）质量力仅为有势力
F = −∇Φ
11
1 dV = F − ∇p dt ρ
环流变化方程： d Γ
F = −∇Φ
dV = ∫l ( ⋅ dl ) dt dt 1
= − ∫l ∇Φ ⋅ dl − ∫l ∇p ⋅ dl ρ 1 = − ∫∫ ∇ × (∇Φ )d σ − ∫l ∇p ⋅ dl σ ρ
dΓ = dt
等压面、等密度面平行
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理。
15
说 明： 由此可知，理想正压流体，在有势力的作用下，流 体运动涡度强度不随时间变化，无旋流动中的流点 不可能获得涡度；反之，涡旋流动中的流点也不可 能失去涡度。
第5章流体的涡旋运动
教
学
团
队
5.3涡旋在无粘性不可压缩流体中所引起的速度场
5.3.4 涡对运动
y M1(ξ1,η1) Γ1 M2(ξ2 ,η2) Γ2 P(x,y) x
力
体
科 大
Γ1ξ1 + Γ 2ξ 2 = = const ξ c Γ1 + Γ 2 η = Γ1η1 + Γ 2η2 = const c Γ1 + Γ 2
队
5.3涡旋在无粘性不可压缩流体中所引起的速度场
5.3.1 涡旋场感生的速度场
∇•B = 0
∇ • B= = 1 4π 1 4π 1 1 ∇ ⋅ ω d τ = ∫∫∫ 4π r τ
这一假定的正确性
=−
科 大
1 1 ′ ′ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ ω ω dτ r ∫∫∫ r τ 1 1 ω⋅ n ω ′ =− ∇ ⋅ d τ = − dA Ò ∫∫ 4π ∫∫∫ r 4 π r τ A
M (ξ 2 ,η2 ) 处诱导速度为
科 大
流
M (ξ1 ,η1 ) 处诱导速度为
体
x
力
Γ1 y − η1 Γ2 y − η 2 v = − − 任一点 x Γ1 2πr1 r1 2πr2 r2 Γ2 P x, y Γ1 x − ξ1 Γ2 x − ξ 2 处诱导速度为 v y = + π 2 r r 2πr2 r2 1 1 P(x,y)
流
Γ V = (cosα 2 − cosα 1 ) 4π R
体
Γ
dl α
α2
Γ v= (cos β1 + cos β 2 ) 4πR
5.3.3 直线涡感生的速度场
《高等流体力学》第5章-涡量
斜压流体,其压力和密度不一一对应,其等压线（面）和等密 度线（面）相交。
p p( , T ) 如气体状态方程p RT
Ω ds ΩdV 0
n s V
4
2013-12-18
由高斯定理知 dA ( )dV
cs
0
则
cs
dA 0
侧面 : n n 0
V
（ 2）推论：涡丝或涡管不能起始于流体中，也不
能终止，只能自成一环或终止于壁面或水面。
即 ds ds ds 0
s1 s2 s3
n ds n ds 0
（u ) u ( ) ( u ) ( )u (u ) ( )u (u )
u2 )] 2
令： (
p
u2 ) A 2
4. 2u 2 ( u ) 2
D ( )u 2 Dt
涡量输运方程
涡量输运方程
平面运动
2：粘性作用引起的涡量 扩散
涡量输运方程物理意义： 当正压流体、质量力有势时，质量力与压力对 涡量变化没有作用，仅与粘性密切相关。 D : 涡量随体变化率 Dt
( )u : 表示速度变化对涡量作 用， 反应涡线的伸缩与扭转 引起的涡量变化
2013-12-18
第5章 流体涡旋运动
5.1 涡旋运动的基本概念和运动性质 5.2 粘性对涡旋形成与变化的作用(质量力有势、正压)
1. 涡量输运方程 2. 粘性流体中环量的变化
chap5-涡旋动力学基础
6
第五章
→
涡旋动力学基础
dV
步骤（1） 对 N—S 变形
dt (1)
=
F − ρ ∇p + 3 ∇(∇ •V ) + ν∇ V
2
→
1
ν
→
→
（ 2.51 ）
(2) (3)
(4)
(5)
（5.17） 下面要对（4） （5）项变形，需要用到下面矢量公式：
∇
2
V
→
= ∇(∇ • V) − ∇ ∧ ∇ ∧ V = ∇D − ∇ ∧ ζ
是重力作用下的涡度方程。 若正压：则（5.28）中的（1）为零。 若理想流体：则（5.28）中的（4）为零。 若还有非有势力，则（5.28）中还要加一项。
→
→
→
→
（A） (B)
∇ ∧ (ϕ
f ) = ∇ϕ ∧ f
→
→
+ ϕ∇ ∧
→
f
利用公式（A） （B） ， （5.17）中的第（4） （5）项就变成：
ν
3 ∇(∇ •V ) + ν∇
→ 2
V
→ 4 = ν∇D − ν∇ ∧ ζ 3
（5.15）变成：
dV
→
步骤（2） 对 N—S 变形
dt
=
F
→
−
→ 4 ∇p + ν ( ∇D − ∇ ∧ ζ ) ρ 3
→
→
→
V = Vr + Vϕ
并且有：
→
→
→
（5.3）
→
ζ
→
= ∇ ∧V = ∇ ∧V r
→
→
（5.5）
∇ ∧ Vϕ = 0
所以流体流动状态的变化（从旋转特征的角度讲）可以包括流动中 涡旋特征的变化和无旋流动的变化两部分。 那么涡旋动力学就是研 究流动状态变化中涡旋特征变化的那一部分内容。 所以凡是能引起
第五章
→
涡旋动力学基础
dV
步骤（1） 对 N—S 变形
dt (1)
=
F − ρ ∇p + 3 ∇(∇ •V ) + ν∇ V
2
→
1
ν
→
→
（ 2.51 ）
(2) (3)
(4)
(5)
（5.17） 下面要对（4） （5）项变形，需要用到下面矢量公式：
∇
2
V
→
= ∇(∇ • V) − ∇ ∧ ∇ ∧ V = ∇D − ∇ ∧ ζ
是重力作用下的涡度方程。 若正压：则（5.28）中的（1）为零。 若理想流体：则（5.28）中的（4）为零。 若还有非有势力，则（5.28）中还要加一项。
→
→
→
→
（A） (B)
∇ ∧ (ϕ
f ) = ∇ϕ ∧ f
→
→
+ ϕ∇ ∧
→
f
利用公式（A） （B） ， （5.17）中的第（4） （5）项就变成：
ν
3 ∇(∇ •V ) + ν∇
→ 2
V
→ 4 = ν∇D − ν∇ ∧ ζ 3
（5.15）变成：
dV
→
步骤（2） 对 N—S 变形
dt
=
F
→
−
→ 4 ∇p + ν ( ∇D − ∇ ∧ ζ ) ρ 3
→
→
→
V = Vr + Vϕ
并且有：
→
→
→
（5.3）
→
ζ
→
= ∇ ∧V = ∇ ∧V r
→
→
（5.5）
∇ ∧ Vϕ = 0
所以流体流动状态的变化（从旋转特征的角度讲）可以包括流动中 涡旋特征的变化和无旋流动的变化两部分。 那么涡旋动力学就是研 究流动状态变化中涡旋特征变化的那一部分内容。 所以凡是能引起
2010-第五章旋涡理论 流体力学
∂ω x ∂ω y ∂ω z + + =0 ∂x ∂y ∂z
∂a x ∂a y ∂a z + + =0 ∂x ∂y ∂z
1 ∂a z ∂a y − vx = ∂z 2 ∂y 1 ∂a x ∂a z v = − y ∂x 2 ∂z 1 ∂a y ∂a x v = z 2 ∂x − ∂y
∫
B
A
ϕ ϕB − ϕ A d=
Γ AB = ∫ V ⋅ ds =
AB
对于有旋场: 由公式
AB
∫ V dx + V dy + V dz
x y
计算 z
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
Γc
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = z dz ∫ c Vx dx + Vy dy + V ∫ c ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz dϕ ∫=
n n
1 2
结论： 涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始， 否则ｄσ→０时有ω→∞。 涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固 体边界，要么自行封闭形成涡环。 不可能 的情况
由该定理得到： 涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈； 涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体 壁面或自由面）。
例5.1 已知速度分布，求涡线方程。
ω=const
方法（详见p146）：
例5.2 已知漩涡强度, 求速度环量。
例5.4 已知速度向量，求绕圆心的速度环量。
方法（详见p146）： 由速度环量定义，式（5-1-9），直接积分求得。
旋涡运动基本定理
流体力学第五章201512力学参考
②常见的涡旋运动现象
---- 涡旋运动无处不在，小至原子结构，大至宇宙星云。
热带气旋
2017/1/4 12
热带气旋(Tropical Cyclone)是一种低气压天气系统，于 热带地区离赤道平均3-5纬度外的海面(如南北太平洋，北大 西洋，印度洋)上形成，其它移动主要受到科氏力及其它大 尺度天气系统所影响，最终在海上消散、转化为温带气旋或 在登陆陆地后消散。登陆陆地的热带气旋可以造成严重的财 产或人命伤亡，是由天气引发天灾的一种。 热带气旋的最大特点是它的能量来自水蒸气冷却凝固时 放出的潜热。 热带气旋的气流受科氏力的影响而围绕着中心旋转。在 北半球，热带气旋沿逆时针方向旋转，在南半球则以顺时针 旋转。 西太平洋沿岸的中国、台湾、日本、越南、菲律宾等地， 习惯上称当地的热带气旋为台风。而大西洋则习惯称当地的 热带气旋为飓风。
平面复 势理论
R1 / R2 c 1
R1 / R2 c 1
R12 ( x x1 ) 2 ( y y1 ) 2 c1 2 2 2 R2 ( x x2 ) ( y y2 )
69
*关于“
将
”的说明
，得
( y y1 ) ( x x1 ) udy vdx d ( y y1 ) d ( x x1 ) 2 2 R1 R1 ( y y2 ) ( x x2 ) d ( y y2 ) d ( x x2 ) 2 2 R2 R1 1 1 1 1 2 2 2 2 d ( y y ) d ( x x ) d ( y y ) d ( x x ) 1 1 2 2 2 2 R12 2 R12 2 R2 2 R12 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 dR dR dR dR R / R 1 2 1 2 1 2 c1 2 2 2 2 2 R1 2 R2 2 R1 2 R2
第5章流体的涡旋运动
在涡面上上式为零
流
1 4π
体
1 1 ′ ∇ r ⋅ ω = − d τ 2 ∫∫∫ 4π τ r
力
学
1 − ∇ r 2 ⋅ ω dτ ∫∫∫ r τ 1 ′ ∇ ⋅ ω dτ ∫∫∫ r τ
教
学
团
队
5.3.2 涡线感生的速度场
学
dl
电流诱导磁场强度 旋涡诱导流体速度
力
团
葛罗米柯-兰姆形式 两边取旋度
Dω 1 = (ω • ∇ )ω − ω (∇ • v ) + ∇ × Fb − 2 ∇ρ × ∇p + ν∇ 2 ω Dt ρ
队
粘性系数为常数
5.1.2 粘性流体涡量输运方程
讨论
科 大
l 影响流体涡量随体变化的因素：外力、流体的非正压性、粘性以及 右端的第一、二项 l右端的第一项：速度沿涡线的变化。这种变化可分成两部分：一部 分平行于涡线，另一部分垂直于涡线。平行于涡线的速度使得涡线上 相邻两点产生沿涡线的相对位移，或分开或靠拢，涡线就将“伸长” 或“缩短”，起到压缩效应。垂直于涡线的速度变化，使得涡线上相 邻两点产生垂直于涡线的相对位移，涡线就“扭曲”起来。 l右端的第二项：与流体散度有关，流体体积若缩小，则涡量增加， 反之则涡量减少，这与理论力学中有关转动惯量理论一致。
—亥姆霍兹方程
科 大
5.2.1开尔文定理
力
Dω 1 = (ω • ∇ )ω − ω (∇ • v ) + ∇ × Fb − 2 ∇ρ × ∇p Dt ρ
学
DΓ =0 Dt
教
学
团
队
Lord KELVIN (1824 –1907):
2010-第五章旋涡理论 流体力学
4．旋涡强度（涡通量）--通过任一开口曲面的涡量总和的一半 dJ = ωn dσ 为任意微元面积dσ上的旋涡强度（涡通量）
J = ∫∫ ω •dσ = ∫∫ ωn dσ
σ σ
为任意面积σ上的旋涡强度
如果面积σ是涡管的某一横截面积，为涡管强度
5．速度环量: 速度向量的切向分量沿某一封闭周线的线积分。 Γ AB= ∫ v • ds= ∫ vs ds = ∫ vx dx + v y dy + vz dz
（2）亥姆霍兹第二定理（涡管保持定理） 流场中的涡管始终由相同的流体质点组成。
K
涡管上的封闭轴线 （3）亥姆霍兹第三定理（涡管强度时间守恒定理） 任一涡管强度不随时间变化。 综上所述， Thomson 、Lagrange及Helmholtz定理全面 地描述了理想正压流体在有势场中运动时涡量演化的规律： 若流体理想、正压、质量力有势，无旋运动永远无旋，有 旋运动永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度具有保持 性。若不满足Kelvin任一条件，则运动过程中会产生新的 旋涡，无旋变成有旋；不具备保持性。
Γ AB = Γ B′A′
ΓC + Γ L = 2 ∫∫ ωn dσ
σ
双连通区域的斯托克斯定理
推论一 单连通区域内的无旋运动，流体 中的旋度处处为零，则沿任意封 闭周线的速度环量为零，即：
ΓC = 2 ∫∫ ωn dσ = 2 ∫∫ 0dσ = 0
σ σ
反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于零，可得处处为 零的结论。 但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无旋（可能包围 强度相同转向相反的旋涡）。 推论二 对于包含一个翼截面在内的双连通区域，如果流动是无旋的， 则沿任何两个包含翼截面在内的封闭周线的环量彼此相等， 即： ΓC = ΓL (与积分路径方向一致时)
流体力学第五章
A A A
� V
Vcosα α
� ds
B
� � � � � � � � 其中： V = ui + υj + wk ， ds = dxi + dyj + dzk 若 A 与 B 重合，便成了封闭曲线，则： � � Γ＝∫ k V ⋅ ds = ∫ k V cos αds = ∫ k udx + υdy + wdz 即逆时针方向速度环量为“+”
A i →0 A i →0
A1
A2
K
Γ＝2 ∫ A ω n dA
这就是平面上有限大小封闭周线的斯托克斯定理。 以上定理仅适用于单连通
4
域。上述结论也适用于强于任意空间封闭曲线的任意空间曲面。 与数学上定义相同，单连域-即区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一 点，而不越出流体的边界。或：不经过区域外的点。 对多连通域，则先将多连域化为单连域 因为假设速度方向是 A→B，则 Γ AB 为“+” ，而 B′ → A ′ 时，速度方向与环 量规定的正向相反，故 Γ B′A′ 为“-” 。
Γ AB K 2B′A′K1A＝Γ AB + Γ B K 2B′ + Γ B′A′ + Γ A′ K1A ＝Γ K1 − Γ K 2 = 2∫ A ω n dA
这就是多连通域的斯托克斯定理。 推而广之，对存在多个洞的多连域则有：
Γ K1 − ∑ Γ K 2 = 2∫ A ω n dA
即：通过多连通域的旋涡强度等于沿这个区域的外周 线的速度环量同沿所有内周线的速度环量总和之差。 显然，环量等于零，总旋涡强度等于零。环量不等于 零，必然存在旋涡。 用速度环量来研究旋涡运动的优点如下： 1、因为速度环量是线积分，被积分函数是速度本身； 2、而旋涡强度是面积分，被积分函数是速度本身的偏导数； 3、所以，无论是实验，还是理论计算，利用速度环量来研究旋涡要简单一 些，这就是斯托克斯定理的用处。
� V
Vcosα α
� ds
B
� � � � � � � � 其中： V = ui + υj + wk ， ds = dxi + dyj + dzk 若 A 与 B 重合，便成了封闭曲线，则： � � Γ＝∫ k V ⋅ ds = ∫ k V cos αds = ∫ k udx + υdy + wdz 即逆时针方向速度环量为“+”
A i →0 A i →0
A1
A2
K
Γ＝2 ∫ A ω n dA
这就是平面上有限大小封闭周线的斯托克斯定理。 以上定理仅适用于单连通
4
域。上述结论也适用于强于任意空间封闭曲线的任意空间曲面。 与数学上定义相同，单连域-即区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一 点，而不越出流体的边界。或：不经过区域外的点。 对多连通域，则先将多连域化为单连域 因为假设速度方向是 A→B，则 Γ AB 为“+” ，而 B′ → A ′ 时，速度方向与环 量规定的正向相反，故 Γ B′A′ 为“-” 。
Γ AB K 2B′A′K1A＝Γ AB + Γ B K 2B′ + Γ B′A′ + Γ A′ K1A ＝Γ K1 − Γ K 2 = 2∫ A ω n dA
这就是多连通域的斯托克斯定理。 推而广之，对存在多个洞的多连域则有：
Γ K1 − ∑ Γ K 2 = 2∫ A ω n dA
即：通过多连通域的旋涡强度等于沿这个区域的外周 线的速度环量同沿所有内周线的速度环量总和之差。 显然，环量等于零，总旋涡强度等于零。环量不等于 零，必然存在旋涡。 用速度环量来研究旋涡运动的优点如下： 1、因为速度环量是线积分，被积分函数是速度本身； 2、而旋涡强度是面积分，被积分函数是速度本身的偏导数； 3、所以，无论是实验，还是理论计算，利用速度环量来研究旋涡要简单一 些，这就是斯托克斯定理的用处。
高二物理竞赛课件：流体力学的旋涡运动(15张PPT)
a2
A2 b2
K
a1
b1
A1
图7－10 同一涡管上的两截面 图7－11 涡管上的封闭轴线
如图7－10所示，在同一涡管上任取两截面A1、A2，在A1、 A2之间的涡管表面上取两条无限靠近的线段a1a2和b1b2。由于
封闭周线a1a2b1b2a1所围成的涡管表面无涡线通过，旋 涡强度为零。根据斯托克斯定理，沿封闭周线的速度环 量等于零，即：
二项积分式可表示为:
(dvx dx dvy dt dt
dy dvz dt
dz)
[( fx
1
p )dx ( x
fy
1
p )dy ( y
fz
1
p )dz] z
[( fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
dx
p y
dy
p z
dz)]
d dPF
将上面的结果代入式（7-30a），并考虑到 v. .P都F 是单值
x
v2 2
PF
dx
y
v2 2
PF
dy
z
v2 2
PF
dz
0
d
v2 2
PF
0
积分
v2 2
PF
C
（7-21）
上式为欧拉积分的结果，表明理想正压性流体在有势的质 量力作用下作定常无旋流动时，单位质量流体的总机械能在 流场中保持不变。
伯努利积分
当理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常有旋流 动时，式（7-19）右端第一项等于零。由流线的特性知，此时
速度环量、斯托克斯定理
1．速度环量:在流场的某封闭周线上，如图7-9（b），流体速 度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号 表示， 即:
流体力学 第五章 涡旋动力学基础
①不可压缩流体 ρ ＝常数； ②等温的运动过程 T＝常数； ③等熵的运动过程 ＝，式中为常数；为比热比 。在这些情况下，流体压力都只和密度有关， 而和温度无关，因此它们是正压流体。
2.开尔文定理
理想（无粘）正压流体在有势的质量力作用下， 速度环流不随时间变化，其证明如下：
d dt
d dt
udx
vdy
得出结论：对于理想的正压流体，在有势的质 量力作用下，沿任何封闭的流体线的环量永远 不会改变。又由斯托克斯定理知，在流场中已 有的旋涡将永远不会消失，即理想流体中，旋 涡不生不灭。
3、拉格朗日（Lagrange）定理
拉格朗日定理是开尔文定理的直接推论，又称 为涡旋不生不灭定理。
拉格朗日定理可陈述如下：在质量力有势的条 件下，理想、正压流体的流动中，若在某一时 刻某一部分流体内没有涡旋，则在该时刻以前 及以后的时间内，该部分流体内也不会有涡旋 。反之，若某一时刻该部分流体内有涡旋，则 在此时刻以前及以后的时间内这部分流体皆为 有旋。
三、皮耶克尼斯环流定理
设流体无粘非正压，但质量力为有势力，则：
d dt
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
1
dp
dp
上式中引入比容：
1
p=常数的面称为等压面，α=常数的面为等容 面。对于正压流体 p p() ，显然等压面和等 容面是重合的。但对于一般的非正压流体，等 压面和等容面将相交，作一系列彼此相差一个 单位的等压面，同时作一系列彼此相差一个单 位的等容面，这样整个流体空间被隔成一系列 有两个相邻的等压面和两个相邻的等容面构成 管子，通常称为等压、等容管。
本节先从速度环流变化的角度来刻画涡旋运动 的变化。先引入速度环流变化的基本关系式， 从而推出有关速度环流变化的两个守恒定律— —开尔文定理和皮耶克尼斯定理。
2.开尔文定理
理想（无粘）正压流体在有势的质量力作用下， 速度环流不随时间变化，其证明如下：
d dt
d dt
udx
vdy
得出结论：对于理想的正压流体，在有势的质 量力作用下，沿任何封闭的流体线的环量永远 不会改变。又由斯托克斯定理知，在流场中已 有的旋涡将永远不会消失，即理想流体中，旋 涡不生不灭。
3、拉格朗日（Lagrange）定理
拉格朗日定理是开尔文定理的直接推论，又称 为涡旋不生不灭定理。
拉格朗日定理可陈述如下：在质量力有势的条 件下，理想、正压流体的流动中，若在某一时 刻某一部分流体内没有涡旋，则在该时刻以前 及以后的时间内，该部分流体内也不会有涡旋 。反之，若某一时刻该部分流体内有涡旋，则 在此时刻以前及以后的时间内这部分流体皆为 有旋。
三、皮耶克尼斯环流定理
设流体无粘非正压，但质量力为有势力，则：
d dt
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
1
dp
dp
上式中引入比容：
1
p=常数的面称为等压面，α=常数的面为等容 面。对于正压流体 p p() ，显然等压面和等 容面是重合的。但对于一般的非正压流体，等 压面和等容面将相交，作一系列彼此相差一个 单位的等压面，同时作一系列彼此相差一个单 位的等容面，这样整个流体空间被隔成一系列 有两个相邻的等压面和两个相邻的等容面构成 管子，通常称为等压、等容管。
本节先从速度环流变化的角度来刻画涡旋运动 的变化。先引入速度环流变化的基本关系式， 从而推出有关速度环流变化的两个守恒定律— —开尔文定理和皮耶克尼斯定理。
流体力学--漩涡理论 ppt课件
流管
涡丝vortex filament 元流
截面积为无限小的涡束 截面积为无限小的流束
称为涡索（涡丝）。
称为元流
PPT课件
9
旋涡强度
Ｊ表征流场中旋涡强 弱和分布面积大小
dＪ＝ωndσ
J nd
如果 是涡管的截面
则J为涡管强度
n
流量
Q dQ ud
d
PPT课件
10
二、速度环量（velocity circulation）
r R, V VR,
p
pR
p0
1 2
VR2
43
结论：
旋涡外部压力分布：
pR
p0
1 2
V 2
旋涡内部压力分布：
p
p0
1 2
V2
VR2
旋涡中心 r 0, V 0
旋涡中心的相对压力为
p p0 VR2
旋涡外部:速度越大压力越小
旋涡内部:速度越小压力P越PT课小件
44
兰金涡:
（Rankine）
r<R内为旋 转抛物面
PPT课件
旋涡理论
2
园盘绕流尾流场中的旋涡
PPT课件
3
园球绕流尾流场中的旋涡
PPT课件
4
园柱绕流尾流场中的旋涡
PPT课件
5
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
PPT课件
6
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line)： 流线(streamline)：
涡线上所有流体质点在 流线上所有流体质点在
v sin ds
4 s r 2
PPT课件
32
典型实例：无限长直涡丝
dx段对Ｐ点的诱导速度 dv sin dx 4r 2
第五章 流体的涡旋运动
第五章 流体的涡旋运动5.1 求下列流场的涡量场和涡线：(1) , ;(2) 2, , 2.xyz r x y z u y z v z zx w x y ==++=+=+=+v r i j k2222222222222222 ;=()()()=()()(xyz x yz xy z xyz x x x x yz xy z xyz xz xy x y yz y z x yz x z y y x z z y ==++⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥=∇⨯=∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦-----解：即v r i j k i j k w v i +j +k w i +j +22)x -k2222222222122222222222()()()ln ln ()()22 ln ()()2dx dy dzw w w dx dy dzx z y y x z z y x dx dy x y z x z y C x z y y x z dy dz x z y x y x z z y x ====---=-=-+--=-=--得由 由 x y z22ln 2y z C -+将上两式化简联立即得涡线方程222122222ln 2ln x y z xy C x z y xz C ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩(21)(21)(21) x x x u v w ⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥=∇⨯=∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦=---=解：i j k w v i +j +ki +j +k由直角坐标系下的涡线方程dx dy dz w w w ==得x y zdx dy dz ==积分的12x y C x z C -=⎧⎨-=⎩即为涡线方程，其中12C C 、为常数涡量场 由直角坐标系下的涡线方程 积分得积分得涡量场5.2 已知平面流动速度分布是204(1), 0,2r r vtv e v rθπ-Γ=-=其中0,v Γ是常数，求：（1） 涡量场；（2）任周线r=R 的速度环量Γ；（3）通过全平面的涡通量。
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dl
)
l
( dV dt
dl
)
l [V
d (dl dt
)]
环流加速度
加速度环流
8
d dt
d dt
( lV
dl
)
l
( dV dt
dl
)
l [V
d (dl dt
)]
V d (dl ) V dV d (V 2 / 2) 0
l
dt
l
l
d dt
d dt
( lV
dl
)
l
( dV dt
整个流体区域内涡度都为零时，流体运动为无旋的 ；
流体区域内有一点涡度不等于零时，则对应流体运 动为有旋的。
3
一般情况：流体运动可以表示为：
V V V 无旋运动
涡旋运动 ★重点讨论涡旋部分的变化特征及其产生的原因
主要内容
第一节 环流定理 第二节 涡度方程
4
第一节 环流定理
在流场中任取一个封闭的物质
16
以上讨论了特定条件下速度环流的守恒定理或者约 束关系。而实际上，流体运动中必定出现环流的不 守恒（变化）现象，也即环流的产生和起源，这才 是更普遍条件下的环流变化情况。
17
二、速度环流的起源—涡度的产生
对于粘性可压缩流体，N－S运动方程为：
dV
F
1
p 2V
•V
dt
3
对粘性扩散项进行处理（矢量运算法则），将其表示为：
应反气旋环流）。
6
根据环流的定义，应用斯托克斯公式 流体涡度
( V ) • n lim / 0
流体某点的涡度矢量在单位面元的法向分量等于 单位面积速度环流的极限值
反映了流体涡度与速度环流之间的联系。
7
一、凯尔文定理（速度环流的守恒定理）
环流随时间的变化率（环流的加速度）
d dt
d dt
( lV
2V ( V ) ( V ) D
将其代入运动方程，整理后可得到：
dV dt
F
1
p
4 D
3
18
dV dt
F
1
p
4 3
D
对上式沿闭合曲线积分，即可得到反映环流变化的方程：
d dt
dV dt
dl
F
dl
1
p dl
dl
4
3
D dl
F
dl
1
p
dl
dl
4 3
( D)d
V2 2
V
1
p g (
3
V ) 2V
（1）（2）（3）（4）（5） （6） （7）
方程各项取旋度（ ）：
（2）、（5）、（6）=0（任意物理量的梯度取旋度为零）
（3） V
V V V V V
24
V t
V2
2
V
1 p g ( V ) 2V
3
（1）（2） （3）（4）（5） （6） （7）
（4）
1
p
1
p
1
2
p
可得到方程：
V • • V
t
•V
1
2
p 2
整理合并后，有：
d
dt
1
2
p
•V
• V 2
就是涡度方程，或者称之为弗里德曼—亥姆霍兹方程 。
25
涡度方程讨论：
d 1 p •V • V 2
dt 2
（1）力管项或斜压项 它表明了压力—密度变化可以引起流体涡度矢的变化，其 物理实质是流体的斜压性。 （2）散度项 它表明了流体在运动过程中体积的收缩或膨胀，将会引起 流体涡度矢的变化。 （3）扭曲项 流场的非均匀性，引起涡度的重新分布。 （4）粘性扩散项 涡度分布的非均匀性引起的。
F
11
dV
F
1
p
dt
F
环流变化方程：
d dt
l
(
dV dt
dl
)
l
dl
l
1
p dl
()d
梯度取旋度为零
l
1
p
dl
l
1
p
dl
12
将线积分转化为面积分
1
p dl
(
p
)
d
(
1
)
p
1
(p)
d
(
1
)
p
d
梯度取旋度为零
13
正压流体：
f ( p)
等压面、等密度面、 等温面重合（平行）
F
dl
1
p dl
dl
19
d dt
dV dt
dl
F dl
1
p dl
dl
（1） （2）
（3）
速度环流的变化，主要由于以下3项所引起： （1）非有势力的作用，例如：柯氏力； （2）压力-密度项（流体的斜压性所引起的）； （3）粘性涡度扩散（与涡度的空间不均匀分布有关）
20
环流方程的进一步讨论（主要是斜压项的讨论及应用）
海洋
陆地
海风（陆风）
山谷风
22
第二节 涡度方程
对于粘性流体运动，纳维——斯托可斯方程为：
dV V V V 1 p g ( V ) 2V
dt t
3
方程的平流项变换：
方程变为
V • ：
V
V2 2
V
V
V t
V2 2
V
1 p g ( V ) 2V
3
23
V t
dl
)
环流的加速度 = 加速度的环流
9
凯尔文(Kelvin)环流定理
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理。
10
凯尔文(Kelvin)环流定理
下面来考虑特定条件下的 d dt
（1）理想流体
运动方程（欧拉方程）：
dV
F
1
p
dt
（仅受质量力和压力梯度力）；
（2）质量力仅为有势力
斜压流体：
f ( p,T ,)
等压面、等密度面斜交
14
（3）假设流体是正压的 f ( p)
d dt
l
dV dt
dl
(
1
)
p
d
0
等压面、等密度面平行
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理。
15
说 明： 由此可知，理想正压流体，在有势力的作用下，流 体运动涡度强度不随时间变化，无旋流动中的流点 不可能获得涡度；反之，涡旋流动中的流点也不可 能失去涡度。
第五章 涡旋动力学基础
流体的涡旋运动大量存在 于自然界中，如大气中的 气旋、反气旋、龙卷、台 风等，大气中的涡旋运动 对天气系统的形成和发展 有密切的关系。
台风
龙卷
1
大尺度海洋环流
2
因此，针对流体的涡旋运动进行分析，介绍涡 旋运动的描述方法、认识涡旋运动的变化规律 及其物理原因是十分必要的。
流体涡度：它是反映流体旋转特征或者旋转强度的 一个重要物理量。
环线 l （形状大小可变，由
流点组成的闭合曲线）。
l
速度环流的定义 V • dl l
它反映了流体沿曲线 l 运动的趋势，是标量，但具有
一定的方向性。
5
lV • dl
如取定曲线方向：
>0，流体有顺
对应气旋环流）；
l
运动的趋势，（逆时针为正方向，
<0，流体有逆 l 运动的趋势，（顺时针为负方向，对
若作理想流体假设，且质量力为有势力，则环流定理变为：
d dt
(
1
) p
d
称为皮叶克尼斯定理，反映了压力-密度项（斜 压性）引起环流的变化。
进一步作正压流体假设，则皮叶克尼斯定理退 化为了Kelvin环流定理：
d 0 dt
21
皮叶克尼斯定理的应用：海陆风、信风、山谷风的简 单解释
白天（夜间）