中考数学开放题总复习
中考数学复习专题-开放性问题(含详细参考答案)
中考数学复习专题-开放性问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1 （义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．考点：全等三角形的判定。
810360专题：开放型。
分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF 或∠DEC=∠DFB等）；解答：解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．（2）证明：在△BDF和△CDE中∵∴△BDF≌△CDE．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2 （宁德）如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；平行线的判定与性质。
浙江省中考数学总复习 全程考点训练 专题六 开放型问题(含解析)
开放型问题一、填空题1．写出和为6的两个无理数：如3－3，3＋3等(答案不唯一)(只需写出一对)．2. 如果点P (x ，y )的坐标满足x ＋y ＝xy ，那么称点P 为和谐点．请写出一个和谐点的坐标：(0，0)(答案不唯一)．【解析】 由x ＋y ＝xy ，得(x －1)(y —1)＝1，当x ＝0时，y ＝0；当x ＝2，y ＝2.∴符合条件的点的坐标有(0，0)，(2，2)等．3．现有四个有理数3，4，－6，10，将这四个数(每个数用且只能用一次)进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.请你写出一个符合条件的算式：3×(－6＋4＋10)＝24或4－(－6)÷3×10＝24等(答案不唯一)．4．写出一个不可能事件：2月有31号(答案不唯一)．【解析】 不可能事件是指不可能发生的事件，即事件发生的概率为0，如“水中捞月”“2月有31号”等．(第5题)5．如图，E ，F 是矩形ABCD 对角线AC 上的两点，试添加一个条件：AF ＝CE 等(答案不唯一)，使得△ADF ≌△CBE .6．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交y 轴于正半轴，且y 随x 的增大而减小，请写出符合上述条件的一个表达式：如y ＝－2x ＋3等(答案不唯一，只要满足k <0，b >0即可)．7．已知点A ，B 的坐标分别为(2，0)，(2，4)，以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABO 全等，写出一个符合条件的点P (异于点O )的坐标：(4，0)，(4，4)，(0，4)(只要写出一个即可)．8．我们把依次连结任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD 可以是正方形、菱形等(只要对角线互相垂直的四边形均可)(写出一个你认为正确的结论即可)．(第9题)9．如图，△ABC 内接于⊙O ，D 是AB ︵上一点，E 是BC 延长线上一点，AE 交⊙O 于点F ，为使△ADB ∽△ACE ，应补充的一个条件是BD ︵＝CF ︵(答案不唯一)_．【解析】 ∵∠ACE ＝∠D ，∴只需另外找出一对角相等即可，角相等可转化为弧相等(或找对应边成比例)．10．李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出了这个函数的一个特征．甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y 随x 的增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数表达式：y ＝2x ＋1或y ＝2x 2(答案不唯一)．11．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ABC ＝45°.动点P 在弦BC 上，则∠PAB 的度数可能为10°(只要不大于45°均可)(写出一个符合条件的度数即可)．(第11题)(第12题)12．如图，菱形ABCD (图甲)与菱形EFGH (图乙)的形状、大小完全相同．请从下列序号中选择正确选项的序号填写：①点E ，F ，G ，H ；②点G ，F ，E ，H ；③点E ，H ，G ，F ；④点G ，H ，E ，F .如果图甲经过一次平移后得到图乙，那么点A ，B ，C ，D 对应的点分别是①；如果图甲经过一次轴对称后得到图乙，那么点A ，B ，C ，D 对应的点分别是②；如果图甲经过顺时针旋转180°后得到图乙，那么点A ，B ，C ，D 对应的点分别是④．二、解答题 13．看图说故事．(第13题)请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x ，y 满足如图所示的函数图象，要求：(1)指出x 和y 的含义；(2)利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中需涉及“速度”这个量．【解析】 本题答案不唯一，举例如下：该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y (km)与他所用的时间x (min)的关系，小明以0.4 km/min 的速度匀速骑了5 min ，在原地休息了6 min ，然后以0.5 km/min 的速度匀速骑回出发地．(第14题)14．如图，抛物线y ＝ax 2－5ax ＋4a 与x 轴交于点A ，B ，且过点C (5，4)． (1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标．(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式．【解析】 (1)把点C (5，4)代入抛物线y ＝ax 2－5ax ＋4a 中，得a ＝1，∴该抛物线的表达式为y ＝x 2－5x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522－94，∴顶点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－94.(2)答案不唯一，向左平移大于52个单位，向上平移大于94个单位即可，如：先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到平移后抛物线的表达式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52＋32－94＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，即y ＝x2＋x ＋2.15．如图，在四边形ABCD 中，H 是BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E ，F ，连结BE ，CF .(1)请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，并证明．(2)连结BF ，CE ，在问题(1)中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由.(第15题)【解析】 (1)答案不唯一，如EH ＝FH ，∠BEH ＝∠CFH ，∠EBH ＝∠FCH ，BE ∥CF 等，下面以证明添加EH ＝FH 为例：∵H 是BC 的中点，∴BH ＝CH . 在△BEH 和△CFH 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BH ＝CH ，∠BHE ＝∠CHF ，EH ＝FH ，∴△BEH ≌△CFH (SAS )．(2)当BH ＝EH 时，四边形BFCE 是矩形．理由如下： 由(1)知BH ＝CH ＝12BC ，EH ＝FH ＝12EF ，∴四边形BFCE 是平行四边形． ∵当BH ＝EH 时，BC ＝EF ， ∴此时▱BFCE 为矩形．(第16题)16．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于点E ，交BC ︵于点D ，连结CD ，DB . (1)请写出四个不同类型的正确结论．(2)设∠CDB ＝α，∠ABC ＝β，试找出α与β之间的一种关系式，并给予证明．【解析】 (1)不同类型的正确结论有：①BE ＝CE ；②BD ︵＝CD ︵；③∠BED ＝90°；④∠BOD ＝∠A ；⑤AC ∥OD ；⑥AC ⊥BC ；⑦OE 2＋BE 2＝OB 2；⑧S △ABC ＝BC ·OE ；⑨△BOD 是等腰三角形；⑩△BOE ∽△BAC 等．(2)α与β的关系式主要有如下两种形式：①α－β＝90°；②α>2β.证明如下： ①∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠A ＋∠ABC ＝90°.又∵四边形ACDB 为圆内接四边形， ∴∠A ＋∠CDB ＝180°.∴∠CDB －∠ABC ＝180°－90°＝90°. 即α－β＝90°.②∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD .又∵∠OBD ＝∠ABC ＋∠CBD ，∴∠ODB ＞∠ABC . ∵OD ⊥BC ，∴CE ＝BE ，∴CD ＝BD . ∴∠CDO ＝∠ODB ＝12∠CDB .∴12∠CDB ＞∠ABC ， 即α＞2β.。
中考数学专题复习 开放探究试题-人教版初中九年级全册数学试题
开放探究专题开放探究题是相对于条件完备，结论明确的题型而言的，其特征是满足结论的条件不全，或满足条件的结论不唯一，或推理过程不确定，需要同学们依据题意与要求进行猜想、探索、发现、归纳来补全所需条件，结论或选择相关的求解途径．这类问题知识覆盖面广，题型灵活多变，是当前初中阶段培养学生创新意识与探究能力的数学问题．一、条件开放型条件开放探究题一般是已给出问题的结论，而要求补加满足结论条件的一类题型，其特征是问题的条件不完备，且所要补充的条件不一定是得出结论的所必须的条件，即不一定由结论唯一推出．解条件开放型问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求其合乎要求的一些条件．例1 （2015•某某）如图1，已知AB=BC ，要使△ABD ≌△CBD ，还需要加一个条件，你添加的条件是______,(只需写一个，不添加辅助线).解析：由已知AB=BC 及公共边BD=BD 可知，要使△ABD≌△CBD ，已经具备了两条边相等，根据全等三角形的判定定理，应该有两种方法SAS 或SSS 能使这两个三角形全等．所以可添∠ABD=∠CB D 或AD=CD ．评注：根据图形探究三角形全等的条件，除了根据基本判定方法以外，还应善于挖掘图形中隐藏条件（如公共边、公共角、对顶角等），以及线段的和差、角的和差关系等．例2 （2015•某某）已知，△ABC 中，点E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以A ，E ，F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是______（写出一个即可）．解析：本题由于没有确定相似三角形的对应顶点，所以应分两种情况讨论：①当△AEF∽△ABC 时（如图2-①），由点E 为AB 中点，得AF=AC （或点F 为AC 中点，EF ∥BC ，∠AEF=∠B 等）；若使△AFE∽△ABC （如图2-②），则应添加∠AFE=∠ABC 或∠AEF=∠ACB 等．图1E B C A EF A C F B ① ②图2评注：本题考查了相似三角形判定的方法，可添加的条件较多，要注意题目中公共角这一隐藏条件的应用．跟踪训练：1．（2015•黔东南）如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，连接BD.请添加一个适当的条件_______________，使得△ABD≌△CDB .（只需写一个）.第1题图 第2题图 2．（2015•某某）如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AO=CO ，请添加一个条件_______________（只添一个即可），使四边形ABCD 是平行四边形.二、结论开放型结论开放探究题是根据给出的问题条件探究相应的结论，而符合条件的结论往往呈现多样性，可很好的培养学生的发散思维．在解答结论开放性探究题时，要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻地分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证做出取舍；对于需要找出多个结论的结论开放性问题，可以运用分类讨论的思想，从各个不同的侧面入手，进行探索、分析，寻找问题的结论．例3 （2015•某某）对于两个二次函数1y ，2y ，满足8322221++=+x x y y ．当m x =时，二次函数1y 的函数值为5，且二次函数2y 有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数2y 的解析式_________（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．分析：已知当x=m 时，二次函数y 1的函数值为5，且二次函数y 2有最小值3，故抛物线2y 的顶点坐标为（m ，3），设出顶点式求出m 的确值即可．解：因为当m x =时，二次函数1y 的函数值为5，2y 的函数值为3，此时821=+y y ，D CBA所以当m x =时，03222=+x x ，即03222=+m m 得0=m 或3-=m ，又因为此时2y 有最小值，故抛物线2y 的顶点坐标为(m ，3)，用顶点式设出解析式为()322+-=m x a y ，随着a 取值的不同，2y 的解析式也不断变化，如当1=a 时，解析式为322+=x y 和()3322++=x y ．评注：本题考查了二次函数的图象和性质，解答本题的关键是求出m 的值．例4 （2015•崇左）如图3，线段AB 是⊙O 的直径，点C在圆上，∠AOC ＝80°，点P 是线段AB 延长线上的一动点，连结PC ，则∠APC 的度数是________度（写出一个即可）．分析：根据三角形外角性质可知，∠APC 的度数大于零度，且小于∠APC度数，故只需求出∠ABC 度数，便可确定∠APC 的度数的X 围．解：因为圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 对的是同一条弧，所以∠ABC ＝12∠AOC ＝40°．根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，知∠APC ＜∠ABC ，即0°＜∠APC ＜40°，据此写一个度数即可．评注：此题主要考查了圆周角定理，根据题意得出∠ABC 的度数是解题关键．跟踪训练：3．（2015•某某）已知y 是x 的反比例函数，当x >0时，y 随x 的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式．4.（2015•义乌）如果抛物线2y ax bx c =++过定点M （1，1），则称此抛物线为定点抛物线．小敏写出了一条定点抛物线的一个解析式y=2x 2+3x ﹣4．请你写出一个不同于小敏的答案________． C· O A B P 图3第4题图 5．（2015•潜江天门）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AB=CB ，AD=CD ．请你写出与筝形ABCD 的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论.三、综合开放性问题综合开放型问题又称为条件、结论全开放型问题，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，要求学生通过合理推理，透彻分析总结出结论，从而培养学生的发散思维能力．根据这类问题的特点，在解答时，必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例5 如图4，点A 、B 、D 、E 都在圆上，弦AE 的延长线与弦BD的延长线相交于点C ．给出以下三个论断：①AB 是圆的直径；②点D是BC 中点；③AB=AC ．以三个论断中的两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明． 分析：以三个论断中两个为条件，一个为结论，共有三种组合：即由①②推出③；由①③推出②；由②③推出①．然后分别根据图形，结合所学知识，分析三个组合的正确与否即可．解：正确的命题可以是由①②推出③，证明如下：连接AD ，因为AB 是圆的直径，所以AD ⊥BC.又因为点D 为BC 中点，所以AD 垂直平分BC.所以AB=AC ．（由①③推出②和由②③推出①也都是真命题，证明过程请自主完成）BA CDD E AB图4评注：本题属于条件和结论全开放的问题，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质和90°的圆周角与直径的关系是解答本题的关键．跟踪训练6．如图，有以下3个条件：①AC=AB，②AB∥CD，③∠1=∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是（）A.0B.C.第6题图7.（2015•某某）先化简：2221()211x xx x x x+÷--+-，再从－2＜x＜3的X围内选取一个你喜欢的x值代入求值.四、存在性问题存在性问题是指在一定条件下，探索发现某种数学关系是否存在的一类问题，它往往有“是否存在”“是否成立”等词语出现．解答此类问题的方法是首先对问题的结论作出肯定存在的假设，按题目中条件和所学知识进行推理、计算，若推出的结论合理，则说明假设成立，反之，则假设不成立．例5 （2015•某某，有改动）如图5，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．⑴求该抛物线的解析式；⑵在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD 的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．G 图5分析：⑴把A （﹣1，0）、B （3，0）两点代入y=﹣x 2+bx+c 即可求出抛物线的解析式，⑵设D （t ，322++-t t ），过点D 作DH⊥x 轴于点H ，交BC 于点G ，设△BCD 的面积为S ，根据CDG BGD BCD S S S ∆∆∆+=，即可求出S 与t 之间的函数关系式，从而求出D 点坐标及△BCD 面积的最大值.解：⑴把A （﹣1，0）、B （3，0）两点代入y=﹣x 2+bx+c 中得，解得所以抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+3.⑵存在，理由如下：设D （t ，322++-t t ）.过点D 作DH⊥x 轴于点H ，交BC 于点G ，由⑴易得点C 的坐标为（0，3），设直线BC 的解析式为b kx y +=，将B （3，0）和C （0，3）代入，得 ⎩⎨⎧=+=0b 3k 3b ，解得⎩⎨⎧==1-3b k ， 所以直线BC 的解析式为3+-=x y ，则G 点坐标为（t ，3+-t ）.所以DG=G y -D y =322++-t t -（3+-t ）=t t 32+-，设△BCD 的面积为S ，且CDG BGD BCD S S S ∆∆∆+=，所以S=()()()t t t t t t 321332122+-+-+-=()t t t 3212+-，配方，得S=82723212+⎪⎭⎫ ⎝⎛--t . 所以当23t =时，面积有最大值为827，此时点D 坐标为（23，415）. 评注：在解答坐标系中三角形面积问题时，通常是将所求三角形转化为边在坐标轴上的三角形，或一些边与坐标轴平行的三角形面积之和或面积之差。
中考系列复习――开放型试题及答案
初三数学专题训练――开放型试题班级：_________ 姓名：_________ 得分：_________一、填空题(1~7小题每小题4分，8~9小题每小题6分，共40分)1.(南昌市)两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是______.2.(安徽省)已知x2－ax－24在整数范围内可以分解因式，则整数a的值是______(只需填一个).3.(甘肃省)已知点P在第二象限，它的横坐标与纵坐标的和为1.点P的坐标是______(写出符合条件的一个点即可).4.(黑龙江省)某一次函数的图象经过点(－1，2)，且函数y的值随自变量x的增大而减小.请你写出一个符合上述条件的函数关系式：______.5.(北京东城区)有一个二次函数的图象三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4;乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：______6.(盐城市)在四边形ABCD中，若分别给出四个条件：①AB∥CD；②AD=BC；③∠A=∠C；④AB=CD.现以其中的两个为一组，能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是______.(只填序号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况).7.(浙江金华)如图1，C是⊙O的直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，连结AD、OD、BD，请根据图中所给出的已知条件(不再标注或使用其他字母，不再添加任何辅助线)，写出两个你认为正确的结论：.图 1 图 2 图3已知：如图，在△ABE和△ACD 中，.求证：.9.(徐州)如图3，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变成△OA2B2，第三次将△OA2B2变成△OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)；B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0).(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换再将△OA3B3变成△OA4B4，则A4的坐标是______，B4的坐标是______.(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A n的坐标是______，B n的坐标是______.二、选择题(每小题5分，共10分)10.(陕西省)如图4，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作不同位置的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这种三角形最多可以画出( )图4A.2个B.4个C.6个D.8个11.(1998年陕西省理科实验班招生试题)△ABC中，有一内角为36°，过顶点A的直线AD将△ABC分成两个等腰三角形.则满足上述条件的不同形状(相似的认为是同一形状)△ABC的个数是( )A.2B.3C.4D.5三、解答题(12~17题每小题7分，18题8分，共50分)12.(常州市)阅读函数图象，并根据你所获得的信息回答问题：(1)折线OAB表示某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合该图象意义的应用题；(2)根据你给出的应用题分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出A、B两点的坐标；图5(3)求出图象AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范围.13.(黄冈市)在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图6).现找出其中的一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切.请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出图形，并直接写出扇形半径).图614.(江苏省泰州市中考题)以给定的图形“ ，○○、△△”(两条平行线段、两个圆、两个三角形)为构件，构思独特且有意义的图形.举例：如图7是符合要求的一个图形.你还能构思出其他的图形吗？请画出与之不同的一个图形，并写出一两句贴切、诙谐的解说词.解说词：两盒电灯图715.(1)如图8，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1使△A1B1C2∽△ABC(相似比不为1)，且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上.(2)(吉林省)如图9，图10所示，正方形网格中约每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.①使三角形三边长分别为3、22、5(在图11中画一个即可).②使三角形为钝角三角形且面积为4(在图12中画一个即可).图8 图9 图10 图11 图1216.(江西省)如图13，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点.(1)求证：AF⊥CD；(2)在你连结BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个(不要求证明).图1317.A、B、C、D为四个景点，某剧组因为拍摄画面的需要欲确定摄像机P的位置以使得△P AB、△PCD、△P AD、△PBC同时成为等腰三角形，问这样的点P有几个？作出这些点(保留作图痕迹，不写作法)，并写出它们的坐标(不必写出解答过程).图1418.某公园计划做一个形状是如图15的圆形喷水池，后有人建议改为图16的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较两种方案后回答下列问题：(1)两种方案哪一种需要用的材料多？(2)若将图20中的三个小圆改为n个小圆，你又会得到什么样的结果？图15 图16专题训练3 开放型试题参考答案一、1. 2+1和2－1等 2.2等 3.(－2，3)等 4.y =－x +15.y =±(51x 2－58x －3) y =±(71x 2－78x +1) 6.①③或①④或②④ 7.∠A =∠ADO =∠CDB OA =CB =OD CD 2=CB ·CA △CDB ∽△CAD ……从以上结论中任选两个9.(1)(16，3)，(32，0) (2)(2n ，3)，(2n +1，0)二、10.B 11.D三、12.张老师从家里出发，乘汽车去学校，汽车的速度为每小时25 km ，经过2h 到达学校.到校后由于家中有事，立即骑自行车返回，再经过5h 到家.(2)x 轴表示运动时间，单位是小时，y 轴表示运动的路程，单位是千米.A (2，50),B (7，0)(3)设AB 的解析式为y =kx +b ，则⎩⎨⎧=+=+07502b k b k 解之，得⎩⎨⎧=-=7010b k ∴y =－10x +70(2≤x ≤7).13.可以设计如下四种方案：14.解说词：外星人15.(1)由题设知，AB ∶BC ∶CA =2∶2∶10=1∶2∶5=2∶22∶25=……故可在图中作A 1B 1，B 1C 1=2，C 1A 1=5，或A 1B 1=2，B 1C 1=22，C 1A 1=25或A 1B 1=5，B 1C 1=10，A 1C 1=5……，(2)本题由计算决定画图，画法较多，图略.16.(1)连结AC、AD，∵AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，∴△ABC≌△AED，∴AC=A D.又∵F为CD中点，∴AF⊥CD.(2)①BE∥CD②AF⊥BE③△ACF≌△ADF④∠BCF=∠EDF.⑤五边形ABCDE是以直线AF为对称轴的轴对称图形.17.作法：略.这样的P点共有九个，其坐标分别为(0，0)，(0，3－1)，(0，－3+1)，(0，1+3)，(0，－1－3)，(3－1，0)，(－3+1，0)，(1+3，0)，(－1－3，0).18.题中要求比较两种方案中圆周长的大小，虽然没有给出几个圆直径的具体值，似乎难以比较，但是可以用几个不同字母表示其直径和周长，很容易推断它们相等的结论.当三个小圆改为n个小圆后只是小圆的个数和直径的大小发生变化，但n个小圆的直径之和不变.。
中考数学专题复习精品课件(含10 11真题)专题6 开放问题(34张)
中考数学复习指导
【思路点拨】根据“y=10+0.5x(0≤x≤5)”写出符合题意的 条件. 【自主解答】根据题意知，每增加1 kg，弹簧伸长0.5 cm,从 而写出一个符合的条件. 答案：挂质量为1 kg的物体，弹簧伸长的长度为0.5 cm
中考数学复习指导
1.(2010·义乌中考)在直角三角形中，满足条件的三边长可 以是________.(写出一组即可) 【解析】若使三角形是直角三角形，则应满足两边的平方和 等于第三边的平方，如3，4，5，满足32＋42=52. 答案：3，4，5(答案不惟一)
度内最多可挂质量为5 kg的物体，挂上物体后弹簧伸长的长
度与所挂物体的质量成正比，
，则弹簧的总长度y(cm)
与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为
y=10+0.5x(0≤x≤5).”
王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染，被污
染的部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以
是：_______(只需写出1个).
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2.(2010·陕西中考)如图，在△ABC中,D是 AB边上一点，连接CD，要使△ACD与△ABC 相似，应添加的条件是__________. (写 出一组即可)
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【解析】现在已经满足一个角相等，因此可以添加另外的一 个角相等，即∠ACD=∠B 或者 ∠ADC=∠ACB;也可以添加夹着 这个角的两边对应成比例，即 AD AC .
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方法一:设 AB A则CABk=, kA′B′,AC=kA′C′. AB AC
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,
BC AB2 AC2 k2AB2 k2AC2 k.
BC AB2 AC2
2024年中考数学人教版总复习课件：专题三 开放探究题
∴△AEM≌△MCN.
∴AM=MN.
(2)仍然成立.
理由:如图②,在边AB上截取AE=MC,连接ME.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°,
∴∠ACP=120°.
∵AE=MC,∴BE=BM,
∴∠BEM=∠EMB=60°,
∴∠AEM=120°.
∵CN平分∠ACP,∴∠PCN=60°,
2024
第二板块
专题三 开放探究题
内
容
索
引
01
专题名师解读
02
热点考向例析
专题名师解读
开放探究型问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的结论,要
求添加条件或概括结论,或者是给定条件,判断结论存在与否的问题.近几
年来出现了一些根据提供的材料,按自己的喜好自编问题并加以解决的试
题.
开放探究型问题具有较强的综合性,既能充分地考查学生对基础知识的
又AC=DF,AB=ED,所以△ABC≌△DEF.
所以∠B=∠E.
所以AB∥ED.
解法二FB=CE,AC=DF,添加③∠ACB=∠DFE.
证明:因为FB=CE,所以BC=EF.
又∠ACB=∠DFE,AC=DF,
所以△ABC≌△DEF.
所以∠B=∠E.
所以AB∥ED.
考向二
结论开放探究问题
结论开放问题就是给出问题的条件,根据已知条件探究问题的结论,并且将
进行合理猜想,并进行验证.
热点考向例析
考向一
条件开放型问题
条件开放问题主要是指问题的条件开放,即:问题的条件不完备或满足结论
的条件不唯一,解决此类问题的思路是从所给结论出发,逆向探索,逐步探
2022版中考数学总复习 专题三 开放与探索（专题讲练+名师解读+考向例析+提升演练）
专题三开放与探索开放探索型问题有条件开放与探索、结论开放与探索、条件结论都开放与探索等，这类题目新颖，思考方向不确定，因此比一般综合题更能考查学生综合运用知识的能力，从而深受命题者的青睐．题型以填空题、解答题为主．考向一条件开放问题条件开放探索问题的特征是缺少确定的条件，所需补充的条件不能由结论直接推出，而满足结论的条件往往也是不唯一的．【例1】如图，已知AC⊥BD于点2a2a2a2a2a＋3＝0有实数根，则m的值可以为__________．任意给出一个符合条件的值即可三、解答题5．如图，将△ABC的顶点A放在⊙O上，现从AC与⊙O相切于点A如图1的位置开始，将△ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为α0°AB，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE1求证：四边形AFCE是菱形；2若AE＝10 cm，△ABF的面积为24 cm2，求△ABF的周长；3在线段AC上是否存在一点，1，＋1，2，＋2，3在这个二次函数的图象上．①当m＝4时，1，2，3能否作为同一个三角形的三边的长请说明理由．②当m取不小于5的任意实数时，1，2，3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．参考答案专题提升演练1．C 以较短的直角边为公共边可以画三个符合要求的三角形，以较长的直角边为公共边也可以画三个符合要求的三角形，以斜边为公共边也可以画一个符合要求的三角形，这样可以画七个符合要求的三角形，故选C2．B 根据图中所示程序，可得与的函数关系式为＝错误!易知①错误；∵2≥12即可，如4等由于这个方程有实数根，因此Δ＝b2－4ac＝－m2－12＝m2－12≥0，即m2≥12 5．解：1①②④2α＝90°依题意可知，△ACB旋转90°后AC为⊙O直径，且点C与点E重合，因此∠AFE ＝90°∵AC＝8，∠BAC＝60°，∴AF＝错误!AC＝4，EF＝4错误!，∴S△AEF＝错误!×4×4错误!＝8错误!6．解：1△HGA△HAB2由1可知△AGC∽△HAB，∴错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴＝错误!3由1知△AGC∽△HGA∴要使△AGH是等腰三角形，只要△AGC是等腰三角形即可．有两种情况，1CG为底，AC＝AG时，得AG＝9，此时CG等于9错误!，2CG为腰，CG＝AG时，此时CG＝错误!错误!7．解：1证明：由折叠可知EF⊥AC，AO＝CO∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO∴△AOE≌△COF∴EO＝FO∴四边形AFCE是菱形．2由1得AF＝AE＝10设AB＝a，BF＝b，得a2＋b2＝100①，ab＝48②①＋2×②得a＋b2＝196，得a＋b＝14另一负值舍去．∴△ABF的周长为24 cm3存在，过点E作AD的垂线交AC于点＝4时，1，2，3的值分别为5,12,21，由于5＋12＜21，不能成为三角形的三边长．②当m取不小于5的任意实数时，由图象知1＜2＜3，1，2，3的值分别为m2－2m－3，m2－4，m2＋2m－3，1＋2－3＝m2－2m－3＋m2－4－m2＋2m－3＝m2－4m－4＝m－22－8，当m不小于5时成立，m－22≥9，所以m－22－8＞0，即1＋2＞3成立．所以当m取不小于5的任意实数时，1，2，3一定能作为同一个三角形三边的长．。
中考数学《开放题》复习课件
不要忘了
条件开放型 类 型 结论开放型 策略开放型
综合开放型 特 点 正确答案不唯一
悟 字
开 放 性 问 题
作用：培养创新意识、创造能力
试
金
石
必做题：1、写出一个图象位于一、三象限的 反比例函数表示式_________。 2、小华为班级设计了一个班徽,图中有一菱形.为 了检验小华所画的菱形是否准确,请你以带有刻度 的三角尺为工作,• 帮小华设计一个检验的方案___ 选做题：编写一道应用题，使得根据题意列
二、结论开放型
例1如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AD、 AE分别是∠BAC的邻补角的平分线，AD交⊙O 于点D，交BC于F，由这些条件请直接写出正确 的结论： （不再连结其他线段）
∠B=∠C , BF=CF, 给出问题的条件，让解 AB=AC, BD=CD, 题者根据条件探索相应的结 AD⊥BC, AD⊥AE, AE∥BC, 得出的结论应 论，而符合条件的结论往往 尽可能用上题目及 呈现多样性，这样的问题是 AD 是⊙O的直径， 图形所给的条件。 结论开放性问题。 AE是⊙O的切线… …
填写条件时，应符合题意或 给出问题的结论，让解题 相关的概念、性质、定理. 者分析探索使结论成立应具备 的条件，而满足结论的条件往 往不是唯一的，这样的问题是 条件开放性问题。
1、多项式9x2+1加上一个单项式后,• 使它能成 为一个整式的完全平方,那么加上的单项式 可以是_________。(填上一个你认为正确的 即可)zxxk
从 练习 中 悟 方 法
小明家现有一块三角形菜地， 要种植面积相等的四种蔬菜，如 方案设计问题应 下图所示，你能帮他设计不同的 结合题意，依据 分割方案吗？ 定义定理分析
中考数学专题复习 开放性问题-人教版初中九年级全册数学试题
开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.【典例解析】类型一：条件开放型问题例题1：（2016·某某省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：（2016·某某某某）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．类型二：结论开放型问题例题2：（2016·某某随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．变式训练2：（2016·某某某某·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值X围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个类型三：解题策略开放型例题3：(2014 年某某襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)（2）选择其中的成立条件进行证明。
初中数学-中考复习(21)：开放型问题
专题复习：开放型问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
考点一：条件开放型例1：写出一个过点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系式：．（填上一个答案即可）练习：已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数kyx图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为．（只需写出符合条件的一个k的值）考点二：结论开放型例2：请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：．练习：四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款．如图是该班同学捐款的条形统计图．写出一条你从图中所获得的信息：．（只要与统计图中所提供的信息相符即可得分）考点三：条件和结论都开放的问题例3：如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．练习：如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．【课堂讲解】1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是______（只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段）．2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是_______（写出一个即可）．3．如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是___________．（只填一个即可）4．若反比例函数y＝kx的图象在其每个象限内，y随x的增大而增大，则k的值可以是_______．（写出一个k的值）5．若函数y=1mx的图象在同一象限内，y随x增大而增大，则m的值可以是________（写出一个即可）．6. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，不添加辅助线，梯形满足条件时，有MB=MC（只填一个即可）．7. 直线l过点M（-2，0），该直线的解析式可以写为________．（只写出一个即可）8. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是_______（添加一个条件即可）．9. 请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+5的值总是整数”是假命题，你举的反例是（写出一个x的值即可）10．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF．11．如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD．12．如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是．13．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是（填一个即可）14．如图所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是．15．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是cm（写出一个符合条件的数值即可）16．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t （s）的值为．（填出一个正确的即可）17．已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数kyx图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为．（只需写出符合条件的一个k的值）18. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．19. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）20. 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E 是线段AC 或AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE 、EF 有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．【课堂训练】1.如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABD=∠CB ．∠ADB=∠ABC C. CD CB BD AB = D. ACAB AB AD =2. 如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交点之间的距离为23且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是（ ）A ．16B ．15C ．14D ．133. 如图，在四边形ABCD 中，点H 是BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E ，F ，连结BE ，CF ．（1）请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是 ，并证明．（2）在问题（1）中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由．4. 复习课中，教师给出关于x 的函数y =2kx 2﹣（4kx +1）x ﹣k +1（k 是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．5. 猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM=DE．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．6. 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C 重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；2对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．②若正方形ADEF的边长为27. 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC2=AM2+BC2；（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN2=AM2+BN2成立吗？答：（填“成立”或“不成立”）个性化教案（真题演练）1. （2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s 的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为．（填出一个正确的即可）1对1出门考（_______年______月______日周_____）1. 写出一个你喜欢的实数k 的值 ，使得反比例函数xk y 2-=的图象在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．2. 写出一个x 的值，使|x ﹣1|=x ﹣1成立，你写出的x 的值是 ．3. 存在两个变量x 与y ，y 是x 的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过（1，1）点；②当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，这个函数的解析式是 （写出一个即可）．4. 如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，作射线AD ，在线段AD及其延长线上分别取点E 、F ，连接CE 、BF ．添加一个条件，使得△BDF ≌△CDE ，并加以证明．你添加的条件是 ．（不添加辅助线）．5. 先化简22)1111(2-÷+--x x x x ，然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x 的值代入求值．6. 在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a ，b 两个情境：情境a ：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b ：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．（1）情境a ，b 所对应的函数图象分别是 、 （填写序号）；（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．评语： 3A 作业：周一： 周二：周三： 周四：周五：作业要求在 月 日之前完成。
中考总复习数学专题优化训练：开放型问题
热点专题三 探索型问题专题训练八 开放型问题一、选择题1.如图3-1，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四条边的中点，要使四边形EFGH 为矩形，四边形ABCD 应具备的条件是图3-1A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分 2.下列二次函数的图象顶点是(3，-2)的是A.y=3x 2-2B.y=(x+3)2-2C.y=(x-3)2-2D.y=(x-3)2+2 3.在同一直角坐标系中，函数y=kx-k 与y=xk(k ≠0)的图象大致是图3-24.如图3-3，△ABC 与△BDE 都是等边三角形，AB<BD.如△ABC 不动，将△BDE 绕点B 旋转，则在旋转过程中，你认为AE 与CD 的大小关系会怎样？图3-3A.始终相等B.顺时针旋转时，AE＞CDC.顺时针旋转时，AE＜CDD.不能确定二、填空题5.如图3-4，已知D、E是△ABC中BC边上的两点，BD=CE，请你再添加一个条件___________，使△ABE≌△ACD.图3-46.如图3-5，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似.你添加的条件是________________.图3-57.如图3-6，ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是________________.(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)图3-68.老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一象限；乙：函数的图象经过第三象限；丙：在每个象限内，y随x的增大而减小.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数：_______________________________________.9.如图3-7所示，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠A交BC于D，DE⊥AB于E，若使△BDE 的周长为6，则需增加的条件为___________________.(只填写一个序号即可)①AC=6 ②BC=3，BE=2 ③AB=6 ④AD=6图3-7三、解答题10.如图3-8，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD、CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.图3-8(1)上述四个条件中，哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)?(2)选择(1)中的一种情形，证明△ABC为等腰三角形.11.如图3-9，在矩形ABCD中，AD＞AB，O为对角线的交点，过O作一直线分别交BC、AD于M、N.(1)求证：梯形ABMN的面积等于梯形CDNM的面积；(2)如图3-10，将矩形ABCD以MN为轴对折，当MN满足什么条件时，对折后能使C点恰好与A点重合？(只写出需要满足的条件即可，不要求证明)(3)在(2)的条件下，判断四边形AMCN是什么特殊四边形？写出证明过程.图3-9 图3-1012.如图3-11，已知△ABC是等边三角形，D、F分别是BC、AB上一点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE，连结CF、EF、BE.图3-11(1)求证：AD=CF.(2)图中还有等边三角形吗？找出并证明.(3)请判断四边形CDEF 的形状，并说明理由.(4)当D 、F 分别为BC 、AB 延长线上一点时，在已知条件不变的情况下，上述结论是否仍然成立？(只回答成立或不成立)一、选择题 1答案：C提示：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形. 2答案：C提示：四个选项都是抛物线的顶点式，可以直接找出顶点坐标. 3答案：D提示：注意一次函数和反比例函数中的系数是同一个字母k,分k>0与k<0两种情况分别讨论.4答案：A提示：无论如何旋转，始终有△ABE ≌△CBD. 二、填空题5答案：AB=AC （答案不唯一）提示：可以加边的条件，也可以加角的条件. 6答案：∠ADE=∠B （答案不唯一）提示：可以加角的条件，用两角对应相等的两三角形相似；也可以加两边对应成比例，用两边对应成比例且夹角相等来证明. 7答案：AC ⊥EF提示：条件开放(答案不唯一),根据菱形的性质. 8答案：y=x1（答案不唯一） 提示：根据条件与三种函数的性质. 9答案：③提示：由角平分线性质以及等腰三角形判定可知△BDE 的周长=AB. 10答案：(1)①③、①④、②③、②④.(2)证明：由①③,在△BEO 与△CDO 中,∠EBO=∠DCO.① 又∠BOE=∠COD, ∴∠BEO=∠CDO. 又BE=CD,③∴△EBO ∽△CDO.∴DO=EO,BO=CO,从而可证△AEO ≌△ADO.∴AB=AC. ∴△ABC 为等腰三角形.提示：4个条件中选2个，共有6种可能.逐一去验证对错.11提示：(1)连结BD ，证明△BOM ≌△DON ，从而证明两个梯形的上、下底边分别相等，而两个梯形的高也相等，所以面积相等. (2)MN ⊥AC 或MN 平分∠AMC. (3)菱形.12答案：(1)只需证明△ADC≌△CBF;(2)△EFB为等边三角形;(3)平行四边形;(4)成立.提示：(1)只需证明△ADC≌△CBF;(2)在上一问基础上，证明△EFB为等腰三角形，且有一个角为60°;(3)证明一组对边平行且相等;(4)成立.。
中考数学知识点训练题35开放题型
中考数学开放题型【复习要点】 中考中的开放探索题型一般分为（1）条件开放探索型；（2）结论开放探索型；（3）存在开放探索型；（4）规律开放探索型；（5）方案选择开放探索型等五类。
也有一些综合性开放题型，如条件、结论都开放型题。
【实弹射击】一、条件开放探索型1、如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，连接DE 、DF 、CD ，如果 ，那么四边形DECF 是正方形。
（要求：① 不在添加辅助线，② 只需填一个符合要求的条件）2、如图，⊙O ´与 轴的正半轴交于C 、D 两点，E 为圆上一点，给出 5 个论断：① ⊙O ´与ｙ轴相切于点A ， ② DE ⊥ 轴， ③ EC 平分∠AED ；④ DE=2AO ；⑤OD=3OC（1）如果论断① 、 ② 都成立，那么论断④一定成立吗？（2）从论断① 、 ② 、 ③ 、④中选取三个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真-命题，那么，你选的3个论断是_____（只需填论断的序号）(3)用（2）中你选的三个轮断作为条件，论断⑤作为结论，组成一道证明题，利用这个已知图形，补全已知，写出求证，并加以证明。
二、结论开放探索型3、如图⊙O 的弦AB 、CD 的延长线相交于点E.请你根据上述条件，写出一个结论（不准添加新的线段及标注其他字母）并给出证明.(证明时允许自行添加辅助线)4、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，过D 作⊙O 的切线DE 交AC 于E ，且DE ⊥AC ，由上述条件，你能推出的正确结论有： ，并加以证明。
三、存在开放探索型5、（2007乐山）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，10AD =．直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A D ，不重合），一直角边经过点C ，另一直角边AB 交于点E ．我们知道，结论“Rt Rt AEP DPC △∽△”成立．（1）当30CPD =o∠时，求AE 的长；（2）是否存在这样的点P ，使DPC △的周长等于AEP △周长的2倍？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由．6、如图，直径为13的⊙O ’经过原点O ，并且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，线段OA ，OB （OA ＞OB ）的长分别是方程x k x 2600++=的两根。
专题复习二 中考数学开放探索题
专题复习二 开放探索题一、知识系统网络为了进行创新教育,培养创造性人才,在近几年的中考命题中,•出现了越来越多的开放探索题.开放探索题的出现,对初中数学教学产生了积极的导向作用,•且有利于落实素质教育.开放探索题主要有三种表示形式:①条件的开放与探索;•②结论的开放与探索;③解题方法的开放与探索.二、中考题型例析1.条件的开放与探索例1 (2004·四川)如图3,已知点C 是∠AOB 平分线上一点,点P 、P•′分别在边OA 、OB 上.如果要得到OP=OP ′,要添加以下条件中的某一个即可,请你写出所有可能结果的序号为:_____ . ①∠OCP=∠OCP ′;②∠OPC=∠OP ′C;③PC=P ′C; ④PP ′⊥OC.解析:本题主要是三角形全等的判定,所添加的条件能使△OPC ≌△OP ′C. 答案:①或②或④.例2 (2003·四川)多项式9x 2+1加上一个单项式后,•使它能成为一个整式的完全平方,那么加上的单项式可以是_________.(填上一个你认为正确的即可) 解析:本题主要考查完全平方公式,按完全平方式得9x 2+1+6x=(3x+1)2,•或9x 2+1-6x=(3x -1)2;还会得到9x 2+1-9x 2=12,9x 2+1-1=(3x)2,9x 2+1+814x 4=(92x 2+1)2. 答案:±6x 或-9x 2或-1或814x 4. 2.结论的开放与探索例3 (2004·北京)我们学习过反比例函数.例如,当矩形面积S 一定时,长a•是宽b 的反比例函数,其函数关系式可以写为a=Sb(S 为常数,S ≠0). 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例,并写出它的函数关系式.实例:________________;函数关系式:_______________.解析:本题主要考查反比例函数的定义.在现实生活有很多反比例函数的模型,•如:当路程s 一定时,速度v 与时间t 成反比例;当压力F 一定时,压强P 与受力面积S 成反比例等. 答案:当路程s 一定时,速度v 是时间t 的反比例函数;v=st(s 为常数,s ≠0). 例4 (2003·北京)如图,在ABCD 中,点E 、F 在对角线AC 上,且AE=CF.•请你以F 为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,•猜想并证明它和图中已有的某条线段相等(只需证明一组线段相等即可).(1)连结__________. (2)猜想:________=________.(3)证明:_________.P 'B OF A D E C B O分析:本题立足于一个常见的基本图形,把传统的几何证明题,•改造成一个要求学生发生、猜想、证明的几何题,对于平面几何的教学改革有着重要的指导作用. 答案1:(1)连结BF. (2)猜想:BF=DE.(3)证法1:∵四边形ABCD 为平行四边形, ∴AD=BC,AD ∥BC. ∴∠DAE=∠BCF. 在△BCF 和△DAE 中,,,,CB AD BCF DAE CF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCF ≌△DAE. ∴BF=DE.证法2:如图,连结DB 、DF,设DB 、AC 交于点O. ∵四边形ABCD 为平行四边形. ∴AO=OC,DO=OB. ∵AE=FC, ∴AO-AE=OC-FC.∴EO=OF.∴四边形EBFD 为平行四边形.∴BF=DE.答案2:(1)连结DF. (2)猜想:DF=BE. (3)证明:略3.解题方法的开放与探索 例5 (2004·桂林)小华为班级设计了一个班徽,图中有一菱形.为了检验小华所画的菱形是否准确,请你以带有刻度的三角尺为工作,•帮小华设计一个检验的方案:_____ __.解析:本题主要考查菱形的判定,可以根据四条边都相等或对角线互相垂直平分来判定四边形是否为菱形.答案:用三角尺测量四边形是否相等或测量对角线是否垂直平分. 例6 (2004·山西)某服装厂里有大量剩余的等腰直角三角形边角布料,•现找出其中一种,测得∠C=90°,AC=BC(如图),•现要从这种三角形中剪出几种不同的扇形,做成不同形状的玩具,要求使扇形的半径恰好在△ABC 的边上,且扇形的弧与△ABC 的其他边相切.请你在下图备用的等腰直角三角形中,设计出所有符合要求的不同的方案示意图.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).C BCB CB CB CB分析:此题是一道立意很新的运用几何知识进行裁剪设计的应用题,且具有开放性和探索性.题目要求以画示意图的方法作答,解答的关键是确定扇形的圆心,•可从圆心在△ABC 的三个顶点上和圆心在△ABC 的三边上两个角度来考虑. 解:如图3-2-6.A B A C B A C BACB例7 (2003·江西)甲、乙两同学做“投球进筐”游戏.商定:每人玩5局,每局在指定线外将一个皮球投往筐中,一次未进可再投第二次,以此类推,但最多只能投6次,当投进后,该局结束,并记下投球次数;当6次都未投进时,该局也结束,•并记为“×”.两人五局投球情况如下:(1)为了计算得分,双方约定:“×”的表示该局得0分,•其他局得分的计算方法要满足以下两个条件:①投球次数越多,得分越低;②得分为正数.请你按约定的要求,用公式、表格、语言叙述等方式,选取其中一种写出一个将其他局的投球次数n 换算成得分M•的具体方案; (2)请根据上述约定和你写出的方案,计算甲、乙两人的每局得分,•填入牌上的表格中,并从平均分的角度来判断谁投得更好.分析:本题文字较多,要求学生具有一定的阅读理解能力,•综合考查了函数的思想、表示方法、数学建模的能力及平均数的意义.本题的开放性及解法的多样化,为学生的探索创造了一个广阔的空间.有许多方案,这里只给出三种.解法1:(1)其他局投球次数n 换算成该局得分M 的公式为M=7-n. (2)M 甲=255=(分).M 乙=053501355++++=(分).故以此方案来判断:乙投得更好.解法2:(1)其他局投球次数n 换算成该局得分M 的公式为M=60n. (2)M 甲=55=(分).M 乙=030153007555++++=(分).故以此方案来判断:甲投得更好.解法3:(1)其他局投球次数n 换算成该局得分M 的方案如下表 (2)M 甲=55=(分).M 乙=053501355++++=(分). 故以此方案来判断:乙投得更好.专题训练一、填空题 1.(2003·长沙)如图1,若AC 、BD 、EF 两两互相平分于点O,•请写出图中的一对全等三角形(只需写一对即可)_________.F AD ECB O DFA21NMEBDAC(1) (2) (3)2.(2003·广州)如图2,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN ≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论是______.(注:将你认为正确的结论都填上) 3.(2004·甘肃)若抛物线过点(1,0),且其解析式中二次项系数为1,•则它的解析式为___________.(任写一个).4.(2004·呼和浩特)如图3,已知AC=DB,要使△ABC ≌△DCB,•只需增加的一个条件是_________或_________.5.(2004·安徽)写出一个当x>0时,y 随x 的增大而增大的函数解析式________.6.(2003·新疆)在△ABC 和△ADC 中,下列三个论断:①AB=AD,②∠BAC=∠DAC,③BC=•DC,将其中的两个论断作条件,另一个论断作为结论写出一个真命题__________.7.(2004·长沙)请用“如果……,那么……”的形式写一个命题:__________________. 8.(2004·南宁)写出一个图象位于一、三象限的反比例函数表示式_________. 9.(2004·潍坊)如图,请写出等腰梯形ABCD(AB ∥CD)特有而一般梯形不具有的三个特征:_________,_________,__________. 二、解答题 1.(2004·南宁)如图,下面四个条件中,请你以其中两个为已知条件,第三个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).①AE=AD ②AB=AC ③OB=OC ④∠B=∠C.DAE CBO2.(2004·江西)如图,已知△ABC 、△DCE 、△FEG•是三个全等的等腰三角形,底边BC 、CE 、EG 在同一直线上,且连结BF,分别交AC 、DC 、DE 于点P 、Q 、R. (1)求证:△BFG ∽△FEG,并求出BF 的长.(2)观察图形,请你提出一个与点P 相关的问题,并进行解答.DFQ RAP GEC BD A C B3.(2004·大连)阅读材料,解答问题:材料:“小聪设计的一个电子游戏是:一电子跳蚤从P1(-3,9)开始,按点的横坐标依次增加1的规律,在抛物线y=x2上向右跳动,得到点P2、P3、P4、P5…(如图①•所示),过P1、P2、P3分别作P1H2、P2H2、P3H3垂直于x轴,垂足为H1、H2、H3,则S△P1P2P3=S梯形P1H1H3P3-S梯形P1H1H2P2-S梯形P2H2H3P3=12(9+1)×2-12(9+4)×1-12(4+1)×1=1.,即△P1P2P3的面积为1”问题:(1)•求四边形P1P2P3P4•和四边形P2P3P4P5的面积(要求:写出其中一个四边形面积的求解过程,另一个直接写出答案);(2)猜想四边形P n-1P n P n+1P n+2的面积,并说明理由(利用图②).(3)若将抛物线y=x2改为抛物线y=x2+bx+c,其他条件不变,猜想四边形P n-1P n P n+1P n+2的面积(直接写出答案).①②4.(2004·吉林)如图,梯形ABCD,AB ∥DC,AD=DC=CB,AD 、BC•的延长线相交于G,CE ⊥AG 于E,CF ⊥AB 于F.(1)请写出图中4组相等的线段(已知的相等线段除外);(2)选择(1)中你所写出的一组相等线段,说明它们相等的理由.DF AG ECB答案：一、1.△DOF≌△BOE2.①②③3.y=x2-1或y=x2-2x+1等4.AB=DC,∠ACB=•∠DBC5.y=x或y=-1x或y=x2等6.已知:AB=AD,∠BAC=∠DAC,求证:BC=DC.或已知:AB=AD,BC=DC, 求证:∠BAC=∠DAC.7.略8.y=kx,其中k>0.9.∠A=∠B,∠D=∠C,AD=BC 二、1.已知:①,AE ADAB AC=⎧⎨=⎩或②,AB ACB C=⎧⎨∠=∠⎩或③,AE ADB C=⎧⎨∠=∠⎩求证:①∠B=∠C,或②AE=AD,或③AB=AC.证明:①,,.AE ADA BAB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⇒△ABE≌△ACD⇒∠B=∠C;或②,,.AB ACB CA A=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩⇒△ABE≌△ACD⇒AE=AD;或③,,.B CAD AEA A∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩⇒△ABE≌△ACD⇒AB=AC.2.(1)证明:∵△ABC≌△DCE≌△FEG,∴BC=CE=EG=13BG=1,即BG=3.D FQ R A P GEC∴∴FG BG EG FG ==又∠BGF=∠FGE,∴△BFG ∽△FEG.∵△FEG 是等腰三角形,∴△BFG 是等腰三角形. ∴BF=BG=3.(2)A 层问题(较浅显的,仅用到了1个知识点).例如:①求证:∠PCB=∠REC(或问∠PCB 与∠REC 是否相等?)等; ②求证:PC ∥RE.(或问线段PC 与RE 是否平行?)等.B 层问题(有一定思考的,用到了2～3个知识点).例如:①求证:∠BPC=∠BFG 等,•求证:BP=PR 等.②求证:△ABP ∽△CQP 等,求证:△BPC ∽△BRE 等; ③求证:△APB ∽△DQR 等;④求BP:PF 的值等.C 层问题(有深刻思考的,用到了4个或4个以上知识点或用到了(1)中结论).例如:①求证:△APB ≌△ERF;②求证:PQ=RQ 等;③求证:△BPC 是等腰三角形;• ④求证:△PCQ ≌△RDQ 等;⑤求AP:PC 的值等;⑥求BP 的长;⑦求证:PC=3(或求PC 的长)等.A 层解答举例. 求证:PC ∥RE.证明:∵△ABC ≌△DCE, ∴∠PCB=∠REB. ∴PC ∥RE. B 层解答举例. 求证:BP=PR.证明:∵∠ACB=∠REC,∴AC ∥DE. 又∵BC=CE,∴BP=PR.C 层解答举例. 求AP:PC 的值.解:∵AC ∥FG,∴13PC BC FG BG ==,∴. ∵∴∴AP:PC=2. 3.解:(1)如图,由题意知:P1(-3,9),P2(-2,4),P3(-1,1),P4(0,0).S四边形P1P2P3P4=S△P1H1P4-S梯形P1H1H2P2-S梯形P2H2H3P3-S△P3H3P4=12×9×3-12×(9+4)×1-12×(4+1)×-12×1×1=4.S四边形P2P3P4P5=4.(2)四边形P n-1P n P n+1P n+2的面积为4.理由:过点P n-1、P n、P n+1、P n+2分别作P n-1H n-1、P n H n、P n+1H n+1、P n+2H n+2垂直于x轴,垂足分别为H n-1、H n、H n+1、H n+2.设P n-1、P n、P n+1、P n+2四点的横坐标依次为x-1,x,x+1,x+2,•则这两个点的纵坐标分别为(x-1)2,x2,(x+1)2,(x+2)2.所以四边形P n-1P n P n+1P n+2的面积=梯形P n-1H n-1H n+1P n+2的面积-梯形P n-1H n-1H n P n的面积-•梯形P n H n H n+1P n+1-梯形P n+1H n+1H n+2P n+2的面积=32[(x-1)2+(x+2)2]-12[(x-1)2+x2]-12·[x2+(x+1)2]-12[(x+1)2+(x+2)2]=(x-1)2+(x+2)2-x2-(x+1)2=4.(3)四边形P n-1P n P n+1P n+2的面积为4.4.(1)DG=CG;DE=BF;CF=CE;AF=AE;AG=BG.(2)举例说明AG=BG.∵在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC,∴梯形ABCD为等腰梯形.∴∠GAB=∠GBA.∴AG=BG.。
中考数学复习之开放型试题(共11页)
中考(zhōnɡ kǎo)数复习之开放型试题『考察形式』为了进展创新教育，培养创造性人才，在近几年的中考命题中，出现了越来越多的开放题。
它的出现，对初中数学教学产生了积极的导向作用，且有利于课程HY的进一步深化。
开放题并不像证明题那样，在条件和结论全部给出的同时，让考生去做由因导果的工作，而是给出条件，去探究各种结论；或者给出结论或者局部条件，去探究附加条件的各种可能性等。
这种考察，不仅开展了学生的发散思维才能，而且开阔了视野，进步了学生的解题才能。
常见的有四种类型：①条件开放题；②结论开放题；③作图开放题；④方案设计开放题。
解题方法：1．条件开放题例1．〔2021·〕如图1，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足为E．(1)求证：△ABD≌△EDB。
(2)只需添加一个条件，即________，可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.图1析解：命题者编拟条件开放型试题，旨在考察学生的会聚思维的才能，让考生殊途同归，起到归纳总结的作用，从证明四边形ABCD为矩形着眼，应添加AB∥CD，或者添加AD=BC或者BE=BC或者∠A=∠ADC或者∠ADC=90°或者∠A=∠C或者∠C=90°或者∠ABD=∠BDC或者∠A=∠ABC或者∠ADB=∠DBC或者∠ABC=90°等；在△ABD与△EDB中，AB=ED，AD=EB，BD=DB，所以两三角形全等。
2．结论(ji él ùn)开放题例2．〔2021·〕如图2，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：① △ACE ≌△DCB ； ② CM ＝CN ；③ AC ＝DN 。
其中，正确结论的个数是〔 〕(A) 3个 〔B 〕2个 (C) 1个 〔D 〕0个析解：对于这类结论开放的考题，可根据条件及其图形运用逐个排除的方法进展解答。
中考数学开放题专题复习
（-3，0） （3，0） （0，1）
（-3，0一个二次函数的图象，三位学生分别说出了 它的一些特点： 甲：对称轴是y轴； 乙：与x轴两个交点A、B的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点C的纵坐标也是整数，且△ABC的 面积为3． 请你写出满足上述全部特点的二次函数解 析式 ．
1、（2005江苏） 当k的值等于 时（只需填一个）， 反比例函数 的图象在第一、三 象限内。
条件开放型问题
2、（2006黑龙江） 某一次函数的图象经过点（1，2）， 且函数y的值随自变量x的增大而减小， 请写出一个满足上述条件的函数关系 式： ．
连结CE， AF ，因为AC=AE、CF=FE，根据线段垂直平分线的判定定理得AF⊥CE
5、已知：如图，△ABC≌△ADE，DE交BC于F点，且DF=FB，试以图中标有字母的点为端点，连结两条线段，如果你所连结的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明．
CD=BE
AF⊥BD
B
0
x
y
A
C
0
B
x
y
A
C
甲：对称轴是y轴； 乙：与x轴两个交点A、B的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点C的纵坐标也是整数，且△ABC的面积为3．
底
高
①、2 3
②、6 1
A B C
（-1，0） （1，0） （0，3）
①、②、④→③
①、②、③→④
①、④、③→②
②、③、④→①
练习:（2004年新疆） 二次函数y= 的图象经过点A（-2，0）、B（2，0），并且开口向下。
建立模型：y= a (x- x1) (x- x2)
条件开放型问题
中考数学第二轮专题复习十八 开放型试题
开放型试题开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。
观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用。
例1．（2005年某某）如图，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC 上的点。
（1）如果 ，则ΔDEC ≌ΔBFA （请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论。
分析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件。
解：（1）AE=CF （OE=OF ；DE ⊥AC ；BF ⊥AC ；DE ∥BF 等等） （2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∠DCE=∠BAF 又∵AE=CF ，∴AC －AE=AC －CF ，∴AF=CE ，∴ΔDEC ≌ΔBAF 说明:考查了矩形的性质及三角形全等的判定。
练习一1. (2005年某某课改）如图, E 、F 是□ABCD 对角线BD 上的两点，请你添加一个适当的条件: ___________ ，使四边形AECF 是平行四边形.2、（2005年某某）如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，BD ＝BE. （1）请你再添加一个条件，使得△BEA ≌△BDC ，并给出证明.你添加的条件是：. 证明：ADE FOF EDCBA（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：. （只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）3、（2005年某某）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ＝CD ，AB ＜CD 且∠ABC 为锐角，若AD ＝4，BC ＝12，E 为BC 上一点。
问：当CE 分别为何值时，四边形ABED 是等腰梯形？直角梯形？请分别说明理由。
例2、（2005年某某）己知点E 、F 在ABC ∆的边 AB 所在的直线上，且的直线于点H 、G ．AE BF =，FH EG AC ，FH 、EG 分别交边BC 所在⑴如图l ，如果点E 、F 在边AB 上，那么EG FH AC +=； ⑵如图2，如果点E 在边AB 上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是_______________ ；⑶如图3，如果点E 在AB 的反向延长线上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是_________ ；对⑴⑵⑶三种情况的结论，请任选一个给予证明． 分析：这是一道探索、确定结论的开放型试题，解决这类问题的方法是根据条件，结合已学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解。
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例: 如图，AC=DB，在添加一个适当的条
件：
，使得ΔABC≌ΔDCB.
（双柏县2005年毕业考第5题）
AB=DC 或∠ACB=∠DBC 或OB=OC
或OA=OD
A
D
O
能添加条件： ∠AB=∠D吗？
C
二、结论开放型
给出问题的条件，让解题者根据 条件探索相应的结论，而符合条件的 结论往往呈现多样性，这样的问题是 结论开放性问题。
试金石
1、写出一个图象位于一、三象限的反比例 函数解析式 _______ __。
2、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P为梯形ABCD
外一点，PA、PD分别交线段BC于点E、F，且PA=PD。写 出图中你认为全等的三角形。(不再添加任何辅助线)
A
D
BE FC
P
数学来源于生活！ 祝同学们：金榜题名！
“行家”
三、方法开放型 看“门道
”
方法开放题，一般是指解题方法 不唯一或解题路径不明确的问题。
要求根据对条件和结论的不同选 择可以得到的多种符合题意的结果。
从 练习 中 悟 方 法
例：（2004年云南第18题）（1）现需要将形如
ΔABC的空地平均分成面积相等的4块，然后在上面 分别种上红、黄、蓝、紫4种不同颜色的花（要求分 出的同一块地种相同颜色的花）
（专 题 训 练）
开放性问题
数学开放题是指那些条件不完整，结论 不确定，解法不限制的数学问题。
它的显著特点：正确答案不唯一。
条件开放
结论开放
题型：
方法开放
一、条件开放型
给出问题的结论，让解题者分析探索使结论 成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不 是唯一的，这样的问题是条件开放性问题。
填写条件时，应符合题意或相关的概念、性 质、定理.
请设计出一种平分办法，并在划分出的空地上标出 红、黄、蓝、紫字样，分别表示所种不同的颜色的花 ，简要说明你的设计方案
A
B
C
1、(2003年云南第14题)已知一次函数的图象
经过点P(1,2),请写出满足条件的一个一次
函数的解析式 y=2x
。(填上一个
你认为正确的即可)
2 、(2005年云南课改第6题)请你添加一个条件
愿我们：心想事成！
得出的结论应尽可能用上题目及 图形所给的条件。
例:如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AD、
AE分别是∠BAC的邻补角的平分线，AD交⊙O
于点D，交BC于F，由这些条件请直接写出一个
正确的结论：
（不再连结其他线段）
∠B=∠C , BF=CF, AB=AC, BD=CD, AD⊥BC, AD⊥AE, AE∥BC, AD是⊙O的直径， AE是⊙O的切线… …
，使 ABCD成为一个菱形，你添加的条
件是AB=AD 。源自3、(2005年云南第6题)已知一次函数y=kx+b
的图象经过点(0,1)且不经过第四象限,则满
足以上条件的一个一次函数的解析式为
。
y=x+1
不要忘了 悟 字
条件开放型
开 放
类 型
结论开放型
性
方法开放型
问
题特
正确答案不唯一
点
作用：培养创新意识、创造能力