第5章 随机模型
数学建模之随机性模型与模拟方法
三、随机数的生成
我们知道对于丢硬币的随机结果可以用以下的离散 随机变量的改里函数来描述
X P(x) 0 0.5 1 0.5
如果我们需要模拟随机变量的以个值或一个集合， 可以用丢硬币然后记录其其结果的方法来得到，然 而这具又相当的局限性，这里我们用数学程序来产 生拟随机变量。即看上去是随机出现的，但并非真 正的随家便朗，它们产生于一个梯推公式。不过这 些拟随机数并没有明显的规律，当给于适当的伸缩 之后，它们非常接近于在 0,1 区间的均匀分布。
600
1030 3408 2520
382.5
489 1808 859
3.137
3.1595 3.141592 3.1795
由此可以看出蒙特卡罗方法的基本步骤：首先，建立 一个概率模型，使它的某个参数等于问题的解。然后按 照假设的分布，对随机变量选出具体的值（这一过程又 叫着抽样），从而构造出一个确定性的模型，计算出结 果。再通过几次抽样实验的结果，的到参数的统计特性， 最终算出解的近似值。 蒙特卡罗方法主要用再难以定量分析的概率模型，这 种模型一般的不到解析的结果，或虽然又解析结果，但 计算代价太大以至不可用。也可以用在算不出解析结果 的定性模型中。 用蒙特卡罗方法解题，需要根据随机变量遵循的分布 规律选出具体的至，即抽样。随机变量的抽样方法很多， 不同的分布采用的方法不尽相同。在计算机上的各种分 布的随机数事实上都是按照一定的确定性方法产生的伪 随机数。
X 1 [2 ln( RND1 )]1/ 2 cos(2 RND2 )
和
X 2 [2 ln( RND1 )]1/ 2 cos(2 RND2 )
来给出 X 的两个值，令X X 2 或 X X1 可以生成 ( , ) 型的正态分布。
陈正伟-第五章 综合评价数值的综合方法
p
三、线性综合法的特征
1.线性综合法的一个显著特点是，它只适用 于评价指标间彼此不相关的情形。如果各评价指标 间有一定的相关关系，则“求和”的结果将会发生 信息重复，而使综合评价值难以反映客观实际。 2.线性综合法的另一个显著特点是各评价指 标之间可以线性替代，即在综合评价值z不变时，一 些指标评价值的上升(或下降)可通过另一些指标评 价值的下降(或上升)来替代。正因为如此，—方面 它突出了权数较大的指标的作用；另一方面，它对 各被评价对象评价指标值之间的差异反映不太灵敏。 所以，当各评价指标间的相对重要性程度(即权数) 差异较大，但它们的评价值间的差异较小时，比较 适合用线性综合法。
第三节 混合综合法
一、混合综合法和含义 1.混合综合法是指在评价指标的汇总综合的计算中，既有
线性综合成分，又有几何综合法的成分来进行评价指标综合的方 法。 2.思路：将上述两种综合方法混合在一起，就可以得到一 种兼有线性和几何综合法优点的混合综合法。混合的方式有多种， 直接混合综合法和间接混合综合法，比较常用的方式是直接混合。 3.综合法的一般公式为：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、模型综合法的种类
数学知识告诉我们，变量的表现形式 和关系可以分为三种，即，确定性变量关系、 随机性变量关系、模糊性变量关系。因此， 模型综合法根据模型的变量的表现形式不同 可以分为定义模型综合法、随机模型综合法 和模糊方程模型综合法三种类型。 1.定义模型综合法（确定性模型综合法）； 2.随机模型综合法； 3.模糊方程模型综合法。
第一节 线性综合法
一、线性综合法的含义
线性综合法就是将各指标评价值求 得其代数和而获得综合评价值的一种综合方 法。考虑到各指标对被评价事物综合水平的 影响和作用不同，常采用加权求和的方式来 计算综合评价值。 二、线性综合法的基本公式
数学建模实用教程-第5章 随机模型
因为需求量是随机的，致使报亭每天的销售收 入也是随机的。所以，不能以报亭每天的收入数作 为优化模型的目标函数，而应该是以报亭的长期（ 几个月，或一年）卖报的日平均收入最大为目标函 数。
由概率论的知识，这相当于报亭每天销售收入 的期望值，以下简称平均收入。
设每天报纸的需求量为 r 份的概率是 p(r)
P( Ai )
1 , (i n
1, 2,L
, n) 。
第 i 和第 j 个同学同时抽取到自己所带礼品的概率为
P( Ai Aj )
1 1 , (1 i n n 1
j
n) 。
类似地， P( Ai Aj Ak )
1 1 1 , (1 i n n 1 n 2
j
k
n) ，
11
P( A1 A2 L
水果需求量/百千克 0
1
相应的概率值 0.05 0.1
2
3
4
5
6 78
0.1 0.25 0.2 0.15 0.05 0.05 0.05
在这样的需求结构下，水果店主希望知道，他 应该每天进多少水果才能够获得最大的利润？
2020/5/14
数学建模实用教程－高教出版社
19
1、初等概率模型
问题4：水果店的合理进货模型
第5章 随机模型
初等概率模型； 简单统计模型； 一元线性回归模型； 参数估计模型； 主成份分析模型。
2020/5/14
数学建模实用教程－高教出版社
1
1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
假设某班共有 n 个同学参加活动，每个同学都
随机地抽取一份礼品， Ai (i 1, 2,L , n) 表示第 i 个
2020/5/14
数学建模第五章随机模型
05
随机模拟
随机模拟的基本原理
随机模拟是一种基于概率统计的数值计算方法，通过模拟随机事件或过程来求解实 际问题。
随机模拟的基本原理包括抽样、统计推断和误差分析，其中抽样是随机模拟的核心 步骤，通过从概率分布中抽取样本，模拟随机事件的概率特征。
随机模拟的精度取决于样本数量和分布的准确性，样本数量越多，模拟结果越接近 真实情况。
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蒙特卡洛积分
蒙特卡洛积分是一种基于随机抽样的 数值积分方法，通过将积分转化为求 和的形式，利用大数定律和中心极限 定理来估计积分值。
蒙特卡洛积分在金融、物理、工程等 领域有广泛应用，可以用于求解复杂 的高维积分问题。
蒙特卡洛积分的精度与样本数量和积 分的可积性有关，对于不可积的积分， 可以通过增加样本数量来提高估计精 度。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
总结词
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种基于马尔科夫链的随机抽样方法，常用于求解复杂数学 问题的不确定性。
详细描述
马尔科夫链蒙特卡洛方法通过构造一个马尔科夫链，使其平稳分布为目标分布，从而通 过抽样得到目标分布的近似解。这种方法在统计学、物理、经济学等领域有广泛应用， 可以用于求解复杂数学问题的不确定性，如概率论中的积分、统计推断中的参数估计等。
描述随机变量取值概率分布的函数称 为随机变量的分布函数。常见的分布 函数有离散型分布和连续型分布，如 二项分布、泊松分布、正态分布等。
03
随机过程
随机过程的定义与分类
定义
随机过程是随机变量在时间或空间上的扩展，描述了一个随机现象在连续时间或 离散时间上的变化。
分类
根据过程的性质和特点，随机过程可以分为平稳随机过程、非平稳随机过程、离 散随机过程和连续随机过程等。
第五章 方差分析(第四节)
田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
三、方差分量的估计
• 了解期望均方的组成，不仅有助于正确
进行F检验，而且也有助于正确估计方
差分量(variance components)。方差
分量是指方差的组成成分。根据试验资 料的模型和期望均方的组成，就可估计 出所需要的方差分量。
2 A B
Copyright © 2008 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved
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田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
1、固定效应
• 在单因素试验的方差分析中，把k个处理看作k个明 晰的总体。如果研究的对象只限于这k个总体的结 果，而不需推广到其它总体；研究目的在于推断这 k个总体平均数是否相同，即在于检验k个总体平均 数相等的假设H0：μ1=μ2=…=μk；H0被否定，下步 工作在于作多重比较；重复试验时的处理仍为原k 个处理。这样，则k个处理的效应(如=μi-μ)固定于 所试验的处理的范围内，处理效应是固定的。
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田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
• 方差分量的估计主要是指对随机模型的方 差分量估计。因为在这种模型下，我们研 究的目的在于从总体上了解各因素对试验 指标所产生的效应方差。 • 在研究数量性状的遗传变异时，对一些遗 传参数的估计，如重复率、遗传力和性状 间的遗传相关的估计都是在随机模型方差 分量估计的基础上进行的。
第5章流动资产讲解
短期借款
1.短期借款概念
2.种类：——生产周转借款、临时借款 结算借款 3.短期借款信用条件——信贷限额、周转 信贷协定、补偿性余额
4.借款利息——利随本清法、贴现法、加 息法
信用条件
①信贷限额
信贷限额是银行对借款人规定的无担保贷款的最高 额。银行不会承担法律责任。
②周转信贷协定
『答案解析』（600×6%＋400×0.5%） /[600×（1－10%）]×100%＝7.04%。
流动资产投资管理
流动资产投资决策
现金管理 有价证券管理 应收账款管理
存货管理
流动资产投资决策
1.流动资产的特征与分类
2.流动资产投资总额决策
流动资产分类
1)处于生产领域的流动资产
2)处于流动领域的流动资产
3)处于生息领域的流动资产
流动资产投资总额决策
权衡风险与收益
现金管理
一、现金管理的意义
二、现金预算
三、现金持有量决策
四、现金流量管理
一、现金管理的意义
1.满足交易性的需要
2.满足预防性的需要 3.满足投机性的需要
一、现金管理的意义
1.满足交易性的需要：应付企业日常经营所产生
周转信贷协定是银行具有法律义务地承诺提供不超 过某一最高限额的贷款协定。 企业享用周转信贷协定，通常要就贷款限额的未使用 部分付给银行一笔承诺费。
③补偿性余额
补偿性余额是银行要求借款企业在银行中保持按贷 款限额或实际借用额一定百分比的最低存款余额。 对于借款企业来讲，补偿性余额则提高了借款的实际 利率
随机数学模型
天气预报基于大量的气象数据和随机过程模型。
03
随机变量的分布
随机变量的定义与性质
随机变量
在随机试验中，每个样本点被赋予一个实数值，这个 实数值称为随机变量的值。
随机变量的性质
随机变量可以是离散的、连续的、有限的、无限的。
随机变量的分类
根据不同的性质，随机变量可以分为离散型和连续型。
随机变量的分布函数
随机数学模型的重要性
预测不确定性和风
险
随机数学模型能够预测不确定性 和风险，帮助决策者制定更加科 学和合理的决策。
提高决策效率
通过随机数学模型，决策者可以 快速了解系统的动态变化和趋势， 提高决策效率。
优化资源配置
在资源有限的情况下，随机数学 模型可以帮助决策者优化资源配 置，实现资源的最优利用。
随机数学模型的求解方法
解析法
通过数学公式和定理，直接求解模型的解。
数值法
通过数值计算方法，如迭代法、有限差分法等，求解模型的近似 解。
模拟法
通过模拟随机过程，生成样本点，然后对样本点进行分析和统计。
随机数学模型的实例分析
随机游走模型
描述随机行走的数学模型，可以应用于金融市场分析、物理系统模 拟等领域。
仿真优化
随机数学模型用于仿真 优化工程设计，降低实 验成本和风险。
在社会科学领域的应用
01
人口统计学
随机数学模型用于预测人口发展趋势，分析人口结构变化对社会的影响。
02
经济学
随机数学模型在经济学中用于分析市场行为、预测经济趋势和评估政策
效果。
03
社会网络分析
随机数学模型用于分析社会网络的结构和动态，研究人际关系和社会影
数学建模5_概率模型
k = n+1
k k m−k ( k − n ) C ∑ mp q
m
问题化归为：对给定的b, g, n, p，确定m， 使得Eη最大 为了进一步简化计算，以每张机票的价格g为单位计 算平均利润，得：
b m Eη k k m−k = mp − (1 + ) ∑ ( k − n)C m p q g k = n+1 g
S ~ B( m , p )
1 n s = E ( S ) = mp = m[1 − (1 − ) ] m
模型与求解 传送系统效率指标： 1 n s m D = = [1 − (1 − ) ] n n m 为了得到比较简单的结果，在钩子数 m 相对于工人 数 n 较大 ( m >> n)，即 n m 较小的情况下，将多项 式 (1 − 1 ) n 展开后只取前3项，则 m m n n( n − 1) n−1 D = [1 − (1 − + )] = 1 − 2 n m 2m 2m 当n=10, m=40时， D ≈ 87.5% 利用D的精确模型计算得， D ≈ 89.4%
模型描述：构造衡量传送系统效率的指标，并在简 化假设下建立模型描述这个指标与工人数目、钩子 数量等参数的关系。
2、模型的分析
为了用传送帯及时带走的产品数量来表示传送带的效率，在工 人们生产周期（即生产一件产品的时间）相同的情况下，需要假设 工人们在生产出一件产品后，要么恰好有空钩子经过他的工作台， 使他可以将产品挂上带走，要么没有空钩子经过，迫使他将产品放 下并立即投入下一件产品的生产，以保持整个系统周期性地运转。 工人们的生产周期虽然相同，但是由于各种随机因素的干扰， 经过相当长时间后，他们生产完一件产品的时刻就不会一致，可以 认为是随机的，并且在一个生产周期内任一时刻的可能性是一样的。 由上分析，传送帯长期运转的效率等价于一周期的效率，而一 周期的效率可以用它在一周期能带走的产品数与一周期内生产的全 部产品数之比来描述。
随机过程第5章(Galton-Waston分支过程)
存在性
对于给定的生育概率函数， Galton-Watson分支过程存在。
唯一性
对于给定的生育概率函数， Galton-Watson分支过程是唯一 的。
灭绝概率
定义
灭绝概率是指种群最终消亡的概率。
计算方法
通过递归方式计算每一代种群数量的概率分布， 最终得到灭绝概率。
应用
灭绝概率在生态学、遗传学等领域有广泛应用， 如评估种群稳定性、预测种群发展趋势等。
计算机科学
在计算机科学中，GaltonWatson分支过程可用于模拟网络 流量、路由协议等。
统计学
在统计学中，Galton-Watson分 支过程可用于估计事件的概率分 布和参数估计。
02
Galton-Watson分支过程的 数学模型
模型建立
01
02
03
定义
初始条件
繁殖规则
Galton-Watson分支过程是一个 离散时间的马尔可夫链，描述了 一代代繁殖的种群数量变化。
01
02
03
无重叠世代
每一代种群与下一代种群 没有重叠，即每一代种群 中的个体不会在下一代中 出现。
无移民和迁出
种群中没有新的个体加入 或离开，即种群数量只受 繁殖和死亡的影响。
独立同分布
每一代种群中个体的繁殖 数量独立且服从相同的概 率分布。
03
Galton-Watson分支过程的 性质与定理
存在性与唯一性
生物多样性研究
通过模拟不同环境下的物种繁殖和灭 绝过程，可以研究生物多样性的形成 和维持机制，为保护生物多样性提供 理论支持。
遗传学中的应用
基因传递模型
Galton-Watson分支过程可以用于描述基因在世代之间的传 递过程，帮助遗传学家理解基因突变和进化的机制。
随机模型-数学建模
事件X(t +t)=n的分解 X(t)=n-1, t内出生一人 X(t)=n+1, t内死亡一人 X(t)=n, t内没有出生和死亡
其它(出生或死亡二人， 出生且死亡一人，… …)
概率Pn(t+t) Pn-1(t) bn-1t Pn+1(t) dn+1t Pn(t)(1-bnt -dn t)
o(t)
• 确定关系： – 牙膏销售量——价格、广告投入
• 内部规律复杂数据统计分析 – 常用模型回归模型数学原理软件
• 30个销售周期数据： – 销售量、价格、广告费用、同类产品均价
销售周期 公司价 (元) 它厂价 (元) 广告(百万元)
1
3.85
3.80
5.50
2
3.75
4.00
6.75
…
…
…
…
29
3.80
E(t)-(t)
0
t
X(t)大致在 E(t)2(t) 范围内（ (t) ~均方差）
- = r D(t) , D(t)
14
§3 牙膏的销售量模型
1. 问题 建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型;
预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量.
收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、 广告费用，及同期其他厂家同类牙膏的平均售价 .
对象
X(t) ~ 时刻 t 的人口, 随机变量. Pn(t) ~概率P(X(t)=n), n=0,1,2,…
研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差
9
模型假设
若X(t)=n, 对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设
1)出生一人的概率与t成正比，记bnt ; 出生二人及二人以上的概率为o(t).
随机模型
§1 简单的随机性模型
一、取球问题
问题：盒中放有12个乒乓球，其中有9个是 新的，第一次比赛时从盒中任取3个，用后仍放 回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个，求第 二次取出的球都是新球的概率。 分析：第二次取球是在第一次比赛之后，所 以当第二次取球时盒中就不一定有9个新球了，因 为第一次用的3个球可能有0、1、2、3个新球，所 以第二次全取新球直接受这四种可能性的影响， 可用全概率公式求解。
15
3. 随机性存贮模型
可供选择的策略
策略1：定期订货：订货数量需要与上一个周 期末剩下货物的数量来决定订货量。 策略2：定点订货：存贮降到某一确定的数量 时即订货，不再考虑间隔的时间。 订货点 策略3：定期订货与定点订货的综合，隔一定 时间检查一次存贮，如果存贮数量高于一个数 值s，则不定货。小于s时则订货补充存贮，订 货量要使存贮量达到S，这种策略可以简称为(s ，S)存贮策略。
显然A是 中的一个区域，如图
,
而A的面积为
L( A)
0
l sin d l 2
13
从而所求概率为
L( A) l 2l p A() 1 a a 2
14
3. 随机性存贮模型 ？ ？ 问题的引入 需求为随机的，其概 ？ 率或分布为已知
• • 例：商店对某种商品
进货300件，这300件商 品可能在一个月内售完 ，也有可能在两个月之 后还有剩余。
随机性模型
（ Random Models ）
董
珺
1
兰州工业高等专科学校基础部 二〇一一年七月二十日
随机性模型
现实世界充满了不确定性，我们所研究 的对象往往受到许多随机因素的影响， 因此所建立的数学模型涉及的变量往往 并非确定型变量而是随机变量，甚至有 时候变量之间的关系也不是确定的函数 关系，我们将这类模型称为随机模型。
10第5章方差分析(4)讲解
2
期望均方 A随机、B固定
2 2
sA2 sB 2 sAB 2 se
2
e nb A
2
e n AB nb A
2
e2 bn A2
e2 na B 2 e2 n AB2 na B2 e2 n AB2 an B2 2 2 n 2 2 2 2 e AB n n
se 2
e2
e2
e2
第四节 方差分析处理效应分类与期望均方
三、方差分量的估计 方差分量variance component 方差的组成成分 根据试验方差和期望方差的关系，可估算各方差分量。 例如，单因素完全随机设计资料的方差分量估算如下：
试验方差 期望均方 固定模型 随机模型
st 2
se 2
随机模型
2
A固定、B随机
2 2
sA2 sB 2 se 2
e b A e 2 a B 2
2
e b A
2 2
e 2 b A2
e 2 a B 2
e2
e a B
e2
e2
第四节 方差分析处理效应分类与期望均方
二、期望均方 3. 两因素交叉设计有重复资料方差分析的期望均方
二、期望均方 1. 单因素完全随机设计资料方差分析的期望均方
试验方差
期望均方 固定模型 随机模型
e2 n 2
e2
st n 2
e2
第四节 方差分析处理效应分类与期望均方
二、期望均方 2. 两因素交叉设计无重复资料方差分析的期望均方
试验方差 期望均方
固定模型
H0 : 2 0
随机模型
随机模型在现实世界中, 不确定现象是普遍存在的. 例如, 漂浮在液面上的微小粒子不断地进行着杂乱无章运动, 粒子在任一时刻的位置是不确定的; 又如公共汽车站等车的人数在任一时刻也是不确定的, 因为随时都可能有乘客的到来和离去. 这类不确定现象, 表面看来无法把握, 其实, 在其不确定的背后, 往往隐藏着某种确定的概率规律, 因此, 以概率和数理统计为基础的随机模型就成为解决此类问题最有效的工具之一.依随机规律是否随时间的变化而变化, 随机时模型可分为静态和动态两类, 前者只涉及到随机变量(向量)的概率分布及其数字特征, 后者则要处理随机过程和随机微分方程, 本讲章主要讨论前者.§1 电梯问题有r 个人在一楼进入电梯, 楼上有n 层, 设每个乘客在任何一层出电梯的概率相同, 试建立一个概率模型, 求直到电梯中的乘客下完时, 电梯需停次数的数学期望.分析: 对于此问题, 容易想到该问题为离散随机变量求数学期望的问题, 既然求电梯需停次数的数学期望, 那么电梯需停次数便为要定义的随机变量, 用X 表示, 显然X 的取值范围为}},min{,,2,1{n r ", 然后需计算}{i X P =, 那么所求的答案即为}{},min{1i X p i n r i =⋅∑=, 用上述思路求解电梯问题理论上完全正确, 然而我们却很难得到问题的一个简洁的表达式结果, 原因是古典概率}{i X P =的计算相当复杂, 而且要依据r , n 的不同情况具体来求. 下面我们看一些具体的例子,例1: 取2=r , 3=n 时, 此时X 的取值范围为}2,1{13211{1}33C P X ⋅=== 23222{2}33C P X ⋅=== 从而所求的解为35322311=⋅+⋅ 例2: 取3=r , 2=n 时, 此时X 的取值范围为}2,1{12311{1}24C P X ⋅=== 43222}2{33=−==X P 从而所求的解为47432411=⋅+⋅ 例3: 取3=r , 4=n 时, 此时X 的取值范围为}3,2,1{14311{1}416C P X ⋅=== 3433!6{3}416C P X ⋅=== 313443413!9{2}416C C P X −⋅−⋅=== 从而所求的解为1637166316921611=⋅+⋅+⋅ 上述三例是在r , n 给出具体数据的情况下的计算, 可以看出, 随着r , n 数据的增大, 计算变的愈加复杂, 且没有明显的规律可言. 而当r , n 未给出具体数据时, 用上述思路求解问题, 想要得到具体的表达式就更为困难.下面我们换个角度考虑该问题, 我们将电梯在第i 层是否停下来这一事件作为随机变量i Y , 1=i Y 表示停下来, 0=i Y 表示电梯未停, 其中i 取值为},,2,1{n ", 这样问题便转化为求i Y 的期望之和, 由题意容易得知电梯在任何楼层上是否停留这一概率完全相同即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−=r r i n n n n Y )1(0)1(11 从而i Y 的期望即为r i nn Y E )1(1)(−−= 那么原问题的解即为]1(1[)(1r ni i n n n Y E −−⋅=∑= 显然要比刚才的方法来得简单, 而且得到了统一的表达式结果, 避免了用第一种方法在计算古典概率时对r , n 大小的具体讨论.我们用前面的三个例子验证上面的结论:例1中, 取2=r , 3=n 时, 得到的结果为35, 而 35])313(1[32=−−⋅ 例2中, 取3=r , 2=n 时, 得到的结果为47, 而 47])212(1[23=−−⋅例3中, 取3=r , 4=n 时, 得到的结果为1637, 而 1637])414(1[43=−−⋅ 通过电梯问题求解的讨论, 可以看出在解决带随机性现象的问题中, 方法的选取是非常重要的, 只有采取合适的方法才会事半功倍.§2钓鱼问题为了估计湖中鱼的数量, 先从湖中钓出r 条鱼做上记号后又放回湖中, 然后再从湖中钓出S 条鱼, 结果发现S 条鱼中有x 条鱼标有记号. 问应该如何估计湖中鱼的数量N ?分析与求解该问题就是要从第二次钓出的标有记号的鱼所占的比例估计出湖中鱼的数量. 首先我们假设放回湖中的鱼在湖中的分布是均匀的. 则第二次钓出的标有记号的鱼数X 是一个随机变量, X 服从超几何分布{}x s x r N r s NC C P X x C −−⋅== (*) 其中x 为整数, 且],min[)](,0max[s r x r N s ≤≤−−. 用),(N x L 表示(*)式的右端, 则取使),(N x L 达到极大值的N 作为N 的估计量. 直接对N 求导考察极值比较困难, 我们用比值法来研究),(N x L 的变化(,)(,)(,1)()()L x N N r N s A x N L x N N N r s x −−==⋅−−−− 22()()N r s N rs N r s N Nx−++=−++ (**) 从(**)式看出, 当且仅当xrs N <时, )1,(),(−>N x L N x L , 而当且仅当xrs N >时, )1,(),(−<N x L N x L . 因此),(N x L 在x rs 附近取得极大值, 于是N 的估计值N ˆ为][x rs 或[x rs +1, 取使得),(N x L 的值更大的一个即可.上面的求解方法实际上是运用了概率统计中的极大似然原理, 即现在这个事件发生了, 那么客观情况使得它最有可能发生.下面我们换个角度考虑上述问题, 既然假设放回湖中的鱼在湖中的分布是均匀的, 我们可以认为湖中整个鱼群中含带有记号的鱼群比例与湖中任意一部分鱼群中含带有记号的鱼群比例完全相同, 即sx N r = 从而srx N =, 取整即与上述分析所得的结果完全相同. 从这一问题, 我们可以学到估计类似问题的一种实际操作方法.§3 广告中的数学在我们的现实生活中, 广告无所不在.广告给商家带来了丰厚的利润, 广告中蕴藏着诸多学问.以房产销售广告为例, 房产开发商为了扩大销售, 提高销售量, 通常会印制精美的广告分发给大家.虽然买房人的买房行为是随机的, 他可能买房, 也可能暂时不买, 可能买这家开发商的房子, 也可能买另一家开发商的房子, 但与各开发商的广告投入有一定的关联.一般地, 随着广告费用的增加, 潜在的购买量会增加, 但市场的购买力是有一定限度的.表3.1给出了某开发商以往9次广告投入及预测的潜在购买力.表3.1 广告投入与潜在购买力统计( 单位: 百万元)广告投入0.2 0.4 0.5 0.52 0.56 0.65 0.67 0.69 1购买力10340 10580 10670 10690 10720 10780 10800 10810 10950下面从数学角度, 通过合理的假设为开发商制定合理的广告策略, 并给出单位面积成本700元, 售价为4000元条件下的广告方案.模型假设(1) 假设单位面积成本为1p 元, 售价为2p 元, 忽略其他费用, 需求量r 是随机变量, 其概率密度为()p r .(2) 假设广告投入为p 百万元, 潜在购买力是p 的函数记作()s p ,实际供应量为y .模型建立开发商制定策略的好坏主要由利润来确定, 好的策略应该获得好的利润(平均意义下), 为此, 必须计算平均销售量()E x .0()()()y y E x rp r dr yp r dr +∞=+∫∫上面右边第二项表示当需求量大于等于供应量时, 取需求量等于供应量.因此, 利润函数为21()()R y p E x p y p =−−利用0()1p r dr +∞=∫得到2120()()()()yR y p p y p p y r p r dr =−−−−∫ ( 3.1)上式中, 第一项表示已售房毛利润, 第二项为广告成本, 第三项为未售出房的损失.模型求解为了获得最大利润, 只需对(3.1)式求导并令其为零, 设()R y 获得最大值时y 的最优值为*y , 则2120()()()0y dR y p p p p r dr dy=−−=∫因此, *y 满足关系式*2102()y p p p r dr p −=∫ ( 3.2) 通过(3.2)式知道, 在广告投入一定的情况下, 可以求出最优的供应量, 但依赖于需求量的概率分布.为使问题更加明确, 增加如下假设:(3) 假设需求量r 服从[0,()]U s p 分布, 即10()()()0r s p s p p r ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 (3.3) 将(3.3)代人(3.2)得到212*()p p y s p p −= ( 3.4) 即最优的供应量等于毛利率与由广告费确定的潜在购买力的乘积.将( 3.4)式代入( 3.1)式, 得到最大利润为2212()(*)()2p p R y s p p p −=− ( 3.5) 对(3.5)式关于p 求导, 得驻点*p 满足的方程为22212'(*)()p s p p p =− ( 3.6) 因此, 只要知道了潜在购买力函数, 就可以给出最优的广告投入.下面根据开发商获得的相关数据, 来确定潜在购买力函数. 通过对表3.1数据分析, 得知其符合log istic 型曲线增长率, 经拟合得到52()10/(9)p s p e −=+ ( 3.7)记52221210()p l p p −=×− 将(3.7)式代入(3.6)式, 当1180l −>时, 求得*11ln(19ln 22p l l =−−−+ (3.8) 将120.0007,0.004p p ==代入(3.8)式得到*0.49p =(百万元).§4 报童的策略背景简介报童问题即单周期库存问题(Single-Period Problem), 是供应链管理中最重要的模型之一, 其历史可以追溯到1888年著名经济学家Edgeworth 应用它解决银行的现金流(cash-flow)问题, 1955年, Whitin 首次建立了受价格影响的报童问题模型. 目前, 报童问题在生产、服务、管理和金融等领域成功地取得了广泛的应用. 现在报童问题衍生出许多扩展问题.与众多扩展模型相比, 经典报童问题模型是最简单最基本的问题, 它可以描述为: 报童每天早晨以单位批发价b 从报社买进报纸, 然后以单位零售价a 出售, 晚上将没有卖掉的报纸当作废品以价格c (c b a >>)处理掉. 同时假设:(1) 报童拥有购买足够多报纸的资金;(2) 报纸过剩只能以低于零售价的价格v 处理;(3) 报纸供应不足, 会遭受缺货惩罚;(4) 不计其他费用(如交通费、摊位费等).报童应该如何确定订购量而获得最高的利润呢? 显然, 报童应该根据市场需求量来确定订购量, 而市场需求量是随机的. 假设报童通过经验已经掌握了市场需求量的随机规律, 我们就可以建立随机优化模型来求解报童问题了.报童每天清晨从报社购进报纸零售, 晚上将没有买掉的报纸退回. 每份报纸的购进价为元b, 零售价为a元, 退回价a−元, 退回一份报纸赔为c元,. 报童售出一份报纸赚bcb−元. 报童每天如果购进的报纸太少, 不够卖时会少赚钱, 如果购进的报纸太多, 卖不完时会赔钱. 试为报童筹划每天应如何确定购进的报纸数使得收益最大?模型一问题分析报童应该根据需求量确定购进量, 而需求量是随机的,所以这是一个风险决策问题. 假定报童已经通过自己每天的卖报经验或其它渠道掌握了需求量的分布规律, 需求量r 为一连续型随机变量, 密度函数为)(r f ,假设每天的购进量为n , 由于需求量r 是随机的, 可以小于n 、等于n 或大于n , 这就导致报童每天的收入也是随机的, 所以作为优化模型的目标函数, 不能是报童每天的收入函数, 而应该是他长期卖报的日平均收入. 从概率论大数定律的观点看这相当于报童每天收入的期望值, 以下简称它为平均利润.模型建立显然, 若n r >, 则以a 价售出r 份报纸, 以c 价售出n r −份报纸, 若n r ≤, 则全部n 以a 价售出, 故平均利润为 0()[()()()]()n F n a b r b c n r f r dr =−−−−∫()()n a b nf r dr +∞+−∫ 0()()()()na b n a c n r f r dr =−−−−∫0()()()()n dF n a b a c f r dr dn=−−−∫ 由一元函数极值存在的必要条件可知()0dF n dn=, 得 0()n a b f r dr a c−=−∫ 而22()()()0d F n a c f n dn=−−<. 从而知满足上式的n 可以使平均利润达到最大. 易知上式等价于()()n nf r dr a b b cf r dr +∞−=−∫∫ 上式左边是报童订购n 份报纸时, 不能将它卖完的概率与能将它卖完的概率之比, 右边则表示卖出一份报纸的盈利与退回一份报纸亏损之比, 该式表明最优购进量是使这两个比相等的购进量.实例: 如3.0,6.0,1===c b a , 需求量r 服从正态分布)10,100(2N , 则当报童的订报量n 满足0()43()n nf r dr a b b c f r dr +∞−==−∫∫或等价于 04()7n a b f r dr a c −==−∫ 不难计算得到102n =时长期平均收益最大. 若3.0,6.0,2.1===c b a 此时 02()3na b f r dr a c −==−∫, 104n =时长期平均收益最大. 若2.0,6.0,8.0===c b a 此时01()3n a b f r dr a c −==−∫,96n =时长期平均收益最大.再如, a b −=0.3, b c −=0.1, 需求量r 为服从[2000,4000]上均匀分布的连续型随机变量, 其密度函数为1200020004000()0x f r ≤≤⎧=⎨⎩其它 由0()n a b f r dr a c−=−∫知, 2000()n f r dr ∫a b a c −=−=0.30.30.1+=0.75, 于是, 有 n -2000=1500, 因此, 报童的最优策略是订购3500份.模型二(报童问题)报童每天要到邮局去订报, 出售一份报纸可获得利润()A a b =−元, 但如卖不出退回邮局, 每份报纸要损失()B b c =−元. 根据以往经验, 得知每天需求量为k 份的概率为k p . 问报童每天应订购多少份报纸, 才能使它获利的期望值最大.如果卖报童问题中的顾客每天需求量X 是一个离散型随机变量, 设报童每天订购的份数为n 份, 于是有()k P X k p ==, 记出售一份报纸可获得利润()A a b =−(元)退回邮局一份报纸要损失()B b c =−(元)则报童每天的利润()f X 可用下列公式来表示:()()An X n f X AX n X B X n≥⎧=⎨−−<⎩ 因此报童获利的期望值为:()C n =0(())()()k E f X f k P X k ∞===∑=10[()]n k k k k n Ak n k B p Anp −∞==−−+∑∑ (4.1)报童需要做出的决策: 确定一个订购数n , 使得(())E f X 最大. 于是所求模型为10max ()[()]n k k k k n C n Ak n k B p Anp −∞===−−+∑∑我们采用边际分析法来求解, 也即利用价格结构来检验和判断在什么情况下, 再多订一份报纸是合算的.假设报纸订购数取n 份是合算的, 现考察再多订一份报纸是否合算, 也就是考察第n +1件报纸的利润期望值. 第n +1份报纸售出时, 获利为A 元, 售不出去时获利为B −元. 因此, 此时多订一份报纸的利润期望值为:()(1)()Ap B p A B p B +−−=+−其中(1)p P X n =≥+. 所谓合算, 就是利润期望值大于零.故由()0A B p B +−>, 可解得售出概率p 应满足下述不等式B p A B>+ (4.2) 其中100(1)()1()1n n i i n i i p P X n P X i P X i p ∞=+===≥+===−==−∑∑∑.即001nn i i i i B A p p A B A B ==−>⇒<++∑∑ 于是, 报纸的最佳订购量*n 应满足:*()B P X n A B≥>+, (4.3) 其中B A B+称为临界值. 那么, 最好的n 应满足(1)(),(1)()c n c n c n c n −≤+≤即10n n i i i i A p p A B −==≤≤+∑∑ 例如, 已知某种报纸每天需求量N j 的概率分布如下: 表1 需求量N j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P (N j ) 0.05 0.10 0.100.250.200.150.050.05 0.05 每出售一份报纸, 可获利4角; 若当天卖不掉, 每份报纸将损失3角. 试问每日应进多少份报纸?因为我们引进了需求量随机变量X , 所以我们将表1作一点修改并就在表中进行计算, 如表2:表2n0 1 2 3 4 5 6 7 8P(X =n) 0.05 0.10 0.100.250.200.150.050.05 0.05 P(X≤n) 0.05 0.15 0.250.500.700.850.900.95 0.10 P(X≥n+1) 0.95 0.85 0.750.500.300.150.100.05 0.00现在本问题中, A=4, B=3,所以BA B+≈0.43, 在n=3时,P(X≥3+1)= 0.50满足式(3), 所以最佳订购量n*=4份.该模型也可以理解为单周期随机库存问题, 即假定在一个周期末库存的货物对下一个周期没有任何价值, 即模型适用于仅有一次机会存贮以供需求的产品如时装、新鲜食品、月饼等.§5 最佳订票问题一．问题提出在激烈的市场竞争中, 航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务. 公司承诺, 预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机, 可以乘坐下一班飞机或退票, 无需附加任何费用. 当然也可以订票时只订座, 登机时才付款, 这两种办法对于下面的讨论是等价的.设某种型号的飞机容量为n, 若公司限制预定n张机票, 那么, 由于总会有一些订了机票的乘客不按时来登机, 致使飞机因不满员飞行而利润降低, 甚至亏本, 如果不限制订票数量呢, 那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时, 必然会引起那些不能登机飞走的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨. 公司不管以什么方式予以补救, 都会导致受到一定的经济损失, 如客源减少, 或挤到以后班机的乘客, 公司要无偿供应食突宿或者付给一定的赔偿金等. 这样, 综合考虑公司的经济利益, 必然存在一个恰当的订票数量和限额.假设飞机容量为300, 乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费是机票价格的%10, 飞行费用与飞机容量、机票价格成正比（由统计资料知, 比例系数为0.6, 乘客不按时前来登机的概率为0.03）, 请你:（1）建立一个数学模型, 给出衡量公司经济利益和社会声誉的指标, 对上述预定票业务确定最佳的预定票数量.（2）考虑不同客源的不同需要, 如商人喜欢上述这种无约束的预定票业务, 他们宁愿接受较高的票价; 而按时上下班的雇员或游客, 愿意以若不能按时前来登机, 则机票失效为代价, 换取较低额的票价. 公司为降低风险, 可以把后者作为基本客源. 根据这种实际情况, 制定更好的预订票策略.二.模型的假设及符号说明1、模型的假设①假设预订票的乘客是否按时前来登机是随机的.②假设已预订票的乘客不能前来登机的乘客数是一个随机变量.③假设飞机的飞行费用与乘客的多少无关.2、符号说明n: 飞机的座位数, 即飞机的容量;g: 机票的价格;f: 飞行的费用;b: 乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费;m: 售出的机票数;k: 已预订票的乘客不能前来登机乘客数, 即迟到的乘客数, 它是一个随机变量;p: 已预订票的m个乘客中有k个乘客不能按时前k来登机的概率;p: 每位乘客迟到的概率;()m P j : 已预订票前来登机的乘客中至少挤掉j 人的概率, 即社会声誉指标;S : 公司的利润;ES : 公司的平均利润.三.问题的分析及数学模型 1、问题的分析通过上面引进的符号易知, 赔偿费g b 1.0=, 习行费用ng f 6.0=, 每位乘客迟到概率03.0=p , 已预订票的m 个乘客中, 恰有k 个乘客不能按时前来登机, 即迟到的乘客数k 服从二项分布()p m B ,, 此时,(1)(0,1,2,,)k km k k m p C p p k m −=−="当n k m ≤−时, 说明k m −个乘客全部登机, 此时利润f g k m S −−=)(当n k m >−时, 说明有n 个乘客登机, 有n k m −−个乘客没有登上飞机, 即被挤掉了, 此时利润b n k m f ng S )(−−−−=根据以上的分析, 利润S 可表示为:⎩⎨⎧−<>−−−−−−≥≤−−−=)()()()(n m k n k m bn k m f ng n m k n k m fg k m S 迟到的乘客数1,,2,1,0−−=n m k "时, 说明有n k m −−个乘客被挤掉了;迟到的乘客数m n m n m k ,,1,"+−−=时, 说明已来的k m −个乘客全部登机了.于是平均利润∑∑−=−−=−−+−−−−=mnm k kn m k kpf g k m pb n k m f ng ES ])[())((1因为∑∑∑∑∑∑−−=−−=−−==−−=−=+−−−−=−−−−=−−101110)()()()()1)((])[(n m k kn m k k n m k km k kn m k kmnm k kkpgk gE p f mg f mg kp kp g p f mg pf g k m所以111(())()()()m n kk m n m n k kk k ES ng f m k n b pmg f mg f p gE k gkp−−=−−−−===−−−−+−−−−+∑∑∑1010(())(()())(())()()m n kk m n kk m E k g f ng f m k n b mg f gk pm E k g f b g m k n p −−=−−==−−+−−−−−−+=−−−+−−∑∑由于k m k kmk p p C p p n B k −−=)1(),,(~, 可知, 随机变量k的数学期望mp k E =)(, 此时,∑−−=−−−−+−−−=10)1()()()1(n m k k m k k mp p Cn k m g b f mg p ES2、数学模型通过以上对问题的分析, 可以在一定的社会声誉指标()m P j 范围内, 寻求合适的m , 根据Ng f 6.0=的关系, 使得目标函数f ES 达到最大, 即 1011max [(1)(1)()(1)]10.61[0.97 1.1(300)(1)]1180m n k km k m k m n k km k m k ES b p m m k n C p p f N g m m k C p p −−−=−−−==−−+−−−−=−−−−−∑∑下面考虑社会声誉指标.由于j k n m ++=, 所以j n m k −−=, 即当被挤掉的乘客数为j 时, 等价的说法是恰有j n m −−个迟到的乘客.公司希望被挤掉的乘客人数不要太多, 被挤掉的概率不要太大, 可用至少挤掉j 人的概率作为声誉指标, 相应地k 的取值范围为j n m k −−=,,2,1,0", 社会声誉指标()(1)m n jk k m k j m k P m C p p −−−==−∑四、模型求解为了对模型进行求解, 可以分别给定m , 比如,350,,306,305"=m , 计算f ES /, 同时, 给定j , 比如取5=j , 计算社会声誉指标()m P j , 从中选取使f ES /最大, 且社会声誉指标()m P j 小于等于某个α（比如取05.0=α）最佳订票数m .下面给出MATLAB 计算程序.%飞机最佳订票策略ch43 %文件名: ch43.m%m表示售出的票数; Es表示平均利润; p表示声誉指标; for m=305: 325sm=0;p=0;for k=0;m-305pp=(prod(m-k+1:m)/prod(1:k))*0.03^k*0.97^(m-k);p=p+pp;sm=sm+(m-k-300)*pp/prod(1:k);endEs=(1/180)*[0.97*m-1.1*sm]-1;mEspend执行后可输出以下结果:m ES P305 0.6436 9.2338e-005306 0.6490 9.3723e-004307 0.6543 0.0048308 0.6596 0.0167309 0.6649 0.0442310 0.6703 0.0952311 0.6756 0.1742312 0.6810 0.2796313 0.6864 0.4028314 0.6917 0.5314315 0.6971 0.6525316 0.7024 0.7566317 0.7078 0.8388318 0.7132 0.8890319 0.7185 0.9399320 0.7239 0.9661321 0.7293 0.9818322 0.7347 0.9907323 0.7400 0.9954324 0.7454 0.9979325 0.7508 0.9990从计算结果易见, 当m=309时, 社会声誉指标()53090.04420.05,p =<当m =310时, 社会声誉指标()53100.09520.05,p =>所以为了使尽/ES f 量大, 且要满足社会声誉指标()50.05,p m <则最佳订票数可取m =309.。
数学建模中的随机模型
数学建模中的随机模型在数学建模中，随机模型是一种重要的方法，用于描述及预测现实世界中的不确定性和随机性。
本文将介绍随机模型的基本概念、应用范围以及常见的建模方法。
一、随机模型的基本概念随机模型是一种基于概率论和统计学的模型，用于描述具有不确定性和随机性的系统。
它通常涉及随机变量、概率分布以及随机过程等概念。
随机变量代表系统中的不确定性因素，概率分布则描述了随机变量的可能取值及其出现的概率。
随机过程则是描述随机现象随时间的变化。
二、随机模型的应用范围随机模型在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1. 金融领域：在金融数据分析中，随机模型能够用于预测股市的波动、计算期权的价格、评估风险等。
2. 生物医学：在生物医学领域，随机模型可用于建立生物系统的动力学模型，研究细胞生长、传染病传播等问题。
3. 交通运输：随机模型可以用于优化交通信号配时、研究交通拥堵的产生与演化规律，提高交通运输效率。
4. 气象科学：利用随机模型，可以预测气象变化趋势、研究气候变化等问题，为气象灾害预警提供科学依据。
5. 环境保护：在环境保护领域，随机模型可以用于模拟污染物的扩散传播、评估环境风险等。
三、常见的随机模型建模方法在数学建模中，常用的随机模型建模方法包括概率统计方法、随机过程建模方法以及蒙特卡洛模拟等。
1. 概率统计方法：这是最基本的建模方法，通过对系统中的观测数据进行统计分析，建立概率分布模型。
常用的分布包括正态分布、泊松分布、指数分布等。
2. 随机过程建模方法：随机过程是描述随机现象随时间的演化规律的数学模型。
常用的随机过程包括马尔可夫链、布朗运动、扩散过程等。
通过建立随机过程模型可以更好地描述系统的动态行为。
3. 蒙特卡洛模拟：这是一种基于概率统计的数值模拟方法，通过随机抽样和统计分析来模拟系统的行为。
蒙特卡洛模拟可用于求解复杂的数学问题，比如计算π的值、模拟金融市场波动等。
四、随机模型的局限性及发展方向随机模型在实际应用中存在一定的局限性，例如对于复杂系统的建模需要大量的计算资源和数据支持。
《随机数学模型》课件
将实际问题转化为数学语言，运用数学符号和公式来表示问题中的 变量、参数和关系。
确定随机因素
识别问题中的随机因素，并将其引入模型中，以反映模型的随机性 。
随机数学模型的求解方法
解析法
通过数学公式和定理，直接求解模型中的未 知数。适用于具有明确解的简单模型。
蒙特卡罗模拟法
利用随机抽样的方法，通过大量模拟实验来估计模 型的解。适用于难以解析求解的复杂模型。
集成学习
将多个模型集成在一起，通过综合各个模型的优点来提高整体性能 。可以通过集成多种模型、特征或数据来实现。
05 随机数学模型的 应用案例
在金融领域的应用案例
1 2
风险评估
随机数学模型用于评估投资组合的风险，通过模 拟市场波动和价格变化，帮助投资者制定风险管 理策略。
衍生品定价
随机数学模型用于确定衍生品的公允价值，如期 权、期货等，为市场参与者提供定价参考。
流体动力学模拟
随机数学模型用于模拟流体动力学现象，如湍流、流体阻力等，为流 体机械和流体控制系统的设计提供依据。
在社会科学领域的应用案例
人口统计学研究
随机数学模型用于预测 人口发展趋势和分布， 分析人口结构变化对社 会经济的影响。
社会网络分析
随机数学模型用于分析 社会网络的结构和演化 规律，揭示网络中个体 和群体的互动关系。
多维随机变量的概率分布
高斯分布
描述n维实数空间中服从正态分布的随机变 量的概率分布。
联合概率分布
描述多个随机变量之间相互关联的概率分布 。
条件概率分布
在给定其他随机变量值的条件下，一个随机 变量的概率分布。
随机变量的函数变换
线性变换
01
随机模型
P1 0
P2 S
r
建模与求解
2）对库存 x， ） ， 确定订货点s 确定订货点
c 0 + c 1 u + L ( x + u ), J (u ) = L(x)
x ∞
u >0 u =0
L(x) = c2 ∫0 (x − r) p(r)dr + c3 ∫x (r − x) p(r)dr
若订货u, 若订货 u+x=S, 总费用为 J 1 = c 0 + c1 ( S − x ) + L ( S ) 若不订货, 若不订货, u=0, 总费用为 J 2 = L ( x )
P = P ( x ≥ l ) P′ = P ( x < l )
切掉多余部 分的概率 整根报废 的概率
p(概率密度 概率密度) 概率密度
m ↑⇒ P ↑, P ′ ↓
m ↓⇒ P ↓, P ′ ↑
存在最佳的m使总的浪费最小 存在最佳的 使总的浪费最小 0
P´ P´ l
P P m m
x
建模
选择合适的目标函数 整根报废 的浪费
概率P(r) 0.05 0.10 概率
商店应当进多少千张日历才能使得获利的期望最大? 问:商店应当进多少千张日历才能使得获利的期望最大 商店应当进多少千张日历才能使得获利的期望最大
需求r 需求 概率P(r) 概率
0 0.05
1 0.10
2 0.25
3 0.35
4 0.15
5 0.10
假如进货4千张,我们计算获利可能的数值 当市场需求是0时获利为: -4*4=-16元 当市场需求是1时获利为: -4*3+7*1=-5元 当市场需求是2时获利为: -4*2+7*2=6元 当市场需求是3时获利为: -4*1+7*3=17元 当市场需求是4时获利为: -4*0+7*4=28元 当市场需求是5时获利为: 7*4=28元 期望获利=-16*0.05+(-5)0.1+6*0.25+17*0.35+28*0.15+28*0.1=13.15
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n 1
1
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n
1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
由概率的加法公式与乘法公式，则 n 个同学中至少
有一个抽取到自己所带礼品的概率为
n
n
P( Ai ) P(Ai ) P(Ai Aj )
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An )
n 1
即得一名健康人与一名指定病人接触并被感染的概率为
p1
p
m
n 1
。
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问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
为了求出一名健康人每天被感染为病人的
概率 p2 ，利用对立事件概率的计算方法:
p2
1 (1
p1)i
1
(1
m )i 。
n 1
健康人被感染为病人的人数也服从二项分布，
P(
Ai
)
1 n
,
(i
1,
2,
, n) 。
第 i 和第 j 个同学同时抽取到自己所带礼品的概率为
P( Ai Aj )
1 1 , (1 i n n 1
j
n) 。
类似地， P( Ai Aj Ak )
1 1 1 , (1 i n n 1 n 2
j
k
n) ，
P( A1 A2
11
An )
n
正比，并且随着人群总数 n 的增加 Nhomakorabea增加。平均感染率 与病人数 i 的关系，当 i 很小或很大 （接近 n ）时， 值都很小，而当 i n 时， 值最大。
2
这个结果合理吗？
为了直观，给出几组检验数据的计算结果。
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问题2：传染病的传播模型
(3)模型的检验
第5章 随机模型
初等概率模型； 简单统计模型； 一元线性回归模型； 参数估计模型； 主成份分析模型。
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1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
假设某班共有 n 个同学参加活动，每个同学都
随机地抽取一份礼品， Ai (i 1, 2, , n) 表示第 i 个
不妨设 m 20, 0.1，对于不同的i ，计算 和 。
从计算结果可以看出：随着病人数 i 的增加，平均感
染率 随之增加，而相对误差 随之减少；
当病人的比例 i 一定，总人口数 n 变大时，相对误差 n
也随之减少。
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问题3：售报厅的进报策略模型
因为需求量是随机的，致使报亭每天的销售收 入也是随机的。所以，不能以报亭每天的收入数作 为优化模型的目标函数，而应该是以报亭的长期（ 几个月，或一年）卖报的日平均收入最大为目标函 数。
由概率论的知识，这相当于报亭每天销售收入 的期望值，以下简称平均收入。
设每天报纸的需求量为 r 份的概率是 p(r)
(1)问题的提出
报纸每份购进价为 b 元，零售价为 a 元，退回价为 c 元，且 a b c 。
则报亭售出一份赚 a b 元，退回一份 赔 b c 元。报亭应该如何确定每天购进
报纸的数量，以获得最多的收入？
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问题3 报亭的进报策略模型
(2) 问题的分析
（r=0，1，2，… ），报亭每天购进 n 份报纸的
平均收入为 G(n)元。
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问题3 报亭的进报策略模型
(3)模型的建立与求解
根据报亭每天的需求量（即销售量）的不确定性。
其平均值 sp2 (n i) p2 ，
均方差为 sp2 (1 p2 ) (n i) p2(1 p2) 。
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问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
为了简便，将上式右端作 Taylor 展开，并取
前两项：
p2
1
(1
mi
n 1
) mi mi , (n
同学抽取到自己所带的礼品。
n 个同学中至少有一人抽取到自己所带的礼品
为 A1 A2
n
An ，简记为 Ai 。 i 1
n
要解决的问题是求事件的概率 P( Ai ) 。 i 1
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1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
事实上,第 i 个同学抽取到自己所带礼品的概率为
n 1 n
m, n
1)
最后得到： mi(n i) ，
n
1 p2 n mi 。 (n i) p2 mi(n i)
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问题2：传染病的传播模型
(3)模型的检验
健康人群每天平均被感染的人数 与人群中每人 每天平均接触的人数 m 以及接触时被感染的概率 成
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问题2：传染病的传播模型
(1)问题的分析与假设
假设将人群分为病人和健康人两类，病人
数和健康人数分别记为 i 和 s ，总人数为 n ，短 时间内不变，即 i s n 。
人群中任何两人的接触是相互独立的，且
具有相同概率 p ，每人每天平均与 m 人接触。
当一个健康人与病人接触时，这个健康人
被感染的概率为 。
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问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
由于任何两人接触的概率为 p ，且两两接触的独立 性，一名健康人每天接触的人数服从二项分布，其平均值 为 m 。利用二项分布的基本性质，并注意到人群总数为 n ， 则有 m (n 1) p ，于是， p m 。
i 1
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1、初等概率模型
问题2：传染病的传播模型
现在的问题：
对某种传染病而言，人群中有病人（带菌者）和 健康人（易感染者），任何两人之间的接触是随机 的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是 随机的.
如果通过实际数据或经验掌握了这些随机规律， 那么怎样估计平均每天有多少健康人被感染，这种 估计的准确性有多大？
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
C C C 1 1 2 1 1 3 1 1 1 (1)n1 1 1 1
n n n n n 1 n n n 1 n 2
n n 1
1 1 1 (1)n1 1
2! 3!
n!
当充分大,即人数较多时,至少有1人抽取到自己所带礼品
的概率为
n
P( ) 1 e1 0.63212