如何建立恰当的空间直角坐标系

如何建立恰当的空间直角坐标系
引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤
之一.下面通过举例分析建立空间直角坐标系的三个方法.
一、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系
当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系，再写出空间点的坐标.
例1、在棱长为1的正方体ABCD —A1B1C1D1中，M、N分别为A I B I和BBi的中点，试建立适当的坐标系，并且写出点A、C、M、N的坐标。

分析：本题中，可以以点D为原点，交于点D的三条直线DA、DC、DD1为坐标轴建立坐标系。

解：建立如下图所示坐标系，把D点视作原点0,分别沿DA、DC、DD1方向为x
轴、y轴、z轴的正方向，点A在x轴上，且DA=1，它的横坐标x是1，纵坐标和竖坐标都为零，则A (1 , 0, 0),同样地，点C在y轴上，它的纵坐标y是1,横坐标和竖坐标都
点评：对于正方体和长方体，可以直接建立右手直角坐标系，
例2、如下图，直棱柱ABC —A1B1C1的底面△ ABC 中,
为零，则C ( 0, 1 , 0), M点在面xOy的射影是A,，因此M同A1的横坐标和竖坐标相同,
1
N( 11
, -)•
再根据棱长写出各点坐标。

CA=CB=1，/ BCA=90 ° ,
又M为AB的中点,
I
棱AA I =2 , M 、N 分别是A i B i 、A i A 的中点.
分析：由题意可知，直线 CA 、CB 、CC i 两两垂直，故可以以点 C 为原点，直线CA 、
CB 、CC 1为坐标轴，建立空间直角坐标系。

解：以点C 为原点，直线CA 为x 坐标轴，、CB 为y 坐标轴、CC 1为z 坐标轴，建立 空间直角坐标系。

点A 在X 轴上，且CA =1，它的横坐标x 是1，纵坐标和竖坐标都为零，则 A （ 1，0， 0），同样地，点B 在y 轴上，它的纵坐标 y 是1,横坐标和竖坐标都为零，则B （ 0，1，0）， M 点在面
xOy 的射影是 A ，因此M 同A 1的横坐标和竖坐标相同，又 M 为AB 的中点，故
1 1 1 其纵坐标值为 丄，故M （1，-，1），同理可得N （1，1，-）.
2
2
2
点评：对于直棱柱，如果已知条件中出现三条两两垂直的棱， 可以直接建立右手直角坐
标系，再根据棱的长度写出各点坐标。

二、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线， 但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等）， 利用自身对称性可建立空间直角坐标系，再写出空间点的坐标。

例3、已知两个正四棱锥 P — ABCD 与Q — ABCD 的高都为2, AB = 4,两个正四棱锥底 面重合，试建立适当的直角坐标系，并写出各点坐标
.
I
分析：连结AC、BD，设AC BD =0.由P—ABCD与Q —ABCD都是正四棱锥，所以
P0丄平面ABCD ,Q0丄平面ABCD .从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ丄平面ABCD . 又因为正方形ABCD对角线AC与BD互相垂直，故可以得到0A、OB、0P三条直线两两互相垂直，从而可以建立空间直角坐标系。

解：由题设知，ABCD是正方形，所以AC丄BD.由(I) , Q0丄平面ABCD .故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，由题条件，相关各
点的坐标分别是P( 0, 0, 2) , A ( 2、2,0, 0),
B ( 0, 2 罷,0),
C (-242 , 0, 0),
D (0,—2、2 , 0) Q (0 , 0 , —2),
点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直
角坐标系后，相关点的坐标应容易得出.
三、利用面面垂直的性质建立坐标系
图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于
点的三条直线,建立坐标系，再写出空间点的坐标。

例4、正三棱柱ABC —A I B I C I的底面边长为a,侧棱长为.2a建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1B1的中点M的坐标.
分析：两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直，故由题意，过点A作AB直线的垂线，并且以该直线为
0x轴，可以建立空间直角坐标系。

解：如下图，以点A为坐标原点0,以AB所在直线为0y轴，以AA 1所在直线为0z 轴，以经过原点且与平面ABB 1A1垂直的直线为0x轴，建立空间直角坐标系.
由已知，容易得 A (0, 0, 0), B (0, a, 0), A i (0, 0, a),下面重点谈谈如何
计算点C的坐标，在平面ABC中，过点C作直线AB的垂线CD交AB于点D,过点C作
1 1 兀J3 XA的垂线于点E,则在等边三角形ABC中, AD =AB宁，AE二AC 8肓宁，
从而点C的横坐标x是- "a ,
2 一1 一
纵坐标为一a，竖坐标为零，故
2
C (一乜a,a,0 )，点C
2 2
D C
B
y
一
点评：利用面面垂直的性质建立坐标系， 要通过几何知识或三角函数知识求出一些线段 的长度，再根据点的位置写出其坐标。

是C i 在平面ABC 的射影，故得
v 3 a ‘L 一 C i (一 — a,—,J2a )。

A 1B 1 的中点 M 坐标为
2 2
a —
(。

,丁 2
a )。

B。