二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分教案资料

(i) 若原点在 D 外，D :r 1 () r r 2 (),,
则
f(rco ,srsin )rdrd
D
d
r2()f(rco,srs in)rdr
r1()
rr2()
D
r r1()
(ii) 若原点在 D 内，则
O
x
D f(rco ,srsin )rdrd
r r()
2
d
r()f(rco,srsin )rdr
数学分析—电子教案
M a th em a tica l A n a lysis
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y2 mx
O
x
v
D
Om n u
二、用极坐标计算二重积分
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重 积分的计算. 此时,
xrco ,syrsin
J ( x, y) cos rsin r (r, ) sin rcos
D f(x,y)dxdy D f(rco ,rssin )rdrd
直线分割区域D, 任取其中一个小矩
形, 其顶点为
v
vk v
M 4 M 3
D
M 1 M 2
o uuhu
M 1 ( u , v ) , M 2 ( u h , v ),
T
M 3 ( u h , v k ) ,M 4 ( u , v k ). y M 3
通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边
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二重积分的变量变换公式 用极 坐标计算二重积分
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则
Df(x,y)dxdy f(x(u,v),y(u,v))J(u,v)dudv
D
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 在uov坐标面, 用上平行于坐标轴的
从而得二重积分的换元公式:
Df(x,y)dxdy f(x(u,v)y ,(u,v))J(u,v)dudv
D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x rco ,y srsin
J (x, y)
(r, )
cos
sin
rrcsoisnr
D f(x,y)dxdy D f(rc o,rsi)n rdrd
M4 DM2
形, 其对应顶点为M i( x i,y i)( i 1 ,2 ,3 ,4 )
M1
令 h2k2,则
o
x
x2 x1 x ( u h ,v ) x ( u ,v )ux(u,v)ho()
同理得 x4y2x1y 1x ( u uy,v ( u,k v) ) hx ( ou (,v ) )vx(u,v)ko()
0
0
D O
x
(iii) 若原点在 D 的边界上，则
r r()
D f(rco ,srsin )rdrd
d
r()f(rco,srsin )rdrO
0
D
x
(iv) 若区域 D 可表示为
2(r) r r2
D :1 ( r ) 2 ( r )r 1 , r r 2 ,
D
D f(rco ,srsin )rdrd
u
ev
1
dudv
1
1
dv
v
u
ev du
D
D
2
20
v
1 2
1 0
u
(vev )|vv
dv
1 2
1v(e-e1)dv
0
e - e1 4
例2. 求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线 yx,yx
所围区域 D 的面积. (0m n ,0 )
解
令
u
y2 ,
x
v y x
y y xyx
y2 nx D
x y
例1. 计算 e x y dxdy
D
x + y = 1 所围区域.
其中D 是 x = 0, y = 0,
y 1
解 令 uxy,vxy, 则
x 1 (u v), y 1 (v u),
2
2
11
J(u,v) 2 1
2 1
1, 2
22
O
1x
v 1
1 O 1 u
x y e x y dxdy
D
D
Rcos R2r2rdr 0
z
4R3( 2)
3 23
y rRcos o
y
D
R
xx
例5. 计算
rR
其中 D:x2y2R2.
解 作极坐标系变换，有
I
er2rdrd
2
d
0
R rer2 dr
0
D
(1eR2 )
由于 e x 2 的原函数不是初等函数 ,
故本题无法用直角 坐标计算.
例6. 求椭球体
r
O
r1
r1 r d r 2(r)f(rco,srsin)d
r1
1(r)
1(r) x
r1
r2
例3. 计算
d
I D 1x2 y2
其中 D:x2y2R2.
例4. 求球体
被圆柱面
x2y2 Rx 所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解 由对称性可知
V4 R2x2y2 d 4 R2r2 rdrd
的体积V.
解: 取D:ax22by22 1, 由对称性
2c D1a x2 2b y2 2dxdy
令 x a r co ,y s b r si,则n
J
(x, y)
(r, )
abcsions
arsin brcos
abr
V2cD 1 r2 abrdrd
2abc2d1
0
0
1r2rdr
4 3
abc
y4 y1vy(u,v)ko()
当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四
边形, 故其面积近似为
M 1 M 2 M 1 M 4xx42
x1 x1
y2 y1 y4 y1
x
பைடு நூலகம்
u x
v
h h
y u
k
y v
k
x x
uy
v y
hk J(u,v) hk
u v
因此面积元素的关系为 d J(u ,v)dudv