北师大版八年级下册三角形的证明培优提高

三角形的证明单元检测卷1．（4分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞0，b＞0，则＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若6，则3．△中，∠A：∠B：∠1：2：3，最小边4 ，最长边的长是A．5B．6C．7D．84．（4分）如图，已知，∠∠，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△≌△的是（）A．∠∠C B．C．D．∥5．（4分）如图，在△中，∠30°，的垂直平分线交于E，垂足为D．若5，则的长为（）A．10 B．8C．5D．2.56.如图，D为△内一点，平分∠，⊥，垂足为D，交于点E，∠∠．若5，3，则的长为（）A．2.5 B．1.5 C．2D．17．（4分）如图，，⊥于点E，⊥于点F，、相交于点D，则①△≌△；②△≌△；③点D在∠的平分线上．以上结论正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③8．（4分）如图所示，⊥，⊥，E是上一点，∠∠60°，3，4，则等于（）A．10 B．12 C．24 D．489．如图所示，在△中，，D、E是△内两点，平分∠．∠∠60°，若6，2，则的长度是（）A． 6 B．8 C．9 D．1010．（4分）（2013•遂宁）如图，在△中，∠90°，∠30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（）①是∠的平分线；②∠60°；③点D在的中垂线上；④S△：S△1：3．A．1B．2C．3D．412．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2B．3C．4D．513．（4分）如图，在等腰△中，∠90°，8，F是边上的中点，点D，E分别在，边上运动，且保持．连接，，．在此运动变化的过程中，下列结论：①△是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形，③长度的最小值为4；④四边形的面积保持不变；⑤△面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤二、填空题（每小题4分，共24分）14．（4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中．15．（4分）若（a ﹣1）2﹣20，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_．16．（4分）如图，在△中，∠90°，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，∠20°，则∠．17．（4分）如图，在△中，、分别平分∠、∠，过点I，且∥．8，5，则等于．18．如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m．19．如图，在△中，∠90°，∠60°，点D是边上的点，1，将△沿直线翻折，使点C落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，则△的周长的最小值是．三、解答题（每小题7分，共14分）20．（7分）如图，C是的中点，，．求证：∠∠B．21．（7分）如图，两条公路和相交于O点，在∠的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路、的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．四、解答题（每小题10分，共40分）22．（10分）在四边形中，∥，∠90°，∠30°，平分∠，4，求的长度？23．（10分）如图，在△中，∠90°，平分∠，交于点D，过点D作⊥于点E．（1）求证：△≌△；（2）若∠30°，1，求的长．24．（10分）如图，把一个直角三角形（∠90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是，上的点，，延长与交于点H．（1）求证：；（2）求出∠的度数．25．（10分）已知：如图，△中，∠45°，垂直平分交于点D，平分∠，且⊥于E，与相交于点F．（1）求证：；（2）求证：．五、解答题（每小题12分.共24分）26．（12分）如图，在△中，D是是中点，过点D的直线交于点F，交的平行线于点G，⊥交于点E，连接、．（1）求证：；（2）求证：；（3）请你判断与的大小关系，并证明你的结论．27．（12分）△中，，点D为射线上一个动点（不与B、C重合），以为一边向的左侧作△，使，∠∠，过点E作的平行线，交直线于点F，连接．（1）如图1，若∠∠60°，则△是三角形；（2）若∠∠≠60°①如图2，当点D在线段上移动，判断△的形状并证明；②当点D在线段的延长线上移动，△是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．北师大版八年级下册《第1章 三角形的证明》2014年单元检测卷A （一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分） 1．（4分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）A ． 80°B ． 80°或20°C ． 80°或50°D ． 20°考点： 等腰三角形的性质． 专题： 分类讨论．分析： 分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． 解答： 解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°． 故选B ．点评： 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A ． 如果a ＞0，b ＞0，则＞0 B ． 直角都相等 C ． 两直线平行，同位角相等 D ． 若6，则 考点： 命题与定理． 分析： 先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可． 解答： 解；A ．如果a ＞0，b ＞0，则＞0：如果＞0，则a ＞0，b ＞0，是假命题； B ．直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；C ．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D ．若6，则的逆命题是若，则6，是假命题． 故选：C ． 点评： 此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的3．（4分）△中，∠A ：∠B ：∠1：2：3，最小边4 ，最长边的长是（ ） A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ．考点： 含30度角的直角三角形．分析： 三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中角的一半．解答： 解：根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是边是斜边的一半，得最长边是最小边的2倍，即8，故选D ．点评： 此题主要是运用了直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半． 4．（4分）（2013•安顺）如图，已知，∠∠，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△≌△的是（ ）A ． ∠∠CB ．C ．D ．考点： 全等三角形的判定． 分析： 求出，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 解答： 解：∵， ∴， ∴， A 、∵在△和△中∴△≌△（），正确，故本选项错误；B 、根据，，∠∠不能推出△≌△，错误，故本选项正确；C 、∵在△和△中∴△≌△（），正确，故本选项错误； D 、∵∥， ∴∠∠C ， ∵在△和△中∴△≌△（），正确，故本选项错误； 故选B ．点评： 本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，． 5．（4分）（2012•河池）如图，在△中，∠30°，的垂直平分线交于E ，垂足为D ．若5，则的长为（ ）A ． 10B ． 8C ． 5D ． 2.5考点： 线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形． 分析： 根据线段垂直平分线性质得出，根据含30度角的直角三角形性质求出的长，即可求出长． 解答： 解：∵是线段的垂直平分线， ∴，∠90°（线段垂直平分线的性质）， ∵∠30°，∴22×5=10（直角三角形的性质）， ∴10． 故选A ．点评： 本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得到和求出长，题目比较典型，难度适中． 6．（4分）（2013•邯郸一模）如图，D 为△内一点，平分∠，⊥，垂足为D ，交于点E ，∠∠．若5，3，则的长为（ ）A ． 2.5B ． 1.5C ． 2D ．考点： 等腰三角形的判定与性质． 分析：由已知条件判定△的等腰三角形，且；由等角对等边判定，则易求（﹣）．解答： 解：如图，∵平分∠，⊥， ∴． 又∵∠∠， ∴．∴（﹣）．∵5，3， ∴（5﹣3）=1．故选D ． 点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三合一”性质的运用． 7．（4分）如图，，⊥于点E ，⊥于点F ，、相交于点D ，则①△≌△；②△≌△；③点D 在∠的平分线上．以上结论正确的是（ ）A ． ①B ． ②C ． ①②D ．考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题： 常规题型．分析： 从已知条件进行分析，首先可得△≌△得到角相等和边相等，运用这些结论，进而得到更多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案．解答： 解：∵⊥于E ，⊥于F∴∠∠90°， ∵，∠∠A ，∴△≌△（①正确） ∴， ∴， ∵⊥于E ，⊥于F ，∠∠， ∴△≌△（②正确） ∴， 连接，∵，，， ∴△≌△， ∴∠∠， 即点D 在∠的平分线上（③正确） 故选D ． 点评： 此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏． 8．（4分）如图所示，⊥，⊥，E 是上一点，∠∠60°，3，4，则等于（ ）A ． 10B ． 12C ． 24D ． 考点： 勾股定理；含30度角的直角三角形． 分析： 本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．解答： 解：∵⊥，⊥，∠∠60°∴∠∠30°∵30°所对的直角边是斜边的一半 ∴6，8 又∵∠90° 根据勾股定理 ∴10． 故选A ． 点评： 解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边的性质．9．（4分）如图所示，在△中，，D 、E 是△内两点，平分∠．∠∠60°，若6，2，则的长度是（ ）A ． 6B ． 8C ． 9D ．考点： 等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析： 作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出6，2，进而得出△为等边三角形，△为等边三角形，从而得出的长，进而求出答案．解答： 解：延长交于M ，延长交于N ，作∥，∵，平分∠， ∴⊥，， ∵∠∠60°， ∴△为等边三角形， ∴△为等边三角形， ∵6，2， ∴4， ∵△为等边三角形， ∴∠60°， ∵⊥， ∴∠90°， ∴∠30°， ∴2， ∴4， ∴28， 故选B ． 点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出的长是解决问题的关键． 10．（4分）（2013•遂宁）如图，在△中，∠90°，∠30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结并延长交于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①是∠的平分线；②∠60°；③点D 在的中垂线上；④S △：S △1：3． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 考点： 角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图． 专题： 压轴题． 分析： ①根据作图的过程可以判定是∠的角平分线； ②利用角平分线的定义可以推知∠30°，则由直角三角形的性质来求∠的度数； ③利用等角对等边可以证得△的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角解答： 解：①根据作图的过程可知，是∠的平分线． 故①正确； ②如图，∵在△中，∠90°，∠30°， ∴∠60°． 又∵是∠的平分线，∴∠1=∠2=∠30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠60°．故②正确；③∵∠1=∠30°，∴，∴点D 在的中垂线上． 故③正确；④∵如图，在直角△中，∠2=30°，∴，∴，S △••．∴S △•••，∴S △：S △•：•1：3．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D ．点评： 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．12．（4分）（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系中，A （0，2），B （0，6），动点C 在直线上．若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（ ）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5 考点： 等腰三角形的判定；坐标与图形性质． 专题： 压轴题． 分析： 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得的垂直平分线与直线的交点为点C ，再求出的长，以点A 为圆心，以的长为半径画弧，与直线的交点为点C ，求出点B 到直线的距的长为半径画弧，与直线没有交点．解答： 解：如图，的垂直平分线与直线相交于点C 1，∵A （0，2），B （0，6）， ∴6﹣2=4，以点A 为圆心，以的长为半径画弧，与直线的交点为C 2，C 3， ∵6，∴点B 到直线的距离为6×=3，∵3＞4，∴以点B 为圆心，以的长为半径画弧，与直线没有交点， 所以，点C 的个数是1+2=3． 故选B ．点评： 本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思 13．（4分）（2009•重庆）如图，在等腰△中，∠90°，8，F 是边上的中点，点D ，E 分别在，边上运动，且保持．连接，，．在此运动变化的过程中，下列结论：①△是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形， ③长度的最小值为4； ④四边形的面积保持不变； ⑤△面积的最大值为8． 其中正确的结论是（ ）A ． ①②③B ． ①④⑤C ． ①③④D ． ③④⑤考点： 正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题： 压轴题；动点型．分析： 解此题的关键在于判断△是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接，由定理可证△和△全等，从而可证∠90°，．所以△是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的； 判断③，⑤比较麻烦，因为△是等腰直角三角形，当与垂直，即最小时，取最小值4，故③错误，△最大的面积等于四边形的面积减去△的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确． 解答： 解：连接； ∵△是等腰直角三角形， ∴∠∠45°，； ∵， ∴△≌△； ∴，∠∠； ∵∠∠90°， ∴∠∠∠90°， ∴△是等腰直角三角形． 因此①正确． 当D 、E 分别为、中点时，四边形是正方形． 因此②错误． ∵△≌△， ∴S △△∴S 四边形△，因此④正确． 由于△是等腰直角三角形，因此当最小时，也最小； 即当⊥时，最小，此时4．∴4；因此③错误． 当△面积最大时，由④知，此时△的面积最小． 此时S △四边形﹣S △△﹣S △16﹣8=8； 因此⑤正确． 故选B ．点评： 本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采此题难度稍稍降低一些．二、填空题（每小题4分，共24分）14．（4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中 每一个内角都大于60° ． 考点： 反证法． 分析： 熟记反证法的步骤，直接填空即可． 解答： 解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角故答案为：每一个内角都大于60°． 点评： 此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 15．（4分）（2013•雅安）若（a ﹣1）2﹣20，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 5 ．考点： 等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三专题： 分类讨论．分析： 先根据非负数的性质列式求出a 、b 再分情况讨论求解即可．解答： 解：根据题意得，a ﹣1=0，b ﹣2=0，解得1，2， ①若1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2， ∵1+1=2，∴不能组成三角形， ②若2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1， 能组成三角形， 周长=2+2+1=5． 故答案为：5． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解． 16．（4分）如图，在△中，∠90°，是的垂直平分线，交于点D ，交于点E ，∠20°，则∠ 35° ．考点： 线段垂直平分线的性质． 分析： 由是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由在△中，∠90°，∠20°，即可求得∠C 的度数． 解答： 解：∵是的垂直平分线，∴， ∴∠∠，∵在△中，∠90°，∠20°， ∴∠70°， ∴∠∠70°， ∴∠35°． 故答案为：35°． 点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 17．（4分）如图，在△中，、分别平分∠、∠，过点I ，且∥．8，5，则等于 3 ．考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． 分析： 由、分别平分∠、∠，过点I ，且∥，易得△与△是等腰三角形，继而求得答案．解答： 解：∵、分别平分∠、∠， ∴∠∠，∠∠， ∵∥，∴∠∠，∠∠， ∴∠∠，∠∠， ∴8，5， ∴﹣3（）．故答案为：3．点评： 此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．注意由角平分线与平行 18．（4分）（2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3 m （容器厚度忽略不计）．考点： 平面展开-最短路径问题． 专题： 压轴题． 分析： 将容器侧面展开，建立A 关于的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′B 的长解答： 解：如图：∵高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处， ∴A ′0.5m ，1.2m ，∴将容器侧面展开，作A 关于的对称点A ′， 连接A ′B ，则A ′B 即为最短距离，A ′==1.3（m ）．故答案为：1.3．点评： 本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．19．（4分）（2013•资阳）如图，在△中，∠90°，∠60°，点D 是边上的点，1，将△沿直线翻折，使点C 落在边上的点E 处，若点P 是直线上的动点，则△的周长的最小值是 1+ ．考点： 轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）． 专题： 压轴题．分析： 连接，交于M ，根据折叠和等腰三角形性质得出当P 和D 重合时，的值最小，即可此时△的周长最小，最小值是，先求出和长，代入求出即可．解答：解：连接，交于M ， ∵沿折叠C 和E 重合， ∴∠∠90°，，∠∠，∴垂直平分，即C 和E 关于对称，1，∴当P 和D 重合时，的值最小，即此时△的周长最小，最小值是， ∵∠90°， ∴∠90°，∵∠60°，1，∴，，即1+，∴△的周长的最小值是11+，故答案为：1+．点评： 本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含的应用，关键是求出P 点的位置，题目比较好，难度适中．三、解答题（每小题7分，共14分） 20．（7分）（2013•常州）如图，C 是的中点，，． 求证：∠∠B ．考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题；压轴题．分析： 根据中点定义求出，然后利用“”证明△和△全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可． 解答： 证明：∵C 是的中点，∴，在△和△中，，∴△≌△（）， ∴∠∠B ． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．21．（7分）（2013•兰州）如图，两条公路和相交于O 点，在∠的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使货站P 到两条公路、的距离相等，且到两工厂C 、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）考点： 作图—应用与设计作图． 分析： 根据点P 到∠两边距离相等，到点C 、D 的距离也相等，点P 既在∠的角平分线上，又在垂直平分线上，即∠的角平分线和垂直平分线的交点处即为点P ． 解答： 解：如图所示：作的垂直平分线，∠的角平分线的交点P 即为所求．点评： 此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握四、解答题（每小题10分，共40分） 22．（10分）（2013•攀枝花模拟）在四边形中，∥，∠90°，∠30°，平分∠，4，求的长度？考点： 勾股定理；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形． 专题： 压轴题．分析： 过B 作⊥，由4m 和∠90°，∠30°，可以求出的长，根据平行线的性质和角平分线可求出的长．解答： 解：∵∠90°，∠30°，4， ∴28， ∵平分∠，∥， ∴∠∠30°，∴，过B 作⊥，∴4，∴∠，∴．点评： 本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质，解题的关键是作高线构造直角三角形，利用锐角三角函数求出的长． 23．（10分）（2013•温州）如图，在△中，∠90°，平分∠，交于点D ，过点D 作⊥于点E ．（1）求证：△≌△；（2）若∠30°，1，求的长．考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形． 分析： （1）根据角平分线性质求出，根据定理求出另三角形全等即可；（2）求出∠90°，1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．解答： （1）证明：∵平分∠，⊥，∠90°，∴，∠∠90°， ∵在△和△中∴△≌△（）；（2）解：∵1，⊥， ∴∠90°，∵∠30°， ∴22．点评： 本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应点到角两边的距离相等．24．（10分）（2013•大庆）如图，把一个直角三角形（∠90°）绕着顶点B 顺时针旋转60°，使得点C 旋转到边上的一点D ，点A 旋转到点E 的位置．F ，G 分别是，上的点，，延长与交于点H ．（1）求证：；（2）求出∠的度数．考点： 全等三角形的判定与性质．分析： （1）在△和△中，利用即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠∠60°，从而求解．解答： （1）证明：∵在△和△中，，∴△≌△（）， ∴；（2）解：∵△≌△， ∴∠∠， 又∵∠∠， ∴∠∠60°，∴∠180°﹣∠180°﹣60°=120°．点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键． 25．（10分）已知：如图，△中，∠45°，垂直平分交于点D ，平分∠，且⊥于E ，与相交于点F ． （1）求证：； （2）求证：．考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题： 证明题． 分析： （1）由证△≌△，进而可得出第（1）问的结论； （2）在△中由垂直平分线可得，即点E 是的中点，再结合第一问的结论即可求解． 解答： 证明：（1）∵垂直平分，且∠45°， ∴，且∠90°， ∵∠∠90°，∠∠90°， ∴∠∠， ∴△≌△， ∴． （2）由（1）得，∵平分∠，且⊥，∴在△和△中，，∴△≌△（）， ∴．点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题，应五、解答题（每小题12分.共24分） 26．（12分）如图，在△中，D 是是中点，过点D 的直线交于点F ，交的平行线于点G ，⊥交于点E ，连接、． （1）求证：； （2）求证：；（3）请你判断与的大小关系，并证明你的结论．考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析： （1）求出∠∠，，根据证出△≌△即可．（2）根据全等得出，根据线段垂直平分线性质得出即可．（3）根据全等得出，根据三角形三边关系定理求出即可． 解答： （1）证明：∵∥， ∴∠∠， ∵D 是是中点， ∴， 在△和△中 ∴△≌△，∴．（2）证明：∵△≌△， ∴，∵⊥， ∴． （3）＞， 证明：∵△≌△， ∴， 在△中，＞， ∵， ∴＞． 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力． 27．（12分）△中，，点D 为射线上一个动点（不与B 、C 重合），以为一边向的左侧作△，使，∠∠，过点E 作的平行线，交直线于点F ，连接． （1）如图1，若∠∠60°，则△是 等边 三角形； （2）若∠∠≠60° ①如图2，当点D 在线段上移动，判断△的形状并证明； ②当点D 在线段的延长线上移动，△是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．考点： 等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定． 分析： （1）根据题意推出△和△为等边三角形，然后通过求证△≌△，结合平行线的性质，即可推出△为等边三角形，（2）①根据（1）的推理依据，即可推出△为等腰三角形，②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△≌△，推出等量关系，即可推出△为等腰三角形． 解答： 解：（1）∵，，∠∠60°， ∴△和△为等边三角形，∴∠∠60°，∠∠， ∴△≌△， ∴∠∠60°， ∵∥， ∴∠∠60°， ∵在△中，∠∠60°， ∴△为等边三角形， （2）①△为等腰三角形，∵，，∠∠，∴△和△为等腰三角形，∴∠∠，∠∠， ∴△≌△， ∴∠∠C ， ∵∥， ∴∠∠， ∵在△中，∠∠， ∴△为等腰三角形， ②，点D 为射线上一个动点（不与B 、C 重合），以为一边向的左侧作△，使，∠交直线于点F ，连接． ∵△为等腰三角形， ∵，，∠∠，∴△和△为等腰三角形， ∴∠∠，∠∠， ∴△≌△， ∴∠∠， ∴∠∠， ∵∥， ∴∠∠， ∵∠∠，∴∠∠， ∵在△中，∠∠，∴△为等腰三角形．点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论．参与本试卷答题和审题的老师有：；；210；1018；星期八；111；2011；168；；；；6918；；；；；；（排名不分先后）菁优网2014年2月19日。