数值分析西南交通大学

1.填空(1). 在等式∑==nk k kn x f ax x x f 010)(],,,[ 中, 系数a k 与函数f (x ) 无 关。

（限填“有”或“无”） (2). Gauss 型求积公式不是 插值型求积公式。

（限填“是”或“不是”）或“无”） (3). 设l k (x )是关于互异节点x 0, x 1,…, x n , 的Lagrange 插值基函数，则∑=-nk k m k x l x x 0)()(≡0 m=1,2,…,n(4). ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3211A ，则=1||||A 4 ，=2||||A 3.6180340 ，=∞||||A 5 ； (5). 用1n +个不同节点作不超过n 次的多项式插值，分别采用Lagrange 插值方法与Newton 插值方法所得多项式 相等(相等, 不相等)。

(6). 函数3320,10(),01(1),12x f x x x x x x -≤<⎧⎪=≤<⎨⎪+-≤≤⎩与函数3321,10()221,01x x x g x x x x ⎧++-≤<=⎨++≤≤⎩中,是三次样条函数的函数是 g(x)，另一函数不是三次样条函数的理由是二阶导不连续 。

(7). n 个不同节点的插值型求积公式的代数精度一定会超过n-1 次2.设)5()(2-+=x x x αϕ，要使迭代法)(1k k x x ϕ=+局部收敛到5*=x ，则α取值范围 解：因x x αϕ21)(+='，由1521*)(<+='αϕx ，即0522<<-α故α的取值范围是051<<-α。

3.给定方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111 211111112321x x x证明Jacobi 方法发散而Gauss-Seidel 方法收敛。

分析 观察系数矩阵的特点，它既不严格对角占优，也不对称正定，因此应该写出Gauss-Seidel 方法的迭代矩阵B ，然后再观察是否11<B或1<∞B 或求出)(B ρ，看其是否小于1。

而要证Jacobi 方法发散，一般情况下只能想法说明其迭代矩阵的谱半径不小于1。

证明（1）对Jacobi 方法，迭代矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=0212110121210B 设其特征值为λ，则i B I 25,0,0453,213±===+=-λλλλλ 12/5)(>=B ρ，故Jacobi 方法发散。

（2）对Gauss-Seidel 方法，迭代矩阵为=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-01021210021210101111B⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2100212102121001021211210011001 显然其特征值为121)(,21,0321<=-===B ρλλλ，故Gauss-Seidel 方法收敛。

3.求a,b,c 的值，使⎰---π22dx cx bx a x )(sin 达到最小解：就是求f(x)=sinx 关于函数族s p an {1,x,x 2 }在[0,π]上的最佳平方逼近。

由内积(f ,g )=⎰πdx x g x f )()(, 令ϕ0=1，ϕ1=x, ϕ2=x 2计算知法方程()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛),(),(),(,,,,,,,,,1010101110101000n n n n n n n n f f f a a a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++0543143222252413042312032210πππππππππa a a a a a a a a 解之得：a 0=-14/π, a 1=72/π2, a 2=-60/π3 4.试用Simpson 公式计算积分dx e x⎰21/1 的近似值, 并判断此值比准确值大还是小,并说明理由。

解 ()4()()62b a b a S f a f f b -+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦= 2.026323 截断误差21/(4)11(),(1,2)2880xe dx Sf ηη-=-∈⎰ 而132(4)82436121()xx x x fx e x+++= 因此21/1xS edx >⎰5.叙述解常微分方程初值问题数值方法的绝对稳定的定义；证明Euler 法的绝对稳定区间为（-2，0）解 如果y k 是某方法第k 步的准确值，k y ~为其近似值，其绝对误差为k δ，即k k k y ~y δ=-。

假定第k 步后的计算中不再有舍入误差，只是由k δ引起的扰动m δ(m>k,m m m y ~y -=δ)，都有|m δ|<|k δ|，则称此方法是绝对稳定的设y k 有一扰动k δ，此时 1()k k k k k y y h y δλδ+=+++=k k k )h 1(hy y δλ++λ+即 1k y +=k 1k )h 1(y δλ+++，从而|||1|||1k k h δλδ+=+要使||||k 1k δ<δ+，则必有1|h 1|<λ+，即λh ∈(-2,0)时，Euler 法是绝对稳定的1.填空1) 令f(x)=ax 7+ x 4+3x+1, 则f[20, 21,…,27]= a ；f[20, 21,…,28]= 0 2) 已知方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121132.021b b x x ，则解此方程组的Jacobi 迭代法 是 收敛（填“是”或“不”）。

3) 设)())(()()())(()()(110110n i i i i i i n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=+-+- (i =0,1,…,n )，则∑=nk k k x l x 0)(＝x , 这里（x i ≠x j ,i ≠j , n ≥2）。

4)设)(n k C 称为柯特斯系数则()nn kk C=∑=15) 采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的 法方程组病态问题。

6) 为辛卜生（Sim pso n ）公式具有___3____次代数精度。

7) 牛顿插商与导数之间的关系式为： !)(],,,[)(10n fx x x f n n ξ=8) 试确定[0,1]区间上2x 3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x), 该多项式唯一否？答： p(x)=(3/2)x, ; 唯一。

2.设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代法n n x x cos 3241+=+。

（1）证明R x ∈∀0，均有*lim x x n n =∞→（x*为方程的根）。

（2）取x 0=4,用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10-3。

（3）此迭代法的收敛阶是多少？证明你的结论。

解（1）因迭代函数x x x x sin 32)(,cos 324)(-='+=ϕϕ，而对一切x,均有1)(<'x ϕ故迭代过程收敛，即R x ∈∀0，均有*lim x x n n =∞→。

（2）取x 0=4,代入迭代式计算有 56424.34cos 3241=+=x ， 391996.356424.3cos 3242=+=x ，354125.3391996.3cos 3243=+=x ，34833.3354125.3cos 3244=+=x ，3475299.334833.3cos 3245=+=x 。

取37.3*5=≈x x 即可使误差不超过310-. (3)因1*sin 32*)(,sin 32)(≠='-='x x x x ϕϕ，故由推论6.1知，此迭代格式只具线性收敛。

3.设对称正定阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2112A ，试计算||A -1||2，||A||2和Cond(A)2,且找出b （常数）及扰动δb ，使22222||||||||)(Cond ||||||||b b A x x δδ= 解 342112||2+-=--=-λλλλλA I ，故3,121==λλ，从而 1|||||| ,3||||||12122====-λλA A3||||)(Cond 122==λλA 假设 x+δx=y, A(x+δx)=b+δb 取b=(1,-1)T ，δb=(1,1)T ，则解Ax=b ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11211221x x 得Tx ⎪⎭⎫⎝⎛-=31,31又解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--02211221y y 得Ty ⎪⎭⎫⎝⎛=32,34。

故32312||||||||,)1,1(22===x x x T δδ 而322)(Cond ||||||||)(Con 2222==A b b A δ故22222||||||||)(Cond ||||||||b b A x x δδ= 4.回答下列问题：（1）何谓Hermite 插值问题？答：Hermite ：除了满足)()(i i x f x y =，还希望满足)()(''i i x f x y = （2）Hermite 插值与一般多项式插值有什么区别？ 答：一般：只注重)()(i i x f x y =，Hermite ：除了)()(i i x f x y =，还有)()(''i i x f x y = 5.求a,b,c 的值，使⎰---π2223dx cx bx a x )(达到最小解：由唯一性知，a=0,b=0,c=3 提示：（即类似题型） 求a,b,c 的值，使⎰---π22dx cx bx a x )(sin 达到最小解：就是求f(x)=sinx 关于函数族s p an {1,x,x 2 }在[0,π]上的最佳平方逼近。

由内积(f ,g )=⎰πdx x g x f )()(, 令ϕ0=1，ϕ1=x, ϕ2=x 2计算知法方程()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛),(),(),(,,,,,,,,,1010101110101000n n n n n n n n f f f a a a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++0543143222252413042312032210πππππππππa a a a a a a a a 解之得：a 0=-14/π, a 1=72/π2, a 2=-60/π36.用E uler 方法解初值问题 0(0)1y y y '-=⎧⎨=⎩(1) 写出近似解的表达式(2)并证明当0h ®时, 近似解的表达式收敛于原初值问题的准确解xy e =解 Euler 公式 11,1,,,k k k x y y hy k n h n--=+==L (1)近似解的表达式()()111kk k y h y h -=+==+L (2) ()11(0)nnx n x y h e h n ⎛⎫=+=+→→ ⎪⎝⎭1.填空1) 要使20的近似值的相对误差限≤0.1%, 应至少取___4____位有效数字。