第二章 二元关系(集合论讲义)

作业
1．设 R 是 几何解释。
2
上的二元关系，使得 (( a, b), (c, d )) ∈ R 当且仅当 a − c = b − d ，请给出 R 的
2
§2.2 关系矩阵与关系图
为了使关系表示更明显直观，对于有限集的情况，我们可以用矩阵或图形来表示它，有了关 系的矩阵表示，我们可以通过计算机来分析关系。 定义 2.1 设 A 和 B 是两个有限集
定义 1.2 设 R 是从 A 到 B 的二元关系，称
dom( R) = {a ∈ A : ∃b ∈ B(aRb)}
为 R 的定义域；称
ran( R ) = {b ∈ B : ∃a ∈ A(aRb)}
为 R 的值域。并称 A 为 R 的前域， B 为 R 的陪域。 注： （1）若对于任意的 a ∈ dom( R) ，存在唯一的 b ∈ ran( R) ，使得 aRb ，则称 R 是单值 的，此时 R 即为函数。所以，函数是二元关系的特例，也可以说，二元关系是函数概念的 推广。 （2）设 R 是从 A 到 B 的二元关系， A1 ⊆ A ，称
k
而 | ρ ( A × A) |= 2 ，由抽屉原理（或鸽巢原理）可知，在 R 的 2 个幂项： R ， R ，
0 1
n2
n2
，
R 2 中，必有两者相等，即存在 s ， t ， 0 ≤ s < t ≤ 2n ，使得 R s = R t 。
n2
2
定理 3.5 设 R 是 A 上的二元关系，若存在自然数 s ， t ， s < t ，使得 R = R ，则下面等式
× An ，则称 R
， An 为基的 n 元关系。
注： A1 × A2 ×
× An = {(a1 , a2 ,
, an ) : a j ∈ Aj ,1 ≤ j ≤ n} 。
例 1.6 （数据库的关系模型）在关系数据库中，将用表格方式表示出来的文件看作关系 R 。 部门 水产部 石油部 工业部 石油部 石油部 石油部 电力部 姓名 史文心 罗林 卢依人 秦如 李英 王义 王小英 表 1.1 性别 男 男 女 女 男 男 女 部门电话 2786 2482 3133 2482 2482 2482 3025
5
注： M ( R1 R2 ) = M ( R1 ) ⋅ M ( R2 ) 。
例 3.2 设 A = { p, q, r , s} ， B = {a, b} ， C = {1, 2,3, 4} ，
R1 = {( p, a), ( p, b), (q, b), (r , a), ( s, a)} ， R2 = {(a,1), (a, 2), (b, 4)}
R1 ∪ R2 ： a( R1 ∪ R2 )b 当且仅当 aR1b 或 aR2b ； R1 ∩ R2 ： a( R1 ∩ R2 )b 当且仅当 aR1b 且 aR2b ； R1 − R2 ： a ( R1 − R2 )b 当且仅当 aR1b 且 a R2 b ；
R1 ： aR1b 当且仅当 a R1 b 。
第二章 二元关系
关系一词是大家所熟知的，它是指多个事物之间的一种特定意义的联系。在诸多的关系中， 最基本的是涉及两个对象的关系， 比方说父子关系， 师生关系， 同学关系等， 称为二元关系。 本章的目的是给出二元关系的性质和运算并重点介绍一些特殊类型的二元关系。
§2.1 二元关系的定义及例子
定 义 1.1 设 A 和 B 是 任 意 两 个 集 合 ， A × B （ A 和 B 的 笛 卡 儿 乘 积 ， 定 义 为
R ⊆ A1 × A2 × A3 × A4 是四元关系。其中 A1 ＝{水产部，石油部，工业部，电力部}， A2 ＝{史
文心，罗林，卢依人，秦如，李英，王义，王小英}， A3 ＝{男，女}， A4 ＝{2786, 2482, 3133, 3025}。 R 中的每个元素是表格中的一行，例如，(石油部，罗林，男，2482)就是 R 中的一 个元素。 A1 ， A2 ， A3 ， A4 分别称为表的属性域，4 称为表的阶。
∞
系图上存在一条从 a 到 b 的有向道路。
∞
例 3.3 设 R 是父子关系，则 R 表示祖先子孙关系。 下面是关于幂运算的一些结论。
定理 3.4 设 A 是 n 元集， R 是 A 上的二元关系，则存在自然数 s ， t ， 0 ≤ s < t ≤ 2 ，使 得R = R 。
s t
n2
证明： ρ ( A × A) 中元素对幂运算是封闭的，即对任意的自然数 k ，都有 R ∈ ρ ( A × A) 。
结点 ai 。如果 ai Ra j ，则画一条从结点 ai 到结点 a j 的带箭头的线段，称该线段为弧（有向 边） ；如果 ai Ra j ，则对应的弧称为自环。如此得到的图形称为 R 的关系图，记为 G ( R) 。 例 2.2 设 A = {1, 2,3, 4,5} ， A 上的模 2 同余关系的关系图如图 2.1 所示。
3
1
2
3
5
4
图 2.1 结点集及结点之间的弧集构成的有向图很自然直观地表示了一个关系。 这两种关系的表示形式给研究关系的运算和性质提供了极大方便。
§2.3 关系的运算
二元关系是有序对所组成的集合，因此二元关系也有并，交，差，补等运算。
定义 3.1 设 R1 和 R2 是从 A 到 B 的两个二元关系，定义
下面定义另一些运算，通过这些运算可以由已知关系产生新的关系。 逆运算 首先通过关系的逆运算，由给定关系产生其逆关系。
定义 3.2 设 R 是从 A 到 B 的二元关系，如下定义从 B 到 A 的二元关系 R
−1
R −1 = {(b, a ) : (a, b) ∈ R} ，或 bR −1a 当且仅当 aRb ，
4
称为 R 的逆关系。 注： M ( R ) = M ( R ) 。
t
−1
例 3.1 实数集
上“ ≤ ”的逆关系是“ ≥ ”关系。
以下是关于逆运算和并，交，差，补运算的一些恒等式。
定理 3.1 设 R1 ， R2 ， R3 是从 A 到 B 的二元关系，则 （1） ( R )
−1 −1
=R
−1 −1 = R1−1 ∪ R2 −1 = R1−1 ∩ R2
定理 3.3 设 R 是 A 上的二元关系， m, n ∈ （1） R
m m n mn R n = R m+ n ； （2） ( R ) = R 。
，则
6
证明：利用数学归纳法和结合律。
∞
记R =
∞
∪R
n =1
n
，称为 R 的连通关系。当基集 A 是有限集时， ( a, b) ∈ R 当且仅当在 R 的关
（2） ( R1 ∪ R2 ) （3） ( R1 ∩ R2 ) （4） ( A × B ) （5） ∅
−1
−1
−1
= B× A
=∅
= R −1
−1 −1 = R1−1 − R2 −1 −1
（6） ( R )
−1
（7） ( R1 − R2 )
（8）若 R1 ⊆ R2 ，则 R1 ⊆ R2 复合运算
先看一个例子。兄妹关系为 R1 ，母子关系为 R2 ， a 与 b 有兄妹关系， b 与 c 有母子关系， 即 aR1b ， bR2 c ，则 a 与 c 有舅甥关系 R3 ， R3 称为 R1 与 R2 的复合关系，记为 R3 = R1 R2 。
设 R 是 A 上的一个二元关系， R R 记为 R ， R 定义 R 的幂运算。 定义 3.4 设 R 是 A 上的二元关系， n ∈
源自文库
2
2
R 记为 R 3 ，
，等等，于是我们可以
， R 的 n 次幂 R 定义如下
n
n +1 n (1) R 0 是 A 上的恒等关系 I A ， R1 = R ； （2） R = R R ， n ≥ 1 。
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} ）的任何子集 R 均称为从 A 到 B 的二元关系。当 A = B 时，
称 R 为 A 上的二元关系。若 (a, b) ∈ R ，则称 a 与 b 有关系 R ，记为 aRb 。若 (a, b) ∉ R ， 则称 a 与 b 没有关系 R ，记为 aRb 。 注：若 R = ∅ ，则称 R 为空关系；若 R = A × B ，则称 R 为全关系。 上的整除关系 D 定义如下： (a, b) ∈ D 当且仅当 a | b 。 上的小于等于关系 L 定义如下： (a, b) ∈ L 当且仅当 a ≤ b 。
s t
成立 （1） R （2） R
s+k
= R t + k ， ∀k ∈ = R s ， ∀k ∈
i
； ；
s + k (t − s )
（3） R =
∞
∪R
i =1
t −1
。
事实上，我们有更强的结论。
n
定理 3.6 设 R 是 n 元集 A 上的二元关系，则 R =
( R2 ∪ R3 ) R1 = ( R2 R1 ) ∪ ( R3 R1 ) ，
R1 ( R2 ∩ R3 ) ⊆ ( R1 R2 ) ∩ ( R1 R3 ) ，
( R2 ∩ R3 ) R1 ⊆ ( R2 R1 ) ∩ ( R3 R1 )
（3） ( R1 R2 ) 幂运算
−1 −1 = R2 R1−1
例 1.1 例 1.2
例 1.3 设 A 是非空集合， ρ ( A) 上的包含关系 ⊆ A 定义如下： ( B, C ) ∈⊆ A 当且仅当 B ⊆ C 。 例 1.4 设 A 是任意集合， A 上的恒等关系 I A 定义如下： I A = {( a, a ) : a ∈ A} 。 例 1.5 上的模 2 同余关系 M 2 定义如下： aM 2b 当且仅当 2 | (a − b) 。
1
R | A1 = {(a, b) ∈ R : a ∈ A1}
为 R 在 A1 上的限制；称
R ( A1 ) = ran( R | A1 )
为 A1 在 R 下的象。 可以类似定义 n 元关系。 定义 1.3 设 A1 ， A2 ， 是以 A1 ， A2 ， ， An 是 n （ n ≥ 2 ）个任意集合，若 R ⊆ A1 × A2 ×
注：反过来，任给定一个 m × n 矩阵 M ，可以确定唯一的从 A 到 B 的二元关系 R ，使得
M ( R) = M 。
有限集 A 上的二元关系除用方阵表示外，还可用关系图来表示。这种图就是我们图论部分 将会详细讨论的有向图。 设 A = {a1 , a2 ,
, an } ， R 是 A 上的二元关系。 A 中每个元素 ai 用一个点来表示，称该点为
从 R1 和 R2 得到 R1 R2 的运算称为复合运算。
定义 3.3 设 R1 是从 A 到 B 的二元关系， R2 是从 B 到 C 的二元关系，则从 A 到 C 的二元关 系 R1 R2 = {(a, c) : a ∈ A, c ∈ C , ∃b ∈ B (( a, b) ∈ R1 ∧ (b, c) ∈ R2 )} 称为 R1 与 R2 的复合关 系。
A = {a1 , a2 ,
, am } ， B = {b1 , b2 ,
, bn } ，
R 是从 A 到 B 的二元关系， 称 m × n 阶矩阵 M ( R ) = ( mi , j ) 为 R 的关系矩阵 （关于 A 和 B 中
元素标号） ，其中
⎧ ⎪1, if ai Rb j mi , j = ⎨ 。 ⎪ ⎩0, if ai Rb j
特别地，当 A = B 时， A 上的二元关系可以用方阵来表示。关系矩阵实际上是二元关系的 特征函数。 例 2.1 设 A = {2,3, 4} ， B = {3, 4,5, 6, 7} ，定义从 A 到 B 的整除关系如下：对于 ∀a ∈ A ，
∀b ∈ B ， aDb 当且仅当 a | b 。 ⎛0 1 0 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ M ( D ) = ⎜1 0 0 1 0 ⎟ ⎜0 1 0 0 0⎟ ⎝ ⎠
则 R1 R2 = {( p,1), ( p, 2), ( p, 4), (q, 4), (r ,1), (r , 2), ( s,1), ( s, 2)}
注：如果 ran( R1 ) ∩ dom( R2 ) = ∅ ，则 R1 R2 是空关系。 下面定理列举了复合运算满足的一些运算律
定理 3.2 设 R1 ， R2 ， R3 是三个二元关系，则 （1） 结合律： ( R1 R2 ) R3 = R1 ( R2 R3 ) （2） 分配律: R1 ( R2 ∪ R3 ) = ( R1 R2 ) ∪ ( R1 R3 ) ，