第二章 二元关系(集合论讲义)

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二元关系

二元关系
1 m ij = 0
当(xi, yj)∈R 其他 (i=1, 2,…m; j=1, 2,…n)
称MR为R的关系矩阵。
内容
n n n n
4.1 二元关系及其表示 4.2 关系的性质 4.3 关系的运算 4.4 关系的闭包
5
离散数学讲义稿
4.2 关系性质
5种性质: 设R是集合A上的二元关系,则
离散数学讲义稿
第二部分
集合与关系
第4章
二元关系
林 兰
2011.3
内容
n n n n
4.1 二元关系及其表示 4.2 关系的性质 4.3 关系的运算 4.4 关系的闭包
1
离散数学讲义稿
4.1 二元关系及其表示
1. 二元关系
例1:集合A={ 2, 3, 5, 9 }上建立小于关系R,则可表达为: R={ (2,3), (2,5), (2,9), (3,5), (3,9), (5,9) } 例2:男队A={ a, b, c, d },女队B={ e, f, g }。如果A和B的元素间 有混双配对关系:a和g,d和e。可表达为: R={ (a, g), (d, e) } 表示所有可能的混双配对有序对集合: A×B={ (a, e), (a, f), (a, g), (b, e), (b, f), (b, g), (c, e), (c, f), (c, g), (d, e), (d, f), (d, g) } 有 R ⊆ A× B
∴ (R ◦S) -1 = S-1◦R-1
R-1的性质: 设R是A上的二元关系,R-1与R有相同的性质。 (自反,反自反,对称,反对称,传递)
4.4 关系的闭包
1. 定义 设R是集合A上的二元关系。如果另有A上关系R’满足:

离散数学ch2.二元关系(5、6、7节)

离散数学ch2.二元关系(5、6、7节)

VS
详细描述
关系的对称差运算可以用符号表示为 R△S,其中 R 和 S 是两个关系。它包括 属于 R 但不属于 S,以及属于 S 但不属 于 R 的所有有序对。如果 (a, b) 在 R△S 中,那么 (a, b) 或者只属于 R,或者只属 于 S。
04
CATALOGUE
关系的闭包
闭包的定义
1 2
关系的交运算可以用符号表示为 R ∩ S,其中 R 和 S 是两个关系 。它包括同时属于 R 和 S 的所有 有序对。如果 (a, b) 在 R ∩ S 中 ,那么 (a, b) 同时是 R 和 S 的差是一种集合差集操作,它从第一个 关系中去除与第二个关系共有的元素。
中可以推导出的新事实。
数据完整性
03
在数据库设计中,闭包的概念用于确保数据的完整性和准确性
,防止出现冗余和不一致的情况。
05
CATALOGUE
关系的类型
函数关系
总结词
函数关系是一种特殊的二元关系,它满足每 个自变量都有唯一的因变量与之对应。
详细描述
在函数关系中,对于定义域中的每一个元素 ,在值域中都有唯一一个元素与之对应。这 种关系具有明确性、确定性和无重复性。常 见的函数关系有数学函数、映射函数等。
离散数学ch2.二元 关系(5、6、7节)
contents
目录
• 引言 • 二元关系的性质 • 关系的运算 • 关系的闭包 • 关系的类型 • 关系在数据库中的应用 • 关系在人工智能中的应用
01
CATALOGUE
引言
定义与概念
定义
二元关系是集合论中的一个基本概念 ,它描述了两个元素之间的联系。
在设计关系型数据库时,需要考虑数据结构、数据完整性、数据冗余和数 据安全性等方面。

《二元关系和函数》课件

《二元关系和函数》课件

VS
详细描述
函数具有多种性质,这些性质描述了函数 的变化规律和特征。有界性表示函数在一 定范围内变化;单调性表示函数值随自变 量的变化趋势;周期性表示函数按照一定 的周期重复变化;奇偶性则描述函数关于 原点对称或关于y轴对称的特性。
函数的表示方法
总结词
函数的表示方法有多种,包括解析法、表格法和图象法等。
3
几何学
二元关系和函数可以描述几何形状的属性和变化 ,例如极坐标函数用于描述圆的形状和大小。
在计算机科学中的应用
数据结构和算法
二元关系和函数在数据结构和算法中用于实现各种数据结构,例 如哈希表、二叉搜索树等。
数据库查询
在数据库查询语言中,二元关系和函数用于过滤、排序和聚合数据 ,提高数据检索的效率和准确性。
速度、加速度、力等物理量的变化规律。
工程学
03
在工程学中,二元关系和函数用于描述机械运动、热传导、流
体动力学等现象,例如牛顿第二定律、热传导方程等。
05 总结
二元关系和函数的重要性和意义
二元关系和函数是数学中基 本的概念,它们在数学、物 理、工程等领域有着广泛的
应用。
二元关系用于描述两个对象 之间的关系,而函数则是一 种特殊的二元关系,用于描 述一个对象与另一个对象之
个子集。
数学符号表示
通常用R表示二元关系,其中 R⊆A×B。
二元关系的性质
自反性
传递性
如果对于集合A中的任意元素x,都有 (x,x)∈R,则称二元关系R是自反的。
如果对于任意元素x,y,z∈A,当 (x,y)∈R且(y,z)∈R时,则有(x,z)∈R ,则称二元关系R是传递的。
对称性
如果对于任意元素x,y∈A,当 (x,y)∈R时,则有(y,x)∈R,则称二元 关系R是对称的。

Ch 2.1-2.2 关系的基本概念和运算

Ch 2.1-2.2    关系的基本概念和运算
例: 设A={a1,a2}, B={b}, 则A到B的二元关系共有4个: R1= ∅, R2={<a1,b>}, R3={<a2,b>}, R4={<a1,b>,<a2,b>}. B到A的二元关系也有4个: R5= ∅, R6={<b,a1>}, R7={<b,a2>}, R8={<b,a1>,<b,a2>}. #
(2) 若A≠, 则A×B⊆A×C ⇔ B⊆C.
证明: (⇒)
若B=, 则B⊆C. 设B≠, 由A≠, 设x∈A.
∀y, y∈B ⇒<x,y>∈A×B ⇒<x,y>∈A×C ⇔ x∈A∧y∈C ⇒y∈C. ∴B⊆C
第一编 集合论
15
例2.1(证明(2),续)
(2) 若A≠, 则A×B⊆A×C⇔B⊆C.
反例: A={1}, B={2}. A×B={<1,2>}, B×A={<2,1>}.
第一编 集合论
10
卡氏积非结合性
非结合: (A×B)×C ≠ A×(B×C)
(除非 A= ∨ B= ∨ C=)
反例: A=B=C={1}. (A×B)×C = {<<1,1>,1>}, A×(B×C) = {<1,<1,1>>}.
例题2.1: 设 A, B, C, D 是任意集合,
(1) A×B= ⇔ A= ∨ B= (2) 若A≠, 则A×B⊆A×C ⇔ B⊆C.
(3) A⊆C ∧ B⊆D ⇒ A×B⊆C×D,
并且当(A=B=)∨(A≠∧B≠)时,
A×B⊆C×D ⇒ A⊆C∧B⊆D.
第一编 集合论

离散数学导论(第5版)-第二篇 集合论

离散数学导论(第5版)-第二篇 集合论
x2=y2,…,xk=yk而xk+1=yk+1,如果xk+1≤yk+1 ,则我们 说xLy;如yk+1≤xk+1 ,则我们说yLx; • (3)如存在一个最大的K=min (n,m),使得x1=y1,x2 =y2,…,xn=yn ,此时如n≤m,则我们说xLy;如m≤n, 则我们说yLx。 •
18
• • 四个次序关系间的关系: • • • R是拟序则r (R) = R • • • R是偏序则R-Q是拟序 • • • 字典次序关系必为线性次序关系 • • • R是拟序则必反对称 • 八个概念: • • 最大元素(最小元素) • • 极大元素(极小元素) • • 上界(下界) • • 上确界(下确界)
• • |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|
• •|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |A∩C| -|B∩C|+|A∩B∩C| n
i=1 1≤i<j≤n
1≤i<j<k≤n
• •|S1∪S2∪…∪Sn|n-=1∑|Si|-∑ |Si∩Sj|+ ∑
• |Si∩Sj∩Sk|(-1)∑ |S1∩S2∩…∩S n|
§3.1 函数的基本概念
• (1)一个基本概念——函数的基本概念。

函数建立了从一个集合到另一个集合的特殊对应关系。
设有集合X与Y,如果我们有一种对应关系f,使X的任一元素x能
与y中的一个唯一的元素y相对应,则这个对应关系f叫从X到Y的
函数或叫从X到Y的映射。x所对应的y内的元素y叫x的像,而x则
叫y的像源。上述函数我们可以表示成f:XY;或写成XY;
以及y=f(x)。

(2)三种不同性质函数:

• 满射与内射

二元关系

二元关系

domR {1,2,4} , ranR {2,3,4} , fldR {1,2,3,4}
定义 7.7
设 R 为二元关系,R 的逆关系,简称为 R 的逆,记作 −1 ,
其中
−1 = {<y,x> | <x,y>R}
例如
若 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}
则 −1 ={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}
定义 7.8 设 A 、 B 、C 是三个集合, R 是从 A 到 B 的二元关系, S 是从 B 到 C 的二元关系,则 R 与 S 的
复合关系 R S 是从 A 到 C 的二元关系,并且
R S x, y t ( x, t R t, y S )
等都是从
A 到 B 的二元关系,而3 和 R4 同时也是 A 上的二元关系。
例设 A {a, b} , B {c, d} ,试写出从 A 到 B 的所有不同的二元关系。
解:从 A 到 B 的所有不同的二元关系,即 A B 的所有子集。
0 元子集: ;
1 元子集: { a, c } 、 { a, d } 、 { b, c } 、 { b, d } ;
简化这种记法,下面给出关系的幂的定义。
定义 7.10 设 R 是集合 A 上的二元关系, n 为自然数,则 R 的 n 次幂定义为:


(1) R x, x x A I A ;
0
(2) R n1 R n R ,
(n 0)

由定义容易得到,对于任意的 m, n N ,有 R R R

二元关系

二元关系
该定义表明:在表示反对称关系R的有序对集合中,若存在 有序对<x, y>和<y, x>,则必定是x=y。或者说,在R中若有 有序对<x, y>,则除非x=y,否则必定不会出现<y, x>。 例如:
集合A上的恒等关系是反对称的,但全域关系一般不是反对称 的,除非A为单元集或空集。
给定集合族上的集合之间的相等关系、包含关系和真包含 关系都是反对称的。
R-1={<x,y>|<y,x>∈R} 6、设F,G为二元关系, G对F的右复合记作F G, 其中
F G={<x,y>| t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)}
例 设F={<3,3>,<6,2>},G={<2,3>}, 则 F-1={<3,3>,<2,6>} F G={<6,3>} G F={<2,3>}
矩阵是Mn,即n个矩阵M之积。与普通矩阵乘法不同的是,
1+1=1,1+0=0+1=1,0+0=0 (3)关系图法:如果R是用关系图G给出的,可以直接由图G
得到Rn的关系图G’。G’的顶点集与G相同,考察G的每个 顶则以点在后,xGi,’中就如加得果一到在条图G从G中’x。从i到xxi出j的发边经,过当n把步所长有的这路样径的到边达都顶找点到xj,
整数集合中,数之间的=关系、<关系和≤关系都是反对称 的。
关系的性质—对称与反对称
说明 有些关系既是对称的又是反对称的;有些关系是
对称的但不是反对称的;有些关系是反对称的,但不 是对称的;还有的关系既不是对称的又不是反对称的。
例如:设A={1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中

04二元关系

04二元关系
20102010-9-28 离散数学 16
二、关系的常用运算
F是任意关系, 的逆F 1、逆: 是任意关系,F 的逆F -1 ={ < x, y > | yFx } 任意两个关系F 的合成,记作: 任意两个关系F与G的合成,记作:F o G 2、合成: 合成: F o G = { < x, y > | z( xGz ∧ zFy ) } F | A = { < x, y > | xFy ∧ x∈A } 4、 象 : 集合A 下的象,记作: 集合A在F 下的象,记作:F [A] F [A] = ran (F | A) //举例 //举例 3、限制: 限制: 关系F在集合A上的限制,记作: 关系F在集合A上的限制,记作:F | A
有序对(序偶):由两个元素x 和y 按一定顺序排成 ):由两个元素 有序对(序偶):由两个元素x 的二元组。记作:< x, y >。其中x是它的第 的二元组。记作: 其中x 一元素,y是它的第二元素。 一元素, 是它的第二元素。 如平面直角坐标系点的坐标。 如平面直角坐标系点的坐标。 特点:(1)当x ≠ y 时,< x, y > ≠ < y, x > 特点:(1)当 (2) < x, y > = < u, v > 当且仅当x = u, y = v 当且仅当x (1)(2)说明有序对区别于集合。 (1)(2)说明有序对区别于集合。 说明有序对区别于集合
20102010-9-28 离散数学
xRy
8
一、二元关系的概念(续)
从A到B的二元关系:设A、B为集合, A × B的任何 的二元关系: 为集合, 子集所定义的二元关系叫做从 子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系。 所定义的二元关系叫做从A 的二元关系。 设A={a,b,c}代表三个人的构成的集合 ={a,b,c}代表三个人的构成的集合 B={1,2,3,4}代表四项工作构成的集合 {1,2,3,4}代表四项工作构成的集合 若a从事工作1,b从事工作2,c从事工作3,则人从事工 从事工作1, 从事工作2, 从事工作3, 1,b 2,c 3,则人从事工 作之间的关系可以表示为: 作之间的关系可以表示为: R={<a,1>,<b,2>,<c,4>} 为A到B的二元关系之一

离散数学ch7[2]二元关系

离散数学ch7[2]二元关系

偏序关系中不存在
x和y不可比,其它是可比
不是偏序关系, 是拟序关系
偏序关系

拟序关系:


对非空集合A上的关系R,如果R是反自反的 和传递的,则称R为A上的拟序关系。 在不会产生误解时,拟序关系R通常记作<。 当aRb时,可记作a < b,读作 "小于" 。
例 在集合N上的小于关系是拟序关系。对集合A,在ρ(A) 上的真包含关系也是拟序关系。
加细和真加细
例 S=正整数集 构造S的划分
A= {{1,3,5,7…}, {2,4,6…}}
B= {{1,5, 9…},{2,6,10…},{3,7,11…},{4,8,12…}} 则划分B是划分A的加细。 同时,划分B也是划分A的真加细。
等价关系
等价关系
定义 设是 X 一个集合和 R 是 X 中的二元关系, 如果关系 R 是自反的、对称的和可传递的, 则称 R 是个等价关系。 设R是一个等价关系,若<x,y>∈R,称x等价于y
等价类定义
传递性
等价关系
商集
定义 设 X 是一个非空集合,R 是 X 中的等价关系。 称 R 等价类的集合 {[x]R|xX}是个 X 对 R 的商集。 并记为 X/R,也可以写成 X(mod R),亦即: X/R={[x]R|xX}
例 设I是整数集,R是模3关系,
则I对于R的商集I/R为:
I/R= { [0]R, [1]R, [2]R}
偏序关系

偏序集
集合A和A上的偏序关系≤一起叫做偏序集,记为 <A,≤>

y覆盖x
对偏序集<A,≤>,如果x,y∈A,x<y,且不存在元素z 使得z∈A且x<z<y,则称y覆盖x。

二元关系

二元关系

第四章二元关系宇宙万物之间存在着形形色色的联系,这种联系正是各门学科所关注的根本问题。

例如,人与人之间有父子、兄弟、师生关系;两数之间有大于、等于、小于关系;电学中有电压、电阻与电流间的关系;元素与集合之间的属于关系;计算机科学中程序间的调用关系,程序执行过程中状态之间的转换关系,程序执行前变量取值状况和执行后变量取值状况的关系,文件与路径的关系……。

集合论为刻划这种联系提供了一种数学模型——关系,它仍然是一个集合,以具有那种联系的对象组合为其成员。

换言之,集合论中关系不是通过描述关系的内涵来刻划这种联系,而是通过列举其外延(具有那种联系的对象组合全体)来刻划这种联系。

这使关系的研究可以方便地使用集合论概念、运算及研究方法和研究成果。

在离散数学中,“关系”被抽象为一个基本概念,在通常情况下,“关系”是至少由两个集合在给定条件下产生的新集合,它提供了一种描述事物间多值依赖的工具,为计算机科学提供了一种很好的数学模型。

需要指出,集合论中的关系研究,并不以个别的关系为主要对象,而是关注关系的一般特性、关系的分类等。

4.1有序组与集合的笛卡尔积定义4.1设a,b为任意对象,称集合{{a},{a , b}}为二元有序组,或序偶(ordered pairs),简记为<a,b>。

称a为<a,b>的第一分量,称b为第二分量。

注意,第一、二分量未必不同。

定理4.1对任意序偶<a,b> , <c, d > ,<a,b> = <c, d > 当且仅当a=c且b = d。

定义4.2递归定义n元序组<a1,…a n><a1,a2> ={{a1},{a1 , a2}}<a1,…a n> = <<a1,…a n-1>, a n>本质上, n元序组依然是序偶。

a i称为n元序组的第i分量。

定理4.2对任意对象a1,…,a n,b1,…,b n,<a1,…,a n> = < b1,…,b n >当且仅当a1 = b1 ,…,a n= b n显然,序偶和n元序组都是集合,但由于它们的特殊结构,把次序赋予了有关对象,我们以后更多关心的是它们的这种“序特性”。

离散数学 ch2.二元关系1

离散数学 ch2.二元关系1

从例3中可以看出关系是序偶(点)的集合(构成线、 面)。
2.关系的定义域与值域
定义域(domain) :设RA×B,由所有(x,y)R 的第一个元素组成的集合,称为R的定义域, 记作dom R,即 dom R={x|y使(x,y)R} 值域(range) :设RA×B,由所有(x,y)R的第 二个元素组成的集合,称为R的值域, 记作ran R,即 ran R={y|x使(x,y)R} 上述 R2={ (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3), (2,4), (3,3), (3,4),(4,4)} dom R2 ={1,2,3,4} ran R2 ={1,2,3,4}
rij=
(1≤i≤m,1≤j≤n)
R3={ (1,a),(1,c),(2,b),(3,a),(4,c)} R4={ (1,1),(1,4),(2,3),(3,1),(3,4),(4,1),(4,2)}
abc
上例中 MR3 =
1 2 3 4
101 010 100 001
4×3
1 MR4= 2 3 4
1234 1001 0010 1001 1100
证明(2)对(x,y)∈(R·S)C,有 (y,x)∈R·S z∈B,使(y,z)∈R, (z,x)∈S 即:(z,y)∈RC, (x,z)∈SC (x,y)∈SC·RC 证明(3): (1)任意 (x,y)∈(R∪S)C (y,x)∈(R∪S) (y,x)∈R 或 (y,x)∈S (x,y)∈RC 或 (x,y)∈SC (x,y)∈RC∪SC
如RA×A,即R是集合A中关系时,可能有 (x,x)R,则从x到x画一条有向环(自回路)。 例 设A={1,2,3,4},B={a,b,c}, R3 A×B, R3={ (1,a),(1,c),(2,b),(3,a),(4,c)} 则R3的关系图如下:

二元关系ppt

二元关系ppt
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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6 2023/9/6
第四节 关系的性质
本节我们讨论关系的一些常见性质,主要内 容是:
1.给出了关系的自反性、对称性、反对称性、 传递性的定义;
2.给出了关系的自反性、对称性、反对称性、 传递性等在关系矩阵及关系图上的反应,其 中用关系矩阵及关系图来判断传递性较为困 难;
3.讨论了关系的各种运算对上述特性的影响.
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7 2023/9/6
第五节 关系的闭包(1)
我们希望某个关系具有比较好的性质,比如我 们希望它具有自反性,对称性,传递性.但如 果该关系又不具有上述性质,那么我们就要对 该关系进行适当的改造,即在该关系中适当添 加一些元素得到一个新的关系,使这个新关系 具有我们需要的性质,同时新关系与原来的关 系不要相差得太多,这样就要求我们添加的元 素既要使新关系满足要求又要尽可能地少添加 元素.通过适当添加元素来扩充原关系,使得到 的具有我们需要的性质的新关系称为原关系的 闭包,我们通常考虑关系的三种闭包,即自反 闭包,对称闭包,传递闭包.
第七节 偏序关系
数的大小,集合中元素的排列次序,计算机程 序的执行顺序等都牵涉到次序关系,这些在数 学上都表现为序关系的研究,本节主要内容有:
1.具有自反性、反对称性、传递性的关系称为偏 序关系;
2.偏序关系的简化关系图—哈斯图,哈斯图与原 图的关系是一种压缩与解压缩的关系;
3.由两个偏序关系构造新的偏序关系方法(如书 中定理2.7.1);
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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5 2023/9/6
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:

4二元关讲义系和函数

4二元关讲义系和函数
其中、 A0,1
3/18/2021
liu qun, northeastern Univ.
8
4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets 集合
定理 设A,B,C为任意三个集合,则有 a) A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C); b) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C); c)(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C); d)(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)。
R a , 1 b , 1 c ,2 d ,2 e , 3 f , 3
③这种关系称为二元关系,它只涉及两个客体间的关系 ④若 A a ,b ,c ,d ,e ,f,g ,B 1 .2 .3
则A×B 的任何子集都定义了一个二元关系。
3/18/2021
liu qun, northeastern Univ.
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4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets 集合
例 计算机内的字是由固定的n个有序二进位所组成, 它的全体可以表示成n重有序组形式
A n A A A . A . . a 1 , a 2 ,a n . / a i . A . , i 1 , 2 , , 3 .n ...
6
4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets 集合
多重直积
A1A2 An = (A 1 A 2 A n 1 ) A n
={ x1,x2, ,xn| x 1 A 1 x 2 A 2 x n A n } 例 A={1,2} B={a,b} C={α,β}
A B 1 ,a , 1 ,b , 2 ,a , 2 ,b
3
4.1笛卡儿积与二元关系——序偶
Sets 集合
三元组
三元组<a,b,c>是一个序偶,其第一元素本身也是一个序偶, 可形式化表示为<<x,y>,z>.

二元关系中关系的定义

二元关系中关系的定义

二元关系中关系的定义二元关系是集合论中的一个重要概念,它描述了两个集合之间元素之间的某种关系。

在数学中,二元关系通常用符号表示,例如“<”、“=”、“≤”等。

二元关系的定义是描述两个集合之间元素之间的某种关系的一种方法。

我们来定义什么是二元关系。

设A和B是两个非空集合,R是A和B的笛卡尔积A×B的子集,即R ⊆A×B,那么R就是从A到B的一个二元关系。

其中,A的元素被称为该二元关系的定义域,B的元素被称为该二元关系的值域。

在二元关系中,元素之间的关系可以用有序对的形式来表示。

例如,对于集合A={1, 2, 3}和集合B={4, 5},我们可以定义一个二元关系R={(1, 4), (2, 5)}。

这个二元关系表示了A中的元素1和B中的元素4之间存在某种关系,A中的元素2和B中的元素5之间也存在某种关系。

二元关系可以有不同的性质和特点,下面我们来介绍几种常见的二元关系。

1. 自反关系:如果集合A中的每个元素a都与自身存在某种关系,则称该二元关系为自反关系。

例如,集合A={1, 2, 3}上的一个自反关系可以表示为R={(1, 1), (2, 2), (3, 3)}。

2. 反自反关系:如果集合A中的每个元素a都与自身不存在某种关系,则称该二元关系为反自反关系。

例如,集合A={1, 2, 3}上的一个反自反关系可以表示为R={},即空集。

3. 对称关系:如果集合A中的任意两个元素a和b之间存在某种关系,那么a和b之间的关系是对称的。

例如,集合A={1, 2, 3}和集合B={4, 5}上的一个对称关系可以表示为R={(1, 4), (4, 1), (2, 5), (5, 2)}。

4. 反对称关系:如果集合A中的任意两个元素a和b之间存在某种关系,当且仅当b和a之间不存在该关系时,称该二元关系为反对称关系。

例如,集合A={1, 2, 3}上的一个反对称关系可以表示为R={(1, 1), (2, 2), (3, 3)}。

第2-2章 二元关系

第2-2章    二元关系

证明:A ×(B∪C)=(A ×B) ∪( A×C) 证明: 任取<x,y> <x,y>∈A ×(B∪C)
命题等价演算
x∈A∧y∈ B∪C x∈A∧(y∈ B∨y∈C) (x∈A∧y∈ B)∨ (x∈A ∧ y∈C) <x,y>∈A ×B ∨ <x,y>∈A×C <x,y>∈ (A ×B) ∪( A×C)
0 ,<ai,bj>∉R
例4、设A={1,2,3,4},写出集合A上的大于关系 。 解: R>={<2,1>,<3,1>,<3,2>, <4,1>,<4,2>,<4,3>}, 例2.3
0 1 MR 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0
设A={2,3,4} , B={2,3,4,5,6} R ={<x,y>|x∈A ∧y∈B∧x整除y }
S ={<x,y>|x∈A , y∈B, x>y+2 } 解: R ={<2,2>, <2,4>, <2,6>, <3,3>, <3,6>, <4,4>} S =Φ
二.二元关系的表示
二元关系也是一种集合,可用列举法和谓词法表示
例2.1 A={1,2},B={2,3,4} , R={<1,2>,<1,4>,<2,2>} 设A={2,3,4} , B={2,3,4,5,6} R ={<x,y>|x∈A ∧y∈B∧x整除y }
例如:A,B,C三个人做α,β,γ,δ四项工作,已知A可做 α和δ工作,B可做δ工作,C可做α,β工作 人和工作之间的对应关系可以记作
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例 1.1 例 1.2
例 1.3 设 A 是非空集合, ρ ( A) 上的包含关系 ⊆ A 定义如下: ( B, C ) ∈⊆ A 当且仅当 B ⊆ C 。 例 1.4 设 A 是任意集合, A 上的恒等关系 I A 定义如下: I A = {( a, a ) : a ∈ A} 。 例 1.5 上的模 2 同余关系 M 2 定义如下: aM 2b 当且仅当 2 | (a − b) 。
(2) ( R1 ∪ R2 ) (3) ( R1 ∩ R2 ) (4) ( A × B ) (5) ∅
−1
−1
−1
= B× A
=∅
= R −1
−1 −1 = R1−1 − R2 −1 −1
(6) ( R )
−1
(7) ( R1 − R2 )
(8)若 R1 ⊆ R2 ,则 R1 ⊆ R2 复合运算
先看一个例子。兄妹关系为 R1 ,母子关系为 R2 , a 与 b 有兄妹关系, b 与 c 有母子关系, 即 aR1b , bR2 c ,则 a 与 c 有舅甥关系 R3 , R3 称为 R1 与 R2 的复合关系,记为 R3 = R1 R2 。
结点 ai 。如果 ai Ra j ,则画一条从结点 ai 到结点 a j 的带箭头的线段,称该线段为弧(有向 边) ;如果 ai Ra j ,则对应的弧称为自环。如此得到的图形称为 R 的关系图,记为 G ( R) 。 例 2.2 设 A = {1, 2,3, 4,5} , A 上的模 2 同余关系的关系图如图 2.1 所示。
第二章 二元关系
关系一词是大家所熟知的,它是指多个事物之间的一种特定意义的联系。在诸多的关系中, 最基本的是涉及两个对象的关系, 比方说父子关系, 师生关系, 同学关系等, 称为二元关系。 本章的目的是给出二元关系的性质和运算并重点介绍一些特殊类型的二元关系。
§2.1 二元关系的定义及例子
定 义 1.1 设 A 和 B 是 任 意 两 个 集 合 , A × B ( A 和 B 的 笛 卡 儿 乘 积 , 定 义 为
作业
1.设 R 是 几何解释。
2
上的二元关系,使得 (( a, b), (c, d )) ∈ R 当且仅当 a − c = b −为了使关系表示更明显直观,对于有限集的情况,我们可以用矩阵或图形来表示它,有了关 系的矩阵表示,我们可以通过计算机来分析关系。 定义 2.1 设 A 和 B 是两个有限集
R1 ∪ R2 : a( R1 ∪ R2 )b 当且仅当 aR1b 或 aR2b ; R1 ∩ R2 : a( R1 ∩ R2 )b 当且仅当 aR1b 且 aR2b ; R1 − R2 : a ( R1 − R2 )b 当且仅当 aR1b 且 a R2 b ;
R1 : aR1b 当且仅当 a R1 b 。
4
称为 R 的逆关系。 注: M ( R ) = M ( R ) 。
t
−1
例 3.1 实数集
上“ ≤ ”的逆关系是“ ≥ ”关系。
以下是关于逆运算和并,交,差,补运算的一些恒等式。
定理 3.1 设 R1 , R2 , R3 是从 A 到 B 的二元关系,则 (1) ( R )
−1 −1
=R
−1 −1 = R1−1 ∪ R2 −1 = R1−1 ∩ R2
A = {a1 , a2 ,
, am } , B = {b1 , b2 ,
, bn } ,
R 是从 A 到 B 的二元关系, 称 m × n 阶矩阵 M ( R ) = ( mi , j ) 为 R 的关系矩阵 (关于 A 和 B 中
元素标号) ,其中
⎧ ⎪1, if ai Rb j mi , j = ⎨ 。 ⎪ ⎩0, if ai Rb j
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} )的任何子集 R 均称为从 A 到 B 的二元关系。当 A = B 时,
称 R 为 A 上的二元关系。若 (a, b) ∈ R ,则称 a 与 b 有关系 R ,记为 aRb 。若 (a, b) ∉ R , 则称 a 与 b 没有关系 R ,记为 aRb 。 注:若 R = ∅ ,则称 R 为空关系;若 R = A × B ,则称 R 为全关系。 上的整除关系 D 定义如下: (a, b) ∈ D 当且仅当 a | b 。 上的小于等于关系 L 定义如下: (a, b) ∈ L 当且仅当 a ≤ b 。

系图上存在一条从 a 到 b 的有向道路。

例 3.3 设 R 是父子关系,则 R 表示祖先子孙关系。 下面是关于幂运算的一些结论。
定理 3.4 设 A 是 n 元集, R 是 A 上的二元关系,则存在自然数 s , t , 0 ≤ s < t ≤ 2 ,使 得R = R 。
s t
n2
证明: ρ ( A × A) 中元素对幂运算是封闭的,即对任意的自然数 k ,都有 R ∈ ρ ( A × A) 。
设 R 是 A 上的一个二元关系, R R 记为 R , R 定义 R 的幂运算。 定义 3.4 设 R 是 A 上的二元关系, n ∈
2
2
R 记为 R 3 ,
,等等,于是我们可以
, R 的 n 次幂 R 定义如下
n
n +1 n (1) R 0 是 A 上的恒等关系 I A , R1 = R ; (2) R = R R , n ≥ 1 。
k
而 | ρ ( A × A) |= 2 ,由抽屉原理(或鸽巢原理)可知,在 R 的 2 个幂项: R , R ,
0 1
n2
n2

R 2 中,必有两者相等,即存在 s , t , 0 ≤ s < t ≤ 2n ,使得 R s = R t 。
n2
2
定理 3.5 设 R 是 A 上的二元关系,若存在自然数 s , t , s < t ,使得 R = R ,则下面等式
定义 1.2 设 R 是从 A 到 B 的二元关系,称
dom( R) = {a ∈ A : ∃b ∈ B(aRb)}
为 R 的定义域;称
ran( R ) = {b ∈ B : ∃a ∈ A(aRb)}
为 R 的值域。并称 A 为 R 的前域, B 为 R 的陪域。 注: (1)若对于任意的 a ∈ dom( R) ,存在唯一的 b ∈ ran( R) ,使得 aRb ,则称 R 是单值 的,此时 R 即为函数。所以,函数是二元关系的特例,也可以说,二元关系是函数概念的 推广。 (2)设 R 是从 A 到 B 的二元关系, A1 ⊆ A ,称
× An ,则称 R
, An 为基的 n 元关系。
注: A1 × A2 ×
× An = {(a1 , a2 ,
, an ) : a j ∈ Aj ,1 ≤ j ≤ n} 。
例 1.6 (数据库的关系模型)在关系数据库中,将用表格方式表示出来的文件看作关系 R 。 部门 水产部 石油部 工业部 石油部 石油部 石油部 电力部 姓名 史文心 罗林 卢依人 秦如 李英 王义 王小英 表 1.1 性别 男 男 女 女 男 男 女 部门电话 2786 2482 3133 2482 2482 2482 3025
R ⊆ A1 × A2 × A3 × A4 是四元关系。其中 A1 ={水产部,石油部,工业部,电力部}, A2 ={史
文心,罗林,卢依人,秦如,李英,王义,王小英}, A3 ={男,女}, A4 ={2786, 2482, 3133, 3025}。 R 中的每个元素是表格中的一行,例如,(石油部,罗林,男,2482)就是 R 中的一 个元素。 A1 , A2 , A3 , A4 分别称为表的属性域,4 称为表的阶。
( R2 ∪ R3 ) R1 = ( R2 R1 ) ∪ ( R3 R1 ) ,
R1 ( R2 ∩ R3 ) ⊆ ( R1 R2 ) ∩ ( R1 R3 ) ,
( R2 ∩ R3 ) R1 ⊆ ( R2 R1 ) ∩ ( R3 R1 )
(3) ( R1 R2 ) 幂运算
−1 −1 = R2 R1−1
s t
成立 (1) R (2) R
s+k
= R t + k , ∀k ∈ = R s , ∀k ∈
i
; ;
s + k (t − s )
(3) R =

∪R
i =1
t −1

事实上,我们有更强的结论。
n
定理 3.6 设 R 是 n 元集 A 上的二元关系,则 R =
3
1
2
3
5
4
图 2.1 结点集及结点之间的弧集构成的有向图很自然直观地表示了一个关系。 这两种关系的表示形式给研究关系的运算和性质提供了极大方便。
§2.3 关系的运算
二元关系是有序对所组成的集合,因此二元关系也有并,交,差,补等运算。
定义 3.1 设 R1 和 R2 是从 A 到 B 的两个二元关系,定义
特别地,当 A = B 时, A 上的二元关系可以用方阵来表示。关系矩阵实际上是二元关系的 特征函数。 例 2.1 设 A = {2,3, 4} , B = {3, 4,5, 6, 7} ,定义从 A 到 B 的整除关系如下:对于 ∀a ∈ A ,
∀b ∈ B , aDb 当且仅当 a | b 。 ⎛0 1 0 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ M ( D ) = ⎜1 0 0 1 0 ⎟ ⎜0 1 0 0 0⎟ ⎝ ⎠
从 R1 和 R2 得到 R1 R2 的运算称为复合运算。
定义 3.3 设 R1 是从 A 到 B 的二元关系, R2 是从 B 到 C 的二元关系,则从 A 到 C 的二元关 系 R1 R2 = {(a, c) : a ∈ A, c ∈ C , ∃b ∈ B (( a, b) ∈ R1 ∧ (b, c) ∈ R2 )} 称为 R1 与 R2 的复合关 系。
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