工程力学第九章
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工程力学-第9章
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算
工程上将主要承受扭转的杆件称为轴，当轴的横截面 上仅有扭矩（ Mx）作用时，与扭矩相对应的分布内力，其 作用面与横截面重合。这种分布内力在一点处的集度，即 为剪应力。圆截面轴与非圆截面轴扭转时横截面上的剪应 力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的应力 变形分析以及强度设计和刚度设计。 分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力 和变形的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物 性关系。
圆轴扭转时的剪应力分析
分析圆轴扭转剪应力的方法与分析梁纯弯曲正应力的方法，基 本相同，就是：根据表面变形作出平面假定；由平面假定得到 应变分布，亦即得到变形协调方程；再由变形协调方程与应力 －应变关系得到应力分布，也就是含有待定常数的应力表达式； 最后利用静力方程确定待定常数，从而得到计算应力的公式。
t G
此即为剪切胡克定律，式中G为比例常数，称为剪切弹性 模量或切变模量
t G
( )
d dx
d t G G dx
TSINGHUA UNIVERSITY 其中
G
d －对于确定的横截面是一个不变的量。 dx
上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成 正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。
M x 3 16 185.7 Pa 21.98MPa WP3 π 353 10 -9
承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计
TSINGHUA UNIVERSITY
扭转实验与扭转破坏现象
扭转强度设计
扭转刚度设计
扭转实验与扭转破坏现象
为了测定剪切时材料的力学性能，需材料 制成扭转试样在扭转试验机上进行试验。 对于低碳钢，采用薄壁圆管或圆筒进行试验， 使薄壁截面上的剪应力接近均匀分布，这样才能 得到反映剪应力与剪应变关系的曲线。 对于铸铁这样的脆性材料由于基本上不发 生塑性变形，所以采用实圆截面试样也能得到 反映剪应力与剪应变关系的曲线。
工程上将主要承受扭转的杆件称为轴，当轴的横截面 上仅有扭矩（ Mx）作用时，与扭矩相对应的分布内力，其 作用面与横截面重合。这种分布内力在一点处的集度，即 为剪应力。圆截面轴与非圆截面轴扭转时横截面上的剪应 力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的应力 变形分析以及强度设计和刚度设计。 分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力 和变形的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物 性关系。
圆轴扭转时的剪应力分析
分析圆轴扭转剪应力的方法与分析梁纯弯曲正应力的方法，基 本相同，就是：根据表面变形作出平面假定；由平面假定得到 应变分布，亦即得到变形协调方程；再由变形协调方程与应力 －应变关系得到应力分布，也就是含有待定常数的应力表达式； 最后利用静力方程确定待定常数，从而得到计算应力的公式。
t G
此即为剪切胡克定律，式中G为比例常数，称为剪切弹性 模量或切变模量
t G
( )
d dx
d t G G dx
TSINGHUA UNIVERSITY 其中
G
d －对于确定的横截面是一个不变的量。 dx
上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成 正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。
M x 3 16 185.7 Pa 21.98MPa WP3 π 353 10 -9
承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计
TSINGHUA UNIVERSITY
扭转实验与扭转破坏现象
扭转强度设计
扭转刚度设计
扭转实验与扭转破坏现象
为了测定剪切时材料的力学性能，需材料 制成扭转试样在扭转试验机上进行试验。 对于低碳钢，采用薄壁圆管或圆筒进行试验， 使薄壁截面上的剪应力接近均匀分布，这样才能 得到反映剪应力与剪应变关系的曲线。 对于铸铁这样的脆性材料由于基本上不发 生塑性变形，所以采用实圆截面试样也能得到 反映剪应力与剪应变关系的曲线。
工程力学 第九章
O φ
y
方向沿OB。牵连速度ve： ve =
v1 ，方向沿轴Ox正向。相对速度 vr：大小未知，方向沿AB 。
4. 求速度。 应用速度合成定理
B A y'
v1
x' x α
v2 vr
va ve v r
得船B的绝对速度和对于船A的相对 速度的大小 v1 v2 , v r v1 tan cos
此瞬时杆AB的速度方向向上。
18
n
例 题 3
讨论：
若取凸轮上 与顶重合点A1为 动点，动系固连 顶杆AB，则相对 运动轨迹是什么 曲线？
19
例 题3
讨论：
若取凸轮 圆心O′点为动 点，动系固连 顶杆AB，则相 对运动轨迹是 什么曲线？
20
例 题 3
讨论：
若取凸轮 圆心O′点为动 点，动系固连 顶杆AB，则相 对运动轨迹是 什么曲线？
比较上式两端，牵连运动方程为
xo' 5t , yo' 3 t, 4t
2
8
例 题2
M点相对于动系Ox‘ y’沿 半径为r的圆周以速度v作匀 速圆周运动（圆心为O1 ）， 动系Ox‘ y’相对于定系Oxy以 匀角速度ω绕O轴作定轴转动，
如 图 所 示 ， 初 始 时 Ox‘ y’ 与
Oxy重合，M点与O重合，试 求M点的绝对运动方程。
O´
x'
2. 运动分析。 相对运动－直线运动。
绝对运动－垂直向下直线运动。 牵连运动－水平方向平动。
23
例 题 4
y'
vr
M α
ve
3. 速度分析。 绝对速度va：大小已知，方 向沿铅垂方向向下。 牵连速度ve：大小已知，方
工程力学第九章chapter09精品PPT课件
FB= 2F FAx=F FAy=3F
2) 截面法求内力( 取坐标如图) 3) 0x<aF: N=0; FQ=-F; M=-Fx
FM
FN 0 x FQ
6
例2 求外伸梁的内力。
2) 截面法求内力 0x<a: FN=0; FQ=-F; M=-Fx
y F 3F
3F
0 AF aa
FB 45 B x
a
ax<2a: FN=-F；FQ=3F-F=2F M=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a)
=384-32x4
结果应当相同。 可以用于验算。
FAy q
M0 F
A BC
DE x
4m 2m 2m 4m FE
FAy q M0 F M4
0 x4 B C D c FQ4
M4
0
x4
FQ4 c
FE
内力同样要按正向假设!
12
内力方程:
FAy q
M0 F
AB段: 0x<4m
A BC
DE x
FQ1=49-9x1; M1=49x1-4.5x12 BC段: 4mx<6m
求梁的内力。
FAy q
M0 F
解：1）求约束反力：
FAx=0 A B C
DE x
4m 2m 2m 4m FE
SFx=FAx=0 SFy=FAy+FE-F-4q=0
FAy q M1
MA(F )=12FE+M0-8F-2×4q=0
0 x1 c FQ1
FAy=49kN；FE=32kN
2) 截面法求内力
3) AB段: 0x1<4m
FQ4=-32; M4=384-32x4 x48: FQD13
工程力学最新版教学课件第9章
B
C
1 DE
2
A
F
9.2 平面几何不变体系的组成规则
对于复杂体系，可以采用以下方法：
5. 先确定一部分为刚片，连续几次使用二刚片或三刚片规则，逐步扩大到整个体系。如 下图所示，从下往上看，下层是按三刚片规则组成的几何不变的三铰刚架 ABH，上 层两个刚片CDE与EFG和下层(刚片)按三刚片规则组成为几何不变体系。
【解】 首先以地基及杆AB为二刚片，由铰A和链杆1联结，链杆l延长线不通过铰A，组成几何不变 部分。以此部分作为一刚片，杆CD作为另一刚片，用链杆2、3及BC链杆（联结两刚片的链 杆约束，必须是两端分别连接在所研究的两刚片上）连接。三链杆不交于一点也不全平行， 符合两刚片规则，故整个体系是无多余约束的几何不变体系。 思考：是否有其他分析方法？ 结论：分析同一体系的几何组成可以采用不同的组成规则；一根链杆可视为一个约束，也可 视为一个刚片。
思考：如何理解“多余约束并非真的是多余”？
9.2 平面几何不变体系的组成规则
9.2.1 二元体概念及二元体规则
规则1(二元体规则)：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，则组成无多余约束的 几何不变体系。 由两根不共线的链杆连接一个结点的构造，称为二元体(如图中的BAC)。 推论1：在一个体系上增加或减少任意一个二元体，都不会改变原体系的几何组成性质。
1
2
3
4
A
B
图12-13
9.2 平面几何不变体系的组成规则
对于复杂体系，可以采用以下方法：
2. 从一个刚片(例如地基或铰结三角形等)开始，依次增加二元体，尽量扩大刚片范围， 使体系中的刚片个数尽量少，便于应用规则。以下图为例，将地基视为一个刚片，依 次增加二元体，结点4处有一个二元体，增加在地基上，地基刚片扩大，以此扩充结 点3处二元体，结点2处二元体，结点1处二元体。即体系为几何不变。
工程力学第九章扭转PPT课件
.
29
第九章 扭转
§9-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
Ⅰ. 横截面上的应力
表面 变形 情况
横截面 推断 的变形
情况
(问题的几何方面)
横截面 上应变 的变化 规律
应力-应变关系
横截面上 内力与应力的关系 横截面上应力
应力变化
的计算公式
规律
(问题的静力学方面)
(27问.03题.202的1 物理方面)
.
45
3. 校核强度
第九章 扭转
2,max >1,max，但有 2,max<[ ] = 80MPa，故
该轴满足强度条件。
Mn图(kN m)
需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应 力集中现象，在以上计算中对此并未考核。
27.03.2021
.
46
第九章 扭转
§9-5 等直圆杆扭转时的变形·刚度条件
第九章 扭转
低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如 图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？
27.03.2021
.
42
第九章 扭转
Ⅲ. 强度条件
max[]
此处[]为材料的许用剪应力。对于等直圆轴亦即 M nmax [ ]
Wp 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因 拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上 的剪应力有固定关系，故仍可以剪应力和许用剪应力来表 达强度条件。
468
M n (N·m)
扭矩图应与原轴平行对齐画
27.03.2021
.
16
作内力图要求：
1 . 正确画出内力沿杆轴分 布规律
mB
mC
B
C
工程力学第九章
（3） 根据剪力方程逐段画剪力图；
（4） 根据弯矩方程逐段画弯矩图。
例9-5 作如图9-13所示梁的剪力图和弯矩图。 已知 AC CD a ，DB 2a 。
解： （1） 求约束力。 Fx 0
FAx 0
F 0 M 0
y A
FAy FB 2qa
m FB 4a q 2a 3a
由
F
y
0 得
ql qx (0 x l ) 2
Q FAy qx
即剪力方程
由
M
O
0 （ O 为截面形心）得
即弯矩方程
x ql qx 2 M ( x) FAy x qx x (0 x l ) 2 2 4
（3） 画剪力图和弯矩图。 Q ql 2 ； 由剪力方程可知，剪力图为一斜直线，在 x 0 处， Q ql 2 ，剪力图如图9-12（d）所示。由图可知， 在 x l 处， 在靠近梁支座的横截面上，有最大剪力，而梁中间横截面上的剪 力为零。且有 ql Qmax 2
§9-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 梁横截面上的剪力和弯矩，一般随横截面的位置而变化。 剪力和弯矩，都可表示为位置坐标x的函数，即 Q f1 ( x) M f 2 ( x) 此二式分别称为剪力方程和弯矩方程。 为了全面了解剪力和弯矩沿着梁轴线的变化情况，可根据 剪力方程和弯矩方程用曲线把它们表示出来。x坐标表示横截 面位置，剪力 Q 值或弯矩 M 值为纵坐标，所得的图形，分别 称为剪力图和弯矩图。 根据剪力图和弯矩图，很容易找出梁内最大剪力和最大弯矩 （包括最大正弯矩和最大负弯矩）所在的横截面及数值，得到 了这些数值之后，可以进行梁的强度分析。
13 9 dM ( x) 2 x a 0 ，得 令 时，有最大弯矩 M max qa ， 4 32 dx 1 当 x 2a , M qa 2 2
工程力学(材料力学部分第九章)
Pcr
2EI ( l)2
临界应力
cr
Pcr A
2EI ( l)2 A
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E l 2
i
16
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E
l
2
i
柔度 (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全
5) 校核 n = Pcr /P nst 是否成立。
29
1 稳定校核问题
1) 计算 1 ， 2， ；
2) 确定属于哪一种杆(大柔度杆，中柔度杆， 小柔度杆) ；
3) 根据杆的类型求出 cr 和 Pcr ;
4) 计算杆所受到的实际压力 P； 5) 校核 n = Pcr /P nst 是否成立。 2 确定许可载荷 前3步同稳定校核问题； 4) P Pcr / nst 。
其中，A为杆中点的挠度。 l
A的数值不确定。
欧拉公式与精确解曲线
精确解曲线
P 1.152Pcr时，
0.3l
理想受压直杆 非理想受压直杆
11
§9. 3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
1 一端固支一端自由的压杆 由两端铰支压杆的临界 压力公式
2EI
Pcr (2l)2
2 一端固支一端滑动固支 （简称为两端固支）
P
n2 2EI
l2
因为临界压力是微弯平衡状态下的最
小压力， 所以，应取 n = 1 。
Pcr
2EI
l2
欧拉公式
这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式。
工程力学—第九章 扭转
{n}—轴的转速，单位为r/min（转／ 分），或r/s（也可表示为s-1）（转／ 秒）。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩与扭矩图 扭转变形的内
力： —扭矩。 扭矩 ：即n－n
截面处的内力偶 矩。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则。
指向截 面外侧 为正
指向截 面内侧 为负
kW。试作轴的扭矩图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
M1
(9.55103
500)N 300
m
15.9 103
N
m
15.9
kN
m
M2
M3
(9.55103
150) 300
N
m
4.78103
Nm
4.78
kN m
M4
(9.55103
200) 300
Nm
横截面的扭矩T即为：
T
2 0
Ro2
d
2Ro2
薄壁圆管扭转的切应力为：
＝ T 2Ro2
当 Ro /10 时，该公式足够精确。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
纯剪切与切应力互等定理： 切应力互等定理：在微体的两个相互垂直
的截面上，切应力总是同时存在，且大小 相等，方向则共同指向或共同背离两截面 的交线。
工程力学
彭雅轩 2019年9月16日
第九章 扭 转
基本概念 动力传递与扭矩 切应力互等定理与剪切虎克定律 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件
第一节 引 言
第二节 动力传递与扭矩
扭矩与扭矩图 扭转变形的内
力： —扭矩。 扭矩 ：即n－n
截面处的内力偶 矩。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则。
指向截 面外侧 为正
指向截 面内侧 为负
kW。试作轴的扭矩图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
M1
(9.55103
500)N 300
m
15.9 103
N
m
15.9
kN
m
M2
M3
(9.55103
150) 300
N
m
4.78103
Nm
4.78
kN m
M4
(9.55103
200) 300
Nm
横截面的扭矩T即为：
T
2 0
Ro2
d
2Ro2
薄壁圆管扭转的切应力为：
＝ T 2Ro2
当 Ro /10 时，该公式足够精确。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
纯剪切与切应力互等定理： 切应力互等定理：在微体的两个相互垂直
的截面上，切应力总是同时存在，且大小 相等，方向则共同指向或共同背离两截面 的交线。
工程力学
彭雅轩 2019年9月16日
第九章 扭 转
基本概念 动力传递与扭矩 切应力互等定理与剪切虎克定律 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件
第一节 引 言
工程力学第9章(扭转)
解：⑴ 计算外力偶矩 PA 4 M A 9549 9549 76.4N m n 500 PB 10 M B 9549 9549 191N m n 500 PC 6 M C 9549 9549 114.6N m n 500 ⑵ 计算轴各段的扭矩 1-1：
所以BD的直径
d 4.47 102 m
AC AB BC 1.50 102 (1.17 102 ) 0.33 102 rad
⑵ 校核轴的刚度 T T 180 180 max max AB 0.43o /m GI P GI P 80 109 3.0 105 1012 所以轴的刚度满足要求
TBA 468N m TAC 700N m TCD 350N m Tmax 700N m
⑶ 计算BD的直径 按强度条件设计轴的直径 T 16Tmax max max 3 WP d
按强度条件设计轴的直径 T 16Tmax max max 3 WP d
M
x
(F ) 0 : (F ) 0 :
T1 M A 0 T2 MC 0
解得： T1 76.4N m 2-2：
M
x
解得： T2 114.6N m
⑶ 绘制扭矩图
§9-3
切应力互等定理与剪 切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不 变；各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩 形变为平行四边形。
圆轴扭转横截面上的应力
各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变； 各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平 行四边形。
· 平面假设 圆轴扭转变形前原为平面的 横截面，变形后仍为平面，形状、 大小不变，半径仍为直线，两相 邻截面间的距离不变。 ·切应变在横截面上的分布
16816_工程力学(第9章)
第9章 压杆稳定简介
9.1
压杆稳定的概念
9.2
细长压杆临界力的计算
9.3
稳定性校核
9.4
提高压杆稳定性的措施
9.1 压杆稳定的概念
图9.2 压杆稳定性实验 （a）对杆施加干扰力；（b）杆恢复到直线状态； （c）杆产生显著的弯曲变形；（d）压杆失稳
压杆失稳后，表明压杆已丧失了承载 能力，能引起机器或结构的整体损坏，这 是由失稳造成的失效。
压杆总是在柔度大的纵向平面内失稳， 为使压杆在任一纵向平面内有相等或接近 相等的稳定性，应使其各个纵向平面内的 柔度相等或接近相等。
2．合理安排压杆的约束与选择杆 长
压杆的临界压力或临界应力与相当长 度（l）的平方成反比，因此，增强对压 杆的约束与合理地选择杆长，能够提高压 杆的稳定性，如图9.8所示。
2．欧拉公式的适用范围
由于计算压杆临界压力的欧拉公式是 根据挠曲线近似微分方程推导得出的，而 且该方程只在材料服从胡克定律时才成立， 因此，欧拉公式（9.2）只有在压杆的临界 应力不超过材料的比例极限p时才能应用， 即
或
令 范围为Βιβλιοθήκη p πEp
，则得到欧拉公式的应用
≥ P
只有满足≥P条件的压杆，才可用欧 拉公式计算压杆的临界应力。≥P的压杆 通常称为大柔度杆或细长压杆。P仅与材 料的弹性模量E、比例极限p有关。材料不 同，其P值不同。例如，Q235号钢的 E=206GPa，p=200MPa，可得
应该指出，表9.1所示的4种杆端支承 情况是理想情况，许多工程实际问题并不 具备这种典型形式，应根据具体情况选择 长度因数。
表9.1
不同支承情况下的长度因数
例9.1 如图9.3所示，一矩形截面压 杆，一端固定，一端自由，材料为45号钢， 已知弹性模量E =200GPa，l =2m，h=80mm， b=45mm。试计算该压杆的临界压力；若 h=b=60mm，压杆长度不变，此压杆的临界 力又为多大？
9.1
压杆稳定的概念
9.2
细长压杆临界力的计算
9.3
稳定性校核
9.4
提高压杆稳定性的措施
9.1 压杆稳定的概念
图9.2 压杆稳定性实验 （a）对杆施加干扰力；（b）杆恢复到直线状态； （c）杆产生显著的弯曲变形；（d）压杆失稳
压杆失稳后，表明压杆已丧失了承载 能力，能引起机器或结构的整体损坏，这 是由失稳造成的失效。
压杆总是在柔度大的纵向平面内失稳， 为使压杆在任一纵向平面内有相等或接近 相等的稳定性，应使其各个纵向平面内的 柔度相等或接近相等。
2．合理安排压杆的约束与选择杆 长
压杆的临界压力或临界应力与相当长 度（l）的平方成反比，因此，增强对压 杆的约束与合理地选择杆长，能够提高压 杆的稳定性，如图9.8所示。
2．欧拉公式的适用范围
由于计算压杆临界压力的欧拉公式是 根据挠曲线近似微分方程推导得出的，而 且该方程只在材料服从胡克定律时才成立， 因此，欧拉公式（9.2）只有在压杆的临界 应力不超过材料的比例极限p时才能应用， 即
或
令 范围为Βιβλιοθήκη p πEp
，则得到欧拉公式的应用
≥ P
只有满足≥P条件的压杆，才可用欧 拉公式计算压杆的临界应力。≥P的压杆 通常称为大柔度杆或细长压杆。P仅与材 料的弹性模量E、比例极限p有关。材料不 同，其P值不同。例如，Q235号钢的 E=206GPa，p=200MPa，可得
应该指出，表9.1所示的4种杆端支承 情况是理想情况，许多工程实际问题并不 具备这种典型形式，应根据具体情况选择 长度因数。
表9.1
不同支承情况下的长度因数
例9.1 如图9.3所示，一矩形截面压 杆，一端固定，一端自由，材料为45号钢， 已知弹性模量E =200GPa，l =2m，h=80mm， b=45mm。试计算该压杆的临界压力；若 h=b=60mm，压杆长度不变，此压杆的临界 力又为多大？
第九章 工程力学 拉伸与压缩
截面杆，其边长a=60mm，P=10KN，试求AB和BC横截
面上的正应力。
d A
解：
FNAB sin 300 F FNAB cos 300 FNBC
FNAB
300
B
AB
FNAB AAB
28.3MPa
C
FNBC a
F
BC
FNBC ABC
4.8MPa
3
许用应力.强度条件
关于 形后仍然保持为平面， 且仍垂直与轴线，称 为平面假设。
(b) 变形和受力关系
F
A
FN
S ——轴向拉伸或压缩时 横截面上应力计算式
是垂直于横截面的应力-
正应力
轴力为拉力时为拉应力
轴力为压力时为压应力 （可用负号表示）
例题9-3
图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm，BC杆为正方形
❖ 材料所能承受的应力都是有限度的，超过这一限 度，材料就会发生破坏；
❖ 极限应力：材料所能承受的最大应力； ❖ 工作应力：正常工作时由载荷引起的应力； ❖ 许用应力：为保证构件安全正常工作，应使其工
作应力小于材料的极限应力，因此有必要低于极 限应力若干来确定构件所允许承受的最大应力， 此最大应力称为许用应力，符号[σ]。
第九章 拉伸与压缩
❖轴力 ❖轴向拉伸与压缩时横截面上的应力 ❖ 许用应力.强度条件 ❖轴向拉伸与压缩时斜截面上的应力 ❖ 轴向拉伸与压缩时的变形.胡克定律 ❖材料在拉伸时的力学性能 ❖材料在压缩时的力学性能 ❖应力集中的概念 ❖安全系数和许用应力的确定 ❖简单拉压静不定问题
受力特点：作用在杆件上的外力的作用线或外力合 力的作用线与杆件轴线重合。
σα α pα
τα
5 轴向拉伸与压缩时的变形.胡克定律
工程力学 第9章 杆件横截面上的切应力分析
第 9 章 弹性杆件横截面上的切应力分析
对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有 扭矩（Mx）或剪力（FQy 或 FQz）时，与这些内力分量相对应的分布 内力，其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的集度，即为 切应力。 分析与扭矩和剪力对应的切应力方法不完全相同。对于扭矩存 在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力 分析相似。对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡 方程。 本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁 杆件的弯曲切应力分析。
§ 9-1 圆轴扭转时横截面上的切应力
９－１－１ 圆轴扭转变形特征 －反对称性论证圆轴扭转时横截面保持平面 ９－１－２ 变形协调方程 ９－１－３ 物性关系－剪切胡克定律 ９－１－４ 静力学方程 ９－１－５ 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式
§ 9-2 非圆截面杆扭转时的切应力
图 9－8 例 9－2 图
解： 1．各轴所承受的扭矩 各轴所传递的功率分别为 P1 ＝14 kw ， P 2 ＝ P3 ＝P 1 ／2＝7 kw 转速分别为 n1 ＝ 120 r／min
n 3＝n1 ×
据此，算得各轴承受的扭矩：
z1 36 ＝120 × r/min ＝360r/min z3 12
14 M x1 = M e1 = 9549 × N ⋅ m = 1114 N ⋅ m 120 7 M x2 = M e2 = 9549 × N ⋅ m = 557 N ⋅ m 120 7 M x2 = M e2 = 9549 × N ⋅ m = 185 .7 N ⋅ m 360
2．计算最大切应力 E 、H、C 轴横截面上的最大切应力分别为
工程力学第9章圆轴的扭转
τ ′d x d z
d
τ
c
τ d yd z
x
∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0
y x z
自动满足 存在τ'
(τ d y d z ) d x = (τ ′ d x d z ) d y
得
τ′ =τ
y
τ'
a dy b z
切应力互等定理 d
在相互垂直的两个面上， 在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。 个面的交线。
一、圆轴扭转时横截面上的应力 1、几何关系：由实验找出变形规律 应变的变化规律 几何关系 由实验找出变形规律→应变的变化规律 1）实验： 实验：
2）观察变形规律： 观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 形状、大小、间距不变， 圆周线 形状 了一个不同的角度。 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 纵向线 倾斜了同一个角度 扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面， 扭转平面假设 变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大 小 以及间距不变，半径仍为直线。 以及间距不变，半径仍为直线。
3
) 16T 3 16(1.5×103N⋅m = = 0.0535 m d ≥ 6 π(50×10 Pa) π[τ ]
m 取： d = 54 m
2. 确定空心圆轴内、外径 确定空心圆轴内、
Wp =
3
πD3 16
(1−α )
4
16T π 3 D (1−α 4) 16
结论： 结论：
横截面上
工程力学第九章
I p 32
D4 d4
D4 (14 ) ( d )
32
D
W p I R pD 1 4 D d 6 41 D 3(6 1 4)
三、薄壁圆截面
IpA2 d A R 0 2A d A 2R 0 3
WpR Ip0 2R R0032R02
T T 92
2R02 2A0
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
侧面上的剪力为dydz
由于剪切变形，右侧 面向下错动的距离为
dx。假设切应力 有一增
d 量 ，切应变的相
应 d增量为 ，
右侧面向下位移的增量为
ddx
剪力dydz 在位移 ddx 上完成的功是 dyddzdx
在应力从零开场逐渐增加的过程中，
右侧面上剪力 dydz共作功为
dW 1dyddzdx 0
单元体内储存的应变能为
应力分布 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料， 构造轻便，应用广泛。
R 0 不宜过大，否那么容易产生扭转的局部失稳〔褶 皱现象〕
为减缓应力集中，对阶梯轴，在粗细交接处，应配置 适当的过渡圆角．
§9-7 圆轴扭转变形与刚度条件
一、圆轴扭转变形
扭转变形的标志为扭转角, 由公式 d T 97
约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻 截面的翘曲程度不同，纵向纤维长度改变，横截面上 既有切应力也有正应力。
约束扭转的实体杆件:正应力很小，与自由扭转差异不大。
约束扭转的薄壁杆件:正应力相当大。
2.自由扭转时横截面上应力分布特点
〔1〕横截面上边缘各点的切应力与截面边界相切。 〔2〕横截面上凸角处的切应力与等于零。
三、 矩形截面轴的自由扭转
1〕边缘各点的切应力与周边 相切，形成剪力流。
D4 d4
D4 (14 ) ( d )
32
D
W p I R pD 1 4 D d 6 41 D 3(6 1 4)
三、薄壁圆截面
IpA2 d A R 0 2A d A 2R 0 3
WpR Ip0 2R R0032R02
T T 92
2R02 2A0
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
侧面上的剪力为dydz
由于剪切变形，右侧 面向下错动的距离为
dx。假设切应力 有一增
d 量 ，切应变的相
应 d增量为 ，
右侧面向下位移的增量为
ddx
剪力dydz 在位移 ddx 上完成的功是 dyddzdx
在应力从零开场逐渐增加的过程中，
右侧面上剪力 dydz共作功为
dW 1dyddzdx 0
单元体内储存的应变能为
应力分布 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料， 构造轻便，应用广泛。
R 0 不宜过大，否那么容易产生扭转的局部失稳〔褶 皱现象〕
为减缓应力集中，对阶梯轴，在粗细交接处，应配置 适当的过渡圆角．
§9-7 圆轴扭转变形与刚度条件
一、圆轴扭转变形
扭转变形的标志为扭转角, 由公式 d T 97
约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻 截面的翘曲程度不同，纵向纤维长度改变，横截面上 既有切应力也有正应力。
约束扭转的实体杆件:正应力很小，与自由扭转差异不大。
约束扭转的薄壁杆件:正应力相当大。
2.自由扭转时横截面上应力分布特点
〔1〕横截面上边缘各点的切应力与截面边界相切。 〔2〕横截面上凸角处的切应力与等于零。
三、 矩形截面轴的自由扭转
1〕边缘各点的切应力与周边 相切，形成剪力流。
工程力学 第九章 梁的强度刚度计算
由结果知，梁的强度不满足要求。
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y2
z
例9-6 试为图示钢轨枕木选择矩形截面。已知矩形截面尺寸的比 例为b:h=3:4,枕木的弯曲许用正应力[]=15.6MPa,许用剪应力 P P 0 0 .2 m 1 .6 m []=1.7MPa,钢轨传给枕木的压力P=49KN。 .2 m
a
M D ya Iz
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10.7
第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁：
矩形截面剪应力计算公式： τ沿截面高度按抛物线规律变化：
2Iz 4
3
QS
* z
I zb
bh
4
τ m ax
2 3
y
h 2
, 0 ; y 0 , max
6 Qh 4 bh
校核梁的正应力强度。
解：(1) 内力及抗弯截面模量计算: MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m
W1 W2
P1
A
a C a
P2
D
a B
y1
z
763 5 .2
146 . 7 cm
3
y1
z
763 8 .8
86 . 7 cm
3
4 .8 k N m
y2
(2)C截面的正应力强度校核:
4 Q 3 A1
max 2
Q A2
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例9-3 矩形截面简支梁如图,已知：l=2m，h=15cm，b=10cm， h1=3cm，q=3kN/m。试求A支座截面上K点的剪应力及该截面的最 b q 大剪应力。 解：1.求剪力：QA=3kN
工程力学第九章圆柱扭转
x
73.4MPa
从以上计算结果看出：最大切应力发生在扭矩较小的
BC段。由于max=73.4MPa＞[ ]，所以轴AC的强度不够。
第九章
圆轴的扭转
由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，外径D＝90mm，壁厚 t=2.5mm，材料为45钢，许用切应力[ ] =60MPa，工作时最大 外扭矩Mn＝1.5kN· m。 1)试校核AB轴的强度。 2)如将AB轴改为实心轴，试在相同条件下确定轴的直径。 3)比较实心轴和空心轴的质量。
扭矩。
MA 一传动系统的主轴ABC，其转 速n=960r/min，输入功率 PA=27.5kW，输出功率PB=20kW， PC=7.5kW，不计轴承摩擦等功率 消耗。试作ABC轴的扭矩图。 解 1)计算外力偶矩。由式(9-1)得
MB 第九章
MC 圆轴的扭转
A
B
C
PA 27.5 M A 9550 9550 N m 274 N m n 960 PB 20 M B 9550 9550 N m 199 N m n 960 PC 7.5 M C 9550 9550 N m 75N m n 960
O
M
Mn O
A
max
=K 。
第九章
Mn 圆轴的扭转 O
=K
扭转切应力的计算如图，圆轴横截面上微 面积dA上的微内力为dA ，对截面中心O的力 矩为dA· 。 整个横截面上所有微力矩之和应等于该截面 上的扭矩Mn，则有 （9-2）
A
max dA
Mn dA O
M n dA K 2dA
故AB轴满足强度要求 。
第九章
圆轴的扭转
已知：D＝90mm，t=2.5mm， [ ] =60MPa，Mn=1.5kN· m。 1)试校核AB轴的强度。 2)如将AB轴改为实心轴，试在相同条件下确定轴的直径。 3)比较实心轴和空心轴的质量。 解 1)校核AB轴的强度。 2)确定实心轴的直径。若实心轴与空心轴的强度相同，则
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9.4
梁的弯曲变形与刚度
2.
挠度和转角
(1) 挠度 是指梁轴线上的一点在垂直于轴线方向上的位移， 通常用y表示。
一般规定向上的挠度为正，向上的挠度为负。它的单位是mm。 (2) 转角 是指梁的各截面相对原来位置转过的角度，用θ 表
示。
一般规定，逆时针方向的转角为正，顺时针的转角为负。它 的单位是弧度(rad)或度(º)。
远的边缘处。其计算公式为
max
(2) 梁的正应力强度条件为
M max y max M max Iz Wz
M max ≤[σ ] Wz
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max
小
结
max
* FQ S z
(3) 梁横截面上的切应力与切应力强度条件 对矩形截面梁，横截面上的切应力计算公式为 其最大切应力在截面的中性轴上，计算公式为 梁的切应力强度条件为τ max≤[τ ]
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9.2
梁弯曲时正应力强度计算
梁弯曲时正应力强度计算
9.2
为了保证梁在载荷作用下能够正常工作，必须使梁具备足够 的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单 向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ ]，即 M max max ≤[σ ] （9.10） Wz 式(9.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是， 式(9.10)只适用于许用拉应力[σ l]和许用压应力[σ y]相等 的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁 的受拉部分和受压部分都能正常工作，应该按拉伸式
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My Iz
(9.4)
9.1
9.1.4
梁弯曲时横截面上的正应力
常用截面的惯性矩的计算
y 2 dA
即可导出梁的截面为各种形状时的Iz的计算公
为了应用公式（9.4），必须解决惯性矩Iz的计算问题。根据
式。
Iz=
1.
A
因此，提高梁的强度和刚度可从以下几方面入手。
9.5.1 合理安排梁的支承及增加约束
当梁的尺寸和截面形状已定时，合理安排梁的支承或增加约束， 可以缩小梁的跨度、降低梁上的最大弯矩。
增加约束，缩短梁的跨度，对提高梁的刚度极为有效。
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9.5
提高梁的强度和刚度的措施
选择合理的截面形状
9.5.2
9.1
梁弯曲时横截面上的正应力
Iz = Wz y max
相应地，抗弯截面系数为
bh 6
2
(9.7b)
2.
圆形截面的惯性矩Iz
下面我们直接给出圆形截面的和圆环形截对中性轴的
惯性矩Iz计算公式：
(1) 圆形截面(图9-5)的惯性矩
Iz
d 4
64
(9.8a) 上一页 下一页 返回
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9.1
梁弯曲时横截面上的正应力
正应力分布规律
9.1.2
律：
根据平面假设可得出矩形截面梁在纯弯曲时的正应力分布规
(1) 中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。 (2) 距中性轴距离相等的各点，其线应变相等，根据胡克定 律，它们的正应力也相等。
(3) 横截面上的正应力沿横截面y轴线性分布，即σ =Ky，或 K=，K为待定常数，如图9-2所示。
9.1
梁弯曲时横截面上的正应力
Wz
其抗弯截面系数为
d 3
32
(9.8b)
(2) 圆环形截面(图9-6)的惯性矩
Iz
64
(D 4 d 4 )
D 4
64
(1 4 )
(9.8a)
其抗弯截面系数为
Wz
D 3
32
(1 4 )
(9.8b) 上一页 下一页 返回
9.1
(6) 梁的弯曲的刚度条件为
ymax≤[y]；θ max≤[θ ]
(7) 为提高梁的强度和刚度，可从合理安排梁的支承、合理 布置梁的载荷、选用合理的截面等几个主要方面入手，根据 实际情况确定合适的方法。
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图 9-1
F
a F F a
＋
B
A C D
―
F
(a)
Fa
(b)
＋
(c) 返回
图 9-2
SZ*——距中性轴为y的横线外侧部分的面积A*对中性轴z的静
矩；
Iz——横截面对中性轴z的惯性矩；
b——矩形截面的宽度。
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9.3
弯曲切应力简介
9.3.2 典型截面梁的最大切应力计算
常见典型截面梁如工字形、圆形截面梁、圆环形截面梁，最大切应
力发生在中性轴上， 如图9-8所示，其值分别为 F
矩形截面的惯性矩Iz
图9-4矩形截面，其高度为h，宽度为b，通过形心O的轴为z和
y。为了计算该截面对z轴的惯性矩Iz，可取平行于z轴的狭长 条为微面积，即dA=bdy，这样矩形截面对z轴的惯性矩即为
Iz=
3 bh y 2 dA by 2 dy A h / 2 12
h/2
(9.7a)
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9.1
梁弯曲时横截面上的正应力
弯曲正应力的计算
9.1.3
在纯弯曲梁的横截面上任取一微面积dA(图9-3)，微面积上的
微内力为σ dA。由于横截面上的内力只有弯矩M，所以由横截
面上的微内力构成的合力必为零，而梁横截面上的微内力对 中性轴z的合力矩就是弯矩M，即 FN= dA 0
梁的切应力强度条件为
τ max≤[τ ]
(9.18)
式（9.18）中，[τ ]为梁所用材料的许用切应力。
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9.4
梁的弯曲变形与刚度
9.4.1
1.
梁的弯曲变形概述
梁的变形必须限制在一定范围内，即梁应满足刚度要求。
挠曲线方程
梁在发生弯曲变形时，若其最大工作应力不超过材料的弹性 极限，梁的轴线由原来的直线被弯成一条光滑的曲线AB´，变 形后的梁轴线称为挠曲线（图9-9）。当梁发生平面弯曲时， 梁的挠曲线可用方程y = f (x) 来表示。称为梁的挠曲线方 程 。
梁弯曲时横截面上的正应力
3.
组合截面的惯性矩Iz
设有一平面图形，通过形心C点的轴线zC与相互平行的z轴的距离 为d，若图形面积为A，对于zC轴的惯性矩为IzC，则此图形对于z 轴的惯性矩
Iz=IzC+Ad2
(9.9)
即截面对任一轴z的惯性矩，等于它对平行于该轴的形心轴zC的
惯性矩，加上截面面积与两平行轴距离平方之积。式(9.9)称为 惯性矩的平行移轴公式。
I zb
3 FQ 2 A
(4) 弯矩引起的最大正应力是判断梁是否安全的主要依据。故通常
采用梁的正应力进行梁的强度计算，必要时再进行切应力强度校核。
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小
结
(5) 梁的变形用挠度y和转角θ 来度量。简单载荷作用下梁的
挠曲线方程，端截面的转角和最大挠度可查表9.1。由于梁的
变形和载荷成线性关系，故工程上常用叠加法来求复杂载荷 下梁的变形。
(9.19a) (9.19b)
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9.5
提高梁的强度和刚度的措施
提高梁的强度和刚度，就是在材料消耗最低的前提下，提高梁的
承载能力，满足既安全又经济的要求。梁上的最大弯曲正应力
σ max和梁上的最大弯矩Mmax成正比，和抗弯截面系数Wz成反比； 梁的变形和梁的跨度l的高次方成正比，和梁的抗弯刚度EI成反比。
此外，在结构允许条件下，应尽可能把集中力改变为分散的 力。
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小
结
My Iz
(1) 平面弯曲时，梁横截面上的正应力的大小沿横截面的高度呈 现线性变化，其计算公式为
中性轴上正应力为零，离中性轴最远的边缘上各点的正应力绝对 值最大。梁的最大正应力发生在弯矩最大的截面上且离中性轴最
yc
x
n1 B´
n
l
返回
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9.4
梁的弯曲变形与刚度
用叠加法求梁的变形
9.4.2
当梁上同时受到几个载荷作用时，每一载荷所引起的梁的变 形不受其它载荷的影响。于是，就可以用叠加法来计算梁的
变形：即先求出各个载荷单独作用下梁的挠度和转角，然后
将它们代数相加，得到几个载荷同时作用时梁的挠度与转角。
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9.4
梁的弯曲变形与刚度
9.4.3
梁的刚度条件
计算梁的变形，主要目的在于进行刚度计算。所谓梁要满足
刚度要求，就是指梁在外力作用下，应保证最大挠度小于许
用挠度，最大转角小于许用转角，即梁的刚度条件为
ymax≤[ y ]
θ max≤[θ ] [ y ]为梁的许用挠度，[θ ]为的许用转角。
（1）横截面上各点的剪应力方向与剪力FQ方向相同。 （2）切应力沿截面宽度均匀分布，距中性轴等距离的各点切应 力数值都相等。据此可以推导出矩形截面梁横截面上距中性轴 为y处的切应力计算公式为：
* FQ S z
(9.12)
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I zb
9.3
弯曲切应力简介
式中：FQ——横截面上的剪力；